Download 5 - Matemáticas en el IES Valle del Oja

LA ESCUELA
PITaGóRICA
LA PASIÓN POR EL NÚMERO
MAPA DE GRECIA y sus colonias
LAS CIUDADES Y SUS FILóSOFOS
1 Elea: Parménides
2 Crotona: Escuela Pitagórica
3 Agrigento: Empédocles
4 Leontino: Gorgias
5 Siracusa: Arquímedes
6 Estagira: Aristóteles
7 Abdera: Demócrito; Protágoras
8 Atenas: Sócrates; Platón
9 Clazomene: Anaxágoras
10 Colofón: Jenófanes
11 Éfeso: Heráclito
12 Mileto: Tales; Anaximandro; Anaxímenes
PITÁGORAS de Samos…
Filósofo griego nacido en la isla de Samos y
muerto en Metaponto. Se le considera
el primer matemático puro, aunque no haya
quedado ninguno de sus escritos.
La sociedad que lideró estaba regida por
códigos secretos que hace que su figura
sea muy misteriosa.
La figura de Pitágoras está envuelta en un
halo de leyenda, misticismo y hasta de culto
religioso. Y no es tan extraño si pensamos
que fue contemporáneo de Buda, de
Confucio y de Lao-Tse, fundadores de las
principales religiones orientales.
Pitágoras, detalle de
La Escuela de Atenas,
de Rafael Sanzio.
EL padre de Pitágoras fue Mnesarchus y su
madre Pithais, quien era nativa de Samos.
Mnesarchus fue un
mercader proveniente de Tiro. Dice una
historia que llevó maíz a Samos, y como
gratitud fue declarado ciudadano de Samos.
… y de CROTONA.
Pitágoras se trasladó a Crotona, colonia
griega en el sur de Italia, alrededor del 518
a.C. Estas colonias gozaban entonces de
una gran prosperidad, sobresaliendo entre
ellas Síbaris, famosa en el mundo griego
por sus riquezas y su vida lujosa. Crotona
era su principal rival y vecina. Allí llegó
Pitágoras con un sistema de pensamiento
más o menos perfilado después de su larga
experiencia por Oriente y Egipto. La ciudad
le pidió que expusiera sus ideas y, según la
tradición, Pitágoras dirigió por separado
cuatro grandes discursos a los jóvenes, al
Senado, a las mujeres y a los niños.
El contenido de estos cuatro discursos tal como ha sido transmitido
por diversos conductos, está lleno de recomendaciones morales de
gran perfección, derivadas fundamentalmente de la necesidad de
ajustar la conducta humana a los cánones de armonía y justeza que
se derivan de la naturaleza misma de las cosas e ilustradas con
elementos específicos de la mitología de los habitantes de Crotona.
Los PITAGÓRICOS…
Grupo de pitagóricos celebrando la salida del sol.
Óleo de Fyodor Bronnikov.
… una Escuela de los Misterios.
Pitágoras
fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotona, al
sur de Italia, que tuvo numerosos seguidores. Se llamaban a sí
mismos matemáticos (matematikoi), vivían en el seno de esta
sociedad de forma permanente, no tenía posesiones personales y
eran vegetarianos. Hasta 300 seguidores llegaron a conformar este
grupo selecto, que oía las enseñanzas de Pitágoras directamente y
debía observar estrictas reglas de conducta.
Sus máximas pueden sintetizarse como:
• que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza
matemática (número=vibración=música=armonía);
• que la filosofía (la búsqueda de la sabiduría) puede usarse
para la purificación espiritual;
• que el alma puede elevarse para unirse con lo divino;
• que ciertos símbolos son de naturaleza mística;
• que todos los miembros de la hermandad deben guardar
absoluta lealtad y preservar el Conocimiento.
Con SUS CREENCIAS…
“¡Sabrás también que las personas mismas provocan las desgracias
para sí por su falta de consciencia (creer es crear)!
¡Y sabrás que eligen libremente sus destinos!
No obstante, no hay que perder la esperanza para la salvación de las
personas de esta oscuridad, pues cada humano tiene la Raíz
Divina, y la Naturaleza está lista para revelarle los misterios de la
existencia. ¡Si tú también penetras en estos misterios, se cumplirá lo
que te estoy predicando a ti!
¡Así que, sana el alma (Reconócete en Lo-Que-Eres)!
¡Esto te revelará el camino hacia la Liberación!
¡Y abstente de comer carne:
esto es contra tu naturaleza y te impedirá tu purificación!
¡Así que, si quieres librarte de las cadenas terrenales, sigue esta
comprensión superior dada a ti! ¡Que ésta rija tu destino!
¡Y después de transformar completamente el alma, podrás llegar a
ser un Dios Inmortal, Quien aplasta con el pie la muerte.”
Versos Dorados
… y con SUS SÍMBOLOS.
Entre los distintos símbolos heredados de antiquísimas
culturas, el pentáculo merece una especial atención.
Muy anterior al cristianismo y a la mayoría de las
religiones, se encuentra directamente enlazado con el
culto a la naturaleza y el principio hermético de
género. Proviene de una época en la que la
humanidad dividía el mundo en dos grandes mitades:
la femenina y la masculina. Sus dioses y diosas
actuaban para mantener el equilibrio de poder. Si se
alcanzaba el equilibrio entre lo masculino y lo
femenino -el “yin” y el “yang”-, la armonía reinaba en
el mundo; en caso contrario, dominaba el caos.
La ESTRELLA PITAGÓRICA
El pentáculo, también llamado pentagrama, pentalfa y pentángulo,
fue adoptado como Santo y Seña por la Escuela Pitagórica.
Hay muchas razones: es el Templo de la Armonía, la Sinfonía del Número,
el Anagrama Humano y el Símbolo de la Feminidad. Veamos esto último.
Historia del PENTAGRAMA
El pentáculo o pentalpha, es considerado como uno de los
SÍMBOLOS más representativos de la historia. A pesar de que
tanto el origen como el significado del pentagrama se encuentran
en la propia esencia geométrica del número 5, algunos han
querido encontrar su origen y significado en el patrón de Venus,
ya que durante su ciclo de retrogradación de ocho años, Venus
traza también una estrella de cinco puntas.
Al ser Venus la Diosa de la Feminidad,
el Péntáculo se asocia como símbolo de la armonía, belleza,
equilibrio, los sentimientos y los afectos.
La elección del pentáculo para denotar ese poder y tales vínculos
no es fruto de la casualidad. Se basa en la estrecha asociación
gráfica existente entre el signo y el planeta: Venus, en su
desplazamiento cósmico, traza, precisamente, un pentáculo
imperfecto cada ocho años. Los astrónomos y sabios de la
antigüedad conocieron este hecho y convirtieron a Venus y su
pentáculo en símbolos de perfección y belleza y síntesis de las
propiedades cíclicas del amor sexual.
Venus, el CORAZÓN …
Venus y la Tierra en conjución solar interior
Cada 584 días, es decir, aproximadamente cada año y siete meses, Venus
recorre un trayecto aparente con respecto a la Tierra, que si es delineado,
va trazando la forma de un corazón.
… y la PENTAFLOR.
Después de 5 periodos
sinódicos (584 días x 5 =
2920 días = 8 años) Venus
completa su trayectoria
recorriendo el círculo
zodiacal y forma una figura
de 5 vértices, es decir, una
figura pentagonal. Dado
que Venus está más cerca
del Sol que la Tierra, en
determinados momentos
su movimiento aparenta
“retroceder”, de modo que
la representación gráfica de su movimiento respecto a la Tierra se
asemeja a una rosa de cinco pétalos, en la que cada pétalo es un
corazón de un periodo sinódico.
Este movimiento de retroceso aparente de Venus le da a este
fenómeno el nombre de Ciclo de Retrogradación de Venus.
La Danza de VENUS
Así que cada 8 años terrestres, la Tierra y Venus se alinean 5 veces en una
conjunción solar inferior, señalando 5 puntos que son equidistantes y que
forman los 5 vértices de una estrella de 5 puntas a lo largo del zodiaco.
La Sagrada Tetraktys Pitagórica
Esta figura triangular muestra como el
número diez es la suma de los cuatro
primeros 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 1 + 0 = 1
Es el cuarto Número Triangular.
La Tetraktys es la representación del Número
Diez, que tiene el sentido de la totalidad, de
final, de retorno a la unidad
finalizando el ciclo de los nueve primeros
números.
Para los pitagóricos se trata de la Santa
Tetraktys, el más sagrado de todos los números por simbolizar a la
creación universal, fuente y raíz de la eterna naturaleza; y si todo deriva
de ella, todo vuelve a ella.
Es pues una imagen de la totalidad en movimiento.
Esta figura la tenían por Sagrada. Por ella hacían el juramento
transmitido como pitagórico, hecho en nombre de Pitágoras mismo,
pero sin nombrarlo, “por quién transmitió a nuestra alma la tetraktys”.
La tetraktys es el número perfecto y la clave de la doctrina.
Símbolo del UNIVERSO…
 La Unidad: Lo Divino, origen de
todas las cosas. El ser
inmanifestado.
 La Dualidad: Desdoblamiento del
punto, origen de la polaridad
masculino-femenino. Dualismo.
 La Forma: Como arquetipo de la
realidad y de sus tres planos: el
espiritual, el mental y el físico.
 La Materia: Y sus cuatro elementos,
tierra, aire, fuego y agua.
Y con ellos la multiplicidad del
universo material.
El conjunto constituye la Década, El Número Perfecto,
la Totalidad del Universo.
... y
de la GEOMETRÍA SAGRADA
1
2
3
4
El Árbol de la Vida
EL PUNTO
LA LÍNEA
LA SUPERFICIE
EL VOLUMEN
10
DIMENSIONES,
11
CON EL TIEMPO
Los NÚMEROS FIGURADOS
En sus investigaciones matemáticas,
Pitágoras y sus discípulos utilizaban
piedrecillas (en latín calculus) o
marcas que disponían según
determinadas formas geométricas.
Así, podían asociar números y formas,
cambiar estas y observar lo que
ocurría con los respectivos números,
relacionar unas formas con otras,
unos números con otros, etc. En
definitiva, trabajaban con la forma y el
número a la vez. Los resultados fueron
extraordinarios y permitieron
descubrir importantes teoremas y
relaciones. A lo largo de la historia
ilustres matemáticos como Gauss o
Euler también dedicaron su tiempo al
estudio de los números figurados.
Los NÚMEROS TRIANGULARES
La suma de los n primeros números naturales
En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss descubrió
que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo
de tres números triangulares. ¿Te atreves con el 100?
Los NÚMEROS CUADRADOS
Un número natural a se llama cuadrado cuando existe otro
número natural n tal que a=n2.
Los primeros números cuadrados son: 1, 4, 9, 16, 25, …
En la figura se observa la generación de cada número
cuadrado:
t1
t1
t1
t1
=
=
=
=
1=1
1+3 = 4
1+3+5 = 9
1+3+5+7 = 16
Los números cuadrados terminan en 0, 1, 4, 5, 6 o 9
Todo número cuadrado es suma de dos triangulares
consecutivos. Compruébalo o intenta demostrarlo. También
se forma un cuadrado con 8 números triangulares,
sumándoles una unidad. Con un dibujo lo puedes lograr
fácilmente.
Los NÚMEROS PENTAGONALES
Se definen de la misma forma que los cuadrados y
los triangulares, como números que forman
pentágonos, hexágonos, etc.
La fórmula que siguen los pentagonales 1, 5, 12, ...
es n(3n-1)/2
Los hexagonales 1, 6, 14, siguen la fórmula n(4n2)/2 = 2n2 - n
En general, de k lados la fórmula adecuada
es (n*(2+(n-1)*(k-2))/2
Y los NÚMEROS POLIGONALES
Es un número figurado tal que las unidades del conjunto que
representa se pueden situar ordenadamente en forma de polígono.
Pueden ser triangulares, cuadrados, pentagonales, etc.
La expresión general de un número poligonal de k lados y orden n es
o lo que es equivalente
siendo Tn-1 el triangular de una dimensión menos. La siguiente
imagen demuestra esta propiedad:
Las unidades azules representan a n, y las de los otros tres colores a
los números triangulares que terminan de engendrar el pentagonal.
Los NÚMEROS CÚBICOS
El número m es un cubo
perfecto si y solo si pueden
ordenarse m puntos en un
cubo, por ejemplo
3 × 3 × 3 = 27.
La suma de los primeros
n cubos perfectos es un nésimo número triangular al
cuadrado:
Por ejemplo, la suma de los
primeros cinco números cubos
perfectos, 13 + 23 + 33 + 43 +
53, es igual a la suma de los
cinco primeros números
triangulares 152 que es 225.
La PASIÓN POR EL NÚMERO
"Nutridos (los Pitagóricos) de ella (la matemática),
creyeron que su principio fuera el de todas las cosas. Ya
que los números por su naturaleza son los primeros que se
presentan en ella, les pareció observar en los números
semejanzas con los seres y con los fenómenos, mucho más
que en el fuego, o en la tierra o en el agua y como también
veían en los números las determinaciones y las
proporciones de las armonías y como, por otra parte, les
parecía que toda la naturaleza estaba por lo demás hecha a
imagen de los números, y que los números son los
primeros en la naturaleza, supusieron que los elementos
de los números fuesen los elementos de todos los seres y
que el universo entero fuese armonía y número. Y todas
las concordancias que podían demostrar en los números y
en las armonías con las condiciones y partes del universo y
con su ordenación total, las recogieron y coordinaron."
Aristóteles.
“TODO es NÚMERO”
“Todas las cosas están también conformadas según los números”
ARITMÉTICA
GEOMETRÍA
1x1=1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12 321
1111 x 1111 = 1 234 321
11111 x 11111 = 123 454 321
111111 x 111111 = 12 345 654 321
1111111 x 1111111 = 1 234 567 654 321
11111111 x 11111111 = 123 456 787 654 321
111111111 x 111111111 = 12 345 678 987 654 321
Para descubrir la UNIDAD, la MULTIPLICIDAD y la SUPER_SIMETRíA
El Teorema más famoso: a2 = b2 + c2
ROMPECABEZAS CON OCHO PIEZAS
En cada uno de los
cuadrados construidos
sobre los catetos se
traza una diagonal y por
los otros dos vértices
del cuadrado se trazan
segmentos paralelos a
la hipotenusa,
determinándose así
cuatro partes en cada
uno de los cuadrados,
que agrupadas
convenientemente
forman el cuadrado
sobre la hipotenusa.
De la MATHEMATICA…
La palabra matemáticas proviene del término griego Mathema,
que significa CONOCIMIENTO. Los pitagóricos dividieron esta
ciencia en cuatro secciones: aritmética, geometría, astronomía
y música, que constituían la esencia del conocimiento.
… a las 7 Artes Liberales.
En la Antigüedad, estas cuatro disciplinas conformaron el
Quatrivium, que junto con las tres disciplinas que dan elocuencia,
el Trivium, conformaban el programa de estudios de las Siete
Artes Liberales (practicadas por los hombres libres)
“Las propiedades y relaciones de la armonía
musical están determinadas por los números “
La Escala Diatónica
Pitágoras estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias
(aritmética, geométrica y armónica) y el misticismo de los números
naturales, especialmente los cuatro primeros (tetrakis). Había
experimentado que cuerdas con longitudes de razones 1:2 (los
extremos 1 y 2), 2:3 (media armónica de 1 y 2), y 3:4 (media
aritmética de 1 y 2) producían al hacerlas vibrar combinaciones de
sonidos agradables (armónicos) y construyó una escala a partir de
estas proporciones:
3 : 4 es la media aritmética de 1 y 1/2 :
3

4
2
1
2
1
2
2
2 : 3 es la media armónica de 1 y 1/2 : 3  1 1

1
Proporciones
1/1
1/2
2/3
3/4
Sonido
Unísono
Octava
Quinta
Cuarta
1
2
Hoy los llamamos octava, quinta y cuarta porque corresponden a esas
notas de la escala pitagórica diatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do).
La Escala Pitagórica
Las tres medias (armónica, geométrica y aritmética) forman una
progresión geométrica. Pero, ¿qué le pasó a la media geométrica?
1 x
  x2  2  x  2
x 2
¿Fue rechazada por su inconmensurabilidad?
¡Correspondía exactamente al Fa sostenido de la escala cromática!
En su lugar, usaron la quinta repetidas veces (ciclo de quintas). Cada
vez que sobrepasaban la octava, multiplicaban por 2 la longitud de la
cuerda para retroceder a la octava original.
SOL (por 2:3) > RE (por 2:3) > LA (por 2:3) > MI (por 2:3) > SI
Número y Armonía
Las longitudes de las cuerdas correspondientes quedan así:
do
re
mi
1
8:9
64:81
h
fa
sol
la
3:4
2:3
16:27
si
128:243 h
do
1:2
La proporción entre cada cuerda y la siguiente es de 9:8 (tono), salvo
en los casos de fa/mi y do/si, en donde es de 256:243 (hemitono).
La pauta entre tonos y hemitonos es 2-h-3-h.
El problema reside en que aplicar dos hemitonos no equivale a aplicar
un tono. Además, la distribución de tonos y hemitonos es irregular.
La escala usual se obtiene tomando las dos primeras como las mejores
combinaciones (octava y quinta) y repitiéndolas sistemáticamente
hasta que vuelvan a coincidir. Resulta entonces que 12 quintas
equivalen (casi ) a 7 octavas.
(3/2)12 / (2:1)7 = 1'0136...
A la diferencia entre estos dos ciclos se le llamó coma pitagórica.
Esta diferencia (que acumulada a lo largo de las octavas produce la coma
pitagórica) condiciona la escala "según la nota en que se empiece"
(tonalidad). Por ello, se crean varios modos distintos. Los más
importantes, el modo mayor (a partir de do, 2-h-3-h)
y el modo menor (a partir de la, 1-h-2-h-2).
LA Música de las Esferas
“Dame una cuerda y te explicaré el universo”, proclamó Pitágoras: la
vibración es función proporcional del segmento de cuerda… Música,
matemáticas, geometría… “El Universo es Vibración, emanada del tictac de la
polaridad originaria, y tu Corazón también vibra” Tu armonía interna responde
a proporciones matemáticas, igual que el cosmos. Restablécela y la energía
fluirá: conectarás con tu emoción y sonarás como un instrumento afinado…”
El Teorema de
PITÁGORAS
La demostración de
Ternas Pitagóricas
(a, b, c) es una terna pitagórica si a2 = b2 + c2
Encontremos las infinitas ternas pitagóricas que hay:
1. Nos centraremos en las básicas suponiendo que
m.c.d.(a,b,c)=1 y demostremos que b y c (catetos)
tienen distinta paridad:
• Las dos pares  a par . ¡Absurdo!
• Las dos impares  a par. Sean
b=2n+1, c=2m+1
b2 + c2 = 4(n2 + n +m2 +m) +2 = a2
es decir, a2 sería un múltiplo de 4 con residuo 2.
Absurdo
• Supongamos, por conveniencia, que b es par y c
impar. Entonces,
c2=a2–b2 =(a+b)(a-b) / m.c.b.{(a+b),(a-b)}=1
En efecto, si tuvieran algún factor común,
Ternas Pitagóricas
a+b+a-b= 2b
a+b-(a-b)=2a
También tendrían un factor común, y como
(a+b)(a-b)= c2, entonces
2b, 2a y c2 (impar) tendrían un factor común.
¡Absurdo!
• Sea a+b=m2
y a-b=n2
a = (m2 +n2)/2
b = (m2 –n2)/2
c = m.n
 c2 = (a+b)(a-b)=m2 . n2
Con m y n impares tales que m.c.d.(m,n)=1