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10 Óptica geométrica
Actividades del interior de la unidad
1. Tenemos un dioptrio esférico convexo de 15 cm de radio que separa el aire de
un vidrio de índice de refracción 1,567. Calcula las distancias focal e imagen.
¿Obtendríamos los mismos valores si el dioptrio fuese cóncavo?
La distancia focal imagen, f 4, está relacionada con el radio de curvatura, R, y los índices de refracción según:
f 4= R ·
1,567
n4
8 f 4 = 15 cm ·
= 41,5 cm
n4– n
1,567 – 1,000
La distancia focal imagen, f, la calculamos como sigue:
f = –R ·
1,000
n
8 f = –15 cm ·
= –26,5 cm
n4– n
1,567 – 1,000
El dioptrio esférico es, por tanto, como el que se muestra en la imagen:
Aire
n = 1,000
Vidrio
n' = 1,567
F
F'
C
f = – 26,5 cm
R = 15 cm
f ' = 41,5 cm
Si el dioptrio fuera cóncavo, el radio sería negativo, R < 0, es decir, R = –15 cm, por
lo que los valores de f 4 y f serán los mismos, pero con el signo cambiado.
2. La figura inferior muestra un tubo de vidrio lleno de agua (nagua = 1,333), cerrado por un extremo con una superficie esférica de vidrio muy delgada de
radio 10 cm, que tiene delante de la parte convexa un objeto puntual a 15 cm
del vértice óptico. Calcula s 4, f y f 4.
Aire
Agua
A
A'
s = –15 cm
s'
La ecuación general del dioptrio esférico es:
n4 – n
n4 – n
=
s4
R
s
Unidad 10. Óptica geométrica
315
De acuerdo con los datos, tenemos:
n 4 = nagua = 1,333 ; n = 1,000 ; s = –15 cm ; R = +10 cm
1,333
1,000
1,333 – 1,000
–
8 s 4 = – 39,95 cm
=
s4
–15 cm
+10 cm
Mediante la ecuación de las distancias focales calculamos estos parámetros:
1,333
n4
8 f 4 = 10 cm ·
f 4= R ·
= 40,03 cm
n4– n
1,333 – 1,000
f = –R ·
1,000
n
8 f = –10 cm ·
= –30,03 cm
n4 – n
1,333 – 1,000
3. Determina gráficamente las características de la imagen formada por un objeto de tamaño y que está situado delante de un dioptrio esférico convexo que
separa un medio de otro cuyo índice de refracción es mayor que el del primero, en los siguientes supuestos: a) s < f. b) s = f. c) s > f.
Como el índice de refracción del medio de la derecha es mayor que el índice de refracción donde está situado el objeto, |f 4| > |f|.
a) Vamos a trazar dos rayos de los tres principales de los que disponemos: un rayo
paralelo al eje óptico y otro rayo que pase por el centro de curvatura:
y'
y
F
C
s<f
F'
f
La imagen que se forma es virtual, ya que se obtiene por prolongación de rayos,
derecha y de mayor tamaño que el objeto.
b) Cuando s = f, el objeto está sobre el foco. La imagen se forma en el infinito.
c) Para s > f, los dos rayos elegidos son uno paralelo al eje óptico y otro que pasa por
el foco objeto. Así, nos queda:
y
F
C
F'
y'
f
s>f
En este caso, la imagen obtenida es real, invertida y:
• Mayor que el objeto si s < 2 · f.
• Igual que el objeto si s = 2 · f.
• Menor que el objeto si s > 2 · f.
NOTA: Interpretamos el enunciado suponiendo que la comparación entre s y f se realiza en valores absolutos, dado que ambos son negativos.
316
Unidad 10. Óptica geométrica
4. Las distancias focales objeto e imagen de un dioptrio esférico son, respectivamente, 15 cm y –22,5 cm. Determina: a) Si el dioptrio es cóncavo o convexo.
b) El radio de curvatura. c) El índice de refracción del segundo medio si el primero es aire.
a) Tenemos que:
f = 15 cm ; f 4 = –22,5 cm
Al ser f > 0, el dioptrio es cóncavo, ya que n4 > n.
b) A partir de la relación entre las distancias focales y el radio se tiene:
R=f+f4
R = 15 cm + (–22,5 cm) = –7,5 cm
c) Teniendo en cuenta la relación:
f
n
=–
n4
f4
Y sustituyendo datos, se tiene:
15 cm
1,00
=–
8 n 4 = 1,5
–22,5 cm
n4
5. Una persona que mide 1,90 m y que no sabe nadar quiere atravesar andando
una zona de playa porque observa que su profundidad aparente es de 1,60 m.
¿Es correcta su decisión?
Como los rayos van desde abajo arriba, aplicamos el criterio de signos considerando
que las distancias por debajo del dioptrio son negativas, y por encima de él, positivas. Así, s y s 4 serán negativas. El siguiente dibujo ayuda a resolver el ejercicio.
N
N'
Aire
n' = 1,000
Agua
s'
h = –s
n = 1,333
P'
P
Aplicando la ecuación del dioptrio plano y sustituyendo datos, resulta:
1,000 cm
1,333
n
n4
8 s = –2,13 m
=
8
=
s
–1,60 cm
s
s4
Como vemos, la profundidad real es mayor que la altura de la persona, por lo que, al
no saber nadar, no sería correcta su decisión.
Unidad 10. Óptica geométrica
317
6. Un avión pasa por encima del mar a una altura de 150 m. ¿A qué distancia vería el avión un buceador situado a 5 m de profundidad? ¿Con qué tamaño lo
vería?
El siguiente dibujo nos ayuda a resolver el problema:
A'
s'
A
Aire
n = 1,000
s = –150 m
Agua
n' = 1,333
5m
Buceador
La imagen del avión que está situado en A se forma en A 4. Si giramos el dibujo de
forma que los rayos luminosos procedan de la izquierda, tenemos:
s = –150 m
Aplicando la ecuación del dioptrio plano y sustituyendo datos, resulta:
1,333
n
n 4 8 1,000
=
=
8 s 4 = –200 m
s
s4
–150 cm
s4
Por tanto, el buceador vería el avión a una distancia d, cuyo valor es:
d = 200 m + 5 m = 205 m
En un dioptrio plano, las imágenes tienen siempre el mismo tamaño que el objeto.
Por tanto, el buceador lo vería con el mismo tamaño que en realidad tiene; lo que se
produce es una modificación aparente de la posición del objeto.
7. Desde el trampolín de una piscina, una persona situada a 3 m de altura sobre
el agua observa al socorrista que está buceando en el fondo de la piscina.
Si la distancia aparente con la que le ve es de 6 m, calcula: a) La profundidad
de la piscina. b) La distancia aparente con la que el socorrista observa a la persona del trampolín.
a) El siguiente dibujo ayuda a resolver el problema:
Persona
en el trampolín
3m
d = 3 + s' = 6 m
s'
h = –s
Aire
n' = 1,000
Agua
n = 1,333
A' (Imagen
del socorrista)
A (Socorrista)
318
Unidad 10. Óptica geométrica
La imagen del socorrista, que está en el punto A, se forma en A 4. Por tanto, observa que, de acuerdo con la figura anterior:
d = 6 m = 3 + |s 4| 8 s 4 = –3 m
Aplicando la ecuación del dioptrio plano y sustituyendo datos, nos queda lo siguiente:
1,000
n
n 4 8 1,333
=
=
8 s = –4
s
s4
s
–3 m
Es decir, la profundidad real de la piscina es: h = 4 m.
b) En este caso, el dibujo es:
A'
A
s'
s = –3 m
Aire
n' = 1,000
Agua
n = 1,333
h=4m
Socorrista
Ahora el objeto, A, es la persona en el trampolín. Los rayos luminosos parecen
proceder de A4, que sería la imagen (virtual) que percibe el socorrista. Al aplicar
la ecuación del dioptrio plano y sustituir datos, tenemos:
1,333
n
n 4 8 1,000
8 s 4 = –4 m
=
=
s
s4
–3 m
s4
Por tanto, el socorrista diría que la persona que se encuentra en el trampolín está a una distancia:
d = h + |s 4|= 4 + 4 = 8 m
8. ¿Por qué en los espejos planos las imágenes formadas son siempre virtuales?
Porque la imagen se forma por la prolongación de los rayos reflejados en el espejo.
Como las prolongaciones de los rayos son líneas imaginarias, decimos que la imagen es virtual.
9. Explica con tus propias palabras por qué al observar nuestra imagen en un
espejo plano vemos que está invertida de izquierda a derecha pero no de
arriba abajo.
Gráficamente, vemos que cada punto del objeto tiene uno simétrico en la imagen;
por tanto, la imagen no puede aparecer invertida de arriba abajo.
A esta misma conclusión llegamos al aplicar la expresión del aumento lateral, A L.
Como para un espejo plano se cumple que:
n 4 = –n ; s 4= – s
Al sustituir estos datos, resulta:
y4 n · s4
8 AL = n · (–s) = 1 8 y 4 = y
AL =
=
y
–n · s
n4 · s
Es decir, la imagen no aparece invertida.
Unidad 10. Óptica geométrica
319
10. Un niño se coloca delante de un espejo plano y a 50 cm de él: a) ¿A qué distancia se forma la imagen? b) ¿Qué tamaño tiene la imagen? c) ¿Podríamos
recoger la imagen del niño sobre una pantalla?
a) La imagen se formará a 50 cm detrás del espejo. Recuerda que en los espejos planos se cumple que:
s = –s
b) La imagen formada en un espejo plano tiene el mismo tamaño que el objeto, es
decir:
y4 = y
c) No. Las imágenes que se forman en los espejos planos son siempre virtuales. Por
tanto, no pueden recogerse sobre una pantalla.
11. Una persona se coloca 40 cm por delante de un espejo plano de 70 cm, observando que sobran 5 cm de espejo por arriba y por debajo de su imagen:
a) Calcula la estatura de la persona.
b) Indica las características de la imagen (posición, tamaño, real o virtual).
a) Si sobran 5 cm de espejo por arriba y por debajo, la altura mínima que debería
tener el espejo para que se pudiese ver la imagen de la persona sería:
h = 70 cm – 2 · 5 cm = 60 cm
Y como la altura mínima que debe tener el espejo, en este caso, 60 cm, es igual a
la mitad de la altura de la persona, la altura será:
h = 2 · 60 cm = 120 cm = 1,20 m
b) La imagen de un espejo plano es (siempre) virtual, del mismo tamaño que el objeto y simétrica a él.
12. Razona si es aceptable el enunciado siguiente: «Al colocar un objeto delante
de un espejo, se obtiene una imagen real y derecha».
No es aceptable. La imagen depende de las características del espejo y de la distancia del objeto al espejo.
13. Un objeto de 2 cm de tamaño se encuentra 20 cm por delante de un espejo
esférico de 15 cm de radio. Determina numérica y gráficamente las características de la imagen según que el espejo sea:
a) Cóncavo.
b) Convexo.
a) Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y sustituyendo datos,
s = –20 cm y R = –15 cm (recuerda que para espejos cóncavos, R < 0), resulta:
1
1
2
+
=
s4
s
R
1
2
8 1 +
8 s 4 = – 12 cm
=
s 4 –20 cm
–15 cm
El aumento lateral, AL , vale:
–12 cm –
s4 8
AL = –
= 0,6 cm
AL = –
–20 cm
s
Como s 4 es negativo, la imagen será real; además, al ser |AL| < 1, la imagen será
de menor tamaño que el objeto, y como AL < 0, la imagen aparecerá invertida.
320
Unidad 10. Óptica geométrica
La figura siguiente muestra cómo obtendríamos gráficamente la imagen.
s = – 20 cm
R = – 15 cm
s' = – 12 cm
y
F
C
O
y'
b) En este caso, R > 0 (espejo convexo); por tanto, s = –20 cm y R = 15 cm; así:
1
1
2
1
1
2
+
=
8
+
=
8 s 4 = 5,5 cm
s4
s
R
s 4 –20 cm
15 cm
Al ser s 4 > 0, la imagen será virtual. El aumento vale:
5,5 cm
s4
AL = –
8 AL = –
= 0,28
–20 cm
s
Como AL > 0, la imagen aparecería derecha, y al ser, en valor absoluto, menor
que la unidad, es de menor tamaño que el objeto, como se muestra en la figura:
B
y
B'
y'
A'
A
F
C
s = –20 cm
s' = 5,5 cm
R = 15 cm
14. Utilizando un espejo cóncavo, la imagen de cierto objeto es real, invertida,
de doble altura y se forma a 150 cm del vértice del espejo. Calcula: a) La posición del objeto. b) La distancia focal del espejo.
a) Si la imagen es real (s 4 < 0) y aparece invertida (y 4 < 0), se cumplirá que AL < 0.
De acuerdo con el enunciado:
y 4 –2 · y
s4
s 4 = –150 cm ; AL = y = y
= –2 = –
s
Por tanto, la posición del objeto es:
– –150 cm = –2 8 s = –75 cm
s
b) La distancia focal del espejo resulta:
1
1
1
1
1
1
+
=
8
+
=
8 f = –50 cm
s4
s
f
–150 cm
–75 cm
f
Unidad 10. Óptica geométrica
321
15. Un objeto de 4 cm de altura se coloca a 100 cm de un espejo convexo de radio de curvatura igual a 50 cm. Determina la posición de la imagen y su tamaño.
Como el espejo es convexo, R > 0. Los datos que proporciona el enunciado de la
actividad son:
s = –100 cm ; R = 50 cm ; y = 4 cm
Al sustituirlos en la ecuación de los espejos y operar, se obtiene el valor de la distancia imagen:
1
1
2
1
1
2
+
=
8
+
=
8 s 4 = 20 cm
s4
s
R
s4
–100 cm
50 cm
Como s4 > 0, la imagen es virtual, lo que corresponde a un espejo convexo. Para
calcular el tamaño de la imagen, utilizamos la ecuación del aumento lateral:
y4
y4
20 cm
s4
AL = y = –
8
=–
8 y 4 = 0,8 cm
–100 cm
4 cm
s
Como y 4 > 0, la imagen obtenida está derecha; además, es de menor tamaño que el
objeto. El valor del aumento lateral es:
y 4 0,8 cm
AL = y =
8 AL
4 cm
= 0,2
Estos dos hechos coinciden con lo estudiado para los espejos esféricos.
16. Explica brevemente por qué una lente divergente no puede formar imágenes
reales.
Porque, en una lente divergente, los rayos que llegan paralelos al eje óptico divergen al salir de ella. Por tanto, la imagen se formará por prologación de rayos, lo que
origina que sea virtual.
17. Razona la veracidad o la falsedad de la proposición siguiente: «La potencia de
una lente convergente es positiva; por tanto, este tipo de lentes dan siempre
imágenes reales».
Es falsa, puesto que existe un caso donde la imagen que forma una lente convergente es virtual. Este hecho ocurre cuando el objeto está situado a una distancia menor que la distancia focal. La figura muestra este caso.
B'
y'
A'
B
y
F A
F'
s
s'
322
Unidad 10. Óptica geométrica
18. Un objeto luminoso está situado 2 m delante de una pantalla. Mediante una
lente situada entre el objeto y la pantalla pretendemos obtener una imagen
en la pantalla que sea real, invertida y de un tamaño dos veces menor que el
del objeto. Determina: a) El tipo de lente que se debe utilizar. b) La posición
en la que debe colocarse. c) La potencia de la lente.
a) La imagen ha de ser real, puesto que ha de recogerse sobre una pantalla. Por tanto, la lente debe ser convergente.
b) Si la imagen aparece invertida, y 4 < 0. Por otro lado, como su tamaño debe ser
dos veces menor que el objeto, ha de cumplirse que:
–y/2 s 4
y4 s4
s
AL = y =
8
=
8 s4 = –
2
y
s
s
[1]
En la figura inferior observamos que:
|s| + |s 4| = 2 m
[2]
Pantalla
B
A'
A
F'
F
2F
B'
s'
s
Al resolver el sistema formado por las expresiones [1] y [2], se obtiene:
s = –1,33 m ; s 4 = +0,67 m
Es decir, la lente debe estar a 1,33 m del objeto.
c) La potencia de una lente, P, se define como:
P=
1
f4
Para obtenerla, hemos de calcular primero la distancia focal imagen, f 4:
1
1
1
1
1
1
–
–
=
8
=
8 f 4 = 0,45 m
s4
s
f4
0,67 m
–1,33 m
f4
Por tanto:
P=
1
= 2,2 D
0,45 m
19. Una lente bicóncava simétrica de radio de curvatura 20 cm está construida
con un plástico de índice de refracción 1,7. Determina: a) La potencia óptica
de la lente. b) Dónde hemos de colocar un objeto para que el tamaño de su
imagen sea la tercera parte.
a) La potencia de una lente es la inversa de su distancia focal imagen. Esto es:
1
1
1
–
P=
= (n 4 – 1) ·
f4
R1 R2
(
Unidad 10. Óptica geométrica
)
323
Teniendo en cuenta la geometría de la
lente (véase la figura), el convenio de
signos establecido nos indica que:
1
R1 = – 0,2 m ; R2 = +0,2
Por tanto, al sustituir datos, resulta:
(
)
R1
2
R2
C1
C2
1
1
–
P = (1,7 – 1) ·
= –7 D
–0,2 0,2
b) Aplicando la ecuación del aumento lateral, tenemos:
y4 s4
1
s
8 s4 =
AL =
=
=
y
s
3
3
Sustituyendo esta relación en la ecuación fundamental de las lentes delgadas, obtenemos el valor de la distancia objeto:
1
1
1
1
1
1
–
–
=
=P 8
=
= – 7 8 s = –0,29 m = –29 cm
s4
s
f4
s/3
s
f4
El objeto debe estar colocado 29 cm por delante de la lente.
20. ¿A qué distancia de una lente delgada de cuatro dioptrías hay que colocar un
objeto para obtener de él una imagen virtual de doble tamaño?
Al ser la potencia positiva, la lente es convergente. Su distancia focal imagen, f 4, vale:
1
1
1
8 f4 =
P=
=
= 0,25 m
f4
P
4
Por otro lado, como la imagen es de doble tamaño que el objeto, tenemos que:
s4
2·y
y4
8 s4 = 2 · s
y 4 = 2 · y ; AL = y =
=
s
y
Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas y sustituyendo datos, se
obtiene la distancia objeto:
1
1
1
1
1
1
–
–
=
8
=
8 s = –0,125 m = –12,5 cm
s4
s
f4
2·s
s
0,25
Es decir, el objeto debería estar colocado a 12,5 cm por delante de la lente.
21. Un ojo miope tiene su punto remoto situado a 40 cm. Indica el tipo de lentes
que debe utilizar y calcula su potencia. Haz un esquema que resuma tu respuesta.
Para corregir la miopía, es necesario emplear lentes divergentes. Para calcular su potencia, necesitamos determinar la distancia focal de la lente. Como la imagen de un
objeto situado en el infinito, s = –@, debe formarse a 40 cm del ojo, es decir,
s 4 = 40 cm, al aplicar la ecuación general de las lentes delgadas y sustituir estos, datos tenemos:
1
1
1
1
1
1
–
–
=
8
=
8 f 4 = –40 cm = –0,4 m
–@
s4
s
f4
–40 cm
f4
Por tanto:
P=
324
1
1
8 P=
= –2,5 m
–0,4 m
f4
Unidad 10. Óptica geométrica
El esquema al que alude el enunciado es el siguiente:
Punto
remoto
Imagen
delante
Punto
remoto
Lente
divergente
Imagen
en la
retina
22. Una persona con vista cansada, cuyo punto próximo está situado a 120 cm,
quiere leer un libro situado a una distancia de 30 cm. ¿Qué tipo de lentes debe emplear? Calcula su potencia.
La vista cansada, o presbicia, se corrige con lentes convergentes. Para ello, las lentes han de ser tales que las «imágenes» del libro, situadas a 30 cm de distancia,
s = –30 cm, se formen en el punto próximo del ojo, esto es, s 4 = –120 cm.
Sustituyendo estos en la ecuación general de las lentes delgadas, nos queda:
1
1
1
1
1
1
–
–
=
8
=
8 f 4 = 40 cm = 0,4 m
–30 cm
s4
s
f4
–120 cm
f4
Luego:
1
1
8 P=
= 2,5 D
f4
0,4 m
El signo positivo de la potencia confirma que la lente ha de ser convergente.
P=
23. La distancia focal de una lupa es de 10 cm. Calcula: a) A qué distancia de la
lupa debe situarse un objeto para que la imagen se forme a 25 cm de la lupa.
b) El tamaño de la imagen de un objeto de 4 mm de altura.
a) Los datos del enunciado son:
f 4 = 10 cm ; s 4 = –25 cm
Aplicando la ecuación general de las lentes delgadas y sustituyendo datos, la distancia objeto resulta:
1
1
1
1
1
1
–
–
=
8
=
8 s = –7,1 cm
s
s4
s
f4
–25 cm
10 cm
Vemos que el resultado concuerda con lo estudiado: el objeto debe estar situado
entre el foco y la lente, |s| < | f 4|, para que la imagen que se forma sea virtual,
derecha y de mayor tamaño que el objeto.
b) Aplicando la definición de aumento lateral, nos queda:
–25 cm
s4
y4 s4
8 y4 = y ·
AL = y =
= 0,4 cm · –7,1 cm = 1,41 cm
s
s
Unidad 10. Óptica geométrica
325
24. Busca en la bibliografía adecuada las partes más importantes de un microscopio óptico.
El microscopio óptico más sencillo contiene una lámpara. El foco luminoso que esta proyecta atraviesa el objeto que se quiere estudiar. La luz difundida por el objeto
es recogida por la lente objetivo, que forma la imagen que sirve como objeto a la
segunda lente, la lente ocular.
Además, lleva diversos tornillos (u otros sistemas) tanto para enfocar la luz de la
lámpara sobre la muestra como para colocar el objeto a la distancia óptima del objetivo utilizado.
La figura muestra un microscopio óptico de campo brillante como los utilizados en
los laboratorios de biología de los institutos de secundaria.
Imagen en la retina
Ocular
Portaobjetivos
Objetivos
Platina
Tornillo
para
enfocar
Condensador
Sistema
de focalización
Lámpara
25. El objetivo y el ocular de un microscopio están separados 15 cm y tienen como distancias focales 1 cm y 1,5 cm. Calcula el aumento del microscopio.
La potencia de cada una de las lentes, objetivo, P1, y ocular, P2, valen:
P=
1
1
1
8 P1 =
= 100 D ; P2 =
= 66,7 D
f4
0,01
0,015
Por otro lado, la distancia entre los focos o intervalo óptico, d, vale:
d = 15 cm – (1 cm + 1,5 cm) = 12,5 cm = 0,125 m
Luego, el aumento del microscopio, A, será (véase la página 313 del libro del
alumno):
A = –0,25 · d · P1 · P2 8 A = –0,25 · 0,125 · 100 · 66,7 = –208
El signo negativo nos indica que la imagen sale invertida.
326
Unidad 10. Óptica geométrica