Download Derivada de las funciones trigonométricas.

DERIVADAS
Y GRÁFICAS
U.D. 9 * 1º BCT
@ Angel Prieto Benito
Apuntes 1º Bachillerato CT
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DERIVADA DE LAS
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
U.D. 9.3
@ Angel Prieto Benito
*
1º BCT
Apuntes 1º Bachillerato CT
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LÍMITES EN TRIGONOMETRÍA
•
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•
Observar la figura.
El radio de la circunferencia trigonométrica es la unidad.
Tenemos el ángulo x, el sen x, el arco de longitud x y la tg x
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Podemos poner:
sen x < x < tg x
Dividiendo todo entre sen x queda:
sen x
x
tg x
-------- < --------- < ----------sen x
sen x
sen x
x
1 < --------- < cos x
sen x
•
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•
Cuando x  0  1 < 0 / sen 0 < cos 0
0
Es decir 1 < 0 / sen 0 < 1  Lo que obliga a que --------- = 1
sen 0
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tg x
sen x x
x
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DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
•
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Sea f(x) = sen x
•
•
•
•
Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría:
2.cos [(x+h+x)/2] . sen [(x+h – x)/2]
f ‘ (x) = lím
------------------------------------------------ =
h 0
h
•
•
•
sen (h/2)
sen h/2
= lím cos [x+(h/2)] . ------------- = cos x . Lim ------------ = cos x . 1 = cos x
h 0
h/2
h0
h/2
•
Puesto que hemos visto antes que el último límite vale 1
Aplicando la definición de derivada de una función:
f (x + h) - f(x)
sen (x+h) – sen x
f ‘ (x) = lím ------------------- = lim ------------------------ =
h 0
h
h0
h
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DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
•
•
•
•
•
•
Sea f(x) = cos x
•
•
•
•
Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría:
- 2.sen [(x+h+x)/2] . sen [(x+h – x)/2]
f ‘ (x) = lím
------------------------------------------------ =
h 0
h
•
•
•
sen (h/2)
sen h/2
= lím - sen [x+(h/2)] . ------------- = - sen x . Lim ------------ = - sen x
h 0
h/2
h0
h/2
•
Puesto que se puede comprobar que el último límite vale 1
Aplicando la definición de derivada de una función:
f (x + h) - f(x)
cos (x+h) – cos x
f ‘ (x) = lím ------------------- = lim ------------------------ =
h 0
h
h0
h
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DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
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•
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Sea f(x) = tg x
•
•
•
cos x. cos x – sen x. (- sen x)
(cos x)2 + (sen x)2
1
f ‘ (x) = ------------------------------------------- = ------------------------ = ---------(cos x)2
(cos x)2
(cos x)2
•
•
Como 1/ cos x = sec x
Queda:
•
•
•
f ‘ (x) = 1 / cos2 x
O también
f ‘ (x) = sec2 x
Aplicando la definición de tangente:
tg x = sen x / cos x
Derivando como una división de funciones que es:
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OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
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•
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•
Sea f(x) = sec x
•
•
•
•
•
•
•
•
Sea f(x) = cosec x
Aplicando la definición de secante:
sec x = 1 / cos x
Y se derivaría como una división
– (- sen x)
sen x
tg x
f ‘ (x) = ---------------- = ------------ = ---------(cos x)2
(cos x)2
cos x
Aplicando la definición de cosecante:
cosec x = 1 / sen x
Y se derivaría como una división
– cos x
- cos x
-1
f ‘ (x) = -------------- = ------------ = ---------------(sen x)2
(sen x)2
tg x . sen x
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OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
•
•
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•
•
•
•
•
Sea f(x) = cotg x
•
•
•
•
Sea f(x) = sen g(x)
Sea f(x) = cos g(x)
Sea f(x) = tg g(x)
Etc …
•
Se aplicaría la Regla de la Cadena para funciones compuestas.
Aplicando la definición de secante:
cotg x = cos x / sen x
Y se derivaría como una división
(– sen x).sen x – cos x. cos x
– (sen x)2 – (cos x)2
–1
f ‘ (x) = ----------------------------------------- = --------------------------- = ---------(sen x)2
(sen x)2
(sen x)2
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Ejemplos
•
y = sen x2

y ‘ = cos x2 . 2x
•
y = cos x3

y ‘ = - sen x3 . 3x2
•
y = ln sen x

y ‘ = cos x / sen x = cotg x
•
y = log cos x 
y ‘ = (- sen x / cos x) / ln 10
•
y = sen ln x 
y ‘ = cos ln x . (1 / x)
•
y = sen3 x

y ‘ = 3. sen2 x . cos x
•
y = cos5 x3

y ‘ = 5. cos4 x3 . (– sen x3). 3x2
•
y = √sen x

y ‘ = (1/2) (sen x)-1/2 . cos x
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DERIVADAS DEL ARCO SENO
•
•
•
•
•
•
Sea f(x) = arcsen x
•
•
•
•
•
•
•
•
Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos:
(cos(arcsen x)).(arcsen x)’ = 1
•
Resultando que f ’(x) = 1 / √(1 - x2)
Es la función inversa de f(x) = sen x
Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función.
Como y = sen x e y = arcsen x son funciones inversas:
sen(arcsen x) = x
Como sabemos que: (sen(arcsen x))2 + (cos(arcsen x))2 = 1
También sabemos que sen(arcsen x) = x
Luego x2 + (cos(arcsen x))2 = 1  (cos(arcsen x)) = √(1 - x2)
Despejando:
(arcsen x)’ = 1 / (cos(arcsen x))
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DERIVADAS DEL ARCO COSENO
•
•
•
•
•
•
Sea f(x) = arccos x
•
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•
•
•
•
•
•
Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos:
(- sen(arccos x)).(arccos x)’ = 1
•
Resultando que f ’(x) = – 1 / √(1 - x2)
Es la función inversa de f(x) = cos x
Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función.
Como y = cos x e y = arccos x son funciones inversas:
cos(arccos x) = x
Como sabemos que: (sen(arccos x))2 + (cos(arccos x))2 = 1
También sabemos que cos(arccos x) = x
Luego
(sen(arccos x))2 + x2 = 1  (sen(arccos x)) = √(1 - x2)
Despejando:
(arccos x)’ = 1 / (- sen(arccos x))
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DERIVADAS DEL ARCO TANGENTE
•
•
•
•
•
•
Sea f(x) = arctg x
•
•
•
•
•
•
•
•
Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos:
(1 / (cos(arccos x))2).(arctg x)’ = 1
•
Resultando que f ’(x) = 1 / (x2 + 1)
Es la función inversa de f(x) = tg x
Su dominio es todo R.
Como y = tg x e y = arctg x son funciones inversas:
tg(arctg x) = x
Como sabemos que: 1 / (cos(arccos x))2 = (sec(arctg x))2
También sabemos que (sec(arctg x))2 = (tg(arctg x))2 + 1
Y por último como tg(arctg x) = x  (sec(arctg x))2 = x2 + 1
Despejando:
(arctg x)’ = 1 / (x2 + 1)
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Ejercicios propuestos
•
Aplicando la Regla de la Cadena hallar las derivadas de:
•
y = arcsen x2

y‘=
•
y = arccos x3

y‘=
•
y = ln arcsen x

y‘=
•
y = log arctg x

y‘=
•
y = arctg ex

y‘=
•
y = arcsen3 x

y‘=
•
y = arccos5 x3

y‘=
•
y = √arcsen ex

y‘=
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