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ANGULO INTRODUCCIÓN Definición Angulo es la unión de dos rayos que tienen un mismo origen, comúnmente llamado vértice del ángulo. Los rayos reciben el nombre de lados del ángulo. Ejemplo: En la figura 1, el ángulo lo forman los rayos vértice. y , llamados lados del ángulo y A es el Simbología El ángulo de la figura 1, tomado como ejemplo, se simboliza por: BAC, o bien, CAB, o simplemente, A Clasificación de ángulos según su medida Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90° Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180° Nulo = 0º Completo = 360° Negativo < 0º Tipos de ángulos según su posición Ángulos consecutivos : son aquellos que tienen el vértice y un lado común. Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano Ángulos opuestos por el vértice Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales. Clases de ángulos según su suma Ángulos complementarios : Dos ángulos son complementarios si suman 90°. Ángulos suplementarios : Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. Ángulos entre paralelas y una recta transversal Ángulos correspondientes Ángulos alternos internos Los ángulos 1 y 2 son Los ángulos 2 y 3 son iguales. iguales. Ángulos alternos externos Los ángulos 1 y 4 son iguales. Medida La magnitud de un ángulo se designa generalmente por una letra griega minúscula. Y en el sistema sexagesimal, se mide en grados ( ° ) , minutos ( ’ ) y segundos ( ” ) , donde: Angulo completo = 360° 1° = 60’ 1’ = 60” Razones trigonométricas Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes: Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo. Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo. Teorema de Pitágoras: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto". Ejercicios resueltos Soluciones 1. Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones: 2. Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos: Funciones trigonométrica de ángulos ( fig.1) Signos de las funciones trigonométricas De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas. En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes. SEN COS TAN COT SEC CSC I + + + + + + II + - - - - + III - - + + - - IV - + - - + - Ejercicios resueltos: En los ejercicios 1 y 2 se dan las coordenadas de P; calcule el valor de las funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. Soluciones TALLER DE TRIGONOMETRÍA En el ejercicio 1, calcule la medida equivalente en radianes; en el 2, calcule la medida equivalente en grados sexagesimales. Grafique los ángulos anteriores en posición normal. 3. Determinar el valor de las funciones trigonométricas de θ, si cada punto P, A. P(-3,2) que se da a continuación está ubicado sobre el lado final de θ. B. P(-4,-5) C. P(3,-6) 4. Encuentra el valor exacto de cada función trigonométrica restante usando las identidades fundamentales. A. que Sabiendo B. cos 3 , 4 Sabiendo tg 5 , 4 que C. halla el Sabiendo tan 3 4 y que D. Sabiendo cos sen 0 , 1 3 y que sen 0 , halla el resto resto de las razones halla el resto de las halla el resto de las razones trigonométricas de las razones trigonométricas razones trigonométricas. trigonométricas 5. Encuentre el valor de las funciones trigonométricas en los siguientes triángulos rectángulos indicados a continuación 10 17 6 y α y β 7