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ANGULO
INTRODUCCIÓN
Definición
Angulo es la unión de dos rayos que tienen un mismo origen, comúnmente llamado vértice del ángulo. Los
rayos reciben el nombre de lados del ángulo.
Ejemplo: En la figura 1, el ángulo lo forman los rayos
vértice.
y
, llamados lados del ángulo y A es el
Simbología
El ángulo de la figura 1, tomado como ejemplo, se simboliza por: BAC, o bien,  CAB, o simplemente,  A
Clasificación de ángulos según su medida
Agudo < 90°
Recto = 90°
Obtuso>90°
Convexo < 180°
Llano = 180°
Cóncavo > 180°
Nulo = 0º
Completo = 360°
Negativo < 0º
Tipos de ángulos según su posición
Ángulos consecutivos :
son aquellos que tienen
el vértice y un lado
común.
Ángulos
adyacentes
son
aquellos
que
tienen
el
vértice y un lado común, y
los otros lados situados uno
en prolongación del otro.
Forman un ángulo llano
Ángulos opuestos por el
vértice Son los que
teniendo el vértice común,
los lados de uno son
prolongación de los lados
del otro. Los
ángulos 1 y 3 son iguales.
Los ángulos 2 y 4 son
iguales.
Clases de ángulos según su suma
Ángulos complementarios : Dos ángulos
son complementarios si suman 90°.
Ángulos suplementarios : Dos ángulos son
suplementarios si suman 180°.
Ángulos entre paralelas y una recta transversal
Ángulos correspondientes
Ángulos alternos internos
Los ángulos 1 y 2 son
Los ángulos 2 y 3 son
iguales.
iguales.
Ángulos alternos externos
Los ángulos 1 y 4 son
iguales.
Medida
La magnitud de un ángulo se designa generalmente por una letra griega minúscula. Y en el sistema
sexagesimal, se mide en grados ( ° ) , minutos ( ’ ) y segundos ( ” ) , donde:
Angulo completo
= 360°
1°
= 60’
1’
= 60”
Razones trigonométricas
Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos
lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:
Seno: razón entre el cateto opuesto al
ángulo y la hipotenusa.
Coseno: razón entre el cateto adyacente al
ángulo y la hipotenusa.
Tangente: razón entre el cateto opuesto al
ángulo y el cateto adyacente.
Cotangente: razón entre el cateto adyacente
al ángulo y el cateto opuesto.
Secante: razón entre la hipotenusa y el
cateto adyacente al ángulo.
Cosecante: razón entre la hipotenusa y el
cateto opuesto al ángulo.
Teorema de Pitágoras:
"En todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados
de los catetos". Y, "En todo
triángulo rectángulo, el cuadrado
de uno de los catetos es igual a la
diferencia entre el cuadrado de la
hipotenusa y el cuadrado del otro
cateto".
Ejercicios resueltos
Soluciones
1. Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo
hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar
los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones:
2. Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las
razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:
Funciones trigonométrica de ángulos
( fig.1)
Signos de las funciones trigonométricas
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado
terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la
distancia de un punto cualquiera al origen de
coordenadas es siempre positiva, y aplicando la "ley
de los signos", las funciones trigonométricas
pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos
de las funciones trigonométricas en cada uno de los
cuadrantes.
SEN
COS
TAN
COT
SEC
CSC
I
+
+
+
+
+
+
II
+
-
-
-
-
+
III
-
-
+
+
-
-
IV
-
+
-
-
+
-
Ejercicios resueltos: En los ejercicios 1 y 2 se dan las coordenadas de
P; calcule el valor de las funciones trigonométricas del ángulo
correspondiente.
Soluciones
TALLER DE TRIGONOMETRÍA
En el ejercicio 1, calcule la medida equivalente en radianes; en el 2, calcule la medida
equivalente en grados sexagesimales. Grafique los ángulos anteriores en posición normal.
3. Determinar el valor de las funciones trigonométricas de θ, si cada punto P,
A. P(-3,2)
que se da a continuación está ubicado sobre el lado final de θ.
B. P(-4,-5)
C. P(3,-6)
4. Encuentra el valor exacto de cada función trigonométrica restante usando las identidades
fundamentales.
A.
que
Sabiendo B.
cos  
3
,
4
Sabiendo
tg 
5
,
4
que C.
halla
el
Sabiendo
tan   
3
4
y
que D.
Sabiendo
cos   
sen 0 ,
1
3
y
que
sen  0 ,
halla el resto resto de las razones halla el resto de las halla el resto de las
razones trigonométricas
de las razones trigonométricas
razones trigonométricas.
trigonométricas
5. Encuentre el valor de las funciones trigonométricas en los siguientes triángulos rectángulos
indicados a continuación
10
17
6
y
α
y
β
7