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Actividades del final de la unidad
1. Explica brevemente qué entiendes por foco y distancia focal para un dioptrio
esférico. Razona cómo será el signo de la distancia focal objeto y la distancia
focal imagen según que el dioptrio sea convexo o cóncavo.
Se llama foco imagen al punto del eje óptico donde convergerían, después de refractarse, una serie de rayos que, procedentes del infinito, incidiesen sobre la superficie
del dioptrio paralelos al eje óptico.
El foco objeto es un punto del eje óptico tal que los rayos procedentes de él después
de refractarse sobre el dioptrio saldrían paralelos al eje óptico.
La diferencia está en que, para un dioptrio esférico convexo, R > 0, por lo que f < 0, y
el foco imagen se encuentra a la derecha, f 4 > 0. En el dioptrio esférico cóncavo, el foco objeto está a la derecha del dioptrio, f > 0, y el foco imagen, a la izquierda, f 4 < 0.
La figura inferior muestra para un dioptrio esférico convexo el foco imagen, representado por F 4, a la izquierda, y el foco objeto, representado por el punto F, a la derecha.
n
n'
n
O
F
n'
O
F'
f
f'
En el caso de un dioptrio esférico cóncavo, R < 0, la figura inferior muestra a la izquierda el foco imagen, y a la derecha, el foco objeto.
n
n'
F'
n
n'
O
O
F
f'
f
En todos los casos hemos considerado que n 4 > n.
2. ¿Qué significado tiene la aproximación de rayos paraxiales?
Consiste en suponer que los rayos inciden sobre el dioptrio con un ángulo menor de
10°. En este caso, podemos utilizar la siguiente aproximación (con a en radianes):
sen a ≈ tg a ≈ a
330
Unidad 10. Óptica geométrica
3. Un objeto se encuentra situado a 6 cm del vértice óptico de un dioptrio esférico. Sabiendo que sus distancias focales son: f = –3,5 cm y f 4 = 4,5 cm, determina la posición de la imagen.
La ecuación del dioptrio esférico podemos escribirla de la forma:
f
f4
+
=1
s
s4
que es la denominada ecuación de Gauss. De acuerdo con el criterio de signos que
hemos definido en el libro del alumno, los datos que tenemos son:
f 4 = 4,5 cm ; f = –3,5 cm ; s = –6 cm
Sustituyendo datos, la posición de la imagen resulta:
4,5 cm
–3,5 cm
+
= 1 8 s 4 = 10,8 cm
s4
–6 cm
4. Un dioptrio esférico convexo de 20 cm de radio separa dos medios de índice
de refracción n1 = 1,00 y n2 = 1,65. Halla: a) Las distancias focales imagen y objeto. b) La distancia a la que se formará la imagen de un objeto de 5 cm de altura situado perpendicularmente a 2 m del dioptrio. c) El tamaño de la imagen. d) La naturaleza de esta.
a) Aplicando las expresiones de las distancias focales y sustituyendo datos, resulta:
f4=R·
n2
1,65
8 f 4 = +20 cm ·
= 50,8 cm
n2 – n1
1,65 – 1,00
f = –R ·
n2
1,00
8 f = –20 cm ·
= –30,8 cm
n2 – n1
1,65 – 1,00
Observa que se cumple que:
f + f 4 = R 8 f + f 4 = 50,8 – 30,8 = 20 cm = R
b) Ahora, s = –2 m. Aplicando la ecuación de Gauss y sustituyendo datos, resulta:
f
50,8 cm
–30,8 cm
f4
+
=1 8
+
= 1 8 s 4 = 60 cm
s
s4
–200 cm
s4
c) Mediante la ecuación del aumento lateral calculamos el tamaño de la imagen:
AL =
y4
n · s4
n · s4
1,00 · 60 cm
8 y4 = y · 1
= 1
= 5 cm ·
= – 0,91 cm
y
n2 · s
n2 · s
1,65 · (–200 cm)
El signo negativo nos indica que la imagen sale invertida.
d) Como s 4 es positivo, la imagen aparece a la derecha del dioptrio, lo que nos indica que se ha formado por intersección de los rayos convergentes. La imagen es,
por tanto, real. Además, la imagen es de menor tamaño que el objeto, |AL| < 1, y
aparece invertida, AL < 0.
5. Un dioptrio esférico cóncavo de 8 cm de radio separa aire y un vidrio de índice de refracción 1,5: a) Determina la posición y el tamaño de la imagen de un
objeto lineal de 4 mm situado verticalmente sobre el eje a 20 cm del dioptrio.
b) Mediante el diagrama de rayos correspondiente, obtén las características
de la imagen formada.
Unidad 10. Óptica geométrica
331
a) Al ser el dioptrio esférico cóncavo, R = –8 cm. La posición de la imagen la calculamos mediante la ecuación fundamental del dioptrio esférico:
n4
n4 – n
n
1,5
1,0
1,5 – 1,0
–
=
8
–
=
8 s 4 = –13,3 cm
s4
R
s
s4
–20 cm
–8 cm
El tamaño de la imagen lo calculamos a partir de la expresión del aumento lateral, AL:
AL =
y4
n · s4
n · s4
1,0 · (–13,3 cm)
=
8 y4 = y ·
= 4 mm ·
= 1,8 mm
y
n4 · s
n4 · s
1,5 · (–20 cm)
b) Para obtener gráficamente las características de la imagen, necesitamos conocer la
distancia focal imagen, f 4. Luego:
f4=R·
n4
1,5
8 f 4 = – 8 cm ·
= –24 cm
n4 – n
1,5 – 1,0
Trazando dos de los rayos principales, obtenemos gráficamente la imagen:
n
y
F'
n' > n
R = –8 cm
y'
C
O
s' = –13,3 cm
s = –20 cm
f' = –24 cm
La imagen formada es virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto.
6. ¿Por qué la profundidad real de una piscina llena de agua es mayor que la profundidad aparente?
La diferencia que existe es debida al fenómeno de refracción que experimenta la luz
en la superficie que separa ambos medios, aire y agua. Esta superficie se comporta
como un dioptrio plano.
Como el índice de refracción del agua, n, es mayor que el del aire, n 4, un rayo emitido por un objeto situado en el fondo de la piscina, P, al llegar a la superficie del agua
se alejará de la normal a dicha superficie.
El observador vería, por tanto, dicho objeto a una profundidad menor, P 4, tal y como
se muestra en la figura.
N
Aire
n'
Agua
n
r
P'
i
P
332
Unidad 10. Óptica geométrica
7. Calcula la profundidad aparente de un foco luminoso que se encuentra sumergido en el fondo de una piscina de 5 m de profundidad.
Orientando el dibujo de forma que
los rayos procedan de la izquierda
del dioptrio plano y aplicando su
ecuación fundamental:
N
Aire
n' = 1,000
n
n4
=
s
s4
al sustituir datos, tenemos el valor de
la posición de la imagen, s4:
Agua
n = 1,333
s' = –3,75 m
1,000 1,333
8 s 4 = –3,75 m
=
s4
–5 m
s = –5 m
A'
A
P
8. Un avión y un submarino están en un instante determinado en la misma vertical. El avión vuela a 100 m sobre el nivel del mar y el submarino se encuentra sumergido a 15 m de profundidad. Calcula la distancia aparente con la que
el piloto del avión observará al submarino.
La figura aclara el enunciado:
100 m
Aire
n' = 1,000
s'
s
Agua
n = 1,333
El objeto es el submarino. Si giramos la figura de forma que los rayos del objeto incidan sobre el dioptrio por la izquierda, s = –15 m. Aplicando la ecuación fundamental
del dioptrio plano:
n
n4
=
s
s4
1,000
1,333
=
8 s 4 = –11,3 m
s4
–15 m
Por tanto, el piloto del avión verá el submarino a una distancia aparente, d, igual a:
d = 100 m + 11,3 m = 111,3 m
Unidad 10. Óptica geométrica
333
9. Un submarinista que se encuentra sumergido en el mar a una profundidad
de 5 m observa pasar un avión a una distancia aparente de 50 m. Determina
la altura sobre el nivel del mar a la que se encuentra el avión.
La figura aclara el enunciado:
A'
A
s'
50 m
s
Aire
n = 1,000
Agua
n' = 1,333
5m
Submarinista
El objeto es el avión, y el observador, el submarinista, está en el agua. Al encontrarse este en un medio más refringente, la distancia aparente será mayor que la real.
Del dibujo observamos que:
50 m = 5 m + s 4 8 s 4 = 45 m
Al girar la figura de forma que los rayos del objeto incidan sobre el dioptrio por la
izquierda y aplicar la ecuación del dioptrio plano, tendremos que:
n4
n
=
s4
s
8
1,333
1,000
8 s = –33,8 m
=
–45 m
s
Es decir, la avioneta se encuentra a 33,8 m sobre el nivel del mar.
10. Indica cuál de las proposiciones siguientes es correcta referida a la imagen
formada por un espejo plano:
a) Virtual, derecha y de menor tamaño.
b) Virtual, derecha y del mismo tamaño.
c) Virtual, invertida y del mismo tamaño.
d) Real, derecha y del mismo tamaño.
e) Real, invertida y del mismo tamaño.
Las imágenes formadas por un espejo plano son siempre virtuales, del mismo tamaño que el objeto y simétricos a él. Por tanto, tenemos que descartar a), d) y e). Además, la imagen siempre es derecha, ya que es simétrica al objeto. Por tanto, la respuesta correcta es la b).
334
Unidad 10. Óptica geométrica
11. Dispones de un espejo esférico cóncavo. Mediante el diagrama de rayos correspondiente, indica las características de la imagen de un objeto situado
entre el foco y el espejo.
La construcción gráfica de una imagen requiere el empleo de, al menos, dos rayos
de trayectoria conocida. Dos de los rayos principales son:
• Un rayo paralelo al eje óptico; después de reflejarse en el espejo, pasa por el foco
principal.
• Un rayo que pase por el centro del espejo no se desvía (se refleja en el espejo en
la misma dirección).
B'
B
C
F
A
A'
La imagen es derecha, mayor que el objeto y virtual (se forma a partir de las prolongaciones de los dos rayos reflejados en el espejo).
12. Explica el tipo de imágenes que se forman en un espejo convexo.
En un espejo convexo, el centro de curvatura está a la derecha. Para obtener gráficamente la posición y el tamaño de la imagen, debemos trazar, al menos, dos rayos
de trayectoria conocida. Disponemos de tres rayos principales, que son:
• Un rayo paralelo al eje óptico; después de reflejarse en el espejo, parece que procede del foco.
• Un rayo que se dirija al foco del espejo; se refleja en el espejo paralelamente el
eje óptico.
• Un rayo que se dirija al centro de curvatura; se refleja en el espejo en la misma dirección.
Eligiendo el primero y el tercero, tendremos:
B
y
A
B'
y'
A'
F
C
En un espejo convexo, la imagen es siempre virtual, ya que se forma por las prolongaciones de los rayos principales trazados, derecha y de menor tamaño que el
objeto.
Unidad 10. Óptica geométrica
335
13. Un objeto de 10 cm se encuentra a 25 cm de distancia de un espejo cóncavo,
cuya distancia focal es de 50 cm. Determina:
a) La posición de la imagen.
b) El tamaño de la imagen.
Resuelve los apartados anteriores gráficamente.
a) Para determinar la posición de la imagen, aplicamos la ecuación de los espejos
esféricos:
1
1
1
+
=
s4
s
f
Como s = –25 cm y f = = –50 cm (espejo cóncavo), al sustituir estos valores, tendremos:
1
1
1
+
=
8 s 4 = 50 cm
s4
–25
–50
b) El tamaño de la imagen lo obtenemos a partir de la ecuación del aumento lateral:
AL =
y4
s4
y4
50
=–
8
=–
8 y 4 = 20 cm
y
s
10
–25
Para obtener gráficamente la posición y el tamaño de la imagen, debemos trazar,
al menos, dos rayos de trayectoria conocida. Dos de los rayos principales son:
• Un rayo paralelo al eje óptico; después de reflejarse en el espejo, pasa por el
foco principal.
• Un rayo que pase por el foco del espejo. Se reflejará paralelo al eje óptico.
C
F
y
s = –25 cm
f = –50 cm
R = –100 cm
y'
s' = 50 cm
La imagen es virtual, ya que se forma por la prolongación de los rayos principales, derecha y de mayor tamaño que el objeto. Este resultado coincide con lo que
hemos calculado numéricamente.
14. Un objeto, O, está situado a 25 cm del vértice de un espejo cóncavo. La imagen producida por el espejo es real, invertida y de tamaño doble que
el del objeto:
a) Determina la posición de la imagen y el radio de curvatura del espejo.
b) Resuelve el apartado anterior gráficamente.
a) Para los espejos esféricos, tenemos la siguiente expresión:
1
1
1
+
=
s4
s
f
336
[1]
Unidad 10. Óptica geométrica
Por otro lado, tenemos que el aumento lateral, AL, viene dado por:
AL =
y4
s4
=–
y
s
Como la imagen es de doble tamaño e invertida, y 4 = –2 · y, tenemos que la posición de la imagen invertida resulta:
–2 · y
s4
=–
8 s 4 = –50 cm
y
–25
Es decir, la imagen se obtiene a 50 cm.
Para obtener el valor de f, sustituimos datos en la ecuación [1]:
1
1
1
+
=
8 f = –16,67 cm
–50
–25
f
El radio de curvatura, R, resulta:
R = 2 · f 8 R = 2 · (–16,67) = –33,34 cm
b) Para resolver el apartado gráficamente, trazamos dos rayos:
– El primero paralelo al eje óptico, que, después de reflejarse en el espejo, pasará por el foco.
– El segundo rayo, que pase por el centro de curvatura, C. Después de reflejarse
en el espejo, volverá a pasar por C.
La representación gráfica será, por tanto:
y
C
F
y'
f = –16,67 cm
s = –25 cm
R = –33,34 cm
s' = –50 cm
15. Mediante un espejo cóncavo de 2 m de radio queremos proyectar la imagen
de un objeto luminoso de 2 cm de alto sobre una pantalla separada del objeto por una distancia de 5 m. ¿Dónde hemos de colocar el objeto? Indica, además, las características de la imagen formada.
Al ser el espejo cóncavo, R = –2 m. Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y sustituyendo datos, se tiene:
1
1
2
1
1
2
+
=
8
+
=
= –1 m
s4
s
R
s4
s
–2 m
Unidad 10. Óptica geométrica
[1]
337
Por otro lado, debe cumplirse que, tal y como se muestra en la figura:
s – s4 = 5 m
Pantalla
[2]
s'
5m
s
y
y'
F
O
Con [1] y [2] podemos formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
1
1
+
= –1 °§
s + s 4 = –s · s 4
s4
s
¢8
§
s – s4 = 5 £
s4 = s – 5
°
§ 8 s + s – 5 = –s · (s – 5) 8 s2 – 3 · s – 5 = 0
¢
§
£
cuya única solución aceptable es s = –1,19 m. La otra solución, s = 4,19 m, al tener
signo positivo, implicaría que el objeto estuviese detrás del espejo.
La posición de la imagen es:
s 4 = s – 5 8 s 4 = –1,19 m – 5 m = –6,19 m
Como s 4 es negativo, la imagen será real. Por otro lado, el cálculo del aumento lateral nos permite completar las características de la imagen formada:
AL =
y4
s4
–6,19 m
=–
8 AL = –
= –5,2
y
s
–1,19 m
Al ser AL < 0, la imagen sale invertida. Además, es de mayor tamaño:
y4
= –5,2 8 y 4 = –5,2 · 2 cm = –10,4 cm
y
Estos resultados coinciden con las características de la imagen de la figura anterior.
16. El espejo retrovisor de un automóvil, esférico y convexo, tiene un radio de
curvatura de 140 cm. El conductor mira a través de él y observa la imagen
de otro coche con un tamaño de 4,5 cm. Sabiendo que este coche tiene una
altura de 1,65 m, determina a qué distancia se encuentra.
Utilizando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y la del aumento lateral, tendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: la distancia objeto,
s, y la distancia imagen, s 4. Al ser el espejo convexo, su radio de curvatura será positivo, y su valor es: R = 1,4 m; por tanto:
1
1
2
1
1
2
1
1
°
+
= °§
+
=
+
= 1,429 °§
s = –25 m
s4
s
R §
s4
s
1,4 m §§
s4
s
§
¢8
¢8
¢8
§
y4
s4 §
s4 §
0,045 m
=– §
=– §
s 4 = –0,0273 · s §
s 4 = 0,68 m
y
s £
s £
1,65 m
£
Al resolver el sistema, se obtiene que la distancia a la que se encuentra el coche es
de 25 m.
NOTA: La gráfica que representa la formación de la imagen es similar a la mostrada en la resolución del
ejercicio 12.
338
Unidad 10. Óptica geométrica
17. Completa la tabla siguiente referida a espejos esféricos. Todos los valores están expresados en cm.
Tipo de
espejo
f
–20
–20
R
40
s4
10
s
–10
–30
Aumento
Imagen real
Imagen
derecha
Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y la ecuación del aumento lateral, completamos la tabla, que queda como sigue:
Tipo de
espejo
Cóncavo
Cóncavo
Convexo
f
–20
–20
20
R
–40
–40
40
s4
20
–60
10
s
–10
–30
–20
Aumento
+2
–2
+0,5
Imagen real
No
Sí
No
Imagen
derecha
Sí
No
Sí
18. Indica cuáles de las lentes siguientes son convergentes y cuáles divergentes.
La luz incide en ellas desde la izquierda.
a)
b)
d)
c)
e)
a) Divergente. b) Convergente. c) Convergente. d) Convergente. e) Divergente.
Unidad 10. Óptica geométrica
339
19. Indica, mediante un dibujo que muestre la marcha de los rayos, qué clase de
imagen se obtiene cuando un objeto se encuentra delante de una lente convergente a una distancia:
a) Superior a la focal. b) Inferior a la focal. c) Igual a la focal.
Los rayos principales para determinar gráficamente la imagen de un objeto dada por
una lente convergente son tres: uno paralelo al eje óptico, que, después de refractarse en la lente, el rayo (o su prolongación) pasa por el foco imagen; otro que incide sobre el centro óptico y que no experimenta desviación alguna, y otro que pase
por el foco objeto, o lo haga su prolongación, que después de refractarse en la lente sale paralelo al eje óptico. El dibujo de, al menos, dos de estos rayos, nos permite determinar la imagen.
a) Cuando el objeto se encuentre a una distancia superior a la focal, la imagen es
real e invertida, y se pueden dar tres supuestos:
a1) Si el objeto está a una distancia de la lente superior a 2 · f, la imagen es de
menor tamaño que el objeto, y está situada entre los puntos F 4 y 2F 4.
B
A'
A
F
2F
F'
2F'
B'
s'
s
a2) Si el objeto se encuentra a una distancia de la lente convergente igual a 2 · f,
la imagen es de igual tamaño que el objeto, y se forma en el punto 2F 4.
B
A'
A
2F
F
2F'
F'
B'
s
s'
a3) Si el objeto está a una distancia entre f y 2 · f 4, la imagen es de mayor tamaño que el objeto, y aparece a una distancia mayor que 2 · f 4.
B
A'
2F A
F'
F
2F'
B'
s
340
s'
Unidad 10. Óptica geométrica
b) Cuando el objeto se encuentra a una distancia inferior a la distancia focal, el diagrama de rayos es:
B'
B
A'
F A
s'
F'
s
En este caso, la imagen obtenida es virtual, ya que se forma por la prolongación
de los rayos refractados en la lente, derecha y de mayor tamaño que el objeto.
c) Cuando el objeto se encuentra a una distancia igual a la distancia focal, no se forma imagen, como muestra el diagrama de rayos:
B
2F
A
F
F'
2F'
s
20. Un objeto de 2 cm de altura está a 25 cm de una lente convergente de distancia focal f 4 = 20 cm:
a) Determina el tamaño y la posición de la imagen.
b) Dibuja el correspondiente diagrama de rayos, indicando el tipo de imagen
formada.
a) Aplicando la ecuación de las lentes delgadas, obtenemos la posición de la imagen:
1
1
1
1
1
1
–
–
8 s 4 = 100 cm
8
=
=
–25 cm
s4
s
f4
s4
20 cm
Para obtener el tamaño de la imagen, aplicamos la ecuación del aumento lateral:
AL =
y4
s4
y4
100 cm
8
8 y 4 = – 8 cm
=
=
y
s
2 cm
–25 cm
Por tanto, la imagen es invertida y de mayor tamaño que el objeto.
b) La construcción gráfica requiere el empleo de, al menos, dos rayos de trayectoria
conocida. Por ejemplo:
• Un rayo paralelo al eje óptico. Después de refractarse en la lente, pasa por el
foco imagen, F 4.
• Un rayo que pase por el centro óptico; no se desvía.
Unidad 10. Óptica geométrica
341
El diagrama de rayos será:
F'
y
F
f
f' = 20 cm
y'
s = –25 cm
s' = 100 cm
Como la imagen se forma al cortarse los rayos principales, es real.
21. Una lente convergente delgada tiene una potencia de 5 D. Determina la posición de la imagen que proporcionará un objeto que está situado a 50 cm de ella.
Mediante la expresión de la potencia de una lente, P, calculamos f 4:
P=
1
1
8 5D=
8 f 4 = 0,2 m = 200 cm
f4
f4
Ahora, aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas en el aire, siendo
s = –50 cm, tendremos:
1
1
1
1
1
1
–
8
–
8 s 4 = –66,7 cm
=
=
s4
s
f4
s4
–50 cm
200 cm
Como s 4 < 0, la imagen se forma delante de la lente; es decir, es virtual. Este resultado concuerda con lo estudiado; recuerda que la imagen es virtual en el caso de
que: |s| < |f 4|.
22. Las cámaras fotográficas comerciales suelen emplear una lente delgada de 25 D
de potencia. Con esta cámara queremos fotografiar a una persona de 170 cm
de altura situada a 2 m de la lente: a) Calcula la distancia que debe haber entre la lente y la película fotográfica. b) Determina la altura mínima que ha de
tener la película para poder sacar una foto de cuerpo entero a la persona.
a) La película fotográfica es la superficie donde se va a formar la imagen. Por tanto,
la distancia entre la lente y la película fotográfica será la distancia imagen. Tenemos los siguientes datos:
P = 25 D ; s = –2 m
Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas y sustituyendo datos,
resulta:
1
1
1
1
1
–
–
=
=P 8
= 25 D 8 s 4 = 0,0408 m = 4,08 cm
s4
s
f4
s4
–2 m
Es decir, la distancia que debe haber entre la lente delgada y la película fotográfica es de 4,08 cm.
b) La altura de la película debe ser, al menos, igual al tamaño de la imagen, y 4. Mediante la expresión del aumento lateral, AL, obtenemos su valor:
AL =
y4
s4
s4
0,0408 m
8 y4 = y ·
8 y 4 = 170 cm ·
=
= –3,47 cm
y
s
s
–2 m
Es decir, la altura de la película debería ser mayor de 34,7 mm.
342
Unidad 10. Óptica geométrica
23. Un objeto luminoso está situado 15 cm a la izquierda de una lente convergente de 10 cm de distancia focal. A la derecha de esta primera lente, y a
15 cm, está situada otra lente convergente de 12 cm de distancia focal:
a) Determina la posición final del objeto.
b) Calcula el aumento lateral de cada una de las lentes.
c) Dibuja un diagrama de rayos que muestre las características de la imagen
final.
a) En los sistemas ópticos formados por dos lentes, si las lentes están separadas, la
imagen formada por la primera lente actúa como objeto de la segunda. Por tanto,
se trata de aplicar la ecuación de las lentes delgadas dos veces.
La distancia imagen de la primera lente, s 14, es:
1
1
1
1
1
1
8 s 14 = 30 cm
–
=
8
–
=
–
s 14
s1
f 14
s 14
10 cm
15 cm
Es decir, la imagen del objeto se forma 30 cm a la derecha de la primera lente.
Como la segunda lente está a 15 cm de la primera y a su derecha, la primera imagen, objeto de la segunda, estará 15 cm a la derecha de la segunda lente. Esto es,
s2 (la distancia objeto para la segunda lente) es 15 cm.
La distancia imagen de la segunda lente, s 24, es:
1
1
1
1
1
1
–
8 s 24 = 6,67 cm
–
8
=
=
s 24
s2
f 24
s 24
15 cm 12 cm
Es decir, la imagen final se forma a 6,67 cm a la derecha de la segunda lente.
b) El aumento lateral, AL, para cada lente es:
AL1 =
AL2 =
s 14
30 cm
8 AL1 =
= –2
s1
–15 cm
s 24
6,67 cm
8 AL2 =
= 0,44
s2
15 cm
El aumento lateral del sistema es el producto de los aumentos laterales:
AL = –2 · 0,44 = – 0,88
Es decir, la imagen sale invertida y de menor tamaño que el objeto.
c) El diagrama de rayos completo es:
y
F1
F2
f1 = –10 cm
s1 = –15 cm
F 1'
Imagen
final
f2 = –12 cm
d = 15 cm
F 2'
y'
s2' = 6,67 cm
s2 = 15 cm
Unidad 10. Óptica geométrica
343
24. Un objeto luminoso está situado a 5 m de una pantalla. Una lente de distancia focal desconocida forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y
tres veces mayor que el objeto. Determina:
a) La naturaleza de la lente (convergente o divergente).
b) La posición de la lente.
c) El valor de la distancia focal.
d) Una nueva posición de la lente en la que obtengamos sobre la pantalla
una imagen nítida pero de tamaño diferente a la obtenida en el apartado
anterior. Obtén el valor del aumento lateral en este caso.
a) La lente es convergente (las lentes divergentes dan siempre imágenes virtuales).
b) Como la imagen es invertida y de tamaño tres veces mayor que el objeto:
AL =
y4
s4
s4
–3 · y
8 AL =
8 s 4 = –3 · s
=
=
y
s
s
y
[1]
Como el objeto está situado a 5 m de la pantalla, teniendo en cuenta el convenio
de signos, podemos escribir:
s4 – s = 5
[2]
Las ecuaciones [1] y [2] constituyen un sistema de ecuaciones, que resuelto da:
s = –1,25 m ; s 4 = 3,75 m
Es decir, la lente está 1,25 m a la derecha del objeto.
c) Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas, obtenemos el valor de
la distancia focal, f 4:
1
1
1
1
1
1
–
8
8 f 4 = 0,937 m
=
–
=
s4
s
f4
3,75 m
–1,25 m
f4
d) En esta nueva posición se sigue cumpliendo que: s 4 – s = 5; además, la distancia
focal no cambia.
Al sustituir en la ecuación de las lentes delgadas los valores s 4 = 5 + s y f 4 = 0,937 m;
obtenemos una ecuación de segundo grado:
1
1
1
8 s2 + 5 · s + 4,69 = 0 8 s1 = –1,25 m ; s2 = –3,75 m
–
=
5+s
s
0,937
El primer valor es el obtenido en el apartado anterior; por tanto, una nueva posición de la lente sería a 3,75 m a la derecha del objeto.
El nuevo valor del aumento lateral es:
AL =
s4
1,25 m
8 AL =
= –0,33
s
–3,75 m
25. Un objeto está situado a 1 m de distancia de una lente de –5,0 dioptrías de potencia. Determina:
a) La posición de la imagen.
b) El aumento lateral obtenido.
c) ¿Existe alguna posición donde podamos colocar el objeto para que la imagen sea real?
344
Unidad 10. Óptica geométrica
Los datos de que disponemos son:
s = –100 cm ; P = –5,0 D
a) La distancia focal de la lente es:
P=
1
1
8 –5,0 D =
8 f 4 = –0,2 m = –20 cm
f4
f4
Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas, se obtiene la posición
de la imagen:
1
1
1
1
1
1
–
8
–
8 s 4 = –16,67 cm
=
=
s4
s
f4
s4
–100 cm
–20 cm
Es decir, la imagen aparece 16,67 cm a la izquierda de la lente.
b) El aumento lateral, AL, vale:
AL =
s4
–16,67 cm
8 AL =
= 0,167
s
–100 cm
c) No. La lente es divergente, ya que P < 0. Como sabemos, las lentes divergentes
no dan nunca imágenes reales.
26. Un objeto luminoso, de 2 cm de altura, está situado a 25 cm de una lente divergente cuya potencia es de –10 D. Determina:
a) La distancia focal imagen.
b) Las características de la imagen (posición, tamaño y naturaleza), mediante: I) los correspondientes cálculos numéricos; II) el correspondiente diagrama de rayos.
Los datos de los que disponemos son:
s = –25 cm ; y = 2 cm ; P = –10 dioptrías
a) La distancia focal imagen, f 4, la calculamos a partir de la potencia de la lente:
P=
1
1
1
8 f4=
=
= – 0,1 m = –10 cm
f4
P
–10 D
b) II) Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas, obtenemos la posición de la imagen:
1
1
1
1
1
1
–
8
–
8 s 4 = –7,14 cm
=
=
s4
s
f4
s4
–25 cm
–10 cm
Por tanto, al ser s 4 < 0, la imagen es virtual. El tamaño de la imagen lo calculamos de esta forma:
AL =
y4
s4
s4
–7,14 cm
8 y4 = y ·
=
= 2 cm ·
= 0,57 cm
y
s
s
–25 cm
Es decir, la imagen sale derecha, y 4 > 0, y de menor tamaño que el objeto.
b) II) Gráficamente, llegamos al mismo resultado. Al trazar dos de los rayos principales, uno paralelo al eje óptico y otro que incida sobre el vértice óptico, obtenemos la figura que se muestra en la página siguiente.
345
Unidad 10. Óptica geométrica
Recuerda que, para una lente divergente, la imagen formada por un objeto es, independiente de su posición ante la lente, siempre virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto.
y
y'
F'
O
s' = –7,14 cm
f = –10 cm
s = –25 cm
27. Una lente bicóncava simétrica tiene una potencia de –3 D y está formada por
un material transparente cuyo índice de refracción es 1,7. Determina: a) Los
radios de curvatura de la lente. b) La posición donde deberíamos colocar el
objeto para que el tamaño de su imagen sea la tercera parte.
a) Una lente bicóncava tiene la forma:
1
2
Observa que R1 < 0 y R2 > 0. La distancia focal imagen, f 4, de la lente es:
P=
1
1
8 –3 D =
8 f 4 = –0,33 m = –33 cm
f4
f4
Al ser simétrica la lente, se cumple que: |R1| = |R2|. Teniendo en cuenta el convenio de signos, R1 = –R2; al sustituir en la expresión de la distancia focal resulta:
[
1
1
1
–
= (n 4 – 1) ·
f4
R1 R2
]
8
[
1
1
1
–
= (1,7 – 1,0) ·
–33 cm
–R2 R2
]
R2 = 46,2 cm ; R1 = – 46,2 cm
b) Si el tamaño de la imagen es la tercera parte, se cumplirá que:
AL
s4
1
s
= s = 3 8 s4 = 3
Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas y sustituyendo datos,
nos queda:
1
1
1
3
1
1
–
8
–
8 s = – 66 cm
=
=
s4
s
f4
s
s
–33 cm
Es decir, el objeto debería colocarse 66 cm a la izquierda de la lente.
346
Unidad 10. Óptica geométrica
28. Una lente convergente de 2 D está situada enfrente de un espejo plano, tal y
como muestra la figura.
Espejo
Lente
P
En el punto P, a 25 cm del espejo, hay un objeto que se refleja en el espejo, y
su imagen se utiliza como objeto respecto a la lente. Sabiendo que la lente
y el espejo están separados 2,0 m:
a) Dibuja el diagrama de rayos para obtener la imagen formada por el espejo.
b) Determina numéricamente la posición de la imagen que forma la lente,
así como su aumento lateral.
a) De acuerdo con las reglas de la reflexión, el espejo da una imagen virtual del objeto, del mismo tamaño y a 25 cm de la parte posterior del espejo. La figura inferior muestra la trayectoria que siguen los rayos y la imagen formada:
Lente
Espejo
α
α
B'
B
A'
A
25 cm
25 cm
200 cm
b) La imagen formada por el espejo está a 225 cm de la lente. Esta imagen actúa como objeto frente a la lente convergente, luego: s = –225 cm. Por otro lado, la distancia focal imagen, f 4, vale:
P=
1
1
1
8 f4=
=
= 0,5 m = 50 cm
f4
P
2D
Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas, obtenemos la posición de la imagen:
1
1
1
1
1
1
–
8
–
8 s 4 = 64,3 cm
=
=
s4
s
f4
s4
–225 cm
50 cm
Unidad 10. Óptica geométrica
347
Por tanto, al ser s 4 > 0, la imagen es real. El aumento lateral, AL, vale:
AL =
y4
s4
64 cm
=
8 AL =
= – 0,29
y
s
–225 cm
La imagen saldrá invertida, AL < 0, y de menor tamaño que el objeto, como se
muestra en la siguiente figura:
Lente
Espejo
B'
A''
A'
F
2F
F'
2F '
B''
f = –50 cm f' = 50 cm
s = – 225 cm
s' = 64 cm
NOTA: Por claridad, se ha aumentado la altura del objeto de la lente (imagen del espejo).
29. Haz un esquema con la formación de imágenes en un microscopio. ¿De qué
factores depende el aumento?
El microscopio se utiliza para observar objetos muy pequeños. Consta de, al menos,
dos lentes convergentes. La primera, denominada objetivo, forma una imagen real y
de mayor tamaño que el objeto, y 4. Esta imagen actúa como objeto frente a la segunda lente, denominada ocular, que forma la imagen definitiva, y 44, de mayor tamaño
que el objeto pero virtual. La siguiente figura muestra un esquema del microscopio
compuesto:
Objetivo
Ocular
δ
F1'
y
F2
F1
y'
F2'
y''
El aumento del microscopio, A, viene dado por la expresión:
A = – 0,25 · d · P1 · P2
Donde d es la distancia entre los dos focos, F 14 y F2, y P1 y P2 son la potencia del objetivo y del ocular, respectivamente.
348
Unidad 10. Óptica geométrica
30. Dispones de una lupa de distancia focal 5 cm para poder observar mejor
un mapa: a) Calcula la distancia a la que debes situar el mapa de la lupa si
quieres obtener una imagen virtual veinte veces mayor que la imagen original. b) Construye el diagrama de rayos correspondiente al apartado anterior.
a) Una lupa es una lente convergente, generalmente biconvexa. Este instrumento óptico forma una imagen virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto. Por tanto, este ha de estar situado a una distancia, s, menor que la distancia focal, f.
Como queremos que la imagen sea 20 veces mayor que el objeto y como la relación entre los tamaños de la imagen, y 4, y del objeto, y, será igual que la relación
entre las posiciones de la imagen, s 4, y del objeto, s, tenemos los siguientes datos:
f 4 = +5 cm ; y 4 = 20 · y ; s 4 = 20 · s
La posición del objeto resulta:
1
1
1
1
1
1
–
8
–
8
=
=
s4
s
f4
20 · s
s
5 cm
8 s = – 4,75 cm 8 s 4 = 20 · (– 4,75 cm) = – 95 cm
b) La construcción geométrica de la imagen es:
y'
y
F
F'
s
s'
31. Un microscopio tiene un objetivo con una potencia de 75 D y un ocular de
40 dioptrías. Sabiendo que sus centros ópticos distan 20 cm, determina:
a) Las distancias focales del objetivo y del ocular.
b) El aumento total del microscopio.
a) Tenemos los siguientes datos:
Pobj = 75 D ; Pocu = 40 D ; OO 4 = 20 cm.
La distancia focal del objetivo es:
Pobj =
1
f obj
4
Unidad 10. Óptica geométrica
8 f obj
4 =
1
1
=
= 0,0133 m = 1,33 cm
Pobj
75 D
349
Y la del ocular:
Poc =
1
f oc
4
8 f oc
4 =
1
1
=
= 0,025 m = 2,5 cm
Poc
40 D
b) El intervalo óptico, o distancia entre los focos, del microscopio, d, vale:
d = 20 cm – (1,33 cm + 2,5 cm) = 16,17 cm = 0,1617 m
Por tanto, el aumento total del microscopio, A, es:
A = –0,25 · d · P1 · P2
Sustituyendo datos:
A = –0,25 m · 0,1617 m · 75 m–1 · 40 m–1 = 121,3
32. La hipermetropía es un defecto de la visión. ¿Con qué tipo de lente se corrige? ¿Por qué? Haz un esquema que complete la explicación dada.
En un ojo hipermétrope, la imagen se forma detrás de la retina. Este defecto conlleva una mayor o menor dificultad cuando se trata de enfocar los objetos cercanos.
La hipermetropía se corrige con una lente convergente. Los dibujos muestran lo
descrito anteriormente.
Punto
próximo
Punto
próximo
Objeto
Objeto
Lente
convergente
Imagen
detrás
Imagen
en la
retina
33. Una persona presenta el mismo defecto en la visión en ambos ojos. Un oftalmólogo le recomienda unas gafas de –5 D en cada cristal. Indica qué defecto tiene y cómo se lo corrigen las lentes de las gafas.
Puesto que la potencia es negativa y esta se define como:
P=
1
f4
la distancia focal imagen, f ,4 ha de ser negativa. Este hecho caracteriza a las lentes
divergentes, las cuales se utilizan para corregir la miopía. Por tanto, este será el defecto en la visión que presenta la persona.
La lente divergente origina que los rayos de luz que llegan al ojo humano diverjan
y se enfoquen lo más próximo a la retina, tal y como muestra la figura inferior.
Punto
remoto
Punto
remoto
Imagen
delante
350
Lente
divergente
Imagen
en la
retina
Unidad 10. Óptica geométrica
34. Un présbita tiene su punto próximo a 40 cm del ojo. Determina el tipo de gafas que debe utilizar para poder leer a una distancia de 25 cm, así como la potencia de la lente utilizada.
Una persona con presbicia debe utilizar lentes convergentes.
Para poder leer a una distancia de 25 cm, la imagen de un objeto situado a esta distancia debe formarse en el punto próximo. Es decir:
s = –25 cm ; s 4 = –40 cm
Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas y sustituyendo datos, tenemos:
1
1
1
1
1
1
–
8
–
8 f 4 = 66,7 cm = 0,667 m
=
=
s4
s
f4
–40 cm
–25 cm
f4
Por tanto, la potencia de la lente debe ser:
P=
1
1
8 P=
= 1,5 dioptrías
f4
0,667 m
35. Una persona no ve claramente los objetos situados más allá de 3 m, su punto
remoto. Señala: a) El defecto visual que padece. b) El tipo de lentes que debe
utilizar. c) La distancia focal de las lentes utilizadas, así como su potencia.
a) Si la persona no ve más allá de su punto remoto, padece miopía.
b) La miopía se corrige con lentes divergentes.
c) Las lentes que debe utilizar son tales que los objetos situados en el infinito,
s = – @, formen la imagen en el punto remoto de la persona, s 4 = –3 m. Por tanto,
al aplicar la ecuación de las lentes delgadas y sustituir datos, resulta:
1
1
1
1
1
1
–
8
–
8 f 4 = –3 m
=
=
–@
s4
s
f4
–3 m
f4
Como f 4 < 0, se confirma que la lente es divergente. La potencia, P, vale:
P=
1
1
8 P=
= – 0,33 dioptrías
f4
–3 m
36. ¿Qué lentes correctoras deben utilizarse para corregir la miopía de un ojo
cuyo punto remoto está situado a 45 cm?
De acuerdo con el enunciado, la imagen de un objeto situado en el infinito debe
formarse a 45 cm del ojo. Por tanto, tenemos los siguientes datos:
s = – @ ; s 4 = – 45 cm
Sustituyendo estos datos en la ecuación fundamental de las lentes delgadas, resulta:
1
1
1
1
1
1
–
8
–
8 f 4 = –45 cm = –0,45 m
=
=
–@
s4
s
f4
–45 m
f4
Como la distancia focal es negativa, la lente es divergente, y su potencia, expresada
en dioptrías, es:
P=
Unidad 10. Óptica geométrica
1
1
8 P=
= –2,2 D
f4
–0,45 m
351