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POTENCIA Definición Sean a un número real y n un número natural, entonces: a n = a × a ×.......× a ( n factores a ) Ejemplo: 3 5 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243 Propiedades Sean a y b números reales no nulos y n y k números enteros, entonces: 1)a0 = 1 (4)0 = 1 Ejemplo: 2)a1 = a (7)1 = 7 Ejemplo: 3 ) a n = 1 an 4)an × ak = an + k an ak Ejemplo: 4 1 8 = 23 × 24 = 23 Ejemplo: 5)an ÷ ak = 1 23 2 3 = Ejemplo: = an 5 ÷ 4 + 4 k = 45 42 = 23 × 2 2 = 2 7 = 128 = 45 2 = 4 3 = 64 6 ) ( a n ) k = a nk Ejemplo: ( 2 3) 2 = 2 6 = 64 7)an × bn = (ab)n Ejemplo: 8) a n ÷ b n = 2 3 an bn Ejemplo: 6 × 3 3 = (2 × 3) a = b 4 ÷ 2 4 = 3 = 6 3 = 216 n 64 24 6 = 2 4 = 3 4 = 81 Signo de una potencia Sean a un número real no nulo y n un número entero, entonces: 1 ) Si n es par, entonces a Ejemplos: n > 0. (5) 5 4 = 625 2 ) Si n es impar y a > 0, entonces a Ejemplo: > 0. n < 0. = 625 7 3 = 343 3 ) Si n es impar y a < 0, entonces a Ejemplo: n 4 (7) 3 = 343 Orden de operaciones El orden de operaciones con números reales, salvo paréntesis, es el siguiente: 1º ) Exponenciación 2º ) Multiplicación 3º ) Adición Ejemplos: 4 + 2 × 3 2 = 22 4 + (2×3) 2 = 40 ( 4 + 2 ) × 3 2 = 54 (4 + 2×3) 2 ((4 + 2)×3) = 100 2 = 324 Observación: Cuando hay solamente adiciones, o sólo multiplicaciones, se opera de izquierda a derecha, salvo paréntesis. 7 4 + 3 = 6 Ejemplos: 8÷4×2 = 4 7 (4 + 3) = 0 8÷(4×2) = 1 POTENCIA Y RAIZ POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL Definición: Sean a R y n N , entonces: 1 ) a1 2 ) an 1 a an a Ejemplo: 7 1 7 72 71 1 71 71 7 7 73 72 1 72 71 49 7 49 343 Propiedades: Sean a y b números reales, m y n números naturales, entonces: 1 ) an am an m Ejemplo: 3 2 3 4 2) am n Ejemplo: 3 ) an bn 1 36 729 amn 532 56 15.625 a b n Ejemplo: 2 3 6 3 4 ) 1n 2 6 3 12 3 1.728 Ejemplo: 1 500 5 ) 0n 1 0 0 Ejemplo: 0 999 POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO Definición: Sean a un número real no nulo y n un número natural, entonces: 1 ) a0 1 Ejemplo: – 4.756 0 2) a– n 1 a–1 n Ejemplo: 5 –2 5 – 1 2 1 5 2 1 25 Propiedades: Sean a y b números reales no nulos, m y n números enteros, entonces se cumplen todas las propiedades de las potencias de exponente natural, excepto la última y además: 1) a –n a –1 n Ejemplo: – 4 2) a n a m –3 an a 3) a b n Ejemplo: 15 4 3 4 1 an – 4 an a b n –1 m Ejemplo: 8 5 8 3 n 1 a 1 – 4 – m 82 n 3 4 15 3 64 an bn 54 a b n 625 3 – 1 64 Signo de una potencia: Sean a un número real no nulo y n un número entero, entonces: 1 ) a > 0 n par Ejemplos: 6 3 an > 0 216 – 9 2 2 ) a < 0 n impar Ejemplo: – 2 5 81 an < 0 – 32 RAIZ ENESIMA Definición: Sean a número real, n número natural mayor que 1 real, entonces: bn a y b un número no necesariamente b es raíz enésima de a Observación: Cada número real no nulo tiene n raíces enésimas. El 0 tiene solamente una. Ejemplo: – 2 6 64 – 2 es una de las seis raíces sextas de 64. RAIZ ENESIMA PRINCIPAL ( O ARITMETICA ) Definición: i ) Si a 0 y n es par, entonces b es su raíz enésima principal si y sólo si: bn Ejemplo: 3 4 81 a y b 0 3 es la raíz cuarta principal de 81. ii ) Si a es un número real y n es impar, entonces b es su raíz enésima principal si y sólo si: bn Ejemplo: – 5 3 – 125 a y b es un número real – 5 es la raíz cúbica principal de – 125. Simbología: Si b es raíz enésima principal de a, esto se simboliza de la siguiente forma: b Ejemplos: 3 4 a 81 –5 n 3 – 125 Observación: Si a < 0 y n es par, entonces a no tiene raíz enésima principal real. Propiedades: Sean a y b números reales positivos, m y n números naturales mayores que 1 y p número entero, entonces: 1) 2) n a n n a Ejemplo: 4 a Ejemplo: an 7 5 ) n impar Ejemplo: 3 5 n –a – 729 2 a n 0 –9 0 7 – 4 7 n 4 b n ab – a n – 5 4 8 – a n n Observación: a R 7) 17 < 0 85 Ejemplo: n a Ejemplo: 6 ) n par 128 3 ) n impar n 4 > 0 Ejemplo: 4) 17 –4 a2 –a a 4 54 = |a| 5 2 3 Ejemplos: 3 98 n 8) n a b 3 a 2000 3 2 m n 3 Ejemplo: 10 ) 11 ) ap Ejemplo: 4 n n ap Ejemplo: n 64 49 2 15 196 n m 3 4 49 2 7 2 a b n Ejemplos: 9) 32 a mn 3 1000 10 15 14 a 8 2 p 4 16 3 mn 6 3 196 n 15 a 8 2000 2 3 3 16 23 8 amp 84 3 82 3 64 4 Observación: Las propiedades 1 ) , 7 ) , 8 ) , 9 ) , 10 ) y 11 ) también se cumplen si a , n b y m a son reales. Ejemplos: –2 3 3 – 250 3 3 5 5 2 3 –4 – 64 – 243 2 – 250 2 3 5 3 – 64 5 3 – 2 – 4 3 – 125 5 – 243 POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL 3 8 9 –5 –4 2 – 3 2 2 Definición: Sean a > 0 , n número natural mayor que 1 y p número entero, entonces: a p n n ap Propiedades: Las potencias de exponente racional cumplen todas las propiedades de las potencias de exponente entero y además la siguiente: a Ejemplo: 27 2 3 3 27 2 p n 3 n a p 27 2 32 9 Observación: Las potencias de base positiva y exponente real, también cumplen todas las propiedades de las potencias de exponente entero. RACIONALIDAD Para determinar si una expresión real es racional o irracional, siguiente: hay que tener presente lo Teorema 1: La suma y el producto de dos números racionales, son racionales. a Q b c Q d ad bc Q bd ac Q bd Teorema 2: La suma y el producto de un número racional no nulo y un número irracional, son irracionales. Ejemplo: 2 y 2 3 son irracionales. 3 Teorema 3: La suma y el producto de dos números irracionales, pueden ser racionales o irracionales. Ejemplos: 2 3 2 – 2 2 5 2 8 es irracional, 0 es racional, es irracional, 10 4 es racional. Teorema 4: Sean n un número natural mayor que 1 y a un entero positivo, entonces: n a N n a I Ejemplo: no es un número natural es irracional. 7 Teorema 5: Sean n un número impar positivo mayor que 1 y a un entero, entonces: a Z n 3 Ejemplo: a I n no es un número entero es irracional. –2 Teorema 6: Sean n un número natural mayor que 1 y a un irracional, entonces: n 3 Ejemplo: a R a I n es un número real es irracional. 9 RACIONALIZACION Ejemplos: 15 1) 5 6 2) 3) 4) 12 3 – 7 9 1 3 2 7 15 5 7 12 3 – 7 9 1 3 23 3 7 3 7 1 – 2 3 3 3 3 4 2 3 2 3 6 24 7 5 5 24 3 1 – 2 91 – 7 15 5 6 23 5 7 3 24 2 12 3 7 9 – 7 22 22 3 2 1 = 1 22 = 4 4 = 2 32 = 9 9 = 3 3 7 3 3 1 POTENCIAS Y RAICES CUADRADAS 12 = 1 91 – 31 – 5 4 24 63 2 3 23 3 4 7 4 2 = 16 16 = 4 5 2 = 25 25 = 5 6 2 = 36 36 = 6 7 2 = 49 49 = 7 8 2 = 64 64 = 8 9 2 = 81 81 = 9 10 2 = 100 100 = 10 11 2 = 121 121 = 11 12 2 = 144 144 = 12 13 2 = 169 169 = 13 14 2 = 196 196 = 14 15 2 = 225 225 = 15 16 2 = 256 256 = 16 17 2 = 289 289 = 17 18 2 = 324 324 = 18 19 2 = 361 361 = 19 20 2 = 400 400 = 20 POTENCIAS Y RAICES CUBICAS 13 = 1 3 1 = 1 23 = 8 3 8 = 2 3 3 = 27 3 27 = 3 4 3 = 64 3 64 = 4 5 3 = 125 3 125 = 5 6 3 = 216 3 216 = 6 7 3 = 343 3 343 = 7 8 3 = 512 3 512 = 8 9 3 = 729 3 729 = 9 10 3 = 1000 3 1000 = 10 EJERCICIOS DE POTENCIA Calcula: 1) 03 R: 0 2) 15 R: 1 3) 80 R: 1 4) 51 R: 5 5 ) 3–1 R: 1 3 6 ) 4–2 R: 1 16 7 ) 2 3 × 22 R: 32 8) 3×32 R: 27 9) 63÷62 R: 6 10 ) 7 2 ÷ 7 3 11 ) ( 2 3 ) 2 12 ) ( 3 2 ) 2 R: 1 7 R: 64 R: 81 13 ) 4 2 × 3 2 R: 144 14 ) 2 3 × 3 3 R: 216 15 ) 12 3 ÷ 4 3 R: 27 16 ) 3 2 ÷ 15 2 R: 1 17 ) 2 1 25 –3 R: 8 –2 3 18 ) 5 R: 25 9 19 ) 0,25 2 R: 16 20 ) 0,75 3 R: 21 ) 0,2 2 R: 25 22 ) ( 2 ) 2 + ( 2 ) 3 ( 2 ) 5 R: 28 23 ) 1 2 + ( 1 ) 3 ( 1 ) 4 R: 3 24 ) ( 1 ) 3 1 5 ( 1 ) 2 R: 1 25 ) ( 1 ) 1 + 1 3 ( 1 ) 2 R: 1 26 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) 5 1 1 R: 0 27 ) 5 + 3 2 64 27 R: 14 28 ) 4 × 5 2 R: 100 29 ) 2 3 × 5 – 1 R: 39 30 ) 2 3 × ( 5 – 1 ) R: 32 31 ) 6 × 4 2 – 3 R: 93 32 ) 6 × ( 4 2 – 3 ) R: 78 33 ) 7 + 3 2 × 8 R: 79 2 34 ) ( 7 + 3 ) × 8 R: 128 35 ) ( 2 9 2 3 ) 3 2 R: 56 36 ) ( 3 4 3 2 ) 2 3 R: 9 37 ) ( 9 × 10 4 ) 2 38 ) ( 2 × 10 – 1 ) R: 8,1 × 10 9 3 R: 8 × 10 – 3 39 ) 0,08 2 R: 6,4 × 10 – 3 40 ) 0,002 5 R: 3,2 × 10 – 14 41 ) 6.000 42 ) 700 3 2 R: 3,6 × 10 7 R: 3,43 × 10 8 43 ) 5.000 3 R: 1,25 10 11 44 ) 200 5 R: 3,2 10 11 45 ) 80.000 2 R: 6,4 10 9 46 ) 0,00003 4 R: 8,1 10 19 47 ) 0,004 3 R: 6,4 10 8 48 ) 0,03 3 0,006 2 R: 49 ) 200 6 40.000 3 R: 1 50 ) 40 – 3 800 – 2 R: 10 3 2 5 51 ) 5 3 2 4 9 52 ) 7 7 3 2 3 53 ) 5 5 5 3 7 2 25 – 1 64 3–5 58 ) 2 4 9–2 23 54 59 ) – 3 7 25 – 1 49 3 2 61 ) b 4 b 3 40 81 R: 175 42 57 ) – 1 5 2 R: 3 3 a 16 81 R: 12 4 27 3 R: 2 2–3 56 ) – 2 3 60 ) a 8 27 –4 49 7 55 ) 5 125 2 R: 2 9 3 54 ) 4 64 3 4 R: 1 32 R: 1 5 2 3 R: 18 –3 R: 25 R: a R: b 5 62 ) c 1 c R: 1 63 ) d 6 d 2 R: d 4 64 ) e 5 e 2 R: e 7 65 ) 2 2 a 3 b 2 3 a 2 b 1 R: 32 a 5 66 ) 3 p 3 q 2 3 3 pq 9q3 R: p2 67 ) 5 4 r 3 s 2 5 2 r 2 s 3 R: 25 r s 68 ) 4 1 j k 2 4 4 j 2 k 1 R: 69 ) ( a 5 a 3 ) ( a 3 + a 2 ) R: a ( a 1 ) 70 ) ( c 5 + c 2 ) ( c 3 + c 2 ) R: c 2 c + 1 71 ) ( d 6 d 3 ) ( d 4 d 3 ) R: d 2 + d + 1 72 ) ( x 6 x 2 ) ( x 3 + x 2 + x + 1 ) R: x 2 ( x 1 ) 73 ) ( y 7 y 3 ) ( y 3 y 2 + y 1 ) R: y 3 ( y + 1 ) 64 jk 74 ) t 2 ( 3t – 1 t 0 2t – 2 ) t( t 4 4t – 1 ) R: t 1 t 2 75 ) d– 1 ( 9d 6d2 d3 ) d2 ( 1 – 9d– 2 ) R: d 3 d – 3