Download Movimiento Circular Uniforme

INSTITUCIÓN EDUCATIVA CARLOS HOLGUÍN
MALLARINO SEDE MIGUEL DE POMBO
FISICA
MOVIMIENTOS PERIÓDICOS
• Movimiento Circular Uniforme
•Movimientos vibratorios (Movimiento Armónico Simple)
• Sistema MASA-RESORTE
• Péndulo simple
1
MOVIMIENTO PERIÓDICO
Es un movimiento que se repite a intervalos iguales de tiempo con las mismas
características (Posición, Velocidad, aceleración).
Ejemplos:
2
DIVISIÓN
DEL MOVIMIENTO PERIÓDICO
Mov. Circular Uniforme
Mov. Pendular
Mov. Periódico
Ondulatorio
Transversal
Mov. Oscilatorio
Mov. Vibratorio
(M.A.S)
Ondulatorio
Longitudinal
3
Hasta ahora los movimientos que hemos estudiado eran todos
rectilíneos. El movimiento circular es más frecuente que el rectilíneo.
Cualquier punto de un sólido en rotación, la Tierra, una rueda, un disco,
todos ellos tienen un movimiento circular. Recordemos que el
movimiento circular es el que tiene por trayectoria una circunferencia.
El movimiento circular puede estudiarse midiendo magnitudes lineales o
magnitudes angulares. Tendremos así conceptos como espacio,
desplazamiento lineal, velocidad lineal o bien ángulo, desplazamiento
angular, velocidad angular.
¿Qué tipo de descripción
movimiento circular?
puede
hacerse
de
un
Si nos fijamos bien, cuando un objeto se mueve en forma circular, por un
lado está moviéndose a lo largo de un arco de la circunferencia y por otro
lado está recorriendo ángulos.
Si el movimiento se describe respecto al arco descrito por el objeto, se
habla de velocidad lineal o tangencial (v).
Si el movimiento se describe respecto al ángulo descrito por el radio de la
circunferencia descrita, que une el centro del objeto con el centro de la
circunferencia, se habla de velocidad angular (ω)
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
DESPLAZAMIENTO LINEAL (S)
Es la longitud de arco de
circunferencia recorrida por un
cuerpo con movimiento circular. Se
expresa en unidades de longitud.
DESPLAZAMIENTO ANGULAR (θ)
Es el ángulo que se recorre en el
centro

Desplazamiento angular.- Es una distancia
recorrida por una partícula en una trayectoria
circular y se expresa frecuentemente en radianes
(rad), grados () y revoluciones (rev); es
conveniente expresar toda rotación en radianes.
El radian (rad) es una unidad de medida angular,
así como el metro es la unidad de medida lineal.
 Se
define al radián como el ángulo
subtendido por el arco del círculo cuya
longitud es igual al radio del mismo
circulo.
 Puesto que la circunferencia entera de un
círculo es justo 2  veces el radio r, hay 2
 radian en un circulo completo.
1rev = 2  radian = 360
Puesto que  = 3.14
1 rad = 360 = 57.3
2
 De
las relaciones anteriores se deduce que
el ángulo  en radianes, en cualquier
punto sobre la circunferencia de un
circulo, esta dado por d, la longitud del
arco entre los dos puntos, dividida por el
radio r. En otras palabras,
Angulo en radianes = longitud del arco
Radio
Algunas características que permiten describir mejor un
movimiento circular son:
Periodo: Es el tiempo que un objeto en movimiento circular
tarda en recorrer una vuelta completa, o realizar un giro
completo, o también completar una revolución. Su unidad de
medida usualmente es el segundo.
Por ejemplo, el periodo de la Tierra alrededor del Sol es
aproximadamente 365 días. El periodo de la varilla del
minutero en un reloj análogo es de 60 minutos o una hora.
Frecuencia: Representa la cantidad de vueltas que da un
objeto con movimiento circular en una unidad de tiempo. Se
mide en segundos elevado a menos uno. (Hertz)
Por ejemplo, si se tiene un objeto que tiene un movimiento
circular con una frecuencia de 4 s-1, entonces significa que
realiza 4 giros completos en un segundo.
CARACTERÍSTICAS
DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
PERIODO (T):
Tiempo empleado para un ciclo de movimiento. Unidades en el Sistema
Internacional en Segundos (s).
FRECUENCIA (f):
Numero de ciclos u oscilaciones por unidad de tiempo. Unidades en el Sistema
Internacional de Ciclos / s. = Hertz (Hz).
Relación entre T y f:
f =1/ T
1
T
f
12
Ejemplo 1:
Determine el periodo y la frecuencia para el segundero , el minutero y el
horario de un reloj.
Respuesta:
Ts= 60 s
fs= 0.017 Hz
Tm= 3600 s
fm=2.8*10-4 Hz
TH= 43200 s
fH=2.3*10-5 Hz
13
Del estudio matemático de la circunferencia sabemos que
existe una relación entre el arco de una circunferencia y el
ángulo de apertura. De esta relación surge el concepto de
radián.
Definición: un radián es la apertura de
un ángulo cuya longitud de arco mide
exactamente lo mismo que el radio .
Podemos preguntarnos ahora ¿cuántos
grados tiene un radián?
Una vuelta entera de circunferencia equivale a 2πradianes por
lo que planteando una sencilla regla de tres podemos deducir
que:
Si un objeto tiene un movimiento cuya trayectoria es una
circunferencia y su velocidad (lineal o angular) es constante
entonces es lo que se conoce como movimiento circular
uniforme (MCU).
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Es un movimiento que se caracteriza por
que la trayectoria descrita por el móvil es
una circunferencia, y por que el ángulo
descrito por unidad de tiempo es siempre el
mismo
Para estudiar este movimiento podemos considerar dos
aspectos:
Cuando un objeto está con movimiento
circular uniforme la magnitud de su
velocidad lineal es constante, pero la
velocidad misma se está modificando
instante a instante. La velocidad entre sus
componentes no solo tiene a la magnitud,
también tiene la dirección. Y es la dirección
la que está cambiando
v1
v2
Se observa que en un instante tiene una velocidad v1
y en un instante posterior tiene una velocidad v2 y se
aprecia claramente que las direcciones no son las
mismas (las flechas apuntan hacia distintos lugares).
Bueno, como ya se dijo más arriba, cuando cambia la
velocidad hay un nuevo concepto que aparece: el de
aceleración. La aceleración es una medida de cómo
cambia la velocidad. Y aquí, en el ejemplo que se
está describiendo con la figura anterior, la
velocidad está cambiando.
VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (v)
Es aquella magnitud vectorial cuyo valor nos indica el arco
recorrido por cada unidad de tiempo, también se puede
afirmar que el valor de esta velocidad mide la rapidez con
la cual se mueve el cuerpo a través de la circunferencia. Se
representa mediante un vector cuya dirección es tangente
a la circunferencia y su sentido coincide con la del
movimiento.
Unidades:
m/s ; cm/s ,
etc.
VELOCIDAD TANGENCIAL O LINEAL
La velocidad tangencial es la velocidad del móvil (distancia
que recorre en el tiempo). Por lo tanto para distintos radios
y a la misma velocidad angular, el móvil se desplaza a
distintas velocidades tangenciales. A mayor radio y a la
misma cantidad de vueltas por segundo, el móvil recorre
una trayectoria mayor, porque el perímetro de esa
circunferencia es mayor y por lo tanto la velocidad
tangencial también es mayor. La velocidad tangencial se
mide en unidades de espacio sobre unidades de tiempo, por
ejemplo [m/s], [km / h], etc. Se calcula como la distancia
recorrida en un período de tiempo.
Por ejemplo si se recorre todo el perímetro de una
circunferencia de radio 5 metros en 1 segundo, la velocidad
tangencial es:
VELOCIDAD ANGULAR (ω)
Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuál es el
ángulo que puede recorrer un cuerpo en cada unidad de
tiempo. Se representa mediante un vector perpendicular al
plano de rotación
VELOCIDAD ANGULAR
A la razón del cambio del desplazamiento angular al tiempo
transcurrido se le denomina velocidad angular, y esta dada
por,
=
t
 = velocidad angular en rad/seg.
 = desplazamiento angular en rad.
t = tiempo en segundos en que se efectuó el
desplazamiento angular.
El símbolo  (omega) se usa para denotar la velocidad
angular. Aunque se puede expresar en revoluciones por
minuto (rev/ min, rpm.) o revoluciones por segundo (rev/s)
en la mayor parte de los problemas físicos se hace necesario
usar radianes por segundo (rad/s) para adaptarse a
fórmulas más convenientes.
La velocidad angular también se puede
determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar
una vuelta completa:
 = 2 π/T
Sabemos que T = 1/F
entonces:
 = 2π F en rad/seg.
ACELERACIÓN CENTRÍPETA

En el movimiento circular uniforme, la magnitud de la
velocidad de la partícula permanece constante, y por
tanto la partícula no posee aceleración lineal. Pero la
dirección del vector velocidad varía continuamente, la
partícula posee aceleración centrípeta.
El valor de la aceleración centrípeta
está dado por:
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U)
v
a
C
θ
ω
r
ac = Aceleración centrípeta
V = Velocidad Lineal
V  ωr
2
v
2
ac 
ω r
r
  ωt  i
2
ω
T
27
ACELERACIÓN ANGULAR (α)
Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto
aumenta o disminuye la velocidad angular en cada
unidad de tiempo.
Se representa mediante un vector perpendicular al
plano de rotación.
CASOS IMPORTANTES:
RECUERDEN:
Cada vez que hay un cambio de velocidad, ya sea que
cambie su valor numérico (magnitud) o su dirección, hay una
aceleración. En este caso la aceleración que hay se
denomina aceleración centrípeta.
Y la aceleración centrípeta (ac) se dirige hacia el centro de la
circunferencia que forma la trayectoria del objeto que se
mueve.
Nótese que la aceleración centrípeta y la velocidad lineal o tangencial
son perpendiculares entre sí. Esto es debido a que la velocidad lineal o
tangencial siempre tiene la dirección de una tangente a la circunferencia,
y la dirección de la aceleración centrípeta coincide con un radio, y un
radio siempre es perpendicular a la tangente que
intercepta al radio en su extremo exterior.
Y claro, si hay una aceleración… tiene que haber una fuerza. No puede
existir una aceleración sin que no exista una fuerza que la provoque. En
este caso, la fuerza que hay es la llamada fuerza centrípeta (Fc).
Y como la fuerza que provoca la aceleración y la aceleración misma
tienen igual dirección y sentido (lugar al que apunta la flecha con que
representamos una fuerza), la fuerza centrípeta apunta hacia el centro de
la circunferencia, igual que la aceleración centrípeta.
La Luna gira alrededor de la Tierra debido a la fuerza de carácter gravitacional
que existe entre estos dos cuerpos celestes. Esa fuerza fue descubierta por
Isaac Newton y
publicada el año 1687. Y como esa fuerza es la única que existe entonces esa
es la responsable del movimiento que tiene la Luna alrededor de la Tierra. Es,
por lo tanto,
una fuerza centrípeta.
Tal vez se de cuenta que la fuerza gravitacional que explica el movimiento de
la Luna respecto a la Tierra también afecta a la Tierra, y cabe la pregunta: ¿por
qué es la Luna la que se mueve alrededor de la Tierra y no la Tierra alrededor
de la Luna? Bueno, el asunto viene de la elección del Sistema de Referencia.
Nosotros, al estar sobre la Tierra, tenemos como referencia a la Tierra misma y
sin que
nos lo propongamos, la Tierra la apreciamos como si estuviera en reposo y por
ello vemos a la Luna moverse. Pero otro cuento sería si estuviéramos sobre la
superficie de la Luna, ahí la Luna sería la referencia y respecto a ella sería la
Tierra la que se movería circularmente alrededor de la Luna.
2
1,5
18. En una pista circular de juguete hay cuatro carros que se
desplazan con rapidez constante. Todos los carros tardan el
mismo tiempo en dar una vuelta completa a la pista. La magnitud
de la aceleración de cualquiera de los carros en cualquier
momento es:
A. igual a cero, porque la magnitud de su velocidad es constante.
B. igual a cero, porque la magnitud de la fuerza neta sobre el
carro es nula.
C. diferente de cero, porque la magnitud de la velocidad angular
no es constante.
D. diferente de cero, porque la dirección de la velocidad no es
constante
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME I
la trayectoria es circular
Un movimiento es circular
uniforme si:
El móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales,
por tanto, la velocidad angular es constante
Se pueden describir magnitudes lineales y angulares
ESPACIO LINEAL O ARCO RECORRIDO s
es la longitud recorrida por el móvil medida sobre la trayectoria
LINEALES
VELOCIDAD LINEAL v
es un vector de módulo constante pero de dirección variable.
v
El vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria que va
de dirección a medida
que avanza el móvil,
Mcambiando
OVIMIENTO
CIRCULAR
v
v
por esto
el movimiento circular uniforme es un movimiento
UNIFORME acelerado .
v
ACELERACIÓN NORMAL an
Es la magnitud que informa del cambio de dirección del vector velocidad
v2
an =
r
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME II
ESPACIO ANGULAR O ÁNGULO DESCRITO POR EL RADIO f
Se puede expresar en :
ANGULARES
f 
s
R
grados
una circunferencia tiene 360º
revoluciones
una revolución es una vuelta completa a la circunferencia
radianes
un radián es el valor del ángulo cuyo arco coincide con el radio
1rev = 360º = 2 rad
VELOCIDAD ANGULAR 
es el cociente entre el ángulo girado por el radio y el tiempo invertido
=
f
Dt
Se expresa en rad/s o en rpm
s=fr
RELACIONES ENTRE MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES
v=r
OTRAS MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
PERIODO (T) es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. Se mide en s
FRECUENCIA
(n )es el número de vueltas que efectúa el móvil en la unidad de tiempo. Se mide en Herzios (s -1)
Ambas se relacionan por:
T = 1/n
Como una vuelta completa 2 se efectúa en un tiempo t=T
MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME
=
n = 2 
2
2

T

MOVIMIENTO OSCILATORIO
Es un movimiento que realiza un cuerpo o partícula a uno y otro lado de su posición
de equilibrio.
SISTEMA
MASA - RESORTE
SISTEMA
PÉNDULO
Amplitud
Amplitud
Posición de
equilibrio
Posición de
equilibrio
AMPLITUD (A):
La máxima separación del cuerpo oscilante con respecto a su posición de equilibrio.
51
Movimiento Vibratorio
(Movimiento Armónico Simple)
Es un movimiento vibratorio, producido por una fuerza variable que se origina
cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
El MAS tiene una trayectoria de línea recta, y tanto la fuerza como la aceleración
son proporcionales al desplazamiento y siempre dirigidas hacia el centro (Punto de
equilibrio)
Ej: Sistemas masa resorte, cuerdas de instrumentos musicales, laminas vibrantes.
Posición de
equilibrio
52
CINEMÁTICA DEL M.A.S.
Posición X
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
x  A cos(t   )
t
t=0
t=4
Velocidad V
V  Asen(t   )
t=1
t=3
Aceleración a
t=2
t
a   2 A cos(t   )
2
t a   x
53
Relación entre el M.C.U y el M.A.S
M.C.U.
M.A.S.
Equilibrio
R
R = A
Proyección
El movimiento armónico simple se puede analizar a través de la
proyección de un movimiento circular
54
CIRCULO DE REFERENCIA
ECUACIONES CINEMÁTICAS
DEL M.A.S
Posición X
r
θ
x
x
Cos 
r
r a
  t   i
x  A cos(t   )
x
M.A.S EN EL EJE X
55
Ejemplo 2:
La posición de una partícula está dada por la expresión
x  4 cos(3t   )
donde x es en metros y t es en segundos. Determine:
a)
La frecuencia y el periodo del movimiento.
b)
La amplitud del movimiento.
c)
La posición de la partícula en t = 0,250 s.
Respuesta: a. T=2/3 s, f=3/2 Hz b. 4 m
c. 2,83 m
56
Dinámica del M.A.S.
Sistema MASA-RESORTE
Analizando la dinámica del sistema masa-resorte podemos determinar el periodo
(T), así:
1. La fuerza recuperadora
corresponde a la fuerza de un resorte:
F  kx
2. De la segunda ley de Newton:
F
F  ma
3. Igualando 1 y 2:
F
ma  kx
4. Y la aceleración, según el M.A.S:
a   x
2
57
Dinámica del M.A.S.
Sistema MASA-RESORTE
5. La a se reemplaza en 3, obteniendo:
k

m
m
6. La velocidad angular ω, se puede expresar:
2

T
7. Igualando 5 y 6, se obtiene:
m
T  2
k
58
Ejemplo 4:
Una masa de 2 kg se fija a un resorte de constante elástica k = 4 N/m y La
amplitud del movimiento es 2 cm .
Calcular:
a. ¿Cuál es el periodo de oscilación del sistema?.
b. Determine la rapidez de la masa cuando la elongación del sistema es 1
cm.
Respuesta: a. 4,44 s b. 0,25 m/s
59
Movimiento Pendular
Es el movimiento lento de una masa suspendida de un hilo, a uno y
otro lado de su posición de equilibrio, por la acción de la gravedad.
1. La fuerza recuperadora corresponde a la
fuerza de una componente del peso:
F  mg ( sen )
Posición de
equilibrio
60
Dinámica del M.A.S.
Sistema
PENDULO SIMPLE
Considerando una longitud suficientemente larga y un desplazamiento angular
pequeño (θ<10º). El sistema del péndulo se aproxima a un M.A.S.
F  mg ( sen )
1. Del triangulo rectángulo formado por el
péndulo:
θ
L
x
sen 
L
Siguiendo un procedimiento similar al del
sistema masa-resorte, se llega a:
X
A
L
T  2
g
61
Ejemplo 5:
Un péndulo simple de 50 cm de longitud, oscila con un periodo de 1,42 s.
¿Cuál es el valor de la aceleración de la gravedad del sitio donde oscila?
Respuesta: 9,79 m/s2
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