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B.- CIRCUITOS ELÉCTRICOS
2.12.- Leyes de Kirchoff.El estudio de los circuitos eléctricos llevó a Kirchoff (1824-1887) a enunciar
las siguientes leyes:
a) la ley de los nudos, que dice: “la suma de las corrientes que entran y salen
de un nudo es cero”.
Esta ley es también una ley de conservación de la carga eléctrica, ya que en el
nudo no hay ni fuentes ni sumideros de carga. Si a la corriente entrante se le da signo
positivo, y a la saliente, negativo, la ley se la puede escribir así:
N
i
j1
j
0
(2.24)
La figura 2.10a muestra un ejemplo de un nudo, al cual llegan las corrientes i1
e i2 y salen las corrientes i3 e i4. La suma total debe ser nula, ya que en el nudo no
puede haber ni fuentes ni sumideros de cargas eléctricas.
b) la ley de las mallas, que dice: “en una malla, la suma algebraica de las tensiones
generadas por las fuentes es igual a la suma de las caídas en las resistencias”. La
escribimos así:
N
M
i
j, k
 ei   R j i k
(2.25)
Es posible demostrar que esta ley también se la puede considerar como una
ley de conservación de la energía, ya que si a la expresión (2.25), se la multiplicara en
el primer miembro por la corriente que circula por la fem, y en el segundo miembro
por la que circula por la resistencia correspondiente, quedaría la expresión en
unidades de potencia eléctrica, o sea de energía en la unidad de tiempo.
En la figura 2.10b damos un ejemplo sobre la utilización de las dos leyes de
Kirchoff. Se pueden distinguir las dos mallas I y II y el nudo A. Para escribir la
ecuación de la malla I con los signos correctos, se debe respetar el sentido de
circulación elegido, que muestra la flecha que envuelve al símbolo I. Lo mismo se
hace para el caso de la malla II. Escribiremos ahora las tres ecuaciones, que nos
permitirían resolverlas para tres incógnitas:
 malla I:
 malla II:
e1 - e2 = i1 R5 + i2 R4 + i1 R1
- e3 + e4 = - i3 R6 - i3 R3 -i3 R2 – i2R4
II B 1
 nudo A:
i1 + i3 - i2 = 0
Estas dos leyes son fundamentales en la resolución de circuitos eléctricos.
Fig. 2.7
2.13.- Asociación de resistencias.Por diferentes circunstancias, es necesario asociar resistencias. Existen dos
formas clásicas: en serie y en paralelo. En la figura 2.7, se pueden ver ambos tipos de
asociaciones. Calcularemos en ambos casos la resistencia equivalente.
Veamos el primero, es decir, la asociación serie. En la figura 2.7 suponemos
por ejemplo 3 resistencias conectadas en serie, sobre las que se aplica una diferencia
de potencial Vab. Se ve que:
Fig. 2.8
Vab = Vac + Vcd + Vdb
i R = i R1 + i R2 + i R3
II B 2
es decir que la resistencia equivalente será la suma de las resistencias conectadas en
serie, o sea:
N
R eq   R i
i 1
(2.26)
y en el caso de la conexión en paralelo, de la figura 2.7, en la que también suponemos
a modo de ejemplo 3 resistencias conectadas en paralelo, sobre las cuales se aplica
una misma diferencia de potencial Vab:
i = i1 + i2 + i3
Vab Vab Vab Vab
=


R R1 R2 R3
o sea que la inversa de la resistencia equivalente será la suma de las inversas de las
resistencias conectadas en paralelo:
N
1
1

R eq i 1 R i
(2.27)
2.14.- Medición de corrientes, diferencias de potencial y resistencias.Los instrumentos de medida de corrientes se basan en la utilización del
descubrimiento de Oersted (1820), y que será descripto en detalle en el capítulo IV,
por el cual una aguja magnética se desvía cuando es aproximada a un conductor por
el cual circula una corriente eléctrica. Además, el
ángulo de desvío es proporcional a la intensidad
de la corriente que circula por el conductor, tal
como se ve en la figura 2.8a
En la figura 2.8b se muestra una forma de
aumentar el ángulo de desvío, para corrientes
pequeñas, haciendo que de esa forma el
instrumento sea más sensible. Ello se logra
colocando la aguja magnética dentro de un
cuadro con muchas vueltas de conductor por el
cual se hace circular la corriente, y cuya
intensidad se quiere medir.
Fig. 2.9
El problema que se presenta es que la presencia del instrumento de medición
en el circuito perturba la corriente que se desea medir, ya que añade la resistencia
propia. Por ello es indispensable que tenga una resistencia interna RAi muy pequeña.
El instrumento, en este caso se denomina amperímetro (A), y se debe conectar en
serie en el circuito, tal como se aprecia en la figura 2.10a.
II B 3
Para la medición de la diferencia de potencial, se utiliza un instrumento
basado en el mismo principio. Pero ahora su conexión se debe efectuar en paralelo, y
su resistencia interna RVi debe ser lo más alta posible. De esta forma, la presencia del
instrumento con alta resistencia interna, impide que derive una corriente iV a través de
él demasiado elevada.
Se trata de que el circuito se perturbe lo menos posible. La figura 2.9b muestra
esta conexión del instrumento, en paralelo con la resistencia entre cuyos bornes se
desea medir la diferencia de potencial.
Para medir una resistencia, es necesario medir la diferencia de potencial entre
sus extremos, la corriente que circula por ella, y hacer el cociente.
El método se aclara en las
figuras 2.9c y 2.9d. En la
primera de dichas figuras, el
amperímetro A, mide la
corriente iR que circula por la
resistencia, y en la segunda
figura mide la corriente
proveniente de la resistencia
iR y del voltímetro iV . En el
caso del voltímetro, en la
figura 2.9c mide la diferencia
de potencial entre los puntos
1 y 2, abarcando la
resistencia
R
y
el
amperímetro A. En la figura
2.9d,
en
cambio,
el
voltímetro V mide la
diferencia de potencial entre
los bornes de la resistencia R
solamente. Por lo tanto, en
Fig. 2.10
cualquiera de los dos tipos de
conexiones que se utilice, se deben hacer las correcciones correspondientes, a menos
que se puedan considerar despreciables.
2.15.- Puente de Wheatstone.Para medir resistencias con gran precisión se utiliza un montaje conocido con
el nombre de puente llamado de Wheatstone (1843). Se utilizan cuatro resistencias
dispuestas en forma de cuadrilátero. Entre dos de los extremos que conforman una de
las diagonales, y por el lado exterior, se instala una diferencia de potencial conocida.
En la otra diagonal, pero por dentro del cuadrilátero, un galvanómetro. Por esta
diagonal pasa una corriente. Se busca el equilibrio del puente, que se logra cuando la
corriente que pasa por el galvanómetro es nula. Ello se logra mediante una resistencia
variable. Así, puede encontrarse el valor de otra resistencia desconocida.
II B 4
Las mediciones realizadas con este método pueden ser extremadamente
precisas, si se dispone de un galvanómetro muy sensible. En los trabajos prácticos se
verá en detalle este sistema de medición de resistencias.
La figura 2.11 muestra un esquema de este circuito. De ella se desprende que
cuando el galvanómetro marca cero, es decir cuando el puente está equilibrado es:
VC = VD
lo que implica que:
VAC = VAD
y VCB = VDB
y de aquí resulta:
i1 Ra = i2 Rb
Fig. 2.11
i1 R x = i2 R c
y el valor de la resistencia incógnita es:
Rx 
Ra Rc
Rb
(2.28)
2.16.- El potenciómetro.La fuerza electromotriz de un generador es igual a la diferencia de potencial
entre los bornes del mismo, cuando no es recorrido por ninguna corriente. En la
práctica esa medida se logra utilizando un voltímetro entre los bornes del generador.
Pero está afectada de un error debido a la resistencia interna del generador. Este error
será tanto menor, cuanto menor sea la resistencia interna del generador respecto de la
resistencia interna del voltímetro. Si la resistencia interna del generador es
considerable, se debe utilizar un voltímetro electrostático para obtener una medida
correcta.
Pero también se puede realizar la medición con gran precisión utilizando un
instrumento de cero, llamado potenciómetro, que compara dos diferencias de
potencial, una de las cuales es conocida. Se trata de conectar en oposición dos fuerzas
electromotrices provenientes de dos pilas por ejemplo, una de las cuales puede ser
una pila patrón.
En la figura 2.12 se ve un esquema del circuito potenciométrico. Una batería
de fem e se conecta en serie con una resistencia variable Rv y con una resistencia R
que se extiende desde los puntos 1 a 2. La diferencia de potencial entre esos puntos es
iR, donde i es una corriente ajustable pero en general no conocida. Si Rc es la
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resistencia entre 1 y C, y Rx entre 1 y X, y si Vc y Vx , representan las respectivas
diferencias de potencial, resulta que:
V12 = i R; V1c = i RC ; V1x = i Rx
de donde se puede determinar V1x , el potencial desconocido:
V1 x 
R x V1 c
Rc
(2.29)
Esto se obtiene logrando que los
galvanómetros G1 y G2 no marquen paso de
corriente y conociendo los valores de Rc y de
Rx . En el caso en el cual ec es una pila patrón,
o sea un valor bien conocido, se puede
determinar V1x= ex. Obsérvese que el hecho de
que no circule corriente por la fem a
determinar proporciona el valor de la misma,
sin tener en cuenta el valor de la resistencia
interna.
Fig. 2.12
2.17.- Teorema de superposición.“La corriente producida en una rama cualquiera de la red, por un conjunto de
generadores, es la suma algebraica de las corrientes producidas en esa rama por cada
una de ellos, suponiendo que está conectado solo, y reemplazando los otros por las
respectivas resistencias internas”.
Este es el enunciado del teorema de superposición, también llamado de
Helmholtz, que se aplica solo a redes lineales, es decir en aquellas donde no hay
elementos no lineales, como por ejemplo resistencias que varían fuertemente con la
intensidad de la corriente, como es el caso de una lámpara incandescente.
Como se ha visto, el método de las mallas muestra que las intensidades son
soluciones de ecuaciones algebraicas lineales. Los segundos miembros de las
ecuaciones son combinaciones lineales y homogéneas de las fem de las fuentes de la
red, y en los primeros, los coeficientes de las intensidades son funciones de las
resistencias de las ramas. Podemos escribir simbólicamente el sistema en forma
matricial:
[ R ][ i ] = [ e ]
donde [ i ] y [ e ] son los vectores columna formados por las corrientes de malla y las
fem en esas mallas respectivamente, y [ R ] es la matriz de esos coeficientes.
Notemos que en [R] intervienen también las resistencias internas de las fuentes.
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Supongamos tener otra distribución de fem en la misma red, donde las
resistencias sean las mismas. En ese caso se tendrá [ e’ ] e [ i’]. La linealidad de las
ecuaciones implica que a la distribución:
a [ e ] + b [ e’ ]
le corresponde:
a [ i ] + b [ i’ ]
que es el teorema de superposición o de Helmholtz.
2.18.- Fuentes de tensión y corriente ideales y reales.Para que un circuito funcione debe tener una fuente que suministre la energía
necesaria, que son las fuentes de tensión o las fuentes de corriente. En lo que sigue
haremos algunas consideraciones sobre ambos tipos de fuentes.
a) Fuente de tensión ideal.
Es aquella que suministra una tensión que no depende del valor de la
resistencia de carga RC (denominamos así a la resistencia en la cual se utiliza la
energía suministrada por la fuente). Una batería cuya resistencia interna r sea cero,
constituye el ejemplo más simple. Si la resistencia de carga varía, la fuente siempre
entrega la misma tensión, variando sólo la corriente que circula por el circuito. Si se
colocase una resistencia de carga variable (un reóstato), la tensión sería siempre la
misma. Por ello se dice que la tensión sobre la carga es constante, y solo varía la
corriente que circula por ella. Este tipo de fuentes no existen en la práctica, tratándose
sólo de un dispositivo teórico.(fig 2.13 a)
b) Fuente de tensión real.
Resulta simple comprender por qué las fuentes de tensión ideales no existen:
en el caso en el que la resistencia de carga RC se hiciera muy pequeña, la corriente
que circularía sería muy grande. Ésta tendería a infinito si la resistencia de carga
tendiera a cero. Ninguna fuente real puede suministrar una corriente de valor infinito
pues toda fuente real tiene una resistencia interna, que en general es de un valor
menor que 1. Por ejemplo, en el caso de una batería de auto, la resistencia interna
tiene un valor del orden de 0,1, y una batería para una lámpara, del orden de 1. La
resistencia interna de una fuente de tensión está en serie con la resistencia de carga. Si
ésta se reduce a cero, el valor de la corriente será el cociente entre la tensión de la
batería y su resistencia interna, constituyendo lo que se denomina la corriente de
carga en corto.(fig.2.13 b)
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c) Fuente de tensión estable.
En general se dice que una fuente de tensión es estable, cuando la resistencia
interna de la batería es unas 100 veces menor que la resistencia de carga, es decir:
r  0,01RC
En este caso, la fuente se dice estable pues produce una tensión en la carga
que está entre 99 y 100% de la tensión de una fuente ideal. La palabra “estable” nos
está indicando que la fuente está entregando una tensión casi ideal en la resistencia de
carga RC. La diferencia entre ambas tensiones está dentro del 1%, lo cual es aceptable
para no ser tenido en cuenta en la mayoría de los casos de análisis, diseño de circuitos
y localización de fallas.
d) Fuentes de corriente ideales y reales.
Una fuente de corriente tiene una resistencia interna muy grande, y produce
una corriente de salida que no depende del valor de la resistencia de carga. Una
fuente de tensión, en cambio, tiene una resistencia interna muy pequeña, tal como se
ha visto.
Fig. 2.13 a
Fig. 2.13 b
Un ejemplo sencillo lo constituye una batería conectada en serie a una
resistencia muy grande (que oficiará de resistencia interna r): la corriente que
suministra es muy baja, pero si se la conecta a su vez a una resistencia de carga R C,
ésta podrá variar dentro de ciertos valores, de modo de que la corriente se mantenga
estable.
e) Fuente de corriente estable.
Diremos que se tiene una fuente de corriente estable si la resistencia “interna”
r es unas 100 veces mayor que la resistencia de carga RC, es decir:
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r  100 RC
Una fuente de corriente estable produce una corriente de carga que está entre
un 99 y un 100% del valor ideal.
e) fuentes prácticas de corriente y su representación.
Dado que las resistencias en serie combinadas con baterías, rara vez producen
una corriente apta para uso práctico debido fundamentalmente a su bajo valor, las
fuentes de corriente se materializan utilizando transistores y otros elementos, de
forma tal de obtener corrientes con valores más importantes y útiles.
La resistencia interna de una fuente de corriente real se representa siempre en
paralelo con una fuente de corriente ideal. Esta forma de conexión es necesaria para
derivar la corriente de la fuente durante las condiciones de carga abierta. O sea, que
en el caso de que la resistencia de carga tienda a infinito, (condición de carga abierta),
la corriente en la carga cae a cero, y por lo tanto la corriente que circula por la
Fig. 2.14
resistencia interna de la fuente (conectada como se dijo en paralelo a la misma). La
figura 2.14 representa: a) una fuente de corriente ideal; b) la resistencia interna
conectada en paralelo a la misma, y c) con la resistencia de carga conectada.
2.19.- Teorema de Thevenin.Este teorema resulta extremadamente valioso para la resolución de circuitos.
La importancia del mismo se irá comprendiendo a medida que se vayan adquiriendo
conocimientos sobre circuitos. Thevenin descubrió que cualquier circuito de muchas
mallas, por complicado que sea, se puede reducir a un circuito de una sola malla. Por
esta razón, este teorema es tan utilizado por los ingenieros y técnicos.
Cuando sea necesario encontrar la corriente de carga en un circuito con más
de una malla, se puede recurrir a este teorema para resolverlo, y se dispondrá casi
siempre del mejor camino.
A partir de las leyes de Kirchoff, se puede demostrar el teorema de Thevenin,
que dice: “una red lineal, vista desde sus puntos A y B, es equivalente a un generador
de fem igual a la tensión entre los puntos A y B, y de resistencia interna igual a la
resistencia de la red entre los puntos A y B”. A continuación describiremos el
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Teorema pero sin demostrarlo ya que escapa a los alcances de este curso. La
demostración se hará en cursos superiores.
La figura 2.15 representa una red compleja de resistencias y generadores. A y
B son dos puntos cualquiera de esa red. Trataremos de estudiar sus características.
Conectemos entre A y B una fuente de tensión variable, y de resistencia interna nula,
U.
Fig. 2.15
La intensidad i que pasa por la rama del generador es una función lineal y
homogénea de las fem de la red. Los coeficientes solo dependen de las resistencias.
La relación entre U e i es:
U = VA - VB = RTH i - eTH
RTH y eTH son dos constantes características de la red. Para entender el significado
de estas dos constantes, haremos los siguientes pasos: tomemos U = - eTH. La
intensidad i será nula. Esto indicará que la diferencia de potencial entre A y B es
simplemente eTH, es decir la diferencia de potencial que aparece entre los bornes A y
B a circuito abierto.
Si ahora anulamos todas las fem en la red, sin cambiar las resistencias de las
ramas, eTH = 0, y la relación U = RTH i muestra que RTH es la resistencia global de la
red entre los bornes A y B. De aquí el enunciado del teorema de Thevenin.
Este teorema es muy útil, y por este motivo para ilustrarlo convenientemente,
se darán algunos ejemplos. En todos los circuitos que se analizarán se desea calcular
la corriente eléctrica i que circula por una rama AB del circuito y los pasos a seguir
para calcular esta corriente son los siguientes:
a) Se suprime la rama y se calcula la diferencia de potencial entre A y B en la malla
simplificada: VAB = eTH ;
b) Se busca la resistencia RTH equivalente entre A y B, luego de haber eliminado las
fem. Las fuentes de tensión son sustituidas por un “cable” ( corto circuito ). En el
caso de haber en el circuito fuentes de corriente estas son sustituidas por “circuitos
abiertos”.
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c) Si R es la resistencia de carga que se conecta en el circuito, la intensidad buscada
es:
i
e TH
R TH  R
II B 11
(2.30)