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Tema: 4 Los números enteros 1 Matemáticas 1º Los números enteros +20 +7 –7 Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo – 250 +10 –8 Buena temperatura: + 20 ºC Carlos tiene 10 euros – 776 0 +8 El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar Laura debe 8 euros Los números naturales se consideran enteros positivos: Da lo mismo escribir 4 que +4. Por cada entero positivo se añade el correspondiente entero negativo: +12 … –12; 1545 ...–1545; ... Los números enteros están formados por: enteros positivos, enteros negativos y el cero IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 2 Matemáticas 1º Representación de los números enteros Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos: 1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0. 2º. A la derecha del 0 se representa el +1. 3º. La distancia entre 0 y +1 será la que exista entre cada dos enteros consecutivos. Negativos –5 –4 –3 –2 Positivos –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 4º. A la izquierda del 0 se 4º. A la derecha del 0 se colocan los enteros negativos. colocan los enteros positivos. +6 IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 3 Matemáticas 1º Valor absoluto de un número entero Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero: –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso: El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2. Se indica así: 2 2 2 Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo. Se indica escribiéndolo entre barras Otro ejemplo: 4 4 4 IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 4 Matemáticas 1º Suma de números enteros del mismo signo Enteros positivos (+2) + (+3) = +(2 + 3) = +5 Observa: +3 +2 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 (+16) + (+14) = +30 (+5) + (+21) + (+7) = +33 (+28) + (+56) = +84 Enteros negativos (–2) + (–3) = – (2 + 3) = –5 Observa: –3 –6 –5 –4 –2 –3 –2 –1 0 +1 (–35) + (–72) = –107 (–15) + (–81) + (–93) = –189 +2 (–15) = (–8) + (–7) Para sumar enteros del mismo signo: 1.º Se suman sus valores absolutos. 2.º Al resultado se añade el signo que tienen. IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 5 Matemáticas 1º Suma de números enteros de distinto signo Teresa y Miguel hacen cuentas ... Nos han dado 12 euros (+12) + (–9) = +3 Y hemos gastado 9 euros Les quedan 3 euros Carola y Pablo también hacen sus cuentas ... Nos han dado 18 euros Y hemos gastado 19 euros (+18) + (–19) = –1 ¿Les queda o deben dinero? Deben 1 euro (Observa que el resultado es negativo, como el número de mayor valor absoluto). Para sumar dos números enteros de distinto signo: 1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor. 2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 6 Matemáticas 1º Suma de varios números enteros Veamos un ejemplo: (+100) + (–40) + (–70) + (+50) = (+100) + (+50) + (–40) + (–70) = = (+150) + (–110) = +40 Para sumar varios números enteros: 1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos. 2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido. Otros ejemplos: (+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5 (+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17 Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos. IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 7 Matemáticas 1º Opuesto de un número entero 4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Se llaman opuestos. 4 = op.(–4) –4 = op. (+4) Opuesto del opuesto: –6 –5 –4 op.(–5) = 5 –3 –2 –1 0 +1 op.(5) = –5 +2 +3 +4 +5 +6 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número a 8 b –2 a+b 6 –7 –5 –12 op. (a) –8 7 op. (b) 2 5 op. (a+b) –6 op. (a) + op. (b) –6 12 12 Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos. IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 8 Matemáticas 1º Resta de números enteros Fíjate: (+9) – (+4) = 9 – 4 = 5 Que es lo mismo que: 9 – 4 = 9 + op.(4) = 9 + (– 4) = 5 Otros casos: (+9) – (–4) = 9 + 4 = 13 (–9) – (+4) = –9 + (– 4) = –13 (–9) – (–4) = –9 + 4 = –5 Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Algunos ejemplos: (+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0). (–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8 –7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43 IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 9 Matemáticas 1º El uso de paréntesis Vamos a calcular: 9 – (12 + 3) 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6 2º. También se puede hacer así: 9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6 Como ves, sale el mismo resultado. Calculamos ahora: 12 – (10 – 6) 1º. Operando antes el paréntesis: Son iguales 12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8 2º. También se puede hacer así: 12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8 Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras: 1º. Haciendo las operaciones del paréntesis. 2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene. IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 10 Matemáticas 1º Multiplicación de números enteros Un entero positivo por un entero: La multiplicación puede expresarse como una suma: 7 x 8 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 56 5 x (–7) = (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) = –35 –8 x 4 = 4 x (–8) = (–8) + (–8) + (–8) + (–8) = –32 Dos enteros negativos: Cada día gasta 8 euros Deja de ir a la playa 5 días Ahorra lo que hubiera gastado si hubiera ido: 5 · 8 = 40 euros Luís gasta 8 euros cada vez que va a la playa. Si no va en cinco días, ¿cuánto dinero ahorra? –8 –5 40 (–8) · (–5) = 40 El producto de dos números enteros es un número entero: Positivo cuando los factores tienen el mismo signo. Negativo, si los dos factores son de signo distinto. Su valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 11 Matemáticas 1º Regla de los signos Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. Hay cuatro posibilidades: Regla de los signos: (6) (9) (6 9) 54 (6) (9) (6 9) 54 (6) (9) (6 9) 54 (6) (9) (6 9) 54 Observa: 1º. Se halla el producto de sus valores absolutos. 2º. El resultado es positivo (+) si los factores son del mismo signo. El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo. IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 12 Matemáticas 1º Producto de varios enteros Calculamos –4 x 8 x (–3) Observa: –4 x 8 x (–3) = –32 x (–3) = 96 Se obtiene el mismo resultado –4 x 8 x (–3) = –4 x (–24) = 96 Luego: Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en el orden que se prefiera y se realizan las multiplicaciones por parejas. Otros ejemplos: 1º. El producto –5 x 7 x (–3) puede hacerse: –5 x 7 x (–3) = –35 x (–3) = 105 –5 x 7 x (–3) = –5 x (–21) = 105 2º. 5 x 8 x (–4) x 3 5 x 8 x (–4) x 3 = 40 x (–12) = –440 IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 13 Matemáticas 1º División de números enteros ¿Cuál es el número que multiplicado por –8 es igual a 32? –8 x ? = 32 El número buscado debe ser negativo y de valor absoluto igual a 32 : 8 = 4. Luego el número es –4. Efectivamente –8 x (–4) = 32 El cociente de dos números enteros (dividendo y divisor) es un número: Positivo, si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo. Negativo, si el dividendo y el divisor tienen distinto signo. Su valor absoluto es igual al cociente de los valores absolutos del dividendo y del divisor. Por tanto, para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. Pueden darse cuatro casos: Regla de los signos: (+21) : (+7) = + (21 : 7) = 3 + : + = + 144 : (–12) = –(144 : 12) = –12 + : – = – (–48) : (+6) = – (48 : 6) = –8 – : + = – (–72) : (–8) = + (72 : 8) = 9 – : – = + IMAGEN FINAL Tema: 4 Los números enteros 14 Matemáticas 1º Técnicas y estrategias PROBLEMA TANTEA La suma de los valores absolutos de dos números enteros es igual a 84 y la suma de los números es igual a 36. ¿Cuáles son los números? Si los números fueran 4 y –7, tendríamos que: 4 7 4 7 11 Suma de valores absolutos: No puede ser, los resultados no coinciden. Suma de los números: 4 + (–7) = –3. Por ser su suma igual a 36, el número de mayor valor absoluto es positivo ELIGE UNA ESTRATEGIA Un número negativo – Representamos la situación sobre la recta numérica: Sumando positivo + 36 0 Suman 36 36 Suma de valores absolutos: 84 Luego 84 – 36 es igual al doble del valor absoluto del sumando negativo. RESUELVE EL PROBLEMA 84 – 36 = 48; la mitad es 24. 24 será el valor absoluto del sumando negativo. Por tanto será – 24. Y el otro número, 24 + 36 = 60 COMPRUEBA 24 60 24 60 84 – 24 + 60 = 36 Correcto. IMAGEN FINAL