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ESPÍAS
CRIPTOGRAFÍA (ESCRITURA OCULTA)
La necesidad de enviar mensajes que sólo pudieran
ser leídos por el destinatario ha provocado a lo largo
de la historia la búsqueda de una criptografía o escritura escondida. En la mayoría de los casos el mensaje enviado no presenta el texto original, sino un
código y ciertas claves que permitan traducir al destinatario el mensaje codificado al mensaje original.
La criptografía es uno de los temas presentes en
cualquier película de espionaje, ya que han sido los
servicios secretos los que más la han utilizado y mejorado.
CÓDIGOS BIYECTIVOS
Este tipo de códigos es un ejemplo de función
biyectiva. Hacen corresponder a cada letra un
único símbolo (sea un dibujo, sea una letra), de
manera que sabiendo la función que relaciona
las letras con los símbolos podemos traducir
en las dos direcciones el mensaje.
f : letras  símbolos 
a
 símbolo 1
b
 símbolo 2
...............................
z
 símbolo 26
Código 1: (letras  dibujos)
Fueron los primeros códigos secretos conocidos (los jeroglíficos egipcios se basaban en este tipo de códigos aunque en lugar de letras con palabras.
La siguiente conversación está encriptada con este método.
En una cena de la alta sociedad londinense a la que asistía el primer ministro
Winston Churchill, que tenía fama de maleducado, se mantuvo una discusión entre
éste y Lady C.
En cierto momento, Lady C. le dijo algo a Mr. Churchill o lo que éste le contestó:
1
Este tipo de códigos son los más sencillos de descifrar ya que, dispuesto el mensaje por palabras, tan sólo es necesario hacer pruebas hasta encontrar la relación entre letras y dibujos para que formen palabras.
El escritor Edgar Allan Poe, en su relato El escarabajo de oro, da un método para
descifrar este tipo de mensajes utilizando el número de veces que se repite un
símbolo y teniendo en cuenta cuáles son las letras que aparecen más veces en un
texto.
También es importante tener cierto olfato detectivesco. Por ejemplo, la segunda
palabra del texto de Lady C. acaba en dos letras iguales. Extraño, ¿no? Ésta es
una buena pista para empezar a descifrar el código.
Desencripta los mensajes. La solución en solución.doc.
Escribe, con ayuda del ordenador, utilizando este mismo código:
AYER VI UNA LINDA MARIPOSA
2
La frecuencia de las letras en castellano
 Abre el documento quetejuegas.doc.
Vamos a calcular con el ordenador el porcentaje de cada vocal que hay en el texto.
Seleccionar todo el texto / Edición /Reemplazar.
En Buscar, escribe a y en reemplazar con escribe q.
Reemplazar todos.
Repite el procedimiento para el resto de las vocales.
Calcula los porcentajes de cada una.
¿Cuál dirías que es la vocal más utilizada en castellano?
Cada pareja realizará un estudio del porcentaje de un par de letras para, conjuntamente, elaborar un gráfico en el que aparezcan los porcentajes de cada letra.
Cambiamos de código. Éste es un poco más complicado. A ver si lo sacas.
¿Cómo definirías a Maribel?
Una pista: este código sólo tiene 9 signos, que guardan un orden y el primero es
éste:
M.
La solución en solución.doc.
Escribe utilizando este código un mensaje.
Suponiendo que no puede haber dos signos repetidos en una palabra…
¿Cuántas palabras distintas de tres signos tiene un lenguaje con sólo 9 signos?
Con un diagrama de árbol es fácil contarlas: (pongamos que los signos son
A, B C, D, E, F, G, H, I.
3
Del primer brote salen 9 ramas. De cada una de éstas brotan 8
(no puede repetirse). Y por cada palabra de dos letras, pueden
generarse 7 distintas.
En total: 9x8x7.
Se llama variaciones de 9 elementos tomados de 3 en 3.
Y se denota así:
V93
Sin necesidad de construir un árbol nuevo:
¿Cuántas palabras distintas habría de 4 letras? ¿Y de 6 letras?
¿Y de 9 letras? ¿Y de 12 letras?
Si ahora suponemos que sí pueden repetirse las letras en una
palabra, obtendremos más palabras, naturalmente.
Contesta a las mismas cuestiones formuladas más arriba para el caso en que puedan repetirse las letras.
Con 3 letras habrá: 9x9x9=93.
En total: 9x8x7.
Se llama variaciones con repetición de 9 elementos tomados de 3 en 3.
Y se denota así:
VR93

Abre la página
http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/combinatoria_jjce/index.htm
y visita los cinco apartados que ves en la figura de la
derecha, resolviendo en el cuaderno los ejercicios
que se plantean.

Abre el documento Ejemplos de combinatoria.doc y prueba a resolver los problemas que se
plantean sin mirar la solución. Comprueba tus resultados.

Abre el documento Problemas de combinatoria.doc y resuelve los problemas que se plantean.
Código 2: (letras  letras)
4
Se basa en el mismo principio que el anterior sólo que éste pasa más desapercibido que el anterior ya que confunde al lector haciéndole creer que es o un idioma
desconocido o algo que no tiene sentido.
Por ejemplo, el lógico y filósofo austriaco Ludwig Wittgeinstein, seguramente para ocultar su
homosexualidad, escribió su diario con una clave bastante sencilla de descifrar. Esta frase,
de un optimismo exagerado que no cuadra con
su carácter depresivo, es suya, aunque no del
diario, y sigue ese código secreto que has de
desenmascarar:
MK RZB UMQS NZG
GQ EM JHKYUNZ JEUVU JÑZMFUZHGU
FZNYUM JEUVU HUGKÑDUHGU
 Consulta la página siguiente para saber sobre
la vida y obra de Wittgeinstein.
http://www.antroposmoderno.com/biografias/Wittgenstein.html
De todas formas este tipo de mensajes es fácilmente descifrable si se tiene la
certeza de que cada letra se corresponde con otra.
¿Cuántas posibilidades distintas hay siguiendo esta codificación?
Deben salirte algo parecido a 4·1026, un número enorme para el débil humano, pero no para un ordenador. (¿Cómo se nombra ese número?)
Inventa un código y escribe una frase con él. Pásalo a tu compañero, a ver si lo
resuelve.
Código 3: (letras + espacio en blanco  letras + espacio en blanco)
Una interesante variante a este código se presenta si, a la vez de codificar las
letras del alfabeto, se codifica también el espacio en blanco.
Ahora las palabras ya no serán necesariamente las cadenas de letras, cambiará la
estructura de la frase y será más difícil descifrarlo.
El filósofo Kant nos da un consejo escueto (pista: su nombre va al
principio):
IRFAS ÑASÑ SIRPNA
CÓDIGOS CON NÚMEROS
5
Código 4: números primos
Ya sabes que un número es primo si sólo es divisible por sí mismo (y por 1, claro).
Como hay primos para dar y vender (¿cuántos hay?) y resulta complicado saber si
un número alto es o no es primo, inventar códigos jugando con ellos resulta muy
interesante.
De hecho, durante la guerra fría, se elaboraron algunos complejos métodos de
encriptación basados en los números primos.
Un ejemplo sencillo de entender sería, conociendo 27 números primos, asignarlos
a las 27 letras del alfabeto, como en la siguiente función:
A
B
2
C
3
D
5
E F G H I
J
K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y
Z
7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103

Investiga en Internet en
qué consiste la llamada criba
de Eratóstenes. Dónde y
cuando vivió este matemático
y cuáles fueron sus contribuciones científicas.
Así, el mensaje HOLA MANOLO quedaría codificado de la siguiente manera:
(19) (53) (37) (2)
(41) (2) (43) (53) (37) (53)
Pero, si no se hiciera nada más, no habría ninguna diferencia con los códigos biyectivos anteriores, ya que cada letra sería un número.
Para buscar nuevos horizontes, podríamos multiplicar los números de cada palabra entre sí y obtendríamos:
19·53·37·2
41·2·43·53·37·53
74518
366467758
Ahora, ya los símbolos del mensaje no tienen nada que ver con las letras del alfabeto y, por tanto, no hay correspondencia biyectiva.
Sólo hay que tener en cuenta una cosa: 74518 sólo tiene por divisores 2, 19, 37 y
53. Al multiplicarlos se pierde el orden en que éstos están dispuestos. Una manera de arreglarlo sería dando dos líneas de código, una la anterior y otra las posiciones de los divisores atendiendo a su orden relativo en cada palabra.
Así, en la palabra HOLA (19·53·37·2), el 2 es el primero (menor), 19 el segundo,
37 el tercero y 53 es el cuarto (mayor). Con esto, el mensaje quedaría dispuesto
para descodificar de la siguiente manera:
6
74518
(2) (4) (3) (1)
366467758
(3) (1) (4) (5) (2) (5)
(código encriptado)
(orden de los divisores)
Por supuesto, no se utilizaban estos números primos para encriptar ya que todo el mundo los conocía.
Uno de los secretos mejor guardados
del Pentágono era una lista de números
primos muy altos (con cientos de cifras).
Llegó un momento en el que encontrar
un número primo alto podía dar mucho
dinero.
Prueba a descodificar el siguiente mensaje encriptado con el sistema anterior
(Se cuenta que es el epitafio de Groucho Marx, pero no es cierto, puesto que el
cómico no fue enterrado sino incinerado).
Pero, antes de nada, para no dar palos de ciego, haz lo siguiente:
Uno: Escribe en tu cuaderno los criterios de divisibilidad de los siguientes números: 2, 3, 4, 5, 6, (existe alguno para el 7, pero es complicado), 8, 9, 10 y 11.
 Si no recuerdas alguno de ellos, abre la página siguiente donde tienes todos (incluso uno para
el 7):
http://www20.brinkster.com/fmartinez/aritmetica2.htm

Abre la hoja nueve.xls, y juega hasta que
descubras el truco. Escríbelo.
Dos:

Abre la hoja de cálculo teorianumeros.xls
[Test] que evalúa si un número es primo o es
compuesto.
Tres: Trabaja con Excel para realizar la descomposición factorial.
7
Éste es el supuesto epitafio de Groucho Marx:
7630527289
2279
53009
(5) (2) (6) (1) (4) (3) (2)
(1) (2)
(2) (3) (1)
451
2332848298
(2) (1)
(3) (2) (6) (1) (4) (5) (2)
Números primos
En la lista siguiente se leen distintas afirmaciones acerca de los números primos. Algunas son
ciertas, otras falsas y otras son conjeturas (se cree que son ciertas, pero no se ha encontrado
todavía una demostración). Da tu opinión acerca de ellas. En las que creas que son falsas intenta encontrar un contraejemplo (un ejemplo en el que no se cumpla la propiedad).
 Las siguientes hojas de cálculo te serán de ayuda para contestar alguna de las cuestiones: TeoríaNúmeros.xls, GoldbachTodas.xls y Bertrand.xls.
1. Hay infinitos números primos.
2. Puede encontrarse una lista tan grande como se quiera de números consecutivos en los que
no haya ningún número primo.
3. La suma de las cifras de un número primo nunca puede ser un número múltiplo de 9.
4. La suma de las cifras de un número primo nunca puede ser un número par.
5. La descomposición en factores primos de un número es única.
6. Cualquier número par puede ser descompuesto en la suma de dos números primos.
(Haz 3 comprobaciones para número mayores que 1000, escribiendo todas las posibilidades)
7. Cualquier número impar puede ser descompuesto en la suma de tres números primos.
(Haz 3 comprobaciones para número mayores que 1000)
8. Siempre hay algún primo entre n y 2n.
(Encuentra alguno para n=23445, n=33333333)
9. Siempre hay algún primo entre n2 y (n+1)2.
(Encuentra alguno para n=23, n=3333)
10. Hay infinitas parejas de números primos de la forma p, p+2 (primos gemelos).
(Encuentra tres parejas de éstas)
11. Si dos números, p, q (p>q) son primos, también lo es p2-q2+1.
12. 2n-1 siempre es un número primo para cualquier valor de n, número natural n>1.
8
Código 5: números irracionales
Los números reales se dividen en dos clases bien diferenciadas: Los que pueden
escribirse en forma de fracción (racionales) y los que no admiten una fracción
que los represente (irracionales). La expresión decimal de los racionales, aún
siendo infinita en muchos casos, siempre acaba por repetirse, pero la de los irracionales, además de ser infinita, no se repite de forma periódica. Este hecho
convierte a estos números “locos” en fuente inagotable para la obtención de códigos secretos.
Uno de los números irracionales más famosos es .
Hay quien compone sinfonías codificando los decimales de .
Mientras nadie se entere que escondemos  debajo de la manga, teniendo presentes, por ejemplo, las primeras 54 (27x2) cifras decimales de ,
Pi
=
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 : 500
3.
: 50
: 100
: 150
: 200
: 250
: 300
: 350
: 400
: 450
podemos escribir mensajes como éste:
79143835583250714343359314143250716550326535923938651465356
93992393543435084393858143239101414438914383532
Gámez nos lleva a no sé dónde. Cuida de tu cuello. Quizá huya a Alfamén.
El otro irracional estelar es la raíz cuadrada de 2. Demostrar que es irracional
es bastante complicado, pero ver que 2 no puede escribirse en forma de fracción es una cuestión accesible.

Busca en Internet alguna demostración de que
un número irracional.
2 es
Fabrícate un código y escribe un mensaje corto con él.
9
EL CÓDIGO MARAVILLOSO
Qué tipo de número es el que le sale al doctor Zeta: ¿Racional o irracional?
¿Qué es la fracción generatriz de un número decimal?
¿Cuál es la fracción generatriz de 0,13131313131313….
Define la regla de formación de este número: 0,123456789101112131415…
¿Es racional o irracional?
10
Fibonacci, el número de oro y el Código Da Vinci
El Código da Vinci:
En la novela aparece la Sucesión de Fibonacci en varias ocasiones. La
primera vez, en la escena del crimen del Gran Maestre de la orden del
Priorato de Sión: 13-3-2-21-1-1-8-5. Como se ve son los primeros ocho
números de Fibonacci desordenados. Posteriormente estos dígitos ordenados se convertirán en el número de cuenta secreta que da acceso al
gran Secreto guardado por la Orden.
Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci, contracción de filius Bonacci, es decir el hijo de Bonacci) nace en Pisa, posiblemente hacia 1170 y muere sobre 1250.
Al ser su padre representante comercial de la ciudad de Pisa en Argelia, estuvo
en contacto con la cultura árabe, interesándose especialmente por sus matemáticas. Su obra principal fue el Liber Abaci (o Libro acerca del
Ábaco), una extensa obra que contiene casi todo el conocimiento algebraico y aritmético de la época. En ella Fibonacci
exponía entre otras cosas, la importancia del sistema de
numeración indoarábigo. Escrito en 1202, sólo se conserva la
versión de 1228 (segunda versión). En él aparece (pgs. 123 y
124) un problema sobre el nacimiento de conejos y que nada
tuvo de significativo hasta que, a comienzos del siglo pasado, fue objeto de numerosos estudios que permitieron descubrir muchas de las propiedades que tiene. Aunque anteriormente Kepler (De
Nive Sexangula) ya había relacionado la sucesión de Fibonacci con la sección áurea y el crecimiento de plantas.
En honor de Fibonacci, la sucesión definida por
a1 = 1
a2 = 1
an+2 = an + an+1
si n>2
recibe el nombre de sucesión de Fibonacci y sus términos, números de Fibonacci.
Escribe los 6 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.
En su Liber Abacci (El libro del Ábaco). Fibonacci propuso el siguiente problema:
"Tenemos una pareja de conejos, si, en cada parto obtenemos una nueva pareja y
cada nueva pareja tarda un mes en madurar sexualmente y el embarazo dura un
mes, ¿Cuantas parejas tendremos en 12 meses?"
¿Cuál es el resultado buscado por Fibonacci?
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La sucesión de Fibonacci tiene muchas propiedades curiosas:
1. La suma de los n primeros términos es: a1 + a2 +... + an = an+2 - 1
2. La suma de los términos impares es: a1 + a3 +... + a2n-1 = a2n
3. La suma de los términos pares es: a1 + a2 +... + a2n = a2n+1 - 1
4. La suma de los cuadrados de los n primeros términos es: a12 + a22 +... + an2 = anan+1
5. Si n es divisible por m entonces an es divisible por am
6. Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre sí.
7. La propiedad más curiosa de esta sucesión es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la razón áurea. Esto es:
lim
n 
a n 1 1  5

   número aúreo
an
2
(Intenta demostrarlo)
 Abre la hoja sucesiones2.xls para comprobar los resultados.
 Infórmate en Internet en qué consiste la razón áurea.
 Intenta demostrar los resultados 1, 2, 3, 4 y 6 por el método
de inducción matemática que se explica en la siguiente página:
http://www.cie.uva.es/matematicas/olimpiadamatematica/Induccion1.pdf
 Lectura recomendada: La
biblioteca de Babel, en Ficciones, de J. L. Borges.
BORGES (Jorge Luis), escritor argentino [1889 + 87]
Famoso por no habérsele concedido el Premio Nobel de
Literatura
“He conocido lo que ignoran los griegos: la incertidumbre”.
La lotería en Babilonia
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El juego del 15
Aquí tienes el conocido juego del 15, inventado por el matemático Sam
Lloyd.
Se trata de pasar, con el menor número de movimientos, jugando siempre con el hueco, de una posición desordenada a la solución, que expone
todos los números ordenados del 1 al 15.
Para jugar, entra en la página:
http://www.anarkasis.com/pitagoras/983_juegos_combinatoria/
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