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BACHILLERATO FÍSICA 03. CAMPO GRAVITATORIO R. Artacho Dpto. de Física y Química 03. CAMPO GRAVITATORIO ÍNDICE 1. 2. 3. 4. 5. 6. Concepto de campo Campo gravitatorio Enfoque energético del campo Representación gráfica del campo Movimiento de cuerpos en un campo gravitatorio Origen y evolución del universo 2 03. CAMPO GRAVITATORIO 1 Concepto de campo ¿Cómo es posible la acción a distancia? En 1831, Faraday establece el concepto de líneas de fuerza, aplicadas a las interacciones entre cargas e imanes, que se extienden por el espacio. En 1865, Maxwell, introduce la noción de campo aplicada al electromagnetismo, basada en las ideas de Faraday. Calcula la velocidad en que propaga la interacción: la velocidad de la luz. Einstein establece el concepto de campo en la gravitación: el campo gravitatorio no es más que la deformación de la geometría del espaciotiempo por efecto de la masa de los cuerpos. 3 03. CAMPO GRAVITATORIO 1 Concepto de campo 1.1. ¿Qué entendemos por campo? Campo es aquella región del espacio cuyas propiedades son perturbadas por la presencia de una partícula. Un campo es definido mediante magnitudes que adquieren distintos valores en cada punto del espacio y en el tiempo: Ai (x, y, z, t) (solo nos dedicaremos a los campos que no dependen del tiempo, estacionarios). Según el tipo de magnitud, los campos pueden ser escalares (p.ej. campo de temperaturas) o vectoriales (p.ej. campo de velocidades). El campo se pone de manifiesto colocando en su seno una partícula dotada de la propiedad (carga, masa,…) necesaria para interactuar con dicho campo. Magnitudes que definen el campo: intensidad del campo (enfoque dinámico) y potencial (enfoque energético). Magnitudes inherentes a la interacción: fuerza que actúa sobre la partícula (enfoque dinámico) y energía potencial (enfoque energético). 4 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio Para definir la magnitud que representa al campo gravitatorio originado por una masa m, elegimos la aceleración que adquirirá una partícula situada en dicho campo y que es independiente de la masa de la partícula testigo. 𝑔 = −𝐺 𝑀𝑇 𝑢 𝑟2 𝑟 La intensidad del campo gravitatorio, 𝒈, en un punto es la magnitud que define el campo gravitatorio desde el punto de vista dinámico y que puede considerarse como la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa testigo colocada en dicho punto: 𝑚𝑚′ −𝐺 2 𝑢𝑟 𝐹 𝑚 𝑟 𝑔= = = −𝐺 2 𝑢𝑟 𝑚′ 𝑚′ 𝑟 La unidad del campo gravitatorio en el SI es el N/kg, que equivale al m/s2. 𝒈 es una magnitud vectorial radial y su sentido apunta hacia m que da lugar al campo. Varía conforme al inverso del cuadrado de la distancia. 5 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio EJERCICIO 1 ¿A qué distancia de un cuerpo de masa 3m tiene el campo gravitatorio el mismo valor que a una distancia r de un cuerpo de masa m? 6 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio 2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos Campo gravitatorio en el exterior de un cuerpo esférico Corteza esférica 𝑑𝑚 𝑠 𝑑𝑔′ La intensidad resultante de un campo gravitatorio debido a una corteza esférica se dirige al centro de la corteza. 𝑔𝑖 El valor de dicho campo es el mismo que se obtendría si toda la masa de la corteza estuviese concentrada en dicho centro. 𝑑𝑔 𝑟 𝑠 𝑑𝑚′ 𝑠 𝑔𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠 7 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio 2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos Campo gravitatorio en el exterior de un cuerpo esférico Esfera sólida El campo gravitatorio originado por cuerpos esféricos de masa m en un punto exterior P es el mismo que el que originaría dicha masa si estuviese concentrada en el centro del cuerpo: 𝑚 𝑔 = −𝐺 2 𝑢𝑟 𝑟 8 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio 2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos Campo gravitatorio en el interior de un cuerpo esférico Corteza esférica 𝑑𝐴 = 𝜋𝑟 2 = 𝜋(𝑏𝑠𝑒𝑛𝑑𝜃)2 𝑟′ 𝑑𝐴′ 𝑚′ 𝑆 𝑑𝜃 𝑏 𝐶 𝑎 = 2𝑏 2 𝑑𝐴′ = 𝜋𝑟 ′ = 𝜋 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑑𝜃 𝑟 𝑚 𝑑𝐴 = 𝜋(2𝑏𝑠𝑒𝑛𝑑𝜃)2 = 4𝑑𝐴 𝑑𝜃 Si la corteza es uniforme: 𝑚′ 𝑚 𝑔 =𝐺 2−𝐺 2 =𝐺 𝑎 𝑏 𝑔 𝑔=𝐺 𝑔=0 2 𝑚′ = 4𝑚 4𝑚 𝑚 − =0 2𝑏 2 𝑏2 𝑚 𝑟2 El campo neto en el interior de una corteza esférica es nulo 9 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio 2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos Campo gravitatorio en el interior de un cuerpo esférico Esfera sólida homogénea La densidad de la esfera: 𝑚 𝑟 𝑚′ 𝑟′ 𝑚 𝑚 𝜌= = 𝑉 4 𝜋𝑟 3 3 En P, solo contribuye la masa m’: 𝑃 3 4 𝑟′ 𝑚′ = 𝜌𝑉 ′ = · 𝜋𝑟′3 = 𝑚 3 4 3 3 𝑟 𝜋𝑟 3 ′3 𝑟 𝑚 3 𝑚′ 𝑔 = −𝐺 ′ 2 𝑢𝑟 = −𝐺 ′𝑟2 𝑢𝑟 𝑟 𝑟 𝑚 = −𝐺 3 𝑟′𝑢𝑟 𝑟 𝑚 𝑔 𝑔=𝐺 𝑔=0 𝑚 𝑟2 El campo neto en el interior de una esfera sólida maciza aumenta linealmente con r’. 10 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio EJERCICIO 2 Dos esferas A y B tienen la misma densidad, pero el radio de A es el triple del radio de B. a) ¿Qué relación guardan los respectivos valores del campo en un punto P equidistante de los centros de las esferas? b) Si la separación entre los centros de las esferas es d, ¿a qué distancia de la esfera A se encuentra el punto en el que el campo resultante es nulo? 11 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio 2.2. Campo gravitatorio terrestre Por todo lo anterior, podemos considerar que el campo gravitatorio terrestre sería el mismo que el que tendría si toda la masa del planeta estuviera concentrada en su centro: 𝑀𝑇 𝑁 𝑔 = −𝐺 2 𝑢𝑟 = −9,8𝑢𝑟 𝑜 𝑚/𝑠 2 𝑘𝑔 𝑅𝑇 Variaciones con la altitud 𝑔=𝐺 𝑔′ 𝑀𝑇 𝑟2 𝑀𝑇 𝑑𝑟 𝑑𝑔 = −2𝐺 3 𝑑𝑟 = −2𝑔 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 2ℎ = 𝑔 + 𝑑𝑔 = 𝑔 − 2𝑔 =𝑔 1−2 =𝑔 1− 𝑟 𝑟 𝑅𝑇 Esta ecuación es válida cuando las altitudes son pequeñas en comparación con el radio terrestre. 12 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio EJERCICIO 3 Considerando que en la superficie de Marte g es de 3,72 m/s2, calcula cuál sería el valor de la gravedad en la cima del monte Olimpo, que, con sus 25 km de altura, es el monte conocido más alto del sistema solar. 13 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio 2.2. Campo gravitatorio terrestre Variaciones con la latitud 𝑌 𝑎𝑐 𝑎𝑐ℎ 𝑋 𝑎𝑐 = 𝜔2 𝑟 = 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑎𝑐𝑟 𝑟 𝑔 𝜑 𝑅𝑇 Valor máximo en el ecuador 0’034 m/s2 𝜑 𝑎𝑐𝑟 = 𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 𝑎𝑐ℎ = 𝑎𝑐 𝑠𝑒𝑛𝜑 = 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑔𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = − 𝑔 − 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 𝑢𝑟 + 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑢ℎ Dado que ac es muy pequeña: 𝑔𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔 − 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 Localidad Latitud Gravedad Polo N Greenwich Florida Ecuador 90º0’ 51º29’ 24º34’ 0º0’ 9,8321 9,8119 9,7897 9,7799 14 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio EJERCICIO 4 Calcula los valores de la gravedad efectiva en las latitudes canarias (aprox. 28º) y cantábricas (aprox. 43º). g = 9,81 m/s2 15 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio 2.3. Principio de superposición de campos 𝑚1 𝑔1 𝑟1 𝑃 𝑔2 𝑔3 𝑟2 𝑔4 𝑟3 𝑚3 En general: 𝑛 𝑚2 𝑚4 𝑔 = 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 + 𝑔4 𝑟4 𝑔= 𝑛 𝑔𝑖 = 𝑖=1 𝑖=1 𝑚𝑖 −𝐺 2 𝑢𝑟𝑖 𝑟𝑖 El campo gravitatorio debido a un conjunto de masas en un punto que dista una distancia ri de cada una de ellas es igual a la composición vectorial de los campos individuales generados por cada una de ellas. 16 03. CAMPO GRAVITATORIO 2 Campo gravitatorio EJERCICIO 5 Tres partículas que tienen, respectivamente, una masa de 2, 4 y 0,3 kg se encuentran situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 8,66 m de altura. ¿Cuánto vale la intensidad del campo, 𝑔, en el centro de dicho triángulo? 17 03. CAMPO GRAVITATORIO 3 Campo gravitatorio. Enfoque energético La fuerza gravitatoria es conservativa. Es posible asociarle una función de la posición denominada energía potencial. 𝑊𝐶 = −∆𝐸𝑃 3.1. Energía potencial gravitatoria 𝑟 𝑟 𝑢𝑟 · 𝑑𝑟 𝑊 = 𝐹 · 𝑑 𝑟 = −𝐺𝑚𝑚′ = −𝐺𝑚𝑚′ 2 𝑟 ∞ ∞ 𝑊=𝐺 𝐸𝑃 𝑟 𝐸𝑃 𝑟 = −𝐺 𝐸𝑃 𝑟 = −𝐺 𝑀𝑇 𝑚′ 𝑅𝑇 𝑚𝑚′ 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 1 1 = −𝐺𝑚𝑚′ − − − 2 𝑟 ∞ ∞ 𝑟 𝑚𝑚′ = −∆𝐸𝑃 = − 𝐸𝑃 𝑟 − 𝐸𝑃 (∞) 𝑟 𝐸𝑃 ∞ = 0 𝐸𝑃 𝑟 = −𝐺 𝑚𝑚′ 𝑟 La energía potencial gravitatoria es el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para aproximar dos masas desde el infinito a una distancia r. 18 03. CAMPO GRAVITATORIO 3 Campo gravitatorio. Enfoque energético 3.1. Energía potencial gravitatoria El término “mgh” 𝑀𝑇 𝑚 𝐵 𝐸𝑃 𝐵 = −𝐺 𝑅𝑇 + ℎ 𝐸𝑃 𝐴 = −𝐺 𝑀𝑇 𝑚 𝑅𝑇 ℎ 𝐸𝑃 𝐵 = −𝐺 𝑀𝑇 𝑚 𝑅𝑇 + ℎ 𝑀𝑇 𝑚 𝐸 𝐴 = −𝐺 𝐴 𝑃 𝑅𝑇 ∆𝐸𝑃 = 𝐸𝑃 𝐵 − 𝐸𝑃 (𝐴) ∆𝐸𝑃 = −𝐺 𝑀𝑇 𝑚 𝑀𝑇 𝑚 − −𝐺 = 𝑅𝑇 + ℎ 𝑅𝑇 = 𝐺𝑀𝑇 𝑚 1 1 ℎ − = 𝐺𝑀𝑇 𝑚 𝑅𝑇 𝑅𝑇 + ℎ 𝑅𝑇 2 + 𝑅𝑇 ℎ Sí h<<RT , RTh<<RT2: ∆𝐸𝑃 = 𝐸𝑃 𝐵 − 𝐸𝑃 𝐴 = 𝑚𝑔ℎ 19 03. CAMPO GRAVITATORIO 3 Campo gravitatorio. Enfoque energético EJERCICIO 6 ¿Cuánto trabajo se realiza al desplazar una masa de 1 000 kg desde la superficie terrestre hasta una distancia igual a tres veces el radio de la Tierra? 20 03. CAMPO GRAVITATORIO 3 Campo gravitatorio. Enfoque energético 3.1. Energía potencial gravitatoria Energía potencial de un sistema de varias partículas 𝑚2 𝑟12 𝑚1 𝑟13 𝑟23 𝑚3 La energía potencial gravitatoria de tres o más partículas es la suma llevada a cabo sobre todos los pares de partículas. 𝐸𝑃 = 𝐸𝑃12 + 𝐸𝑃13 + 𝐸𝑃23 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 𝑚2 𝑚3 𝐸𝑃 = −𝐺 + + 𝑟12 𝑟13 𝑟23 21 03. CAMPO GRAVITATORIO 3 Campo gravitatorio. Enfoque energético EJERCICIO 7 Un sistema consta de cuatro partículas de 10 g situadas en los vértices de un cuadrado de 20 cm de lado. ¿Cuál es la energía potencial del sistema? 22 03. CAMPO GRAVITATORIO 3 Campo gravitatorio. Enfoque energético 3.2. Potencial gravitatorio Se define el potencial gravitatorio en un punto, V, como la energía potencial adquirida por la unidad de masa colocada en dicho punto. 𝑃 𝑚 𝑟 𝑉 𝑟 = 𝐸𝑃 (𝑟) 𝑚 𝐽 = −𝐺 ( ) 𝑚′ 𝑟 𝑘𝑔 𝑃 Por el Principio de superposición: 𝑟1 𝑚1 𝑚2 𝑟2 𝑟3 𝑉(𝑟) = −𝐺 𝑚1 𝑚2 𝑚3 + + 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑚3 23 03. CAMPO GRAVITATORIO 3 Campo gravitatorio. Enfoque energético 3.2. Potencial gravitatorio Relación entre potencial y la intensidad del campo Si derivamos la expresión del potencial respecto de r, 𝑉 = −𝐺 𝑚 𝑟 ⟹ 𝑑𝑉 𝑚 =𝐺 2 𝑑𝑟 𝑟 ⟹ 𝑔=− 𝑑𝑉 𝑑𝑟 Como V = V(x, y, z), 𝜕𝑉 𝑔𝑥 = − ; 𝜕𝑥 𝑔=− 𝜕𝑉 𝑔𝑦 = − ; 𝜕𝑦 𝜕𝑉 𝑔𝑧 = − 𝜕𝑧 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 24 03. CAMPO GRAVITATORIO 3 Campo gravitatorio. Enfoque energético EJERCICIO 8 Cuatro masas de 2, 4, 3 y 0,4 kg, respectivamente, se encuentran en los vértices de un cuadrado de 2 m de lado. ¿Cuánto vale el potencial en el centro del cuadrado? ¿Qué energía potencial adquirirá una masa de 10 kg situada en dicho punto? 25 03. CAMPO GRAVITATORIO 4 Representación gráfica del campo gravitatorio 4.1. Líneas de fuerza y superficies equipotenciales líneas de fuerza Las líneas de fuerza son siempre tangentes al vector intensidad del campo. Su sentido es siempre entrante hacia la masa que origina el campo. Las líneas de fuerza nunca se cruzan. El número de líneas de fuerza que atraviesan una unidad de superficie es proporcional a valor de g. Todos los puntos que se encuentran a la misma distancia r de la masa m, tienen el mismo valor del potencial y constituyen una superficie equipotencial. Las superficies equipotenciales nunca se cortan. Las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales. 26 03. CAMPO GRAVITATORIO 5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio 5.1. Energía de amarre o de ligadura La energía mínima necesaria para que un cuerpo de 1 kg abandone necesariamente la Tierra se denomina energía de amarre o de ligadura. 𝐹 = −𝐹𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 = 𝐺 ∞ 𝑊= ∞ 𝐹 · 𝑑𝑟 = 𝐺𝑀𝑇 𝑚 𝑅𝑇 𝑅𝑇 𝑀𝑇 𝑚 𝑟2 1 𝑀𝑇 𝑚 𝑑𝑟 = 𝐺 𝑟2 𝑅𝑇 Sustituyendo los datos de la Tierra y m = 1 kg: 𝑊 = 6,28 · 107 𝐽 27 03. CAMPO GRAVITATORIO 5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio 5.2. Velocidad de escape Para que un cuerpo abandone totalmente el campo gravitatorio debemos suministrarle, al menos, una energía igual a la de amarre: 1 𝑀𝑇 𝑚 2 𝑚𝑣 = 𝐺 2 𝑅𝑇 ⟹ 𝑣= 2𝐺𝑀𝑇 𝑅𝑇 Esta velocidad se denomina velocidad de escape y es independiente de la masa del cuerpo e indiferente de la dirección de lanzamiento. En la Tierra vale 11,2 km/s. No es suficiente para escapar del sistema solar. Para ello es necesario asistencia gravitacional. una Asistencia gravitacional para la Sonda Cassini 28 03. CAMPO GRAVITATORIO 5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio 5.3. Energías y órbitas Cuando la velocidad de un cuerpo es menor que la velocidad de escape el cuerpo quedará ligado al campo gravitatorio. Velocidad orbital 𝐹 La fuerza gravitatoria hace el papel de fuerza centrípeta 𝑟 𝑀𝑇 𝑚 𝑣2 𝐺 2 =𝑚 𝑟 𝑟 ⟹ 𝑣= 𝐺𝑀𝑇 𝑟 Es la velocidad orbital supuesta una órbita circular. 29 03. CAMPO GRAVITATORIO 5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio 5.3. Energías y órbitas Energía mecánica en una órbita 𝐸𝑀 = −𝐺 𝑟 𝑀𝑇 𝑚 2𝑟 La energía mecánica de un satélite es: 𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 = 1 𝑀𝑇 𝑚 𝑚𝑣 2 − 𝐺 2 𝑟 𝐸𝑃 𝑅𝑇 𝑟2 𝑟3 𝐸3 < 0 𝐸2 < 0 𝐸𝑃 = −𝐺 𝑟 𝑀𝑇 𝑚 𝑟 𝑀𝑇 𝑚 𝑣2 𝐺 2 =𝑚 𝑟 𝑟 𝐸𝑀 = 𝐺 ⟹ 𝐸𝐶 = 1 𝑀𝑇 𝑚 𝑚𝑣 2 = 𝐺 2 2𝑟 𝑀𝑇 𝑚 𝑀𝑇 𝑚 𝑀𝑇 𝑚 −𝐺 = −𝐺 2𝑟 𝑟 2𝑟 𝐸1 < 0 30 03. CAMPO GRAVITATORIO 5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio 5.3. Energías y órbitas Energía mecánica y órbitas EM < 0 𝐸 𝑟𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝐸𝑀 < 0 𝑟 En este caso las órbitas son cerradas: circulares o elípticas. 𝑚 𝐸𝐶 𝐸𝑃 = −𝐺 𝑀𝑇 𝑚 𝑟 𝑀𝑇 𝑟𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 31 03. CAMPO GRAVITATORIO 5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio 5.3. Energías y órbitas Energía mecánica y órbitas 𝐸 𝐸𝑀 = 0 EM = 0 𝑟 En este caso las órbitas son abiertas: parábolas. 𝐸𝐶 𝐸𝑃 = −𝐺 𝑀𝑇 𝑚 𝑟 𝑚 𝑀𝑇 32 03. CAMPO GRAVITATORIO 5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio 5.3. Energías y órbitas Energía mecánica y órbitas 𝐸 𝐸𝑀 > 0 EM > 0 𝑟 𝐸𝐶 𝐸𝑃 = −𝐺 En este caso las órbitas son abiertas: hipérbolas. 𝑀𝑇 𝑚 𝑟 𝑚 𝑀𝑇 33 03. CAMPO GRAVITATORIO 6 Origen y evolución del Universo 34