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TRIGONOMETRÍA I
Definición
1.- Expresa en grados sexagesimales y centesimales: 23 , 35 y 96 rad.
2.- Hallar las equivalencias en grados o radianes respectivamente para los siguientes ángulos:
a) 900° b) 2040° c) 673 d) 156 e) 10
3.- Dibujar, en cada caso, dos ángulos distintos comprendidos entre 0° y 360° tales que :
a) tag= 1/2 b) sen= 2/3 c) cos= -1/5
(lineas trigonometricas)
4.- Hallar el valor de las siguientes razones trigonométricas:
a) sen 173 b) cos 113 c) tag 233 d) cotag 313 e) sec 294
5.- Construir un triángulo rectángulo de forma que uno de sus ángulos tenga por coseno 3/4.
6.- Dibujar un ángulo tal que la tangente sea el triple del seno. (Tma de Thales)
7.- En un triángulo rectángulo de verifica que la tangente y la cotangente de uno de sus ángulos son
iguales. ¿ Que relación existe entre sus catetos ?
8.- Calcular el seno y la tangente del ángulo que forman las agujas del reloj a la 12h.30m. ¿ Y a las
13h.20m. ?
Relaciones
9.- Encuentra los valores de cossabiendo que sen=
3
. ¿ A que cuadrante pertenece ?
2
10.- ¿ Puede haber algún ángulotal que tag= 5 y sen = 1/2 ?
11.- Hallar, en cada caso, las restantes razones trigonométricas. Calcularcuando sea posible.
a) sen= /2
180°<<270°
b) cos= 4/5
270°<<360°
c) tag= -1/3
90°<<180°
d) cotag= 1
0°<<90°
e) sec= -2
180°<<270°
f) cosec= 13/12
90°<<180°
12.- Sabiendo que cotag  = 15/8. Hallar las restantes razones.
13.- Sabiendo que cotag= 3 para un ángulodel cuarto cuadrante , determinar las restantes
razones.
14.- ¿ A que cuadrante debe pertenecer un ángulotal que tag= -5/12 y cual es el valor de secen
cada caso ?
15.- Sabiendo que cos= 12/13 y que senes menor que cero, hallar las demás razones del ángulo,
indicandoque cuadrante pertenece.
Identidades
16.- Demuestra que sec2+ cosec2= (tag+ cotag )2
17.- Demostrar que se cumplen las siguientes relaciones:
a) cos2 = cotag2 - cotag2 cos2
d) sen (cosec - sen) = cos2 
b) cos2- sen2= 2 cos2- 1
c) sec- cos= tag×sen 
e) sen2+ 1 = 2 - cos2 
f)
sec  sen 

 cot ag  
sen  cos 
18.- Si tag= 2t/1-t2 obtener el seno y coseno dedonde 0°<<90°.
19.- Expresar en función de la tangente la expresión: cotag2+ sec2 - cosec2.
20.- Simplificar la expresión
sen 
1 + cotag 2 
21.- Comprobar que sen4a+cos4a-2 sen2a cos2a = (sen4a-cos4a) (sen2a-cos2a)
22.- Simplificar la expresión (sen+ cotg) (tag+ cosec )-1
23.- Si sec2 = 3, calcular :
cos ec 2 - tag2 
cos ec2  + tag2 
24. - Demostrar que se cumplen las siguientes relaciones trigonométricas:
Ecuaciones trigonometricas sencillas
25.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) sen (2x + 4) = 3/2
b) cosec x - 3 = cotag x
c) sen x + tag x = 2 senx×cosx
d) cos2x - sen2x = 4 sen2x - senx
Reduccion al primer cuadrante
26.- Calcular las razones de 420°, 1920° y 1500°.
27.- Expresar las siguientes razones circulares reduciéndolasa otra de un ángulo comprendido
entre 0 y 4.
a) sen 512
b) cos 365
c) tag 298
28.- Encuentra un ángulo cuya medida en radianes esta comprendida entre 12 y 14 y tiene las
mismas razones que el ángulo 37.
29.- ¿ Como están relacionadas las razones de 95° y 275° ?
30.- ¿ Como están relacionadas las razones de 250° y 340° ?
31.- ¿ Que razón trigonométrica de 5 tiene el valor de cos 310 ?
32.- Hallar cosec (2 - a) siendo tag= 2 y cosmenor que cero.
33.- Sabiendo que sen 37°=0.6, hallar las restantes razones de 953°.
34.- Hallar cosec (90°-A) siendo tag A = 2.
35.- Hallar las razones trigonométricas de 2010°.
36.- Si taga= 1/2, obtener :
a) tag (2 - a)
c) tag  - a)
b) tag (2 + a) d) tag ( + a)
e) tag (- a)
TRIANGULOS RECTANGULOS
1.- Resuelve el triángulo ABC del que se conocen C=35°40' y la hipotenusa a=44.3 m.
Dato : sen 35°40' = sen 35.6666° = 0.5830.
2.- Resuelve los triángulos rectángulos cuyos datos son:
a) a=5m, b=4m
d) a=13,48m, c=10m
b) a=25m, B=45°
e) a=4.28, C=60°
c) c=4.24, C=60°
f) b=33.4, c=20.8m NOTA : A=90° ?
3.- El cateto b de un triángulo rectángulo ABC mide 70 cm y la bisectriz del ángulo agudo C
mide 85 cm. Resuelve. Solución : x=48.21x2=96.43 --- a=119.15 ; c=54.02
4.- Los lados de un triángulo equilátero miden 15.6 cm. Halla su área.
h=13.5
5.- En un triángulo isósceles el ángulo que determina los lados iguales mide 53°45' y el lado
opuesto 60 cm. Calcular su área.
Solución : h=59.19
6.- Los ángulos de un triángulo rectángulo miden 30° y 60°. Probar que la hipotenusa es el doble
de un cateto.
7.- El perímetro de un rectángulo es 56 cm y su diagonal 20 cm. Hallar la medida de los ángulos
que forman la diagonal con los lados.
8.- El ángulo de elevación del extremo de una chimenea, observado desde un punto del suelo
situado a 36 m del pie de la chimenea es de 30°. Hállese la altura de la chimenea.
( Caso I - Ángulo agudo e cateto )
Solución : h=20.78
9.- Un caballo tira de una vagoneta con una fuerza de 75 Kp en una dirección que forma con el
horizonte un ángulo de 30°. Determinar la componente horizontal de la fuerza (CA) y el ángulo
que forma la vertical (AB) con esta fuerza. (Caso II-Ángulo agudo e hipotenusa) 64.95 kp
10.- Un barco puede navegar con una velocidad de 24 Km/h en agua tranquila. La velocidad de la
corriente de un río es 8 Km/h. Si la barca parte de la orilla en dirección perpendicular al río,
hallar la velocidad efectiva y la dirección de la trayectoria. (Caso III - Dos Catetos) v=25.29 °
11.- Un bote arrastrado a lo largo de un canal se halla a 3.60 m de la orilla, siendo la longitud del
cable que lo sujeta 19.20 m. El caballo empleado tira con una fuerza de 200 Kp. Hállese la
fuerza efectiva que hace avanzar el bote y la fuerza que tiende a llevarla a la orilla.
( Caso IV - Un Cateto y la hipotenusa ) Solución : B=79.19° b= 196.45 kp c=37.5 kp
12.- Desde un punto A se observa una torre bajo un ángulo de 30°. Si nos aproximamos 20 m
vemos la torre bajo un ángulo de 45°. Hallar la altura de la torre.
(Método de doble
observación) )
Solución : H=27.32
13.- El ángulo de elevación del extremo del mástil de una bandera, medido desde un punto del
suelo es 45°. Caminando 33 m hacia la bandera en ángulo crece hasta 60°. Hallar la altura del
mástil. (Método de doble observación)
Solución : h= 78.08 m
14.- Un enorme árbol arroja una sombra de 7,22 m. En ese mismo momento, un pino joven de
1.60 m arroja una sombra de 67 cm. ¿ Cual es la altura del árbol grande ?
15.- Al ir por una carretera de montaña nos encontramos con la señal "12%" que significa que
por cada 100 m recorridos, el ascendemos 12 m. ¿ Que ángulo forma la carretera con la
horizontal ? Si recorremos 538 m ¿ cuantos metros habremos subido en vertical ?
16.- Calcular la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los rayos del sol
forman un ángulo de 50° con el suelo.
17.- Una escalera de 4 m esta apoyada en la pared. ¿ Cual será la inclinación si su pie dista 2 m
de la pared ?
18.- Para calcular el ancho de un río, se midió una distancia AB = 20 m a lo largo de la orilla
tomándose el punto A directamente opuesto a un árbol C, situado al otro lado. Desde el punto B
se midió el ángulo ABC = 61°. ¿Cual el la anchura del río? Dato tag 61° = 1.804047 b=30.08
19.- En un instante dado, el altímetro de una avioneta registra 1095 m de altitud. El piloto ve la
torre de control del aeropuerto mediante una visual que forma un ángulo de 81° con la vertical. ¿
A que distancia del aeropuerto vuela el aparato ?
TRIGONOMETRIA II
1..- Seatal que 2 << sen= 0.5 y ß tal que 0 <ß< 2, cos ß=3/5. Calcular cos (±ß)
2.- Calcula sensabiendo que cos 2= 3/5.
3.- Seatal que tag= 7, 0 << 2. Calcular sen 2y cos 2
4.- Sabiendo que sen 6°=0.1045 y cos 37°=0.7986, calcular :
cos 31°, cos 8°, cos 39°, cos 7°, cos 84°, cos 82°
cos 53°, cos 54°, cos 23°, cos 66°, cos 127°.
5.- Deduce las expresiones de sen (+ß+), cos (+ß+ y tag (+ß+).
6.- Sean A y B tales que tag A = 12 y tag B = -14. Calcular tag (A+B).
7.- Razona que si A, B, C son los ángulos de un triángulo entonces se verifica que
tag (A+B) + tag C = 0.
8.- Demuestra que si A+B+C =, se verifica que tag A + tag B + tag C = tag A tag B tag C
9.- Probar que :
a) sen (a+b)×sen(a-b) = (cos b - cos a)×(cos a + cos b)
b) sen 2a = (1+cos 2a)×tag a
10.- Demuestra que sen 3 = 3 sen - 4 sen 3
cos 3 = 4 cos3 - 3 cos 
11.- ¿ Existe algún ángulo del primer cuadrante tal que :
a) sen2 = 3×cos2
b) 3×sen2= cos 2
12.- Calcula sen 8, cos 8, tag 8. Idem 16 y 32.
13.- Transforma en productos y luego calcula los siguientes valores:
a) sen 75°+sen 15°
b) cos 75°+cos 15°
c) cos 75°-sen 75°
14.- Calcula sen 40°+cos 50°- 2sen 200° sabiendo que tag 10°=0.17.
cos 45 sen 30
15.- Calcular
sen 45 cos 30
16.- Transforma en producto la expresión 1 + sen . Idem 1 + cos 
17.- Resuelve las ecuaciones en el intervalo [0,2].
a) sen x = tag x
b) 6 cos2 x/2 + cos x - 1 = 0
c) 2 sen x + 2 cos x = 2
18.- Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) sen x + sen 3x = cos x
b) sen 2x×cos x = 6 sen3x
c) sen 3x + sen 2x = sen x
d) 2×cos x + 4×sen (x/2) =3
19.- Resolver los siguientes sistemas trigonométricas:
a) sen x×cos y = 3/4
b) sen x + sen y =1
c) sen x + sen y = sen 6
cos x×sen y = 1/4
2×x + 2×y = 
cos x + cos y = 1 + cos 6
20.- Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas.
a) cos(2x)=sen x
e) cotg2x=1-cosec x
b) cos(2x)+sen x=1
f) 3cos2 x+sen x=2
c) cos(2x)+sen x=0
g) sen(2x)=(cos x)/2
2
d) 2cos x+cos(2x)=0
21.- Determinar x tal que 0 < x < y 2 cos2 x = 3 (1 - sen x).
22.- Hallar x tal que 0° < x < 180° y cos( 3x - 4 ) = 1/2.
23.- Calcular x de forma que : sen a = 3x+2 / 5
cos a = 6x+2 / 5
24.- Elimina la variable t del sistema:
a) x = m×sen t
b) x = a / cos t
y = n×cos t
y = b tag t
TRIANGULOS OBLICUANGULOS
1.- Resolver los siguientes triángulos :
a) a=4m. b=8m, c=7m.
b) c=7m. A=20°, B=60°
c) b=7m. c=10m, A=40°
d) a=48m. A=50°, B=100°
2.- Calcular las áreas de los siguientes triángulos :
a) a=11m, B=50°, C=55°.
b) a=2m, b=3.8m, c= 4.5m.
3.- Resolver el triángulo ABC en los siguientes casos:
a) b = 10 cm c = 7 cm
A = 3
b) a = 8 cm
b = 12 cm
B = 56 ( no son T. rectángulos )
4.- Resolver el triángulo ABC si A = 8, B = 3 y su área vale 30 cm2.
5.- El ángulo C de un triángulo vale 60°. Hallar A y B sabiendo que sen A + cos B = 3/2. Si el
lado mayor de este triángulo vale 5 cm, calcular su área.
6.- Desde la orilla de un río se observa un árbol en la orilla opuesta bajo un ángulo de 60°, y
retirándose, perpendicularmente al río, una distancia de 20 m bajo otro ángulo de 30°. Hallar la
altura del árbol y la anchura del río.
7.- Dos observadores miran un globo aerostático que esta en el plano vertical que pasa por
ambos, a cierta altura h. La distancia entre los observadores el de 4 km, los ángulos de elevación
del globo respecto a los observadores son 46° y 52° respectivamente. Hallar la altura a la que se
encuentra el globo y la distancia de este a cada observador.
(DATOS: tag 46°=1.03 y tag 52°=1.28)
8.- Las diagonales de un paralelogramo miden 10 y 12 cm respectivamente y el ángulo que
formas entre si es de 30°. Hallar las dimensiones de los lados del paralelogramo.
9.- Dos hombres que andan a razón de 3 km/h parten al mismo tiempo de un cruce de dos
caminos rectos que forman entre si un ángulo de 15°. Los dos van en el mismo sentido. ¿ A que
distancia se encontraran entre si al cabo de dos horas de marcha ?
10.- ¿ Bajo que ángulo visual se ve un objeto de 7 m de largo por un observador situado a 5 m de
un extremo del objeto y a 8 m del otro ?
11.- Demuestra que el área del polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de
radio r es: Area = 1/2 n×r2×sen (360/n)
12.- A 20m. de una torre el teodolito marca un ángulo de 25°. Hallar la altura de la torre.
13.- Un topógrafo se sitúa en un punto A de la orilla de un río. Pretende medir la altura de un
árbol que está en la orilla opuesta. El teodolito indica en A un ángulo visual vertical de 20°, si
retrocede 10m. indica 15°. ¿Qué altura tiene el árbol?
14.- El TEOREMA DE NAPOLEON dice que si sobre los lados de un triángulo ABC
cualquiera construimos tres triángulos equiláteros, los centros de esos tres triángulos son, a su
vez, vértices de un nuevo triángulo equilátero.
15.- Un barco navega a 30 Km por hora en dirección Norte-Oeste. ¿Qué distancia ha recorrido
en una hora hacia el Norte?¿Y hacia el Oeste?.
16.- Estando situado a 87 metros de un olmo, veo su copa bajo un ángulo de 22°. Mi amigo ve el
mismo olmo bajo un ángulo de 25°.¿A que distancia está mi amigo del olmo?.
17.- Un barco B pide socorro recibiéndose las señales en dos estaciones de radio A y C, que
distan entre si 50 Km. Desde cada estación se mide los ángulos BAC y BCA que miden 46° y
53°, respectivamente. ¿A que distancia de cada estación se encuentra el barco?.
18.- Pepe quiere conocer a que distancia se encuentra un castillo que esta en la orilla opuesta de
un río. Mide 100 metros desde un punto B hasta un punto A, alejándose del castillo, y mide los
ángulos CBA = 140° y BAC = 25°. ¿A que distancia de B esta el castillo?.
19.- La pirámide de Keops es cuadrangular, el lado de su base mide 230 metros y el ángulo a que
forma una cara con la base es 52°. Calcular:
a) La altura h de la pirámide.
b) La altura de una cara.
c) La arista.
d) El ángulo que forma la arista con la base.
e) El ángulo de la cara con la cúspide.
f) El volumen de la pirámide.
20.- Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm. Sus tangentes comunes
forman un ángulo de 30°. Calcula la distancia entre sus centros.
21.- Se quiere construir un túnel a través de una montaña desde A hasta B. Un punto C que es
visible desde A y B se encuentra a 384,8 metros de A y 555,6 metros de B. ¿Cual es la longitud
del túnel si ABC es igual a 35° 42'?.
22.- Un río tiene dos orillas paralelas. Desde los puntos A y B se observa un punto P de la orilla
opuesta; Las visuales forman con la dirección de la orilla unos ángulos de 42° y 56°
respectivamente. Calcular la anchura del río sabiendo que la distancia entre los puntos A y B es
de 31,5 metros.
23.- Se quiere construir un puente entre dos puntos A y B para cruzar un barranco. Se fija un
punto O en el fondo del barranco. Se sabe que AOB = 93°, BAO = 48° y que la distancia medida
en línea recta entre los puntos A y O es de 75 metros. Calcular la longitud del puente.
24.- Un lado de un paralelogramo mide 56 cm y los ángulos formados por este lado y las
diagonales miden 31° 14' y 45° 37'. Calcular los grados del paralelogramo.
25.- Calcula la altura de una torre situada en un terreno horizontal sabiendo que con un aparato
de 1,20 m de altura, colocado a 20 m de ella se ha medido el ángulo que forma con la horizontal
la visual dirigida al punto mas elevado y se ha obtenido 48° 30'