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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y
EXACTAS
SECCION DE FISICA
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Campos magnéticos
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
7.1 Introducción
´
Unidad
VII
7.2 Objetivo general
7.3 Objetivos especifico
7.4 Campo Magnético
7.5 Definición de campo magnético
7.6 Fuerza de Lorentz
7.7 Fuerza sobre un conductor que lleva una corriente
7.8 Par en un lazo de corriente
7.9 Movimientos de partículas cargadas en campos
magnéticos
7.10 Aplicación de campos eléctricos y magnéticos
combinados
7.11 Auto-evaluación
7.12 Solucionarlo
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Quizá suGilbert
Gilbert,
William
aportación
(1544-1603),
más importante
físico
fueylamédico
demostración
inglés
William
experimental
conocido
sobre
de todo
la naturaleza
por sus magnética
experimentos
de originales
la tierra.
También
sobre
la fue
naturaleza
el primer
de defensor
la electricidad
en Inglaterra
y el magnetismo.
del sistema
de Copérnico
Gilbert
descubrió
sobre la
que
mecánica
muchasceleste
sustancias
y planteó
tenían
que no
la
todas las estrellas
capacidad
de atraerfijas
objetos
estánligeros
a la misma
cuandodistancia
se frotaban
de lay
Tierra. elSutérmino
aplicó
obra más
eléctrica
importante
para lafue
fuerza
De Magnete
que ejercen
(1600),
estas
quizá la primera
sustancias
después
grandeobra
sercientífica
frotadas.escrita
Fue el
en primero
Inglaterra.
en
utilizar términos como 'energía eléctrica', 'atracción
eléctrica' y 'polo magnético'.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
PeroIntroducción
Hace
fue
miles
James
deMaxwell
años sequien,
sabe a que
finales
trozos
de 1860,
de mineral
llevo la
7.1
síntesis definitiva
magnetita,
llamados
de imanes,
la electricidad
ejerceny entre
el magnetismo.
si lo que ahora
llamamos fuerzas magnéticas. Los marineros han
En este capitulo estudiaremos los fenómenos magnéticos,
empleado la piedra imán durante mas de 800 años. En
su relación con los fenómenos eléctricos, sus aplicaciones
1600 Willian Gilbert sugirió que la brújula se comporta
practicas y otras consecuencias notables de las ecuaciones
como lo hace por que la tierra es, en si, es una gigantesca
de Maxwell.
piedra imán.
El magnetismo no se relaciono con la electricidad sino
hasta el año 1819 cuando Hans C. Oersted encontró que
se presentan fenómenos magnéticos cuando se mueven
cargas eléctricas, en 1820 Faraday y Henry realizaron
trabajos para descubrir la relación entre la electricidad y
el magnetismo.
Luis F Millán B
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Introducir
al general
estudiante con las teorías, principios y leyes
7.2 Objetivo
que rigen el electromagnetismo, que determinan la
valoración e instrumentación conceptual y práctica de los
fenómenos magnéticos.
Luis F Millán B
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Capacitar
al estudiante
7.3 Objetivos
específicospara que interprete, establezca y
aplique la relación e interacción entre los fenómenos
eléctricos y magnéticos.
Determinar las aplicaciones del movimiento de partículas
cargadas en campos magnéticos que son base del
desarrollo de la ciencia y la tecnología con el objeto de
proyectar al ingeniero en su quehacer profesional.
Luis F Millán B
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Oersted,
Hans Oersted
Christian (1777-1851), físico y químico
Hans
Christian
danés, que demostró la existencia de un campo
magnético en torno a una corriente eléctrica. Nació en
Rudköbing y estudió en la Universidad de Copenhague.
Fue profesor de física en esa universidad en 1806. En
1819 descubrió que una aguja imantada se desvía
colocándose en dirección perpendicular a un conductor
por el que circula una corriente eléctrica, iniciando así el
estudio del electromagnetismo. Al parecer, también fue el
primero en aislar el (1825) aluminio. En 1844 apareció
su Manual de física mecánica.".
Luis F Millán B
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Cuando
se magnético
esparcen limaduras de hierro alrededor de un
7.4 Campo
imán de barra, forman un patrón característico que
muestra cómo la influencia del imán se extiende al
espacio que lo rodea.
El campo
Nadie
Los
La
dirección
polos
hamagnético,
del
encontrado
del campo
imán B,no
magnético
en
unestán
unpolo
punto
localizados
Bmagnético,
es
está
la afuerza
lo largo
en llamado
sobre
puntos
de la
el
monopolo.
precisos
polo
tangente
norte
sino
dePor
de
una
más
un
esta
línea
bien
imán
razón,
deen
campo.
deregiones
las
barra,
líneasocerca
de
la campo
dirección
de losmagnético
extremos
en que
forman
del
apunta
imán.
lalazos
agujacerrados
de una brújula.
(solenoides). Fuera del imán las
líneas van del polo norte al polo sur; dentro del imán se
dirigen del polo sur al polo norte.
Luis F Millán B
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N
S N
N
S
SN
S
N SN
S N S
N
S
S
N
Cuando tenemos dos imanes y encaramos polos diferentes
(norte-sur) se produce una fuerza de atracción.
Si colocamos dos imanes enfrentando polos iguales
(norte-norte o sur-sur) se genera una fuerza de repulsión.
Luis F Millán B
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N
S
Cuando tenemos un imán recto y colocamos una brújula o
limaduras de hierro cerca de este, la brújula y las
limaduras se alinean en ciertas direcciones, y se agolpan
mas densamente cerca de los polos, es decir, es mas
intenso el campo magnético cerca de los polos.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Cuando tenemos dos imanes y encaramos polos diferentes
(norte-sur) se produce una fuerza de atracción.
Si colocamos dos imanes enfrentando polos iguales
(norte-norte o sur-sur) se genera una fuerza de repulsión y
las líneas de el campo magnético tienden a separarse.
S
Luis F Millán B
N
N
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S
N
Luis F Millán B
S
Para distintos imanes, las
brújulas o las limaduras de
hierro esparcidas cerca de los
tienen
distintos
patrones
característicos.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Luis F Millán B
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I
Consideremos un conductor que corta un plano y
transporta una corriente eléctrica I.
del oalambre
que
Cuando esparcimos limaduras deVista
hierro
colocamos
conduce eléctrica,
una corriente
brújulas cerca de una corriente
los
I por encima.
alineamientos son concéntricos alrededor
del conductor
que transporta la corriente I, este es un indicio que las
fuerzas magnéticas se relación con cargas en
movimiento.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
La
En
el estudio de
de
demuestra
la mecánica
que ensetoda
encontró
región que
del espacio,
en una
7.5 experiencia
Definición
campo
magnético
región se
donde
delencuentra
espacio donde
una carga
se encuentre
en movimiento,
una masa,
existeestá
un
genera un
campo
magnético
campo gravitacional,
el cuál ejercesi su
dentro
acción
de ese
sobre
campo
otra
colocamos
carga,
también
otroencuerpo
movimiento,
se genera
queuna
se encuentra
fuerza deencarácter
dichas
gravitacional.
región.
Con el propósito
Durante
el estudio de la
introducir
electrostática
una magnitud
concluimosque
quenos
en
una región del
caracterice
el campo
espacio magnético
donde se encuentra
nos basaremos
una carga
en en
el
reposo, allí existe
experimento,
suponemos
un campo
queelectroestático,
en estos experimentos
si dentro de
se
ese campo
realizan
en un
eléctrico
entornocolocamos
en el que otra
otrascarga
fuerzas,
se genera
como launa
de
fuerza
la
gravedad,
de carácter
puedan
eléctrico.
despreciarse.
Luis F Millán B
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Z
Imaginémonos que tenemos un imán recto con su polo
norte N orientado en la dirección i
^
S
B
N
Y
Luis F Millán B
+
X
Supongamos que la carga Q positiva
se
mueve con una determinada
velocidad dentro de este campo
formando un ángulo con respecto a
las líneas de campo magnético.
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Z
F
A medida que el
Cuando
la
ángulo crece hasta
velocidad
es
90° la fuerza va
paralela a las
F
aumentado hasta
líneas del campo
B
hacerse máxima,
F
magnético no se
F
luego empieza a
observa ninguna
decrecer, cuando la
X
+ a a
+ aa
+
interacción.
a
velocidad y las
+
+ líneas de campo
+
son antiparalelos la
+
+
fuerza nuevamente
+
Y
se hace cero, es
decir, F a sen a,
teniendo la carga y la velocidad constantes.
Luis F Millán B
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Z
F
F
B
F
X
a
+++
++
+
Y
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Ahora,
A medida
dejaremos
que la
constante
carga aumenta el
la
ángulo
fuerza aumentacon
en
respecto
igual proporción,
a las
líneas
por de campo
tanto,
y
la
concluimos
velocidad,
que la
y
variaremos
la
FaQ
magnitud de la
carga.
Z
F
F
B
F
X
a
+
+
+
Y
La F es directamente
proporcional a la magnitud de la v
cuando la carga y el ángulo con respecto a las líneas de
campo permanecen constantes.
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F a Q v Sen a
la magnitud de la fuerza viene dada por:
F = Q v B Sen a
Por definición del producto vectorial
FaQ
Fav
F a sen q
F=Qv
B
F F
La dirección de la fuerza para una carga negativa la da la
regla de la mano derecha.
F
v
-
B
F, v y B son perpendiculares entre si.
Luis F Millán B
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F
B
v
el vector campo magnético entra a la palma de la mano, el
vector velocidad sale de la palma de la mano hacia el
dedo del corazón y el vector fuerza magnética tiene la
dirección del dedo pulgar. La dirección de la fuerza para
una carga positiva tiene sentido contrario.
Luis F Millán B
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Regla de la mano derecha para una carga negativa.
v
v
-

B
F
 es un vector que entra a la pantalla
es un vector que sale de la pantalla
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
F
Regla de la mano derecha para
F una carga negativa F
B
B
F
v
B
v
F
F
B
v
F
Luis F Millán B
v
v
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
v
B

B
F=Qv
B
La unidad del campo magnético es la tesla T, como:
N = C * m/s * B  B = (N*s) / (C*m), multiplicando por
m B = (N*m*s / C)*(1/m2) = (J*s / C)*(1/m2)
B = (J / A) / (1/m2) = Weber / m2 = T = Tesla
 Weber = T * m2
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En 1888
Tesla
Tesla(1856-1943)
diseñó el primer
nació en
sistema
Croacia,
práctico
Ingeniero
para
Nikola
Tesla
generar y transmitir
electrotécnico
e inventor
corriente
nacionalizado
alterna para
estadounidense,
sistemas de
energía eléctrica.
reconocido
como unoLos
de losderechos
más destacados
de esepioneros
invento,
en
trascendental,
el
campo de laenenergía
esa época,
eléctrica,
fueron
trabajó
comprados
para Thomas
por el
inventor estadounidense
Edison,
pero abandonóGeorge
el cargo
Westinghouse.
para dedicarse
Dos años
en
más tarde los
exclusiva
a la
motores
investigación
de corriente
experimental
alterna de yTesla
a se
la
instalaron en
invención.
la el
unidad
diseñodel
devector
energíacampo
eléctrica
magnético
de las cataratas
B lleva
delnombre.
su
Niágara.
Entre los muchos inventos de Tesla se encuentran los
generadores de alta frecuencia (1890) y la bobina de Tesla
(1891), un transformador con importantes aplicaciones en
el campo de las comunicaciones por radio.
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La cola de una flecha (vector)
se utiliza para denotar el
campo magnético que entra a
la pantalla. La
figura
representa
un
campo
magnético que entra a la
pantalla.
La cabeza de una flecha (vector)
se utiliza para denotar el campo
magnético que sale de la pantalla.
La
figura representa un campo
magnético que sale de la pantalla.
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Para una carga negativa la multiplicación de vectores
unitarios para el producto vectorial viene dado por:
^ik ^ki = ^-j ^j ^i ^ji ^ij = ^-k^k
^k ^j
^kj ^jk = ^-i ^i
^i ^i = 0
Luis F Millán B
^j ^j = 0
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^k ^k = 0
La fuerza
Cuando
fuerza
Varias
una
gravitacional
carga
diferencias
gravitacional
se mueve
efectúa
es
importantes
unacon
actúa
interacción
ununa
trabajo
entre
sobre
velocidad
al
la
únicamente
fuerza
desplazar
unav dentro
masa
un
de
atracción
independientemente
de
cuerpo,
un campo
la fuerza
ygravitacional,
siempre
magnético,
eléctrica
deestá
laeléctrica
efectúa
velocidad
en
el campo
laytrabajo
dirección
magnética.
delmagnético
cuerpo,
al desplazar
della campo
fuerza
puede
una
gravitacional
eléctrica
alterar
partícula
la dirección
cargada,
actúa
g, la fuerza
en
del
sobre
tanto
vector
eléctrica
una
que
velocidad,
puede
lapartícula
fuerza
ser
pero
demagnética
no
atracción
cargada
puede
o de repulsión
independientemente
variar
asociada
la amagnitud
un campo
y siempre
delmagnético
devector
laestavelocidad
velocidad.
enestable
la dirección
no
de realiza
la del
partícula,
trabajo
campo
eléctrico,
mientras
cuando
desplaza
que
enla fuerza
tanto
una partícula.
magnética
que la actúa
fuerzaúnicamente
magnéticasobre
es
perpendicular
una
partícula al
encampo
movimiento.
magnético.
Luis F Millán B
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Para una carga positiva la dirección de la fuerza la da
regla de la mano izquierda, el vector campo magnético
F velocidad sale de la
entraF a la palma de la mano, el vector
palma de la mano hacia el dedo del corazón y el vector
fuerza magnética tiene la dirección del dedo pulgar.
v
+

v
B El 
campo
hacia
la palma
de la la
mano
y es
es unentra
vector
B que
entra hacia
pantalla
perpendicular a la fuerza y a la velocidad.
Luis F Millán B
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Considere7.1
un protón cerca del ecuador ¿En que dirección
Ejemplo
tendería a desviarse si su velocidad esta dirigida a) hacia
abajo b) hacia el sur c) hacia arriba?
N
a)
B
v
O
F

E
Nota: Cuando se trata de una partícula de carga positiva
se utiliza la reglaS de la mano izquierda.
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Como el campo magnético y la velocidad son
antiparalelos por definición del producto vectorial la
fuerza neta es cero.
N
b)
B
O
E
v
S
Luis F Millán B
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N
c)
B
O F
E
v
S
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En una región
donde hay un campo magnético de 2 T
Ejemplo
7.2
dirigido en la dirección +x. Un electrón se mueve con una
velocidad de 5*106 m/s a lo largo del eje +z. Calcule la
fuerza magnética y la aceleración sobre el electrón.
F=Qv B
k 2 T^
i = -1.6*10-12 N^
j
F = -1.6*10*10-19 C * 5*106 m/s ^
v
B
j / 9.1*10-31 Kg
F = m a a = F *(1/m) = -1.6*10-12 N ^
j
a = -1.76*1018 m/s2^
Luis F Millán B
En la dirección +Z
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En una región
donde hay un campo magnético de 2 T
Ejemplo
7.3
dirigido en la dirección +x. Un protón se mueve con una
velocidad de 5*106 m/s a lo largo del eje +z. Calcule la
fuerza magnética y la aceleración sobre el protón.
F=Qv B
k
F = +1.6*10-19 C * 5*106 m/s^
v

i = +1.6*10-12 N(-^
j)
2T ^
B
-12 N
-27 Kg
^j / 1.67*10
El
fuerza
magnética
sobre un
protón
tiene sentido
F =vector
m a a
= F *(1/m)
= +1.6*10
14 m/s2sobre
^j un electrón.
contrario a laa fuerza
magnética
= +9.58*10
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un protón7.4
se mueve en una región donde existe un campo
Ejemplo
magnético: si
i - 3^
j + 4^
k )m/s y B = (2^
i + 4^
j -^
k )T
v = (5^
Cual es el valor de la fuerza magnética que esta carga
experimenta.
F=Qv
B
i - 3^
j + 4^
k ) m/s
F = 1.6*10-19 C *(5^
j -^
k )T
(2^
i + 4^
i + 13^
j + 26^
k)m/s*T
F = 1.6*10-19 C *(-13 ^
F = (1.6*10-19 * 31.84) N = 5.09*10-18 N
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Si
alguna
región del espacio un campo eléctrico E,
7.6 en
Fuerza
de Lorentz
como un campo magnético B actúan sobre una partícula
cargada la fuerza neta sobre ella se le llama fuerza de
lorentz y se expresa como
F = Fe + F m = Q E + Q v
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
B
Un electrón
Ejemplo
7.5 en un campo eléctrico y magnético uniforme
tiene una velocidad de 2*104 m/s en la dirección +X y
una aceleración constante de 3*1017 m/s2 en la dirección
+Z. Si el campo eléctrico tiene una intensidad de 30 N/C
en la dirección +Z ¿cuál es el campo magnético en la
región?
F=QE+Qv B=ma
–Q (E + v
E+v
B) = m a
B = m a /(– Q)
v^
B^
j = (– m a /Q – E)^
k
i
B = (– m a /Q – E ) / v
j
B = -2.35*10-3 T^
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
7.7 Fuerza sobre un conductor que lleva una corriente.
Cuando se coloca un alambre dentro
de un campo magnético, no
experimenta fuerza alguna. El
movimiento de los electrones libres
están orientados al azar, por tanto la
fuerza neta es cero.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
v
B
Consideremos
campo magnético
Cuando por ununconductor
fluye una
que
entra a Ila pantalla
y colocamos
un
corriente
los electrones
libres
conductor
que pequeña
lleva unavelocidad
corrientedeI
adquieren una
dentro
campo.una fuerza que es
arrastre,deveste
d y sienten
transmitida al alambre. Como el campo
magnético entra a la pantalla, la
corriente va hacia arriba entonces los
electrones de conducción hacen que el
conductor se deflecte hacia la derecha.
F
Luis F Millán B
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F
B
Cuando se invierte la corriente los
electrones libres de conducción
hacen que el conductor se desvié
hacia la izquierda.
v
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Supongamos que tenemos un campo magnético uniforme
que sale de la pantalla. Colocamos dentro de este campo
un conductor cilíndrico de sección transversal A y
longitud l que lleva una corriente I.
B Para una sola partícula la fuerza magnética
v
es: F = Q v B
Como el numero de partículas que hay en
el conductor es (A l) n, entonces la fuerza.
F
F = (Q v B)*A*l*n
Pero I = A*v*n*Q, entonces,
F = (A*l*n Q v B)
F=Il B
F = (A*v*n*Q*l B)
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Consideremos un alambre de longitud l de sección
transversal uniforme y de forma arbitraria. Que transporta
una corriente I y se encuentra inmerso en un campo
magnético uniforme.
dF
La fuerza magnética para un segmento muy pequeño dl
en presencia de un campo magnético B es
dF = dQ v B
Como dQ = I dt, y, v = dl / dt  dQ v = (I dt)(dl / dt) = I dl
dF = I dl
B

F = I dl
B
La integral se evalúa en un trayecto finito a y b
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un
alambre
Ejemplo
7.6 que conduce cargas negativas de sección
F
recta de 1 m
Z de largo conduce una corriente constante de
1.5 A en la dirección +X. El alambre se encuentra
inmerso dentro de un campo magnético uniforme de 10 T
en la dirección +Y. ¿cuál es la fuerza magnética que actúa
sobre el alambre?
I X
F=Il
F = 1.5 A * 1 m ^
i
Luis F Millán B
B
j = 15 N ^
10 T ^
k
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un cubo 7.7
tiene 40 cm en cada arista. Cuatro segmentos de
Ejemplo
alambre ab, bc, cd y da, forman una lazo cerrado que
conduce una corriente I = 5 A en la dirección de la figura.
Un campo magnético B = 0.020 T en la dirección +Z.
Determine la magnitud
y la dirección de la fuerza
Z
B
magnética sobre cada segmento.a
d
b
X
c
Y
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Fab = 5A * 0.4 m( -^
k)
0.02 T ^
k =0
k = 0.04 N ^
0.02 T ^
i
^ + ^k ) 0.02 T ^k = 0.04 N ^j
Fbc = 5 A * 0.40 m ( -i
j ) 0.02 T ^
j- ^
i)
Fbc = 5 A * 0.40 m (^
k = 0.04 N(- ^
i -^
BZ
a
j
Fbc = 5 A * 0.40 m ^
d
b
X
c
Y
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejemplo 7.8
R
k
Luis F Millán B
e
k
El circuito en la figura se compone
de alambres en la parte superior y en
la inferior y de resortes metálicos
idénticos a cada lado. El alambre del
fondo tiene una masa de 10 gr y
mide 5 cm de longitud. Los resortes
se alargan 50 cm bajo el peso del
alambre, el circuito tiene una
resistencia total de
12 W y una
batería es de 24 V.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
R
k
Luis F Millán B
e
k
Cuando el circuito se emerge en un
campo magnético, que apunta hacia
fuera de la pantalla. Los resortes se
alargan 30 cm adicionales ¿cuál es
la intensidad del campo magnético.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
e
R
k
k
kx1
kx1
Cuando se coloca el alambre del
fondo, se cierra el circuito y comienza
a fluir corriente. Las fuerzas que
actúan en alambre del fondo son; el
peso del alambre mg y dos fuerzas
laterales de elasticidad kx1. Para que el
sistema este en equilibrio se necesita
que: 2 (kx1) - mg = 0, entonces, la
constante elástica del resorte es:
k = mg / (2x1) = 0.098 N/m
mg
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
e
R
k
k
kx2
kx2
Al sumergir
circuito
campo
2 kx2 el
– mg
– Fm en
= 0un
magnético2que
kx2 sale
– mgde=laILB
pantalla, la
Fm dirigida
Pero;
hacia
k = mg
abajo
/ (2x
hace
1) que el
resorte se deforme una longitud
 2(mg / (2x1)) x2 – mg = ILB
adicional x2. Ahora, las fuerzas que
 mg (x2 / x1 – 1) = (e/R)LB 
actúan en el alambre son; dos
B = ((R /e ) mg ( x2 / x1 – 1)) / L
fuerzas laterales kx2 dirigidas hacia
arriba, el peso
 Bdel
= 0.588
alambre
T mg y la
fuerza magnética ILB dirigidas
hacia abajo. Para que el sistema
este en equilibrio se requiere que:
mg ILB
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
v ensemicircular.
Un
Fuerza
alambre
sobre
se conductor
dobla
forma de lazo semicircular
Ejemplo
7.9 un
cerrado de radio r y suFplano
es perpendicular a un campo
x
Fx
q
q la pantalla, si una
magnético uniforme B que sale de
Fy
Fy Halle
carga positiva se mueve
dentro
lazo.
la fuerza
r Fdel
v
m
Fm
neta sobre el lazo.
Para el semicírculo tomamos dos puntos simétricos
notamos que Fm, v y B son perpendiculares. Se observa
que la fuerza magnética esta dirigida hacia el centro del
semicírculo, la suma de las componentes de la Fm a lo
largo del eje x es cero, mientras que la fuerza neta esta en
la dirección –Y.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
dl = rdq
dq
q
v
Fm
r
 
F = I BdF
l=dl
varia
^j dl0 y 2r
Fdl=F=;I2el
Isector
2rBIB=
r entre
BI recto
B
Para
dFFyFyy===dFI IrSenq=(I
I (rdq)
rBB Senqdq;qvaria
Senqdq;qvaria
entre
oo yyBppSenq
j=entre
Fydl
= B)
-2
2 IISenq
rrBB ^
y
yy
y
La fuerza neta para el lazo semicircular cerrado es cero.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Consideremos
En
los
los trayectos
trayectos
un
laterales
superior
rectangular
por
e inferior
donde circula
de
quelongitud
conduce
la corriente
(b),una
laI
7.8
Par
en
un lazo
delazo
corriente
y el campo
corriente
IIen
magnético
y presencia
el campo
Bde
son
magnético
unperpendiculares,
campo magnético
B son por
paralelos
uniforme
tanto, lay
fuerza
en
antiparalelos
la dirección
neta hace
respectivamente,
+X
que
paralela
la espira
al rota
plano
por en
tanto,
del
sentido
lazo.
la fuerza
horario
neta es
cero en estos segmentos.
Vista desde arriba
I
B
F2
a
F1
b
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
F2 Vista desde arriba
.
I
B
b
F1
El momento de torsión neto
tn = tF1 + tF2 = 2 F (b/2)
= F b = (I a B) b
tn = I (a b) B = I A B. Por que ab es el área del lazo.
^
tn = I A B n
tn = I A B
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Consideremos un lazo rectangular que conduce una
corriente I en presencia de un campo magnético uniforme
en la dirección +X, el lazo y las líneas de campo no son
paralelos y por conveniencia tomaremos a B
perpendicular al lado b del lazo.
b
B
F2
F1
F4
Luis F Millán B
F3
a
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
El momento de torsión neto
tn = tF2 + tF4 = 2 F (b/2 Sena) = F (b sena)
tn = I a B b Sena = I (a b) B Sena=I A B Sena
la magnitud del momento de torsión es tn = I A B Sena
Es conveniente expresar
F2
a b/2
el momento de torsión
b/2 Sen a
en forma vectorial como
a
b/2
el producto cruz,
F4
A
tn = I A B
Donde A es un vector perpendicular al plano del lazo y su
magnitudm es igual al área del lazo, N es el numero de
espiras.
El momento magnético mes m= N I A n tn = m B
^
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Por un lazo
Ejemplo
7.10que tiene forma de circunferencia de 0.25 m
de radio circula una corriente de 200 mA. Un campo
magnético de 0.5 T se dirige paralelo al plano del lazo a)
calcule el momento magnético del lazo b)¿cuál es el
campo magnético del momento mantiene ejercido sobre
el lazo por el campo magnético?
m
m= I A = 0.2 A * (pr2) = 0.039 A m2
tn = m
B = 0.020 N m
A
I
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
^
Ejemplo 7.11
El lazo cuadrado
m= N I Aden la figura tiene
B lados de 10 cm, consta de 10
vueltas
y lleva
unaq+Sen
corriente
de 0.5
i
j
m= N
I A (Cos
(-q))
A, el campo magnético esta en la
dirección +X Cos
y forma
un
ángulo
q
q
i
q
de 37° con lasq líneas de campo
Sen (-q)
magnético. Encuentre
a) j el
momento magnético b) el par en el
lazo
m= 10 * 0.5 A * (0.10 m)2 *(Cosq+Sen(-q))
j
i
^
^
^
^
^
^
^
j)Am
= (0.04^
i - 0.03^
^
m= (0.04 i - 0.03 A m2 j ) A m2
tn = m
B
Luis F Millán B
2
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
^
^
2 T i = - 0.06 Nm k
Una7.9
partícula
cargadadeenpartículas
movimiento
dentroendecampos
un campo
Movimientos
cargadas
magnético experimentamagnéticos
una fuerza. Supongamos que
tenemos una partícula negativa moviéndose en un campo
magnético dirigido verticalmente hacia arriba.
Debido a que la velocidad v y el
campo
magnético
B
son
perpendiculares
la
partícula
experimenta una fuerza de magnitud
constante, dirigida hacia el centro y
perpendicular tanto a v como a B.
Veamos la figura por arriba.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
v
r
FF
F
v
v
Como la partícula con carga
negativa experimenta una fuerza
constante dirigida hacia el
centro, entonces, debe de tener
una aceleración centrípeta o
radial que le hace cambiar
constantemente la dirección del
vector velocidad. De la segunda
ley de Newton la Fc = m ac.
La Fc es la magnitud de la fuerza magnética Q v B Q v
B = m (v2 / r) v = Q B r / m. Como v = 2 p r / T ;
Q B r / m. = 2 p r / T p = 2 pm / (Q B)
y T = 1/f  f (frecuencia ciclotrónica) = Q B (2 pm)
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un protón
que se mueve en una trayectoria circular
Ejemplo
7.12
perpendicular a un campo magnético constante que sale
de la pantalla tarda 2 ms para dar una revolución.
Determine la magnitud del campo.
r
F
Fc = m ac. Q v B = m (v2 / r) 
v = QBr / m, y, v = 2pr / T ;
2pr / T = QBr / m. 
B
= 2pm / (PQ) La masa del protón es
1.67*10-27 Kg, la carga es +1.6*10-19 C,
v
T es 2 ms
B = 32.79 mT
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un protón
de rayos cósmicos en el espacio interestelar
Ejemplo
7.13
tiene una energía de 10 MeV (Mega electrón-voltio) y
ejecuta una orbita circular con un radio igual a la orbita
de mercurio alrededor del sol 5.8*1010 m. ¿cuál es el
campo magnético en esa región del espacio.
Ec = 10MeV =10*106 eV*(1.6*10-19 J / 1 eV)
Ec =1.6*10-12 J = K
La energía cinética del protón es K = ½mv2 
v = (2K/m) de la segunda ley de Newton QvB = mv2/ r
v = QBr / m \ igualando;(2K/m) = QBr / m 
=(2Km) / (Qr)  B = 7.88*10-12 T
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Selector
de velocidad
7.10 Aplicación
de campos eléctricos y magnéticos
combinados
++ + +
+ + +magnético
+ +
Supongamos que+tenemos
un+campo
uniforme
B que entra a la pantalla, colocamos unas placas planas y
paralelas con un campo eléctrico uniforme E dirigido
verticalmente hacia
- -abajo.
- - - - - - - - -
Para que la
no seuna
deflecte
en con
los
Lanzamos
porpartícula
el puntopositiva
equidistante
partícula
campos
cruzados
fuerza
la fuerza de Lorentz debe
carga
positiva
que
logreneta
desviarse.
Fm sin
= Fla
E ; E Q = Q v Bo v = E / B
ser cero, por tanto. la magnitud de la fuerza eléctrica Q
E, deber ser igual a la magnitud de la fuerza magnética Q
v B.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Espectrómetro
El
espectrómetro
de masas
dealmasas
separa
iones
Después
de entrar
segundo
campo
de acuerdo
conellaion
relación
entre
magnético
se mueve
en la
unmasa
P
y semicírculo
la carga, undehaz
de
iones
pasa
primero
radio r antes de incidir
porenun
de velocidad
después
unaselector
placa fotográfica
en P.yDe
la
entrasegunda
a un segundo
campo tenemos:
magnético Bo
ley de Newton
2 / rla pantalla.
dirigido hacia Fadentro
c = m vde
r
+ ++ + + + + + + + +
B
Bo
- - - - - - - - - -
-
Q v Bo = m (v2 / r) la relación es (m / Q) = Bo r / v
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Espectrógrafo de masas
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un selector
Ejemplo
7.14de velocidades se compone de un campo
eléctrico en la dirección +Z y un campo magnético en la
dirección +Y. Si B = 0.015 T, determine el valor de E tal
que un electrón de 750 eV que se mueve a lo largo del eje
+X no se desvié.
Z Para que el electrón no se desvié se
necesita que la magnitud del campo
E
eléctrico sea igual a la magnitud del campo
magnético.
v
X
QvB = QE v = E / Q
B
750 eV = 750 eV (1.6*10-19 J / 1 eV) = 1.2 *10-16 J
Y
La energía cinética K = ½mv2 v = (2K/m)
v = E / B =(2K/m) ; B = 2.45*105 N/C
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
El
Se
aceleran
iones
es =un-de
núcleo
deuterio
acontiene
protón
diferencia
Ejemplo
7.15
De deuterón
la C.E.
DK
DU
½que
mv
btravés
- ½ mvde
aun
=una
-Q(V
b –yVun
a)
neutron
de
potencial
de 45
del
iones
puede
la
va = la
0 masa
½
mvKV.
bneutron
= QLos
(Vase
–V
b) entran
ya considerar
que aVun
b <selector
Vigual
a \ a de
-27 Kg.
6 m/s es
masa
velocidad
del
protón
en
el
cual
1.67*10
la
intensidad
del campo
eléctrico
½ mvb = Q DV vb = (2 Q DV/m)
= 2.08*10
de 2.5
Luego continúan
magnético
ConKV/m.
esta velocidad
salen los por
ionesundecampo
deuterio
del
uniforme que tiene
la misma
intensidad y dirección del
selector
de velocidad
flujo que el campo magnético en el selector de velocidad.
Cuales son a) el radio de orbita de los deuterones? b) su
velocidad? c) ¿cuál es la intensidad del campo
b
magnético?. a
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
P
+ ++ + + + +++
B
r
- - - - - - - ---
Bo
B = Bo; DV = 45000 V
E = 2500 V/m
vf = 2.08*106 m/s
Para el selector de
velocidad Fe = Fm 
E Q = Q v Bo \ B = E / v
Bo = 1.2 mT = B
Cuando los iones de deuterio entran al campo magnético
Bo describen un semicírculo. De la segunda ley de
Newton ;Fc = m ac Q v Bo = m (v2 / r) 
r = mv / (Q B) = 36.18 m
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
7.11 Auto-evaluación
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Considere7.1un electrón cerca del ecuador ¿En que
Ejercicio
dirección tendería a desviarse si su velocidad esta dirigida
a) hacia abajo b) hacia el este?
R) a) Hacia el Oeste b) Hacia dentro
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En el ecuador,
Ejercicio
7.2 cerca de la superficie de la tierra, el campo
magnético es de aproximadamente de 100 mT con
dirección norte y el valor del campo eléctrico es de
alrededor de 50 N/C hacia abajo. Encuentre la fuerza
gravitacional, eléctrica y magnética sobre un electrón que
tiene 20 ev de energía que se mueve en dirección este en
una línea recta en ese ambiente.
R) FE = 8*10-18 N y Fm = 4.24*10-17 N
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un electrón
Ejercicio
7.3 tiene una velocidad de 1*106 m/s en la
dirección +Z en un campo magnético B de 0.20 T en la
dirección –X ¿cuál es la magnitud y dirección de la fuerza
sobre el electrón?
R)
Luis F Millán B
j)
F = -3.2*10-12 N(-^
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un protón7.4
tiene una velocidad de 1E6 m/s en la dirección
Ejercicio
+Z en un campo magnético B de 0.20 T en la dirección
–X ¿cuál es la fuerza sobre el electrón?
R)
Luis F Millán B
j
F = 3.2*10-12 N^
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un electrón
Ejercicio
7.5 se mueve en una región donde existe un
campo magnético: si
i - 3^
j + 4^
k )m/s y B = (2^
i + 4^
j -^
k )T
v = (5^
Cual es el valor de la fuerza magnética que esta carga
experimenta.
R) F = -5.09*10-18 N
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un protón7.6
en un campo eléctrico y magnético uniforme
Ejercicio
tiene una velocidad de 2*104 m/s en la dirección +X y
una aceleración constante de 10*108 m/s2 en la dirección
+Z. Si el campo eléctrico tiene una intensidad de 10 N/C
en la dirección +Z ¿cuál es la magnitud y dirección del
campo magnético en la región?
R)
Luis F Millán B
j)
B = +2.19*10-5 T(-^
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un alambre
Ejercicio
7.7 que conduce cargas negativas de sección
recta de 1 m de largo conduce una corriente constante de
1.5 A en la dirección -X. El alambre se encuentra inmerso
dentro de un campo magnético uniforme de 10 T en la
dirección -Y. ¿cuál es la magnitud y la dirección de la
fuerza magnética que actúa sobre el alambre?
R)
Luis F Millán B
F = 15 N^
k
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un cubo 7.8
tiene 40 cm en cada arista. Un segmento de
Ejercicio
alambre ab a lo largo de la diagonal principal conduce
una corriente I = 5 A en la dirección de la figura. Un
campo magnético B = 0.020 T en la dirección +Z.
Determine a) el vector fuerza magnética b) la magnitud
BZ
de la fuerza magnética
sobre el segmento.
b
a) Fab = 0.04 N(^
i +^
j)
a
Y
Luis F Millán B
X
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
b) Fab = 0.08 N
Un conductor
suspendido por dos
Ejercicio
7.9
alambres flexibles, como en la figura tiene
una masa por unidad de longitud l de
0.05 Kg/m ¿qué corriente debe existir en
el conductor para que la tensión en los
alambres de soporte sea cero cuando el
campo magnético es de 4.0 T hacia el
interior de la pantalla? ¿cuál es la
dirección requerida para la corriente?.
l representa la masa en la unidad de
longitud l = m / l.
R) I=0.13 A. Hacia izquierda en el sentido que se
mueven las cargas negativas.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 7.10
r
En la figura un alambre se dobla en forma de lazo
semicircular cerrado de radio r y su plano es
perpendicular a un campo magnético uniforme B que
entra a la pantalla, si una carga negativa se mueve dentro
del lazo. Halle la fuerza neta sobre el lazo.
R) F = 0
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Por un lazo
Ejercicio
7.11que tiene forma de cuadrada 0.80 m de lado
circula una corriente de 200 mA. Un campo magnético de
0.5 T se dirige paralelo al plano del lazo a) ¿calcule el
momento magnético del lazo y el momento de torsión?
m= 0.128 A m2
Luis F Millán B
tn = m
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
B = 0.064 N m
Un electrón
con una energía cinética K de 100*103 ev se
Ejercicio
7.12
mueve perpendicularmente a las líneas de un campo
magnético B uniforme de 100 mT. ¿Cual es el periodo P y
el radio de la orbita?
R)
Luis F Millán B
r = 45.69 m; el periodo p = 65.58 ms
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En un campo
Ejercicio
7.13 magnético con B = 1 mT a) ¿cuál será el
radio de trayectoria circular si un electrón viaja al 30%
de la velocidad de la luz c? b) ¿cuál será su energía
cinética en electrón voltios?
R) r = 0.51 m y
Luis F Millán B
K = 23062.5 eV
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Considere7.14
un deuterón que se mueve en
Ejercicio
línea recta por un selector de velocidad
como se muestra en la figura. El campo
eléctrico en el selector de velocidad es
r
1000 V/m y el campo magnético B es de
0.05T.
+ ++ + + +
r
Luego
recorre
un
semicírculo de radio r
en un espectrógrafo de
- - - - - masas que tiene un
campo
magnético
B = 250 mT. Calcule el radio de la trayectoria semicircular.
R)
Luis F Millán B
r = 1.67 m
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
7.12 Solucionarlo
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 7.1
N
ba
B
v
F
O F
v
S
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
E
S 7.220 eV = 20 eV (1.6*10-19 J / 1 eV) = 3.2*10-18 J
Fg = mg = 8.92*10-30 N
FE = QE = 8*10-18 N
Fm = QvB; la energía cinética K = ½ mv2 
v = (2K/m) = 2.65*106 m/s \
Fm = QvB = 4.24*10-17 N
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 7.3
Z
v
F
B
Y
X
F=Qv
F = -1.6*10-19 C* 1*106 m/s^
k
Luis F Millán B
B
j)
0.2 T(-^
i ) = -3.2*10-12 N(-^
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 7.4
Z
v
B
Y
X
F
F=Qv
B
j
F = 1.6*10-19 C * 1*106 m/s^
k 0.2 T(-^
i ) = 3.2*10-12 N^
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 7.5
F=Qv
B
i - 3^
j + 4^
k ) m/s
F = -1.6*10-19 C*(5^
j -^
(2^
i + 4^
k )T
i + 13^
j + 26^
k ) m/s*T
F = -1.6-19 C * (-13^
F = (-1.6*10-19 * 31.84) N = -5.09*10-18 N
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 7.6
F=QE+Qv
+Q (E + v
E+v
B=ma
B) = m a
B=ma/Q
v^
j ) = ( m a /Q – E)^
k Z
i B(-^
B = ( m a /Q – E ) / v
j)
B = +2.19*10-5 T(-^
F
B
v
Y
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
X
F
S 7.7
Z
I
X
F=Il
F = 1.5 A * 1 m (-^
i)
Luis F Millán B
B
j ) = 15 N ^
10 T (- ^
k
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 7.8
B
Z
b
a
X
dF = I dl
B
j +^
Fab = 5 A * 0.40 m (- ^
k)
i+ ^
Y
0.02 T ^
k
Fab = 0.04 N(^
i +^
j)
Fab = 0.04 N 2 = 0.08 N
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Para
S
7.9 que la tensión en los alambres sea
cero la fuerza gravitacional mg y la
fuerza magnética IlB deben ser iguales.
Tomaremos el sentido como se moverían
las cargas negativas.
Fm = IlB
IlB = mg = (ll) g I=l g / B = 0.13 A
La dirección de la corriente es hacia izquierda Fg = mg
en el sentido que se mueven las cargas
negativas.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 7.10
v
dl = rdq
v
Fx
q
dq
Fy
Fm
q
FFmx q
r
Fm
v
Fy
 
Para
sector
recto
F dl==F;el
2Il =
Ivaria
r2BI =
F = I BdF
dl
IB
^j dl0 y 2r
rentre
B
yF=
2 -2
IB)
r IBSenq
dFy F=y dF
dl
(rdq)o B
Senq
= ISenq=(I
rI B
r BFSenqdq;qvaria
yp
j = Ientre
y=
r B^
y
yy
y
La fuerza neta para el lazo semicircular cerrado es cero.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 7.11
m= I A = 0.2 A * 0.82 = 0.128 A m2
tn = m
A
Luis F Millán B
B = 0.064 N m
m
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 7.12
100*103 eV = 100*103 eV (1.6*10-19 J / 1 ev)
= 1.6*10-14 J
K = ½ mv2  v = (2K/m), 
v = 187.52*106 m/s
r
F
v
Fc = m ac Q v B = m (v2 / r) 
Q B = m v / r 
r = m v / Q B = 10.66 m
v = 2 p r / P el periodo p = 2 p r / v = 0.357 ms
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 7.13
v
r
F
v = 3*108 m/s * 0.30 = 90*106 m/s
a) Fc = m ac Q v B = m (v2 / r)
Q B = m v / r
\ r = m v / Q B = 0.51 m
b) K = ½ mv2 = 3.69*10-15 J
3.69*10-15 J = 3.69*10-15 J (1 eV/ 1.6*10-19 J) = 23062.5 eV
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 7.14
En el selector de velocidad
Fe = Fm EQ = QvB 
v = E / B \ v = 2*104 m/s
F
con esta velocidad entra al
espectrógrafo de masas
+ ++ + + +
Fc = mac QvB = mv2 / r
QB = mv / r
r = mv / QB
r = 1.67 m
Luis F Millán B
- - - - - -
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
r
r