Download Inferencia estadística para una y dos o más medias.

Bioestadística
Inferencia estadística y tamaños de muestra
para una y dos o más medias.
PH: µ.



Prueba de hipótesis para una media.
Podremos probar esta hipótesis cuando tengamos
conocimiento del parámetro (media) poblacional.
 Peso promedio entre los recién nacidos: 3,000 g.
Procedimiento:
1. Planteamiento de la
hipótesis.
H0
H1
µ0 = 3,000 g
µ0 ≠ 3,000 g
µ0 ≥ 3,000 g
µ0 < 3,000 g
µ0 ≤ 3,000 g
µ0 > 3,000 g
2. Nivel de significancia: α = 0.05
3. Estadístico pertinente:𝑥
PH: µ.

Procedimiento.
 Estadísticos de prueba y restricciones.
Estadísticos de prueba
𝑥−𝜇
Distribución
𝑍=
normal
𝜎2
𝑛
𝑥−𝜇
Distribución t
𝑡=
𝑠2
𝑛
Restricciones
Población con distribución
aproximadamente normal, o
n > 30.
Población con distribución
aproximadamente normal.
PH: µ. Ejemplo.

Ejemplo de t para µ.
 H0: µ0 = 3,000 g; α = 0.05; t = ?.
PH: µ.

Hay una distribución t para cada grado de libertad.
 Grados de libertad (gl) = n - 1
PH: µ. Ejemplo

Ejemplo de t para µ.
 H0: µ 0 = 3,000 g; α = 0.05.
 n = 30; 𝑥 = 3,050; s = 475.
 t1-α/2, gl = t0.975, 29 = 2.045
 t=
𝑥−𝜇
𝑠2
𝑛
=
3050−3000
4752
30
=
50
86.72
= 0.58
 Comparando el valor t calculado (0.58) con el de la distribución t
(2.045) aceptamos la hipótesis nula.
 Concluimos que no encontramos diferencia estadísticamente
significativa.
PH: µ. Ejercicio.

Prueba de hipótesis.
 H0: µ0 = 600 g; α = 0.05.
 n = 75; 𝑥 = 655; s = 255.
PH: µ. Ejercicio.

Prueba de hipótesis.
 H0: µ0 = 600 g; α = 0.05.
 n = 75; 𝑥 = 655; s = 225.
 t=
𝑥−𝜇
𝑠2
𝑛
=
655−600
2252
75
=
55
25.98
= 2.12
 Comparando el valor t calculado (2.12) con el de la distribución t
(1.995) rechazamos la hipótesis nula.
 Concluimos que la diferencia es estadísticamente significativa.
IC: µ.



Intervalo de confianza para una media cuando la
población se distribuye normalmente.
No es indispensable conocer el parámetro (media)
poblacional.
Procedimiento.
1.
Se calcula 𝑥, que es la proporción de una sola muestra.
2.
3.
4.
5.
Se estima 𝜎𝑥 = 𝜎 2 /𝑛 mediante 𝑠 2 /𝑛
Se selecciona el nivel de confianza, mediante (1 – α)100.
Se busca el valor de t para (1 – α)100 con n-1 grados de libertad.
Se construye el IC mediante
𝑥 ± 𝑡1−𝛼/2 𝑠 2 /𝑛
IC: µ. Ejercicio.

Intervalo de confianza del 95%.
 α = 0.05.
 n = 75; 𝑥 = 655; s = 225.
 𝑥 ± 𝑧1−𝛼/2
𝑠2
𝑛
= 655 ± 𝑧1−𝛼/2
2252
75
= 655 ± 2.00(25.98)
Límite inferior, 655-2.00*25.98 = 603.18
Límite superior, 655+2.00*25.98 = 706.82
IC en www.OpenEpi.com - Variables
continuas – IC Media.
 Si el muestreo se realiza con remplazo, el tamaño de la población no
se modifica.
 El nivel de confianza se puede modificar a voluntad.
IC en www.OpenEpi.com - Variables
continuas – IC Media.
 Si para el cálculo del Intervalo de confianza se utilizó la desviación
estándar poblacional, se toma el IC con la prueba de z, en caso
contrario, será con la prueba de t.
Tamaño de muestra para µ.


Cuando el muestreo se realiza con remplazo, o cuando la
muestra es pequeña en relación al universo (n ≤ N (0.05),
el tamaño de la muestra se calcula mediante:
𝑍2𝜎 2
𝑛= 2
𝑑
Donde:
 Zα = valor de Z en la distribución normal para el nivel de
significancia, α, seleccionado.
 𝜎 2 = varianza en el grupo que se quiere estudiar.
 d = mitad de rango del intervalo de confianza
Tamaño de muestra para µ: Ejemplo.

Calcular el tamaño de una muestra para estudiar la media
del peso al nacer:
 Zα = Z0.05 = 1.96. (El valor de Z define el 95% del área debajo de la
curva)
 𝜎 2 = varianza del peso al nacer = 5002 g
 d = 50 g (si estuviera interesado en un rango del intervalo de
confianza de 100 g)
𝑍 2 𝜎 2 1.962 ∗ 5002
𝑛= 2 =
= 384.2 < 385
𝑑
502
Tamaño de muestra para µ: Ejemplo.

Cómo estimar la desviación estándar:
 Buscar alguna referencia en la literatura que describa la
distribución de la variables en estudio.
 Realizar una prueba piloto.
 Mediante la fórmula rango/4 se puede obtener una aproximación
“sobrada”.
Tamaño de muestra para µ: Ejercicio 1.

Calcular el tamaño de una muestra para estudiar la media
de una población:
 Zα = Z0.05 = 1.96. (El valor de Z define el 95% del área debajo de la
curva)
 s = desviación estándar = 20
 d = 10 (si estuviera interesado en un rango del intervalo de
confianza de 20)
Tamaño de muestra para µ: Ejercicio 1.

Calcular el tamaño de una muestra para estudiar la media
de una población:
 Zα = Z0.05 = 1.96. (El valor de Z define el 95% del área debajo de la
curva)
 s = desviación estándar = 20
 d = 10 (si estuviera interesado en un rango del intervalo de
confianza de 20)
𝑍 2 𝜎 2 1.962 ∗ 202
𝑛= 2 =
= 15.4 < 16
𝑑
102
Tamaño de muestra para µ: Ejercicio 2.

Calcular el tamaño de una muestra para estudiar la media
de una población:
 Zα = Z0.05 = 1.96. (El valor de Z define el 95% del área debajo de la
curva)
 σ = no se conoce. Se sabe que el valor máximo es 5,000, y el
mínimo es 3,000
 d = 50 g (si estuviera interesado en un rango del intervalo de
confianza de 100)
Tamaño de muestra para µ: Ejercicio 2.

Calcular el tamaño de una muestra para estudiar la media
de una población:
 Zα = Z0.05 = 1.96. (El valor de Z define el 95% del área debajo de la
curva)
 σ ≥ rango/4 = (5,000 - 3,000) / 4 = 500
 d = 50 g (si estuviera interesado en un rango del intervalo de
confianza de 100)
𝑍 2 𝜎 2 1.962 ∗ 5002
𝑛= 2 =
= 384.2 < 385
2
𝑑
50
Tamaño de muestra para µ.

Cuando el muestreo se realiza sin remplazo y la muestra
es grande en relación al universo (n > N (0.05), el tamaño
de la muestra se calcula mediante:
𝑛
𝑛´ =
𝑛
1+
𝑁

Donde:
 n´ = Tamaño de la muestra sin remplazo.
 n = Tamaño de muestra con remplazo, 𝑛 =
 N = Tamaño de la población.
𝑍 2𝜎2
𝑑2
PH: µ1=µ2. Muestras independientes.

Prueba de hipótesis para la diferencia de dos
proporciones.
No se requiere conocer la proporción poblacional.

Procedimiento:

1.
2.
3.
Planteamiento de la hipótesis.
Nivel de significancia: α = 0.05.
Estadístico pertinente: 𝑥1 − 𝑥2
H0
H1
μ1 = μ2
μ1 ≠ μ2
μ1 ≥ μ2
μ1 < μ2
μ1 ≤ μ2
μ1 > μ2
PH: µ1=µ2. Muestras independientes.

Procedimiento.
 Estadísticos de prueba y restricciones.
Estadísticos de prueba
𝑥1 − 𝑥2
Distribución
𝑡𝑛1+𝑛2−2 =
normal
𝑆𝑝2 𝑆𝑝2
𝑛1 + 𝑛2
Análisis de varianza
Prueba de Mann-Whitney-Wilcoxon
Prueba de Kruskal-Wallis
Restricciones
Distribución aproximadamente
normal
Muestras independientes.
Se desconoce la varianza, pero se
supone es la misma en las dos
poblaciones.
Muestras independientes.
PH: µ1=µ2. Muestras independientes.

Z para μ1 – μ2.
 Bajo el supuesto de la hipótesis nula (μ1 = μ2) las dos varianzas
muestrales (𝑠12 y 𝑠22 ) se obtuvieron en la misma población. Por lo
tanto, las dos tienen la misma varianza poblacional.
 Como la varianza poblacional es desconocida, esta se estima
mediante una varianza ponderada considerando las dos muestras
mediante la fórmula
2
2
𝑠
𝑛
−
1
+
𝑠
(𝑛2 − 1)
1
1
2
2
𝑆𝑝 =
𝑛1 + 𝑛2 − 2
PH: µ1=µ2. Muestras independientes.

Ejemplo de t para µ1–µ2.




H0: µ1 = µ2; α = 0.05.
Estadístico pertinente: 𝑥1 − 𝑥2 .
n1 = 50, 𝑥1 = 30, s1 = 5.2
n2 = 55, 𝑥2 = 25, s2 = 4.9
PH: µ1=µ2. Muestras independientes.

Ejemplo de t para µ1–µ2.




H0: µ1 = µ2; α = 0.05.
Estadístico pertinente: 𝑥1 − 𝑥2 .
n1 = 50, 𝑥1 = 30, s1 = 5.2
n2 = 55, 𝑥2 = 25, s2 = 4.9
Las desviaciones estándar muestrales son diferentes, pero eso
podría explicarse por el azar.
Para tener alguna seguridad de que proceden de la misma población
realizamos una prueba de F, donde
𝐹𝑣1,𝑣2
𝑠12
= 2
𝑠2
Donde v1 = n1 – 1, y v2 = n2 – 1 grados de libertad
Distribución F.

La distribución F es una familia de distribuciones,
determinada por sus grados de libertad tanto en el
numerador (v1=n1–1) como en el denominador (v2=n2–1).
Distribución F.

Valor crítico en la distribución F
 Buscar la tabla para F1-α
 Buscar la columna para los grados de libertad en el numerador
(v1)
 Buscar el renglón para los grados de libertad en el denominador
(v2)
PH: σ1=σ2. Muestras independientes.

Ejemplo de F para σ1/σ2.
 H0: σ1 = σ2; α = 0.05.
 Estadístico pertinente: 𝐹𝑣1 ,𝑣2 =
𝑠12
𝑠22
=
5.22
4.92
=
27.04
24.01
= 1.13
 Valor crítico de la distribución F para α = 0.05, v1 = 49, v2 = 54
 Como F calculado (1.13) es menor que el valor crítico de F (1.69),
aceptamos la hipótesis nula.
 Concluimos que las varianzas no muestran una diferencia
estadísticamente significativa.
PH: µ1=µ2. Muestras independientes.

Ejemplo de t para µ1–µ2.





H0: µ1 = µ2; α = 0.05.
Estadístico pertinente: 𝑥1 − 𝑥2 .
n1 = 50, 𝑥1 = 30, s1 = 5.2
n2 = 55, 𝑥2 = 25, s2 = 4.9
Si consideramos que las varianzas son iguales, entonces
2
2
2 ∗ 49 + 4.92 ∗ 54
𝑠
𝑛
−
1
+
𝑠
(𝑛
−
1)
5.2
1
2
1
2
𝑆𝑝2 =
=
= 25.451
𝑛1 + 𝑛2 − 2
50 + 55 − 2
 Luego
𝑡=
𝑥1 − 𝑥2
𝑆𝑝2
𝑛1
+
𝑆𝑝2
𝑛2
=
30 − 25
5
=
= 5.07
25.451 25.451 0.986
+
50
55
PH: µ1=µ2. Muestras independientes.

Ejemplo de t para µ1–µ2.
 Buscamos el valor crítico en la tabla de t para 1 - α/2 = 0.05,
y n1 + n2 – 2 = 50 + 55 – 2 = 103 grados de libertad
PH: µ1=µ2. Muestras independientes.

Ejemplo de t para µ1–µ2.








H0: µ1 = µ2; α = 0.05.
Estadístico pertinente: 𝑥1 − 𝑥2 .
n1 = 50, 𝑥1 = 30, s1 = 5.2
n2 = 55, 𝑥2 = 25, s2 = 4.9
Valor calculado de t = 5.07
Valor crítico de t = 1.98
Rechazamos la hipótesis nula.
Concluirnos que existe una diferencia estadísticamente
significativa.
PH: Análisis de Varianza (ANOVA).

Análisis de varianza.
 H0: μ1 = μ2 = … = μk; o todas las medias son iguales.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
41
45
25
22
40
36
20
37
21
34
35
37
26
28
35
38
30
48
36
41
43
23
34
55
39
24
31
38
39
30
24
47
23
21
39
45
Media
34.000
29.500
39.000
34.167
Varianza
83.818
62.273
53.636
78.257
PH: Análisis de Varianza (ANOVA).

Análisis de varianza.
 H0: μ1 = μ2 = … = μk; o todas las medias son iguales.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
41
45
25
22
40
36
20
37
21
34
35
37
26
28
35
38
30
48
36
41
43
23
34
55
39
24
31
38
39
30
24
47
23
21
39
45
Media
34.167
Varianza
78.257
PH: Análisis de Varianza (ANOVA).

Análisis de varianza.
 H0: μ1 = μ2 = … = μk; o todas las medias son iguales.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
41
45
25
22
40
36
20
37
21
34
35
37
26
28
35
38
30
48
36
41
43
23
34
55
39
24
31
38
39
30
24
47
23
21
39
45
Media
34.167
Varianza
78.257
𝑠𝑇2 =
(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦)2
𝑛−1
PH: Análisis de Varianza (ANOVA).

Análisis de varianza.
 H0: μ1 = μ2 = … = μk; o todas las medias son iguales.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
41
45
25
22
40
36
20
37
21
34
35
37
26
28
35
38
30
48
36
41
43
23
34
55
39
24
31
38
39
30
24
47
23
21
39
45
Media
34.167
Varianza
78.257
𝑠𝑇2 =
(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦)2
𝑛−1
PH: Análisis de Varianza (ANOVA).

Análisis de varianza.
 H0: μ1 = μ2 = … = μk; o todas las medias son iguales.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
41
45
25
22
40
36
20
37
21
34
35
37
26
28
35
38
30
48
36
41
43
23
34
55
39
24
31
38
39
30
24
47
23
21
39
45
Media
34.000
29.500
39.000
34.167
Varianza
83.818
62.273
53.636
78.257
𝑠𝑇2 =
(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦)2
𝑛−1
PH: Análisis de Varianza (ANOVA).

Análisis de varianza.
 H0: μ1 = μ2 = … = μk; o todas las medias son iguales.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
41
45
25
22
40
36
20
37
21
34
35
37
26
28
35
38
30
48
36
41
43
23
34
55
39
24
31
38
39
30
24
47
23
21
39
45
Media
34.000
29.500
39.000
34.167
Varianza
83.818
62.273
53.636
78.257
𝑠𝑇2 =
(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦)2
𝑛−1
2
𝑠𝑇𝑅
=
𝑛𝑗 (𝑦.𝑗 − 𝑦)2
𝑘−1
PH: Análisis de Varianza (ANOVA).

Análisis de varianza.
 H0: μ1 = μ2 = … = μk; o todas las medias son iguales.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
41
45
25
22
40
36
20
37
21
34
35
37
26
28
35
38
30
48
36
41
43
23
34
55
39
24
31
38
39
30
24
47
23
21
39
45
Media
34.000
29.500
39.000
34.167
Varianza
83.818
62.273
53.636
78.257
𝑠𝑇2 =
(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦)2
𝑛−1
2
𝑠𝑇𝑅
=
𝑛𝑗 (𝑦.𝑗 − 𝑦)2
𝑘−1
𝑠𝐸2 =
(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦.𝑗 )2
𝑛−𝑘
PH: Análisis de Varianza (ANOVA).

Análisis de varianza.
 H0: μ1 = μ2 = … = μk; o todas las medias son iguales.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
41
45
25
22
40
36
20
37
21
34
35
37
26
28
35
38
30
48
36
41
43
23
34
55
39
24
31
38
39
30
24
47
23
21
39
45
Media
34.000
29.500
39.000
34.167
Varianza
83.818
62.273
53.636
78.257
𝑠𝑇2 =
(𝒚𝒊𝒋 − 𝒚)𝟐
𝑛−1
2
𝑠𝑇𝑅
=
𝒏𝒋 (𝒚.𝒋 − 𝒚)𝟐
𝑘−1
𝑠𝐸2 =
(𝒚𝒊𝒋 − 𝒚.𝒋 )𝟐
𝑛−𝑘
PH: Análisis de Varianza (ANOVA).

Análisis de varianza.
 H0: μ1 = μ2 = … = μk; o todas las medias son iguales.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
41
45
25
22
40
36
20
37
21
34
35
37
26
28
35
38
30
48
36
41
43
23
34
55
39
24
31
38
39
30
24
47
23
21
39
45
Media
34.000
29.500
39.000
34.167
Varianza
83.818
62.273
53.636
78.257
(𝒚𝒊𝒋 − 𝒚)𝟐 = 𝒏𝒋 (𝒚𝟐.𝒋 − 𝒚)𝟐 +(𝒚𝒊𝒋 − 𝒚.𝒋 )𝟐
SCT = SCTR + SCE
PH: Análisis de Varianza (ANOVA).

Análisis de varianza.
 H0: μ1 = μ2 = … = μk; o todas las medias son iguales.
 α = 0.05
 Tabla de ANOVA
Fuente de variación
SC
gl
Tratamientos
SCTR
k–1
Error
SCE
n–k
SCT
n–1
MC
SCTR
MCTR =
𝑘−1
SCE
MCE = 𝑛−𝑘
RV
MCTR
MCE
 La razón de varianza (RV) se compara con el valor de F0.05,k-1,n-k
 Si RV es igual o mayor que F, la Hipótesis nula se rechaza.
 Supuestos: la distribución de las poblaciones son normales, y las
varianzas poblacionales son iguales.
PH: Pruebas no paramétricas.

Pruebas no paramétricas para comparar dos medias
cuando:
– Las poblaciones no tienen distribución normal.
– Las muestras son pequeñas.
– Las varianzas poblacionales son diferentes.

Las dos más populares son:
– Prueba de Mann-Whitney-Wilcoxon.
– Prueba de Kruscal-Wallis.

Estas pruebas se basan en el orden de menor a mayor que
tienen las variables en los grupos que se comparan.
PH: µ1=µ2. Epi Info - Analizar Datos - Clásico.
1.
2.
3.
4.
Leer los datos con la orden “Read”.
Click en “Medias”.
Seleccionar la variable cuantitativa en “Media de” y la variable
cualitativa en “Cross-tabulate by Value of”.
Click en “Aceptar”.
PH: µ1=µ2. Epi Info - Analizar Datos - Clásico.
 Los resultados incluirán:
• Los estadísticos en las muestras.
• El valor de t para poblaciones con
varianzas iguales y diferentes, y sus
significancias.
• El análisis de varianza y su
significancia. Hay que notar que la
significancia de la t y la de ANOVA
son la misma.
• La prueba de Bartlett, que compara
las varianzas (equivalente a la
prueba de F). Incluye una
advertencia a tomar en cuenta.
• El resultado de la prueba no
paramétrica M-W/W (KW).
PH: μ1 = μ2 = … = μk. Epi Info - Analizar Datos
- Clásico.
 Si la variable cualitativa tiene más
de dos categorías, los resultados
incluirán:
• Los estadísticos en las muestras.
• El análisis de varianza y su
significancia.
• La prueba de Bartlett, que compara
las varianzas (equivalente a la
prueba de F). Incluye una
advertencia a tomar en cuenta.
• El resultado de la prueba no
paramétrica M-W/W (KW).
PH: µ1=µ2. www.OpenEpi.com – Variables
continuas – Test t
Hacer click en “Test t”
de “Variables
continuas”.
Después de anotar los
tamaños de muestra,
medias y desviaciones
estándar de cada
muestra en “Introducir
datos”, hacer click en
“Resultados.
Se mostrarán los valores de p para la diferencia de medias, así como la
prueba F para comparar las varianzas poblacionales de las poblaciones
donde se tomaron las muestras.
PH: μ1 = μ2 = … = μk. www.OpenEpi.com –
Variables continuas – ANOVA
Hacer click en
“ANOVA” de
“Variables
continuas”.
Después de
anotar los
tamaños de
muestra,
medias y
desviaciones
estándar de
cada muestra en “Introducir datos”, hacer click en “Resultados.
Se mostrarán la tabla de ANOVA y los valor de p para la diferencia de
medias, así como la prueba F para comparar las varianzas poblacionales
de las poblaciones donde se tomaron las muestras.
IC: µ1- µ 2



Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias
cuando las muestras son grandes (n ≥ 30) o las
poblaciones se distribuyen normalmente.
No es indispensable conocer el parámetro (media)
poblacional.
Procedimiento.
1.
Se calcula 𝑥1 − 𝑥2 , que es la diferencia de dos medias.
𝜎2
𝑛1
+
𝜎2
𝑛2
𝑆𝑝2
𝑛1
2.
Se estima 𝜎𝑥1−𝑥2 =
3.
Se selecciona el nivel de confianza, mediante (1 – α)100.
mediante
+
𝑆𝑝2
𝑛2
IC: µ1- µ 2

Procedimiento.
4.
5.
Se busca el valor de t para (1 – α)100, con n – 1 gl.
Se construye el IC mediante
𝑥1 − 𝑥2 ± 𝑡1−𝛼,𝑛
2 1 +𝑛2 −2
𝑆𝑝2 𝑆𝑝2
+
𝑛1
𝑛2
donde
2
2
𝑠
𝑛
−
1
+
𝑠
(𝑛2 − 1)
1
1
2
2
𝑆𝑝 =
𝑛1 + 𝑛2 − 2
PH: µ1=µ2. Epi Info - Analizar Datos - Clásico.
 Después de leer los datos (“Read”),
click en “Medias”, seleccionar la
variable cuantitativa en “Media de”
y la variable cualitativa en “Crosstabulate by Value of”, y click en
“Aceptar”.
 Los resultados incluirán:
• La diferencia de las medias, y los
intervalos de confianza para los
supuestos de variables iguales y
variables diferentes.
• Recuerde revisar la prueba de
Bartlett, que compara las varianzas
(equivalente a la prueba de F).
PH: µ1=µ2. www.OpenEpi.com – Variables
continuas – Test t
En “Test t” de
“Variables continuas”.
Después de anotar los
tamaños de muestra,
medias y desviaciones
estándar de cada
muestra en “Introducir
datos”, hacer click en
“Resultados. Los
intervalos de confianza
se mostrarán después de las diferencias de medias.
Recuerde revisar la prueba F que compara las varianzas, para decidir cual
intervalo de confianza seleccionar.
Tamaño de muestra para µ1-µ2

Cuando queremos calcular los tamaño de muestra para la
diferencia de dos medias utilizamos las fórmulas
siguientes:
𝜎12
𝑛1 =
𝜎22
+
𝑘
𝑧1−𝛼/2 + 𝑧1−𝛽
𝜇1− 𝜇2
2
𝑘𝜎12 + 𝜎22 𝑧1−𝛼/2 + 𝑧1−𝛽
𝑛2 =
𝜇1− 𝜇2 2

2
2
Donde:
 k = n2/n1
 Zα = valor de Z en la distribución normal para el nivel de
significancia, α, seleccionado. (Convencionalmente 0.05).
 Z1- = “error β” que se acepta, expresado en valor z considerando
una distribución normal de una cola. (Convencionalmente 0.20).
Tamaño de muestra para µ1-µ2.
𝜎12
𝑛1 =
𝜎22
+
𝑘
𝑧1−𝛼/2 + 𝑧1−𝛽
𝜇1− 𝜇2
2
2
𝑘𝜎12 + 𝜎22 𝑧1−𝛼/2 + 𝑧1−𝛽
𝑛2 =
𝜇1− 𝜇2 2
2
 𝜎12 y 𝜎22 son las varianzas en las poblaciones 1 y 2.
 𝜇1− 𝜇2 = diferencia que se espera observar como estadísticamente
significativa.
 n1 y n2 son los tamaños de muestra en los grupos 1 y 2.
Tamaño de muestra para µ1-µ2.

Valores de Zα y Zβ:
 Zα siempre será de dos colas, los lo que Zα = será 1.96 cuando α =
0.05.
 Zβ siempre será de una cola, por lo que Zβ = será 0.845 cuando
β = 0.20.
Tamaño de muestra en www.OpenEpi.com Tamaño de muestra – Diferencia de medias.
 Para comparar
medias.
 Anotamos:
 Confianza = (1α/2)100.
 Poder = (1-β)100.
 Razón de sujetos
en un grupo entre
sujetos en el otro
grupo.
 Anotar media y
desviación
estándar de cada grupo.
 El tamaño de muestra se mostrará al hacer click en resultados.
Tamaño de muestra en www.OpenEpi.com Tamaño de muestra - cohorte.
 Calcula
tamaños de
muestra para
los dos grupos
a comparar.
 Si la razón
grupo2/grupo1
es igual a 1, los
dos grupos
serán del
mismo tamaño.
PH: µ1=µ2. Muestras pareadas.

Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias en
muestras pareadas.
No se requiere conocer la proporción poblacional.

Procedimiento:

1.
2.
3.
Planteamiento de la hipótesis.
Nivel de significancia: α = 0.05.
Acomodo de datos en tabla.
Par i
G.A
G.B
Dif.
Par i G.A
1
1.0
1.0
0.0
6
2
1.2
1.0
0.2
7
3
0.9
1.2
-0.3
…
5
0.8
1.0
-0.2
95
H0
H1
μ1 = μ2
μ1 ≠ μ2
μ1 ≥ μ2
μ1 < μ2
μ1 ≤ μ2
μ1 > μ2
G.B
Dif.
Par i
G.A
G.B
Dif.
0.9
1.3
-0.4
96
1.1
0.9
-0.2
1.2
0.8
0.4
97
0.9
0.8
0.1
98
1.1
1.3
-0.2
99
1.2
0.9
0.3
1.0
0.9
0.1
PH: µ1=µ2. Muestras pareadas.

Procedimiento.
4.
5.
Se calcula el promedio de las diferencias, 𝑑 =
estadístico pertinente.
Estadísticos de prueba y restricciones
Estadísticos de prueba
Distribución t
𝑡=
𝑑−0
𝑠𝑑2
𝑛
𝑑𝑖
𝑛
, que es el
Restricciones
Población con distribución normal.
PH: Pruebas no paramétricas.

Pruebas no paramétricas para comparar dos medias de
muestras pareadas cuando:
– La población de diferencias no tiene distribución normal.
– Las muestras son pequeñas.
– Las muestras no son independientes.

La más popular es:
– Prueba de Wilcoxon.

Esta prueba se basa en el orden (del valor absoluto) de
mayor a menor que tienen las diferencias.
IC: µ1–µ2. Muestras pareadas.
Intervalo de confianza para una diferencia de medias
cuando la población de diferencias se distribuye
normalmente o la muestra es grande (n ≥ 30).
 No es indispensable conocer el parámetro (proporción)
poblacional.
 Procedimiento.

1.
Se calcula 𝑑, que es la media de las diferencias.
2.
Se estima 𝜎𝑑 =
3.
4.
Se selecciona el nivel de confianza, mediante (1 – α)100.
Se busca el valor de t para (1 – α)100 con n-1 grados de libertad.
5.
Se construye el IC mediante 𝑑 ± 𝑡1−𝛼
𝜎𝑑2 /𝑛 mediante 𝑠𝑑2 /𝑛
2,𝑛−1
𝑠𝑑2 /𝑛