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U.D. 1 * 2º ESO
NÚMEROS ENTEROS
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
1
U.D. 1.2 * 2º ESO
DIVISIBILIDAD
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
2
RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD
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Hay relación de divisibilidad entre dos números naturales, a y b, cuando el
mayor, a, contiene al menor, b, una cantidad exacta de veces. Entonces se
dice que a es divisible por b.
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Ejemplos:
15 es divisible por 3
Pues 15 contiene 5 veces al 3
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20 es divisible por 5
Pues 20 contiene 4 veces al 5
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12 es divisible por 3
Pues 12 contiene 4 veces al 3
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25 es divisible por 5
Pues 25 contiene 5 veces al 5
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Apuntes Matemáticas 2º ESO
3
RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD
•
Ejemplos prácticos:
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Con los 23 alumnos de una clase queremos formar equipos de 5 jugadores
para que todos puedan jugar al baloncesto. ¿Lo podrá hacer?
No, puesto que entre 23 y 5 no hay relación de divisibilidad.
Al dividir 23 entre 5 da 4 de cociente y 3 de resto. División no exacta.
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Con los 90 alumnos de 1º ESO queremos formar equipos de 11 jugadores
para que todos puedan jugar al fútbol. ¿Lo podrá hacer?
No, puesto que entre 90 y 11 no hay relación de divisibilidad.
Al dividir 90 entre 11 da 8 de cociente y 2 de resto. División no exacta.
Los 20 alumnos de 1º Bachillerato quieren formar equipos de 4 jugadores
para jugar todos al mus. ¿Lo podrá hacer?
Sí, puesto que entre 20 y 4 hay relación de divisibilidad.
Al dividir 20 entre 4 da 5 de cociente y 0 de resto. División exacta.
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Apuntes Matemáticas 2º ESO
4
Múltiplos y divisores
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Un número natural, b , es divisor de otro, a, cuando la división a:b es
exacta
a:b = c => b es divisor de a
Un número natural, a , es múltiplo de otro, b, si al multiplicar b por un
número natural se obtiene a como resultado
b.c = a => a es múltiplo de b
•
Si la división de dos números naturales, a : b , es exacta, es decir, si hay
relación de divisibilidad entre ellos, entonces b es un divisor de a y,
recíprocamente, a es un múltiplo de b.
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Ejemplo: 15 : 3 = 5
3 es un divisor de 15
15 es un múltiplo de 3
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5
Múltiplos y divisores
• Dados dos números naturales, a y b , se dice que “a es
divisible por b”, o que “a es múltiplo de b”, o que “b
es divisor de a”, si la división a:b es exacta.
• EJEMPLO
• 45 = 3.3.5 = 9.5 = 3.15
• Podemos decir:
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“45 es divisible por 3”
“45 es divisible por 5”
“45 es divisible por 9”
“45 es divisible por 15”
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• También:
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“45 es múltiplo de 3”
“45 es múltiplo de 5”
“45 es múltiplo de 9”
“45 es múltiplo de 15”
• Y también:
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“3 es divisor de 45”
“5 es divisor de 45”
“9 es divisor de 45”
“15 es divisor de 45”
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PROPIEDADES
• PROPIEDADES DE MÚLTIPLOS
• Todo número es múltiplo de sí mismo.
• 7.1 = 7
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•
Todo número es múltiplo de 1.
5.1 = 5
El 0 es múltiplo de cualquier número.
0.3 = 0
• Todo número tiene infinitos múltiplos.
• M(5)={0, 5, 10, 15, 20 , …}
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PROPIEDADES
• PROPIEDADES DE DIVISORES
• Todo número es divisor de sí mismo.
• 5:5=1
•
•
•
•
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El 1 es divisor de cualquier número.
7:1=7
El 0 no es divisor de ningún número.
3 : 0 = No se puede
• El conjunto de los divisores de un número es finito.
• D(12)={1, 2, 3, 6, 12}
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CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Entre 2
2
Todos los números terminados en 0 o en cifra par.
10
14
100
72
1000
10104
96
111111111111111112
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10
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Entre 3
3
Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 3
102, pues 1+0+2 = 3 
120, pues 1+2+0 = 3 
201, pues 2+0+1 = 3 
501, pues 5+0+1 = 6 
105, pues 1+0+5 = 6 
702, pues 7+0+2 = 9 
111111111, pues 1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 9
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102 : 3 = 34
120 : 3 = 40
201 : 3 = 67
501 : 3 = 167
105 : 3 = 35
702 : 3 = 234
 111111111 : 3 = 37037037
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11
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Entre 4
4
Todo número cuyas dos últimas cifras formen un múltiplo de 4
104, pues 104 : 4 = 26
704, pues 704 : 4 = 176
908, pues 908 : 4 = 227
1112, pues 1112 : 4 = 278
77744, pues 77744 : 4 = 19436
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12
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Entre 5
5
Todo número que termine en 0 o en 5
110, pues 110 : 5 = 22
115, pues 115 : 5 = 23
1710, pues 1710 : 5 = 342
77775, pues 77775 : 5 = 15555
10000005, pues 10000005 : 5 = 2000001
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13
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Entre 6
6
Todo número múltiplo de 2 y de 3 a la vez
12, pues 12 : 2 = 6 y 12 : 3 = 4
102, pues 102 : 2 = 51 y 102 : 3 = 34
192, pues 192 : 2 = 96 y 192 : 3 = 64
1212, pues 1212 : 2 = 66 y 1212 : 3 = 404
714, pues 714 : 2 = 357 y 714 : 3 = 236
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14
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Entre 7
7
Todo número que al suprimir la cifra de las unidades y restar
del número que queda el doble de la cifra suprimida, se
obtenga un múltiplo de 7
105
10 – 2.5 = 10 – 10 = 0, que es múltiplo de 7
105 : 7 = 15
476
47 – 2.6 = 47 – 12 = 35, que es múltiplo de 7
476 : 7 = 68
1134
113 – 2.4 = 113 – 8 = 105, que es múltiplo de 7
1134 : 7 = 162
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15
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Entre 8, 9 y 10
8
Todo número cuyas tres últimas cifras formen un múltiplo de 8
111000
797008
133213016
9
Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 9
711, pues 9 = 1.9
7839, pues 27 = 3.9
202020202020202, pues 18 = 2.9
10
Todo número que termine en 0.
10330
9777980
1111310
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16
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
11
Todo número en el cual el valor absoluto de la diferencia de la
suma de las cifras de lugar par e impar sea múltiplo de 11
495
9=9 , 4+5 = 9  9 – 9 = 0
Verificamos: 495 : 11 = 45
8195
8+9=17 , 1+5 = 6  17 – 6 = 11
Verificamos: 8195 : 11 = 745
91993
9+9+3=21 , 1+9 = 10  21 – 10 = 11
Verificamos: 91993 : 11 = 8363
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