Download POTENCIA Y RAIZ

POTENCIA
Definición
Sean a un número real y n un número natural, entonces:
a n = a × a ×.......× a
( n factores a )
Ejemplo: 3 5 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
Propiedades
Sean a y b números reales no nulos y n y k números enteros, entonces:
1)a0 = 1
(4)0 = 1
Ejemplo:
2)a1 = a
(7)1 = 7
Ejemplo:
3 ) a n =
1
an
4)an × ak = an
+ k
an
ak
Ejemplo:
4
1
8
=
23 × 24 = 23
Ejemplo:
5)an ÷ ak =
1
23
2 3 =
Ejemplo:
= an
5
÷ 4
+ 4
 k
=
45
42
= 23
× 2
2
= 2 7 = 128
= 45
 2
= 4 3 = 64
6 ) ( a n ) k = a nk
Ejemplo:
( 2 3)
2
= 2 6 = 64
7)an × bn = (ab)n
Ejemplo:
8) a
n
÷ b
n
=
2
3
an
bn
Ejemplo:
6
× 3
3
= (2 × 3)
 a 
= 

 b 
4
÷ 2
4
=
3
= 6
3
= 216
n
64
24
 6 
= 

 2 
4
= 3 4 = 81
Signo de una potencia
Sean a un número real no nulo y n un número entero, entonces:
1 ) Si n es par, entonces a
Ejemplos:
n
> 0.
(5)
5 4 = 625
2 ) Si n es impar y a > 0, entonces a
Ejemplo:
> 0.
n
< 0.
= 625
7 3 = 343
3 ) Si n es impar y a < 0, entonces a
Ejemplo:
n
4
(7)
3
=  343
Orden de operaciones
El orden de operaciones con números reales, salvo paréntesis, es el siguiente:
1º ) Exponenciación
2º ) Multiplicación
3º ) Adición
Ejemplos:
4 + 2 × 3 2 = 22
4 + (2×3)
2
= 40
( 4 + 2 ) × 3 2 = 54
(4 + 2×3)
2
((4 + 2)×3)
= 100
2
= 324
Observación: Cuando hay solamente adiciones, o sólo multiplicaciones, se opera de
izquierda a derecha, salvo paréntesis.
7  4 + 3 = 6
Ejemplos:
8÷4×2 = 4
7  (4 + 3) = 0
8÷(4×2) = 1
POTENCIA Y RAIZ
POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL
Definición:
Sean a  R y n  N , entonces:
1 ) a1
2 ) an

1
a

an  a
Ejemplo: 7 1

7
72

71  1

71  71

7  7
73

72  1

72  71

49  7

49

343
Propiedades:
Sean a y b números reales, m y n números naturales, entonces:
1 ) an  am

an  m
Ejemplo: 3 2  3 4
2)
 am n

Ejemplo:
3 ) an  bn

1

36
729
amn
532


56

15.625
 a b n
Ejemplo: 2 3  6 3
4 ) 1n


 2  6 3
 12 3
 1.728
Ejemplo: 1 500

5 ) 0n

1

0
0
Ejemplo: 0 999
POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO
Definición:
Sean a un número real no nulo y n un número natural, entonces:

1 ) a0
1
Ejemplo:  – 4.756  0
2) a–
n
 1
 a–1 n

Ejemplo: 5
–2
 5 – 1 2

 1 


 5 

2
1
25

Propiedades:
Sean a y b números reales no nulos, m y n números enteros, entonces se cumplen todas
las propiedades de las potencias de exponente natural, excepto la última y además:
1) a
–n
a 
–1

n
Ejemplo:  – 4 
2) a
n
 a
m

–3
an

a
3) a
 b
n
Ejemplo:
15 4
3
4

1
an

 – 4  
an

a  b

n
–1


m
Ejemplo: 8 5  8 3
n
 1 


 a 

1 

 –

4 

– m
82
n
3

4
 15 


 3 

64
an
bn


54
 a 


 b 

n
625
3

–
1
64
Signo de una potencia:
Sean a un número real no nulo y n un número entero, entonces:
1 ) a > 0  n par
Ejemplos: 6 3


an > 0
216
 – 9 2

2 ) a < 0  n impar
Ejemplo:  – 2  5
81


an < 0
– 32
RAIZ ENESIMA
Definición:
Sean a número real, n número natural mayor que 1
real, entonces:

bn

a
y
b un número no necesariamente
b es raíz enésima de a
Observación: Cada número real no nulo tiene n raíces enésimas. El 0 tiene solamente una.
Ejemplo:  – 2  6


64
– 2 es una de las seis raíces sextas de 64.
RAIZ ENESIMA PRINCIPAL ( O ARITMETICA )
Definición:
i ) Si a  0 y n es par, entonces b es su raíz enésima principal si y sólo si:
bn
Ejemplo: 3 4


81

a
y
b  0
3 es la raíz cuarta principal de 81.
ii ) Si a es un número real y n es impar, entonces b es su raíz enésima principal si y
sólo si:
bn
Ejemplo:
 – 5 3


– 125
a
y

b es un número real
– 5 es la raíz cúbica principal de – 125.
Simbología:
Si b es raíz enésima principal de a, esto se simboliza de la siguiente forma:

b

Ejemplos: 3
4
a
81

–5
n
3
– 125
Observación: Si a < 0 y n es par, entonces a no tiene raíz enésima principal real.
Propiedades:
Sean a y b números reales positivos, m y n números naturales mayores que 1 y p
número entero, entonces:
1)
2)
n a  n
n

a
Ejemplo:
4
a
Ejemplo:
an
7

5 ) n impar
Ejemplo:
3
5

n
–a
– 729
2


a 
n
0

–9
0
7
 – 4 7
n
4
b
n
ab


 – a n
 – 5 4

8
 – a n
n
Observación: a  R 
7)
17
< 0

85


Ejemplo:
n

a
Ejemplo:
6 ) n par
128

3 ) n impar
n
4
> 0
Ejemplo:
4)
17
–4


a2
–a
a
4
54
= |a|

5
2 
3
Ejemplos:
3

98
n
8)
n
a

b
3
a
2000
3

2
m n

3
Ejemplo:
10 )
11 )
ap

Ejemplo:
4
n
n
ap

Ejemplo:
n

64
49  2
15
196
n m
3
4

49 

2
7 2
a
b
n
Ejemplos:
9)

32

a
mn
3


1000
10
15
14
a

8
2
p
4

16 3
mn
6

3

196

n

15

a
8
2000
2
3
3
16


23
8
amp

84
3

82
3

64
4
Observación: Las propiedades 1 ) , 7 ) , 8 ) , 9 ) , 10 ) y 11 ) también se cumplen si
a , n b y m a son reales.
Ejemplos:
 –2  
3
3
– 250
3
3 5
5
2
3
–4

– 64
 – 243  2
– 250
2
3


5 3

– 64
5
3
 – 2  – 4 

3

– 125
5
 – 243  
POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL


3
8


9
–5
–4
2

 – 3 2
2
Definición:
Sean a > 0 , n número natural mayor que 1 y p número entero, entonces:
a
p
n

n
ap
Propiedades:
Las potencias de exponente racional cumplen todas las propiedades de las potencias de
exponente entero y además la siguiente:
a
Ejemplo: 27
2
3

3

27 2
p
n
3
 n a p

27
2

32

9
Observación: Las potencias de base positiva y exponente real, también cumplen todas las
propiedades de las potencias de exponente entero.
RACIONALIDAD
Para determinar si una expresión real es racional o irracional,
siguiente:
hay que tener presente lo
Teorema 1: La suma y el producto de dos números racionales, son racionales.
a
 Q
b

c
 Q
d
ad  bc
 Q
bd


ac
 Q
bd
Teorema 2: La suma y el producto de un número racional no nulo y un número irracional, son
irracionales.
Ejemplo:
2 
y 2
3
son irracionales.
3
Teorema 3: La suma y el producto de dos números irracionales, pueden ser racionales o
irracionales.
Ejemplos:
2 
3
2 
–
2
2 
5

2 
8

es irracional,


0
es racional,
es irracional,
10
4
es racional.
Teorema 4: Sean n un número natural mayor que 1 y a un entero positivo, entonces:
n
a  N

n
a  I
Ejemplo:
no es un número natural  es irracional.
7
Teorema 5: Sean n un número impar positivo mayor que 1 y a un entero, entonces:
a  Z
n
3
Ejemplo:

a  I
n
no es un número entero  es irracional.
–2
Teorema 6: Sean n un número natural mayor que 1 y a un irracional, entonces:
n
3
Ejemplo:
a  R

a  I
n
es un número real  es irracional.
9
RACIONALIZACION
Ejemplos:
15
1)
5
6
2)
3)
4)
12
3 –
7
9
1 
3
2
7



15

5
7
12
3 –
7
9
1 
3
23

3
7
3 
7
1 –
2 
3
3
3
3
4

2 
3
2 
3


6

24
7
5

5
24
3 
1 –

2
91 –
7

15

5
6

23
5

7
3
24
2
12  3  7
9 – 7
22
22
3
2 
1
=
1
22 = 4
4
=
2
32 = 9
9
=
3

3
7
3

3
1 
POTENCIAS Y RAICES CUADRADAS
12 = 1

91 –

31 –
5
4
24
63 
2 
3

23
3
4
7


4 2 = 16
16
=
4
5 2 = 25
25
=
5
6 2 = 36
36
=
6
7 2 = 49
49
=
7
8 2 = 64
64
=
8
9 2 = 81
81
=
9
10 2 = 100
100 = 10
11 2 = 121
121 = 11
12 2 = 144
144 = 12
13 2 = 169
169 = 13
14 2 = 196
196 = 14
15 2 = 225
225 = 15
16 2 = 256
256 = 16
17 2 = 289
289 = 17
18 2 = 324
324 = 18
19 2 = 361
361 = 19
20 2 = 400
400 = 20
POTENCIAS Y RAICES CUBICAS
13 = 1
3
1
=
1
23 = 8
3
8
=
2
3 3 = 27
3
27
=
3
4 3 = 64
3
64
=
4
5 3 = 125
3
125
=
5
6 3 = 216
3
216
=
6
7 3 = 343
3
343
=
7
8 3 = 512
3
512
=
8
9 3 = 729
3
729
=
9
10 3 = 1000
3
1000 = 10
EJERCICIOS DE POTENCIA
Calcula:
1) 03
R: 0
2) 15
R: 1
3) 80
R: 1
4) 51
R: 5
5 ) 3–1
R:
1
3
6 ) 4–2
R:
1
16
7 ) 2 3 × 22
R: 32
8) 3×32
R: 27
9) 63÷62
R: 6
10 ) 7 2 ÷ 7 3
11 ) ( 2 3 )
2
12 ) ( 3 2 )
2
R:
1
7
R: 64
R: 81
13 ) 4 2 × 3 2
R: 144
14 ) 2 3 × 3 3
R: 216
15 ) 12 3 ÷ 4 3
R: 27
16 ) 3 2 ÷ 15 2
R:
 1 
17 )  
 2 
1
25
–3
R: 8
–2
 3 
18 ) 

 5 
R:
25
9
19 ) 0,25  2
R: 16
20 ) 0,75  3
R:
21 ) 0,2  2
R: 25
22 ) (  2 ) 2 + (  2 ) 3  (  2 ) 5
R: 28
23 )  1 2 + (  1 ) 3  (  1 ) 4
R:  3
24 ) (  1 ) 3  1 5  (  1 ) 2
R:  1
25 ) (  1 )  1 + 1  3  (  1 )  2
R:  1
26 ) (  1 )  3  (  1 )  5  1  1
R: 0
27 ) 5 + 3
2
64
27
R: 14
28 ) 4 × 5 2
R: 100
29 ) 2 3 × 5 – 1
R: 39
30 ) 2 3 × ( 5 – 1 )
R: 32
31 ) 6 × 4 2 – 3
R: 93
32 ) 6 × ( 4 2 – 3 )
R: 78
33 ) 7 + 3 2 × 8
R: 79
2
34 ) ( 7 + 3 ) × 8
R: 128
35 ) ( 2 9  2 3 )  3 2
R: 56
36 ) ( 3 4  3 2 )  2 3
R: 9
37 ) ( 9 × 10 4 )
2
38 ) ( 2 × 10 – 1 )
R: 8,1 × 10 9
3
R: 8 × 10 – 3
39 ) 0,08 2
R: 6,4 × 10 – 3
40 ) 0,002 5
R: 3,2 × 10 – 14
41 ) 6.000
42 ) 700 3
2
R: 3,6 × 10
7
R: 3,43 × 10 8
43 ) 5.000 3
R: 1,25  10 11
44 ) 200 5
R: 3,2  10 11
45 ) 80.000 2
R: 6,4  10 9
46 ) 0,00003 4
R: 8,1  10  19
47 ) 0,004 3
R: 6,4  10  8
48 )
0,03 3
0,006 2
R:
49 )
200 6
40.000 3
R: 1
50 )
40 – 3
800 – 2
R: 10
3
 2 
 5 
51 ) 
  

 5 
 3 
2
 4 
 9 
52 ) 
  

 7 
 7 
3
 2 
 3 
53 ) 
  

 5 
 5 
5
3
7
2

 25 – 1
  

 64


 3–5
58 ) 
2
 4

 9–2
  

 23


 54
59 )  – 3
 7

 25 – 1
  

 49


3
2
61 ) b 4  b  3
40
81
R: 175
 42
57 )  – 1
 5
2
R:
3
3
 a
16
81
R: 12

 4 
  


 27 

3
R:
2
 2–3
56 )  – 2
 3
60 ) a
8
27
–4
 49 
 7 

55 ) 
  
 5 
 125 
2
R:
2
 9 
 3 

54 ) 
  
 4 
 64 
3
4








R:
1
32
R:
1
5
2
3
R: 18




–3
R: 25
R: a
R: b
5
62 ) c  1  c
R: 1
63 ) d 6  d 2
R: d 4
64 ) e 5  e  2
R: e 7
65 ) 2 2 a 3 b  2 3 a  2 b  1
R: 32 a
5
66 ) 3 p
3
q
2
 3
3
pq
9q3
R:
p2
67 ) 5 4 r 3 s  2  5 2 r 2 s  3
R: 25 r s
68 ) 4  1 j k  2  4  4 j 2 k  1
R:
69 ) ( a 5  a 3 )  ( a 3 + a 2 )
R: a ( a  1 )
70 ) ( c 5 + c 2 )  ( c 3 + c 2 )
R: c 2  c + 1
71 ) ( d 6  d 3 )  ( d 4  d 3 )
R: d 2 + d + 1
72 ) ( x 6  x 2 )  ( x 3 + x 2 + x + 1 )
R: x 2 ( x  1 )
73 ) ( y 7  y 3 )  ( y 3  y 2 + y  1 )
R: y 3 ( y + 1 )
64
jk
74 )
t 2 ( 3t – 1  t 0  2t – 2 )
t( t  4  4t – 1 )
R:
t  1
t  2
75 )
d– 1 ( 9d  6d2  d3 )
d2 ( 1 – 9d– 2 )
R:
d  3
d – 3