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Tema:
1
Divisibilidad con números naturales
1
Matemáticas 1º
Múltiplos de un número
Como sabes:
5·0=0
5 · 2 = 10
5 · 7 = 35
5 · 11 = 55
Cada vez que multiplicas 5 por cualquier número se obtiene otro
número que es múltiplo de 5.
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando
ese número por los números naturales
Así: 21 es múltiplo de 3, pues 21 = 3 · 7. ( Y múltiplo de 7)
44 es múltiplo de 11, pues 44 = 11 · 4
44 no es múltiplo de 5, pues multiplicando 5 por cualquier otro número
natural no da 44
0 es múltiplo de 2, y de 7, y de 15,
pues: 0 = 2 · 0 = 7 · 0 = 15 · 0 ...
0 es múltiplo de
todos los números
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Divisibilidad con números naturales
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Matemáticas 1º
Divisores de un número
44 dividido entre 11 da 4
Se dice que 11 es divisor de 44
44 : 5 no es exacta
5 no es divisor de 44
Un número es divisor de otro cuando la división del segundo
por el primero es exacta.
Observa:
44 : 4 = 11
44 = 4 · 11
44 = 4 · 11
4 es divisor de 44 (También 11 es divisor de 44)
44 es producto de los factores 4 y 11
44 es múltiplo de 4 y de 11
Divisor y factor significa lo mismo.
Si un número es divisor el otro, este es múltiplo de aquel.
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Matemáticas 1.º
Cálculo de todos lo divisores de un número
Un número puede tener varios divisores
Compruébalo
Por ejemplo: 18 tiene por divisores a 1, 2, 3, 6, 9 y 18
Para hallar todos los divisores de un número:
Se escribe como producto de dos factores, empezando por el factor 1.
Se termina cuando se repitan los factores.
Los factores aparecidos son todos los divisores del número.
Ejemplo:
45 = 1 · 45
1 y 45 son factores
45 = 3 · 15
45 = 5 · 9
45 = 9 · 5
3 y 15 son factores
9 y 45 son factores
Se repiten los factores
Los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15 y 45
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Divisibilidad con números naturales
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Matemáticas 1.º
Números primos y compuestos
Hemos visto que 45 tiene varios divisores: 1, 3, 5, 9, 15 y 45
En cambio: 17 sólo tiene dos divisores: 1 y 17.
43 también tiene sólo dos divisores: 1 y 43
Cuando un número tiene solamente
dos divisores se llama primo.
Los números 17 y 43
son primos.
Cuando un número tiene más de dos
divisores se llama compuesto.
45 y 18 son números
compuestos
Los primeros números primos son:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
53 59 61 67 71 79 83 89 97 101 103 107 109
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Matemáticas 1.º
Criterios de divisibilidad
Por la tabla de multiplicar sabes que 24 es divisible por 4, pues 24 = 4 · 6.
También que 72 es divisible por 9, pues 72 = 9 · 8.
¿Sabes si 29058 es divisible por 3?
¿Habría que dividir?
No es necesario, pues la suma de las cifras
de 29058, 2 + 9 + 0 + 5 + 8 = 24, es múltiplo de 3
Esto es un truco, que
llamamos criterio.
Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer,
sin efectuar la división, si un número es o no divisible por otro.
Los criterios de divisibilidad son útiles para descomponer un
número en sus factores primos.
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Matemáticas 1.º
Divisibilidad por 2, por 5 y por 10
Observa: 438 = 43 · 10 + 8
10 es divisible por 2, por 5 y por 10
Luego, 438 será divisible por
2, por 5 o por 10 si lo es 8
Como 8 es divisible por 2, 438 es divisible por 2.
Como 8 no es divisible por 5 ni por 10, 438 tampoco lo es.
Un número es divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es el número formado
por la cifra de las unidades. Luego:
Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par.
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Ejemplos:
1708 es divisible por 2; no lo es ni por 5 ni por 10.
10395 es divisible por 5.
280 es divisible por 10, y por 5, y por 2.
232451 no es divisible ni por 2, ni por 5 ni por 10.
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Matemáticas 1.º
Divisibilidad por 4, por 25 y por 100
Observa: 13528 = 135 · 100 + 28
100 es divisible por 4, por 25 y por 100
Luego, 13528 será divisible por 4, por 25
o por 100 si lo es 28.
Como 28 es divisible por 4, 13528 es divisible por 4.
Como 28 no es divisible por 25 ni por 100,
13528 no es divisible por 25 ni por 100.
135 · 100 + 25 = 13525 es
divisible por 25, pues 25 lo es.
135 · 100 + 100 = 13600 es
divisible por 100, por 25 y por 4.
Luego, para ver la divisibilidad por 4,
por 25 y por 100 sólo hay que fijarse
en las dos últimas cifras.
Un número es divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es el
número formado por sus dos últimas cifras.
Ejemplos:
1780 es divisible por 4; no lo es por 25 ni por 100.
10375 es divisible por 25; no lo es por 4 ni por 100.
2800 es divisible por 100, por 25 y por 4.
232451 no es divisible por 4, ni por 25 ni por 100.
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Criterios de divisibilidad por 3 y por 9
Por 3:
Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus
cifras es divisible por 3.
Ejemplos:
Por 9:
Ejemplo:
a) 1428 es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es
1 + 4 + 2 + 8 = 15, y 15 es divisible por 3.
b) 1429 no es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 16.
Un número es divisible por 9 si la suma de los valores de sus
cifras es divisible por 9.
5643 es divisible por 9, pues la suma de sus cifras es
5 + 6 + 4 + 3 = 18 , y 18 es divisible por 9.
Observación: Si un número es divisible por 9 también lo será por 3;
lo contrario no siempre es cierto.
50067 es divisible por 9 (y por 3).
78105 es divisible por 3, pero no por 9
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Matemáticas 1.º
Divisibilidad por 11
La división 44968 : 11 es exacta.
44968 es múltiplo de11.
Distingamos en 44968 las cifras pares y las impares: 4 4 9 6 8
Las cifras impares suman: 4 + 9 + 8 = 21
Las cifras pares suman: 4 + 6 = 10
21 – 10 = 11
Para saber si un número es divisible por 11:
Se suman separadamente las cifras que ocupan los lugares pares
y los impares en la escritura del número.
Si la diferencia entre ambas sumas es múltiplo de 11, el número
dado es divisible por 11.
Ejemplo:
709181 es múltiplo de 11, pues:
Cifras pares:
7 + 9 + 8 = 24
709181
Cifras impares: 0 + 1 + 1 = 2
Diferencia:
24 - 2 = 22
Como 22 es múltiplo de 11, el número 709181 también lo es.
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Divisibilidad con números naturales
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Matemáticas 1º
Descomposición de un número en factores primos
Comprueba que 360 = 23 · 32 · 5
2, 3 y 5 son los factores primos de 360.
Descomponer un número en factores primos es
expresarlo como producto de factores primos.
Disposición
práctica
Vamos a escribir 132 como producto de sus factores primos:
132 = 2 · 66 = 2 · 2 · 33 = 2 · 2 · 3 · 11 =
22
· 3 · 11
66 = 2 ·33
33 = 3·11
Para descomponer un número en factores primos:
Se divide el número por un factor primo.
Se divide el cociente obtenido por otro factor primo y se
repite el procedimiento hasta que el último cociente sea 1.
El número es igual al producto de los factores primos por los
que se ha ido dividiendo.
132
66
33
11
1
2
2
3
11
A la derecha de la
raya vertical
quedan todos los
factores primos
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Matemáticas 1.º
El máximo común divisor de varios números
Consideremos los números 30 y 18.
Divisores de 30: 1 2 3 5 6 15 30
Divisores de 18: 1 2 3 6 9 18
El mayor de ellos es el 6.
Divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6
El máximo común divisor de varios números es
el mayor de sus divisores comunes.
Escribimos: m.c.d(30 y 18) = 6
Para calcularlo se descompone cada número en sus factores primos:
30 = 2 · 3 · 5
18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32
Como 2 y 3 son divisores comunes, su producto también lo es.
2·3=6
El máximo común divisor de varios números es igual al producto
de los factores primos comunes elevados al menor exponente.
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Divisibilidad con números naturales
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Matemáticas 1.º
El mínimo común múltiplo: m.c.m
Consideremos los números 35 y 25.
210 … 350 …525, ...
Múltiplos de 35:
0 35 70 105 140
Múltiplos de 25:
0 25 50 75 100 125 150 175 … 350 … 525, ...
Múltiplos comunes son: 0, 175, 350, 525 ...
175
El menor de ellos, excluido el 0, es 175
Escribimos: m.c.m(35 y 25) = 175
El mínimo común múltiplo de varios números es el menor
de sus múltiplos comunes, excluido el cero.
El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de los
factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
35 = 5 · 7
25 = 52
Factores comunes: 5
m.c.m(35 y 25) = 52 · 7 = 175
Mayor exponente: 2
Factores no comunes: 7
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Divisibilidad con números naturales
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Matemáticas 1.°
Cálculo del m.c.d. y del m.c.m.
Para practicar, halla el m.c.d. y el m.c,m. de los números 780 y 600.
Los descomponemos en factores primos:
780
390
195
65
13
1
600
300
150
75
25
5
1
2
2
3
5
13
2
2
2
3
5
5
780 = 22 · 3 · 5 · 13
600 = 23 · 3 · 52
780 = 22 · 3 · 5 · 13
600 = 23 · 3 · 52
Máximo común divisor:
Factores comunes:
2
Menor exponente respectivo: 2,
3 5
1 y 1
m.c.d.(780, 600) = 22 · 3 · 5 = 60
Mínimo común múltiplo:
Factores comunes:
2
Mayor exponente respectivo: 3,
3 5
1 y 2
Factores no comunes:
13
m.c.m.(780, 600) = 23 · 3 · 52 ·13 = 7800
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Matemáticas 1.º
Aplicación del máximo común divisor
Problema: Una habitación rectangular de 7,8 m de largo por 3 m de ancho se
quiere solar con baldosas cuadradas lo más grandes posibles. ¿Cuánto deberá
medir el lado de cada una si al colocarlas no se quiere romper ninguna?
Se da:
Largo y ancho: 780 y 300 cm.
Se pide:
La medida de las baldosas, lo más
grandes posibles, que cabe tanto a lo
largo como a lo ancho (sin romperlas).
Para no romper ninguna, la media del lado debe ser un divisor de 780 y de 300.
Para que sean lo más grandes posible, ese número será el m.c.d.(780, 300).
La descomposición en factores primos es:
780 = 22 · 3 · 5 · 13
600 = 23 · 3 · 52
m.c.d.(780, 600) = 22 · 3 · 5 = 60
El lado de cada baldosa debe ser de 60 cm.
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Divisibilidad con números naturales
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Matemáticas 1.º
Resolución de problemas
Problema: El número de habitantes del pueblo de Yolanda es un número muy curioso.
Si se divise entre 9 el resto es 1. Si se divide entre 11 el resto es 1.
Además, es el número más pequeño que cumple estas condiciones.
¿Cuántos habitantes tiene el pueblo de Yolanda?
1º. Tantear para comprender mejor
¿Podrían ser 901 habitantes? Al dividir por 9, sobra 1, 901 = 100 · 9 +1. Podría ser
Pero al dividir por 11, sobran 10. Luego, no vale.
2º. Pensar un problema más fácil
Si el número diera de resto 0 al dividirlo por 9 y por 11, sería múltiplo de ambos.
Y por ser el menor posible debería ser 9 · 11.
Pero este no es el problema. El problema dice que da de resto 1.
¡Pues 1!
¿Y qué diferencia hay entre dar de resto 0 y dar de resto 1?
El número será: 9 · 11 + 1 = 100
3º. Comprobar el resultado
100 : 9 da de resto es 1.
100 : 11 da de resto 1.
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