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TEORÍA DE LAS PARALELAS Y LA EMERGENCIA DE LAS
GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS.
UN DESARROLLO HISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO
HERNÁN JAIRO NARVÁEZ LEGARDA
Código: 9927131
Plan: 3454
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA
ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
SANTIAGO DE CALI AGOSTO 2011
TEORÍA DE LAS PARALELAS Y LA EMERGENCIA DE LAS
GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS.
UN ANÁLISIS HISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO
HERNÁN JAIRO NARVÁEZ LEGARDA
Trabajo de Grado para optar al título de
Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad del Valle
Dirección: Profesor, Mg. SERGIO IVÁN VALENCIA M.
ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
SANTIAGO DE CALI AGOSTO 2011
Nota de aceptación
Presidente Firma del Jurado
Profesor, Mg. ANDRÉS CHAVES BELTRÁN
Firma Jurado 1
Profesor, Mg. JHOVANNY MUÑOZ POSSO
Firma Jurado 2
Santiago de Cali Agosto 2011
HERNÁN JAIRO NARVÁEZ LEGARDA
TEORÍA DE LAS PARALELAS
Y LA EMERGENCIA DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS.
UN DESARROLLO HISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO
Et his principiis vía ad maiora. Sir Isaac Newton (1643 – 1727)
A mi hermano, Javier y familia.
y
en Memoria de mi Padre, H. Francisco Narváez (1947 – 1990)
El autor agradece a los Profesores Sergio Valencia Marín y, a los Evaluadores, Andrés Chaves
Beltrán y Jhovanny Muñoz Posso por sus comentarios, sugerencias y correcciones realizadas en la
elaboración de este trabajo. En cualquier caso, la versión final del mismo, con sus posibles errores e
incorrecciones, es responsabilidad única del autor.
También quisiera manifestar mi agradecimiento a las personas que de forma directa o indirecta han
contribuido en la realización de este trabajo, principalmente a Dios por permitirme dar este pequeño
paso, al cuerpo de Profesorado de la Universidad del Valle, a mis compañeros, Lic. Hernán G., Lic.
Danilo L., y Tec. Wilmar Q., Profesora Johanna M. y, en especial, a R.
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN...................................................................................................................................... i
PLANTEAMIENTO DE ANÁLISIS DE LA TEORÍA DE LAS PARALELAS Y LA
EMERGENCIA DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS............................................. ii
INTRODUCCIÓN GENERAL ...................................................................................................... ii
CAPÍTULO I .................................................................................................................................. 1
ALGUNAS INVESTIGACIONES DE LA TEORÍA DE LAS PARALELAS EN EL PERÍODO
ANTIGUO ...................................................................................................................................... 1
§1.0 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1
§1.1 Algunos resultados de las investigaciones de Ptolomeo: La recta que incide sobre rectas
paralelas hace que la suma de los ángulos internos del mismo lado sea mayor, o igual, o menor
que dos ángulos rectos .................................................................................................................... 3
§1.2 Algunos resultados de las investigaciones de Proclo: La existencia de una recta paralela
(unicidad) que puede ser trazada por un punto “exterior” (no colineal) a una recta dada ........... 11
§1.3 Las investigaciones de Nâssîr–Eddîn: La suma de los ángulos internos en un triángulo
rectángulo es igual a dos ángulos rectos ....................................................................................... 25
§1.4 Algunas “interpretaciones geométricas” del quinto postulado de Euclides........................ 31
ALGUNOS RESULTADOS EN LAS INVESTIGACIONES DE LA TEORÍA DE LAS
PARALELAS EN LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XVII Y PRIMERA MITAD
DEL SIGLO XVIII .................................................................................................................... 32
§1.5 Algunos resultados de las investigaciones de Vitale (1680): La equidistancia entre rectas
paralelas (el Locus geométrico) .................................................................................................... 33
§1.6 Algunos resultados de las investigaciones de Wallis (1693): El criterio de semejanza entre
triángulos rectilíneos ..................................................................................................................... 36
§1.7 La independencia lógica de las proposiciones I, 1 a I, 28 de los Elementos con respecto al
quinto postulado de Euclides ........................................................................................................ 38
§1.8 Algunos resultados de las investigaciones del Padre Saccheri (1733) ................................. 41
§1.8.1 El “cuadrilátero fundamental” ........................................................................................... 41
§1.8.2 Algunas propiedades geométricas en la Hipótesis del Ángulo Agudo ............................. 57
CAPÍTULO II ............................................................................................................................. 64
UN NUEVO ENFOQUE A LA TEORÍA DE LAS PARALELAS EN LA SEGUNDA
MITAD DEL SIGLO XVIII ...................................................................................................... 64
§2.0 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 64
§2.1 Algunos resultados de las investigaciones de Lambert (1766) ............................................. 65
§2.1.1 Magnitudes geométricas absolutas asumiendo la Hipótesis del Ángulo Agudo ............... 65
§2.1.2 La “esfera de radio imaginario o complejo” ...................................................................... 72
§2.2 Algunos resultados de las investigaciones de Legendre (1794): Dos teoremas en relación a
la teoría de las paralelas ................................................................................................................ 74
§2.3 Algunas proposiciones lógicamente equivalentes al quinto postulado de Euclides ............. 84
§2.4 Una demostración de la equivalencia lógica entre el axioma de Playfair (1795) y el quinto
postulado de Euclides ................................................................................................................... 85
ALGUNOS RESULTADOS EN LAS INVESTIGACIONES DE LA TEORÍA DE LAS
PARALELAS A PRINCIPIOS DEL SIGLO XIX................................................................... 88
§2.5 Algunas reflexiones epistemológicas sobre el quinto postulado de Euclides y la concepción
del espacio físico (espacio) por Newton (1686), Leibniz, Kant (1783), Clairaut (1741), Laplace
(1824) y Gauss .............................................................................................................................. 89
§2.6 Algunos resultados de las investigaciones de Gauss: Los inicios de una hipotética geometría
(Hipótesis del Ángulo Agudo) ...................................................................................................... 98
§2.7 Algunos resultados de las investigaciones de Schweikart (1818): La Geometría Euclídea y
una Geometría Astral (espacio astronómico) ............................................................................ 108
CAPITULO III .......................................................................................................................... 112
ALGUNOS RESULTADOS ANALÍTICOS DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS
EN LA PRIMERA MITAD DEL SIGLO XIX ...................................................................... 112
§3.0 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 112
§3.1 Algunos resultados de las investigaciones de Taurinus (1826): Las fórmulas trigonométricas
en la HAA ................................................................................................................................... 114
§3.2 Algunos resultados de las investigaciones de Lobachevsky: Una Geometría Imaginaria
(1840) o Pangeometría (1855).................................................................................................... 123
§3.3 Algunos resultados de las investigaciones de J. Bolyai (1831): Una Geometría Absoluta 136
CAPÍTULO IV .......................................................................................................................... 151
DESARROLLO DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS EN LA SEGUNDA MITAD
DEL SIGLO XIX ...................................................................................................................... 151
§4.0 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 151
§4.1 Análisis de algunos términos tratados en Über die Hypothesen welche der Geometrie zu
Grunde Liegen (1854) de George Friedrich Bernhard Riemann ................................................ 155
§4.1.1 El significado de Mannigfaltigkeit [variedad] acuñado por Riemann (1854) en su
Habilitationsvortrag ................................................................................................................... 159
§4.1.1.1 Variedades topológicas ................................................................................................. 166
§4.1.1.2 Variedades discretas ..................................................................................................... 168
§4.2 El planteamiento de las posibles relaciones métricas en una variedad n – dimensional
[Mannigfaltigkeit von n Dimensionen] en la Habilitationsvortrag de Riemann (1854) ............. 173
§4.2.1 Esbozo de una determinación de posición de un punto en una variedad n –dimensional 175
§4.2.2 Esbozo de una función distancia en un conjunto ............................................................. 179
§4.2.3 Algunos resultados notables en geometría diferencial del Disquisitiones generales circa
superficies curvas (1828) de Gauss ............................................................................................ 181
§4.3 El estudio de las posibles relaciones métricas en una variedad n – dimensional en la
Habilitationsvortrag de Riemann (1854).................................................................................... 187
§4.3.1 Geometría sobre una superficie esférica: Una interpretación específica de la Hipótesis del
Ángulo Obtuso (HAO) ............................................................................................................... 199
§4.3.2 F. Minding (1839). Las Pseudoesferas, superficies de revolución con curvatura de Gauss
constante negativa ....................................................................................................................... 206
§4.4 Esbozo de una [Lehre von Raume] teoría del espacio físico no euclídeo por Riemann (1854)
y algunas implicaciones sobre la misma que se desprenden a partir de la teoría de la relatividad
especial o restringida (1905) y general (1916) de Einstein......................................................... 209
§4.5 DIFUSIÓN DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS EN LA SEGUNDA MITAD DEL
SIGLO XIX ................................................................................................................................. 221
§4.6 LA IMPORTANCIA DE LOS TRABAJOS DE BELTRAMI (1868), HELMHOLTZ
(1868), KLEIN (1872), LIE (1893) Y HILBERT (1899) EN LA CONSOLIDACIÓN DE LAS
GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS ........................................................................................ 222
BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................................... 248
Trabajos citados .......................................................................................................................... 248
RESUMEN
El problema de la negación e independencia lógica del quinto postulado de Euclides con
respecto a los cuatro primeros postulados del Libro I de los Elementos condujo, entre otros
aspectos, a una revisión crítica de los fundamentos de la geometría euclídea a finales del siglo
XIX. Los ingentes esfuerzos encaminados a demostrar el quinto postulado de Euclides
conllevaron a la necesidad de fundamentar matemáticamente de forma más precisa y rigurosa,
durante la segunda mitad del siglo XIX, no sólo una, sino varias posibles geometrías, entre ellas,
las nacientes geometrías no euclidianas. En este sentido, los trabajos de K. Gauss (1777 – 1855),
N. I. Lobachevsky (1793 – 1855), J. Bolyai (1802 – 1860) y B. Riemann (1826 – 1866), son
entre otros matemáticos, el referente de un análisis en el que el autor se propone mostrar y
analizar desde distintas posturas, filosófica, matemática y física, algunos de los principales
intentos desde la Antigüedad hasta principios del siglo XIX, por establecer el quinto postulado
de Euclides partiendo del mismo marco axiomático euclídeo, y también abordar las
implicaciones que tuvo no sólo en las matemáticas, sino también en la concepción del espacio
físico y posteriormente, llegar a la emergencia y consolidación de las geometrías no euclidianas
en las postrimerías del siglo XIX. En este Trabajo, a diferencia de las fuentes Bibliográficas
principales, entre otras, de Bonola (1912), Gray (1992), Greenberg (1994) y Coxeter (1998), en
las que presentan de manera sucinta y suponen al Lector familiarizado con el término
matemático de variedad [Mannigfaltigkeit] en la Habilitationsvortrag de Riemann (1854), el
autor se ha propuesto aproximar al Estudiante con dicho concepto empleando algunas de las
técnicas y herramientas de la Topología, Algebra Lineal, Geometría Diferencial y la Física con
propósito de dar a conocer la relevancia y el profundo significado que tuvo, no sólo en la
interpretación, desarrollo y consolidación de las geometrías no euclidianas en los siglos XIX y
XX, sino también en la posibilidad de esbozar otras geometrías, entre ellas, la geometría
Riemanniana.
CONCEPTOS O PALABRAS LAVES: Hipótesis del Ángulo Recto (HAR), Hipótesis del
Ángulo Agudo (HAA), Hipótesis del Ángulo Obtuso (HAO), variedad [Mannigfaltigkeit] en
Riemann (1854).
i
PLANTEAMIENTO DE ANÁLISIS DE LA TEORÍA DE LAS PARALELAS Y LA
EMERGENCIA DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS
INTRODUCCIÓN GENERAL
El descubrimiento de las geometrías no euclidianas1 en el siglo XIX es considerado por los
Matemáticos y Físicos contemporáneos como uno de los hechos científicos más importantes en
la Historia y desarrollo de la Geometría y en la descripción y concepción epistemológica del
espacio físico. En primer lugar, los trabajos e investigaciones realizados en el intento por buscar
una demostración del quinto postulado de Euclides durante casi veinte siglos confluyeron en el
advenimiento de nuevas geometrías que niegan lógicamente este postulado y, al igual que la
geometría euclidiana, se pueden describir como sistemas relativamente consistentes. Por otro
lado, las implicaciones y consecuencias que tuvo en la concepción del espacio físico, en la
fundamentación y desarrollo de la Geometría, en la caracterización de los objetos y
procedimientos válidos en Matemáticas, entre otros, condujeron a un estudio más profundo del
método axiomático como fórmula para establecer el conocimiento científico a finales del siglo
XIX.
Históricamente se concibe que en la Antigüedad, alrededor de 2000 años a.C, la geometría
Egipcia 2 era una ciencia pragmática ligada a la solución de problemas de construcción, conteo y
administración de bienes. Pero fueron los antiguos griegos quienes construyeron un universo de
objetos matemáticos con una perspectiva propia e independiente de las ataduras que las
necesidades prácticas les imponían cotidianamente.
La mayoría de las culturas matemáticas antiguas hicieron de la verificación empírica (que sólo
podía dar resultados aproximados) y la generalización por analogía, sus criterios para establecer
1
La caracterización de geometría no euclidiana fue empleada, como veremos en el desarrollo del presente Trabajo
de Grado, por Gauss para describir un sistema geométrico que difiere del sistema euclidiano en algunas de sus
propiedades de paralelismo, medida de longitudes y ángulos, etc.
2
Las pirámides de Egipto, los palacios persas, los antiguos templos babilonios son una evidencia del uso de unas
técnicas matemáticas desarrolladas por estas culturas. Sin embargo, no hubo en éstas un simbolismo riguroso como
tampoco una formulación metodológica general que sugiriera alguna prueba o validez de un procedimiento
matemático.
ii
los resultados de sus prácticas. En los antiguos griegos, la necesidad de demostrar los
conocimientos matemáticos parte de una reflexión sistemática que se orientó a teorizar sobre el
mundo material 3. Y sería, entre otros, en las ideas de Platón (429 – 348 a.C) y de Aristóteles
(384 – 322 a. C) que esta teorización alcanzaría su máxima contribución en el pensamiento
filosófico griego 4. La naturaleza de los objetos matemáticos de imponerse al pensamiento quizá
sea, entre otros aspectos, la razón por la cual tanto Platón como Aristóteles buscaron en una
realidad ya constituida la explicación de la objetividad de la matemática. No obstante, en la
matemática griega en la Antigüedad (aprox. siglo VII a. C) se sostuvo la idea que la geometría es
prácticamente una representación del espacio físico, de los objetos que viven en él. Por ello, sus
resultados, que iban siendo establecidos dentro de la geometría, se aplicaban a problemas de tipo
empírico. Sobre este tópico interesante de los Elementos me referiré más adelante.
La intención filosófica de construir un tratado sobre geometría partiendo de principios o
verdades indemostrables 5 la podemos hallar en Aristóteles. La postura del filósofo Griego es
que todo saber dado o recibido por medio de un argumento proviene de un conocimiento
preexistente, por ejemplo, para Él, la Física, la Matemática y la Teología se adquieren de esta
manera. En su obra Tópicos se encuentran algunos de los elementos que constituyen para
Aristóteles una forma de validar el conocimiento científico, los cuales presentamos aquí:
•
Las definiciones.
•
Los primeros principios, que los hay de dos clases: los específicos de cada ciencia,
llamados postulados (enunciados válidos a una ciencia en particular: unos para la
aritmética, otros para la geometría, la física, etc.) y los comunes a todas, las nociones
3
Por ejemplo, en los filósofos presocráticos, sus disertaciones sobre lo unidad y lo múltiple, sobre lo permanente y
lo variable; en la escuela pitagórica (Pitágoras de Samos (656 – 500 a.C), primaba, entre otras posturas filosóficas,
la concepción epistemológica de que todas las cosas materiales se pueden representar a través de algunos números
naturales ( ).
4
Ellos representan dos escuelas del pensamiento griego que serán conocidas posteriormente como Idealismo
(Platón) y Empirismo (Aristóteles). Platón concibió que las matemáticas y los objetos que la componen existen por
fuera del espacio y el tiempo (hace una distinción entre el mundo material y el mundo de las ideas). Para Aristóteles
lo matemático es construido por el hombre a partir de los objetos físicos, la abstracción y la generalización de los
conceptos.
5
De lo contrario, los pasos en una demostración serían interminables.
iii
comunes (enunciados válidos tanto para la geometría, como para la física, la aritmética,
etc.).
•
Finalmente, está el cuerpo deductivo, compuesto por teoremas o proposiciones
demostrados que se sustentan en los postulados y nociones comunes.
Estos serían algunos de los más importantes antecedentes que predominarían la organización
axiomática de la geometría griega a partir del año 300 a. C donde se recoge, organiza y
sistematiza todo el saber matemático de épocas precedentes sin que ello implique que haya una
“ruptura total” con la experiencia del mundo físico.
Posteriormente, la indagación sobre las proposiciones como partes constitutivas de un sistema
axiomático de geometría fue cambiando gradualmente el significado de estos enunciados
geométricos: dejaron de ser vistos como representaciones de alguna propiedad del espacio físico,
fueron perdiendo su valor ontológico y se fue enfatizado su estructura lógica. Este fue un proceso que
duró varios siglos y se dio por diversas razones 6.
El estatus de definición, noción común y postulado en geometría tienen un significado que se
inicia fundamentalmente en la obra de Euclides 7. Los Elementos (alrededor del año 300 a. C) de
6
Al Lector interesado sobre este interesante tema ver, La trama de la demostración (1990) del Profesor Luis Vega
Reñón.
7
En el sistema euclídeo parece ser que los postulados y nociones comunes son verdades que se desprendían de una
“experiencia vigente” que describen en cierto modo propiedades del espacio físico. Por ejemplo, la noción común
que afirma que “las cosas congruentes entre sí son iguales entre sí”. Para algunos historiadores, por ejemplo Gray
(1992), el término “congruencia” se asociaba en los griegos a “ajustar”, “encajar”, “superponer”. Este acto implicaba
de alguna manera la idea de “movimiento” de traslación que no deformaba ni cambiaba las dimensiones de la figura
(cuerpo rígido) suponiendo un espacio homogéneo e independiente de la materia. Esto merece algunas reflexiones.
Los postulados, en general en los Elementos, corresponden a cierto tipo de operaciones (construcciones) que se
realizan con los objetos geométricos previamente definidos y que permiten, entre otras acciones, trazar rectas,
describir círculos, prolongar una recta, etc. En relación a los objetos físicos, en ocasiones resulta conveniente
analizar el movimiento de una partícula u objeto sin tomar en cuenta las causas (fuerzas) o agentes que lo producen.
Esta parte de la mecánica recibe el nombre de cinemática. Cuando una partícula o cuerpo se desplaza en el espacio
puede describir una trayectoria (curva) en línea recta y podemos considerar la posición inicial y final del
desplazamiento del objeto como dos puntos en el espacio. No obstante, es importante cuando se trata de magnitudes
tomar en cuenta el carácter cuantitativo que en la tradición griega tiene la noción de igualdad. Por ejemplo, dos
figuras planas rectilíneas son iguales si tienen la misma área sin importar la forma, verbi gracia, un rectángulo que
mida de base 2 unidades de longitud y de altura 8 unidades de longitud es igual en área a un cuadrado que mida de
lado 4 unidades de longitud pero por definición un rectángulo y un cuadrado son figuras rectilíneas (cuadriláteras)
distintas.
iv
Euclides forman un conjunto de trece libros dedicados a la fundamentación lógica aristotélica y
sistemática de la geometría griega hasta esa época. Toda la estructura de los Elementos está
cimentada en las definiciones, postulados y nociones comunes o axiomas y en la organización
deductiva sobre la cual se sustentan las proposiciones o teoremas obtenidos.
En este aspecto resulta pertinente conocer los comentarios de Proclo 8 (410 - 485) quién
además de comentar las proposiciones del Libro I de los Elementos, hace un prólogo sobre los
principios que gobernaron las matemáticas griegas pre – euclídea y euclídea.
Para Proclo (1970), los principios geométricos están divididos en tres grupos: hipótesis
(definiciones), nociones comunes y postulados. Una característica común de los axiomas y
postulados, afirma el geómetra Bizantino, consiste en que “ellos no requieren demostración o
evidencia geométrica y, además, son usados como saberes y puntos de partida para lo que se
sigue (en una teoría o demostración)” (Proclo, 1970, p. 65). En este sentido, Proclo (1970) cita a
Aristóteles, quien sostiene:
“Siempre que por otro lado, la proposición es desconocida y no obstante es tomada como
verdadera, aunque el discípulo no esté convencido [de la misma], entonces [afirma
Aristóteles] la denominamos postulado; por ejemplo, que todos los ángulos rectos son
iguales. Esta característica de los postulados es la prueba determinante con la que han
sido afirmados cada uno de ellos [los postulados de Euclides, en especial al quinto
postulado del Libro I, y los intentos desde la Antigüedad en demostrarlo] y los aceptan
sin ninguna dificultad. De esta forma, axioma, postulado e hipótesis se diferencian de
acuerdo a la enseñanza de Aristóteles” (Proclo, 1970, p. 62).
El Libro I de los Elementos consta de 23 definiciones, 5 postulados, 9 nociones comunes y 48
proposiciones relativas a congruencias entre figuras rectilíneas, rectas paralelas coplanarias y
construcciones geométricas (geometría en el plano).
8
Proclo, destacado geómetra Bizantino, es considerado como uno de los comentadores más autorizados de la obra
de Euclides. En su obra, Commentary on the first Book of Euclid’s Elements (1970), Traducción Inglesa, notas y
comentarios por Glen R. Morrow, se recogen fuentes originales griegas, como de Historiadores y Filósofos
anteriores y posteriores a Euclides.
v
Una característica común de los postulados y axiomas, afirma Proclo (1970), es que ellos no
requieren ninguna prueba de su validez, se consideran en cierta forma como afirmaciones
geométricamente evidentes y son usados como punto de partida para la construcción de una
teoría.
Los postulados del Libro I de los Elementos son:
“1. Postúlese el trazar una recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera 9.
2. Y el prolongar una línea recta finita en línea recta 10.
3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia 11.
4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
5. Y el que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo
lado menores que dos [ángulos] rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se
encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos [ángulos] rectos”.
(Euclides, 1991, p. 197).
Los tres primeros postulados permiten trazar rectas y describir círculos.
El cuarto postulado, aparentemente, no tiene el carácter constructivo de los tres primeros. Un
objetivo fundamental de este postulado es garantizar al ángulo recto como un patrón invariable
para medir los demás tipos de ángulos (mayor o menor que un ángulo recto). Su aplicación ha
conllevado a la suposición de unas figuras invariables (sometidas a un movimiento 12, giro y/o
desplazamiento) y por consiguiente, a la homogeneidad de un espacio euclidiano.
9
Euclides (omite que la línea trazada entre dos puntos es única. Sin embargo, la supone en la demostración de la
proposición I, 4 de los Elementos. La notación anterior, y para lo que sigue, significa proposición 4 del Libro I de los
Elementos.
10
Se infiere que un segmento de recta se puede prolongar indefinidamente. Es decir, las rectas son infinitas en
extensión (abiertas).
11
Suele pensarse que en este postulado subyace la idea de un “espacio continuo” e infinito: aparentemente se pueden
construir círculos de radio tan pequeños - con una distancia mínima entre dos puntos contiguos- o puede ser
indefinidamente grande, en consecuencia, infinito. No obstante, por supuesto, esto es sólo una interpretación.
12
La idea de cuerpo rígido es un concepto que surge de la observación de los cuerpos sólidos. De alguna manera
reconocemos que los únicos cambios a los que están sometidos las figuras rígidas son los de posición. Por ejemplo,
vi
Con el quinto postulado, Euclides completa su criterio de paralelismo de rectas según la
Definición 23 del Libro I de los Elementos 13. Dichos enunciados con sus correspondientes
implicaciones geométricas y física constituyen lo que modernamente se conoce como teoría de
las paralelas.
Con respecto al quinto postulado de Euclides, Proclo (1970) no lo considera como un
postulado en el sentido aristotélico. Para el geómetra Bizantino, los postulados 4 y 5 del Libro I
de los Elementos son afirmaciones en las que no se ha supuesto ningún tipo de construcción,
simplemente presentan una propiedad correspondiente a la congruencia entre ángulos rectos y a
las rectas coplanarias que no se intersecan entre sí.
En efecto, Proclo (1970) como otros grandes matemáticos, desde la Antigüedad hasta finales
del siglo XIX, consideraron que el quinto postulado de Euclides era un teorema cuya
demostración era factible de poder darse y establecer partiendo del mismo marco axiomático
euclídeo. Pero entonces surgen algunas de las siguientes preguntas:

¿Es en verdad el quinto postulado de Euclides un teorema más de geometría plana?

¿Qué implicaciones desde el punto vista geométrico y en la concepción del espacio físico
se desprenden de asumir o no el quinto postulado de Euclides?

¿Es matemáticamente posible concebir, fundamentar y/o construir geometrías distintas a
la geometría euclidiana es decir, que no dependan o nieguen lógicamente el quinto
postulado de Euclides?
Estos tres interrogantes son, entre otros temas, el eje central que motivan el desarrollo y
análisis del presente Trabajo de Grado y en el que me he propuesto brindar al Lector, desde un
planteamiento filosófico, matemático y físico de la teoría de las paralelas, algunas pautas para
que no sólo estas tres preguntas puedan ser resueltas rigurosamente, sino que además en la
el postulado 4 (Libro I de los Elementos) al establecer que todos los ángulos rectos son iguales entre sí quiere
significar que ciertas propiedades fundamentales de las figuras geométricas se mantienen invariables durante uno o
más movimientos (traslación o rotación).
13
La Definición 23 del Libro I de los Elementos establece que: “Son rectas paralelas las que estando en el mismo
plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos”
(Euclides, 1991, p.196).
vii
lectura del mismo puedan plantearse otras, porque como afirma Georg Cantor (1845 – 1918), en
matemáticas, el arte de proponer cuestiones es más importante que el de resolverlas.
En relación a lo que afirma el quinto postulado de Euclides, Proclo (1970), por ejemplo,
considera el caso de dos rectas (coplanarias) que forman ángulos rectos con una tercera recta
que ha incidido sobre ellas (perpendicular común) y sostiene qué, en el caso contrario, es la
intersección entre sí de las dos rectas dadas lo que generaría un triángulo con la recta transversal
y en todo triángulo la suma de los ángulos internos es menor que dos ángulos rectos; es lo que se
afirma en la proposición I, 17 de los Elementos.
De esta manera surge entonces la necesidad de buscar una demostración del quinto postulado
de Euclides que comprende básica y fundamentalmente dos etapas históricas:
Los intentos por demostrarlo de forma directa. Las consecuencias que se derivaron de ello
confluyeron, en un primer período, en tratar de obtener una proposición lógicamente equivalente
del mismo y que interpretara geométricamente lo que se debía demostrar. Hubo algunas
proposiciones que si bien se consideraron claras y evidentes, las demostraciones de las mismas,
por parte de sus autores u otros que la adoptaban, resultaban siendo oscuras y carentes de rigor
matemático; en otras afirmaciones, al asumir una proposición como punto de partida para
demostrarlo, sin percatarse, estaban asumiendo la validez del mismo quinto postulado de
Euclides e incurrían en errores de petición de principio de tipo demostrativo; y en algunas otras
se debió asumir más proposiciones para llegar a una supuesta demostración. Los ingentes
esfuerzos que se hicieron por casi veinte siglos constituyen para un Historiador en Matemáticas
un material invaluable en el desarrollo y la consolidación de las geometrías no euclidianas y en la
fundamentación de las matemáticas. En este Trabajo de Grado presento algunas de ellas.
De entre todas las proposiciones lógicamente equivalentes al quinto postulado de Euclides, el
axioma de Playfair (1795) fue el que más se adoptó y divulgó. Este axioma afirma lo siguiente:
Por un punto exterior a una recta dada puede ser trazada una y sólo una paralela a dicha
recta.
Una segunda etapa histórica, consistió en demostrar el postulado euclídeo de rectas paralelas
de forma indirecta. El Padre Gerolamo Saccheri (1733), geómetra Italiano, es considerado
históricamente, entre otros, por Bonola (1912), Heath (1956), Gray (1992), Coxeter (1971)) y
viii
otros, el primero geómetra que concibió la idea de la negación lógica del quinto postulado de
Euclides y junto con las restantes 28 primeras proposiciones del Libro I de los Elementos, que no
hacen uso de éste en sus demostraciones, llegar a una contradicción dentro del marco axiomático
euclídeo. La intención del geómetra Italiano era restituir el nombre de Euclides y establecer el
quinto postulado de Euclides como lógicamente verdadero.
Para esbozar e introducir en cierta forma lo que el Padre Saccheri (1733) y muchos otros
grandes matemáticos hicieron, entre ellos, J. Lambert (1766), F. Gauss, F. Taurinus (1826), I.
Lobachevsky (1840) y J. Bolyai (1831) consideremos las rectas que pasan por un punto
no
colineal a una recta dada r [ver Figura 0.1]. Asumimos, por supuesto como hasta ahora, y en lo
que sigue, que las rectas y el punto son coplanarios.
(i) En la geometría euclídea, si
asumimos el axioma de Playfair
como lógicamente equivalente al
quinto postulado de Euclides,
existe una única recta s que pasa
por el punto
tal que las rectas s
y r son paralelas entre sí.
Por otro lado, si negamos el
axioma de Playfair entonces se
presentan los siguientes casos
Figura 0.1
(hipótesis):
(ii) Cualquier recta que pase por el punto
interseca a la recta r en al menos un punto.
(iii) Existen dos posiciones límite con respecto al haz de rectas que pasan por el punto : las
rectas que a partir del punto
se encuentran al interior del ángulo
las llamaremos rectas
secantes con r. Por ejemplo, las rectas l y r son secantes entre sí [ver Figura 0.1]. En el caso
contrario, las denominamos rectas no secantes con la recta r. Entre esta familia de rectas no
secantes con la recta r y que pasan por el punto
ix
, definimos a las rectas que pasan por los
puntos
y
como rectas paralelas a r en una dirección tal que forman un ángulo agudo con
el segmento
y que tienen ¡una perpendicular común con la recta r!
La afirmación (i) es lógicamente equivalente al quinto postulado de Euclides como se
demostrará en desarrollo del presente Trabajo de Grado [y a la que denominaremos Hipótesis del
Ángulo Recto (HAR)].
La afirmación (ii) [la llamaremos Hipótesis del Angulo Obtuso (HAO)] y principalmente, los
postulados 1, 3 y 4 del Libro I de los Elementos definen lo que modernamente se conoce como
geometría elíptica.
La proposición (iii) [Hipótesis del Ángulo Agudo (HAA)] junto con los cuatro primeros
postulados del Libro I de los Elementos, definen lo que modernamente se conoce como
geometría hiperbólica.
Al asumir estas dos últimas hipótesis, los matemáticos y geómetras, principalmente del siglo
XVIII y XIX, se encontraron con resultados que contrastaban enormemente con su intuición
geométrica sobre la naturaleza de la recta euclídea y el espacio físico.
En primer lugar, con respecto a la caracterización que presenta o intuimos de la geometría
euclídea sobre la naturaleza de la recta en su forma primigenia tenemos:
 El que se pueda prolongar indefinidamente una recta finita [segmento de recta] en línea
recta (longitud infinita de la recta).
 Dos rectas coplanarias no encierran entre sí una superficie o espacio.
 El postulado de Arquímedes en su versión geométrica, afirma:
Postulado de Arquímedes: Sea
extremos
y
. Tomemos los puntos
entre los puntos
y
, el punto
se encuentra entre los puntos
,
que el punto
,
cualquier punto de una recta que definen dos puntos
,
tal que el punto
se encuentra entre los puntos
y
y
se encuentra
, el punto
, etc. Además, supongamos que los segmentos
, …, son congruentes entre sí. Entonces existe un punto
se encuentra entre los puntos
x
y
(Hilbert, 1950, p. 15).
tal
El postulado arquimediano en su versión geométrica y moderna, permite eligiendo una unidad
lineal finita, definir para cada segmento de manera única un número real positivo, llamado la
medida (longitud) de ese segmento. También permite la posibilidad de dividir una recta en
segmentos de una medida dada. Es decir, si
la recta definida por los puntos
y
es cualquier segmento y
es un segmento de
entonces existe un número real (positivo)
tal que [ver
Figura 0.2]:
Figura 0.2
Un aspecto que resulta interesante en este sentido es la noción de magnitud que presenta
Euclides en el Libro V de los Elementos la cual pretende cubrir cantidades o entidades que
pueden ser conmensurables o inconmensurables: longitudes, áreas, volúmenes, ángulos (evitando
la introducción de números irracionales). Sin embargo, no hay una definición de magnitud como
tal. Durante el transcurso se desarrollaran con más profundidad dichos temas.
Por otro lado, en geometría euclidiana, hay una diferencia esencial entre medir ángulos y
líneas: hay una medida absoluta para los ángulos porque el ángulo total es igual a cuatro ángulos
rectos (360°) y tiene una amplitud angular fija sin importar como se haya trazado. Pero esta
situación no es la misma cuando se trata de medir numéricamente las líneas y en la que debemos
definir como unidad de medida la longitud de algún segmento (medida relativa 14) antes que
podamos efectuar o hacer cualquier medición con un instrumento. Por ejemplo, al designar un
valor numérico a la longitud de un segmento
este depende de la unidad de medida que
previamente hayamos tomado, verbi gracia, si es un decímetro (dm), centímetro (cm), metro (m)
u otros sistemas de unidades de longitud (yardas, pies, etc.).
14
Un método tradicional en la geometría euclidiana para la medición de la longitud de una curva es el “aproximarla”
por medio de segmentos de línea recta, añadiendo las longitudes de cada segmento. Entre menor longitud tengan los
segmentos de línea, este método debiese dar una mejor aproximación a la longitud de la curva a medir. Repitiendo
este proceso, al tomar un valor límite para la longitud de los segmentos, la suma de todas las longitudes debe
converger en la longitud de la curva que se quiere medir.
xi
Por último, la propiedad que establece el quinto postulado de Euclides y que conllevó a la
teoría de las paralelas. Las rectas paralelas cumplen con la propiedad de ser una relación de
equivalencia: las rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre sí (proposición I, 30 de
los Elementos).
El Profesor Gray (1992) afirma que es importante que “existan” rectas paralelas ya que estas
son necesarias para transportar ángulos congruentes y las considera como las vías sobre las
cuales se realiza el “movimiento de traslación” de las figuras geométricas. Él sugiere que las
demostraciones geométricas griegas eran posibles debido a las hipótesis que hacían del espacio
subyacente, las cuales se encuentran reflejadas en los conceptos de congruencia, semejanza,
paralelismo, y la posibilidad de efectuar construcciones geométricas. Al respecto, afirma Gray
(1992):
“Dos figuras son congruentes si se pueden hacer coincidir exactamente. El modo de
conseguir esta coincidencia consiste en desplazar una figura geométrica hasta que esté
colocada sobre la otra, o establecer que los datos para efectuar la construcción de dos
figuras geométricas son los mismos” (Gray, 1992, p. 47).
Se podría decir que los antiguos geómetras griegos, afirma Gray (1992), admitían que el
espacio (idealizado) en el que sus figuras (idealizadas) existían era homogéneo ya que existe la
propiedad que cualquier construcción se pueda efectuar en cualquier lugar y con los mismos
resultados.
Una profunda reflexión que conllevó, entre otros y principalmente a Filósofos, Matemáticos,
Físicos y Astrónomos a pensar en una demostración del quinto postulado de Euclides fue
describir geométricamente y empíricamente el espacio habitual y astronómico.
En efecto, en la geometría euclidiana se describe la percepción clásica del espacio físico en el
que vivimos (espacio habitual). No es una propiedad lógica sino una propiedad aparentemente
observada del mundo físico. El hecho que la medición empírica nos lleve a concluir la validez
del teorema de Pitágoras para distancias finitas y que la suma de los ángulos internos en un
triángulo es aproximadamente igual a dos ángulos rectos (180°), es tan sólo una validez de tipo
empírico de la concordancia de la geometría euclidiana con la experiencia, dentro de los límites
xii
de la observación humana 15. Por ejemplo, la suma de los ángulos internos en un triangulo puede
diferir de dos ángulos rectos por una cantidad muy pequeña (minutos o segundos en unidad de
grados sexagesimales), insensible a las mediciones prácticas por precisas que éstas sean. Al
respecto, afirma el Profesor Rañada (2003):
“Durante muchos siglos la geometría de Euclides fue sinónimo de geometría (la
geometría cartesiana no se oponía sino que podía ser considerada como un
perfeccionamiento de la geometría de Euclides). Sin embargo, el siglo XIX aporta ideas
geométricas totalmente nuevas, primero Beltrami, luego Klein y más tarde Poincaré y
Hilbert demostraron que la geometría hiperbólica, considerada como un sistema formal
deductivo, era tan satisfactoria como la geometría euclídea clásica. A partir de ese
momento la geometría de Euclides pasó a ser una de varias geometrías existentes (en
lenguaje Riemanniano, un caso particular de espacio con curvatura [de Gauss] constante);
la diferencia estribaba en que se suponía que Euclides describía el mundo real externo y
las otras [geometrías] eran simplemente invención del Hombre. Sorprendentemente, esto
hizo que pasará de ser una teoría matemática a ser una teoría física. Roger Penrose que
defiende esta interpretación clasifica, en su conocido libro, La nueva mente del
emperador (1991, ed. Mondadori), las teorías físicas en tres categorías: Soberbias, Útiles
y Tentativas. En el primer grupo incluye siete teorías físicas, que en su opinión han
demostrado tener un alcance y una exactitud realmente extraordinarios. Pues bien, la
primera teoría física que coloca en este grupo es precisamente ‘la Geometría Euclídea’.
Comenta que, aunque los científicos de tiempos pasados pudieron no considerarla como
una teoría física, eso es en su opinión lo que realmente es: “Una sublime y soberbiamente
precisa teoría del espacio físico (y de la geometría de los cuerpos rígidos)” (Rañada.
15
La teoría de la relatividad de Einstein es una de las principales teorías físicas de principios del siglo XX. Se suele
dividir en dos períodos: teoría de la relatividad restringida o especial publicada a partir del año 1905, en donde
Einstein establece, entre algunos de sus más importantes resultados, la constancia de la velocidad de la luz en el
vacío y la equivalencia entre la masa y la energía; por otro lado, la teoría de la relatividad general dada a partir del
año 1916 en donde abordó, entre otros problemas, la Cosmología, el movimiento de partículas y cuerpos celestes y
la teoría del campo unificado. En relación a la Cosmología, propone una descripción del espacio físico en términos
de una geometría no euclidiana. El hecho que la geometría euclidiana “represente” de manera conveniente la
estructura de nuestro espacio físico habitual (leyes de la mecánica clásica), de cierta manera nos ha hecho suponer
que se trata de una necesidad lógica pero los hechos experimentales muestran que no es así en su totalidad.
xiii
David Hilbert, Hermann Minkowski, la Axiomatización de la Física y el Problema
número seis, 2003, p. 650).
La negación lógica del quinto postulado de Euclides en sus dos afirmaciones o hipótesis
(HAO e HAA) y, en su forma primigenia, la independencia lógica con respecto a los otros
postulados del Libro I de los Elementos, fueron estudiados por algunos de los más connotados
matemáticos y geómetras (siglos XV hasta finales del XIX) desde el punto de vista, de una
interpretación geométrica y, posteriormente, con el uso de las técnicas y herramientas del método
analítico desarrollado hasta ese entonces. En ambos casos, los resultados eran desconcertantes y
complejos de asumir para los investigadores de la época. Si bien algunos contradecían los
establecidos o asumidos en la geometría euclídea y eran descartados, otros conducían a un
terreno aparentemente paradójico que no sólo ‘chocaban’ con los preceptos intuitivos de los
Elementos, sino con la concepción del espacio físico que se tuvo. Los unos y los otros, son
abordados en el presente Trabajo de Grado.
Sólo fue a través de un gran esfuerzo de imaginación que debieron hacer grandes geómetras y
matemáticos, entre ellos, B. Riemann, E. Beltrami, F. Klein, D. Hilbert, H. Poincaré, que
incursionaron en el estudio de las nacientes geometrías, guiados por una intuición extraordinaria
y de un coraje intelectual que no se detuvo ante la epistemología dominante de la época sobre el
espacio, que las geometrías no euclidianas fueron tomando el estatus de ser sistemas geométricos
lógicamente consistentes a luz de una revisión en la fundamentación de la geometría y de las
matemáticas a finales del siglo XIX.
Por último y para finalizar quisiera resaltar la enorme y profunda relevancia de la obra del
Historiador Matemático y Profesor de la Universidad de Pavia (Italia), Roberto Bonola (1874 –
1911), Non – Euclidean geometry A Critical and Histotorical Study of Developments (1912)
cuya traducción al inglés por H. S. Carslaw se constituye en un texto de fascinante lectura sobre
el desarrollo histórico, y con un análisis crítico por parte del autor, de la emergencia de las
geometrías no euclidianas. El gran geómetra Federigo Enriques, quien fue su Tutor y uno de sus
Profesores en la Universidad de Bologna, escribe en el prólogo de la obra citada de Bonola que,
si bien en dicho trabajo se presenta un estudio riguroso, claro y crítico del tema a tratar, en su
opinión, esta obra se constituye como un modelo para la Historia de la Ciencia por la precisión y
profundidad de los temas tratados y, sobre todo, considera Enriques, por el espíritu filosófico del
xiv
joven matemático en el tratamiento de los mismos. Sea este Trabajo de Grado un pequeño
Homenaje al joven Matemático y Autodidacta, Roberto Bonola.
xv
CAPÍTULO I
ALGUNAS INVESTIGACIONES DE LA TEORÍA DE LAS PARALELAS EN EL
PERÍODO ANTIGUO
“En la medida en que la geometría es cierta, poco dice sobre el mundo real y en la medida que nos dice algo sobre
nuestra experiencia, titubea” Albert Einstein (1879 – 1955) [Einstein entre comillas, p. 193, 1998]
§1.0 INTRODUCCIÓN
En el Libro I de los Elementos, Euclides (1991) presenta la siguiente definición: “Una línea es
una longitud sin anchura” (Euclides, 1991, p. 189). Después define una línea recta como aquella
que yace por igual respecto de los puntos que están en ella. La Profesora Puertas (1991) comenta
que los antiguos griegos se formaron en general tres representaciones de línea recta que
podríamos catalogar de tipo empíricas y son: como la imagen de una cuerda tensa extendida por
sus dos extremos, la trayectoria que describe un rayo (haz) de luz y, por último, la de un eje
(puntos que se mantienen inmóviles durante la rotación) en un cuerpo rígido sobre el cual gira
éste. Puertas (1991) señala que la imagen de rayo óptico está presente en la definición platónica
(en el Parménides de Platón) de línea recta y que la definición de Euclides suele considerarse
como una elaboración de la platónica pues según Ella: “ésta [la definición euclídea] contendría
implícitamente una alusión al sentido de la vista y supondría, asimismo, una asimilación del rayo
visual al rayo óptico, connotaciones que Euclides procura evitar” (Puertas, 1991, p. 190 – 191).
Sin embargo, la definición griega que más se ha adoptado es la que Arquímedes presentó en su
obra, Sobre la Esfera y el Cilindro [On the Sphere and Cylinder], en la cual afirma: la línea recta
es la más corta de todas las líneas que tienen los mismos extremos [“(…) the straight line as the
shortest of all lines having the same extremities” (citada en Proclus, 1970, p. 89)] y es la que
según Proclo (1970) mejor se ajusta a la definición dada por Euclides.
Otra definición del Libro I de los Elementos que resulta pertinente tener en cuenta es la
siguiente: “Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en
un plano y no están en línea recta” (Euclides, 1991, p. 192). Sobre esta definición, Puertas (1991)
1
llama la atención sobre el hecho que si bien el ángulo puede estar formado por rectas o curvas:
“Parece como si Euclides hubiera pensado al principio definir el ángulo rectilíneo y hubiera
tomado después en consideración los ángulos formados por una recta y una curva o por dos
curvas, con lo que se ve llevado a sustituir líneas rectas por líneas” (Puertas, 1991, p. 192). De
hecho, Euclides específica en otra definición, una vez dada la anterior, que cuando las líneas que
comprenden el ángulo son líneas rectas, el ángulo formado por ellas se denomina ángulo
rectilíneo. En particular, en el Libro I de los Elementos, salvo la definición de círculo con la que
introduce la circunferencia, Euclides trata con líneas rectas y ángulos rectilíneos convexos, es
decir, ángulos cuya amplitud es menor que dos ángulos rectos.
Es menester hacer dicha diferenciación, entre líneas [lines] y rectas [straight lines] aun cuando
mantenerla rigurosamente resulta problemático por diversas razones que iremos esbozando en el
Trabajo. En efecto, en la traducción al inglés escrita por Morrow (1970) de la obra de Proclo, en
los comentarios que hace el destacado geómetra Bizantino a la proposición I, 29 de los
Elementos se pueden leer pasajes como los siguientes: “(…) Let AB and CD be parallel lines,
and GF fall upon them. I say that it does not make the interior angles in the same direction
greater than two right angles…” (Proclus, 1970, p. 286). Proclo (1970) hace prueba por
reducción al absurdo asumiendo que si la línea que incide sobre dos líneas paralelas hace que la
suma de los ángulos internos del mismo lado sea menor o mayor que dos ángulos rectos entonces
la suma de los cuatro ángulos internos que forma la línea que incide sobre las líneas paralelas, es
menor o mayor, respectivamente, que cuatro ángulos rectos, lo cual conduce a una contradicción.
Si la anterior afirmación es demostrada, sin incurrir en falacias, ni asumir otras suposiciones,
infiere Proclo (1970) que también el postulado euclídeo sobre rectas paralelas puede ser
demostrado, al respecto afirma: “I say that, if a straight line falls upon two straight lines and
makes the interior angles in the same direction less than two right angles, the straight lines if
produced will meet in that direction in which are the angles less than two right angles” (Proclus,
1970, p. 286).
La postura del Profesor Heath (1956) en este aspecto es que Euclides omitió cualquier
clasificación de líneas (rectas y curvas) y ángulos (en superficies y sólidos) en los Elementos por
considerarla innecesaria para el propósito de su obra. Sin embargo cita a otros filósofos y
geómetras que si lo hicieron, entre ellos, Platón, Aristóteles, Herón las cuales fueron recogidas y
2
son presentadas por Proclo (Proclus, 1970, p. 84 – 92, también pueden verse en Heath, 1956, p.
159 – 162). De hecho, en los comentarios que hace sobre la definición euclídea de línea recta,
Proclo (1970) cita a Platón quien asume que la recta y la circunferencia son las dos clases de
líneas más simples y fundamentales y que los otros tipos de líneas son una combinación de estas
dos, entre ellas nombra a la espiral y la hélice.
En este Capítulo I abordaremos algunas de las investigaciones sobre el postulado euclídeo de
rectas paralelas hechas, entre algunos, por Ptolomeo, Proclo, Nassîr – Eddîn para posteriormente
esbozar los trabajos hechos por John Wallis, Giordano Vitale y, por último, la del Padre Jesuita
Gerolamo Saccheri.
§1.1 Algunos resultados de las investigaciones de Ptolomeo: La recta que incide sobre
rectas paralelas hace que la suma de los ángulos internos del mismo lado sea mayor, o
igual, o menor que dos ángulos rectos
Proclo (1970) comenta que Ptolomeo 16 (cerca del año 100 – 170) en su intento por demostrar
el quinto postulado de Euclides, además de tomar como hipótesis la afirmación: si una recta al
incidir sobre dos rectas hace la suma de los ángulos internos del mismo lado menor que dos
ángulos rectos, las dos rectas prolongadas de ese lado se intersecan entre sí [“(…) that straight
lines produced from angles less than two meet in the direction in which lie the angles less than
two right angles” (citado en Proclus, 1970, p. 283)] empleó la mayoría de los resultados de las
proposiciones euclídeas que preceden a la proposición I, 29 de los Elementos.
En la proposición I, 28 de los Elementos, Euclides (1991) demuestra que si una recta al incidir
sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado congruentes con un ángulo recto las
16
Su verdadero nombre, Claudius Ptolomaeus, astrónomo y matemático Alejandrino (posiblemente nacido en
Grecia) cuyas teorías y explicaciones astronómicas predominaron el pensamiento científico hasta finales del siglo
XVI. Hizo grandes aportes en diversos campos, como la trigonometría y la astronomía, entre otras. La trigonometría
de los griegos Alejandrinos es la que se denomina trigonometría esférica (sin embargo, también se incluye la
trigonometría plana). Ptolomeo, en su obra, escrita originalmente en griego la cual se tradujo al árabe como alMajisti (Obra Magna) – las traducciones latinas medievales la titularon como Almagesti, y desde entonces se le
conoce como Almagesto – planteó una teoría geométrica (usando trigonometría esférica) para explicar
matemáticamente los movimientos y posiciones aparentes de los planetas, el Sol y la Luna considerando estrellas
inmóviles como sistemas de referencia.
3
dos rectas dadas serán paralelas entre sí 17 y, en consecuencia, la recta transversal es una
perpendicular común a dichas rectas. En los comentarios que hace Proclo (1970) sobre esta
proposición, afirma que Ptolomeo se propuso demostrar lo mismo pero por reducción al
absurdo. Y por las notas del geómetra Bizantino, los argumentos de Ptolomeo en general, son
como sigue:
(i) Supongamos que sobre dos rectas r y s incide una recta transversal l de tal manera que hace
los ángulos internos del mismo lado congruentes con un ángulo recto entonces las rectas r y s
son paralelas entre sí.
Sin pérdida de generalidad, suponemos que
los ángulos internos del mismo lado, con
respecto a la recta l, denotados por
y
son congruentes con un ángulo recto [ver
Figura 1.1].
Ptolomeo quiere demostrar que las rectas r
y s prolongadas en cualquier dirección son
paralelas entre sí, es decir, son no secantes
Figura 1.1
entre sí.
De no ser paralelas, ellas se intersecan entre sí, supongamos que del lado en el cual los
ángulos internos
y
son congruentes con un ángulo recto; designemos por
el punto de
intersección entre las rectas s y r.
Por hipótesis, la recta l es perpendicular a la recta s y, en consecuencia, forma con esta última
ángulos adyacentes congruentes entre sí [Definición 13, Libro I de los Elementos]; y por el
mismo argumento, las rectas l y r forman también ángulos internos adyacentes congruentes
entre sí. Lo cual significa que los ángulos internos del otro lado (izquierdo) de la recta l son
ángulos rectos.
17
En los Elementos, la proposición I, 28 afirma: “Si una recta al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo
igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos [ángulos] rectos, las rectas
serán paralelas entre sí” (Euclides, 1991, p. 236). La demostración de Ptolomeo difiere de la hecha por Euclides en
el sentido que Ptolomeo lo hace por contradicción (su prueba se sustenta en un principio (noción común) sobre la
naturaleza de la recta euclídea que no aparece entre las nociones comunes de los Elementos) y la demostración que
presenta Euclides es de forma directa (usando las proposiciones I, 15 y I, 27 de los Elementos).
4
Por consiguiente, si las rectas r y s prolongadas en la misma dirección se intersecan entre sí en
un punto
del lado (derecho) de la recta transversal l en la cual los ángulos internos son
congruentes con un ángulo recto, y puesto que los ángulos internos del otro lado (izquierdo) de la
recta l son también ángulos rectos, entonces las rectas r y s prolongadas en dicha dirección,
según infiere Ptolomeo, también se intersecan entre sí; supongamos, en un punto .
Los puntos de intersección
y
no pueden ser los mismos (¿Por qué?) y en consecuencia las
rectas s y r encierran entre sí una superficie, lo cual es una contradicción. ∎
Y de esta manera, el geómetra Alejandrino argumenta que las rectas s y r son paralelas entre
sí, cuando una recta al incidir sobre ellas hace ángulos internos de un lado congruentes con un
ángulo recto.
El Profesor Heath (1956) señala una falacia de tipo demostrativo en el razonamiento anterior y
es que Ptolomeo quiere demostrar que dos rectas que satisfacen ciertas condiciones no se
intersecan entre sí pero no puede hacerlo sin asumir que las rectas que no cumplen con dicha
propiedad siempre lo hacen; es decir, se intersecan entre sí 18 [“Ptolemy wants to prove that lines
satisfying certain conditions never meet. He cannot do this by disproving the assumption that
lines satisfying this condition always meet” citado por Morrow, 1970, p. 283]. Con lo cual
Ptolomeo asume implícitamente el postulado euclídeo sobre rectas paralelas.
Sin embargo, esta primera parte de sus argumentos resulta interesante en el sentido que su
prueba fue enfocada en llegar a una contradicción con una noción común o axioma que establece
lo siguiente: dos rectas no encierran entre sí una superficie o espacio y el cual era tomado como
un principio verdadero e indemostrable por los griegos en la Antigüedad 19.
En la proposición I, 29 de los Elementos, Euclides (1991) demuestra que: “La recta que incide
sobre rectas paralelas hace los ángulos alternos internos iguales entre sí, y el (ángulo) externo
18
Sin embargo, existen líneas (curvas y rectas) asintóticas que no son paralelas, como la hipérbola y sus asíntotas.
19
La Profesora Puertas (1991) ubica este principio dentro de las nociones comunes aunque lo suprime en la
traducción al castellano que presenta del Libro I de los Elementos. En su criterio, el axioma es innecesario por estar
implícito en el significado del postulado I, 1 de los Elementos. Euclides lo cita en la prueba que hace de la
proposición I, 4: “(…) de modo que la base BΓ coincide con la base EZ [pues si habiendo coincidido el punto B con
el punto E y el punto Γ con el punto Z, no coincide la base BΓ con la base EZ, dos rectas encerrar
án un espacio; lo
cual es imposible]…” (Euclides, 1991, p. 207).
5
igual al interno y opuesto, y los (ángulos) internos del mismo lado iguales a dos [ángulos]
rectos” (Euclides, 1991, p. 238). Sobre esta proposición, comenta Proclo (1970), Ptolomeo
aborda una prueba en la que intenta obtener como un resultado del anterior que, si los ángulos
internos del mismo lado son menores que un ángulo recto entonces las rectas dadas se
intersecan entre sí [“(…) That lines produced from angles less than two right angles meet one
another” (citado por Proclus, 1970, p. 285)] pero a diferencia de la demostración hecha por
Euclides, el geómetra Alejandrino busca hacerla sin sustentarse en el quinto postulado de
Euclides.
Habiendo Ptolomeo demostrado en (i) que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los
ángulos internos del mismo lado congruentes con un ángulo recto, las dos rectas dadas no se
intersecan entre sí, Proclo (1970) asume que también la siguiente afirmación puede ser
demostrada: si una recta interseca (incide) a dos rectas paralelas entonces la suma de los
ángulos internos del mismo lado es igual a dos ángulos rectos [“(…) when parallel straight lines
are cut by a straight line the interior angles in the same direction are equal to two right angles”
(Proclus, 1970, p. 286)]. Para el geómetra Bizantino es necesario entonces considerar la
siguiente proposición:
(ii) La recta que incide sobre rectas paralelas hace la suma de los ángulos internos del mismo
lado mayor, o igual, o menor que dos ángulos rectos [“For it is necessary that line cutting the
parallel lines make the interior angles in the same direction either equal to two right angles or
less or greater than two right angles” (citado en Proclus, 1970, p. 286)].
Los argumentos, en general, que presenta Proclo (1970) son los siguientes:
Consideremos las rectas s y r paralelas entre sí y sea la recta l que incide sobre ellas.
Denotemos por
y
los ángulos internos del lado izquierdo que forman la recta l con las rectas
s y r, respectivamente. De igual forma, designemos por
,
los ángulos internos del lado
derecho que forman las rectas s y r con la recta l, respectivamente [ver Figura 1.2].
6
Si se asume como hipótesis que al menos uno
de los ángulos internos
o
es mayor que
un ángulo recto y el restante es igual a un
ángulo recto entonces
.
Ahora, siendo el ángulo
adyacente con el
ángulo
adyacente con el
, y el ángulo
, entonces al menos uno de los ángulos
Figura 1.2
o
es un ángulo agudo y el otro es igual a un
ángulo recto y se tiene entonces que
.
Por hipótesis las rectas s y r son paralelas entre sí y de acuerdo a la proposición I, 27 de los
Elementos los ángulos alternos internos
y
son congruentes entre sí; como también,
empleando el mismo argumento, los ángulos alternos internos
y
Pero esto significa entonces que
y
son congruentes entre sí.
lo cual evidentemente es una
contradicción. ∎
En la demostración que presenta Proclo (1970) de Ptolomeo, se argumenta de la siguiente
manera; donde la recta s es denotada por AB, la recta r por CD y la recta l por FG donde F y G
denotan los puntos de intersección con las rectas s y r, respectivamente:
“(…) For if angles AFG [ángulo ] y CGF [ángulo ] are greater than two right angles,
the remaining angles, BFG [ángulo
] y DGF [ángulo
], are less than two right angles.
But these same angles are also greater tha two right angles; for AF [es la semirrecta s
prolongada a la izquierda y considerada a partir del punto de intersección con la recta l]
y CG [es la semirrecta r prolongada a la izquierda y considerada a partir del punto de
intersección con la recta l] are no more parallel than FB [es la semirrecta s prolongada a
la derecha y considerada a partir del punto de intersección con la recta l] y GD [es la
semirrecta r prolongada a la derecha y considerada a partir del punto de intersección con
la recta l], so if the line falling on AF and CG makes the interior angles greater than two
right angles, so also does line falling on FB and GD make interior angles greater than two
right angles. But these same angles are less than two right angles (for the four angles
7
AFG, CGF, BFG, DGf are equal to four right angles), which is impossible” (Proclus,
1970, p. 286).
De igual forma, expresa Ptolomeo, se podría argumentar que la recta que incide sobre dos
rectas paralelas no hace la suma los ángulos internos del mismo lado mayor o menor que dos
ángulos rectos, y por consiguiente, debe ser igual a dos ángulos rectos [“If, then, it makes them
neither greater nor less than two right angles, the only conclusion left is that the line falling on
them makes the interior angles in the same direction equal to two right angles. When this has
been demonstrated, the proposition before us (hace referencia al postulado euclídeo sobre rectas
paralelas y que Ptolomeo se propuso demostrar) can indisputably be proved” (citado en Proclus,
1970, p. 286)].
Ahora, suponiendo que las rectas dadas no se intersecan entre sí del lado en el cual la suma de
los ángulos internos es menor que dos ángulos rectos, Ptolomeo las denomina rectas no secantes
entre sí en esa dirección [“(…) they are nonsecant in the direction in which are the angles less
than two right angles” (Proclus, 1970, p. 287)], Él supone que del otro lado de la recta
transversal, en el cual la suma de los ángulos internos es mayor que dos ángulos rectos, tampoco
se intersecan entre sí. Y en consecuencia, afirma Ptolomeo, las dos rectas prolongadas en
cualquier dirección no se intersecan entre sí, es decir, son paralelas [“(…) so that stright line
will be nonsecant in both directions; and if so, they are parallel” (Proclus, 1970, p. 287)]. Pero
esto contradice lo demostrado en el resultado (i) en el que se probó que la recta que incide sobre
rectas paralelas hace los ángulos internos del mismo lado congruentes con un ángulo recto.
Proclo (1970) comenta que Ptolomeo, en la siguiente prueba y teniendo en cuenta lo anterior,
se propone precisar y generalizar el resultado demostrado en (ii), considerando que:
(iii) Si una recta al incidir sobre dos rectas hace la suma de los ángulos internos del mismo lado
menor que dos ángulos rectos, no sólo las dos rectas dadas son secantes entre sí, como
Ptolomeo lo ha demostrado, sino que además, las rectas se intersecan del lado en el cual la
suma de los ángulos internos es menor que dos ángulos rectos y no del lado en el cual la suma
de los ángulos internos es mayor que dos ángulos rectos.
Por las notas del geómetra Bizantino, los argumentos en general de Ptolomeo son como
siguen:
8
Consideremos una recta l que interseca a dos rectas s y
r de tal forma que la suma los ángulos internos
y
es mayor que dos ángulos rectos.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que al
menos uno de los ángulos
ó
es un ángulo recto y
el restante es un ángulo obtuso.
Por el resultado (i) las rectas s y r son secantes entre sí,
Figura 1.3
es decir, ellas se intersecan entre sí del lado en el cual, o
la suma de los ángulos internos es menor que dos ángulos rectos, o del lado de la recta
transversal l en el cual la suma de los ángulos internos es mayor que dos ángulo rectos.
Supongamos que las rectas s y r se intersecan entre sí del lado en el cual la suma de los
ángulos internos
y
es mayor que dos ángulos rectos. Denotemos por
el punto de
intersección en dicha dirección [ver Figura 1.3]. Entonces las rectas s y r forman con la recta l un
triángulo
del lado en el cual
.
Por otro lado, al menos uno de los ángulos
ó
es un ángulo agudo (¿Por qué?) y por la
, si se prolonga uno de sus lados,
proposición I, 16 de los Elementos, en el triángulo
, los ángulos externos
ó
ó
son mayores que los ángulos internos y opuestos. Se sigue
entonces las siguientes relaciones entre los ángulos:
las hipótesis que hemos asumido sobre los ángulos
y
y
pero esto contradice una de
.■
En consecuencia, las rectas s y r no se intersecan entre sí del lado en el cual la suma de los
ángulos internos es mayor que dos ángulos rectos. Por consiguiente, afirma Ptolomeo, ellas se
intersecan entre sí del lado en el cual la suma de los ángulos internos es menor que dos ángulos
rectos [“(…) It follows that the exterior angle [ángulo externo ] of triangle KFG [el triángulo
] is less than the opposite interior one, which is impossible. Consequently they do not meet
in this direction. But they do meet. Therefore they meet in the other direction that in which are
less the angles less than two right angles” (Proclus, 1970, p. 288)].
9
El que Ptolomeo suponga que si las dos rectas prolongadas en la misma dirección no se
intersecan entre sí del lado de la recta transversal en el cual la suma de los ángulos internos del
mismo lado es mayor que dos ángulos rectos entonces necesariamente se intersecan del lado en
el cual la suma de los ángulos internos es menor que dos ángulos rectos es una afirmación
verosímil pero el geómetra Alejandrino no expone ningún argumento que la justifique. De hecho,
Heath (1926), citado por Morrow (1970, p. 288), duda que en este pasaje demostrativo Proclo
(1970) cite con precisión a Ptolomeo.
Para el Profesor Heath (1926) el paso argumentativo consiste en afirmar que si las dos rectas s
y r no se intersecan entre sí del lado en cual la suma de los ángulos internos es mayor que dos
ángulos rectos, ellas deben intersecarse porque de lo contrario las rectas s y r son paralelas entre
sí pero se ha demostrado que (por el resultado (ii)) la recta que incide sobre rectas paralelas hace
los ángulos internos del mismo lado congruentes con un ángulo recto. Y por consiguiente, afirma
Heath (1926), las rectas r y s se intersecan del lado en el cual suma de los ángulos internos es
menor que dos ángulos rectos [“Therofore the two lines AB [recta s] and CD [recta r] meet on
the side away from K [punto ]” (citado por Morrow, 1970, p. 288)].
Proclo (1970), a continuación, hace un análisis del razonamiento de Ptolomeo. En primer
lugar, le parece que no existe ningún argumento para suponer que cuando una recta incide sobre
rectas no secantes entre sí [nonsecant lines] y se asuma por hipótesis que hace la suma los
ángulos internos de un lado es mayor, o igual, o menor que dos ángulos rectos, se afirme que del
otro lado de la recta transversal la suma de los ángulos internos es menor, o igual, o mayor,
respectivamente, que dos ángulos rectos. Ptolomeo, según lo cita Proclo (1970), argumenta que
las semirrectas consideradas a partir de sus puntos de intersección con la recta transversal no son
más paralelas entre sí de un lado a partir del cual son prolongadas en la misma dirección que
del otro lado o dirección del cual también son prolongadas.
Sin embargo, para el geómetra Bizantino no existe un principio (noción común o axioma), sin
incurrir en falacias de tipo demostrativo, que sustente la anterior afirmación de Ptolomeo y, por
consiguiente, Proclo (1970) considera que el geómetra Alejandrino no ha demostrado el quinto
postulado de Euclides.
10
De hecho, para Proclo (1970) el geómetra Alejandrino incurre en una falacia de tipo
demostrativo al asumir una propiedad intrínseca de paralelismo: que la suma de los cuatro
ángulos internos que forma una recta que ha incidido sobre rectas paralelas es igual a cuatro
ángulos rectos; siendo la recta que incide sobre las paralelas una perpendicular común a dichas
rectas. Lo cual implica, como afirma Heath (1926), que Ptolomeo asume que por un punto
exterior a una recta dada sólo puede ser trazada una recta paralela a dicha recta [“(…) to the
assumption that through any point only one parallel can be drawn to a given straight line. That
is, he assumes an equivalent of the very postúlate he is endeavoring to prove” (citado por
Morrow, 1970, p. 288)]
No obstante, en la traducción que presenta Morrow (1970) de la obra Proclo en algunos de los
pasajes citados y en otros, el geómetra Bizantino usa indistintamente los términos lines y straight
lines, antes, durante o después de una prueba. Por ejemplo, al abordar una demostración, Él
supone: “Taking two straight lines AB and CD and line AC falling upon them and making the
interior angles less than two right angles…” (Proclus, 1970, p. 289), y más adelante, en el mismo
pasaje afirma: “(…) the say they prove that lines AB and CD will not meet anywhere”.
Junto con Heath (1956) se pude afirmar que Ptolomeo asume implícitamente que por un punto
exterior (no colineal) a una recta dada sólo puede ser trazada una recta paralela a dicha recta.
§1.2 Algunos resultados de las investigaciones de Proclo: La existencia de una recta
paralela (unicidad) que puede ser trazada por un punto “exterior” (no colineal) a una recta
dada
En relación al postulado euclídeo sobre rectas paralelas, Proclo (1970) menciona que debería
ser borrado por completo de los postulados del Libro I de los Elementos porque se trata de un
teorema, en su criterio, que conlleva a muchas reflexiones y su demostración requiere varias
definiciones y proposiciones y añade que la proposición conversa es demostrada por el propio
Euclides como un teorema [“This ought to be struck from the postulates altogether. For it is a
theorem – one invites many questions, which Ptolemy proposed to resolve in one of his books –
and requires for its demonstration a number of definitions as well as theorems. And converse of
its proved by Euclid himself as a theorem” (Proclus, 1970, p. 150)].
11
La proposición conversa a la que hace referencia Proclo (1970) es la proposición I, 17 de los
Elementos la cual afirma que en todo triángulo la suma de dos ángulos internos tomados en
cualquier orden es menor que dos ángulos rectos. El quinto postulado de Euclides significa, de
acuerdo con Proclo (1970), que si una recta al incidir sobre otras dos rectas dadas hace que la
suma de los ángulos internos del mismo lado sea menor que dos ángulos rectos entonces las dos
rectas prolongadas de ese lado se intersecan entre sí.
En la introducción que Él hace en su obra, antes de pasar a comentar y demostrar a su manera
las proposiciones I, 27 a I, 47 de los Elementos, deja sentada su posición sobre la importancia del
postulado de rectas paralelas en el tratado de Euclides:
“Hemos aprendido de lo precedente [a partir de la proposición I, 1 a la proposición I, 26
de los Elementos] todo lo referente a un tratado elemental respecto a la construcción y
propiedades de triángulos, relación entre sus partes, lados y ángulos, y la comparación
entre triángulos diferentes, referentes a su partes y a sus áreas. Ahora pasa Euclides a las
figuras [geométricas rectilíneas] de cuatro lados, principalmente nos instruye sobre los
paralelogramos [los Elementos, proposiciones I, 35 a I, 48, relación entre áreas de
triángulos, paralelogramos y cuadrados] (…) Pero resulta difícil decir algo sobre la
construcción de éstas o de sus propiedades sin [referirnos a] la teoría de rectas paralelas
[los Elementos, proposiciones I, 27 a I, 34]. Porque como su nombre lo indica, un
paralelogramo es una figura compuesta por rectas [segmentos] paralelas, opuestas e
iguales entre sí. Consciente de esto, Él [Euclides] trata primero sobre rectas paralelas y
sus propiedades (…)” (Proclus, 1970, p. 276 - 277).
Antes de analizar y comentar, junto con Proclo (1970), ciertas proposiciones con relación a
rectas paralelas resulta importante recordar que en la demostración de la proposición I, 16 de los
Elementos se asume que la recta es por extensión infinita 20 (abierta) puesto que Euclides usa el
postulado I, 2 para prolongar indefinidamente una recta finita (segmento) en línea recta 21. Esta
20
“En todo triángulo si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es mayor que cada uno de los ángulos
internos y opuestos” (Euclides, 1991, p. 221).
21
A diferencia de una línea de longitud finita (cerrada) como la de una circunferencia máxima en una superficie
esférica. Heath (1956) menciona que al relacionar Proclo esta proposición con la I, 17 de los Elementos entonces
podría afirmarse lo siguiente: “En cualquier triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es mayor
12
propiedad y el postulado de Arquímedes caracterizan de forma intuitiva en la Antigüedad hasta
la primera mitad del siglo XIX la naturaleza de la recta euclídea.
A continuación presentamos algunas proposiciones que involucran la propiedad de ser rectas
paralelas en la geometría euclídea.
Sobre la proposición I, 17 de los Elementos, Proclo (1970) hace la prueba para establecer el
por qué de la afirmación. Él toma el caso en el que dos rectas paralelas entre sí forman con una
transversal ángulos internos del mismo lado cuya suma es igual a dos ángulos rectos y comenta
que de no ser así sería entonces la convergencia o intersección entre sí de las dos rectas
prolongadas del lado de la transversal en que la suma de los ángulos internos es menor que dos
ángulos rectos lo que generaría un triángulo junto con la recta que ha incido sobre ellas. En este
caso, la suma de los ángulos internos del mismo lado de la recta transversal es menor que dos
ángulos rectos.
La demostración de la proposición I, 27 de los Elementos, Euclides la hace por reducción al
absurdo usando para ello la proposición I, 16 y la definición I, 23 para establecer la propiedad
buscada: de lo contrario, si las dos rectas se intersecan entre sí, deben formar un triángulo con la
recta transversal 22.
Para la proposición I, 28 de los Elementos, Proclo (1970) comenta que Euclides pudo haber
propuesto seis criterios de paralelismo dependiendo de las parejas de ángulos que escogiese:
relacionar los ángulos que están de un mismo lado de la recta transversal, o los que están en
lados opuestos 23.
En la prueba de la proposición I, 29 de los Elementos, Euclides en una primera parte de la
misma supone que los ángulos alternos internos no son iguales entre sí y, por consiguiente,
alguno de los dos es mayor con respecto al otro. De ello deduce en la demostración que la suma
que cada uno de los ángulos internos y opuestos, y la suma de dos ángulos internos es menor que dos ángulos
rectos” (Heath, 1956, p. 180).
22
La proposición I, 27 establece: “Si una recta al incidir sobre otras dos rectas hace los ángulos alternos iguales
entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí” (Euclides, 1991, p. 235).
23
La proposición I, 28 establece: “Si una recta al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y
opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales entre sí, las rectas serán paralelas entre sí”
(Euclides, 1991, p. 236).
13
de los ángulos internos del mismo lado es menor que dos ángulos rectos y, por el quinto
postulado de Euclides euclídeo, las dos rectas se intersecan entre sí.
Sobre la proposición I, 30 de los Elementos, Proclo (1970) comenta que la propiedad de ser
rectas paralelas es una relación que prevalece, es decir, es una relación de equivalencia:
reflexiva, simétrica y transitiva 24.
La naturaleza de la proposición I, 31 de los Elementos es realizar una construcción que
garantice la existencia de una recta paralela que pase por un punto exterior a una recta dada 25.
Pero aún más interesante son los comentarios que hace Proclo (1970) sobre este resultado.
Proclo (1970) expresa que después de haber estudiado las propiedades sobre rectas paralelas
(los Elementos, proposiciones I, 27 a I, 30) también resulta fundamental “investigar su
construcción por métodos geométricos y determinar cómo una recta puede ser trazada paralela a
otra recta dada” (Proclus, 1970, p. 295).
En primer lugar, asume que la recta dada y el punto “exterior” (no colineal) por el cual se va a
construir la recta paralela a ella, están en el mismo plano, es decir, la recta definida por
punto
y un
que no está en ella, son coplanarios. Aunque Euclides no hace esta aclaración en la
demostración que presenta de la proposición I, 12 de los Elementos, en la cual se pide trazar una
24
La proposición I, 30 establece: “Las paralelas a una misma recta son paralelas entre sí (Euclides, 1991, p. 240).
25
La proposición I, 31 permite construir lo siguiente: Por un punto dado trazar una línea recta paralela a una recta
dada.
Demostración (por Euclides): “Sea el punto dado y
la recta dada.
Hay que trazar por el punto una recta paralela a .
Tómese al azar un punto en
y trácese
; y constrúyase en la recta
y en el punto de ella el
[proposición I, 23]; y sea
el resultado de prolongar en línea recta
.
ángulo
Y dado que la recta
al incidir sobre las dos rectas ,
ha hecho iguales los ángulos alternos
,
entonces
es paralela a
[proposición I, 27].
Por consiguiente, se ha trazado la línea recta
paralela a la recta dada
por el punto dado . Q.E.F”
(Euclides, 1991, p. 241).
14
recta perpendicular a una recta infinita dada a partir de un punto que no esté en ella, Proclo
(1970) en los comentarios que hace sobre esta proposición distingue dos tipos de rectas
perpendiculares a una recta dada: las rectas perpendiculares planas y las sólidas. Al respecto
afirma: “Siempre que la recta y el punto, que no está en ella, por el cual se traza la recta
perpendicular estén en el mismo plano, se llama perpendicular plana; si el punto se toma por
fuera del plano en donde se encuentra la recta, es una perpendicular sólida” (Proclus, 1970, p.
221).
Sobre la proposición I, 12 de los Elementos, afirma Proclo (1970) que lo se propone Euclides
es trazar una recta perpendicular plana 26 (en la proposición I, 31 de los Elementos la recta
paralela pedida debe ser trazada en el mismo plano (rectas coplanarias) que contiene a la recta y
el punto exterior (no colineal) a la recta dada). También establece el geómetra Bizantino que por
un punto exterior a una recta dada no pueden ser trazadas dos rectas perpendiculares a ella, “ni
tampoco, por un punto exterior a una recta dada pueden ser trazadas dos rectas paralelas a la
misma recta” (Proclus, 1970, p. 295).
Además, en la proposición I, 12 de los Elementos la unicidad de la recta perpendicular con
respecto a una recta dada es demostrada, mientras que en la proposición I, 31 de la misma obra,
supone Proclo (1970), que la unicidad de la recta paralela con respecto a una recta dada es
evidente 27 “porque si dos rectas paralelas a una recta dada pueden ser trazadas por el mismo
punto entonces ellas se intersecan entre sí en dicho punto, lo cual es una contradicción” (Proclus,
1970, p. 296) con lo demostrado en la proposición I, 30 de los Elementos.
La afirmación de la proposición I, 32 de los Elementos, comenta Proclo (1970), concuerda con
el principio que caracteriza a las nociones comunes al considerar que así como una propiedad
fundamental e intrínseca de cada figura geométrica [por ejemplo, de las figuras triláteras,
cuadriláteras] es la de estar limitada por rectas, de igual forma el que la suma de los ángulos
26
La proposición I, 12 permite construir y: “Trazar una línea recta perpendicular a una recta infinita dada desde un
punto dado que no esté en ella” (Euclides, 1991, p. 215).
27
Posteriormente se le llamaría axioma de Playfair (1795) y se demostraría que esta sutil afirmación de Proclo es
lógicamente equivalente al quinto postulado.
15
internos de un triángulo deba ser igual a de dos ángulos rectos 28 es una propiedad esencial del
triángulo rectilíneo como tal. Presentamos en general sus argumentos:
Sea un segmento de recta sobre el cual han sido trazadas, a partir de sus puntos extremos, dos
semirrectas perpendiculares a él. Imaginemos entonces que estas dos semirrectas, con sus
extremos fijos, respectivamente, en el segmento dado empiezan a girar [simultáneamente] pero
en sentido contrario la una de la otra de tal forma que al intersecarse (¿?), forman un triángulo
con el segmento dado. Es evidente que la amplitud de los dos ángulos rectos que forman las
semirrectas con el segmento disminuye del lado hacia el cual se inclinan ambas semirrectas,
respectivamente. Ahora, si sumamos el ángulo que forman las dos semirrectas oblicuas al
intersecarse entre sí a los dos ángulos que forman respectivamente con el segmento dado [cuya
suma es menor que dos ángulos rectos] entonces la suma de los tres ángulos internos del
triángulo es igual a dos ángulos rectos [por los Elementos, proposición I, 32] (Proclus, 1970, p.
302).
Suponer como hipótesis que la suma de los ángulos internos en un triángulo es igual a dos
ángulos rectos es una proposición lógicamente equivalente a suponer que el postulado euclídeo
sobre rectas paralelas es verdadero como se demostrará en los trabajos del Padre Gerolamo
Saccheri (1733) y los posteriores a Él. De ser así, Proclo (1970) habría demostrado en su
razonamiento de tipo expositivo que el postulado euclídeo sobre rectas paralelas es válido. Pero
ilustremos sus argumentos y veamos por qué no son del todo válidos.
28
La proposición I, 32 establece: “En todo triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo externo es igual a los
dos ángulos internos y opuestos, y los tres ángulos internos son iguales a dos rectos” (Euclides, 1991, p. 241).
16
Sea el segmento
y
definido por los puntos
. Tracemos por estos puntos extremos las
semirrectas
y
perpendiculares a
.
Entonces imaginemos que las semirrectas
y
giran simultáneamente sobre los puntos
extremos fijos,
y
, de tal forma que se
intersecan entre sí en el punto . A partir del
punto
tracemos la vertical
al segmento
[proposición I, 12 de los Elementos] y
denotemos por D el punto de intersección
entre dichos segmentos. Suponemos, junto
con Proclo (1970), que al girar las semirrectas
Figura 1.4
simultáneamente sobre sus puntos extremos
y
, respectivamente, el ángulo formado por el segmento
formado por segmento
espacio]. Sean ,
y
con la semirrecta
con la semirrecta
, y el ángulo
, son congruentes entre sí [homogeneidad del
los ángulos internos del triángulo
igual a la suma de los ángulos internos formados por el lado
[ver Figura 1.4]. El ángulo
y el lado
con la vertical
es
,
respectivamente. Entonces, de acuerdo a la proposición I, 32 de los Elementos, el ángulo externo
formado por la prolongación del lado
con el segmento
es igual a la suma de los ángulos
internos y opuestos. Designemos el ángulo externo por . Entonces el ángulo
Pero los ángulos
y
es igual a:
son adyacentes.
Por consiguiente, se podría afirmar junto con Proclo (1970), que la suma de los ángulos
internos del triángulo
es:
Pero existe una falacia de tipo demostrativo en el razonamiento de Proclo (1970) y es la
siguiente:
17
El geómetra Bizantino asume implícitamente el quinto postulado, ya que al trazar la vertical a
partir del punto
hasta la base del triángulo
definen la vertical y la semirrecta
o
asume que los ángulos alternos internos (que
) son congruentes entres sí (proposición I, 27 de los
Elementos) lo cual implica que la vertical es paralela a las perpendiculares
y
.
Este error de petición de principio señalado por Heath (Heath, 1956, p. 206) ilustra lo que
desde en tiempo de Aristóteles hasta inicios del siglo XIX incurrieron filósofos, geómetras y
matemáticos destacados, en las distintas épocas, al intentar buscar una demostración del
postulado euclídeo sobre rectas paralelas. De igual forma, Proclo (1970) asume que por un
punto no colineal a una recta puede ser trazada una paralela a la recta dada.
Antes de presentar su prueba, Proclo (Proclus, 1970, p. 289) expone un razonamiento clásico
de la época en el que se pretende demostrar que aunque una recta transversal al incidir sobre dos
rectas dadas hace la suma de los ángulos internos del mismo lado menor que dos ángulos rectos,
las dos rectas dadas y prolongadas de ese lado no se intersecan entre sí. El interesante
razonamiento recuerda a las paradojas de Zenón:
Consideremos dos rectas s y r. Sean
, , , puntos en la recta s y , ,
puntos en la recta r y tracemos el
segmento
de tal forma que hace
la suma de los ángulos internos del
mismo lado menor que dos ángulos
rectos [ver Figura 1.5]. Biséquese el
segmento
y designemos por
punto medio de
el
.
Figura 1.5
A continuación, construimos sobre las rectas s y r los siguientes segmentos congruentes entre
sí:
Entonces suponiendo que la suma de los ángulos internos del mismo lado es menores que dos
ángulos rectos en la dirección del segmento
y/o
18
) las rectas s y r no se intersecan entre sí
en ningún punto del segmento
como tampoco en ningún punto del segmento
porque por
la proposición I, 20 de los Elementos “en cualquier triángulo dos lados tomados juntos de
cualquier manera son mayores que el restante” (Euclides, 1991, 225), es decir, la suma de las
longitudes de dos lados en cualquier triángulo es mayor que la longitud del lado restante. Por
consiguiente, las rectas s y r no se intersecan entre sí en ningún punto del segmento
. Trácese el segmento
y biséquese en el punto
, ni de
y construimos los siguientes segmentos
congruentes entre sí:
Y por el mismo argumento anterior, suponiendo que la suma de los ángulos internos es menor
que dos ángulos rectos en la dirección del segmento
entre sí en ningún punto del segmento
y/o
las rectas s y r no se intersecan
, como tampoco en ningún punto del segmento
.Y
se puede continuar con el mismo razonamiento generando indefinidamente una secuencia de
puntos de las rectas s y r. Y a partir de este argumento se podría argumentar que las rectas s y r
prolongadas indefinidamente y en la misma dirección no se intersecan entre sí del lado en el cual
los segmentos forman ángulos internos son menores que dos ángulos rectos.
La falacia en este argumento, en términos matemáticamente más elaborados, está en el hecho
de considerar que la sucesión infinita de longitudes de segmentos
,
,
,…, tiende a un
segmento de longitud cero mientras que su suma permanece acotada. Sin embargo, Proclo
(1970) va mucho más allá de este resultado y plantea el siguiente razonamiento.
Sean los ángulos internos del mismo lado
forman el segmento
Por el punto
ángulos internos
y
definidos por
trácese la recta definida por
y
que incide sobre la recta r. Suponiendo que los
son menores que dos ángulos rectos entonces rectas s y r no se intersecan
siguiente relación entre los ángulos,
y
que
con las rectas s y r, respectivamente.
entre sí según el resultado anterior. Sea el ángulo
por el segmento
y
[ver Figura 1.6]. Es evidente la
. Pero por construcción la recta prolongada y definida
y r se intersecan entre sí del lado en el cual la suma de los ángulos internos
es menor que dos ángulos rectos.
19
Proclo (1970) afirma que es posible que haya algún
valor en la amplitud de uno de los ángulos internos
del mismo lado por debajo del cual las rectas no se
intersequen entre sí y lo hagan por encima del
mismo. Se puede decir en términos matemáticamente
más elaborados que es como una recta frontera que
divide de tal forma las siguientes rectas: el haz de
rectas secantes del haz de rectas no secantes a la
Figura 1.6
recta dada.
Este es el origen de una idea que sería trabajada rigurosamente por K. Gauss, I. Lobachevsky
(1840) y J. Bolyai (1831) en sus respectivas investigaciones sobre el quinto postulado de
Euclides.
Para dar una demostración del quinto postulado de Euclides, Proclo (1970) toma como axioma
un argumento que Aristóteles usó para plantear que el Universo es finito:
“Que el cuerpo sometido a rotación es necesariamente finito puede verse con evidencia
por lo que sigue, pues si el cuerpo que se mueve circularmente es infinito, también serán
sin duda infinitas [en longitud] las líneas rectas que parten del centro, pues un intervalo
entre infinitos es también infinito. Por tanto, es necesario que este sea infinito ya que un
intervalo de líneas finitas [longitudes finitas] es siempre finito” (Aristóteles, 1977, pp.
I.5, 272a. 55 - 68).
20
Proclo (1970) parte de la siguiente afirmación, que
asume como un resultado geométricamente evidente.
Consideremos dos rectas s y r que se intersecan entre
sí en un punto
[ver Figura 1. 8].
Entonces las rectas s y r prolongadas en la misma
dirección divergen entre sí a partir del punto
intersección
[“(…)
Straight
lines
de
extended
indefinitely, then will diverge from each other a
distance greater than any given finite magnitude”
(Proclus, 1970, p. 291)].
Si las longitudes de los respectivos segmentos
,
,
, …, determinan las distancias entre las rectas
s y r en puntos distintos de las mismas, lo que asume
Proclo (1970) como consecuencia del axioma de
Aristóteles es que la distancia entre ellas es mayor
Figura 1.7
cualquier magnitud finita (longitud de un segmento) cuando las rectas s y r son prolongadas
indefinidamente en la misma dirección 29 y a partir de su punto de intersección. A continuación
Proclo (1970), haciendo uso del postulado de Arquímedes para las magnitudes lineales y del
postulado intuitivo de continuidad de la recta demuestra el siguiente lema:
Lema de Proclo: Dadas dos rectas
paralelas entre sí, s y r, si una recta
tercera recta l interseca a la recta s
entonces también interseca a la recta r [“If
this is laid down, I say that, if a straight
line cuts one of two parallel lines, it cuts
the other also” (Proclus, 1970, p. 291)]
[ver Figura 1.8].
Figura 1. 8
29
Además, asumió implícitamente que la “distancia” entre dos rectas paralelas permanece finita por más que se
prolonguen en cualquier dirección.
21
Consideremos la recta l que interseca a la recta s y sea
el punto de intersección entre ambas
rectas. Entonces la recta l prolongada también interseca a la recta r porque a partir de un punto
( ) en la recta r se tiene que la distancia entre las rectas prolongadas l y r es mayor que la
distancia entre las rectas paralelas s y r. El punto que asume Proclo (1970) existe
geométricamente, asumiendo el axioma de Aristóteles, es el punto de intersección entre las rectas
definidas, l y r. Por supuesto, el postulado de Arquímedes y el de continuidad están implícitos en
la prueba que presenta el geómetra Bizantino.
Otra manera de abordar la demostración de Proclo (1970) es la siguiente. Consideremos que la
recta l interseca a la recta r en el punto
formando un ángulo agudo con esta última. Sea
la
perpendicular común y finita a las rectas s y r que suponemos son paralelas entre sí [ver Figura
1.9].
A partir del punto
y prolongando
indefinidamente la recta l en dirección
hacia la recta s, se tendrá que la distancia
entre las rectas l y r es mayor que
cualquier magnitud (longitud) finita, en
particular, mayor que la longitud del
segmento
. Por consiguiente, la recta l
debe intersecar a la recta s.
Figura 1.9
Proclo (1970) asume en la prueba, bajo la hipótesis de Aristóteles, que la distancia entre las
rectas paralelas es finita pero en ningún pasaje afirma explícitamente que sean equidistantes. Sin
embargo, Heath (1956) considera que la afirmación (axioma) de Aristóteles debería ser
demostrada, al respecto sostiene el Historiador:
“Aristóteles alude a todos los sucesos mostrando que, si las rectas (radios) trazadas a
partir del centro de una circunferencia son [de longitud] infinitas, el intervalo entre ellas
también es infinito. Porque si es finito, lo cual es imposible por el incremento de las
distancias entre sí, entonces las rectas (radios) no son infinitos. De aquí que las rectas
22
(radios) cuando se prolongan indefinidamente la distancia entre ellas sería mayor que
cualquier magnitud finita” (Heath, 1956, p. 207).
Además, así como no se podría asumir que dos líneas que se aproximan entre sí se intersequen
en un punto al ser prolongadas indefinidamente, por ejemplo, la hipérbola y sus asíntotas,
tampoco se puede suponer que dos rectas que continuamente divergen entre sí, la distancia entre
ellas tienda a infinito [“That there are lines that approach each other indefinitely but never meet
seems implausible and paradoxical, yet it is nevertheless true and has been ascertained for other
species of lines. May not this, then, be possible for straight lines as for those other lines? Until
we have firmly demonstrated that they meet, what is said about other lines strips our imagination
of its plausibility” (Proclus, 1956, p. 151)].
Proclo (1970), como ya se dijo en la introducción de este Capítulo I, presenta una clasificación
de líneas y manifiesta que si bien se puede asumir como hipótesis que las rectas que hacen con
un recta transversal ángulos internos del mismo lado cuya suma es menor que dos ángulos rectos
se aproximan más y más entre sí al ser prolongadas de ese lado, en cambio, la afirmación de que
por este comportamiento o propiedad las rectas se intersecan entre sí puede ser cierta pero no es
de hecho necesaria, afirma Proclo (1970) puesto que ello sucede siempre que se pueda dar un
argumento válido que pruebe la veracidad de dicha afirmación para las rectas.
Y aún cuando resulte esto paradójico e improbable, argumenta el geómetra Bizantino, existen
líneas que se aproximan indefinidamente entre sí pero no se intersecan (líneas asintóticas) y a
continuación plantea la pregunta: ¿Por qué en el caso de las rectas no es posible que sucediese lo
mismo?
Entonces se puede entender por qué al parecer Proclo (1970) usa indistintamente los términos
line y straight line en algunos pasajes de su obra, según la traducción que presenta Morrow
(1970) y considero, entre otras razones, se debe a lo siguiente. En los comentarios que hace
Proclo sobre los argumentos demostrativos de Ptolomeo con respecto al quinto postulado de
Euclides, el geómetra Bizantino señala algunas falacias de tipo argumentativo en que incurrió el
geómetra Alejandrino al intentar demostrarlo; aunque como bien comenta Morrow (1970)
algunas de los argumentos citados por Proclo resulten ser bastante obscuros y extraños de
esbozar matemáticamente. Teniendo presente ello y el que conociese y presentase una
clasificación de líneas, incluso de ángulos en general, Proclo evita, por un lado, incurrir en
23
errores de petición de principio al presentar una demostración del postulado euclídeo como lo
muestra el hecho que parte de un axioma dado por Aristóteles que sustente sus argumentos y
prefiere no apoyarse en ninguna de las proposiciones del Libro I de los Elementos siendo, sin
duda alguna, un conocedor, compilador y comentador destacado de esta obra. En segundo lugar,
el geómetra Bizantino, procura cuidarse de no asumir categóricamente asunciones que se
consideren geométricamente como evidentes sin que exista un axioma que los justifique o se dé
una prueba de ellos y en los cuales descanse una hipotética demostración del postulado euclídeo
sobre rectas paralelas como se muestra en lo expresado por Él en el párrafo anterior sobre la
existencia de líneas que por más que se aproximen entre sí no se intersecan (líneas asintóticas).
De esta forma, Proclo (1970) se fundamenta en el profundo conocimiento que ostenta, tanto
filosófico como geométrico, de la geometría griega para mostrarnos que no siempre algo que se
supone es evidente cuando se trata de rectas es válido en general para líneas. Y quizá por ello,
supongo, es que Él emplea, correcta o incorrectamente, los dos términos line y straight line
indistintamente con el propósito de ilustrar que algunas de las propiedades que se desprenden de
asumir válido el postulado sobre rectas paralelas pueden conllevarnos fácilmente a incurrir en
falacias de tipo demostrativo sino se tiene un conocimiento más amplio sobre líneas que nos
permita contrastar aquello que aparentemente se presume es obvio o evidente en una prueba,
como por ejemplo, la perpendicular común y la equidistancia (la cual es medida como la
longitud finita de un segmento perpendicular) entre rectas paralelas.
Por otro lado, haciendo un análisis más detenido y riguroso, aquello que antes era evidente ya
no lo es, verbi gracia, si respondemos afirmativamente a la pregunta de Proclo (1970) que al
incidir una recta sobre dos rectas dadas, la suma de los ángulos internos del mismo lado es menor
que dos ángulos rectos pero las rectas prolongadas indefinidamente de ese lado no se intersecan
entre sí, es decir, se comportan en una dirección como líneas asintóticas 30: ¿Podríamos aún
mantener como hipótesis la existencia de una perpendicular común sobre dos rectas que no son
equidistantes entre sí en una dirección?
Pero además, y ya para finalizar, algunos de los aportes del geómetra Bizantino sobre rectas
paralelas, Proclo (1970) hace un comentario interesante con respecto a las premisas a partir de
30
¿Qué se podría desprender geométricamente de semejante afirmación? ¿Tendría sentido hablar de un triángulo en
el cual dos de sus lados prolongados indefinidamente se comportan como líneas asintóticas (triángulo asintótico?
24
un punto dado y por un punto dado [“But we must note the difference between the premises
“from a given point”, and “through a given point. In the one case the point is the origin of the
line drawn, and the line is therefore drawn “from” it; in the other case it lies on the drawn itself,
and the line is therefore drawn “through” it” (Proclus, 1970, p. 296)]. En el primer caso, dice, el
punto es el origen de la línea pedida, y por consiguiente, es trazada a partir del mismo. Podemos
suponer, prolongada en una sola dirección. En el otro caso, la línea pedida pasa por él, es decir,
el punto dado no es un punto extremo de ella.
No es extraño que Él haga esta diferenciación. En sus comentarios a la proposición I, 11 de los
Elementos, Proclo (1970) afirma que siempre podemos tomar una recta que puede prolongarse
indefinidamente a partir de sus puntos extremos en ambas direcciones o en ninguna (segmentos),
o sólo en una dirección y en la otra no (rayos o semirrectas) [“Whether we take the straight line
as limited in both directions, or unlimited in both, or unlimited in one and limited in the other
(….)” (Proclus, 1970, p. 218)].
K. Gauss, I. Lobachevsky y J. Bolyai en sus investigaciones sobre el postulado euclídeo de
rectas paralelas, de forma independiente, desarrollarían esta idea de manera rigurosa en sus
respectivos trabajos.
§1.3 Las investigaciones de Nâssîr–Eddîn: La suma de los ángulos internos en un triángulo
rectángulo es igual a dos ángulos rectos
Los árabes, al igual que los griegos, también hicieron investigaciones con respecto al quinto
postulado de Euclides. Por ejemplo, Nâssîr–Eddîn (1201 – 1274), matemático y astrónomo
Árabe, en la prueba que presenta y según comenta Bonola (1912), emplea algunas ideas
referentes al concepto intuitivo en la Antigüedad de equidistancia entre rectas paralelas 31.
Partiendo de esta propiedad como evidente se asume la hipótesis que la longitud de una
perpendicular común (segmento) con respecto a dos rectas paralelas tiene el mismo valor
31
“Euclidis elementorum libri XII studii Nassiredine, (Roma, 1594)” (Bonola, 1912, p. 10). Este trabajo, comenta
Bonola (1912), escrito en árabe, fue reimpreso en los años 1637 y 1801. La demostración que hace Nâssîr-Eddîn del
quinto postulado de Euclides sería estudiada por el matemático inglés John Wallis (1693) y por el geómetra Italiano,
Padre Gerolamo Saccheri (1733) en sus respectivas investigaciones.
25
independientemente de los puntos de las rectas paralelas partir de los cuales es trazada la
perpendicular.
La proposición I, 32 de los Elementos afirma, entre sus resultados, que en todo triángulo la
suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Para Nâssîr–Eddîn la
esencia del quinto postulado de Euclides consiste en demostrar que la suma de los ángulos
internos en un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Sus argumentos descansan en asumir la
siguiente afirmación a la cual me referiré como hipótesis (i) de Nâssîr–Eddîn:
Consideremos dos rectas r y s que inciden sobre un segmento definido por
de tal modo
que forman con este último un ángulo recto y un ángulo agudo, respectivamente.
Entonces las longitud de los segmentos trazados a
partir de la recta
sobre la recta
segmento
que inciden perpendicularmente
son menores que la longitud del
sobre el lado en el cual
ángulo agudo con
forma un
, y son mayores que la
magnitud del segmento
en el lado en el cual
hace un ángulo obtuso con
” (citado en Bonola,
1912, p. 10)) [ver Figura 1.10]
En la hipótesis anterior se sigue que si los
segmentos
y
son congruentes entre sí, es
Figura 1.10
decir,
el segmento
y son perpendiculares a la recta r
es perpendicular a los segmentos
y
, respectivamente. Y la esencia de
la demostración de Nâssîr-Eddîn consiste en asumir que los segmentos
congruentes entre sí (¿Por qué?), es decir,
y
son
(a la cual me referiré en adelante como la
hipótesis (ii) de Nâssîr–Eddîn) y por consiguiente la figura
es un cuadrilátero con sus
respectivos ángulos rectos y lados opuestos iguales entre sí. De este resultado, comenta Bonola
(1912), Nâssîr–Eddîn deduce que la suma de los ángulos internos en un triángulo rectángulo es
igual a la suma de dos ángulos rectos.
26
Partiendo de estas ideas, lo que busca Nâssîr–Eddîn en su demostración es construir
geométricamente el punto de intersección entre las rectas que no son equidistantes entre sí y para
ello hace uso del postulado de Arquímedes en su forma intuitiva al cual me referiré con más
detalle en el trabajo del Padre Saccheri (1733).
Ilustramos a continuación sus argumentos:
Sean las rectas s y l que inciden sobre la recta r de tal modo forman con esta última, un ángulo
agudo y un ángulo recto, respectivamente [ver Fig. 1.11]. Denotemos por
y
los puntos de
intersección de las rectas s y l, en el orden dado, con la recta r. Sobre la recta s tómese el
segmento
y a partir del punto
trácese el segmento perpendicular
es mayor que la magnitud del segmento
magnitud del segmento
a la recta r. Si la
, supone Nâssîr-Eddîn
que las rectas prolongadas s y l se intersecan entre sí del lado en el cual ambas forman con la
recta r un ángulo agudo y ángulo recto, respectivamente.
Por otro lado, si el punto
segmento
se encuentra en el segmento
perpendicular a la recta r y congruente con el segmento
hipótesis (ii) de Nâssîr-Eddîn se tiene que los segmentos
Sobre la recta s y a partir del punto
. Por el punto
trácese el segmento
magnitudes de los segmentos
hacer los segmentos
,
, trácese a partir del punto
y
y
y
tómese el segmento
el
. Entonces, por la
son congruentes entre sí.
congruente con el segmento
perpendicular a la recta r. Entonces, dado que las
son tal que
, por construcción, podemos
congruentes entre sí y trazar el segmento
están en la misma recta (son colineales).
27
. Los tres puntos
Figura 1.11
Los cuadriláteros
y
son rectangulares. Los ángulos
y
son
congruentes entre sí; por la proposición I, 15 de los Elementos que establece si dos rectas se
intersecan entre sí, los ángulos opuestos por el vértice son congruentes entre sí. El geómetra
Árabe asume que los triángulos rectángulos
consecuencia, los segmentos
y
y
son congruentes entre sí. Y en
son congruentes entre sí y, por consiguiente, el segmento
es congruente con el segmento
.
Sobre la recta s y a partir del punto , construimos los siguientes segmentos congruentes entre
y a partir del punto
sí:
trazamos el segmento
perpendicular a la recta r. Y por
el mismo argumento anterior se sigue la congruencia entre sí de los segmentos
. Con este resultado, tomemos un múltiplo entero positivo de longitud del segmento
mayor que la magnitud finita del segmento
la recta r tómese el segmento
el segmento
de magnitud
y a partir del punto
trácese
perpendicular a la recta r.
Entonces en el triángulo rectángulo
lado
(por el postulado de Arquímedes). Así que sobre
la recta l, perpendicular a la recta r, interseca el
y, por consiguiente, infiere Nâssîr-Eddîn que también interseca el otro lado
triángulo rectángulo
construido.
28
del
Pero ello significa, que las rectas l y s se intersecan entre sí cuando una de la dos es
perpendicular y la otra oblicua a una recta transversal r que ha incidido sobre ellas. Nâssîr–
Eddîn hace uso del teorema que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos
ángulos rectos y se restringe a intentar demostrarlo en el caso particular de un triángulo
rectángulo. En otras palabras, el postulado de las paralelas habría sido demostrado cuando uno
de los ángulos internos del mismo lado con la recta transversal es un ángulo recto y el otro, un
ángulo agudo.
Retomemos sólo algunos de los argumentos anteriores presentados por Nâssîr–Eddîn los
cuales son tomados de la obra de Bonola (1912). La hipótesis del geómetra Árabe que he
denominado por hipótesis (i) de Nâssîr-Eddîn consiste en considerar un cuadrilátero con sus
respectivos lados opuestos congruentes entre sí y los cuatro ángulos rectos, es decir, él asume la
existencia de un rectángulo lo cual es lógicamente equivalente a lo que afirma el quinto
postulado de Euclides. De hecho, el teorema de Thales de Mileto (a. C 640 – 550) se encuentra
inmerso en algunos de sus pasos argumentativos. Sobre estos y otros detalles de la demostración
de Nâssîr–Eddîn se tratarán en las investigaciones hechas por el Padre Saccheri. Sin embargo,
resulta interesante esbozar algunos aspectos conceptualmente profundos en los razonamientos de
Nâssîr–Eddîn como es el postulado de Arquímedes que caracteriza la naturaleza de la recta
euclídea (infinita en prolongación) y el que extendiese al plano euclídeo, al igual que Proclo,
ciertas propiedades que son válidas para figuras geométricas a una distancia finita. Esto último
requiere algunas reflexiones.
En la Definición 5 del Libro I de los Elementos, Euclides (1991) establece que una superficie
es la que sólo tiene longitud y anchura. Y a continuación define, en términos generales, que las
superficies están limitadas por líneas 32 y que una superficie plana es aquella que yace por igual
respecto de las líneas que están en ella. Proclo (1970) comenta que los filósofos en la
Antigüedad no pensaron en catalogar el plano como una superficie sino que tomaron los dos
términos como equivalentes para expresar magnitudes en dos dimensiones. Sin embargo, expresa
el geómetra Bizantino, Euclides y autores posteriores al mismo, clasifican el plano (species)
32
En los comentarios que hace Proclo (1970) sobre esta definición (la número 6, del Libro I de los Elementos)
expresa que en geometría, el sólido está limitado por la superficie, y a su vez, la superficie por la línea, y esta
última, por el punto, porque el punto, dice el geómetra Bizantino, es el límite de todos ellos. Es en este sentido que
Proclo, interpreta Morrow (1970) y por qué no, también Euclides, considera que si una superficie finita tiene límites,
estos límites son líneas.
29
como una clase de superficie (genus) así como la recta es sólo un tipo de línea y, es por ello,
afirma Proclo, que en analogía con la definición de recta, Euclides define el plano a partir de la
definición de superficie. Ahora, si queremos contrastar la importancia que tiene la recta entre
algunas superficies, Proclo la ubica en el plano como la primera entre las líneas, así como la
circunferencia lo es en una superficie esférica; y si se requiere considerar una combinación de
las dos, el geómetra Bizantino cita las superficies cilíndricas, cónicas u otras similares.
En la definición 13 del Libro I de los Elementos, Euclides (1991) afirma que un límite es
aquello que es extremo de algo y a continuación establece que una figura es lo contenido por
uno o varios límites. La traducción al inglés que presenta Morrow (1970) de estas definiciones en
la obra de Proclo son respectivamente las siguientes: “XIII. A boundary is what is the limit of
semething” (Proclus, 1970, 109) y “XIV. A figure is that which is contained by any boundary or
boundaries” (Proclus, 1970, p. 109). Proclo distingue entre boundary y limit y considera que el
primer término, no debiera ser aplicado a toda magnitud sino para designar áreas planas y
sólidos 33 y afirma que en la definición referida de Euclides, el término boundary hace alusión a
la línea que encierra una superficie. Comenta el gran geómetra Bizantino que este concepto es
empleado desde los inicios de la geometría porque en principio la Geometría es el arte por
medio del cual los hombres se fueron acostumbrando a medir superficies de tierras para
delimitarlas y es a partir de esta actividad que ellos se dieron cuenta de esta Ciencia [“The term
(boundary) has been at home in geometry from the beginning, for geometry is the art by which
men were accustomed to measure lands and keep their boundary marks (ρος) distinct; and it is
from this activity that bécame aware of this science” (Proclus, 1970, p. 109)].
Entre las figuras rectilíneas 34 triláteras definidas por Euclides en el Libro I, consideremos en
particular el triángulo sobre el cual Nâssîr–Eddîn construye la aparente demostración del
postulado euclídeo sobre rectas paralelas.
33
Morrow (1970) comenta que la intención de Proclo en este aspecto es, en primer lugar, enfatizar que los términos
en griego ρος (boundary) y πέρας (limit) no son sinónimos y que de hecho, el último es más general y es por ello
que el geómetra Bizantino los emplea en un orden para referirse a la definición 13 del Libro I de los Elementos y, en
segundo lugar, afirma Morrow (1970), que el término πέρας (límite) era especialmente usado para referirse al
cálculo de áreas.
34
Las figuras rectilíneas, según la Definición 19 del Libro I de los Elementos, son las comprendidas por rectas.
30
De las figuras elementales en el plano euclídeo, existen ciertas propiedades en el triángulo que
se denominan rectas notables y puntos notables. Las rectas notables de un triángulo son las
paralelas medias, las mediatrices de los lados, las bisectrices de los ángulos, las medianas y las
alturas. Por otro lado, los puntos notables de un triángulo son el circuncetro, incentro, baricentro
y ortocentro. Sólo citaremos algunas.
La paralela media con respecto a un lado del triángulo es la recta paralela a dicho lado y que
biseca uno de los otros dos lados. Por definición, la mediatriz de un segmento es la recta
perpendicular a dicho segmento por el punto medio. Una propiedad de las mediatrices de los
lados de un triángulo es que se intersecan entre sí en el mismo punto al cual se denomina
circuncentro.
Algunas de estas propiedades dependen de la validez del postulado euclídeo sobre rectas
paralelas. Tanto Proclo (1970) como Nâssîr–Eddîn (1594) asumen propiedades sobre figuras
geométricas a distancias finitas, como por ejemplo, la distancia finita entre rectas paralelas y el
que si una recta interseca un lado de un triángulo por un punto distinto de sus tres vértices
también interseca uno de los otros dos lados restantes. A medida que avancemos sobre algunos
de los diferentes trabajos sobre la teoría de las paralelas que he querido abordar en este Trabajo
de Grado le permitirá ir descubriendo al Lector algunas de las profundas implicaciones que
dependen del quinto postulado de Euclides tanto en el plano como en el espacio físico.
§1.4 Algunas “interpretaciones geométricas” del quinto postulado de Euclides
En la búsqueda por demostrar el postulado euclídeo de rectas paralelas, como ya se mencionó
en la introducción de este Capítulo I, una tendencia consistió en modificarlo o buscar una
proposición lógicamente equivalente al quinto postulado de Euclides 35.
La idea subyacente de equidistancia entre rectas paralelas fue la que más predominó desde la
Antigüedad hasta finales del siglo XVII. Ilustramos algunas, como ejemplos:
35
Para el Lector interesado ver los libros de R. Bonola (1912), T. L. Heath (1956) y J. Gray (1992).
31
F. Commandino (1509 – 1575), en su obra Elementorum libri XV (Pesaro 1572), agrega a la
definición de paralelas, sin justificar su argumento, “la idea de equidistancia entre rectas
paralelas” (Bonola (1912, p. 12).
S. C. Clavio (1537 – 1612), en su traducción al latín del texto de Euclides, Euclidis
elementorum libri XV (Roma, 1574), y su intento por demostrar el postulado quinto supone el
siguiente teorema: “El lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta es otra línea
recta” (Bonola (1912, p. 12).
P. A. Cataldi (1548? – 1626), Operetta delle linee rette equidistanti et non equidistanti
(Bologna, 1603), en su demostración asume la siguiente hipótesis: “Las líneas rectas que no son
equidistantes entre sí convergen en una dirección y divergen en la otra” (Bonola, 1912, p. 13).
Y para finalizar esta ilustración, la de G. A. Borelli (1608 – 1679), Euclides restitutus (Pisa,
1658), que resulta un tanto compleja pero interesante. Supongamos dos rectas finitas, una de las
cuales es perpendicular a la otra y está situada en uno de sus extremos. Entonces si asumimos
como axioma que: “Si una recta permanece siempre en el mismo plano con una segunda recta
cuando se mueve de uno de los extremos hacia el otro, y durante el desplazamiento la primera
permanece siempre perpendicular a la segunda, entonces la primera en su otro extremo, durante
su movimiento, describe una línea recta” (citado en Bonola 1912).
Borelli (1658) deduce entonces que dos rectas que son perpendiculares a una tercera son
equidistantes entre sí, y define líneas paralelas como rectas equidistantes entre sí. Estos ejemplos
ilustran que en su intento por demostrar el postulado de las paralelas, algunos tuvieron que
asumir otras proposiciones como axiomas, teoremas o hipótesis, que al final resultaban menos
evidentes que el mismo postulado, o que carecían del rigor geométrico.
ALGUNOS RESULTADOS EN LAS INVESTIGACIONES DE LA TEORÍA DE LAS
PARALELAS EN LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XVII Y PRIMERA MITAD
DEL SIGLO XVIII 36
36
Si bien la teoría de las paralelas ocupó un lugar preponderante entre los problemas geométricos a resolver por
parte de algunos de los más destacados matemáticos y geómetras de todas las épocas, las matemáticas, durante la
32
§1.5 Algunos resultados de las investigaciones de Vitale (1680): La equidistancia entre
rectas paralelas (el Locus geométrico)
Giordano Vitale (1633 – 1711) en su obra, Euclide restituto overo gli antichi elementi
geometrici ristaurati, e facilitate. Libri XV (Roma 1680), comenta Bonola (1912), abordó el
estudio de la teoría de las paralelas sobre la propiedad de equidistancia. Con este fin, él define
dos rectas equidistantes como paralelas e intenta demostrar que el locus geométrico equidistante
a una recta es otra recta. Su demostración se sustenta en la siguiente propiedad:
Sean
y
dos puntos de una recta r. Consideremos una curva cóncava hacía abajo con
respecto a la recta r y que pasa por los puntos
y . Los segmentos perpendiculares a la recta r
trazados a partir de los puntos del arco que pasa por los puntos
y
a la cuerda
no son
congruentes entre sí.
El locus geométrico que Vitale (1680) considera es el de una línea equidistante con respecto a
la cuerda
que hace los segmentos trazados a partir de ella y perpendiculares a la recta r,
congruentes entre sí. Sin embargo, los resultados de sus investigaciones a los que llega sobre la
existencia de la equidistancia, comenta Bonola (1912), no se consideraron matemáticamente
segunda mitad del siglo XVI, se vio impulsada por un movimiento de apropiación cada vez más completo de las
ciencias medievales y árabes (entre ellos, el esfuerzo por alcanzar las fuentes griegas y por difundir el saber
matemático). Ilustraremos algunas de estas importantes investigaciones que contribuyeron en el desarrollo de la
geometría.
François Viète (1540 – 1603) buen conocedor de la geometría antigua, al igual que del algebra del siglo XVI,
consideró volver al método de investigación de los antiguos geómetras: el Análisis. La Logística Speciosa o arte del
cálculo sobre símbolos de Viète, permite representar y operar magnitudes geométricas o aritméticas. Esta
publicación, entre muchas otras investigaciones y aportes de matemáticos, sirvió para crear lo que modernamente se
conoce como geometría analítica, primeramente, considerada en el plano, y desarrollada por: René Descartes (1596
– 1650) [su obra, la Geometría, fue publicada en 1637 como uno de los tres apéndices de su Discurso del Método/
para conducir bien la razón, y / buscar la Verdad de las Ciencias. / Además/ la Dióptica/ Los Meteoros/ y/ la
Geometría/ que son ensayos de este Método] y Pierre de Fermat (1601 – 1665) [las investigaciones de Fermat
fueron publicadas en el año 1679]. Posteriormente la geometría analítica se extendió a las figuras del espacio. En la
obra, entre otras que hubieron, de A. C. Clairaut, Recherches sur les courbes à double courbure (París 1731) hace
un estudio de numerosas curvas del espacio y de superficies desde un punto de vista algebraico como desde el
infinitesimal.
Contemporáneo de Fermat y Descartes, Gérard Desargues (1591 – 1661), otro matemático destacado, apasionado
por las matemáticas aplicadas a la arquitectura, la pintura y los cuadrantes solares, ideó una nueva técnica
geométrica, a saber, la Geometría Proyectiva. Entre algunos, de sus más destacados resultados, se encuentran el
concepto de punto en el infinito sobre una recta en el infinito, la subsecuente identificación de un haz de rectas
paralelas y un haz de rectas concurrentes, el famoso teorema que lleva su nombre.
33
rigurosos para la época quizá porque el concepto de equidistancia entre líneas no pasaba de ser
una propiedad poco más que intuitiva.
No obstante, tanto el Profesor Bonola (1912) como el Profesor Gray (1992) coinciden en que
de las investigaciones de Vitale sobre la teoría de las paralelas se desprende una de los más
notables propiedades para la época que permitieron abordar de una forma distinta la búsqueda de
una demostración del quinto postulado euclídeo sobre rectas paralelas a través de una figura
geométrica: el cuadrilátero fundamental. Presento a continuación los argumentos principales que
justifican tal apreciación.
Dados dos puntos
y
en una recta r, a partir de ellos trazamos los segmentos
y
congruentes entre sí y perpendiculares a la recta r.
Por los puntos
y
segmentos
, trazamos el
segmento
Sea
y
de los
.
un punto del segmento
distinto de los puntos
del punto
y . A partir
trácese el segmento
perpendicular a la recta r [ver Figura
Figura 1.12
1.12].
Consideremos entonces el cuadrilátero
con ángulos rectos en
y , y lados
y
congruentes entre sí. Vitale demuestra que:
(i) Los ángulos
y
son congruentes entre sí.
(ii) Cuando el segmento
es congruente con el segmento
(o
) los ángulos
y
son
respectivamente congruentes con un ángulo recto.
Con este análisis, Vitale reduce el problema de la equidistancia entre rectas paralelas a tener
que demostrar la existencia de un punto
longitud de los segmentos
o
en la recta s, cuya distancia a la recta r es igual a la
. Esto constituiría uno de los más importantes resultados
hasta esa época en la teoría de las paralelas euclidianas.
34
Posteriormente, el matemático, William. K. Clifford (1845 – 1879), Clifford’s Mathematical
Papers (1873), generalizaría la propiedad métrica de equidistancia entre rectas paralelas de la
siguiente forma, dos rectas, coplanarias o no coplanarias, son denominadas paralelas cuando
los puntos de la una son equidistantes a partir de los puntos de la otra.
Algunos matemáticos, geómetras, y filósofos de la época tomaron como definición alterna de
recta la propiedad que sólo una puede ser trazada entre dos puntos dados. Habría que demostrar
en este caso que la recta se caracteriza por tener la mínima distancia entre dos puntos extremos,
propiedad métrica no contenida en la definición euclídea 37. Sin embargo, esto resulta
comprensible si se piensa que no todos los argumentos en algunas de las pruebas de las
proposiciones geométricas de Euclides se daban de manera explícitas. La propiedad de mínima
distancia entre dos puntos extremos tiene sentido en una geometría en la que se haya introducido
la noción de distancia, algo que no aparece en los Elementos. En una geometría métrica38, en
cuyo desarrollo se ha introducido la noción de distancia entre puntos, segmentos, rectas, planos,
etc., se define la longitud de un segmento de recta y a continuación la de longitud de una línea
curva. Entonces se puede demostrar que un segmento de recta tiene una longitud mínima en
comparación a cualquier longitud de línea quebrada o curva con los mismos extremos. El quinto
postulado de Euclides demostraría que la propiedad de equidistancia entre rectas paralelas es una
propiedad intrínseca a la naturaleza del plano y también del espacio físico, en este caso,
euclídeo.
37
Como ya se dijo en la introducción de este Capítulo I, Arquímedes (287 – 212 a.C), notable inventor y matemático
griego, quien escribió importantes obras sobre geometría plana y del
, entre otras, en una de éstas, Sobre la
Esfera y el Cilindro, empieza enunciando, dentro de sus postulados, la siguiente afirmación: la recta es la línea más
corta que une dos puntos (extremos).
38
La geometría métrica se funda en la noción de distancia (la “función distancia”, con el uso de los números reales)
y en ella se consideran equivalentes dos figuras cuando son iguales, afirma Poincaré (1964), en el sentido que los
matemáticos dan a este vocablo. La Geometría Proyectiva está pensada en noción de línea recta, y para que dos
figuras sean consideradas equivalentes, no es necesario aquí que sean iguales, pues “basta con que pueda pasarse de
una a otra mediante una transformación proyectiva, es decir, que una de ellas se convierta en la otra mediante una
proyección en perspectiva” (Poincaré, El espacio y el tiempo, 1964, p. 15). Poincaré (1964) menciona que la
geometría proyectiva es llamada algunas veces con el nombre de geometría cualitativa dado que en ésta, a
diferencia de la geometría métrica, la cantidad y la medida tienen un papel secundario, aunque no completamente
nulo. En cuanto a la naturaleza de la recta euclídea, dice él, el hecho que una línea recta no sea considerado algo
puramente cualitativo se observa en que “no sería posible constatar su rectitud sin hacer medidas o sin deslizar por
ella una regla, que es en cierta forma, un instrumento de medida” (Poincaré, 1964, El espacio y el tiempo, p. 15).
35
§1.6 Algunos resultados de las investigaciones de Wallis (1693): El criterio de semejanza
entre triángulos rectilíneos
John Wallis (1616 – 1703) en su obra De Postulato Quinto; et Definizione; Lib. 6. Euclidis;
disceptatio geometrica (1693), abandonó la idea de equidistancia entre rectas paralelas empleada
sin éxito por sus predecesores matemáticos y presentó una nueva idea para demostrar el quinto
postulado de Euclides 39. Su prueba descansa en el siguiente postulado o axioma: “Para cada
figura geométrica existe una figura similar de magnitud arbitraria” (Bonola, 1912, p. 15).
El postulado 3 del Libro I de los Elementos permite describir círculos con cualquier centro y
radio (distancia) y en la Definición 1 del Libro VI de los Elementos, Euclides incorpora en la el
criterio de semejanza entre figuras rectilíneas: Figuras rectilíneas semejantes son las que tienen
los ángulos congruentes y los lados proporcionales. Por ello Wallis (1693) supone que: “Así
como existen circunferencias de tamaño arbitrario, también existen triángulos semejantes de
tamaño arbitrario” (citado en Santaló, 1961, p. 11)). En adelante me referiré a la anterior
afirmación como la hipótesis de Wallis.
Con este axioma o postulado, el matemático Inglés intenta demostrar que:
(i) Si un segmento de recta se desplaza sobre una recta infinita en la misma dirección en la que
esta última es prolongada, el segmento quedará siempre en línea recta con la recta infinita;
(ii) Si una recta r al incidir sobre otra línea infinita s forman un ángulo
entre sí y, por otro lado,
si imaginamos que la recta r se desplaza sobre la recta s entonces el ángulo
permanece
invariable en amplitud.
(iii) Si dos rectas son intersecadas por una tercera y esta última hace que la suma de los ángulos
internos del mismo lado sea menor que dos rectos entonces cada uno de los ángulos externos es
mayor que el opuesto al ángulo interno.
39
Wallis fue un connotado matemático inglés. Además de abordar el problema de las paralelas, en su tratado
Arithmetica infinitorum (la cual Newton estudió) introdujo el símbolo para designar el “infinito”, fue uno de los
pioneros del cálculo infinitesimal y fue él quien por primera vez dio una representación gráfica de los números
complejos; entre algunos de sus logros.
36
El razonamiento de Wallis (1693) es el siguiente 40: Sean las rectas
recta s de tal modo que forman los ángulos
y
y l que intersecan la
, respectivamente, con la última recta. Sin
pérdida de generalidad, suponemos que el ángulo
es un ángulo agudo y el ángulo
es un
ángulo recto.
Imaginemos entonces que la
recta
se desplaza a partir del
punto
sobre la recta s y en
dirección de la recta l hasta
ocupar la posición definida por el
punto
en la recta s de tal forma
que la amplitud del ángulo
formaba la recta
en el punto
que
con la recta s
es la misma durante
el recorrido hasta llegar al punto
Figura 1.13
[ver Figura 1.13]
Las rectas
y
representan el desplazamiento de la recta
puntos de su recorrido. El punto
es tal que la recta
sobre la recta s en algunos
interseca a la recta l. Si designamos por
el punto de intersección entre las rectas anteriores, se tiene el triángulo rectángulo '
puede construir un triángulo semejante al triángulo
homólogo del punto
sobre el segmento
será el punto intersección entre las rectas
ángulos
, el punto
y l. Por la hipótesis de Wallis
es siempre posible construir un triángulo semejante al triángulo rectángulo
uno de sus lados el segmento
. Si se
que tenga como
y dos de sus ángulos internos serán congruentes con los
y . Lo cual significa que las rectas
y l se intersecan entre sí.
La esencia de la demostración de Wallis descansa en el hecho de asumir como axioma la
existencia de triángulos semejantes con lados de magnitud arbitraria. En la geometría
euclidiana, hay dos maneras distintas de poner en relación dos triángulos: tener la misma forma y
tamaño (ser congruentes entre sí) o tan sólo la misma forma (ser semejantes). Y la existencia de
40
El trabajo de Wallis contiene dos lecturas dadas por Él en la Universidad de Oxford; la primera en 1651 y la
segunda en 1663. Este último, comenta Bonola, también “contiene la demostración de Nâssîr-Eddîn” (Bonola, 1912,
p. 16).
37
triángulos semejantes es el punto de partida de Wallis. Y como lo señala Saccheri, citado por
Heath (Heath, 1956, p. 210), esto es equivalente a suponer válido el postulado euclídeo sobre
rectas paralelas.
Esto significa qué, si ha de existir una geometría en la cual el postulado de las paralelas no es
válido no puede darse la relación entre figuras geométricas rectilíneas de la misma forma que
tengan distintos tamaños.
§1.7 La independencia lógica de las proposiciones I, 1 a I, 28 de los Elementos con respecto
al quinto postulado de Euclides
Durante este período se cambia el acercamiento a la teoría de las paralelas. Si se supone que la
única geometría válida para describir el espacio físico es la de los Elementos, el objetivo que se
plantearon célebres matemáticos, entre ellos, el Padre Saccheri, Gauss, Lambert y otros, es
desarrollar las consecuencias de un hipotético sistema geométrico asumiendo la negación del
quinto postulado y con el método hipotético deductivo lograr que aparezca una contradicción 41
en el sistema geométrico euclídeo. Al respecto, resulta importante plantear varias reflexiones
antes de presentar algunas de las investigaciones que se hicieron en este sentido.
Para Aristóteles la noción general de paralelas es que son rectas que no se intersecan entre sí
por más que se prolongue en cualquier dirección. Sin embargo, él discute la cuestión si la
hipótesis que las paralelas se intersequen debería considerarse como un error geométrico o no
geométrico. Al respecto menciona:
“Puesto que existen interrogantes geométricos, ¿se deduce de ello que hay también
cuestiones no geométricas? Por ejemplo, en la geometría ¿qué clase de error es el que
puede viciar las cuestiones y, sin embargo, no excluirlas de esta ciencia? ¿o quizá la
41
En el método hipotético deductivo del programa euclídeo se pueden considerar dos categorías: La primera, que
corresponde a la teoría de la demostración aristotélica, el cual abarca tanto los principios lógicos, como también los
tres principios básicos en cualquier teoría científica: el principio de identidad, el principio de no contradicción y el
principio de tercero excluido. La segunda, correspondería al proceso demostrativo propiamente dicho que consiste
en la deducción de consecuencias sobre la base de conocimientos previos y que abarca los primeros principios (las
definiciones, los postulados, las nociones comunes)) y las proposiciones que han sido previamente demostradas.
38
conclusión errónea se deba a que se deduce de premisas de otra ciencia, a saber, en una
controversia geométrica, una cuestión musical es no geométrica, mientras que la noción
que introduce el paralelismo es en algún sentido geométrico, siendo no geométrica en un
aspecto distinto? “(Aristóteles, 1977, pp. I.12, 77b.53 - ss).
Lo que si parecía ser muy recurrente ya desde tiempos de Aristóteles era incurrir en errores de
petición de principio o falacias al asumir la existencia de rectas paralelas y sobre lo cual afirma:
“Eso es exactamente lo que hacen aquellas personas que piensan que están trazando
rectas paralelas, pues no caen en la cuenta que están haciendo suposiciones (podría ser,
por ejemplo, según algún comentarista, que los ángulos alternos internos son iguales, lo
cual depende de que las rectas son paralelas) que no pueden ser demostradas de no ser
que existan las rectas paralelas. Se deduce que los que argumentan de esta manera están
diciendo que una cosa es de tal manera si ella es de tal manera” (Aristóteles, 1977, p.
II.16, 65a 41 - ss).
Aristóteles considera que no es nada sorprendente las diferentes hipótesis que conllevan al
mismo error si se parte de asumir que las rectas paralelas se intersequen entre sí: “Que los
ángulos internos [en un triángulo] sean mayores que un ángulo exterior, o que [la suma de] los
ángulos internos de un triángulo sea mayor que dos [ángulos] rectos” (Aristóteles, 1977, pp.
II.17, 66a. 112 - 118). Heath (1956) comenta que si bien el filósofo Griego da una idea clara de
lo que entendió por postulado no hace ninguna alusión al postulado sobre rectas paralelas de
Euclides y alude a errores de petición de principio en la teoría de las paralelas ocurridos en la
época aunque si bien no da mayores detalles al respecto. En ello precisamente estriba la
originalidad del quinto postulado cuya formulación considera Heath (1956) fue dada por el
propio Euclides puesto que, y según se desprende de lo expresado por Aristóteles en el párrafo
anterior, el autor de los Elementos pudo liberarse de incurrir en un error de petición de principio
ubicándolo como postulado para demostrar, entre otras afirmaciones, la proposición I, 29 de los
Elementos. Al respecto afirma Heath (1956): “Cuando consideramos los innumerables y
sucesivos intentos hechos por más de veinte siglos en demostrar el quinto postulado de Euclides,
la mayoría de ellos llevado a cabo por geómetras especializados, no podemos menos que
sorprendernos del genio de un hombre que pensó que tal propiedad era posible y la cual encontró
39
necesaria para validar sus sistema general de geometría (…)” (Heath, 1956, p. 202). Y uno de
los métodos empleados en la búsqueda de una demostración del quinto postulado fue el de
reducción al absurdo.
El método de reducción al absurdo (reductio ad absurdum) es también denominado por
Aristóteles demostración per impossible. Proclo (1970) hace la siguiente descripción de la
demostración por reducción al absurdo: demostrar por reducción al absurdo es llegar en cada
prueba a un resultado imposible, esto es, una consecuencia que se desprende de una hipótesis que
es admitida al comienzo de la prueba y que al final, como resultado de suponer la veracidad de la
misma, se llega a un contradicción con algunos de los principios establecidos en el sistema
geométrico euclídeo, nociones comunes axiomas, postulados, y, en otros casos, con resultados
que previamente fueron demostrados (proposiciones). Por ejemplo, en la demostración de la
proposición I, 6 de los Elementos, Euclides muestra que la hipótesis de partida (admitida como
un supuesto válido y contraria al resultado que desea establecer) es imposible porque contradice
la noción común (8) que afirma el todo es mayor que la parte. Para esto, generalmente, es
necesario entender que todos los argumentos matemáticos, o se derivan de los primeros
principios o conducen a ellos.
Al no ser posible una demostración directa del quinto postulado de Euclide 42, se pasa entonces
a considerar la negación lógica del mismo con el único propósito de intentar establecerlo de
forma indirecta. Es decir, se abandona el carácter ontológico del problema y se pasa a privilegiar
la “estructura lógica” del sistema geométrico de Euclides en su conjunto. Como dentro de la
concepción filosófica imperante hasta finales del siglo XIX el espacio físico era de naturaleza
euclídea, el postulado de las paralelas debía ser reivindicado.
Aunque Euclides introduce las rectas paralelas en la proposición I, 27 de los Elementos emplea
por primera vez el quinto postulado como tal en la prueba de la proposición I, 29. Ello significa
que las demostraciones de las proposiciones I, 1 hasta la I, 28 son lógicamente independientes de
42
Es decir, demostrar la unicidad de la recta paralela. La propiedad métrica de equidistancia entre rectas paralelas y
la existencia de triángulos semejantes que no son congruentes entre sí , son afirmaciones que mantienen la ontología
(primeros principios) del sistema euclídeo, aunque lógicamente (principios lógicos) son equivalentes a lo que se
quiere demostrar.
40
éste 43. También se suponen válidos la idea (postulado) de continuidad de Arquímedes en su
forma intuitiva para la época y la existencia de segmentos de longitud arbitraria. A este período
corresponden los trabajos de Saccheri y demás geómetras y matemáticos que abordaremos a
partir de este período.
§1.8 Algunos resultados de las investigaciones del Padre Saccheri (1733)
§1.8.1 El “cuadrilátero fundamental”
El Padre Gerolamo Saccheri (1667 – 1733), jesuita y profesor de la Universidad de Pavia,
comenta Bonola (1912), en su libro Euclides ab omni naevo vindicatus: sive conatus geometricus
quo stabiliuntur prima ipsa universae Geometriae Principia (Milán, 1733) dedica la mayor parte
de este trabajo a la demostración del quinto postulado de Euclides. Heath (1956) considera que
esta obra fue una de mayor importancia en los primeros intentos por demostrarlo porque
contempló la posibilidad de otras hipótesis, distintas a la de Euclides, y sus consecuencias en la
geometría euclídea:
“Él (Saccheri) fue un verdadero precursor de Legendre y Lobachevsky, como lo ha
señalado Beltrami, y podría decirse que también de Riemann. Porque como Veronese
afirma (Fondamenti di geometria, p. 570) Saccheri pudo contemplar la teoría de las
paralelas en toda su dimensión, mientras que Legendre, Lobachevsky y J. Bolyai
excluyeron a priori, sin un análisis más profundo, la Hipótesis del Ángulo Obtuso,
posteriormente, hipótesis de Riemann. Saccheri, sin embargo, fue víctima de la noción
preconcebida de su tiempo que consideró que la única geometría posible era la euclídea y
Él presenta el curioso carácter de ser un hombre extremadamente riguroso en sus
creencias sobre nuevas posturas que amenacen, intenten o se propongan demoler las
vigentes o ya establecidas. Buscaba encontrar contradicciones en el corazón de sus
43
Se le denomina geometría absoluta. Es la geometría que depende solamente de los primeros cuatro postulados del
Libro I de los Elementos. Incluye las proposiciones de los Elementos: Libro I, proposiciones I, 1 a I, 28, Libro III,
proposiciones III, 1 a III, 19, Libro IV, proposiciones IV, 4 a IV, 9. La geometría absoluta, como veremos en los
capítulos posteriores (Capítulos III y IV), es la geometría que no supone la existencia de una recta paralela única
(proposición lógicamente equivalente al quinto postulado de Euclides) por un punto “exterior” (no colineal) a una
recta dada.
41
sistemas construidos y, en ese orden, demostrar la falsedad de su hipótesis” (Heath, 1956,
p. 211).
Su método particular de razonamiento es: “Asumiendo como hipótesis que la proposición
para ser demostrada es falsa, uno está en capacidad de llegar a la conclusión que es verdadera”
(Bonola, 1912, p. 22).
Sustentado en esta idea, el Padre Saccheri (1733) toma como datos de partida las primeras
veintiocho proposiciones del Libro I de los Elementos pero supone que el quinto postulado es
falso. Entre sus consecuencias busca encontrar algún enunciado que le permita establecer la
validez del postulado euclídeo sobre rectas paralelas: encontrar una proposición, un resultado, tal
que su afirmación y negación fuesen válidos en el sistema geométrico de los Elementos.
En su investigación emplea el postulado de Arquímedes y la hipótesis de continuidad de la
recta. Sobre estas dos importantes propiedades en la geometría euclídea resulta pertinente
presentar algunas reflexiones para lo que sigue en nuestro análisis.
En el Libro V de los Elementos Euclides da las siguientes definiciones: “Def. 3. Una razón es
determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas 44”, y, “Def. 4.
Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, puede exceder una a la
otra 45” (Euclides, 1994, p. 10).
44
Sobre esta definición, afirman los Profesores Reina & Romero (2010): “En la definición 3 [del Libro V de los
Elementos], la palabra “razón” (logos) abarca el contexto de la racionalidad griega y va más allá de un aspecto
cuantitativo; el logos constituye un medio por el cual el hombre mediante la racionalidad accede a aquello que le es
inaccesible mediante la experiencia inmediata. De esta manera, Euclides utiliza este término para interpretar aquello
que se puede expresar numéricamente mediante la comparación de dos magnitudes homogéneas (líneas, superficies,
sólidos), en las cuales una de ellas es tomada como unidad para acceder a la otra magnitud; la razón entre dos
magnitudes da cuenta de la relación cuantitativa entre ellas, pues cuando se compara se conoce la medida como ese
aspecto cuantitativo que permite identificar una determinada relación entre dichas magnitudes” (Reina & Romero,
2010, p. 25). Una razón es una relación binaria entre magnitudes del mismo tipo, y que en términos de magnitudes,
si A y B denotan dos magnitudes homogéneas, la razón entre A y B se expresa “A es a B” y se simboliza como A:B.
La importancia de la definición anterior, comentan Reina & Romero (2010), es que da cuenta de la razón
cuantitativa entre dos magnitudes: “pues la razón se presenta como un proceso fundamental de la inteligencia. Así
pues, la comparación entre magnitudes en términos de sus razones (que es un primer nivel cuantitativo del proceso
de medir) da lugar a la clasificación de las magnitudes en conmensurables e inconmensurables” (Reina & Romero,
2010, p. 26).
45
La relevancia de esta definición, sugieren Reina & Romero (2010), es que “A:B es la expresión simbólica [que
interpreta la razón entre dichas magnitudes] pero lo interesante es que esta simbolización posee un estatus
42
Para la Profesora Puertas (1994) la interpretación de la Def. 4, del Libro V de los Elementos
sería pertinente considerarla en la medida que “excluye la mediación de dicha relación entre una
magnitud finita y otra [magnitud] infinita del mismo género. Hay quienes amplían esta exclusión
a las magnitudes infinitamente grandes e infinitamente pequeñas” (Puertas, 1994, p. 11).
Considerado en su forma primigenia, resulta de interés en este punto citar el postulado de
Arquímedes que afirma:
“Dadas dos magnitudes geométricas desiguales (líneas, superficies, sólidos), la mayor
excede a la menor en una magnitud tal que, añadida sucesivamente a sí misma, puede
exceder a su vez a cualquier magnitud del mismo género que las relacionadas (Sobre la
esfera y el cilindro, I, lamb. 5; en Sobre espirales, la suposición se restringe a líneas y
áreas; en Sobre la cuadratura de la parábola, a áreas)” (citado por Puertas, 1994, p. 11).
ontológico muy diferente a lo que modernamente se conoce como un cociente [entre números a y b positivos] a/b
pues la razón se considera como un proceso de comparación entre magnitudes y no como algo que constituye algo
acabado. En pocas palabras, el cociente a/b es un número, mientras que la razón A:B entre magnitudes no es un
número ni es tampoco magnitud, sólo se constituye como un proceso que permite representar un tipo de relación
entre dos líneas, o entre dos áreas, o entre dos volúmenes, ya que, por ejemplo, dadas dos áreas cualesquiera,
bastará tomar una de ellas y agregarla a sí misma un número suficiente de veces, para que con seguridad
sobrepasemos en medida otra área dada” (Reina & Romero, 2010, p. 26). Sin embargo, es importante diferenciar en
términos de una razón lo que cuantitativamente se entiende en los Elementos al comparar magnitudes finitas y
magnitudes arbitrarias, al respecto afirman Reina & Romero (2010): “Aunque se ha considerado que la razón exige
una comparación entre magnitudes homogéneas, esta definición excluye [en los Elementos] que se pueda comparar
una magnitud finita con una [magnitud] infinita aún siendo del mismo tipo [homogéneas]. [Sin embargo] se puede
ampliar a las magnitudes infinitamente grandes [crecientes] e infinitamente pequeñas [decrecientes] pues Eudoxo
[la tradición histórica sugiere que Eudoxo nació en Cnido, (que actualmente se encuentra en Turquía) quizá en el
año 408 a. C, aunque otros historiadores ubican el año de su natalicio en el 400 a.C y murió en su ciudad natal en
el año 355 a.C. También se sugiere que fue discípulo de Arquitas y de quien aprendió matemáticas para viajar a
Atenas e ingresar a estudiar filosofía en la academia de Platón (495 – 435 a. C)] opera con magnitudes que se
pueden hacer menores que otras arbitrariamente prefijadas para lo que introduce lo que hoy llamamos el axioma de
Eudoxo – Arquímedes o axioma de continuidad que aparece inocuamente [implícita o se esboza] como una
definición en los Elementos de Euclides (Def. 4, del Libro V de los Elementos)” (Reina & Romero, 2010, p.27).
La importancia de esta definición es que permite el tratamiento de magnitudes inconmensurables:“Así pues, con
esta definición fue posible comparar magnitudes inconmensurables y aunque Eudoxo no fue el primer matemático
en definir proporciones porque ya habían sido estudiadas por los pitagóricos (cuando se descubrió la inexistencia de
una medida común entre la diagonal y el lado de un cuadrado de la cual no se podía hallar relaciones entre números
enteros positivos), sí permitió comparar tales medidas no como una relación entre números sino como una relación
entre magnitudes homogéneas entre sí” (Reina & Romero, 2010, p. 28). No obstante, Puertas (1994) considera que
“Hay quienes la han visto como una generalización de la relación entre magnitudes homogéneas, capaz de cubrir
tanto magnitudes conmensurables como magnitudes inconmensurables; pero ésta es una distinción no pertinente en
el presente contexto” (Puertas, 1994, p. 10).
43
La postura de la Profesora Puertas (1994) es que el postulado de Arquímedes en su forma
primigenia no se identifica con la Def. 4, del Libro V de los Elementos, de hecho para la
Investigadora de la geometría euclídea la definición de Euclides en cierto modo lo complementa:
“Euclides define una relación de razón entre magnitudes homogéneas en general por
referencia a la multiplicación; Arquímedes postula, en cambio, una condición precisa
para ciertas clases de magnitudes homogéneas (líneas, superficies, sólidos) y se remite a
la adición de diferencias (una referencia similar hará Euclides en la proposición 1, del
Libro X de los Elementos). Pero así mismo cabe sospechar que el proceder de Euclides es
una reelaboración más alejada de las primicias eudoxianas que la vía de explicitación
directa y especifica seguida por Arquímedes” (Puertas, 1994, p. 11).
En el contexto geométrico euclídeo, la propiedad arquimediana 46 afirma que si A y B son dos
magnitudes homogéneas tal que A<B, “la magnitud A es menor que la magnitud B”, existe un
número entero positivo n tal que nA>B, “la magnitud nA es mayor que la magnitud B”.
Entendida de esta forma, esto significa en particular que los segmentos son de orden magnitud
comparable y que en consecuencia no existe un segmento de magnitud infinitamente pequeño ni
un segmento de magnitud infinitamente grande, ni tampoco un segmento de magnitud cero 47. En
46
Sobre el alcance de la propiedad arquimediana en la geometría de Euclides, y en particular en la teoría de las
paralelas, es de suma importancia establecer que: “Ello tiene varias implicaciones, primero se puede considerar un
principio de limitación de las razones al igual que la homogeneidad de la Def. 3, Libro V de los Elementos: no hay
razón si una u otra (o ambas) magnitud es, o bien infinitamente pequeña, o bien infinitamente grande, pues si se
supone que es posible que A:B y A es infinitamente pequeña no existe natural n tal que nA>B; análogamente si B
es infinitamente grande, tampoco existe tal n. En segundo lugar, esta definición reafirma la homogeneidad como
condición necesaria para la existencia de dos razones: si A y B son de naturaleza distinta, no es posible (i) en primer
lugar comparar A con B (no se puede decir si A=B [la magnitud A e igual a la magnitud B] A<B ó A>B) y (ii)
como nA es de la misma naturaleza que A entonces es imposible encontrar tal n para el que nA>B pues magnitudes
heterogéneas son incomparables entre sí (por (i)). Esto es como decir que A:B siendo A un segmento y B un
cuadrado ¿con cuántos segmentos alcanzo (“lleno”) el cuadrado? o lo opuesto es más extraño ¿con cuántos
cuadrados alcanzo el segmento” (Reina & Romero, 2010, p. 27)
47
Si bien es cierto que por la Def. 4 del Libro V de los Elementos se puede inferir que no se establece una magnitud
máxima y por la proposición 1 del Libro X de los Elementos tampoco se asume una magnitud mínima, Puertas
(1994) señala que: “También cabe pensar que la matematica griega “clásica” viene a soslayar así ciertos usos del
infinito en un sentido semejante al declarado por Aristóteles: los matemáticos no necesitan servirse de la idea de
infinito (actual); les basta considerar objetos de la magnitud que quieran (Física 207b30 ss.), habida cuenta de la
posibilidad de ir más allá de una magnitud finita dada, viene mediante adiciones sucesivas (en la Def. 4 del Libro V
44
algunos de los resultados que presenta Bonola (1912) de los trabajos de Saccheri y Legendre
como veremos, el postulado de Arquímedes considerado para establecer la relación entre las
magnitudes de segmentos, > denota “mayor que”, = denota “igual a”, < denota “menor que”, se
empleará de la siguiente forma:
Si
y
son dos segmentos tal que la magnitud de
lo cual denotamos por
es menor que la magnitud de
, entonces por el postulado de Arquímedes existe un entero
positivo n tal que la magnitud del segmento
lo cual expresamos por
es mayor que la magnitud del segmento
,
.
Por último, en cuanto a la hipótesis del continuo geométrico de la recta en forma intuitiva
establece que: Dado un segmento el cual pasa continuamente de una longitud
, donde
la longitud del segmento mayor
longitud intermedia entre
y
a una longitud
recorre durante esta variación cada
[“This hypothesis of the continuity of straight line is used by
Saccheri in it’s intuitive form, viz: a segment, which passes continuously from the lenght a to
lenght b, different from a, takes, during it’s variation, every lenght intermédiate between a and y
b” (Bonola, 1912, p. 23)].
Prosiguiendo con las investigaciones del geómetra Italiano, la figura fundamental del Padre
Saccheri es un cuadrilátero isósceles con dos ángulos rectos consecutivos: lados opuestos
iguales y perpendiculares a la base. A partir de aquí lo designaremos como cuadrilátero
fundamental. Las propiedades de esta figura geométrica son deducidas de la siguiente
proposición:
Lema 1 de Saccheri: Si un cuadrilátero
congruentes con un ángulo recto y los lados
dos ángulos internos
y
tiene los ángulos internos consecutivos
y
y
son congruentes entre sí entonces los otros
del cuadrilátero anterior son congruentes entre sí [sobre este
resultado, Bonola (1912) comenta que es un caso especial de la proposición I de Saccheri]; pero
si los lados
y
no son congruentes entre sí [son desiguales] entonces con respecto a la
amplitud de los ángulos internos
y
, afirma Saccheri, se tiene que no son congruentes entre
sí.
referida) o bien mediante sustracciones sucesivas (en la línea de la proposición I del Libro X referida)” (Puertas,
1994, p. 11).
45
Esta afirmación como las que siguen serán tomadas de la obra de Bonola (1912, p. 23 – 44).
Si el quinto postulado de Euclides es válido, en el cuadrilátero fundamental
de Saccheri los ángulos internos
del Lema 1
son congruentes con un ángulo recto 48 [ver Figura 1.14].
y
y
No obstante, si se asume que ambos ángulos
, congruentes entre sí, puedan ser ángulos
obtusos o ángulos agudos entonces estamos negando lógicamente, junto con el Padre Saccheri
(1733), el quinto postulado de Euclides. El geómetra Italiano investiga la posibilidad de las
anteriores hipótesis con respecto a la amplitud de los ángulos internos
y
. El Padre Saccheri
(1733) las clasifica en:
(i) La Hipótesis del Ángulo Recto (HAR); en donde
los ángulos internos
son congruentes con un
ángulo recto.
(ii) La Hipótesis del Ángulo Obtuso (HAO); en
donde los ángulos internos
son congruentes
con un ángulo obtuso.
(iii) La Hipótesis del Ángulo Agudo
donde los ángulos internos
HAA ; en
son congruentes
Figura 1. 14
con un ángulo agudo.
Uno de sus primeros resultados importantes es el siguiente:
Proposición III de Saccheri: De acuerdo con la hipótesis del ángulo recto (HAR), la del ángulo
obtuso (HAO) o la del ángulo agudo (HAA), entonces en el cuadrilátero fundamental
siendo los lados
y
congruentes entre sí, al igual que los ángulos
siguientes relaciones entre las magnitudes de los lados opuestos
y
y
, se debe tener las
dependiendo de las
anteriores hipótesis:
48
Esto necesariamente tendría que demostrarse. Bajo la hipótesis euclídea los segmentos
y
son congruentes
entre sí y son lados paralelos entre sí puesto que al incidir sobre ellos
los ángulos internos del mismo lado son
congruentes con un ángulo recto (proposición 28 Libro I de los Elementos). Y por y trazamos la recta
paralela
a
(proposición 31 Libro I de los Elementos). Entonces el cuadrilátero formado es un rectángulo y los lados
y
son congruentes entres sí, es decir,
. Si no asumimos el postulado euclídeo sobre rectas paralelas cómo
verdadero, debemos abandonar ciertas proposiciones como ya se mencionó y las que se mantienen comportan otras
propiedades diferentes a la geometría euclídea.
46
(i)
, que corresponde a la HAR y donde los ángulos internos y consecutivos
y
,
y
,
congruentes entre sí, son iguales a un ángulo recto.
(ii)
, que corresponde a la HAO y donde los ángulos internos y consecutivos
congruentes entre sí son mayores que un ángulo recto.
La demostración que presenta el Profesor Bonola (1912) sobre este resultado es la siguiente:
Tracemos a partir del punto medio
; siendo
un punto del lado
cuadrilátero fundamental
del lado
la perpendicular común
a los lados
[ver Figura 1.14]. Entonces la perpendicular
en dos cuadriláteros,
y
y
divide el
congruentes entre sí y
cada uno con tres ángulos rectos y un ángulo obtuso. Por el Lema III de Saccheri el ángulo
un ángulo obtuso y, por consiguiente, la amplitud del ángulo
(
). Entonces las magnitudes de los lados
siguiente relación
lados
y
son tales que
y
es mayor que el ángulo
del cuadrilátero
. Y de igual forma, en el cuadrilátero
. En consecuencia
tienen la
se obtiene que los
.■
En esta demostración (véase Bonola 1912, p. 24) se asume que en el cuadrilátero
HAO es posible trazar siempre un perpendicular común a los lados opuestos
cuales los ángulos internos y consecutivos
y
es
en la
y
en los
, congruentes entre sí, son ambos ángulos
obtusos. De hecho, este resultado requiere el postulado de continuidad como se mostrará
posteriormente y con el cual se espera argumentar los pasos demostrativos de este resultado al
igual que el del siguiente.
(iii)
, que corresponde a la HAA y donde los ángulos internos y consecutivos
y
,
congruentes entre sí son menores que un ángulo recto.
De aquí el Padre Saccheri deduce las siguientes proposiciones que damos a conocer en forma
de resultados:
Proposición V de Saccheri: Si la hipótesis del ángulo recto (HAR) se verifica en un
cuadrilátero entonces se verifica en todos los cuadriláteros.
47
Proposición VI de Saccheri: Si la hipótesis del ángulo obtuso (HAO) se verifica en un
cuadrilátero entonces se verifica en todos los cuadriláteros.
Proposición VII de Saccheri: Si la hipótesis del ángulo agudo (HAA) se verifica en un
cuadrilátero entonces se verifica en todos los cuadriláteros (Tomado de Bonola, 1912, pp. 25 28).
A partir de estos teoremas y otras propiedades, Saccheri obtiene el siguiente resultado
importante con respecto a los triángulos:
Proposición IX de Saccheri: De acuerdo con la hipótesis del ángulo obtuso, la hipótesis del
ángulo recto y la del ángulo agudo, se obtiene que la suma de los ángulos internos en un
triángulo es, respectivamente, mayor que la suma de dos ángulos rectos, igual a la suma de dos
ángulos rectos, o menor que la suma de dos ángulos rectos (Bonola, 1912).
La demostración es como sigue:
Consideremos el caso particular de un triángulo
rectángulo
ángulo
con ángulos internos
,
y ; siendo el
congruente con un ángulo recto [Ver Figura
1.15].
Completemos el cuadrilátero trazando el lado
perpendicular a
y congruente con el lado
tracemos, por último, el lado
; y
.
Figura 1.15
(i) En la HAR (caso euclídeo) los lados opuestos
proposición I, 38 de los Elementos el triángulo
congruente con el triángulo
y
son congruentes entre sí y por la
de ángulos internos
,
y
es
[la proposición I, 38 afirma que: “Los triángulos que están
sobre bases iguales y entre las mismas paralelas son iguales (congruentes) entre sí” Euclides,
1991, p. 249]. Y por consiguiente, los ángulos alternos internos
por la hipótesis del ángulo recto la suma de los ángulos internos ,
48
y
son congruentes entre sí y
y
del triángulo
(o la
suma de los ángulos internos
,
y
del triángulo
) es igual a la suma de dos ángulos
rectos (por proposición I, 32 de los Elementos).
(ii) En la HAO se tiene que las magnitudes de los lados
Los triángulos
y
tienen los lados
tienen un lado común, el lado
del triángulo
y
y
son tales que
.
congruentes entre sí (por construcción) y
. Entonces por la proposición I, 25 de los Elementos el ángulo
es mayor que el ángulo
del triángulo
, lo cual significa que
(esta desigualdad, comenta Bonola (1912), sirve como un corolario a la proposición IX de
Saccheri). La proposición I, 25 de los Elementos establece que: “Si dos triángulos tienen dos
lados del uno iguales (congruentes) respectivamente a dos lados del otro, pero tienen la base (del
uno) mayor que la base (del otro), también tendrán el ángulo comprendido por las rectas iguales
(del uno) mayor que el del otro” Euclides, 1991, p. 231]. Saccheri demuestra que en la hipótesis
del ángulo obtuso la suma de los ángulos internos en un triángulo rectángulo es mayor que la
suma de dos ángulos rectos. Se puede expresar lo anterior considerando en particular que en un
triángulo rectángulo
en la HAO se obtiene que:
(iii) En la HAA se tiene que las magnitudes de los lados
y
son tales que
.Y
por el mismo argumento anterior [proposición I, 25 de los Elementos] para este caso se llega a
que los ángulos alternos internos
y
tienen la siguiente relación
. Saccheri demuestra
que bajo la hipótesis del ángulo agudo la suma de los ángulos internos en un triángulo rectángulo
es menor que la suma de dos ángulos rectos, lo cual se puede expresar, considerando en
particular que un triángulo rectángulo
en la HAA se obtiene que:
Podemos generalizar este análisis puesto que un triángulo cualquiera lo podemos dividir en
dos triángulos rectángulos y aplicar el procedimiento anterior. Bonola (1912) da el siguiente
teorema que se desprenden de estos resultados y el cual el Padre Saccheri (1733) no enuncia
explícitamente 49 pero el cual se deducen de sus investigaciones:
49
Otra proposición de Saccheri afirma: “Si la suma de los ángulos internos en un cuadrilátero es mayor, igual o
menor que cuatro ángulos rectos, entonces la hipótesis del ángulo obtuso, la del ángulo recto o la del ángulo agudo
es verdadera para cualquier cuadrilátero en el orden respectivo en que se asumen las hipótesis” (Bonola, 1912). En
49
Teorema de Saccheri – Legendre 50: “Si la suma de los ángulos internos en un triángulo es
mayor, ó igual, ó menor que dos ángulos rectos entonces la suma de los ángulos internos en
cualquier triángulo es mayor, ó igual, ó menor que de dos ángulos rectos” (Bonola, 1912, p. 29).
Este resultado sería redescubierto por Legendre un siglo después y se conocería como el
“segundo teorema de Legendre” (Bonola, 1912, p. 57).
Los anteriores teoremas sobre cuadriláteros isósceles con dos ángulos rectos consecutivos y
dos lados congruentes entre sí, fueron demostrados por el Padre Saccheri (1733) y
posteriormente por otros geómetras.
Bonola (1912) sugiere que con el fin que la exposición del trabajo del Padre Saccheri (1733)
resulte más sencilla, se tomen a partir de las proposiciones XI y XII de Saccheri el siguiente
lema:
Lema II de Saccheri: Sea el triángulo rectángulo
ángulo recto. Sea
partir del punto
segmento
segmentos
el punto medio del lado
trazamos el segmento
con un ángulo interno
del triángulo
perpendicular al lado
igual a un
y opuesto al ángulo
, siendo
.A
un punto del
. Entonces Saccheri establece las siguientes relaciones entre las magnitudes de los
y
:
(i)
, en la hipótesis del ángulo recto.
(ii)
, en la hipótesis del ángulo obtuso.
una nota encontrada en sus investigaciones, comenta Bonola (1912), Saccheri hace uso del postulado que Wallis
asume como verdadero y evidente. El Padre Saccheri señala (citado por Bonola (1912)) que Wallis sólo necesitaba
asumir la existencia de dos triángulos cuyos ángulos son congruentes entre sí y tienen un lado desigual para deducir
la existencia de un cuadrilátero en el cual la suma de sus ángulos internos es igual a la suma de cuatro ángulos
rectos. De esta forma, la hipótesis del ángulo recto sería válida y, por consiguiente, el quinto postulado de Euclides
quedaría demostrado.
50
De hecho, la proposición afirma que: Si la suma de los ángulos internos en un triángulo es igual o menor que la
suma de dos ángulos rectos entonces para cualquier triángulo se tiene que la suma de los ángulos internos es igual
o menor que la suma de dos ángulos rectos. El teorema como tal fue presentado por Legendre (1753 – 1833) en sus
las diferentes ediciones de sus investigaciones Eléments de Géométrie que abarcan el período entre los años 1794 –
1823 las cuales son compiladas, según cita Bonola (1912, p. 55) en sus Refléxions sur diffèrentes manières de
démontrer la théorie des parallèles ou le thorme sur la somme des trois angles du triangle. [Mém. Ac. Sc., París,
T. XIII, 1833]. Legendre descarta la HAO como Heath (1956) menciona a manera de introducción al inicio de esta
sección del Padre Saccheri (1733). No obstante, el resultado del geómetra Italiano es presentado por Bonola (1912)
en toda su extensión.
50
(iii)
, en la hipótesis del ángulo agudo (Tomado de Bonola, 1912, p. 34).
Demostración por el Padre Saccheri: Consideremos el triángulo rectángulo
igual a un ángulo recto y a partir del punto medio
interno en
tracemos la perpendicular
del punto
al lado
; siendo
trazamos la perpendicular
del lado (hipotenusa)
un punto del lado
perpendicular al lado
[ver Figura 1.16]. Obtenemos entonces un cuadrilátero
con ángulo
. Por último, a partir
; siendo
un punto del lado
con ángulos internos , ,
y
. Entonces:
(i) En la HAR el cuadrilátero
rectángulo y los ángulos
,
es un
,
y
son
congruentes, respectivamente, con un ángulo
recto.
Y se puede demostrar que los dos triángulos
rectángulos
y
son congruentes entre
sí y, por consiguiente, se obtiene que
.
Figura 1.16
(ii) En la HAO la suma de los ángulos internos en el cuadrilátero
es mayor que la suma
de cuatro ángulos rectos, lo cual se puede expresar como:
(1)
Pero
por construcción de los ángulos
y , y en consecuencia:
(2)
Por otro lado, los ángulos
y(
) son ángulos adyacentes entonces:
(3)
De las expresiones (2) y (3) se obtiene que:
Entonces en los triángulos rectángulos
y
se tiene que
(¿Por qué?)
51
y en consecuencia:
Por otro lado, el ángulo
y en consecuencia se obtiene,
. Q.E.D.
(iii) En la HAA se puede demostrar de la misma forma, y mostrar que
.
El siguiente lema ilustra en forma general los resultados obtenidos anteriormente, el cual en su
forma elemental (euclídea) es uno de los teoremas de Thales de Mileto:
Lema III de Saccheri: Supongamos que dos
rectas s y r se intersecan entre sí en el punto
de tal modo que forman un ángulo agudo
[ver
Figura 1.17]. Tomemos a partir del vértice
segmentos congruentes entre sí sobre la recta s,
tal que:
Y a partir de los puntos
,
,
,…, en la
recta s trazamos los segmentos,
, perpendiculares a la recta r.
Figura 1.17
Entonces el Padre Saccheri (1733) establece las siguientes relaciones entre las magnitudes de
los segmentos
,
,
(1) En la HAR los segmentos
, …, en la recta r:
,
,
, …, son congruentes entre sí:
(2) En la HAO se obtiene la siguiente relación entre los segmentos
,
,
, …,:
(3) En la HAA se obtiene la siguiente relación entre los segmentos
,
,
, …,:
52
A continuación Saccheri establece el siguiente resultado:
Proposiciones XI y XII de Saccheri: En la hipótesis del ángulo recto (HAR) y en la hipótesis
del ángulo obtuso (HAO), si dos rectas se intersecan entre sí de tal modo que forman un ángulo
agudo y una tercera recta (recta transversal) incide sobre una de las dos rectas formando un
ángulo recto entonces también ella (recta transversal) interseca la otra recta dada (Tomado de
Bonola, 1912, p. 36). La demostración del Padre Saccheri (1733) es como sigue:
Consideremos dos rectas s y r que se
intersecan entre sí en el punto
de tal
modo que forman un ángulo agudo.
Y supongamos que la recta l incide sobre la
recta r en un ángulo recto. Sea
el punto
de intersección entre las rectas l y r [ver
Figura 1.18].
Sobre la recta s y a partir del punto
construimos los segmentos
y
congruentes entre sí.
A partir de los punto
y
en la recta s
trácense los segmentos perpendiculares
y
a la recta r; siendo
y
puntos
Figura 1.18
de la recta r.
Entonces por el Lema III de Saccheri se obtiene las siguientes relaciones entre las magnitudes
de los segmentos
y
:
(i) En la HAR siendo los segmentos
y
congruentes entre sí entonces la relación
resulta ser válida.
(ii) En la HAO los segmentos
Sobre la recta s tómese el segmento
y
verifican la relación
congruente con el segmento
en la recta s trácese el segmento perpendicular
a la recta r; siendo
r. Y de nuevo, por el Lema III de Saccheri obtenemos que:
53
.
y a partir del punto
un punto de la recta
(iii)
Y si repetimos este proceso continuamente entonces podemos encontrar un punto
recta s el cual determina un segmento
en la
en la recta r que satisface la relación:
(iv)
Donde n en (iv) es un entero positivo tal que si la magnitud de los segmentos
recta r verifican la relación
y
en la
entonces por el postulado de Arquímedes el entero positivo
n cumple que:
(v)
y en consecuencia,
(vi)
El punto
es un punto del segmento
base) del triángulo rectángulo
rectángulo
; donde
corresponde a uno de los lados (la
. La recta l no puede intersecar el lado
, así que debe intersecar el lado
del triángulo
(la hipotenusa). Por consiguiente las
rectas s y l se intersecan ente sí. Q.E.D
El método seguido por el Padre Saccheri en la demostración de este teorema es prácticamente
el mismo que el de Nâssîr-Eddîn. Sin embargo, el geómetra Árabe sólo hace el tratamiento de la
Hipótesis del Ángulo Recto cuando previamente hubo aparentemente demostrado que la suma de
los ángulos internos en un triángulo rectángulo es igual a dos ángulos rectos. El Profesor Bonola
(1912, p. 37) sugiere que el Padre Saccheri estuvo familiarizado con las investigaciones de
Nâssîr-Eddîn.
A continuación el Padre Saccheri (1733) establece y demuestra la siguiente proposición:
Proposición XIII de Saccheri: El quinto postulado de Euclides es verdadero en la hipótesis del
ángulo obtuso y en la hipótesis del ángulo recto.
La demostración por el Padre Saccheri (1733) es como sigue:
Supongamos que la recta l interseca a las rectas r y s en los puntos
tal forma que hace la suma de los ángulos internos
ángulos rectos.
54
y
y , respectivamente, de
, del mismo lado, menor que dos
A partir del punto
trácese el
segmento perpendicular
r; siendo
a la recta
un punto en la recta r.
y
Entonces los ángulos
que
son tales
y donde el ángulo
es
interno
[ver Figura 1.
19].
Consideremos el triángulo
ángulos internos ,
el ángulo
con
y ; y en donde
Figura 1.19
es congruente con un
ángulo recto.
Asumiendo la HAR y HAO en el triángulo
,
y
se tiene que la suma de los ángulos internos
es:
(1)
Por otro lado,
(2), por hipótesis y
. Por consiguiente, de (1) y (2), se
obtiene que,
Y en consecuencia, el ángulo
es un ángulo agudo puesto que el ángulo
es un ángulo recto.
Y por el resultado demostrado en la Proposición XI y XII de Saccheri, se tiene que las rectas s y r
se intersecan entre sí 51. Lo cual evidentemente constituye una contradicción con la hipótesis del
ángulo obtuso, pues se ha supuesto que el quinto postulado de Euclides es falso. Por
consiguiente, la HAO es descartada por Saccheri en la siguiente proposición:
Proposición XIV de Saccheri: La hipótesis del ángulo obtuso es falsa.
El Padre Saccheri asume que un segmento de recta se puede prolongar indefinidamente en
cualquier dirección y, por consiguiente, mantiene la hipótesis que las rectas son infinitas en
51
Esta demostración también se encuentra en el trabajo de Nâssîr-Eddîn, el cual, afirma Bonola (1912), no cabe
duda inspiró en cierta forma la investigación del Padre Saccheri (1733).
55
extensión (al usar la proposición I, 16 de los Elementos). Por esta suposición, el geómetra
Italiano no mantiene la HAO.
La hipótesis del ángulo recto se verifica (proposición XIII de Saccheri) y en consecuencia los
usuales teoremas que son deducidos a partir del quinto postulado de Euclides son válidos. Entre
ellos, que la suma de los ángulos en un cuadrilátero es igual a cuatro ángulos rectos. Sin
embargo, el objetivo de Saccheri es demostrar que el postulado de Euclides es verdadero en cada
caso. A continuación pasa a descartar la hipótesis del ángulo agudo.
Para demostrar que la HAA es falsa, el Padre Saccheri (1733) quiere demostrar que el quinto
postulado también se verifica en ésta.
El argumento que emplea difiere del empleado en la HAO puesto que para la HAA
de tal modo que forman un
recordemos si las recta s y r se intersecan entre sí en un punto
ángulo agudo y construir, a partir del punto
, en la recta s segmentos
congruentes entre sí y al trazar a partir de sus puntos extremos
,
,
, …, perpendiculares a la recta r, siendo
,
,
,
,
,
,
,…,
,…, los segmentos
, …, puntos en la recta r,
Saccheri demostró [Lema III de Saccheri] que la magnitud de los segmentos
,
,
, …, en la recta r verifican la siguiente desigualdad:
Entonces no se puede asegurar, al menos no geométricamente, que exista un punto
hipotenusa
(segmento en la recta l) del triangulo rectángulo
y en donde
verifique la siguiente desigualdad
(segmento en la recta r) del triángulo rectángulo
en la
de la Figura en el cual se
es un punto del lado
. Es por ello y otras razones que el análisis
infinitesimal se convirtió en una herramienta importante para la investigación de la teoría de las
paralelas.
De esta forma, la HAA resulta ser bastante difícil de rechazar a falta de un argumento
geométrico que conlleve a una contradicción con alguno de los postulados o proposiciones del
Libro I de los Elementos. Saccheri, asumiendo la hipótesis del ángulo agudo, obtiene algunos
resultados geométricos que contrastan en profundidad con la geometría euclídea los cuales
abordamos a continuación.
56
§1.8.2 Algunas propiedades geométricas en la Hipótesis del Ángulo Agudo
La proposición I, 27 de los Elementos establece que si una recta al incidir sobre dos rectas
hace los ángulos alternos internos congruentes entre sí, las dos rectas dadas son paralelas entre sí.
En la geometría euclídea (HAR) en un triángulo rectángulo podemos trazar a partir de cada uno
de los vértices una recta paralela a uno de los lados opuestos; la proposición I, 23 de los
Elementos nos permite construir los ángulos alternos internos congruentes entre sí a partir de
unos de sus vértices [la proposición I, 23 de los Elementos establece: “Construir un ángulo
rectilíneo igual (congruente) a un ángulo rectilíneo dado, sobre una recta dada y en uno de sus
puntos” Euclides, 1991, 229]. En la HAA también se verifica dicha proposición (¿Por qué?).
En forma general, el Padre Saccheri (1733) demostró
que asumiendo la HAA se pueden encontrar rectas l, s y r
tal que la recta l se interseca con la recta s en el punto
formando un ángulo agudo, y la recta r interseca la recta l
en el punto
con un ángulo recto pero las rectas s y r no
se intersecan entre sí (proposición XVII de Saccheri) [ver
Figura 1.20].
Sobre la recta s construimos los segmentos
,
,
, …, congruentes entre sí. Entonces en la HAA,
y, a
Saccheri obtuvo que
diferencia de la HAO, no existe ningún argumento que
permita establecer que las rectas s y r se intersecan entre sí.
Figura 1.20
Lo cual significa que las rectas s y r se comportan como líneas asintóticas en la dirección en la
cual la suma de los ángulos internos del mismo lado es menor que dos ángulos rectos.
Supongamos que dos rectas s y r no se intersecan entre sí. Entonces podemos pensar, como en
la HAR, en la existencia de una perpendicular común a ambas rectas. Tomemos puntos
arbitrarios
y
en la recta s y tracemos a partir de ellos segmentos
perpendiculares a la recta r; siendo
y
puntos de la recta r.
57
y
Consideremos la figura cuadrilátera
internos y consecutivos que forman
cuadrilátero
[ver Figura 1.21]. Sean
y
y
los ángulos
, respectivamente, con la recta s. En el
no se supone que los lados opuestos
y
son congruentes
entre sí.
Los dos ángulos internos
y
en el cuadrilátero
pueden, asumiendo la HAA:
(i) Ser
y
ángulos agudos.
(ii) Determinan distintos ángulos, por ejemplo, el
ángulo
puede ser un ángulo recto y el ángulo
es
un ángulo agudo, o al revés.
(iii) También puede suceder que el ángulo
ángulo agudo y el ángulo
sea un
Figura 1.21
sea un ángulo obtuso, o
al revés.
En el primer caso, suponiendo que los ángulos
y
son ángulos agudos, Saccheri demostró
la existencia de una perpendicular común a las recta s y r por medio de la idea de continuidad y
que el geómetra Italiano estableció como la proposición XXII de Saccheri. En forma expositiva,
el razonamiento es el siguiente.
Supongamos que el ángulo
es un ángulo agudo e imaginemos que
continuamente en dirección del ángulo agudo
sobre la recta r permaneciendo siempre
perpendicular a la recta r durante el movimiento hasta alcanzar la posición
interno
se desplaza
inicia como un ángulo agudo en la posición
hasta alcanzar el valor de un ángulo obtuso en la posición
. El ángulo
y después incrementa su amplitud
. Entonces, por el postulado de
continuidad geométrico debe existir una posición en las rectas s y r en la cual es posible trazar
una perpendicular común
a ambas rectas.
En el segundo caso, suponiendo que el ángulo
es igual a un ángulo recto entonces ya hemos
supuesto la existencia de una perpendicular común a las rectas s y r trazándola: es el lado
del cuadrilátero
.
58
En el tercer caso, suponiendo que el ángulo
es un ángulo agudo y el ángulo
sea un ángulo
obtuso, no es posible trazar sobre las rectas s y r una perpendicular común o de existir no podría
ser trazada por ningún punto de los lados
si tomamos cualquier punto
entre
y
y
del cuadrilátero
el cuadrilátero
: puesto que
tiene dos ángulos
rectos consecutivos y un ángulo obtuso. Con esta hipótesis, la posible existencia de rectas
coplanarias s y r que no se intersecan entre sí al ser prolongadas en la misma dirección en la
cual forman con una recta transversal un ángulo recto y un ángulo agudo y no tienen ninguna
perpendicular en común, Saccheri demuestra que las recta s y r se aproximan más y más entre sí
[proposición XXIII de Saccheri] de tal forma que la distancia entre ambas llega finalmente a ser
más pequeña que cualquier magnitud finita que se tome.
Es decir, las rectas s y r se comportan como líneas asintóticas (no equidistantes) en una
dirección, algo que Proclo ya había planteado de forma general en sus reflexiones. Tal resultado
constituye la proposición XXV de Saccheri
Sobre esta proposición geométrica, sin duda alguna, una de las más importantes y profundas
de las investigaciones del Padre Saccheri en la teoría de las paralelas puesto que con esta
propiedad se esboza no sólo la posible existencia de rectas asintóticas coplanarias (rectas en el
sentido euclídeo que pueden ser prolongadas indefinidamente pero en una dirección) sino que
además, implícitamente, se asume la existencia de un plano no euclídeo de extensión infinita en
el que se verifican los cuatro primeros postulados cómo las primeras 28 proposiciones del Libro I
de los Elementos y la negación del quinto postulado de Euclides en una de sus dos formas: la
HAA. En particular, sobre la existencia de líneas asintóticas, comenta Bonola (1912): “Con este
resultado [proposición XXV de Saccheri], la pregunta planteada por los Antiguos Geómetras
Griegos sobre la posible existencia o no de líneas asintóticas en el mismo plano es resuelta de
forma afirmativa [por Saccheri]” (Bonola, 1912, p. 40).
Los argumentos geométricos presentados anteriormente con respecto al cuadrilátero
[Figura 1.21] teniendo en cuenta los posibles valores angulares de los ángulos
internos
y
determinan el comportamiento de la posible existencia de rectas s y r que
prolongadas en la misma dirección son asintóticas pero que dependiendo de los valores
angulares
y
tienen una perpendicular común. Profundicemos entonces en las investigaciones
del gran geómetra Italiano en la HAA.
59
Supongamos que sobre dos rectas s y r incide una recta m perpendicular a ambas rectas. Sean
y
los puntos de intersección de las rectas s y r, respectivamente, con la recta m [ver Figura
1.22].
La recta m es la única perpendicular común a las rectas s y r [caso (ii) en el cuadrilátero
].
Supongamos que por el punto
pasa una recta l que interseca a la
recta r en el punto
de tal modo
que forma con la recta m un ángulo
agudo
.
Entonces podemos suponer que
cualquier recta trazada por el punto
y que forme con la recta m un
ángulo agudo cuya amplitud sea
menor que el ángulo agudo
Figura 1.22
también interseca a la recta r.
Por otro lado, si la recta q pasa por el punto
y forma un ángulo agudo
con la recta m y
tiene una perpendicular común con la recta r entonces cada recta trazada por el punto
forme un ángulo agudo mayor que el ángulo
que
y menor o igual que un ángulo recto (¿Por qué?)
tiene una perpendicular común con la recta r.
A continuación, imaginemos entonces lo siguiente: supongamos que la recta m gira sobre el
punto extremo y fijo
en el sentido contrario a las manecillas del reloj y pasa por la posición
hasta alcanzar la posición de la recta q y ser coincidente con ella. En el movimiento que
describe la recta m define un haz de rectas secantes con la recta r y no existe en este conjunto de
rectas que emergen del punto
ninguna recta no secante con la recta r.
Sin embargo y según se desprende de las investigaciones de Saccheri en la HAA, es posible
trazar por el punto
una recta k, distinta de la recta s, de tal modo que forme un ángulo agudo
(con la recta m) mayor que el ángulo
punto
y que divida el haz de rectas que emergen por el
en dos conjuntos: entre las rectas que intersecan a la recta r y las rectas no secantes con
60
la recta r y que además tienen una perpendicular común en la dirección en la cual los ángulos
internos del mismo lado son el ángulo agudo
y un ángulo recto (¿Por qué?).
Si suponemos que la recta k es la primera de estas rectas no secantes con la recta r y que
tienen una perpendicular común con esta última recta entonces podemos considerar la amplitud
del ángulo agudo
cómo un límite angular superior con respecto a la recta m que divide en
una dirección las rectas que pasan por el punto
entre rectas secantes con la recta r y las rectas
no secantes con la recta r pero que tienen una perpendicular común con esta última recta.
Por hipótesis hemos supuesto que recta m es perpendicular a las rectas s y r. Supongamos
entonces que la recta s gira sobre el punto
haz de rectas que emergen del punto
en el sentido de las manecillas del reloj. Dentro del
existe un conjunto de rectas que no intersecan a la recta
r y no tienen una perpendicular común con esta última. Ahora, por el caso anterior debe existir
una recta k' que forma un ángulo agudo
con la recta m que divide las rectas no secantes con
la recta r en dos conjuntos de rectas en la dirección en la cual los ángulos internos del mismo
lado son en el ángulo agudo
y un ángulo recto, y son los siguientes: entre las rectas no
secantes con la recta r que no tienen una perpendicular común con esta última recta y las rectas
no secantes con la recta r que sí tienen una perpendicular común con esta última recta.
Es decir, podemos considerar la amplitud del ángulo
al haz de rectas que pasan por el punto
cómo un límite inferior con respecto
que no intersecan a la recta r y no tienen una
perpendicular común con esta última recta. Entonces la recta k' divide en una dirección las rectas
que pasan por el punto
entre: las rectas no secantes con la recta r que no tienen una
perpendicular común con esta última recta y las rectas no secantes con la recta r que sí tienen un
perpendicular común con esta última recta. Las ideas esbozadas en este caso y que demuestra el
geómetra Italiano constituyen la proposición XXX de Saccheri.
El Padre Saccheri (1733) demuestra [proposición XXXII de Saccheri] por reducción al absurdo
que de existir las rectas k y k' en la HAA necesariamente han de ser la misma recta, es decir,
que los ángulos (límite angular superior)
y (límite angular inferior)
determinan el mismo
ángulo. Sus argumentos dependen de considerar puntos de la recta en el infinito y por tal razón
Bonola (1912) prefiere omitir en este caso los argumentos de Saccheri.
61
No obstante, sus resultados confluyen en el siguiente teorema en el cual por simetría con
respecto la recta perpendicular a una recta dada se obtiene que:
“En la hipótesis del ángulo agudo, existen en el haz de rectas que pasan por el punto
y que no pertenece a recta r, dos rectas p y q, asintóticas a r y en direcciones opuestas
entre sí, las cuales dividen el haz de rectas en dos conjuntos: las que intersecan a la recta
r y las rectas no secantes con la recta r que tienen una perpendicular común con esta
última recta” (Bonola, 1912, p. 42) [ver Figura 1.23].
Para demostrar que la HAA es falsa,
el Padre Saccheri (1733) supone en
esencia que si la Hipótesis del Ángulo
Agudo fuese verdadera, las rectas p y r
ó q y r podrían tener una perpendicular
común en la dirección en la cual los
ángulos internos del mismo lado son un
ángulo agudo
y un ángulo recto
pero que el geómetra Italiano asume que
Figura 1.23
esta perpendicular puede ser trazada en
un punto en el infinito en el cual las
rectas p y r ó q y r se intersecan entre
sí.
Sobre esta posible existencia de una perpendicular común en el infinito, el Padre Saccheri
(1733) establece:
Proposición XXXIII de Saccheri: La Hipótesis del Ángulo Agudo es absolutamente falsa
porque es repugnante a la naturaleza de la recta.
En este punto, el Padre Saccheri (1733) concibe en un plano no euclídeo ciertas propiedades
que son válidas para figuras geométricas euclídeas a distancias finitas, entre éstas, mencionan
los Profesores Bonola (1912) y Gray (1992), que en sus argumentos alude a la recurrente idea de
equidistancia entre rectas paralelas. En efecto, Bonola (1912) resalta que en el trabajo del Padre
Saccheri (1733) se encuentra, entre las más destacadas proposiciones, la siguiente: Si dos rectas
62
[coplanarias] se aproximan continuamente entre sí en una dirección pero la distancia entre ellas
es tal que permanece siempre mayor que la longitud de un segmento dado entonces la Hipótesis
del Ángulo Agudo es falsa [“If two straight lines continually approach each other and their
distance apart remains always greater than a given segment, then Hypothesis of the Acute Angle
is imposible” (citado en Bonola, 1912, p. 42)]. En consecuencia, si postulamos la no existencia
de rectas asintóticas en una dirección entonces necesariamente la Hipótesis del Ángulo Recto es
verdadera.
No obstante, los razonamientos para descartar la Hipótesis del Ángulo Agudo no resultan ser
rigurosamente contundentes y el Padre Saccheri no logra encontrar, dentro de los resultados
obtenidos, una proposición que conlleve a una contradicción con el marco axiomático euclídeo
como si sucedió bajo la Hipótesis del Ángulo Obtuso al asumir que la recta es infinita por
extensión (prolongación) y en el que el postulado de Arquímedes dentro de la geometría euclídea
desempeña un papel fundamental.
Como epilogo de las investigaciones del Padre Saccheri (1733), el Profesor Bonola (1912)
afirma algo que es significativo, de lo cual se hablará en los capítulos siguientes y es que, aunque
el Padre Saccheri falló en su objetivo, el hecho que no encontrara ninguna contradicción entre las
consecuencias de la Hipótesis del Ángulo Agudo, no podría sugerir la idea de si un sistema
geométrico consistente podría ser construido bajo esta hipótesis y que el quinto postulado de
Euclides sobre rectas paralelas no pudiera ser demostrado. Ello resulta comprensible puesto que
las técnicas demostrativas y argumentativas del Padre Saccheri sobre la teoría de las paralelas se
desprenden, en su mayor parte, de su obra Logica Demonstrativa [Turín, 1697].
Pero, ¿cuáles son o serían esos resultados, además de los esbozados por el Padre Saccheri, que
se encontrarían si se asume la HAA? ¿En qué se diferencian de la geometría euclídea? Este es
uno de los temas que abordaremos en el siguiente Capítulo II.
63
CAPÍTULO II
UN NUEVO ENFOQUE A LA TEORÍA DE LAS PARALELAS EN LA SEGUNDA
MITAD DEL SIGLO XVIII
“¿Debemos conservar la definición clásica de paralelas y decir que se llaman así dos rectas que situadas en el mismo
plano no se encuentran por mucho que se las prolongue? No, puesto que esta definición es negativa, ya que no es
verificable por la experiencia y no podría, en consecuencia, ser mirada como un dato inmediato de la intuición. No,
sobre todo porque es totalmente extraña a la noción de grupo, a la consideración del movimientos de los cuerpos
sólidos que es la verdadera fuente de la geometría. ¿No valdría más definir primero la traslación rectilínea de una
figura invariable, como un movimiento donde todos los puntos de esa figura tienen trayectoria rectilínea; demostrar
que una traslación parecida es posible haciendo deslizar una escuadra sobre una regla? De esta contestación
experimental, erigida en axioma, sería fácil hacer salir la noción de paralelas y el mismo postulado de Euclides”.
Jules Henri Poincaré (1854 – 1912) [Ciencia y Método. Geometría, II,
p. 106, 1963]
§2.0 INTRODUCCIÓN
El Profesor Bonola (1912) afirma que resulta difícil establecer la influencia que ejerció el
trabajo del Padre Saccheri (1733) en los geómetras del siglo XVIII. Lo que sí puede asegurarse
es que la obra del geómetra Italiano es considerada de enorme importancia en el ulterior
desenvolvimiento de las geometrías no euclidianas. Sus investigaciones aparecen mencionadas
en dos libros de Historia de las Matemáticas: uno de J. C. Heilbronner (1706 – 1745), Leipzig,
1742 y, el otro, de J. E. Montucla (1725 – 1799 ), París, 1758.
Además, este trabajo es cuidadosamente estudiado por el matemático Alemán G. S. Klügel
(1739 – 1812) en su Disertación, Conatum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi
recensio, quam publico examine submittent A. G. Kaestner 52 et auctor respondens G. S. Klügel
(Göttingen, 1763), catalogado por los Historiadores Matemáticos como una obra con un
tratamiento excepcional en el histórico problema de las paralelas, en donde además de analizar
el trabajo del geómetra Italiano, contiene una investigación de algunas de las treinta
demostraciones del quinto postulado de Euclides hasta esa época; Klügel (1763) duda que éste
pueda ser alguna vez demostrado y afirmaba que la certeza que se tenía sobre la verdad del
52
El matemático Alemán, A. G. Kaestner (1719 – 1800) fue profesor de Klügel y fue quien sugirió a este último el
tema de investigación de su Disertación para Doctorarse.
64
postulado euclídeo hasta ese momento, no era el resultado de una serie de deducciones rigurosas
sino más bien de una suma de suposiciones y observaciones experimentales.
La relevancia del trabajo del Padre Saccheri (1733) sería una vez más puesta de manifiesta en
el año 1885 por el también geómetra y matemático Italiano Eugenio Beltrami en una de sus notas
de investigación al que tituló: Un precursore italiano di Legendre e di Lobatschewsky La obra
del Padre Saccheri fue traducida al inglés por G. B. Halsted en 1894 y al alemán por Engel y
Stäkel en 1895.
En este Capítulo II abordaremos las investigaciones de Lambert (1766), Legendre (1794) y
Gauss, entre otros, los cuales asumiendo la HAA llegan a resultados interesantes que difieren en
gran medida de la geometría euclídea.
§2.1 Algunos resultados de las investigaciones de Lambert (1766)
§2.1.1 Magnitudes geométricas absolutas asumiendo la Hipótesis del Ángulo
Agudo
Johann Lambert (1728 – 1777) en su obra Theorie der Parallellinien (1766) cita la obra de G.
S. Klügel. El Profesor Bonola (1912) supone que es probable que el matemático Alemán
conociera las investigaciones del Padre Saccheri (1733).
Su trabajo está dividido en tres partes: en la primera, hace una crítica filosófica a la naturaleza
del postulado. Se plantea dos tipos de preguntas acerca del quinto postulado: si puede ser
demostrado sólo con la ayuda de las proposiciones precedentes (anteriores a la proposición I, 29
de los Elementos como en el método planteado por Saccheri), o si se requiere, la ayuda de otra
hipótesis.
La segunda, está dedicada a la discusión de los diferentes intentos en los cuales el postulado
euclídeo es reducido a simples proposiciones,
las cuales sin embargo, son de la misma
naturaleza compleja del postulado y requieren ser demostradas. La tercera parte, contiene una
65
investigación sobre la teoría de las paralelas parecida al método usado por Saccheri. Citaremos
sus más relevantes resultados en dicho estudio 53.
La figura fundamental de Lambert (1766) es un cuadrilátero con tres ángulos rectos y las
hipótesis son hechas sobre el cuarto ángulo. La primera, es la Hipótesis del Ángulo Recto
(HAR); la segunda, la Hipótesis del Ángulo Obtuso (HAO) y la tercera, la Hipótesis del Ángulo
Agudo (HAA). Bonola (1912) observa que también en el tratamiento de estas hipótesis no se
aparta del método usado por el Padre Saccheri (1733).
La HAR, obviamente es la hipótesis euclídea.
En la HAO Lambert toma dos rectas s y r sobre las cuales traza una perpendicular común de
magnitud finita
perpendicular
; siendo
y
puntos de las rectas r y s, respectivamente. A partir de la
Lambert va construyendo sucesivamente sobre las rectas s y r cuadriláteros
,
con tres ángulos rectos y lados opuestos
y
congruentes entre sí
[ver Figura 2.1].
Lambert demuestra, como lo hizo el
Padre Saccheri en la HAO, que las
magnitudes de los segmentos (lados)
, perpendiculares
a la recta r disminuyen continuamente a
partir del segmento
en determinada
dirección. En el caso particular de los
cuadriláteros
se tiene que:
Figura 2.1
(1)
Partiendo de esta relación (1) Lambert (1766) establece la siguiente desigualdad entre las
magnitudes de los segmentos siguientes:
(2)
53
El trabajo de Lambert (1766) fue publicado como obra póstuma, siendo editado por J. Bernoulli y C. F.
Hinderbug.
66
En la desigualdad (2) por el postulado de Arquímedes si n es tomado suficientemente grande,
el lado derecho de la desigualdad llega a ser tan grande como queramos y esta contradicción
(asumiendo la recta infinita en extensión) conlleva a Lambert (1766) a rechazar la HAO.
Para examinar la Hipótesis del Ángulo Agudo, Lambert de nuevo se basa en los cuadriláteros
y demuestra que las magnitudes de los segmentos
tienen la
siguiente relación:
(3)
La desigualdad (3) no conlleva a ninguna contradicción con resultados que ha obtenido
previamente Lambert y a diferencia de Saccheri, no descarta la HAA. También encuentra que
bajo esta hipótesis la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor que dos ángulos
rectos. Sin embargo, Lambert va más allá del Padre Saccheri y hace notables descubrimientos.
En esta búsqueda, Lambert (1766) encuentra que mientras en la geometría euclídea se da un
significado relativo al cambio de una unidad particular de medida de rectas (magnitudes
geométricas), en la HAA tiene un significado absoluto.
Los Libros V y VI de los Elementos de Euclides (1994) tratan del estudio sobre la teoría de
proporciones y de figuras semejantes, respectivamente. Considerada en su forma primigenia 54,
el proceso de medir dos magnitudes (ángulos, segmentos, áreas, volúmenes) consiste en
54
De hecho, la “forma primigenia” es relacional: determinar si un segmento es mayor, menor o igual a otro, por
ejemplo, y no determinar cuántas veces cabía uno en otro, puesto significa presuponer que siempre cabe una
cantidad exacta (en el sentido de un número natural) de veces. Euclides utiliza algunas categorías básicas que no
define: la congruencia, la igualdad, “mayor o menor que”. En Metafísica, Aristóteles considera que la propiedad de
igualdad hace referencia a la cantidad en el sentido que cosas iguales son aquellas que tienen la misma cantidad. La
congruencia está relacionada al principio de identidad en el sentido del ‘mismo ser’. Para algunos Historiadores en
matemáticas, como el Profesor Gray (1992), la noción de congruencia está estrechamente vinculada a la idea de
“encajar”, “desplazar y superponer”, “ajustar”. De esta forma dos objetos o cosas son congruentes entre sí, si la una
“encaja” perfectamente sobre la otra. Por ejemplo, una interpretación del postulado 4 del Libro I de los Elementos
es que permite establecer la coincidencia por superposición de los ángulos rectos. En este caso se podría pensar que
Euclides postula un tipo particular de movimiento de ángulos pero igualmente lo establece para longitudes, áreas y
volúmenes. No obstante, otros historiadores sostienen que tal interpretación involucra, de alguna manera, procesos
mecánicos que sobre la cualidad física denominada rigidez que supone la invariancia tanto en forma como en
tamaño de un objeto en movimiento y que no tienen un fundamento matemático en los griegos. Por otro lado, el
Libro VI de los Elementos trata de las figuras semejantes y utiliza la teoría de las proporciones del Libro V de los
Elementos. Entre algunas de éstas se encuentra que las figuras rectilíneas semejantes son las que tienen los ángulos
correspondientes ángulos iguales, y proporcionales los lados que forman esos ángulos.
67
compararlas cuantitativamente. La noción de magnitud que presenta Euclides (Libro V de los
Elementos) pretende cubrir cantidades o entidades que pueden ser conmensurables o
inconmensurables entre sí: longitudes, áreas, volúmenes, ángulos. Sin embargo, no hay una
definición de magnitud como tal 55.
En geometría euclidiana, existe una diferencia esencial entre medir ángulos y segmentos 56:
para los ángulos la amplitud es una unidad de medida absoluta porque el ángulo total (cuatro
ángulos rectos o 360°) tiene un tamaño fijo sin importar como se haya trazado pero esta situación
no es la misma con respecto a la magnitud de los segmentos puesto que se puede definir
55
Si bien Euclides no definió el término de magnitud se asume que Euclides mantiene la concepción aristotélica de
magnitud lineal en el sentido que un segmento se puede dividir en segmentos. Uno de los factores predominantes en
la geometría griega (pre euclídea y euclídea) era noción de área: medir superficies, compararlas con otras para
encontrar relaciones simples (la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo, la trisección del ángulo mediante
regla y compás, eran problemas que se planteaban dentro del marco de la geometría euclídea), etc. Una de las
razones fundamentales de la importancia de los Elementos es que se constituye en uno compendio sistemático de
una teoría de la medida establecida en la filosofía aristotélica en dos categorías fundamentales: la separación
ontológica entre el universo numérico griego (los antiguos griegos no manejaban el concepto de número racional en
general como tampoco el de número irracional) y las magnitudes, entre lo aritmético (discreto) y lo geométrico
(continuo), y, por otro lado, la homogeneidad en la unidad de medida en el sentido que las longitudes se miden con
longitudes, ángulos se miden con ángulos, áreas con áreas, etc. En el pensamiento de los primeros pitagóricos la
geometría está íntimamente relacionada con la aritmética. En este sentido, se podría decir que la geometría griega
aporta a la teoría de los números una visión de la intuición y la evidencia (el álgebra geométrica griega no
consideraba magnitudes negativas). La aritmética, por su parte, aporta a la geometría euclídea la aproximación de
los cálculos.
56
Los ángulos y segmentos constituyen entes o elementos que cumplen por separado ciertas condiciones o
propiedades. En cada uno de ellos, considerados como un conjunto, se puede definir (i) una relación de igualdad
entre segmentos y/o entre ángulos. De esta correspondencia entre elementos del mismo conjunto, se puede definir
una (ii) relación de equivalencia entre ellos: las propiedades de identidad, simetría y transitividad. Pero además,
(iii) podemos formar con dos elementos cualesquiera del mismo conjunto, otro elemento (perteneciente al mismo
conjunto) si dotamos a cada uno de estos, con una operación llamada suma ( ). Reiterando la operación se define la
suma de varios sumandos o entes del conjunto. (iv) De la suma de elementos del mismo conjunto, se obtienen
algunas propiedades para la suma de los números: uniforme, conmutativa, asociativa y, podríamos agregar, la
modular o elemento neutro. Admitidas estas proposiciones (de (i) a (iv)) se pueden dar las siguientes definiciones:
todo conjunto cuyos elementos cumplan las condiciones (i) y (ii) le llamamos homogéneo. Si además cumplen las
condiciones (iii) y (iv) diremos que sus elementos definen una magnitud, entendiendo por tal la cualidad común
(conjunto al cual pertenecen) que les hace relacionables y operables (sumables, en este caso). Aquellos elementos
del conjunto que son iguales entre sí, decimos que tienen la misma cantidad de esta magnitud. Es decir, la cantidad
es lo que tienen en común los elementos iguales entre sí, en tanto que la magnitud es el carácter común a todos los
elementos del conjunto. Por ejemplo, la magnitud común a todos los segmentos se llama longitud y la que
caracteriza a los ángulos la denominamos amplitud. En este sentido, la cantidad común a todos los segmentos
iguales entre sí se llama así mismo longitud de cada uno de ellos (en lugar de cantidad de longitud). “De igual forma
se procede para la amplitud” (Puig, 1956, p. 98).
68
arbitrariamente una unidad de medida, como por ejemplo, la longitud de un segmento (medida
relativa) antes de que podamos hacer cualquier medición: la longitud de un segmento
depende de la unidad de medida 57 para las longitudes que previamente hayamos tomado: cm
(centímetro), dm (decímetro), m (metro), km (kilometro), etc.
En este sentido, es claro que en la geometría euclidiana la medida de los segmentos tiene
necesariamente un significado relativo. De hecho, la existencia de figuras semejantes no nos
permite de forma alguna individualizar el tamaño de un segmento en términos de las figuras
fundamentales (rectas, planos, construcciones geométricas o trazados, etc.). Para medir la
amplitud de un ángulo, por el contrario, podemos escoger un método de medida el cual exprese
una de sus propiedades absolutas: es suficiente tomar la proporción adecuada al ángulo de una
revolución completa58 (siendo esta, una de las figuras fundamentales).
Lambert (1766) advierte que bajo la HAA a cada longitud de un segmento podemos asociarle
la amplitud de un ángulo de manera única, es decir, a cada segmento le corresponde una única
figura fundamental (que puede ser fácilmente construida). Lo cual significa que es posible
definir una unidad absoluta de longitud. Ilustremos ello con un ejemplo.
Tomemos un ángulo agudo de 45°. Entonces es posible construir un triángulo equilátero
cuyos ángulos midan en cada vértice 45° (proposiciones I, 1 y I, 23 de los Elementos) y
57
Las leyes de la Física se expresan en función de cantidades fundamentales. Por ejemplo, cantidades Físicas cómo
la fuerza, velocidad, y aceleración pueden describirse analíticamente en función de cantidades básicas que a su vez
se definen en función de mediciones o de la comparación con patrones establecidos. En el estudio de la Mecánica en
Física, las tres cantidades fundamentales son la longitud, la masa de un cuerpo u objeto, y el tiempo. las otras
cantidades físicas en la Mecánica pueden expresarse en función de las cantidades anteriores. Es evidente, que si se
van a medir determinadas cantidades y se va a informar acerca de los resultados de una medición a un observador
que desea reproducir dicha medición, debe definirse un patrón. En el año 1960, un comité internacional estableció
un conjunto de patrones para estas cantidades fundamentales. El sistema recibe el nombre de Sistema Internacional
(SI) de unidades. En este sistema las tres unidades de longitud, masa y tiempo son el metro, el kilogramo y el
segundo, respectivamente.
58
Si en toda magnitud definida por un conjunto que cumpla las condiciones dadas en la N. 56 [(i) a (iv)], podemos
establecer además, entre los elementos del conjunto, una relación de orden, “menor que” (<) o “mayor que” (>), la
cual nos permite derivar algunas propiedades que se cumplen en los números y operar con desigualdades, entonces
la llamamos magnitud escalar Por ejemplo, la longitud de los segmentos y la amplitud de los ángulos son
magnitudes escalares. Ahora, dados dos elementos (del mismo conjunto) y de una magnitud escalar se define la
diferencia
como un elemento que sumado a
da como resultado . Es decir,
Según
postulemos la existencia de dicha diferencia resultan categorías distintas de magnitudes
Si existe
si y sólo
si
la magnitud se llamará absoluta. (b) Si existe
para cualquier y , la magnitud se llamará relativa.
69
podemos asociar a cada magnitud de un lado la amplitud del ángulo correspondiente del
triángulo. En primer lugar, el triángulo equilátero anterior existe asumiendo la HAA puesto que
la suma de los ángulos internos es menor que dos ángulos rectos (135° < 180°) y cualquier otro
triángulo en la Hipótesis del Ángulo Agudo podrá ser congruente al triangulo equilátero dado
pero no semejante, según se desprenden de algunas de las investigaciones de Wallis (1693) y del
Padre Saccheri (1733). De esta manera, hemos encontrado una unidad de medida absoluta que
determina las magnitudes de los segmentos en la HAA. Así que existe una correspondencia uno a
uno entre los segmentos y los ángulos comprendidos bajo ciertos límites 59. Es decir, podemos
establecer un orden para las magnitudes de los segmentos.
En su significado más amplio, la geometría aborda, entre otros objetos de estudio, problemas
de distancias entre puntos, rectas, planos, puntos y rectas, rectas y planos, etc., longitudes,
cálculo de áreas, volúmenes, etc. A fin de hacer estas mediciones hemos de disponer de las
herramientas básicas para realizar dichas actividades, en particular, si son empíricas. Por ello, la
idea de un espacio físico con una unidad de medida absoluta para determinar longitudes no
pareciera reflejar la realidad. Y aunque Lambert (1766) comprendió la naturaleza compleja de
este resultado, no supone con ello que el postulado de las paralelas necesariamente es verdadero
(en la HAO también la longitud de las líneas es absoluta). Entonces, si negamos la existencia de
una unidad absoluta para medir la longitud de las líneas, podemos, junto con Lambert (1766),
descartar la hipótesis del ángulo agudo 60.
Otro resultado notable del trabajo de Lambert (1766) bajo la HAO y HAA, es la siguiente
proposición:
El área de una superficie triangular en la Hipótesis del Ángulo Obtuso es proporcional al
exceso angular: a la suma de los tres ángulos internos de la superficie triangular menos dos
59
Pero la representación numérica de segmentos así obtenida, afirma el Profesor Bonola (1912), no permite efectuar
la propiedad distributiva para la suma de las longitudes de los segmentos. Al tomar la suma de dos segmentos no
podemos obtener la suma de los ángulos correspondientes que los determinan [si asumimos la Hipótesis del Ángulo
Agudo]. Sin embargo, una función de ángulo, que posea esta propiedad, puede ser obtenida, y podemos asociarla
sólo con el segmento y aun así sigue siendo una función de ángulo. Para cada valor del ángulo, entre ciertos límites,
dicha función da una medida absoluta de segmentos.
60
Como Lambert (1766) ha comprendido la naturaleza arbitraria de este resultado, no debe suponerse que Él creyó
de esta manera haber demostrado el quinto postulado de Euclides. Para intentar obtener lo que desea de la
demostración, el matemático Alemán prosigue con su investigación sobre más consecuencias bajo la HAA pero se
encuentra con otras de igual o mayor dificultad.
70
ángulos rectos). Por otro lado, el área de una superficie triangular en la Hipótesis del Ángulo
Agudo es proporcional al defecto angular: a la diferencia entre dos ángulos rectos menos la suma
de los tres ángulos internos de la superficie triangular.
La expresión numérica que corresponde al anterior enunciado considerando una superficie
triangular con ángulos internos ,
y
es:
(i)
en la HAA.
(ii)
en la HAO.
Donde
es una constante positiva que no se puede determinar a priori
En estas dos fórmulas, resultados también conocidos por Gauss, el área de los triángulos
dependen de la longitud de los ángulos de tal forma que a medida que aumenta la longitud de los
lados, disminuyen los ángulos, y por consiguiente aumenta el área, pero esta permanece “siempre
acotada”.
Recordemos que Wallis (1693) intentó demostrar el quinto postulado de Euclides tomando
como hipótesis que podían existir triángulos semejantes de área arbitrariamente grande. La
fórmula del área bajo la Hipótesis del Ángulo Agudo muestra el error de petición de principio
que cometió Wallis. El trabajo de Gauss sólo se conocería posterior a los trabajos de I.
Lobachevsky y J. Bolyai y sobre estos últimos hablaremos en el capitulo siguiente.
Una notable observación que hace Lambert (1766) es que bajo la HAO (expresión (ii)) los
triángulos estarían sobre una superficie esférica porque en ésta la suma de los ángulos internos
de cualquier triángulo esférico es mayor que dos ángulos rectos, y el exceso es proporcional al
área del triángulo esférico (si tomamos y reemplazamos
;
radio de la esfera).
La analogía que la HAO es posible de concebir sobre una superficie esférica se constituye un
importante punto de partida del desarrollo posterior de la Geometría Elíptica (B. Riemann
(1854)) en la cual no existen líneas paralelas. Un hecho, que parece no fue tenido en cuenta por
quienes trabajaron los resultados de asumir la HAO en esta época, es que al igual que la medida
absoluta de los ángulos es lógicamente consecuente con la existencia de un ángulo de tamaño
máximo (el ángulo total), existe también en una superficie esférica una línea de longitud
máxima: el círculo máximo (figura fundamental).
71
§2.1.2 La “esfera de radio imaginario o complejo”
En la Hipótesis del Ángulo Agudo Lambert (1766) advierte que ésta podría ocurrir en el caso
de una esfera de radio un número complejo o imaginario 61.
Si tomamos
obtenemos:
, esfera de radio imaginario 62.
(iii)
La alusión a una esfera de radio complejo o imaginario se debe a que en analogía con una
superficie esférica en la HAO en la que la trigonometría esférica se transforma en la
trigonometría hiperbólica si reemplazamos el radio real
o imaginario
(
de la esfera por un radio complejo
). Aunque Lambert (1766) se está moviendo en un terreno
especulativo, establece la siguiente analogía: así como en una esfera de radio real los triángulos
esféricos tienen un área proporcional al exceso angular correspondiente a la suma de sus tres
ángulos internos menos dos ángulos rectos, y puesto que de la trigonometría hiperbólica se tiene
que el área de un triángulo es proporcional al defecto angular entonces ésta posiblemente es la
trigonometría que corresponde a la esfera de radio imaginario y en consecuencia se obtiene una
posible representación de la HAA.
Lambert en su investigación y analogías en superficies sobre las HAA y HAO donde podrían
ser válidas dichas hipótesis, esbozó y describió resultados que en gran medida diferían de la
geometría euclídea con sus respectivas consecuencias en la concepción un espacio físico no
euclídeo. El Profesor Bonola (1912) sugiere que Lambert desarrolló la primera parte de su
trabajo alrededor del cuadrilátero fundamental del Padre Saccheri (1733) con la diferencia que
61
Los números complejos (a los que se les llamó, en un primer momento, números imaginarios y posteriormente, en
el año1831 Gauss denominó números complejos) habían sido introducidos en el siglo XVI con motivo de la
resolución de la ecuación de tercer grado. Desde ese entonces, habían ido ocupando cada vez mayor lugar en el
álgebra y en otras ramas de las matemáticas, como el de la trigonometría. Ello no obstante, y a falta de una
verdadera justificación y compresión clara de su naturaleza, en un principio, desde el punto de vista lógico, su
empleo era realizado únicamente para necesidades calculistas. Quizás por ello, sostiene Gray (1992), “la idea de una
esfera de radio imaginario era muy poco clara, y la referencia a la geometría de la esfera (HAO) no podría quedar
articulada con propiedad sino hasta mucho más tarde” (Gray, 1992, p. 110).
62
En la esfera de radio imaginario o complejo las “líneas” son de longitud infinita.
72
en el cuadrilátero que Lambert (1766) consideró tiene tres ángulos rectos y un cuarto al que se
pueden adjudicar distintos valores: ángulo obtuso, ángulo recto y ángulo agudo.
A diferencia del Padre Saccheri (1733), Lambert (1766) no llegó a conclusiones dogmáticas
sobre lo absurdo de la existencia de una geometría en donde fuese válida la Hipótesis del Ángulo
Agudo 63. En cuanto a la posible demostración del quinto postulado de Euclides, Lambert (1766)
menciona:
“Se pueden desarrollar demostraciones del postulado euclídeo que dan la impresión
que sólo requieren una pequeña revisión para hacerlas rigurosas. Sin embargo, bajo un
escrutinio más detenido aquello que parecía sencillo de corregir se convierte en el punto
crucial; usualmente allí se esconde la proposición que se quiere demostrar o alguna otra
lógicamente equivalente” (Bonola, 1912, p. 51).
La reflexión que Lambert hizo empezaba a ser compartida en su tiempo por los estudiosos del
problema: no importa cuán rigurosamente se trabaje en la búsqueda de una demostración del
postulado euclídeo sobre rectas paralelas, siempre se llega a que se debe asumir una proposición
o afirmación que no se puede demostrar o a resultados aparentemente absurdos con la
concepción imperante que el espacio necesariamente está descrito por la geometría euclídea. Sin
embargo, Lambert deja a un lado en cierta forma sus prejuicios y va más allá:
“Estoy inclinado a creer que la geometría correspondiente al ángulo agudo es válida
sobre una esfera de radio imaginario. Debe haber una poderosa razón para que no la
podamos descartar sobre el plano, como sí podemos hacerlo fácilmente cuando se trata de
la Hipótesis del Ángulo Obtuso” (Heath, 1956, p. 213).
Las analogías de Lambert (1766) sobre superficies en las HAA e HAO estuvieron
acompañadas de sus reflexiones acerca de la naturaleza del espacio físico. Entre los años 1765 y
63
La HAO fue relativamente fácil de descartar en la medida que en ésta se llegaban a resultados contradictorios con
el postulado arquimediano y la concepción imperante de la longitud infinita de la recta. Posteriormente, B. Riemann
(1854) mostraría en su magna Habilitationsvortrag que estas contradicciones desaparecerían haciendo un profundo
análisis sobre los fundamentos en que se sustentaba la geometría de Euclides y que una geometría bajo la Hipótesis
del Ángulo Obtuso es posible.
73
1770 sostuvo correspondencia de sus investigaciones con Emmanuel Kant 64 (1724 – 1804). Para
Lambert no cabe duda que la naturaleza del espacio está descrita en su forma primigenia por la
geometría euclídea.
§2.2 Algunos resultados de las investigaciones de Legendre (1794): Dos teoremas en
relación a la teoría de las paralelas
Las investigaciones de Adrien Marie Legendre (1753 – 1833) sobre el postulado de las
paralelas de Euclides se encuentran en las diferentes ediciones de su obra Eléments de Géométrie
(1794 – 1823) en donde intentó demostrarlo como un teorema más de geometría y las cuales son
compiladas en sus Reflxions sur différentes maniéres dmonter la theorie des paralléles ou le
thoreme sur la somme des trois angles dur triangle (París, 1833).
Si bien históricamente se considera que Legendre (1794) no conoció el trabajo del Padre
Saccheri (1733) logró establecer resultados obtenidos por el geómetra Italiano, como por
ejemplo, abordó las distintas hipótesis referentes a la suma de los ángulos internos en un
triángulo partiendo de las proposiciones del Libro I de los Elementos que son lógicamente
independientes del quinto postulado de Euclides. Las proposiciones del matemático Francés se
conocen históricamente con el nombre de teoremas de Legendre 65. Uno de los más notables
resultados es el primer teorema de Legendre, denominado también como teorema de Legendre –
Saccheri, establece lo siguiente:
Primer Teorema de Legendre o Teorema de Legendre – Saccheri: La suma de los ángulos
internos en un triángulo es igual o menor que dos ángulos rectos.
64
Fue abundante y prolijo los trabajos de recopilación de ideas acerca de la búsqueda de una demostración del
quinto postulado de Euclides, la hecha, por ejemplo, por Klügel en el año1763 para Doctorarse en la Universidad de
Göttingen, o también, de los trabajos de Lambert (1766) en la Universidad Alemana, corresponsal de Kant y quien
antes de que éste concibiera su filosofía crítica, Lambert (1766) ya había pensado y escrito en profundidad sobre el
postulado euclídeo de rectas paralelas.
65
Las investigaciones de Legendre aparecieron en diferentes ediciones de su libro Eléments de Géométrie entre los
años 1794 y 1823.
74
Al igual que el Padre Saccheri (1733), descarta la Hipótesis del Ángulo Obtuso de la siguiente
forma. Ilustramos sus argumentos:
Consideremos dos rectas s y r en las que construimos: en la recta s un número n de segmentos
congruentes entre sí y, de igual forma, en la recta r, un igual número de
congruentes entre sí. A partir de los puntos extremos del
segmentos
segmento
, trazamos el segmento
segmento
.
Legendre construye el triángulo
siendo
un punto extremo del
y lo hace congruente con los triángulos consecutivos
(sobre la misma recta r)
[ver Figura 2.2].
De igual forma, los triángulos (sobre la recta s)
, son congruentes
entre sí.
Figura 2.2
En la Hipótesis del Ángulo Recto la suma de los ángulos internos
y
del triángulo
es:
Por otro lado, si negamos el quinto postulado de Euclides no podemos afirmar que los ángulos
y
sean congruentes entre sí. Supongamos entonces que son desiguales y que
ello, Legendre asume la Hipótesis del Ángulo Obtuso:
75
; y con
Entonces, al igual que el Padre Saccheri y Lambert (1766), el geómetra Francés establece que
el lado
; por la proposición I, 18 de los Elementos que afirma: “En todo triángulo
el lado mayor subtiende al ángulo mayor” (Euclides, 1991, p. 223).
Por consiguiente, si asumimos la propiedad distributiva para la suma finita de longitudes de
segmentos, se obtiene que:
(i)
(ii)
, y en consecuencia:
(iii)
Para n entero positivo suficientemente grande, siendo la longitud del segmento
fijo, esta
desigualdad contradice el postulado de Arquímedes. Es decir, la magnitud del segmento
puede ser mayor que la magnitud del segmento
ángulos
no
y, por consiguiente, la hipótesis que los
conduce a una contradicción con el postulado de Arquímedes.
De lo anterior se desprende que los ángulos
y con ello que
. Y a partir de
este resultado se sigue que la suma de los ángulos internos en un triángulo arbitrario debe ser
menor o igual que dos ángulos rectos, es decir, sólo las HAA e HAR, son lógicamente posibles.
Durante la prueba para descartar la HAO, Legendre (1794) asume que las rectas son infinitas en
extensión 66 como también que los triángulos consecutivos
, sobre la
recta s son congruentes entre sí y no semejantes.
Resalta la importancia en las investigaciones precedentes, a saber, las del Padre Saccheri
(1733), Lambert (1766) y Legendre (1794) que para descartar la Hipótesis del Ángulo Obtuso
dos propiedades resultan fundamentales sobre la recta en el contexto euclídeo: que la recta es
infinita en extensión (líneas abiertas) y el postulado de Arquímedes. Entonces una pregunta
necesaria y pertinente sería la siguiente: ¿Es posible demostrar que la suma de los ángulos
internos en un triángulo es mayor que dos ángulos rectos sin asumir el postulado de Arquímedes
66
Como veremos en el Capítulo IV, en la Disertación de B. Riemann, Sobre las Hipótesis que sirven de
fundamento a la Geometría (1854), el postulado de Arquímedes que no es válido y por tanto la HAO no conduce a
ninguna contradicción.
76
y se mantenga como hipótesis (postulado) que la recta es infinita en extensión? En otras palabras,
¿es necesario el postulado de Arquímedes para descartar la HAO? De hecho, en primer lugar
tendríamos que demostrar o asumir de manera categórica que la suma de los ángulos internos en
un triángulo en la HAR es exactamente igual a dos ángulos rectos, es decir, a 180°. Si es menor
o mayor a dicha cantidad angular, incluso puede diferir en minutos o segundos en grados
sexagesimales, debemos considerar la HAA o la HAO, respectivamente 67.
Históricamente se ubica a partir del año 1880 algunos de los más relevantes estudios sobre el
significado del postulado de Arquímedes en la Geometría. Entre ellos se destacan los de M.
Pasch, Vorlesungen Über neuere Geometrie (Leipzig, 1882), Guiseppe Veronese, Fondamenti di
geometria a più dimensione e a più unità rettilinee esposti in forma elementare (Padua, 1891),
también conocido como Fondamenti di Geometría, y el de Max Dehn (1900) sobre el cual el
Profesor Bonola (1912) resalta su importancia.
Dehn, en su Memoria publicada como obra póstuma, Die Legendreschen Sätlze Über die
Winkelsumme im Dreick (1900) demostraría que es posible construir una Geometría No –
Arquimediana en la cual la recta es infinita en extensión y la suma de los ángulos internos en un
triángulo es mayor que dos ángulos rectos. De esta forma, afirma el Profesor Bonola (1912), la
HAO es compatible con la hipótesis que la recta es infinita en extensión en el sentido de un
Sistema Geométrico No – Arquimediano y al cual Dehn (1900) denominó Non – Legendrean
Geometry o, también como Non – Legendrian plane.
La proposición I, 32 de los Elementos establece, entre uno de sus resultados, que en todo
triángulo, si se prolonga uno de los lados, la amplitud el ángulo externo es igual a la suma de los
dos ángulos internos del triángulo que son opuestos al ángulo externo. Como un corolario del
primer teorema de Legendre o teorema de Saccheri – Legendre se desprende la proposición
siguiente: en cualquier triángulo, la suma de dos ángulos internos es menor o igual que la
67
Esta interesante hipótesis, sobre la exactitud en la medida de los ángulos internos en un triángulo rectilíneo y en el
valor (cantidad angular) de la suma de ellos (mayor, igual o menor a dos ángulos rectos), conllevó, entre otras
circunstancias, a revisar el problema de las mediciones en torno a los fundamentos empíricos de la Geometría
durante el transcurso del siglo XIX.
77
amplitud del ángulo externo opuesto a los dos ángulos dados. Para sustentar rigurosamente el
término en cualquier triángulo es menester hacer uso del segundo teorema de Legendre.
En el segundo teorema de Legendre, resultado obtenido también por el Padre Saccheri en sus
investigaciones, el geómetra Francés reúne en el siguiente enunciado una consecuencia de
asumir la Hipótesis del Ángulo Agudo o la Hipótesis del Ángulo Recto:
Segundo Teorema de Legendre: Si la suma de los ángulos internos en un triángulo es igual o
menor que dos ángulos rectos entonces en cualquier triángulo la suma de los ángulos internos es
menor o igual que dos ángulos rectos.
Legendre (1766) considera que la única hipótesis válida es la HAR y, por consiguiente, intenta
descartar la HAA. Ilustramos sus argumentos.
Consideremos un triángulo
internos
,
y
con ángulos
tal que la suma de ellos es
.
En el lado
el
tomemos un punto
construimos
lado
congruente con el ángulo
segmento
lado
el
ángulo
y trazamos el
, que forma un ángulo
y en donde
y sobre
con el
es un punto del lado
[ver Figura 2.3].
Por otro lado, en el cuadrilátero
la
suma de los ángulos internos debe ser:
Figura 2.3
siendo los ángulos
y
congruentes entre sí (por construcción), se obtiene que los ángulos
. Entonces el ángulo interno
del triángulo
podría ser completamente definido
como una función (decreciente) que depende de la longitud del lado
78
, en otros términos, si
mantenemos los dos ángulos
y
fijos es posible determinar la longitud del lado
conocemos la amplitud angular (en ángulos rectos) del ángulo
si
.
Este resultado, conocido también por Lambert (1766), conlleva a excluir en la HAA el criterio
de semejanza entre triángulos rectilíneos que se da en la HAR y a definir una unidad absoluta de
longitud. En efecto, en la Hipótesis del Ángulo Recto los triángulos
puesto que los dos ángulos
los ángulos
y
y
son semejantes
y , del primer triángulo, son congruentes, respectivamente, con
del segundo triángulo. De hecho, bajo esta hipótesis, los ángulos
y
son
congruentes entre sí. Entonces se puede inferir que en la Hipótesis del Ángulo Agudo dos
triángulos semejantes son congruentes entre sí.
En la HAA no existen triángulos semejantes en el sentido euclídeo y, en consecuencia, los
triángulos
y
no son semejantes, lo cual presupone que es posible definir una unidad de
magnitud absoluta para medir los segmentos. De esta forma Legendre descarta la HAA y, por
consiguiente, la suma de los ángulos internos en el triángulo
y en cualquier triangulo debe
ser igual a dos ángulos rectos.
En otra demostración para descartar la HAA el geómetra Francés asume la siguiente
afirmación la cual llamaré hipótesis de Legendre:
“A partir de cualquier punto tomado en el interior de un ángulo podemos trazar una recta
transversal que interseca los dos lados que forman el ángulo” (Tomado de Bonola, 1912,
p. 58).
Ilustramos a continuación algunos de sus argumentos.
Consideremos un triángulo
y
con ángulos internos ,
son ángulos agudos. Entonces por el primer teorema de Legendre o teorema de Saccheri –
Legendre se tiene que la suma de los ángulos ,
Definimos el defecto angular
El defecto angular
y
es menor o igual que dos ángulos rectos.
como la diferencia entre la suma de dos ángulos rectos menos la
suma de los ángulos internos del triángulo
donde
y . Supongamos que los ángulos
.
con respecto al triángulo
es:
.
79
En la HAR asumimos, según se desprende de las investigaciones de Lambert (1766), que tanto
el defecto angular como el exceso angular en cualquier triángulo es cero. Es decir, si la suma de
los ángulos internos en un triángulo en igual a dos ángulos rectos entonces en cualquier triángulo
la suma de los ángulos internos es igual a dos ángulos rectos Sin embargo, es posible demostrar
que si existe un triángulo con defecto o exceso angular diferente de cero entonces en cualquier
triángulo el defecto angular o exceso angular es distinto de cero. Se deja a discusión si existe o
no tal triángulo, lo que interesa es examinar algunas de las posibles consecuencias en el caso
hipotético de que exista y una de ellas es la propiedad aditiva del defecto o exceso angular cómo
veremos más adelante.
A continuación, sobre el lado
ángulo
el lado
y en el punto
construimos el ángulo
congruente con el
[por la proposición I, 23 de los Elementos] y trazamos el segmento
. Por el punto
trazamos el segmento
congruente con
. Los triángulos
y
son
congruentes entre sí (¿Por qué?).
Prolonguemos en línea recta [postulado 2 del Libro I de los Elementos] los lados
triángulo
y
de tal forma que definen las rectas r y s, respectivamente. El punto
interior [por construcción] del ángulo
que pasa por el punto
del
es punto
entonces por la hipótesis de Legendre existe una recta l
e interseca a las rectas r y s. Denotemos por
y
los puntos de
intersección de la recta l con las rectas r y s, respectivamente 68 [ver Figura 2.4].
68
Un paso riguroso que deberíamos demostrar, pero que omitimos, es el siguiente: si bien los puntos ,
colineales (se encuentran en la recta s), el punto
no se encuentra en el lado
del triángulo
y
son
como también
los puntos , y
son colineales (se encuentran en la recta r) y el punto
no es un punto del lado
en el
triángulo
como se muestra en la Figura 2.4. No obstante, se puede sustentar rigurosamente que es posible
trazar una recta l por el punto
de tal forma que cumple con la propiedad descrita en los argumentos que
presentamos en esta prueba [véase Greenberg, 1994, p. 157 – 158].
80
Figura 2.4
Por construcción, el defecto angular en el triángulo
es también:
Entonces:
(i) La suma de los ángulos internos en el triángulo
(ii) La suma de los ángulos internos en el triángulo
es:
es:
(iii) La suma de los ángulos internos en el triángulo
es:
(iv) La suma de los ángulos internos en el triángulo
es:
El triangulo
está compuesto por los triángulos
posible demostrar que en el triángulo
–
,
,
, y
. Es
el defecto angular es igual a la suma de los
defectos angulares (propiedad aditiva del defecto angular) de los triángulos que le componen
[véase Greenberg, 1994, p. 130]. Entonces en el triángulo
la suma de los ángulos
internos es:
Si de nuevo efectuamos sobre las rectas s y r esta construcción (de un triángulo
tendría un triángulo
cuyo defecto angular sería
81
) se
. Y Si repetimos n – veces este
proceso de construcción de un triángulo
internos ,
y
llegaremos a un triángulo
de ángulos
en el cual el defecto angular viene dado por la siguiente relación:
Sin embargo, para n entero positivo suficientemente grande, tendríamos un triángulo en la
HAA cuyo defecto angular es mayor que
lo cual evidentemente es una contradicción.
También podría verse de la siguiente manera: por la propiedad Arquimediana, para un entero
positivo n suficientemente grande la expresión anterior es equivalente, en la HAA, a:
y por consiguiente tendríamos un triángulo
cuya suma de los ángulos internos ,
y
es una cantidad angular negativa, lo cual es un absurdo. Esto significa que la Hipótesis del
Ángulo Agudo conlleva a una contradicción y, por consiguiente, la única hipótesis posible es la
Hipótesis del Ángulo Recto.
Lo interesante de esta prueba de Legendre (1794) es que no contradice el postulado de
Arquímedes: ¿Dónde radica entonces el sutil error argumentativo? En la demostración anterior se
asume implícitamente el quinto postulado de Euclides en uno de sus enunciados lógicamente
equivalente y que demostraremos más adelante.
En efecto, si la demostración de Legendre (1794) fuese rigurosamente correcta habría
demostrado que la suma de los ángulos internos en un triángulo es igual a dos ángulos rectos y,
por consiguiente, el quinto postulado de Euclides (¿Por qué?). Y en consecuencia, solo la HAR
es verdadera. Pero retomemos de la prueba anterior en donde radica la falacia argumentativa.
Los triángulos
y
son congruentes entre sí en la HAA. Por construcción, el ángulo
es congruente con el ángulo agudo (por hipótesis) . El punto
s y r que son la prolongación de los lados
y
es que existe una recta l que pasa por el punto
línea recta el lado
es no colineal con las rectas
, respectivamente. La hipótesis de Legendre
e interseca a las rectas s y r. Prolonguemos en
y denotemos por m dicha recta [ver Figura 2.5].
82
Figura 2.5
En la HAR las rectas m y r son paralelas entre sí (¿Por qué?) y de hecho m es la única recta
paralela a la recta r que puede ser trazada por el punto
Por el punto
tracemos el segmento
que es no colineal a la recta r.
perpendicular a la recta r. En la HAA según se
desprende de algunas de las investigaciones precedentes del Padre Saccheri, de ser verdadera
esta hipótesis, existe una recta asintótica a la recta r, que pasa por el punto
particular, de un lado de
: el haz de rectas que emergen del punto
recta r del haz de rectas que emergen del punto
y que separa, en
y que intersecan a la
que no intersecan a la recta r y tienen una
perpendicular común con esta última recta 69. En la HAR, si m y r son rectas paralelas entre sí el
segmento
es perpendicular a ambas rectas.
Al suponer Legendre (1766) que siempre es posible trazar por el punto
interseca (de un lado con respecto a
una recta l que
) a la rectas s o r debemos ser cuidadosos en no suponer
la existencia de una única recta paralela m a la recta s o r la cual es trazada por un punto
no
colineal con la recta s o r puesto que esta afirmación es lógicamente equivalente al quinto
postulado de Euclides.
69
Ni el Profesor Bonola (1912), ni el Profesor Gray (1992) dan a conocer, en sus respectivos trabajos, si Legendre
conoció o no la obra del Padre Saccheri (1733) o de los autores que he presentado y le precedieron. Se supone que
Legendre no estuvo familiarizado con la obra del geómetra Italiano, de hecho, el Profesor Greenberg (1994) así lo
afirma. Pero sin duda, algunos de los resultados de las investigaciones del Padre Saccheri (1733) en torno a la HAA
son de suma importancia para no incurrir en una de tantas posible falacias o errores de petición de principio que se
cometieron al intentar buscar una prueba del postulado euclídeo de rectas paralelas.
83
Los intentos de Legendre (1766) para lograr conseguir una demostración del quinto postulado
de Euclides son admirables: durante más de 29 años y 12 ediciones de su libro de geometría
Eléments de Géométrie (1794 – 1823) estuvo presentando demostraciones cada vez más
rigurosas y profundas sobre la naturaleza del mismo pero sin llegar a su objetivo. Riemann
(1854) lo consideraría entre uno de los más importantes reformadores de la Geometría en el siglo
XIX.
§2.3 Algunas proposiciones lógicamente equivalentes al quinto postulado de Euclides
Resulta pertinente en nuestro análisis citar algunas de las más destacadas proposiciones que en
forma de axiomas o teoremas que son lógicamente equivalentes al quinto postulado de Euclides
y que de época en época, desde tiempos de Euclides hasta el siglo XIX, fueron formalmente
sugeridas o implícitamente asumidas:
(i) “Por un punto exterior a una recta dada puede ser trazada una y sólo una paralela a
dicha recta, o, dos rectas que se intersecan entre sí no pueden ser ambas paralelas a una
misma recta” (Heath, 1956, p. 220).
Esta es conocida como el axioma de J. Playfair (1795) y fue popularizado en el siglo XVIII.
Pero Proclo (1970) la expresa en sus comentarios con respecto a la proposición I, 31 de los
Elementos; también es atribuida a Ptolomeo.
(ii) “Si una recta interseca a una de dos paralelas, interseca también a la otra; y dos rectas
paralelas guardan entre sí una distancia finita” ambas atribuidas a Proclo y citadas en
Heath (1956). Nótese que si bien en esta proposición Proclo (1970) supone una distancia
finita entre dos rectas paralelas no asume que sean equidistantes.
(iii) “Existen rectas que prolongadas indefinidamente son equidistantes entre sí”
(Posidonio; Giordano Vitale (1680).
(iv) “Existe un triángulo en el cual la suma de los ángulos internos es igual a dos ángulos
rectos [resultado cuya relación con la teoría de las paralelas era conocida en tiempos de
Aristóteles]; sobre una recta finita (segmento) es posible construir un triángulo de lados
84
de magnitud arbitraria y semejante a un triángulo dado (J. Wallis (1633), A. M. Legendre
(1824)); existen dos triángulos no congruentes entre sí tal que los ángulos internos del
uno son congruentes con los ángulos internos del otro” (Saccheri, 1733) (citado por
María Luisa Puertas en Euclides, 1991, p. 199, nota 17).
(v) “En todo cuadrilátero que tenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también
es un ángulo recto (A. C. Clairaut (1741), J. H Lambert 1766) (citado por María
Luisa Puertas en Euclides 1991).
(vi) “Se puede construir un triángulo cuya área es mayor que cualquier área finita de un
triángulo dado” (K. F. Gauss (1799) (citada por María Luisa Puertas en Euclides (1991).
(vii) “Por tres puntos no colineales siempre pasa un círculo” (Bolyai, Wolfgang (1775 –
1856) (citada por (Bonola, 1912, p. 61).
§2.4 Una demostración de la equivalencia lógica entre el axioma de Playfair (1795) y el
quinto postulado de Euclides
La formulación dada por John Playfair en 1795 fue la que más se adoptó como proposición
lógicamente equivalente del postulado quinto de Euclides durante finales del siglo XVIII hasta
nuestra época. Conviene una vez más traerla aquí: Por un punto exterior (no colineal) a una recta
dada se puede trazar una y sólo una recta paralela a dicha recta.
Demostremos que el axioma de Playfair (1795) y el quinto postulado de Euclides son
lógicamente equivalentes.

En primer lugar, establezcamos que el axioma de Playfair implica el quinto postulado de
Euclides.
Consideremos los puntos
segmento
por el punto
. Sea
en las rectas r y s, respectivamente, y tracemos por ellos el
el ángulo que forma de un lado dicho segmento con la recta r. Tracemos
una recta l y denotemos por
la recta l con la transversal
y
y
el ángulo que forma (del mismo lado del ángulo )
[ver Figura 2.6]. Supongamos que la suma de los ángulos internos
es menor que dos ángulos rectos.
85
Por demostrar que las rectas l y r se
intersecan entre sí del lado en el cual la
suma de los ángulos
y
es menor que
dos ángulos rectos.
Supongamos que la recta s es paralela a
la recta r. Entonces, por el axioma de
Playfair la recta s es la única recta que
puede ser trazada por el punto
y es
Figura 2.6
paralela a la recta r.
Se sigue que:
(i) La recta l debe intersecar a la recta r. Porque si no es así, los ángulos
y
son congruentes
entre sí y, en consecuencia, por la proposición I, 28 de los Elementos, las rectas l y r serían
paralelas entre sí y, por tanto, las rectas s y l son la misma recta (son coincidentes). Asumimos
entonces que las rectas s y l son distintas y, por consiguiente, las rectas l y r se intersecan entre
sí.
(ii) Si las rectas l y r son secantes entre sí entonces deben formar un triángulo con
. Pero en
cualquier triángulo, por la proposición I, 17 de los Elementos, la suma de dos ángulos internos es
menor que dos ángulos rectos. Entonces las rectas l y r se intersecan entre sí del lado en el cual la
suma de los ángulos

y
es menor que dos ángulos rectos. Q. E. D.■
Demostremos a continuación que el quinto postulado de Euclides implica el axioma de
Playfair.
Y para ello vamos a considerar el quinto postulado de Euclides en una de sus formas
lógicamente equivalentes que es la hipótesis de Wallis en la que se establece la existencia de
triángulos rectilíneos semejantes de tamaño arbitrario y a partir del cual se demuestra, dentro de
este resultado, el axioma de Playfair.
Dado un punto
no colineal con una recta r tracemos por él una recta s paralela a la recta r
[proposición I, 31 de los Elementos]. A partir del punto
trácese el segmento
a las rectas s y r [proposición I, 12 de los Elementos]; siendo
86
perpendicular
un punto en la recta r.
Por el punto
trácese la recta l que
forma un ángulo agudo
segmento
con el
. Tomemos un punto
del
segmento
, distinto de los puntos
extremos
y , y tracemos el segmento
perpendicular al segmento
siendo
;
un punto en la recta l.
Consideremos el triángulo rectángulo
con un ángulo agudo
recto
y ángulo
Figura 2.7
[ver Figura 2.7].
Entonces por la hipótesis de Wallis existe un triángulo rectángulo
rectángulo
tal que uno de sus lados sea
semejante al triángulo
y al menos uno de sus ángulos internos es
congruente con el ángulo agudo .
Sin pérdida de generalidad podemos considerar solo el semiplano que forman las rectas s y r
del lado en el cual el triángulo rectángulo
con el segmento
Esto significa, en particular, que existe un punto
ha sido construido.
en la recta l (puesto que todo ángulo
congruente consigo mismo) tal que los triángulos rectángulos
Ahora, el punto
y
rectángulos
los puntos
rectángulo
no puede coincidir con el punto
y
y
del triangulo rectángulo
De aquí que las rectas l y r se intersecan entre sí en un punto
trazada por un punto
por hipótesis. Por otro lado,
que forman los lados
es congruente con el ángulo recto
son semejantes.
puesto que de ser así los triángulos
serían congruentes entre sí pero
son colineales y el ángulo
que pasa por un punto
y
es
del triángulo
.
y siendo l una recta arbitraria
entonces la recta s es la única recta paralela a la recta r que puede ser
no colineal con esta última. Q.E.D. ■
Podemos entonces formular las siguientes proposiciones en forma de axiomas:
(a) Por un punto no colineal a una recta dada no pasa ninguna recta paralela a dicha recta. Es
decir, todas las rectas que pasan por un punto no colineal a una recta intersecan la recta dada. La
cual es consecuencia, como se verá más delante, de adoptar la HAO.
87
(b) Por un punto no colineal a una recta dada pasan al menos dos rectas paralelas que separan las
infinitas rectas no secantes de las infinitas secantes con la recta dada. Que es la que se aborda en
el trabajo de Gauss como consecuencia de adoptar la HAA.
ALGUNOS RESULTADOS EN LAS INVESTIGACIONES DE LA TEORÍA DE LAS
PARALELAS A PRINCIPIOS DEL SIGLO XIX 70
70
Continuando con algunas de las más importantes investigaciones que aportaron en el desarrollo de la geometría
[véase N. 36] encontramos:
La geometría en perspectiva fue otra evolución en el dominio de la geometría que se originó en el siglo XVIII: la
intervención de las transformaciones geométricas que darían origen en el siglo siguiente al nacimiento de
geometrías modernas. El primer autor a quien se le considera comprendió el papel importante que podía representar
en geometría la perspectiva considerada cómo proyección fue Gérard Desargues, el cual sentó en su Brouillon
Project del año1639 los fundamentos de la geometría proyectiva de las cónicas. En el siglo XVIII varios
matemáticos se interesaron por los principios de la perspectiva. Entre algunos, J. H. Lambert. Sin embargo, sólo en
el siglo XIX entraría la perspectiva en el dominio de la geometría dando origen al nacimiento de la geometría
proyectiva; esta renovación se considera consecuencia directa del esfuerzo emprendido por Gaspard Monge (1746 –
1818) para vivificar las distintas ramas de la geometría y, en particular, de difundir los métodos de la geometría
descriptiva. La geometría descriptiva se considera no fue propiamente una creación de Monge. Sin embargo, se le
atribuye ser el primero en fundamentar los principios de esta técnica, desarrollar sus métodos y señalar todas las
fecundas aplicaciones de la misma, tanto en el terreno de las técnicas cuanto en el de la geometría pura e incluso de
la geometría infinitesimal, de esta última hablaremos a continuación. La geometría descriptiva era sólo un aspecto
de la teoría de las proyecciones.
Por otro lado, el surgimiento de la geometría infinitesimal se considera una consecuencia directa de la fundación
del análisis, del cual es una aplicación. Sir Isaac Newton (1642 – 1727) y Gottfried Wilhem Leibniz (1646 – 1716),
históricamente fundadores del Cálculo, de forma independiente y por distintos caminos, se interesaron de cierta
forma por las aplicaciones geométricas del análisis. Se destacan grandes resultados como la determinación de radios
de curvatura, de puntos de inflexión, trayectorias ortogonales de ciertas familias de curvas, líneas geodésicas de
ciertas superficies. Euler, por ejemplo, en el año 1728 abordó el estudio de líneas geodésicas, curvas de las que
precisó su significación mecánica. También, Monge aportaría resultados de importancia y ampliaría los métodos de
estudio en este terreno entre los años 1777 a 1801. En un primer trabajo (publicado en el año1785) presenta un
estudio de conjunto de las propiedades generales de curvas en el espacio: superficies de rectificación, curvaturas,
torsión, etc. Además estudió distintas familias de superficies en relación con sus ecuaciones en derivadas parciales:
primer orden (cilindros, conos, etc.), segundo orden (superficies). Gracias a los nuevos resultados y métodos que
introdujo y al impulso que supo dar a las investigaciones en este terreno, Gaspard Monge logró renovar enteramente
el contenido de la geometría infinitesimal.
88
§2.5 Algunas reflexiones epistemológicas sobre el quinto postulado de Euclides y la
concepción del espacio físico (espacio) por Newton (1686), Leibniz, Kant (1783), Clairaut
(1741), Laplace (1824) y Gauss
Hacia finales del siglo XVIII la filosofía imperante sobre el espacio 71 provenía del gran
Matemático y Físico Inglés, Sir. Isaac Newton (1642 – 1727) y del Filósofo Alemán, Emmanuel
Kant (1724 – 1804).
Newton en su obra Magna, Philosophiae naturalis principia mathematica (1686) [Principios
Matemáticos de Filosofía Natural] presenta algunas referencias en relación a la concepción del
espacio y el tiempo:
“Conviene distinguir el tiempo, el espacio, el lugar y el movimiento en absolutos y
relativos, verdaderos y aparentes, matemáticos y prosaicos (…). El espacio absoluto, sin
relación a cosas externas, permanece por su naturaleza siempre similar e inmóvil. El
espacio relativo es esa medida o dimensión móvil del espacio absoluto, la cual cae bajo
nuestros sentidos por su relación a los cuerpos y que el vulgo confunde con el espacio
inmóvil (…)” [Historia general de las Ciencias, vol. II, 1972].
Para Newton el espacio absoluto 72, por su naturaleza misma, queda siempre semejante e
inmutable y coincide con el descrito en los Elementos para los cuerpos prácticamente rígidos.
71
La Física Clásica, que equivale a la toda la Física desarrollada hasta las postrimerías del siglo XIX, incluye las
teorías, conceptos, leyes y experimentos de la Mecánica Clásica, la Termodinámica y el Electromagnetismo. En
este sentido las investigaciones de Galileo Galilei (1564 – 1642) y Johannes Kepler (1571 – 1630) hicieron grandes
contribuciones sobre la descripción del movimiento de cuerpos pequeños en el plano cómo del movimiento de
cuerpos planetarios. Las contribuciones más importantes a la mecánica clásica fueron aportadas por Sir. Isaac
Newton quien la desarrolló de forma sistemática y matemáticamente de un modo elegante. A pesar qué los
principales desarrollos en la física clásica continuaron en el siglo XVIII, el estudio de la Termodinámica, la
Electricidad y el Electromagnetismo no tuvieron grandes progresos sino hasta las últimas décadas del siglo XIX,
debido principalmente a que los instrumentos de medición para tales campos del conocimiento eran burdos o ni
siquiera existían.
72
Para Einstein (1978): “El espacio absoluto, verdadero y matemático, en sí mismo y por su propia naturaleza,
permanece siempre similar e inmovible, sin relación alguna con nada externo” [Einstein, Albert y otros. La teoría de
la relatividad. Madrid: Alianza Editorial, 1978]. Einstein (1916) ha demostrado que la geometría del espacio está
determinada por la distribución de masa en el mismo.
89
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716), al igual que Newton, un connotado Matemático y
Físico Alemán, concibió el espacio como algo relativo:
“(…) Pues es el espacio marca en términos de posibilidad un orden de las cosas que
existen al mismo tiempo, en cuanto que existen juntas sin entrar en sus maneras
particulares de existir (…) El espacio es algo uniforme absolutamente, y sin las cosas en
él colocadas, un punto del espacio no difiere absolutamente en nada de otro punto del
espacio (…)” [Historia general de las Ciencias, vol. II, 1972].
Por otro lado, la concepción epistemológica de Kant sobre el espacio es puesta de manifiesto
en su obra Crítica de la razón pura (1783). Para el Filósofo Alemán 73: “(…) la geometría
euclídea es verdadera, desde el punto de vista experimental en cuanto modelo perfecto del
espacio físico, el cual considera inherente a la estructura de nuestro pensamiento y, desde el
punto vista racional, en cuanto geometría única y lógicamente consistente” (Campos, 1993, p.
15).
Uno de los resultados que se desprenden de las investigaciones precedentes, en particular, del
geómetra Árabe Nassr – Eddn (1594) y, posteriormente, del Padre Saccheri (1733) y Lambert
(1766) es que sería suficiente asumir la existencia de un rectángulo de lados de magnitud
arbitraria para establecer rigurosamente el quinto postulado de Euclides.
Es en este sentido, se podría decir, que Alexis Claude Clairaut (1713 – 1765), geómetra
Francés, en su obra Élments de gometrie (1741) tomó como una proposición lógicamente
equivalente al quinto postulado de Euclides el axioma siguiente, hipótesis de Clairaut: los
rectángulos existen.
No vamos abordar la prueba de Clairaut (véase Greenberg, 1994, p. 156) sino que presentamos
algunas de las ideas en torno a las cuales el geómetra Francés concibe tal axioma.
Al parecer Clairaut (1741) fue llevado a pensar, entre otras posturas, en partir de la existencia
de rectángulos no sólo desde el punto de vista geométrico sino también desde la observación
experimental de formas rectangulares en ciertas construcciones, por ejemplo, en casas, cuartos,
73
Para una mayor ampliación de la concepción sobre el espacio en Kant véase el Trabajo de Grado o Tesis del
Profesor Valencia (2005).
90
paredes, jardines, etc. Entonces la pregunta de si empíricamente es posible construir un
rectángulo conlleva a reflexionar sobre los fundamentos empíricos de la Geometría, tema que
abordaré con más profundidad en el Cap. IV en el análisis de la Habilitationsvortrag (1854) de
Riemann y que por el momento resulta pertinente esbozar sólo algunas ideas.
Si tomamos en cuenta que la búsqueda de una demostración del quinto postulado de Euclides
se convirtió en uno de los más profundos e importantes problemas geométricos a resolver por
parte de algunos de los más connotados y destacados Matemáticos, Físicos, Filósofos y
Astrónomos desde tiempos de Euclides, surgió entonces la necesidad de plantearse, por parte de
algunos de ellos, la pregunta de si la geometría euclídea en realidad describía, como se suponía,
en forma primigenia el espacio.
Por los resultados presentados por Lambert (1766) y Legendre (1794) en torno a la idea de
establecer una unidad de magnitud absoluta para medir la longitud de las líneas que se desprende
como una consecuencia de asumir la HAA y que en la HAO se llegue a una contradicción con
una propiedad geométrica tan importante como es el postulado de Arquímedes, ambas hipótesis
parecían geométricamente insostenibles. Pero rigurosamente, la HAR no pudo ser establecida
por ninguno de los autores en las investigaciones que hemos presentado hasta el momento.
Entonces, ¿Si asumimos la hipótesis de Clairaut desde el punto de vista empírico, es decir, si
suponemos que es posible construir un rectángulo en la superficie terrestre entonces tendríamos
que asumir a priori una geometría euclídea del espacio? Porque si suponemos que es posible
construir un rectángulo o triángulo en la HAR y medir ángulos, longitudes, distancias, áreas,
volúmenes empíricamente sobre una superficie, que asumimos es plana, entonces los datos que
se desprenden de las observaciones experimentales en la Física y la Astronomía de los
fenómenos físicos, movimiento de los cuerpos pequeños y celestes, son de suma importancia
para describir y corroborar la naturaleza del espacio físico astronómico. Pero esto sólo sería
experimentalmente posible a comienzos del siglo XX.
Otra postura interesante en relación a la teoría de las paralelas es el criterio de semejanza entre
triángulos, que Wallis (1693) asumió como un axioma y, según comenta el Profesor Bonola
(1912), aparece de nuevo a principios del siglo XIX entre algunos célebres matemáticos, entre
ellos, por el Astrónomo, Matemático y Físico Francés, Pierre Simón Laplace (1749 – 1824) el
91
cual hace unas interesantes reflexiones sobre la ley de la gravitación universal de Newton y el
quinto postulado de Euclides las cuales son recopiladas en sus Oeuvres (1824).
La ley de la gravitación de Newton establece que toda partícula en el Universo atrae a otra
partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Si las partículas tienen masas
y
y están separadas por una distancia , la magnitud de la fuerza gravitacional 74 es,
Donde
es una constante universal que recibe el nombre de constante gravitacional
universal, la cual se ha medido experimentalmente. Su valor en unidades del sistema de medidas
SI es,
Se puede expresar la fuerza gravitacional en forma vectorial definiendo un vector unitario en
la dirección del vector de desplazamiento dirigido de
a
o de
a
.
Un resultado notable es que la fuerza gravitacional ejercida por una distribución de masa
simétricamente esférica de tamaño finito sobre una partícula fuera de la esfera es la misma
como si toda la masa de la esfera estuviera concentrada en su centro geométrico. Por ejemplo,
la fuerza ejercida por la Tierra sobre una partícula de masa
en la superficie terrestre tiene
magnitud,
74
Al parecer cuando Sir Newton publicó por primera vez su teoría de la gravitación universal, para sus
contemporáneos fue difícil aceptar la idea de un campo de fuerza entre dos cuerpos que pudiera actuar a través de
una distancia y se cuestionaban cómo esto era físicamente posible sin estar en contacto entre sí. Sir. Newton no pudo
responder a esta pregunta pero su teoría fue ampliamente aceptada en la medida que explicó de manera satisfactoria
el movimiento de la mayoría de los cuerpos celestes. Las investigaciones de Einstein en la teoría de la relatividad
(1905 y 1916) condujo a nuevas representaciones epistemológicas del espacio, el tiempo, el movimiento, la energía,
la luz y la gravitación, entre otros conceptos en Física.
92
donde
es la masa de la Tierra cuyo valor es aproximadamente
y
es
el radio de la Tierra y es la distancia del cuerpo al centro de la Tierra donde el radio terrestre es
aproximadamente
. Aunque la Tierra no es una esfera perfecta, sino
achatada en los polos, la fuerza gravitacional está dirigida como vector hacia el centro de la
Tierra.
La ley de fuerza gravitacional dada por la ecuación anterior se denomina frecuentemente como
ley del inverso cuadrado puesto que la magnitud de la fuerza varía con el cuadrado inverso de la
separación (distancia) entre sí de las partículas, es decir, la fuerza gravitacional es proporcional
al inverso multiplicativo del cuadrado de separación o distancia entre las partículas.
Laplace (1824) un estudioso y conocedor de la mecánica celeste, quien escribió, entre otras
obras, Expositión du Systme du monde (1796) y un Trait de mcanique cleste (1799 – 1825),
consideró que la ley de la gravitación de Newton es sin duda un descubrimiento notable no sólo
por la comprensión clara y general que establece de las fuerzas que ocasionan que los cuerpos
celestes se muevan, sino porque también esta ley es confirmada por los fenómenos físicos de la
Naturaleza. El Astrónomo, Matemático, Físico Francés supone que si los cuerpos en el Universo
sufriesen una disminución en su tamaño tal que las distancias entre ellos, sus velocidades
relativas, decrecieran proporcionalmente en dirección con respecto a un cuerpo fijo, los cuerpos
celestes describirían las mismas trayectorias 75 (curvas) que describen los cuerpos de acuerdo a la
ley del inverso cuadrado, de modo que para Laplace (1824) el Universo o espacio astronómico
75
Los movimientos de los planetas, estrellas y otros cuerpos celestes han sido objeto de estudio desde la
Antigüedad. Por aquel período, se consideraba a la Tierra como el centro del Universo. De esta forma, el modelo
geocéntrico se atribuye históricamente al astrónomo Ptolomeo cuya concepción perduraría hasta el año 1500. En
1543, el astrónomo Polaco Nicolás Copérnico (1473 – 1543) sostuvo una postura diferente y concibió que la Tierra
y los otros planetas giraban en órbitas circulares alrededor del Sol (modelo heliocéntrico). El astrónomo Danés
Tycho Brahe (1546 – 1601) realizó mediciones astronómicas con mayor precisión y proporcionó una prueba
rigurosa a través de los datos empíricos de los movimientos alternativos del sistema solar. El astrónomo Alemán
Johannes Kepler (1571 – 1630), quien era ayudante de Brahe, obtuvo los datos sobre mediciones astronómicas y
desarrolló un modelo matemático para describir el movimiento de los planetas. El análisis de Kepler mostró, en
primer lugar, que el concepto de órbitas circulares alrededor del Sol debía abandonarse. Descubrió que la órbita de
Marte podría describirse con precisión por medio de una elipse con el Sol en un punto focal. No obstante, las órbitas
de todos los planetas, salvo la de Marte, Mercurio y Plutón son casi circulares. En segundo lugar, generalizó sus
análisis en donde incluye el movimiento de todos los planetas y que se conoce como las leyes de Kepler. Newton
demostraría que estas leyes son la consecuencia de una fuerza única que existe entre cualesquiera dos masas. La ley
de la gravitación universal de Newton, junto con su desarrollo de las leyes del movimiento, brindan las bases para
la solución matematica completa del movimiento de los planetas y satélites.
93
considerado a una distancia finita debe presentar siempre los mismos fenómenos astronómicos y
cósmicos a los observadores.
Estos fenómenos físicos, piensa Laplace (1824), son independientes de las dimensiones del
Universo y por ellos las leyes de la Naturaleza sólo permiten al observador reconocer las
relaciones o conexiones entre los fenómenos de la Naturaleza. En este sentido, el Profesor
Bonola (1912) cita una interesante y profunda reflexión de Laplace (1824) en torno a la
concepción del espacio astronómico y el quinto postulado de Euclides:
“Los intentos hechos por parte de los geómetras en demostrar el postulado de Euclides
sobre rectas paralelas han sido hasta el momento en vano. Sin embargo, nadie pone en
duda que con este postulado Euclides demuestra varios teoremas. Así que la concepción
de espacio incluye una propiedad especial que debiera ser evidente dentro de los
postulados y sin la cual las proposiciones de paralelismo no podrían ser establecidas
rigurosamente. Por otro lado, en la idea de una región limitada, por ejemplo, la de un
círculo, no se deduce nada de su magnitud absoluta [longitud de la circunferencia]. Pero
si imaginamos que el radio del círculo decrece entonces la circunferencia [longitud]
decrece en la misma razón, al igual que los lados [longitudes] de todas las figuras
inscritas en ella. Esta relación me parece ser un postulado más natural que el [quinto
postulado] de Euclides y merece la pena notar que este descubrimiento es un resultado
que se deduce de la teoría de la gravitación universal” (citado en Bonola, 1912, p. 54).
Por las reflexiones de Laplace (1824) se puede decir que estuvo familiarizado con el dilema
que planteaba y significaba empíricamente definir una unidad de magnitud absoluta para las
longitudes en el caso de asumir la HAA.
La analogía de Laplace (1824) de considerar la trayectoria casi circular de los cuerpos celestes
y de concebirla como una superficie geométricamente limitada (por su circunferencia) en la que
el tamaño de las figuras geométricas contenidas en ella pierden en cierta forma su ontología
platónica y/o aristotélica de ser inmutables (decrezcan en determinada dirección) y se comporten
de acuerdo a mediciones empíricas sujetas a una ley física, como por ejemplo, la gravitación
universal de Newton para los cuerpos celestes, es una de entre muchas reflexiones que se
hicieron por interpretar e indagar en las implicaciones que el quinto postulado de Euclides
94
tuviese en la concepción del espacio habitual (descrito en forma primigenia por la geometría
euclídea) y el astronómico, las cuales empezaban a ser planteadas por parte de Filósofos,
Matemáticos, Físicos y Astrónomos. Entre ellos, por Gauss, Lobachevsky y Riemann.
Gauss en un principio intentó demostrar el quinto postulado como lo hicieron el Padre
Saccheri (1733) y Lambert (1766) por reducción al absurdo. Su postura, en un primer período,
era que la geometría euclídea describía geométricamente el espacio físico. Hacia el año 1799
escribió a su amigo Wolfgang Bolyai 76:
“En cuanto a mí, he hecho algún progreso en mi trabajo. Sin embargo, el camino que
elegido me ha conducido por senderos distintos a los esperados (…) que me hacen dudar
de la veracidad misma de la geometría. Es verdad que he encontrado resultados que
muchos considerarían demostrados, pero que a mis ojos no lo están. Por ejemplo, si uno
pudiera hallar un triángulo de área arbitrariamente grande, entonces estará preparado para
demostrar que la geometría [euclídea] es totalmente rigurosa. Para muchos, esto puede
parecer un axioma, pero no para mí (…) podría ocurrir que hubiese un límite al área de
cualquier triángulo, sin importar que tan separados estuvieran sus vértices entre sí”
(citado por Gray (2006).
Fue Wallis (1693) quien empleó como postulado o axioma la existencia de triángulos
semejantes de área arbitrariamente grande. Afirmación que como escribió el Padre Saccheri
(1733) en sus investigaciones equivale a suponer que el quinto postulado de Euclides es
verdadero 77. Para el año 1808 Gauss estaba familiarizado con el resultado que en la HAA dos
triángulos semejantes son congruentes entre sí y que por consiguiente era posible definir una
76
Wolfgang Bolyai (1775 – 1856] geómetra Húngaro, también intentó demostrar el quinto postulado de Euclides.
En el año 1804 envió a Gauss un escrito propio en el que aparentemente demostraba la existencia de “equidistancia”
entre rectas paralelas. Gauss le mostraría que ésta contenía una falacia. Tras varios intentos fallidos, W. Bolyai
empieza a dudar sobre la posibilidad de encontrar una demostración. Su notable postulado equivalente al de las
paralelas afirma que: Por cuatro puntos, no coplanarios, puede ser trazada siempre una esfera, o, lo cual es
lógicamente equivalente, por tres puntos, no colineales, puede ser trazada siempre una circunferencia. Su hijo, János
Bolyai (1831), es considerado uno de los creadores y/o fundadores de las geometrías no euclídeas.
77
Estas dos afirmaciones son lógicamente equivalentes
95
medida de longitud absoluta 78. Durante este período, al parecer Él encuentra esta conclusión
absurda y por consiguiente mantuvo sus reservas sobre publicar sus investigaciones y así lo
expresa en una Carta del año 1813: “En la teoría de las paralelas no hemos avanzado más que
Euclides. Y esta es una parte vergonzosa de las matemáticas, que temprana o tardíamente debe
ser resuelta” (citado en Gray, 2006, p. 62).
No se debe olvidar que durante casi veinte siglos los Geómetras y Matemáticos estuvieron
empeñados en demostrar la validez del quinto postulado de Euclides como consecuencia de una
postura ontológica: el espacio físico está descrito por la geometría euclídea. Gauss fue consciente
de esta tradición y conocía además que las ideas sobre la posibilidad de una geometría no
euclídea encontrarían resistencia de tipo epistemológico en las predominantes posturas kantianas
sobre el espacio. Y quizás por ello, para el año 1816, Gauss cambia de opinión y reflexiona sobre
algunos resultados de sus investigaciones:
“Parece ser algo paradójico que una línea constante pueda darse de manera a priori;
pero yo no encuentro nada contradictorio en esto. Sería un notable descubrimiento si la
geometría euclídea no fuese verdadera, porque entonces podríamos tener una medida
absoluta de longitud a priori, por ejemplo, uno podría tomar como unidad de medida la
longitud del lado de un triángulo equilátero con ángulo de
[8. Gauss a
Gerling, VIII, pp. 168 – 169]” (citado en Gray, 2006, p. 6).
Por aquella época, uno de sus estudiantes, F. L Wachter (1792 – 1817) quien también abordó
el problema de las paralelas, escribió a Gauss informándole que bajo cierta hipótesis, sin
especificar, en la superficie de una esfera de radio infinito todas las proposiciones de Euclides
78
El Profesor Bonola (1912) plantea la pregunta de si cuando Gauss comenzó sus investigaciones sobre la teoría de
las paralelas ya estaba al tanto de los trabajos del Padre Saccheri (1733) y Lambert (1766) y de ser así, cuál pudo
haber sido la influencia que ejercieron estos trabajos sobre el príncipe de las matemáticas. De hecho, históricamente
fue así pero de a ello nos referiremos más adelante. Lo que sí es seguro, de acuerdo con los distintos pasajes de las
Cartas de Gauss a sus amigos y colegas, es que se puede fijar a partir del año de 1792, según comenta Bonola (1912,
p. 65), el período en que comenzó sus Meditaciones sobre el problema de rectas paralelas.
96
(incluso el quinto postulado) son válidas 79, y que el uso de una trigonometría trascendente80
posiblemente la describa analíticamente.
Para este período, sus Meditaciones lo llevaron a considerar la imposibilidad de encontrar una
demostración del quinto postulado de Euclides dentro del marco axiomático 81 de los Elementos.
En el año 1817 Gauss escribe al astrónomo (aficionado) H. W. M Olbers:
“Cada vez estoy más convencido que la verdad necesaria de nuestra geometría no
puede ser demostrada; por lo menos, no para un entendimiento humano (…) hasta
entonces debemos colocar la geometría, no con la aritmética, la cual es puramente a
priori, sino sobre las bases de la mecánica [Gauss a Olbers, VIII, pp. 177]” (citado en
Gray, 2006, p. 63).
La hipótesis que la suma de los ángulos internos en un triángulo es menor que dos ángulos
rectos (HAA), que exista una unidad absoluta para medir longitudes, entre otros resultados, y las
dificultades para demostrar el quinto postulado de Euclides han llevado a Gauss a dudar de la
naturaleza euclídea del espacio. En cierta forma, afirma el Profesor Gray (1991), Gauss empieza
a pensar que la búsqueda de una demostración del postulado euclídeo sobre rectas paralelas y la
naturaleza del espacio físico 82 son problemas aparentemente desvinculados.
79
Sin duda se refiere a la horoesfera la cual aparecerá, independientemente, como veremos en los trabajos de Gauss,
Lobachevsky (1840) y Bolyai (1831).
80
La trigonometría trascendente normalmente es tomada de la trigonometría hiperbólica, la cual es considerada
apropiada para describir la geometría no euclidiana bajo la HAA. Sin embargo, sostiene Gray (2006), es poco
probable que para este período, no existen evidencias que apoyen lo contrario, Gauss haya desarrollado las formulas
trigonométricas de la geometría no euclidiana (HAA), las cuales “sí aparecen en el trabajo de Taurinus” (Gray,
2006, p. 63).
81
La negación lógica del enunciado “la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos” no puede
hacerse sin llegar a contradicciones dentro de la geometría euclídea pero sí puede asumirse “fuera de la misma”,
siempre que se suponga los restantes postulados, y algunas proposiciones, lógicamente independientes de éste. No es
una propiedad intrínseca que posea el enunciado per se, sino que depende del sistema geométrico formal desde el
cual se enuncia.
82
Podemos hacer aquí una diferenciación en cuanto a un espacio intuitivo y un espacio abstracto:
En el espacio intuitivo los axiomas o postulados se pueden interpretar como propiedades de ciertos entes (puntos,
rectas, planos) que, aunque no se definen de manera rigurosa, existen en nuestra mente como un substratum del
espacio físico. En este sentido, “los axiomas o postulados no son más de lo que nuestra intuición nos dicta para los
97
§2.6 Algunos resultados de las investigaciones de Gauss: Los inicios de una hipotética
geometría (Hipótesis del Ángulo Agudo)
Históricamente Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) es considerado, junto con I. Lobachevsky
y J. Bolyai, como uno de los primeros grandes geómetras en desarrollar un sistema geométrico
independiente del quinto postulado de Euclides aunque sus resultados se conocieron
posteriormente a los trabajos de Lobachevsky (1840) y J. Bolyai (1831). Al parecer Gauss
abordó el problema de las paralelas en el año 1792 y a partir del año 1813 demuestra algunas
proposiciones asumiendo la Hipótesis del Ángulo Agudo. Aquí desarrollaremos algunas de sus
ideas 83.
En primer lugar, Gauss da la siguiente definición de rectas paralelas en la HAA:
Definición de Gauss: Consideremos una recta l que interseca a las rectas dirigidas [rayos]
en los puntos
y
, respectivamente. Si las rectas dirigidas [rayos] coplanarias
y
y
al ser
prolongadas en la misma dirección no se intersecan entre sí y, por otro lado, si cada recta
dirigida [rayo] que pasa por el punto
rectas dirigidas [rayos]
y
que se encuentre en la región comprendida por
y las
[haz de rayos coplanarios], al ser prologada interseca a dicha recta
mismos para después dotarlos de una estructura lógica” (Puig, 1958, p. 304). Sin embargo, el mismo Poincaré
(1964) afirma que la intuición no puede darnos el rigor, ni aún la certeza, y cita un valioso ejemplo al respecto:
sabemos que existen funciones continuas desprovistas de derivada, sobre lo cual comenta el matemático y físico
Francés: “Nada más chocante para la intuición que esta proposición que no es impuesta por la lógica” (Poincaré, El
Valor de la Ciencia, 1964, p. 22). En el espacio abstracto, procuramos en la medida de lo posible, que los entes, los
axiomas o postulados que los relacionan, estén desprovistos a priori de toda significación intuitiva. Intentamos
razonar en un espacio abstracto, en el que las figuras, ni sus relaciones intuitivas, no pueden guiar nuestro
razonamiento. Nos quedamos solamente con el armazón lógico de los argumentos y de las proposiciones que nos
permitan después aplicarlos a todo el conjunto de entes para los cuales se reconozca válido el cumplimiento de los
axiomas o postulados primeros.
83
Recopiladas en sus memorias Werke, Bd VIII, p. 202 – 209 (1831). El Profesor Bonola (1912) divide en dos
períodos las investigaciones o Meditaciones de Gauss sobre el problema de las paralelas. Un primer período,
comprendido entre los años 1792 y 1813, donde al príncipe de las matemáticas le es difícil desprenderse de sus
convicciones, entre otras, de la necesidad de la geometría euclídea para describir el espacio físico (intenta demostrar
el quinto postulado) y de las posturas kantianas imperantes en aquella época; y un segundo período, posterior al año
1813. Es en este último donde al parecer Gauss, poco a poco, supera sus dudas y decide avanzar en sus
investigaciones, hechas en el primer período, y desarrollar los teoremas fundamentales en la HAA, a la cual Él
denomina, por primera vez, Anti – Euclidiana [carta a Wachter, 1816], después, Geometría Astral [carta a
Schweikart, 1818], y finalmente, No – Euclidiana [carta a Schumacher, 1831].
98
dirigida [rayo ] entonces las rectas dirigidas [rayos]
y
son paralelas entre sí [ver Figura
2.8].
Al igual que el Padre Saccheri (1733),
Gauss (1831) supone que existe una posición
definida por una y sólo una recta [rayo] que
pasa por el punto
y separa las rectas (rayos
coplanarios y en la misma dirección) entre
secantes y no secantes con la recta [rayo] .
Esta recta [rayo] es definida por Gauss (1831)
la primera de las rectas que no intersecan a
[rayos no secantes con ] y es paralela a la
recta [rayo]
en la misma dirección.
Figura 2.8
Esta definición de Gauss (1831) difiere de la HAR. Si el quinto postulado de Euclides no es
válido y la HAA no conlleva a ninguna contradicción con ningún postulado, proposición o
resultado previamente aceptado y demostrado, existen diferentes rectas [rayos], mínimo dos
rectas, que pasan por el punto
(no colineal con la recta [rayo] ) y las cuales no intersecan a .
Gauss (1831) define el paralelismo de las rectas [rayos]
y
en una dirección específica con
respecto a una recta l que las interseca, en este caso particular, paralelismo de rectas a la
derecha. Pero por simetría, también se define el paralelismo de rectas [rayos] a la izquierda ( y
).
En la HAR las rectas paralelas al ser prolongadas indefinidamente en ambas direcciones
mantienen la propiedad de paralelismo entre ellas. Gauss (1831) demuestra que en la HAA el
paralelismo de la recta
con la recta
es independiente de los puntos
ser prolongadas indefinidamente en la misma dirección los rayos
y
y
en el sentido que al
son paralelos entre sí y lo
establece en el siguiente teorema:
“La propiedad de paralelismo de la recta
y
con la recta
es independiente de los puntos
, siempre que la dirección en que éstas se prolonguen sea invariable” (citado en
Bonola, 1912, p. 68).
99
A continuación, Gauss (1831) demuestra que la relación de paralelismo en la HAA es una
propiedad transitiva 84, es decir:
Si el rayo
es paralelo a los rayos
y
, entonces los rayos
y
son paralelos entre sí.
Ilustramos los argumentos de Gauss (1831).
Supongamos que una recta l interseca los rayos
,
y
en los puntos
,
, y
,
respectivamente. Consideremos dos casos.
Caso (i): El rayo
y
se encuentra en la superficie o región que definen los rayos
dos puntos en las rayos
y
de la recta l con el rayo recta
, respectivamente, y denotemos por
. Por el punto
trácesela el rayo
y
. Sean
el punto de intersección
como se muestra en la
[Figura 2.9].
Como los rayos
y
son paralelos entre sí
(por hipótesis) entonces el rayo
al rayo
interseca
en el punto .
Pero el rayo
es paralelo al rayo
(por
hipótesis) entonces al prolongar el rayo
también interseca al rayo
Como el rayo
en el punto .
que pasa por el punto
arbitrario entonces los rayos
y
es
son
paralelos entre sí.
Figura 2.9
Por consiguiente, si el rayo
es paralelo al rayo
entonces, por el resultado anterior, el rayo
y el rayo
es paralelo al rayo
es paralelo al rayo
y los rayos
,
y
son
paralelos entre sí.
84
Gauss (1831) también demuestra, entre otros resultados, que la relación de simetría entre dos rayos paralelos
puedes ser establecida (véase Bonola (1912)).
100
Caso (ii): el rayo
no se encuentra en la superficie o región que definen los rayos
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el rayo
y
que los rayos
Si el rayo
de
y
se encuentra entre los rayos
y
.
y
son paralelos entre sí.
no es paralelo al rayo
, y paralelo al rayo
Por el Caso (i) el rayo
, por un punto
en el rayo
tracemos el rayo
, distinto
[ver Figura 2.10].
es paralelo al rayo
lo cual contradice la definición de Gauss de
paralelismo que por un punto
el rayo
, pasa un rayo paralelo al rayo
En consecuencia, si el rayo
, y el rayo
los rayos
, no colineal con
es paralelo al rayo
es paralelo al rayo
y
.
entonces
son paralelos entre sí.
Por consiguiente, los rayos
,
y
son
paralelos entre sí.
Figura 2.10
Para que la demostración de este teorema sea geométricamente rigurosa, necesitamos tener un
criterio que permita establecer, bajo la definición de Gauss de paralelismo, qué: dados tres rayos
paralelos entre sí, uno de ellos divide el hipotético plano no euclídeo (HAA) en dos semiplanos
de tal forma que los dos rayos restantes se encuentren en semiplanos distintos; en este caso
particular, el rayo
divide el hipotético plano no euclídeo (HAA) en dos semiplanos 85).
Con respecto a esta cuestión, existe un argumento en el que siempre es posible dicha condición
la cual es presentada en E. E. Moise, Elementary geometry from and advanced standpoint, 1963,
85
Esta propiedad no resulta geométricamente evidente aunque si bien es un resultado de geometría absoluta o
neutra. De hecho, Euclides en la proposición I, 11 de los Elementos, construye a partir de un punto en una recta, una
recta perpendicular a la recta dada y en la proposición I, 12, de la misma obra, construye una recta perpendicular a
una recta por un punto no colineal con la recta dada. De este último resultado se desprende que es posible dividir el
plano euclídeo en semiplanos, ¿en las HAA y HAO es esto siempre posible de asumir o demostrar en el caso que
exista una superficie o plano no euclídeo dependiendo, respectivamente, de las hipótesis anteriores?
101
p. 315 – 316, y es citado por Albis & Álvarez (1983, p. 7). En esencia, el razonamiento es como
sigue.
Un rayo
que pase por un punto , no colineal al rayo
dirección no necesariamente coincide con el rayo
paralelo al rayo
, y sea paralelo al rayo
que pasa por el mismo punto
pero en la dirección opuesta al rayo
. Si estos rayos,
y
en una
y es
fuesen
coincidentes estaríamos en la HAR.
En efecto, si esto sucede para un rayo
y un punto
por el que pasa un rayo
cierto para cualquier otro rayo que pase por un punto distinto de
Supongamos entonces que el rayo
Tomemos un punto
en el rayo
del segmento
.
en ambas direcciones, es decir, en la
y tracemos el segmento
, distinto de los puntos
y, por consiguiente, paralelo al rayo
Si prolongamos el rayo
punto
no colineal al rayo
y en la dirección opuesta a éste.
dirección del rayo
punto
es paralelo al rayo
también es
. A continuación, a partir de un
y , trazamos el rayo
paralelo al rayo
,
.
a partir del
en la dirección opuesta al rayo
entonces el rayo
es paralelo al rayo
pero en la dirección opuesta a este último
, distinto de
puesto que todo rayo
, que
pasa por el punto
interseca al rayo
por
un
ejemplo,
en
punto
.
,
En
consecuencia, el rayo
también interseca
al rayo
[ver Figura 2.11].
en un punto
Entonces el rayo
es paralelo al rayo
en la dirección opuesta a este último.
Figura 2.11
Un argumento similar se puede dar si el punto
comprendida por los rayos
y
.
102
no se encuentra en la superficie o región
Habíamos mencionado que las rectas paralelas en los Elementos cumplen con ciertas
propiedades en el plano que resultaba ser una relación de equivalencia, Gauss (1831) demostró
que bajo su definición de rayos paralelos dicha relación también es válida de existir (¿o definir?)
un plano en la HAA. Estos resultados y el hecho que podamos prescindir del punto
en la
definición de paralelismo de Gauss, conllevan a pensar al príncipe de las matemáticas a obtener
nuevos resultados en la HAA, es decir, asumimos la existencia de al menos dos rectas (rayos)
paralelas que pasan por un punto no colineal a una recta dada y no su unicidad como en el caso
de la HAR. Con estos resultados y otros que presentamos a continuación, Gauss hizo la primera
tentativa geométricamente rigurosa de entrada en una hipotética geometría: demostrar la
existencia de una superficie o plano de extensión infinita asumiendo la Hipótesis del Ángulo
Agudo. La siguiente tarea sería establecer nuevos teoremas apropiados y expresarlos, de ser
posible, en forma analítica para la naciente geometría no euclídea.
En un segundo memorándum de investigación sobre la teoría de las paralelas Gauss (1831)
introduce la noción de puntos correspondientes con respecto a dos rayos
sí. En la [Figura 2.12] se han dibujado los rayos
y
y
paralelos entre
para ilustrar otros resultados.
Consideremos un punto
y el punto
en el rayo
en el rayo
.
Gauss (1831) define que los puntos
y
son correspondientes si la
recta (transversal) definida por
al incidir sobre los dos rayos
y
hace los ángulos internos del mismo
lado
y
congruentes entre sí.
Figura 2.12
Gauss (1831) demuestra, a manera de teoremas, que estos puntos correspondientes cumplen
las siguientes propiedades:
(i) Si
y
son dos puntos correspondientes en los rayos
punto medio de
entonces el rayo
y
que pasa por el punto
103
, respectivamente, y
y es perpendicular a
es el
es
paralelo a los rayos
y
. Gauss (1831) también prueba que los rayos paralelos se comportan
como rectas asintóticas al ser prolongados en la dirección de paralelismo.
(ii) Si
y
son dos puntos correspondientes en los rayos
lado,
y
son dos puntos correspondientes, distintos de
y
, respectivamente, y, por otro
y , en los mismos rayos
en el orden dado, entonces Gauss (1831) demuestra que los segmentos
entre sí y, recíprocamente, si
segmentos
y
y
y
y
,
son congruentes
son dos puntos correspondientes en los rayos dados y los
son congruentes entre sí entonces los puntos
y
son puntos
correspondientes. En este punto, recuérdense las hipótesis del Padre Saccheri (1733) en relación
al cuadrilátero (fundamental)
.
(iii) Supongamos que los rayos
,
un punto en el rayo
y
correspondientes en los rayos
rayos
y
,
y
son paralelos entre sí. Sean,
un punto en el rayo
y
y los puntos
tales que los puntos
y
y
y
son puntos
son puntos correspondientes en los
entonces Gauss (1831) demuestra que los puntos
correspondientes en los rayos
un punto en el rayo
y
son también puntos
.
La idea de puntos correspondientes cuando se toma en relación con tres rayos de un haz de de
rayos concurrentes en un punto en el infinito sirve para definir el círculo como el lugar
geométrico de los puntos de un haz de rayos que son correspondientes a un punto dado en el
infinito. Pero este lugar geométrico también puede ser construido cuando el haz de rectas son un
haz de rectas paralelas entre sí.
Por ejemplo, en geometría euclídea podemos considerar dos tipos de haz de rectas:
(i) El haz de segmentos congruentes entre sí que pasan (diámetros) o emergen (radios) por un
punto fijo. El lugar geométrico es un círculo.
(ii) El haz de rectas perpendiculares a una recta fija. El lugar geométrico es otra recta
perpendicular al haz de rectas.
En la geometría euclídea, en el caso (ii) el haz de rectas perpendiculares a una recta fija es un
haz de rectas paralelas entre sí.
En la geometría no euclidiana, ya no hablamos de rectas sino de líneas perpendiculares a una
línea fija que ya no son paralelas entre sí sino ultraparalelas o hiperparalelas. Estas últimas son
104
líneas asintóticas entre sí que no son paralelas en el sentido euclídeo pero que tienen una
perpendicular común: no se afirma la existencia de estas líneas, simplemente se describe
analíticamente cual ha de ser su comportamiento en caso de que existan. También se puede decir
que si una línea transversal al incidir sobre dos líneas hace que los ángulos alternos internos son
congruentes entre sí, las dos líneas dadas son hiperparalelas entre sí.
En la HAA existen los mismos dos lugares geométricos que existen en la euclídea. Pero
además, para el haz de paralelas, existe otro lugar geométrico al que Lobachevsky (1840) dio el
nombre de horociclo (paraciclo o curva límite).
El horociclo no es un círculo de radio finito aunque tiene la propiedad que por tres puntos
correspondientes pertenecientes a él no pasa ningún círculo de radio finito. Esta línea puede
considerarse como un círculo en el que el centro del circuncírculo se mueva hacia el infinito y
consideramos el horociclo como su línea frontera. Las descripciones y el comportamiento de
estas curvas serán abordadas con mayor amplitud en Capítulo III de este Trabajo de Grado en la
secciones de Lobachevsky y J. Bolyai
El Profesor Heath (1956, p. 190) en los comentarios que hace a la Definición 23 del Libro I de
los Elementos presenta en tres categorías las distintas definiciones que han sido empleadas a lo
largo de la Historia en relación a la teoría de las paralelas:
(i) Son rectas paralelas las que no tienen ningún punto en común. De esta afirmación se
desprenden las siguientes hipótesis, asumiendo la existencia de un plano de extensión infinita
que contiene a las rectas paralelas (son coplanarias): (a) dos rectas paralelas no se intersecan
entre sí, o si lo hacen, (b) se intersecan en el infinito, es decir, (c) tienen un punto en común en el
infinito.
(ii) Las rectas paralelas tienen la misma dirección de prolongación y en la que se incluyen rectas
transversales que al incidir sobre las rectas paralelas hace los ángulos internos del mismo lado
congruentes entre sí.
(iii) Las rectas paralelas tienen entre sí una distancia constante con lo cual se define una recta
paralela a otra como el locus geométrico de los puntos que equidistan de una recta dada.
105
Sobre estas tres definiciones, interesa la definición (ii) que corresponde a la que Heath (1956)
denomina teoría de la dirección y es la que se ajusta la definición de Gauss de rayos paralelos en
una dirección. El lector interesado en el análisis de las otras dos definiciones, (i) y (iii), puede
consultar la obra de Heath (1956).
Según cita fuentes históricas en este sentido el Profesor Heath (1956), la idea de la teoría de la
dirección en rectas paralelas proviene de Leibniz quien al parecer en una de sus obras privilegia
la noción de dirección entre rectas. Gauss (1831) concibe rectas que al ser prolongadas en la
misma dirección son paralelas, es decir, geométricamente son rayos de extensión infinita que son
paralelos en una dirección. A partir de esta definición, Gauss (1831) obtiene resultados
interesantes en la HAA, como por ejemplo, la relación de equivalencia entre rayos paralelos en
una dirección. Pero la pregunta que plantea Heath (1956) y cuya respuesta no resultó ser nada
inmediata para los matemáticos y geómetras a principios del siglo XIX es la siguiente, ¿dadas
dos rectas distintas y coplanarias, cómo poder distinguir que son rectas paralelas en una única
dirección y no en ninguna otra dirección?
Los argumentos parecieran sustentar que la idea de rayos paralelos en una dirección
proviene, en su forma primigenia, del conocimiento per se de las propiedades de rectas paralelas
en el contexto euclídeo. Al respecto, piensa Heath (1956) que la idea de rectas paralelas en una
dirección quizá surgió de la concepción recurrente de los ángulos internos que forman las rectas
paralelas con una tercera recta que las intersecaba y era tomado como un criterio para diferenciar
una dirección de cualquier otra: el ángulo de paralelismo. Sin embargo, el mismo Gauss afirmó
que este no era un criterio matemáticamente riguroso, ni suficiente:
“Si esta definición [teoría de la dirección en rectas paralelas] es establecida por la
congruencia de los ángulos [internos del mismo lado o alternos internos] formados con
una tercera recta [transversal] que interseca a dos rectas no podemos afirmar que las dos
rectas dadas son paralelas entre sí hasta que se haya demostrado que una cuarta recta
[transversal] al incidir sobre las dos rectas dadas también hace los ángulos [internos del
mismo lado o alternos internos] congruentes entre sí” Werke, IV, p. 365 (citado en
Heath, 1956, p. 190 – 191).
106
Y así, con cualquier número arbitrario de rectas transversales que intersecan a las rectas dadas
se tendría que probar que los ángulos internos del mismo lado o alternos internos que forman con
estas rectas son congruentes entre sí. De no ser así, se tendría que asumir como un postulado o
axioma que resulta ser geométricamente menos evidente que el quinto postulado de Euclides y es
el siguiente: “Las rectas que forman con una recta que ha incidido sobre ellas ángulos internos
del mismo lado [o ángulos alternos internos] congruentes entre sí forman con cualquier recta
transversal ángulos internos del mismo lado o [ángulos alternos internos] congruentes entre sí”
Dogson, p. 101(citado en Heath, 1956, p. 190 – 191). En este sentido, la Trigonometría y las
ideas y métodos de la Geometría Analítica y el Análisis Infinitesimal, entre otras, permitirían
comprender y describir con mayor profundidad y rigurosidad los resultados de las geometrías no
euclídeas en el siglo XIX.
Por otro lado, históricamente existe evidencia como resultado de las investigaciones de Gauss
(1831) en la teoría de la paralelas sobre algunos cálculos de longitudes y áreas en la HAA,
como por ejemplo, la Carta enviada a Schumacher que data del 31 de Julio del año1831, donde él
afirmaba que la longitud l de una semicircunferencia está dada por la expresión:
donde r es una constante positiva. A partir de esta expresión se obtiene que
Tomando el límite donde existe,
en donde hemos hecho el cambio de variable
entonces,
107
Es decir cuando
esta expresión encontrada por Gauss toma la forma usual que
determina la longitud de una circunferencia de radio
en la geometría euclídea.
Con respecto a , expresa Gauss (1831), si nosotros deseamos que la hipotética geometría
(HAA) concuerde con la geometría euclídea, debemos considerar el valor la constante
mayor
que cualquier número positivo. El trabajo de Gauss (1831) no fue conocido sino hasta después de
publicada las investigaciones de otros pioneros de las geometrías no euclídeas como
Lobachevsky y J. Bolyai.
Para finalizar esta sección, Gauss obtuvo los mismos teoremas o proposiciones conocidos por
Lambert (1766) y Legendre (1794) en la HAA, entre ellos, la existencia de una unidad absoluta
de longitud. Además, “una constante
por medio de la cual los problemas que entrañaban, hasta
ese momento a la geometría no euclídea, podrían ser resueltos” (citado en Bonola, 1912, p. 74 –
75).
Sin embargo los aportes de Gauss en la teoría de las paralelas no se limitan a los anteriores
resultados. En efecto, como resultado de las profundas investigaciones en Geometría Diferencial
y Geodesia, y que según afirma el Profesor Gray (2006) ocupan a Gauss a partir del año 1820, el
príncipe de las matemáticas escribió y presentó a la comunidad científica su obra Disquisitiones
generales circa superficies curvas (1828) el cual es considerado, junto con los aportes de
Gaspard Monge, entre otros, un tratado fundamental sobre superficies y curvas (1828) en el
espacio geométrico euclídeo.
§2.7 Algunos resultados de las
investigaciones de Schweikart
(1818): La Geometría
Euclídea y una Geometría Astral (espacio astronómico)
La investigación de Ferdinand Karl Schweikart (1780 – 1859), Die Theorie der Parallellinien
nebst dem Vorschlage ihrer Verbannung aus der Geometrie (1807), según comenta Bonola
(1912), no contiene un tratamiento sobre la teoría de las paralelas independiente del quinto
108
postulado de Euclides sino que al parecer trabaja sobre la idea de un paralelogramo. Pero
posteriormente, desarrolla de forma analítica algunos resultados en la HAA los cuales Gauss
conoció en el año 1818 a través de un memorándum. En este escrito expone Schweikart (1818) la
idea de lo que él llama una Geometría Astral en la cual la suma de los ángulos internos de un
triángulo es menor que dos ángulos rectos y que el área del triángulo se incrementa cuando
disminuye dicha cantidad angular. Presentamos a continuación algunas de sus ideas.
Para Schweikart (1818) existen dos tipos de geometría: una geometría en el sentido estricto (la
geometría euclídea) y la Astral (la del espacio astronómico).
Él compara ciertas las mediciones sobre la suma de los ángulos internos de los triángulos en la
HAR y establece que dicha cantidad no es exactamente igual a dos ángulos rectos. Tomando este
hecho como un punto de partida, dado por las mediciones empíricas, y como resultado de
algunas de sus investigaciones, Schweikart (1818) establece que:
“a) La suma de los ángulos internos de un triángulo es menor que dos ángulos rectos.
b) Que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor cuanto mayor es el área
del triángulo dado.
c) Que la altura de un triángulo rectángulo isósceles,
cuando se incrementa continuamente al prolongarse
sus lados nunca puede ser mayor que cierta longitud a
la cual llamo constante.
El cuadrado tiene la forma de la [Figura 2.13].
Si esta constante [positiva] fuese para nosotros el
radio de la Tierra (así cada recta trazada en el
Universo a partir de una estrella fija a otra, distante a
Figura 2.13
90° de la primera, podría ser tangente a la superficie de la Tierra) sería infinitamente mayor en
comparación con las distancias ordinarias.
109
La geometría euclídea es válida si la constante tiende a infinito. Entonces es verdad que
la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos ángulos rectos” (citado en
Bonola, 1912, p. 75 – 77).
La constante ( ) a la cual hace referencia Schweikart (1818) en sus investigaciones no es la
constante
con la que Gauss expresa la longitud de la semicircunferencia del círculo en la HAA.
De hecho, Gauss hubo llegado a las mismas conclusiones y afirma que ha desarrollado
algunos resultados de la Geometría Astral; entre ellos, establece que el límite superior del área de
un triángulo es:
Donde
es la constante de Schweikart tal que el ángulo de paralelismo es de
. En el
trabajo de Taurinus (1826) trataremos de dar una interpretación geométrica sobre el ángulo de
paralelismo. La Geometría Astral de Schweikart corresponde a algunos de los resultados
establecidos por el Padre Saccheri (1733) y Lambert (1766) en la Hipótesis del Ángulo Agudo.
Aunque la demostración del quinto postulado de Euclides sigue siendo un punto de referencia
para algunos Matemáticos de la época, el método empleado por el Padre Saccheri (1733) de
negarlo y poder llegar a una contradicción dentro de algunos de las proposiciones que iban
siendo demostrados o establecidos en la HAA, ha sido el más fructífero en la medida que va
arrojando resultados desconcertantes sobre la naturaleza de la recta y reflexiones profundas
acerca del espacio.
Si bien la HAO fue relativamente fácil de descartar dada la característica euclídea de la recta
(por los Elementos, postulado I, 2 y el postulado Arquímedes en su interpretación geométrica),
las objeciones a los resultados que arrojaba la HAA pasaron de ser consideradas desde un punto
de vista meramente geométrico para convertirse en un problema sobre la concepción y naturaleza
del espacio físico. La hipótesis que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos
ángulos rectos es una proposición lógicamente equivalente al quinto postulado de Euclides el
cual caracteriza el plano euclídeo y, en consecuencia, la naturaleza del espacio geométrico.
110
Mayor o menor a dicha amplitud angular los resultados distan en gran medida del sistema
geométrico euclídeo.
La Trigonometría, como su nombre lo indica (tri –tres; gono –ángulo y metría – medida), fue
considerada en sus orígenes dedicada al estudio sobre las propiedades cuantitativas (medidas) de
los triángulos 86. Con Taurinus empieza un trabajo analítico partiendo de las fórmulas de la
trigonometría esférica que permitiría arrojar más resultados de los esbozados hasta el momento
por Gauss o que concuerden con los mismos, asumiendo la HAA. Este es el tema del siguiente
Capítulo III.
86
El estudio analítico de las funciones trigonométricas se debe en gran medida a los trabajos de Abraham De Moivre
(1667 – 1754), Daniel Bernoulli (1700 – 1782) y Leonhard Euler (1707 – 1783).
111
CAPITULO III
ALGUNOS RESULTADOS ANALÍTICOS DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS
EN LA PRIMERA MITAD DEL SIGLO XIX
“Por esto, es lo que hay que decir: si Dios realmente existe y, realmente, ha creado al Mundo, entonces todos
sabemos, lo creó de acuerdo con la geometría euclidiana, y creó a la mente humana capaz de concebir sólo tres
dimensiones del espacio. Y sin, embargo, ha habido y hay todavía matemáticos y filósofos, algunos de ellos de
extraordinario talento, que dudan si todo el Universo o, para decirlo de manera más amplia, toda existencia, fue
creada sólo de acuerdo con la geometría euclidiana, e incluso se atreven a soñar que dos líneas paralelas que, de
acuerdo con Euclides, nunca pueden cortarse en la Tierra, quizás puedan hacerlo en el infinito. Yo, querido
hermano, he llegado a la conclusión de que si no puedo entender ni siquiera eso, ¿cómo se puede esperar que
comprenda algo de Dios?
Fiódor Mijáilovich Dostoievski (1821 –
1881) [Los Hermanos Karamazov
§3.0 INTRODUCCIÓN
En la geometría euclídea tenemos que dada una recta r y un punto
no colineal a r, por el
axioma de Proclo – Playfair existe una y sólo una recta paralela a la recta r que pasa por el punto
P. Asumimos, como hasta ahora, que las rectas son coplanarias.
Consideremos una recta r y un punto
no colineal a la recta dada por el que pasa una recta s.
Sea l una perpendicular común a las rectas s y r que pasa por el punto
en un punto . Designemos por
y
e interseca a la recta r
los ángulos internos del mismo lado que forman las rectas
s y r, respectivamente, con la recta l. Los ángulos
y
son ángulos rectos, y por consiguiente,
congruentes entre sí. Supongamos ahora que otra recta m, distinta de l, interseca a las rectas s y r
en los puntos
y , respectivamente. Denotemos por
y
los ángulos internos del mismo lado
que forman las rectas s y r, respectivamente, con la recta m como se muestra en la [Figura 3.1].
112
Si asumimos la HAR, por la proposición I,
29 de los Elementos las rectas s y r son
paralelas entre sí. Y por consiguiente, los
ángulos
y
son ángulos rectos y congruentes
entre sí.
Si asumimos la HAA aún cuando la recta l sea
una perpendicular común a las rectas s y r no
podríamos afirmar con certeza que las rectas s y
Figura 3.1
r son paralelas entre sí (¿Por qué?).
De hecho, si los ángulos
que los lados
y
y
son congruentes entre sí, sólo podríamos decir con seguridad
son congruentes entre sí (¿Por qué?). Por otro lado, si suponemos que s y
r no son rectas sino rayos prolongados en la misma dirección entonces los puntos
puntos correspondientes, al igual que los puntos
ángulos
y
y
y
son
son puntos correspondientes si los
son congruentes entre sí. Sin embargo, como quedó señalado al final de la sección
de Gauss en este Trabajo de Grado, al afirmar que dos rayos son paralelos en una dirección nos
encontramos con la dificultad de definir rigurosamente que se entiende por la misma dirección
en relación a dos rayos paralelos. Y el criterio de que los ángulos internos del mismo lado que
forma una transversal con dos rayos paralelos son congruentes entre sí no resulta suficiente ni
matemáticamente riguroso.
A principios del siglo XIX los nuevos métodos en el estudio de la teoría de las paralelas
pueden recibir el calificativo de analíticos por utilizar las funciones trigonométricas pero no las
del plano euclidiano (pues estaríamos en HAR), ni tampoco en la esfera (descartada la HAO),
serían las llamadas funciones trigonométricas hiperbólicas. Debe observarse que la introducción
de consideraciones de carácter analítico – como son las fórmulas trigonométricas- marca el
inicio de una nueva etapa en la investigación del quinto postulado de Euclides.
El enfoque analítico del problema fue explorado, entre otros, por Gauss, Taurinus,
Lobachevsky y J. Bolyai. El estudio de las funciones trigonométricas hiperbólicas, la reiterada
vinculación de un radio imaginario o complejo y la proposición que vincula el área de un
triángulo hiperbólico con su defecto, fueron abriendo paso a paso una forma distinta de
conceptualizar el problema. También, en este Capítulo III abordaremos algunos resultados de las
113
investigaciones de dos hombres que concibieron y publicaron (antes que Gauss) una aparente
“geometría distinta” a la euclídea (HAA), como un “sistema formal” libre de contradicciones
entre los resultados que iban siendo demostrados.
§3.1 Algunos resultados de las investigaciones de Taurinus (1826): Las fórmulas
trigonométricas en la HAA
Franz Adolf Taurinus (1794 – 1874), al parecer, en un primer momento estuvo convencido de
la verdad del quinto postulado de Euclides y consideró la posibilidad de buscar demostrarlo. En
el año 1825 publicó Theorie der Parallellinien el cual, que según comenta Bonola (1912),
contiene un tratamiento en donde aborda la HAO la cual descarta al igual que sus colegas
predecesores y en relación a la HAA encontró resultados concordantes a los presentados por el
Padre Saccheri (1733) y Lambert (1766), entre ellos, que era posible definir una unidad de
longitud absoluta lo cual resultaba aún chocante para algunos Filósofos, Matemáticos y Físicos
de la época y se constituía, entre otras razones, como un argumento a favor de que la única
hipótesis válida era la HAR.
Dentro de los resultados de la Hipótesis del Ángulo Agudo, Taurinus (1825) encontró la
constante de Schweikart a la cual denominó parámetro y sobre la cual consideró que todos los
hipotéticos sistemas geométricos correspondientes a un número infinito de valores de la
constante de Schweikart deben ser simultáneamente válidos.
En el año 1826 Taurinus en su obra, Geometriae Prima Elementa, según afirma Bonola
(1912), hace una mejorada versión de sus investigaciones del año 1825. Este último trabajo
contiene uno de los más importantes Apéndices en el cual el autor muestra como un sistema de
geometría analítico podría ser descrito y construido asumiendo la HAA. Con este objetivo,
Taurinus (1826) parte de las fórmulas fundamentales de la trigonometría esférica 87.
87
La trigonometría hasta el año 1450 era sobre todo trigonometría esférica (usada para problemas de agrimensura y
para problemas marítimos de localización). Esta consistía en unas reglas basadas en versiones griegas, hindúes y
árabes. El trabajo de Nâssîr-Eddîn en este campo fue aprovechado Johannes Müller (1436 – 1476), conocido como
Regiomontano y, en De Triangulis escrito entre los años 1462 y 1463, reunió el conocimiento disponible en
trigonometría plana y esférica. El resurgir o el florecimiento de la trigonometría se sitúa a fines del siglo XVI y
114
En una superficie esférica de radio
y ángulos internos
,
y
, consideremos un triángulo esférico 88 de lados , ,
opuestos a los lados en el orden dado. Entonces se pueden
establecer las siguientes expresiones trigonométricas:
Taurinus (1826) parte de estas fórmulas trigonométricas esféricas y reemplaza el radio de la
esfera
por un número complejo 89 (esfera de radio imaginario
) y obtiene:
Y de aquí se obtienen las fórmulas trigonométricas fundamentales para el plano hiperbólico 90:
principios del siglo XVII. François Viète publicó en el año 1579 un notable Canon de Mathematicus sobre
trigonometría; en el que presenta una tabla de funciones trigonométricas con una parte teórica. Durante este período
la trigonometría comenzó a separarse de la astronomía y adquirió el rango de rama de las matemáticas.
88
Podríamos usar la notación estándar para designar un triángulo esférico de vértices
(puntos de intersección
de circunferencia máximas en la superficie esférica) considerando los lados del triángulo esférico
como arcos
de circunferencias máximas los cuales denotamos simbólicamente por
,
y
. Los ángulos
se designan en la mayoría de los textos por
y los cuales son opuestos a
internos del triángulo esférico
los lados , y , respectivamente. En este sentido, debe entenderse que he designado los ángulos internos por
letras griegas para conservar la notación que se ha venido usando en este Trabajo de Grado hasta el momento
asignándolos, respectivamente, por
,
y
.
89
Véase N. 61.
90
Un resultado notable y que usaremos en esta sección, es el de Leonhard Euler (1748). Partiendo de la serie
115
Estas expresiones describen analíticamente lo que Taurinus (1826) denominó en su trabajo de
investigación Geometría Logaritmo – Esférica. Sin embargo, aclara que no pueden corresponder
a un plano euclídeo aunque sí a otra posible superficie – la cual deja sin especificar.
A partir de algunas de estas expresiones se pude demostrar analíticamente que la suma de los
ángulos internos de un triángulo en una superficie hiperbólica es menor que dos ángulos rectos.
Para mayor simplicidad en los cálculos, tomemos el caso particular de un triángulo equilátero en
la HAA donde los lados son congruentes entre sí, es decir, son tales que
reemplazando en la fórmula
Y cambiando la variable
por
, y
obtenemos que:
, establece que
La primera sumatoria de la derecha de la igualdad es
Haciendo unos cambio de variable ( por
, y después,
y la segunda es
. Así que
por ) y resolviendo para
y
, tenemos que:
La expresiones,
de y
Lambert las denominó seno hiperbólico y coseno hiperbólico, respectivamente, puesto que se pueden obtener de la
parametrización de la hipérbola.
116
Entonces 91:
y la suma de los ángulos en un triángulo equilátero es menor que 180° y, en consecuencia, por el
teorema de Saccheri – Legendre la suma de los ángulos internos en cualquier triángulo es menor
que dos ángulos rectos; resultado que corresponde a la HAA. En efecto, a partir de la fórmula
),
(
se obtiene que,
de donde se demuestra que la suma de los ángulos internos es
.
Además, cuando menor es la longitud de los lados en el triángulo, mayor es la amplitud en los
ángulos internos; siendo más precisos:
91
Hemos usado la identidad:
117
Entonces el valor de en la suma de los internos ángulos en un triángulo equilátero es igual a
dos ángulos rectos (180°) cuando uno de sus lados
. De ello se puede inferir que los
triángulos en la HAA son infinitesimalmente similares a los triángulos rectilíneos (euclidianos).
La descripción que hace Taurinus (1828) es completamente analítica (algebraico) y tiene el
mérito de ser un método que no se basa en figuras geométricas, sino que es puramente formal.
De hecho, los resultados analíticos a los que llegó Taurinus (1828) en una esfera imaginaria de
radio complejo, son semejantes a las de una esfera real de radio real positivo. En efecto,
partiendo de la fórmula fundamental de la trigonometría esférica, expresión
:
Para un triángulo equilátero esférico tenemos que,
pero
y en consecuencia,
obtenemos que la suma de los ángulos de un triángulo equilátero esférico es mayor que dos
ángulos rectos (180°). Recuérdese que Lambert (1766) señaló la analogía entre la superficie
esférica asumiendo la HAO y fue también quien sugirió que una hipotética geometría
bidimensional en la cual los resultados de la HAA fuesen válidos sería posible en una esfera de
radio imaginario o complejo. Por otro lado, a partir de la expresión
118
:
Un caso interesante sucede cuando consideramos un hipotético triángulo rectángulo en la
HAA de ángulos
y
. Entonces,
La fórmula anterior da la relación analítica existente entre el ángulo
y el lado . A partir de
la expresión anterior se podría dar tener una descripción analítica del cuadrilátero fundamental
de Saccheri y la definición de paralelismo de Gauss. Por otro lado, el triángulo rectángulo
correspondiente tiene un ángulo recto
y un ángulo cero
que forman los lados
y
que son infinitos en extensión y paralelos en una dirección (asintóticos). En Geometría
Superior se concibe como un caso límite cuando se considera que dos rectas paralela,
coplanarias, se intersecan entre sí en un punto en el infinito y se define el ángulo de intersección
y representa lo que modernamente se conoce como un triángulo asintótico [ver Figura 3.2].
Si hacemos el ángulo
triángulo
en el
, además suponemos la
longitud del lado
constante
(que corresponde a la constante
de
Schweikart) la cual denotamos por , y
a partir de la expresión:
Figura 3.2
obtenemos que,
resolviendo para ,
119
Esta relación analítica entre las constantes
y
(esta última es la misma que
emplea Gauss al encontrar la longitud de la semicircunferencia de un círculo en la HAA) fue
dada por Taurinus (1826). Además, entre otros resultados, llega a establecer que el límite
superior del área para este triángulo rectángulo es ¡una cantidad finita!:
De la expresión anterior también podemos obtener otras fórmulas. Para ello partimos de la
expresión,
y de las identidades,
Partiendo de las anteriores expresiones obtenemos la ecuación,
Por otro lado,
120
Donde obtenemos la expresión:
Esta relación, entre el ángulo
y el lado
del triángulo rectángulo asintótico
corresponde a lo que el Profesor Gray (1992, p. 165) denomina la fórmula fundamental de la
geometría no euclidiana, expresión a la que llegarían I. Lobachevsky y J. Bolyai de manera
independiente, en donde el ángulo interno
que depende del lado
comportamiento de un ángulo de paralelismo para los lados
describe analíticamente el
y .
Taurinus (1826) también estableció que en la HAA la longitud y el área de una circunferencia
de radio
están determinadas, respectivamente, por las siguientes expresiones,
y que la superficie y el volumen de una esfera son, respectivamente,
Si
entonces los resultados anteriores se reducen a los de la geometría euclídea.
Las fórmulas trigonométricas desarrolladas por Taurinus (1826) que describen analíticamente
una posible superficie en donde los algunos de los resultados de la HAA son válidos estaban
desprovistas de un contenido que permitiera interpretarlas geométricamente como sí sucede con
las formulas trigonométricas del plano en la geometría euclídea. Además, se pensó por aquella
época que tales expresiones podrían conducir a una contradicción dentro de las mismas
proposiciones en la Hipótesis del Ángulo Agudo aún a pesar de la validez formal que presentan
las ecuaciones de Taurinus (1826).
El procedimiento analítico empleado por Taurinus (1826), sería el mismo que abordarían
Lobachevsky y J. Bolyai, de manera independiente, y dentro de los resultados analíticos de la
HAA no se encontraría ninguna inconsistencia. Sin duda, este fue el primer acercamiento
matemáticamente riguroso de una consistencia relativa partiendo de las fórmulas fundamentales
121
de la trigonometría esférica para llegar a trigonometría hiperbólica; libre de los resultados
tradicionales que hasta ese momento se basaban en demostraciones del quinto postulado de
Euclides que dependían de interpretaciones geométricas. Sin embargo, las objeciones del caso a
la HAO permanecieron incólumes hasta la primera mitad del siglo XIX.
Si bien Gauss hubo llegado a describir analíticamente algunos resultados de geometría no
euclídea (HAA), como por ejemplo, la longitud de una semicircunferencia, para el Profesor Gray
(2006) no existe evidencia histórica que soporte que el príncipe de las matemáticas haya
deducido las importantes fórmulas trigonométricas descritas en los trabajo de F. Taurinus, I.
Lobachevsky y J. Bolyai.
De hecho, para el destacado Historiador Matemático, las fórmulas trigonométricas en una
esfera de radio imaginario o complejo no son difíciles de deducir y manipular si como Taurinus
(1828) demostró se asume que la geometría no euclídea (HAA) se puede describir analíticamente
con las fórmulas de la trigonometría hiperbólica. No obstante, afirma el Profesor Gray (2006):
“Pero introducir propiamente la trigonometría hiperbólica en el estudio de la geometría no
euclídea [HAA] es, como Bolyai y Lobachevsky demostraron, un trabajo dispendioso y
notable que no aparece en la obra de Gauss. Es más plausible imaginar que Él lo propuso
como hipótesis y no como una deducción de los principios básicos de la nueva geometría.
Tanto es así, que quizás por el año 1816, o a más tardar en el año 1824, Gauss estuvo
convencido de ideas como las siguientes:
•
Podría existir una geometría no euclídea, en la cual la suma de los ángulos internos de un
triángulo es menor que dos ángulos rectos.
•
El área de los triángulos es proporcional a su defecto angular y está acotada por una
constante finita.
•
Las fórmulas trigonométricas que describen esta geometría son las mismas que las de la
trigonometría hiperbólica, y la analogía con la geometría y trigonometría esférica
extienden las fórmulas para la circunferencia y el área del círculo” (Gray, 2006, p. 63).
Con respecto a estos resultados, en una Carta que Gauss envió a Taurinus en el año 1824,
expresa:
122
“La hipótesis (HAA) que la suma de los ángulos [internos] de un triángulo es menor
que
[dos ángulos rectos] da lugar a una geometría diferente de la euclídea, sin
contradicciones, que he desarrollado a mi entera satisfacción, tanto que puedo, en ella,
resolver cualquier problema excepto la determinación de una constante a priori (…) los
teoremas de esta nueva geometría pueden parecer extraños y hasta absurdos (…) pero una
reflexión sostenida revela que no contienen nada imposible. Por ejemplo, los tres ángulos
de un triángulo se hacen arbitrariamente pequeños si tomamos los lados suficientemente
grandes, a pesar de lo cual el área permanece siempre acotada (…) Todos mis esfuerzos
para encontrar una contradicción en esta geometría no euclidiana han fallado. Sólo algo
pareciera ser contradictorio, si esta geometría fuese verdadera: es posible definir una
unidad absoluta de longitud” [8, Gauss a Taurinus, VIII, pp. 187] (citado en Gray 2006,
p. 63).
§3.2 Algunos resultados de las investigaciones de Lobachevsky: Una Geometría Imaginaria
(1840) o Pangeometría (1855)
Históricamente se considera que I. Lobachevsky (1793 – 1856) abordó en el año 1815 el
estudio de la teoría de las paralelas donde asume que el quinto postulado de Euclides es
verdadero e intenta demostrarlo 92. En sus investigaciones llega a algunos resultados obtenidos
92
Lobachevsky estudió matemáticas en la Universidad de Kazán, de la cual se graduó en el año 1813 y
posteriormente fue Profesor y Rector en la misma. Hizo disertaciones sobre Matemáticas y Física. En el año 1815
estuvo trabajando en el problema de las paralelas y en una copia de sus notas, entre los años 1815 y 1816, aparecen
varios intentos por demostrar el quinto postulado de Euclides; en algunas de sus investigaciones se encuentran
resultados a los que Legendre llegó. Sin embargo, sólo fue después del año 1823 que el Matemático y Físico Ruso
hubo pensado en una Geometría Imaginaria. En un manuscrito para su libro Elementary Geometry Lobachevsky
aún cree en la posibilidad que el postulado euclídeo de rectas paralelas pueda ser demostrado. Entre los años 1823 y
1825, Lobachevsky concibió una geometría independiente del quinto postulado de Euclides. Su primera exposición
en este sentido fue Exposition succincte des principes de la géométrie avec une démonstration rigoureuse du
théorème des parallèles (1826). Entre los años 1829 y 1830 publicó una Memoria a la que tituló On the Principles of
Geometry en donde demuestra algunas aplicaciones de la nueva teoría en el Análisis Infinitesimal. En orden
aparecerían posteriormente, Imaginary Geomery (1835), New Principles of Geometry, with a Complete Theory of
Paralles (1835 – 1838), The applications of the Imaginary Geometry to Some Integrals (1836), Geometrie
Imaginaire (1837), Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien (1840), escrita en alemán y de
notable repercusión en el problema de las paralelas, y por último, aquejado ya por una terrible y penosa enfermedad
que le deja ciego, publicó un compendio completo de todas sus investigaciones en geometría en lengua rusa y
123
por el Padre Saccheri (1733) y Legendre (1794). Sin embargo, entre los años 1823 y 1825
concibió y desarrolló un sistema geométrico asumiendo la HAA al que definió como Geometría
Imaginaria.
En el año 1829, Lobachevsky publicó un primer ensayo sobre los fundamentos de la
geometría con el cual iniciaba un tratado concerniente a la teoría de las paralelas, con sus
implicaciones en la concepción del espacio físico. Sus investigaciones se prolongarían hasta el
año 1855. En New Principles of Geometry, with a Complete Theory of Parallels (1835)
Lobachevsky afirmó:
“La búsqueda de una prueba del quinto postulado, desde tiempos de Euclides y por
espacio de casi 2000 años, generaron en mí no sólo la sospecha de que era verdadero sino
también el deseo de querer demostrarlo; para lograrlo, la ayuda de los datos de la
experiencia, por ejemplo, de la observación astronómica como de las leyes de la
naturaleza, serían necesarios. Cuando estuve finalmente convencido del alcance de mí
conjetura y que llegaría a resolver esta dificultad de forma definitiva, escribí mis
argumentos en el año 1826 en una Memoria [Exposition succincte des principes de la
géométrie avec une démonstration rigoureuse du théorème des parallèles] sobre estos hechos”
(citado en Bonola, 1912, p. 92).
Para el Profesor Bonola (1912), la posición que asume Lobachevsky da a entender una
concepción filosófica y epistemológica del espacio físico opuesta a la de Kant y, por ello, el
destacado Historiador Matemático y Geómetra Italiano considera la postura del Matemático
francesa, Pangèomètrie ou prècis de gèomètrie fondeè sur une thèorie gènèrale des parallèles en el año 1855 y que
se publicó como obra póstuma.
Gauss comenzó a estudiar los trabajos de Lobachevsky hacia el año 1841 tras empezado a estudiar el idioma ruso
en el año 1838. En una Carta a Schumacher en el año 1846, Gauss escribe: “Últimamente tuve motivos para releer el
Opúsculo de Lobachevsky (Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien). Este trabajo contiene los
fundamentos de la geometría que se obtendría si la geometría euclídea no fuese válida. Si bien Schweikart (1818) la
denomina Geometría Astral, Lobachevsky la denomina Geometría Imaginaria (…) así que no he encontrado nada
verdaderamente nuevo para mí en la obra de Lobachevsky. Pero al desarrollarla, el autor [Lobachevsky] sigue una
vía diferente a la mía y en la que muestra un espíritu verdaderamente geométrico. Considero mi deber llamar tu
atención sobre este libro, que sin duda te complacerá mucho” (citado por el Profesor Montesinos, 1992, p.113).
Gauss consiguió que Lobachevsky fuese nombrado miembro honorario y corresponsal de la Sociedad Científica de
Göttingen en el año 1842.
124
Ruso más próxima a la doctrina filosófica del Sensualismo, es decir, a la corriente empirista 93 de
la época y en la que al parecer Lobachevsky procuró, afirma el Profesor Bonola (1912), que la
geometría volviera a ocupar de nuevo su lugar dentro de las ciencias experimentales. En su obra,
New Principles of Geometry (1829 – 1830) Lobachevsky propone un enfoque diferente en los
fundamentos de la geometría donde toma como punto de partida la noción de contacto 94 entre
cuerpos rígidos o prácticamente sólidos.
Para Lobachevsky, considera el Profesor Moreno – Armella (1998): “(…) la geometría
empieza con un estudio de los [cuerpos prácticamente] sólidos, luego se pasa a las superficies
como fronteras de [los cuerpos prácticamente] sólidos y después aparece la línea recta” (Moreno
– Armella, 1998, p. 401).
Desde esta perspectiva, Lobachevsky desarrolla su concepción sobre una posible geometría
del espacio: “Las superficies, las líneas, los puntos, así como se definen en la geometría sólo
existen en nuestra imaginación; para medir superficies y líneas hacemos uso de los cuerpos
[prácticamente sólidos] (citado en Moreno – Armella, 1998, p. 401).
Lobachevsky en su obra Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien (1840)
hace un análisis de su Trabajo en relación a sus investigaciones anteriores sobre la teoría de las
paralelas. A manera de prólogo, el Matemático y Físico Ruso afirma:
“En la geometría encuentro ciertas imperfecciones las cuales considero son la razón del
por qué esta ciencia, aparte de la transición en analítica, aún no muestra avances desde el
período en el cual nos viene dada por Euclides.
Como pertenecientes a estas imperfecciones, considero la oscuridad en los conceptos
fundamentales de las magnitudes geométricas y en la manera y método de representar la
93
Se puede considerar la corriente filosófica del Empirismo como una teoría epistemológica que privilegia y
considera a la experiencia sensorial como una fuente del saber. En este sentido, tal postura sostiene que el
conocimiento se fundamenta principalmente en la experiencia y se adquiere a través de los datos de la observación
del mundo exterior y de las sensaciones y representaciones que se infieren de los datos de la experiencia.
94
El concepto de contacto entre cuerpos sólidos o rígidos equivale a la posibilidad de dividir un cuerpo en secciones
de diferentes tipos y de reconstruirlas nuevamente. Los diferentes tipos de contacto definen las superficies, las líneas
y los puntos.
125
medida de esas magnitudes, y por último el problema importante en la teoría de las
paralelas, que para resolverlo, todos los esfuerzos de los matemáticos han sido hasta
ahora en vano. Para esta teoría, las investigaciones de Legendre no han contribuido en
mucho después que estuvo forzado a dejar el único camino riguroso (...) Mi primer
ensayo sobre los fundamentos de geometría lo publique en el Messenger (Mensajero) de
Kasan por el año 1829. Esperando satisfacer todos los requerimientos, intenté desarrollar
un tratado de todo lo concerniente a esta ciencia, y publiqué mi trabajo en partes
separadas en Gelehrten Schriften der Universitat Kazán, por los años 1836, 1837, 1838,
bajo el titulo de New Elements of Geometry, con una completa Theory of Parallels. La
magnitud de este trabajo quizás impidió a mis compatriotas seguir tal asunto el cual desde
Legendre había perdido su interés. Aun soy de la opinión que la Theory of parallels no
perdería su demanda a la atención de los geómetras, y por consiguiente yo intento dar
aquí el resultado de mis investigaciones. Observando de antemano que, contrario a la
opinión de Legendre, todas las otras imperfecciones / por ejemplo la definición de línea
recta/ se muestran extrañas
aquí pero sin alguna influencia real sobre la teoría de
paralelas” (Lobachevsky, 1840, p. 11).
Vamos a presentar una descripción concisa de algunos resultados obtenidos por Lobachevsky
en su obra Theory of Parallels (1840) que consta de 37 proposiciones. Uno de sus objetivos es
presentarnos resultados de geometría absoluta 95 y la posibilidad de describir analíticamente una
hipotética geometría partiendo de la negación del quinto postulado de Euclides en una de sus dos
formas: La Hipótesis del Ángulo Agudo. En este sentido, comenta el Profesor Moreno – Armella
(1998):
“El recurso metodológico que emplea Lobachevsky consiste en ir presentando
resultados de la geometría del plano (que no dependan de un postulado sobre rectas
paralelas) y luego compararlos con los correspondientes resultados de la geometría
esférica. Esto cumple con el propósito de ir abriendo camino a las ideas no euclídeas que
95
También se le denomina geometría neutra [véase, N. 43, p. 40]. Para Lobachevsky la geometría neutra es: “(…)
El complejo de deducciones derivadas de aquellos conceptos que son concebidos de inmediato en nuestra mente a
través de la representación de los cuerpos, representación a la que está atenta nuestra imaginación; deducciones que
podemos extraer de la naturaleza directamente sin recurrir a nociones artificiales ni extrañas” (citado en Moreno –
Armella, 1998, p. 402).
126
nos presentará más adelante a propósito de la hipótesis del ángulo agudo (Moreno –
Armella, 1998, p. 402).
Lobachevsky (1840) define una línea recta como aquella que descansa sobre sí misma en
todas sus posiciones. En esta definición de línea recta, el Matemático y Físico Ruso parte de
considerar superficies, al respecto afirma: “Por eso pienso que mientras se revoluciona la
superficie que la contiene [a la recta], la línea no cambia su posición si esta pasa a través de dos
puntos fijos en la superficie (...)” (Lobachevsky, 1840, p. 11).
Al parecer Lobachevsky (1840) hace referencia al giro de una superficie sobre una línea recta
fija. No obstante, como Él lo afirmó en párrafos anteriores, la definición de línea recta que
introduce en su obra no tiene una influencia en las demostraciones de las proposiciones que
desarrollará.
A continuación, pasa a considerar algunas propiedades sobre líneas rectas: dos líneas rectas no
pueden intersecarse en dos puntos distintos (equivalente a la unicidad de la recta en Euclides) y
el que se pueda prolongar indefinidamente una línea recta en ambas direcciones. Ambas son
propiedades de la “recta” euclídea.
Después, Lobachevsky (1840) asume la siguiente propiedad de rectas no secantes entre sí:
“2. Dos líneas rectas perpendiculares a una tercera [recta] no se intersecan [entre sí] por
más que se prolonguen [indefinidamente en ambas direcciones]” (Lobachevsky, 1840, p.
12).
Esta afirmación le permite al Matemático y Físico Ruso, en primer lugar, introducir la
existencia de rectas asintóticas [no secantes entre sí] y, en consecuencia, descarta una de las
negaciones del quinto postulado de Euclides (por un punto no colineal a una recta dada no pasan
rectas paralelas a dicha recta (HAO)). Por otro lado, en otra definición establece el siguiente
criterio general sobre estas rectas coplanarias no secantes entre sí:
“4. Dadas dos rectas, si una tercera al incidir sobre ellas hace los ángulos internos del
mismo lado congruentes entre sí, entonces las dos rectas dadas no se intersecan [entre sí
de ese lado]” (Lobachevsky, 1840, p. 12).
Estas primeras propiedades y las siguientes (presenta criterios y resultados sobre triángulos
rectilíneos y esféricos) le permiten a Lobachevsky establecer su definición de rectas paralelas:
127
“16. Todas las líneas rectas en un plano que pasan por un punto pueden, con referencia a
una línea recta dada en el mismo plano, ser divididas en dos clases – en las que la
intersecan y las que no lo hacen.
Las líneas fronteras de la primera o segunda clase de estas rectas serán llamadas paralelas
a la línea dada. A partir del punto
se traza la perpendicular
primera trácese la perpendicular
a ésta [Figura 3.3].
En el ángulo recto
a la línea
; y sobre la
todas las
líneas rectas que emerjan del punto
intersecan a la línea
,
o
alguna
perpendicular
, como por ejemplo
de
ellas,
como
la
, no interseca a la línea
. Con el fin de resolver si la
perpendicular
es la única línea que no
, asumiremos que
interseca a la línea
puede existir otra línea, por ejemplo,
que no interseca a la línea
por más que
la primera sea prolongada. Pasando de las
líneas secantes, como
secantes, como
línea
, a las líneas no
, debemos considerar la
, paralela a
, como una línea
frontera sobre un lado en el cual todas las
líneas como
no intersecan a la
línea
, mientras que en el otro lado toda
línea
interseca a la línea
El ángulo
Figura 3.3
.
que definen la paralela
y la perpendicular
es llamado el ángulo
paralelo (ángulo de paralelismo), el cual aquí designaremos por
Si
es un ángulo recto, la prolongación de la línea
igualmente será paralela a la prolongación de la línea
para
de la perpendicular
de la línea
que con respecto a los cuatro ángulos rectos que se forman en el punto
128
.
, además notamos
ella misma o su
prolongación, estará en uno de los dos ángulos rectos en la dirección de
excepto la paralela
todas las otras rectas, si son suficientemente prolongadas, en
ambas direcciones, deben intersecar la línea
Si
, de modo que
.
, entonces sobre el otro lado de
será también una línea
haciendo el mismo ángulo
, paralela a la prolongación
de la línea
, de modo
que sobre esta suposición debemos hacer una distinción de lados de paralelismo”
(Lobachevsky, 1840, pp. 13 - 14).
Lobachevsky (1840) divide el conjunto (haz) de rectas (coplanarias) que pasan por un punto
no colineal a una recta en dos clases: las rectas secantes y no secantes con la recta dada [Ver Fig.
40]. Las rectas que constituyen la frontera (línea frontera) de estas dos clases serán llamadas
paralelas a la recta dada (Lobachevsky (1840) asume la HAA).
El término líneas frontera, comenta el Profesor Chaves (2001), no fue usado ni por Gauss ni
por J. Bolyai (1831) pero los tres trabajaron con la misma definición de paralelismo entre rectas.
A continuación, Lobachevsky (1840) pasa a establecer que la propiedad de paralelismo no
depende de ningún punto de la recta y que además es una relación simétrica (propiedades
demostradas por Gauss y J. Bolyai (1831). A partir de esta definición y otras propiedades
previamente demostradas se desprenden las siguientes proposiciones:
“19. En un triángulo rectilíneo la suma de los tres ángulos [internos] no puede ser mayor
que dos ángulos rectos.
20. Si en cualquier triángulo rectilíneo la suma de los tres ángulos [internos] es igual a
dos ángulos rectos entonces también es cierto que para cualquier triángulo la suma de los
ángulos internos es igual a dos ángulos rectos [un resultado que también es válido si
asumimos a la hipótesis del ángulo recto]” (Lobachevsky, 1840, p. 16 – 17).
Ambos resultados que también se desprenden de las investigaciones hechas por el Padre
Saccheri (1733) y Legendre (1794). En particular, recuérdese el teorema de Saccheri – Legendre.
Por otro lado, Lobachevsky (1840) establece:
129
“22. Si dos perpendiculares a una misma recta son paralelas entre sí entonces la suma de
los tres ángulos [internos] de un triángulo rectilíneo es igual a dos ángulos rectos
(Lobachevsky, 1840, p. 19).
Esta propiedad entre rectas una caracterización de la geometría euclídea. Resultado conocido
por el Padre Saccheri (1733) (cuadrilátero fundamental) y Lambert (1766) en la HAR. En esta
proposición (22) Lobachevsky (1840) nombra como Geometría Imaginaria (Lobachevsky, 1840,
p. 19) y, posteriormente, Pangeometría en su libro de Pangèomètrie ou prècis de gèomètrie
fondeè sur une thèorie gènèrale des parallèles (1855) al sistema geométrico que parte de la
hipótesis que el ángulo de paralelismo entre dos rectas es
.
Lobachevsky (1840) no explica el por qué la asigna con este nombre, Pangeometría pero
aclara que para su descripción analítica usará resultados de trigonometría esférica y plana
(euclídea); en este punto encontraremos en algunos resultados una clara coincidencia con el
trabajo de Taurinus (1826), el cual parte de las fórmulas de la trigonometría esférica y, en la que
intercambiando el radio real de la esfera por un radio imaginario o complejo, obtenemos las
fórmulas de la trigonometría hiperbólica que posteriormente, como lo veremos, describen la
Geometría Imaginaria de Lobachevsky (1840.
En la siguiente proposición, Lobachevsky (1840) da una caracterización de la función del
ángulo de paralelismo donde analíticamente se demuestra la existencia de una recta asintótica
para un ángulo dado, es decir, para todo ángulo dado
existe una línea recta
tal que
.
En esta proposición se muestra que la función del ángulo de paralelismo
(donde
) es sobreyectiva. En términos modernos, si definimos el intervalo abierto donde el
ángulo
varía en radianes entonces,
donde
es una función monótona decreciente que tiende a
el valor de
radianes cuando
.
130
radianes cuando
y toma
De la definición (16) de paralelismo, Lobachevsky (1840) afirma que,
“24. Las líneas rectas paralelas entre más se prolonguen hacia su lado de paralelismo se
aproximarán más entre sí” (Lobachevsky, 1840, p. 21).
Esta propiedad de paralelismo se aparta de la idea subyacente de equidistancia entre rectas
paralelas en la hipótesis euclídea (HAR). Lobachevsky (1840) establece que en su definición de
paralelismo existe una relación de transitividad (primeramente lo demuestra para rectas
coplanarias y después para las no coplanarias). Su intención, al igual que Gauss y J. Bolyai
(1831) es pasar al espacio geométrico no euclídeo para describir la nueva geometría en la que
aparecerán el horociclo y la horoesfera.
Lobachevsky (1840) pasa a trabajar sobre esferas de radio real (triángulos esféricos
congruentes, prueba que el área de un triángulo esférico es proporcional a su exceso angular,
resultado conocido por Lambert (1766)).
Más adelante da la siguiente definición:
“31. Llamamos línea frontera (horociclo) a la curva en un plano en la cual todas las
perpendiculares erigidas en los puntos medios de las cuerdas son paralelas entre sí”
(Lobachevsky, 1840, p. 30).
J. Bolyai (1831) denomina al horociclo como línea . Gauss le asignó el nombre de tropo, y la
define, como ya hemos visto, a través de la noción de puntos correspondientes en rectas [rayos]
paralelas].
Lobachevsky (1840) define una línea frontera como una circunferencia con un radio que
tiende infinito y en el que el centro [punto en el infinito] del horociclo se mueve en dirección de
una recta que será un eje de la línea frontera 96. De igual forma define la horoesfera como una
superficie frontera que se forma a partir de la revolución de la línea frontera sobre uno de sus
ejes. Es decir, es el lugar geométrico de los puntos correspondientes a un punto dado con
96
La sucesión de circunferencias con centro en una recta y radio que tiende a infinito convergen en un horociclo,
donde un eje del mismo es una recta dada. Un resultado notable es que por dos puntos dados pasan dos horociclos:
“Sus centros son los dos extremos de las mediatrices de la cuerda que une a ambos puntos” (Coxeter, 1971, p. 342).
131
respecto a un haz tridimensional de rectas paralelas 97. J. Bolyai (1831) le da el nombre de
superficie F. En otra proposición de su obra, Lobachevsky (1840) prueba las fórmulas de la
trigonometría esférica usando geometría absoluta 98, es decir, apartándose del quinto postulado
de Euclides y de la negación del mismo.
El Profesor Montesinos (1992) cita un resultado notable que Lobachevsky (1855) presenta en
la Pangeometría en la cual el Matemático Ruso obtiene la siguiente relación entre los horociclos.
Sean
y
dos rayos paralelos en la
misma dirección y
es un horociclo
que pasa por los puntos
y
y
es
otro horociclo que pasa por los puntos
y .
Lobachevsky demuestra que la razón
entre las longitudes de los horociclos
y
que pasan por los puntos dados
y que denotamos por
y
,
respectivamente, viene dada por la
expresión
donde
Figura 3.4
es una constante positiva indeterminada y
. Sobre la constante
,
comenta el Profesor Montesinos (1992), que Lobachevsky (1840) afirma, sin demostrarlo, que
, donde
es la base de los logaritmos naturales o neperianos. Este resultado, sostiene el
Historiador en Matemáticas, también se encuentra en Exposition succinte… (1826 – 1829) del
Matemático Ruso.
97
A un único haz de rectas paralelas está asociada una horoesfera.
98
La geometría absoluta es la geometría que depende solamente de los primeros cuatro primeros postulados del
Libro I de los Elementos y de las proposiciones que son lógicamente independientes del quinto postulado de
Euclides. Sin embargo, ésta no es una geometría categórica: se trata en realidad de dos geometrías en una. Para ser
más precisos, diremos que deja a discusión la existencia de rectas ultraparalelas o hiperparalelas.
132
Consideremos una recta m que pasa por un punto
la recta r en una dirección y sea
r; siendo
donde
(no colineal con la recta r) y es paralela a
la longitud del segmento
el cual es perpendicular a la recta
un punto en la recta r. Es así como Lobachevsky (1840) demuestra que,
. Es decir,
es exponencial.
Eligiendo una unidad de longitud conveniente de tal modo que
se obtiene la
fórmula,
De hecho, si queremos que este resultado de Lobachevsky concuerden con la Geometría
Logaritmo – Esférica de Taurinus (1826) y algunos resultados analíticos obtenidos por Gauss,
definimos
y obtenemos,
Entonces por la fórmula fundamental
de la geometría no euclidiana se
obtiene que,
donde
es una magnitud lineal y
es el ángulo que forman la recta m y
el segmento
radianes,
de tal forma que en
Figura 3.5
.
133
Expresado en forma analítica,
Asumiendo que la suma de los ángulos internos en un triángulo es menor que dos ángulos
rectos, Lobachevsky (1840) demostró que si las rectas [rayos] m y s que pasan por el punto
(no colineal con la recta r) son rectas [rayos] paralelas a la recta r pero en direcciones opuestas
(a la izquierda y derecha) [ver Figura 3.5] se cumple la siguiente relación fundamental:
En la geometría euclídea (HAR) el ángulo de paralelismo
es igual a un ángulo recto y, por
consiguiente, las rectas m y s son la misma recta (son rectas coincidentes).
Analíticamente la expresión anterior muestra la relación entre la unidad de medida angular y
la unidad de medida de longitud. En el límite cuando la longitud
paralelismo tiende a
el ángulo de
radianes con lo cual puede deducirse que la geometría euclidiana
es un caso límite (infinitesimal) de la nueva geometría.
Sobre los horociclos, existe una geometría análoga a la euclídea, en la que el horociclo toma el
lugar de las rectas. Así, Lobachevsky (1840) obtiene el primer resultado notable y que el
matemático F. L. Wachter había informado a Gauss en una correspondencia:
La geometría euclídea y en particular, la trigonometría clásica del plano, son válidas en la
superficie de la horoesfera.
Al respecto comenta el Profesor Bonola (1912):
“Esta importante propiedad y otra relacionada con los horociclos coaxiales (círculos
concéntricos con radios que tienden a infinito) son empleadas por Lobachevsky para
deducir las formulas trigonométricas del nuevo Plano [no euclídeo] y la Trigonometría
Esférica. Las formulas de la trigonometría esférica en el nuevo sistema son establecidas
de la misma forma como las de la trigonometría esférica clásica cuando los elementos del
triángulo son medidos en ángulos rectos” (Bonola, 1912, p. 89)
134
Por otro lado, el ángulo de superficie situado entre dos planos se define como el ángulo
formado por las perpendiculares a los planos. Un primer razonamiento le permite encontrar que
“la suma de los ángulos en un triángulo en la superficie de la horoesfera (formado por tres
planos que tienen forma de prisma) es igual a dos ángulos rectos” (Gray, 1992, p. 159 – 162).
Partiendo de la fórmula fundamental de la geometría no euclídea, Lobachevsky (1840) da
cierto número de reformulaciones en forma general de esta identidad básica (Lobachevsky, 1840,
pp. 39 - 45). Sabiendo que:
entonces:
de donde podemos obtener,
Haciendo
y
se obtiene que,
y
La forma en que Lobachevsky (1840) expresa estos resultados es la siguiente:
Consideremos un triángulo
opuestos, respectivamente,
de lados
,
a dichos lados. Sean
paralelismo correspondiente a los lados
,
,
y ángulos internos
y
y
los ángulos de
y . Lobachevsky (1840) llega a las fórmulas
fundamentales:
135
y
de donde se obtiene, junto con las ecuaciones de Taurinus (1826) que,
Presentamos a continuación algunos de los resultados obtenidos que se desprenden de las
investigaciones de Lobachevsky (1840):
(i) En el caso de los triángulos cuyos lados son muy pequeños (infinitesimales) podemos usar la
trigonometría clásica, así como las fórmulas de la “trigonometría imaginaria” para infinitesimales
de orden superior. Y recíprocamente, menciona Bonola (1912): “La suposición que la geometría
euclidiana parte de las magnitudes lineales infinitesimales puede ser tomado como punto de
partida para el desarrollo de la geometría no euclidiana” (Bonola, 1912, p. 90 – 91).
(ii) Si
, son sustituidos por
( unidad imaginaria) las fórmulas de la trigonometría
hiperbólica son transformadas en las de la trigonometría esférica ordinaria (este método fue el
seguido por Taurinus en su geometría logaritmo – esférica).
(iii) Si introducimos un sistema de coordenadas en dos y tres dimensiones, similar al sistema
rectangular cartesiano, podemos hallar longitudes de curvas, calcular áreas, superficies, y
volúmenes por los métodos de la geometría analítica.
§3.3 Algunos resultados de las investigaciones de J. Bolyai (1831): Una Geometría Absoluta
J. Bolyai (1802 – 1860) es considerado junto con Lobachevsky el creador de la geometría no
euclídea asumiendo la HAA. Desde muy joven se interesó en el problema de las paralelas, sin
duda influido por su padre quien además fue durante un tiempo su tutor, el también matemático
Wolfgang Bolyai. Aunque su padre mantuvo una relación estrecha con Gauss, las
investigaciones de J. Bolyai se mantuvieron alejadas de cualquier influencia de ambos, e incluso
de las de Lobachevsky.
136
Estudió en la Academia de Ingenieros de Viena, y es en su último período de estudiante, entre
los años1820 – 1821, que al parecer ya había avanzado en sus investigaciones sobre la teoría de
las paralelas. Escribió, según datos históricos, un primer manuscrito en el año 1826 el cual se
perdió. Finalmente, Wolfgang Bolyai decidió incorporar la obra de su hijo en forma de Apéndice
en un libro de geometría al que tituló: Tentamen juventutem studiosam in elementa Mathesos
purae, elementaris ac sublimioris, method intuitiva, evidentiaque huic propia, introducendi. El
Apéndice se publicó en forma de separata antes que el Tentamen en el año 1831 y el padre de J.
Bolyai lo envió a Gauss pidiéndole su opinión 99.
El nombre que dio a su obra es: Appendix. Scientiam spatti absolute veram exhibens: a
veritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (a priori, haud unquam decidenda) independetem:
adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica 100 (1831).
Escrito originalmente en latín, con notación simbólica, consta de 43 proposiciones o
secciones, contiene el desarrollo de sus investigaciones y resultados referentes a la teoría de las
paralelas. Las diez primeras secciones tratan de propiedades geométricas independientes del
quinto postulado de Euclides. Estos coinciden con los encontrados por el Padre Saccheri (1733)
y Lambert (1766). J. Bolyai trabaja con rectas o rayos dirigidas. Su primera definición de rayos
paralelos es:
99
Año en el cual al parecer Gauss se había decidido a publicar sus investigaciones, según consta en carta dirigida a
Schumacher.
100
Apéndice. Que exhibe la ciencia del espacio absoluto y verdadero; esto es, la independencia de la verdad o
falsedad del axioma XI de Euclides (
indecidible): y en el que se adjunta – en caso de falsedad – una
cuadratura geométrica del círculo. Todas sus definiciones serán tomadas de su obra (Bolyai, 1831).
137
“1. Si al rayo
no lo interseca el rayo
situado
en el mismo plano pero si lo hace cualquier otro rayo
comprendido dentro del ángulo
paralelo al rayo
al rayo
por
, llamaremos
; y lo denotaremos
[ver Figura 3.6].
Es evidente que existe un rayo
que pasa por cualquier punto
recta
, y solamente uno,
(que no pertenece a la
) y que la suma de los ángulos
no puede exceder
alrededor de
,
; pues al mover
hasta que
,
en alguna parte el primer rayo
, y entonces
no cortará al rayo
. Es claro que
donde quiera que el punto
,
se tome en la recta
(podemos suponer en todo caso que
).
Figura 3.6
Si el punto
tiende a infinito sobre el rayo
de tal modo que
es invariable; pero el ángulo
que
, se tiene que
tiende a cero al igual
” (Bolyai, 1831, p. 2 – 3).
En esta definición de paralelas Bolyai (1831)
hace una aclaración sobre los dos rayos
paralelos, la cual dice deben estar sobre un mismo plano (rayos coplanarios), pues al parecer un
objetivo era trabajar en el espacio geométrico en la HAA. Por otro lado, el valor en la suma de
estos ángulos no puede exceder a dos ángulos rectos dado que la geometría desarrollada por
Bolyai descarta la HAO.
Bolyai (1831) demuestra que su definición de paralelismo es independiente con respecto a los
puntos que se tomen en los rayos paralelos. Introduce, al igual que Gauss y Lobachevsky (1840),
la idea de puntos correspondientes dando una definición de los mismos. Prueba, en otras
proposiciones, la existencia de simetría y transitividad entre rayos paralelos.
138
A partir de la sección 11, Bolyai (1831) define la horoesfera (superficie F) y el horociclo (su
eje, curva L o L- línea) utilizando la idea de puntos correspondientes, al igual que Gauss 101. Más
adelante demuestra, que si la suma de los ángulos internos en un triángulo es igual o menor que
dos ángulos rectos entonces este valor es mismo para la suma de los ángulos internos en
cualquier otro triángulo.
En la sección 15, Bolyai (1831) denota con
del Ángulo Recto y por
al sistema geométrico basado en la Hipótesis
al sistema geométrico basado en la hipótesis contraria, en este caso, la
Hipótesis del Ángulo Agudo 102:
“15. (…) el sistema geométrico que descansa en la verdad del axioma
denotado por
de Euclides,
; y el sistema creado sobre la hipótesis contraria es . Todos las cosas en
las que no se dice expresamente si están en Σ o
, se entiende que son enunciados
absolutos (geometría absoluta): son ciertos sin importar en realidad si están en
o ”
(Bolyai, 1831, p. 14).
En otras secciones establece que
y su eje de simetría son perpendiculares y empieza a
plantear una analogía entre los resultados del hipotético sistema geométrico y la geometría
euclídea. Entre algunos resultados, demuestra que no existen tres puntos en la curva L que sean
colineales 103, ni cuatro puntos de F que sean coplanarios, los cuales son a su vez, una línea y una
superficie en .
En la sección 21, el Matemático Húngaro demuestra que la curva L es el límite de una
sucesión de circunferencias concéntricas cuyo centro está situado en un eje que tiende a infinito
[haz de rayos paralelos que convergen en un punto en el infinito]. También llega al notable y
sorprendente resultado que la geometría sobre la superficie
[horoesfera] es euclídea y toda la
geometría y trigonometría del plano son válidas en ésta.
101
Quien, tras leer el Apéndice, le sugirió a Bolyai que las llamara parasferas y paraciclos, siendo posiciones límites
o frontera de una esfera y de un círculo con radios que tienden a infinito, respectivamente.
102
Denomina geometría absoluta a los resultados, teoremas o proposiciones que son independiente de los sistemas
y .
103
Recuérdese la afirmación lógicamente equivalente al quinto postulado de Euclides propuesta por Wolfgang
Bolyai [véase, N. 76, p .93] y es que por tres puntos no colineales puede ser trazada siempre una circunferencia de
radio finito o, también, por cuatro puntos no coplanarios puede ser trazada siempre una esfera.
139
De igual forma establece una interesante propiedad de los horociclos: demuestra que la
distancia entre dos horociclos de un mismo sistema, medida a lo largo de una perpendicular
común (haz de rayos paralelos) “no depende del eje elegido”: (Bolyai, 1831, p. 18). Es decir, si
y ,
y
son puntos correspondientes, en el orden dado sobre dos rayos paralelos entre sí
entonces
[ver Figura 3.7] y demuestra la siguiente relación entre las longitudes
finitas de arcos o curvas de horociclos:
Y establece que la razón entre los arcos de
es exponencial. Analicemos la expresión:
Bolyai (1831) demuestra que la
primera razón, a la izquierda de la
igualdad, es independiente de la
longitud de arco del horociclo
dado
y está completamente
determinada por la distancia
Lo
cual
y
significa
que
dos
horociclos consecutivos o no, son
Figura 3.7
congruentes entre sí.
Definiendo
Bolyai denomina
a la expresión:
Sea
A continuación obtiene los siguientes resultados:
140
Supongamos que:
.
Entonces
y obtenemos la expresión,
Entonces
de donde podemos obtener en forma general y notación moderna que:
, para λ un número real positivo.
Bolyai (1831) ha demostrado que
donde
tiene la forma:
.
En el sistema , comenta Bolyai (1831), se tiene que
se tiene que
para todo , pero en el sistema
es constante y además que
Él observa que:
Si en un haz de rayos paralelos en una dirección tomamos tres rayos paralelos entre sí
por los que pasan dos horociclos consecutivos
arcos o curvas de longitud finita de
y
, y designamos por
que definen los puntos ,
respectivamente, entonces el arco o curva de longitud finita
y
de los rayos
,
y
es congruente con el arco o curva
y
de
de los rayos
,
y
y
los
,
y
,
que definen los puntos ,
.
Por extraño que este resultado parezca, sin embargo, no demuestra todavía que el sistema
sea contradictorio. Es decir, la geometría de un haz de rayos paralelos es una geometría uniforme
y congruente, mientras que en la superficie de la horoesfera es la geometría euclídea.
141
En la sección 25, Bolyai (1831) empieza a introducir la trigonometría enunciando un teorema
de geometría absoluta en la que se debe entender por periferia de un segmento la longitud de la
circunferencia de radio igual al segmento:
“25. En todo triángulo rectilíneo los senos de sus ángulos son proporcionales a las
periferias de los lados opuestos” (Bolyai, 1831, p. 20).
En cualquier triángulo rectilíneo de ángulos
y , denotamos por
la longitud de la
circunferencia de radio , , , entonces Bolyai prueba que:
Si pasamos a comparar cada sistema geométrico,
(i) En el caso de la hipótesis euclidiana (HAR), si
y , separadamente, tenemos:
siendo
.
Entonces para cualquier triángulo rectilíneo de
lados a, b, c y ángulos opuestos
,
y
respectivamente [ver Figura 3.8]:
Que es el teorema del seno:
F
Figura 3.8
Por supuesto, en la fórmula anterior, haciendo la respectiva restricción en los denominadores
para que sean distintos de cero.
Bolyai (1831), a continuación, procede a obtener, dentro de la geometría absoluta, las
fórmulas de la trigonometría esférica:
“26. En todo triángulo esférico los senos de los ángulos son proporcionales a los senos de
los lados opuestos” (Bolyai, 1831, p. 21).
142
Bolyai (1831) demuestra que la trigonometría esférica es independiente del quinto postulado
de Euclides 104.
(ii) En cualquier triángulo esférico
de radio
. (HAO), si
Entonces en cualquier triángulo esférico de lados a, b, c y ángulos opuestos
respectivamente, se tiene:
Por ejemplo, si consideramos una esfera de radio
, entonces la periferia de
, denotada por
es
[ver Figura 3.9]:
Donde
En las siguientes secciones el Matemático Húngaro
avanza en la trigonometría del sistema .
Figura 3.9
En la sección 31, Bolyai (1831) establece que:
(iii) En el caso de la HAA para un triángulo ABC, si
Entonces para cualquier triángulo hiperbólico:
104
Lobachevsky también lo demuestra en su obra (Lobachevsky, 1840, p. 24 - 27).
143
,
y
,
Esta última relación es llamada por Bonola (1912) el teorema del seno de la geometría Bolyai
– Lobachevsky.
En el triángulo rectángulo
que el ángulo
tal
[ver Figura
3.10], obtenemos:
Figura 3.10
De igual forma, mediante otro tipo de argumentos Bolyai (1831) deduce (secciones 27 a 30 en su
obra) las siguientes expresiones:
Y el equivalente del teorema de Pitágoras:
A partir de las expresiones
,
y
se puede deducir toda la trigonometría hiperbólica
plana en la HAA.
Bolyai (1831), al igual que Lobachevsky (1840), hubo obtenido la función del ángulo del
paralelismo:
144
En la sección 32, Bolyai (1831) introduce un sistema de coordenadas en el plano o superficie
en la HAA (plano hiperbólico) que se comporta como el rectangular. Fijando un origen
rayo , entonces las coordenadas
(con signo) y la distancia
a
de un punto
es la distancia
(perpendicular trazada desde
de
en un
a la recta dirigida
a ). Bolyai (1831) empieza
aplicar los métodos del análisis de la época al cálculo de tangentes de curvas, longitudes, áreas,
volúmenes, rectificación del horociclo, área y volumen de la esfera. Si bien no llega a una
fórmula explicita para longitud de línea diferencial
, tomando como referencia el sistema de
coordenada anterior, se tiene:
La introducción de coordenadas por parte de Bolyai (1831) y Lobachevsky (1840) fue un gran
paso para demostrar que era posible definir una métrica intrínseca en la nueva teoría que
describiera analíticamente el comportamiento asintótico de las rectas paralelas en una dirección.
Por otro lado, Bolyai (1831) plantea algunas cuestiones como resultado de sus investigaciones
con respecto a la teoría de la paralelas. Establece que todas las expresiones que estén
relacionadas con la constante
(en la hipótesis de que exista) en el límite cuando
reducen al caso euclídeo (sistema geométrico
). Deja a discusión si el sistema
válido y afirma que todo lo deducido en la hipótesis que el axioma
se
o algún
es
(quinto postulado de
Euclides) sea falso, es válido independientemente de éste y en consecuencia no se precisa de
ninguna otra hipótesis.
En la sección 43, Bolyai (1831) afirma:
“43. (…) Queda finalmente por demostrar la imposibilidad de decidir (al margen de
cualquier suposición a priori ) si existe
o alguna
(y cuál). Esto, sin embargo, queda
reservado para una mejor ocasión” (Bolyai, 1831, p. 48).
El sistema
al cual se refiere Bolyai (1831) y la Geometría Imaginaria y/o Pangeometría de
Lobachevsky s(1840 – 1855) sería llamada posteriormente por el matemático alemán Félix Klein
(1849 – 1925) geometría hiperbólica.
145
Por los resultados de algunas de estas investigaciones, Lobachevsky (1840) le ha dado a su
Geometría imaginaria un desarrollo matemáticamente riguroso especialmente en su parte
analítica al igual que Bolyai (1831) en la forma en que introduce fórmulas trigonométricas para
expresar analíticamente los teoremas de geometría absoluta. Al respecto, afirma Bonola (1912):
“Lobachevsky buscó construir un sistema de geometría basándose, principalmente, en la
negación del postulado euclidiano. Bolyai buscó construcciones y proposiciones en la geometría
euclídea las cuales eran independientes de un axioma o postulado sobre rectas paralelas”
(Bonola, 1912, p. 102).
A tales proposiciones Bolyai (1831) las denominó teoremas absolutos que pertenecen a la
Ciencia Absoluta del espacio. Un teorema geométrico es absoluto, o es un teorema de geometría
absoluta, si es verdadero independientemente asumir un postulado de rectas paralelas. Así que
las primeras veintiocho proposiciones del Libro I de los Elementos de Euclides pueden
considerarse teoremas absolutos. Al respecto expresa Gray (1992):
“Un teorema de esta clase podría obtenerse o bien sin referencia a rectas paralelas, o bien
independientemente de él, aceptando primero el postulado y, en segundo lugar, la
.
Si la definición de paralelas se expresara de tal manera que tuviera sentido en cualquiera
de las dos geometrías, los teoremas que obtendríamos serían absolutos, o solamente
ciertos en geometría euclidiana, que sería un caso particular. Pero si además, resultara
que este último es una condición impuesta, podríamos encontrar una contradicción que
diera por descartada a la geometría no euclidiana” (Gray, 1992, p. 155).
En cuanto a los resultados de las investigaciones en la Pangeometría de Lobachevsky (1855)
con respecto a la cuestión de la indemostrabilidad del postulado euclídeo de rectas paralelas,
sugiere Bonola (1912) que la obra del Matemático Ruso está enfocada a la construcción de la
teoría de las paralelas a partir de las primeras 28 proposiciones del Libro I de los Elementos de
Euclides.
Lobachevsky (1840) habiendo introducido una definición de rayos paralelos en una dirección,
demuestra, al igual que Gauss y Bolyai (1831) que esta propiedad es una relación de
equivalencia en un haz de rayos paralelos. No obstante, la asunción de equidistancia entre dos
rectas paralelas entre sí en la HAR se presenta bajo un concepto más amplio en la HAA. Lejos
de ser una propiedad indisoluble con respecto a las proposiciones I, 1 a I, 28 de los Elementos,
146
los resultados en la HAA esbozan, entre otras propiedades, un rasgo nuevo que no sólo permite
describir en forma general el comportamiento asintótico de las líneas paralelas sino que también
introduce una forma de caracterizar métricamente la existencia de un plano o superficie en la
HAA. Recordemos dicha propiedad:
Las líneas paralelas en la HAA entre más se prolonguen hacia su lado de paralelismo
(dirección) se aproximan más entre sí.
En efecto, podemos demostrar como un teorema en la HAA que dados dos rayos
y
paralelos entre sí en una dirección existen al menos dos puntos distintos en los rayos dados tal
que los rayos
y
son equidistantes entre sí en dichos puntos. Este es uno, de entre otros
resultados, que se desprenden de las investigaciones del cuadrilátero fundamental del Padre
Saccheri (1733).
Consideremos los cuadriláteros
y
,
una dirección tal que los segmentos
3.11]. Supongamos que los lados
internos
y
,
y
y
y
congruentes
entre
sí,
y
paralelos entre sí en
[ver Figura
son congruentes entre sí entonces los ángulos
(¿Por qué?), al igual que los
son congruentes entre sí en el cuadrilátero
Por consiguiente, los ángulos internos
y
son perpendiculares al rayo
son congruentes entre sí en el cuadrilátero
ángulos internos
son
en dos rayos
.
y
en
consecuencia, ambos son ángulos rectos.
Pero esto significa, en particular, que en el
cuadrilátero
la suma de los ángulos
internos es igual a cuatro ángulos rectos en la
Hipótesis del Ángulo Agudo, lo cual es una
Figura 3.11
contradicción.
Lo que hemos demostrado es que existen al menos dos puntos distintos
rayo
tal que la longitud de
es igual a longitud de
147
y
ó la longitud de
ó
y
en el
es igual a
longitud
siendo
,
y
puntos distintos del rayo
no existan puntos en los cuales los rayos
y
. No obstante, también es posible que
son equidistantes en dichos puntos.
La validez de esta proposición se desprende directamente como resultado de las
investigaciones de la Pangeometría de Lobachevsky (1855), un Tratado en el que afirma el
Profesor Bonola (1912) se asumen verdaderos los cuatro primeros postulados y las proposiciones
I, 1 a I, 28 de los Elementos de Euclides y en el que se derivan proposiciones y construcciones
geométricas independientes de un postulado sobre rectas paralelas (geometría absoluta) como
también teoremas y propiedades que resultan cuando suponemos verdadera una afirmación
sobre rectas paralelas o rayos paralelos en una dirección (HAA). Si bien, en la Hipótesis del
Ángulo Agudo, los rayos paralelos no cumplen la propiedad métrica de ser equidistantes entre
sí en la dirección de paralelismo, se comportan como líneas asintóticas y en cualquier haz de
rayos paralelos se verifica la relación de equivalencia entre ellos.
Y además, podemos suponer que las proposiciones que se derivan de la misma no conducen a
contradicciones. Para demostrarlo, necesitaríamos sólo considerar la forma analítica en la cual
pueden ser expresados dichos resultados. De hecho, históricamente esto es lo que Bolyai (1831)
y Lobachevsky (1840) mostraron: que desde el punto de vista matemático es posible una
geometría no euclídea. Sin embargo, esto no establece rigurosamente para la época la existencia
matematica de las geometrías no euclídeas. Al respecto, plantea el Profesor Gray (1992):
“Si resultara que las únicas paralelas fueran las euclidianas, el horociclo se reduciría a
la recta euclidiana, la horoesfera al plano euclidiano, y las fórmulas a verdades analíticas
que no describirían nada. Todo lo que queda establecido es que si admitimos que una
geometría no euclídea existe, matemáticamente es comprensible como lo indica la
fórmula precisa que expresa la conducta asintótica de dos líneas paralelas” (Gray, 1992,
p. 172).
La dificultad radica en que aun admitiendo una falsedad inicial (hipótesis de partida), se
pueden obtener resultados verdaderos. Por ello, las fórmulas analíticas no pueden considerarse
concluyentes. El logro de la siguiente generación de matemáticos fue resolver este problema
mediante un doble esfuerzo, de una parte lógico y de otro puramente matemático.
148
Los trabajos de Lobachevsky (1840) y Bolyai (1831) no recibieron en un principio la atención
que precede a un gran descubrimiento científico. En parte, porque para la época era aún incierto
la naturaleza del quinto postulado de Euclides: si era un teorema o no, seguía sin darse una
demostración rigurosa del mismo y, por otro lado, los resultados de las investigaciones, entre
ellas, las de Gauss, Lobachevsky y Bolyai no arrojaban ninguna contradicción dentro de los
mismo resultados asumiendo la HAA aunque el hecho de concebir una unidad absoluta para
medir longitudes finitas resultaba difícil de asimilar, entre otras razones, por las implicaciones en
la concepción del espacio físico.
Fue después de varios años que la Geometría fue puesta a una profunda revisión e
interpretación sobre sus fundamentos por parte de Matemáticos, Físicos y Filósofos de mitad y
finales del siglo XIX. Y una de estas investigaciones, que se enmarcan en dicha concepción, es la
célebre inaugural dissertation lecture de Riemann, Über die Hypothesen welche der Geometrie
zu Grunde Liegen (On the hypotheses that form the foundation for Geometry) presentada por el
autor en el año 1854. Este trabajo es considerado de enorme relevancia en el posterior desarrollo
de la Geometría y de la Física moderna, en particular, en la teoría de la relatividad de Einstein.
Uno de los aspectos que se desprenden de la Disertación (1854) de Riemann es la profunda
relación que existe entre los axiomas o postulados de la Geometría y las construcciones en el
espacio. Al respecto afirma el Profesor Gray (1992):
“Tras Riemann, los matemáticos se fueron dando cuenta gradualmente de que Euclides
había hecho muchas más suposiciones de las que había expresado de manera explícita;
especialmente, la hipótesis de que cualquier longitud se puede prolongar indefinidamente
caracterizó la idea que se tenía de la geometría. Fue posible además esbozar geometrías
muy poco euclidianas, que carecían de muchas de las propiedades de la euclídea, pero
que tenían las suyas propias; y estas nuevas geometrías aparecen con frecuencia en
nuestros días, especialmente en la teoría de la relatividad. Aunque habría que señalar que
Riemann (1854) no hizo mención específica en ella de las geometrías no euclidianas (en
su obra citada), ésta se encuentra implícita en su exposición, implicación que no tardaron
en extraer sus colegas” (Gray, 1992, p 197).
149
Riemann (1854) en su investigación sobre el espacio parte del estudio de propiedades intrínsecas
(superficies y curvas). Para ello hace uso, por ejemplo, de distancias de diferenciales, curvaturas,
etc. Como también de resultados en esta materia, en especial de las investigaciones de Gauss,
Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828) (“Investigaciones generales sobre
superficies curvas”) construcción de mapas y la llamada geodesia. Este el tema del siguiente y
último Capítulo IV.
150
CAPÍTULO IV
DESARROLLO DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS EN LA SEGUNDA MITAD
DEL SIGLO XIX
“En otros términos, dos mundos que fueran semejantes entre sí (…) no podrían distinguirse absolutamente. Pero hay
más: no solamente no podrían distinguirse los mundos si son iguales o semejantes, es decir, si se puede pasar de uno
a otro cambiando los ejes de coordenadas, sino que aún ellos no podrán distinguirse si se puede pasar de uno a otro
por una transformación puntual cualquiera (…) Si uno de estos universos es nuestro mundo euclidiano, nuestra recta
euclidiana será lo que sus habitantes llamen recta; pero lo que los habitantes del segundo mundo llamen recta, será
una curva que gozará de las mismas propiedades con respecto al mundo que habitan y con respecto a los
movimientos que ellos llaman movimientos sin deformación; su geometría será, pues, la geometría euclidiana, pero
su recta no será nuestra recta euclidiana”.
JULES HENRI POINCARÉ (1854 – 1912)
[El Valor de la Ciencia, cap. III, pág. 47]
§4.0 INTRODUCCIÓN
Históricamente el desarrollo de una geometría no euclídea en la HAA se debe, entre otros
autores y principalmente a los trabajos hechos por Gauss y comunicados en sus Cartas a sus
colegas, por ejemplo, a Schweikart en el año 1816, al estudio hecho por Taurinus en un sistema
analítico en el año 1826, e indiscutiblemente a las investigaciones hechas y publicadas por I.
Lobachevsky y J. Bolyai a partir del año 1829. No obstante, las cuestiones profundas acerca de la
relación de la geometría euclídea con el espacio físico, la consistencia o validez del hipotético
sistema geométrico que emergía (HAA), e incluso, las objeciones de tipo matemático a la HAO
a falta de una verdadera y rigurosa fundamentación geométrica, seguían siendo problemas
abiertos durante la segunda mitad del siglo XIX. En este aspecto, sin duda, las investigaciones y
reflexiones que hizo Riemann (1854) constituyen un aporte valioso para la Geometría en general
y la Física moderna.
Bernhard Riemann (1826 – 1866) presentó su célebre, inaugural dissertation lecture en la
Facultad de Filosofía de Göttingen el 10 Junio del año 1854 como su Habilitationsvortrag
(Lectura de Habilitación) requisito para optar a la categoría de Privatdozent (Profesor
Universitario) ante una audiencia compuesta por Filósofos y Matemáticos, entre ellos Gauss,
151
quien fue su Tutor y sugirió a Riemann el tema. Por tal razón, la Habilitationsvortrag de
Riemann (1854) no contiene un desarrollo analítico formal de los temas tratados en la misma
aunque sí esboza nociones preliminares de espacios topológicos y métricos, como también trata
sobre algunos resultados de geometría euclídea y diferencial clásica en superficies. Es difícil
abordar rigurosamente las ideas planteadas por Riemann (1854) sin hacer uso del lenguaje del
cálculo diferencial e integral, lo cual significaría introducir una gran cantidad de términos
matemáticos, por ejemplo, al definir una variedad diferencial se deben introducir propiedades
topológicas sobre espacios métricos, etc.
Por consiguiente, sólo expondré y analizaré algunos de los planteamientos contenidos en la
obra de Riemann (1854) de manera sucinta y clara, las cuales permitieron esclarecer y entender
las emergentes geometrías no euclídeas.
La Habilitationsvortrag de Riemann (1854) es una de las obras científicas más brillantes,
profundas y prolíficas en el conocimiento de los fundamentos de la Geometría y en la
comprensión y/o descripción del espacio físico. Aunque el Matemático y Físico Alemán no hace
una mención explícita sobre las geometrías no euclídeas, ellas se encuentran inmersas
implícitamente en su Disertación como un caso particular del concepto que esboza de
Mannigfaltigkeit [variedad].
Dos temas son centrales para lo que sigue en el análisis de la Habilitationsvortrag y son los
siguientes: la interpretación que hace Riemann (1854) de las hipótesis bajo las cuales son
matemáticamente (análisis) posibles las geometrías no euclídeas (HAA e HAO) y la relación de
las mismas con el espacio físico. Los temas planteados en su obra se convirtieron en amplios y
fructíferos campos de investigación en matemática y sus implicaciones en la Física moderna
tendrían una gran repercusión. Al respecto, afirma Freudenthal (1975):
“La teoría de la relatividad general justifica espléndidamente su trabajo. En la teoría
matemática desarrollada por Riemann, Einstein encontró el marco que se adaptaba a sus
ideas, su Cosmología y Cosmogonía (y el espíritu de Riemann era lo que la Física
necesitaba): la estructura métrica determinada por los datos” (Freudenthal, 1975).
152
Riemann (1854) no sólo se limita a hablar de las posible hipótesis que sirven de fundamento a
la geometría, sino que plantea un marco conceptual general para la Matemática y en particular
para la naciente Topología de aquélla época. De igual forma, algunas de sus reflexiones sobre
Física, en especial, sobre el concepto de espacio en Mecánica Clásica, repercutieron
sensiblemente el significado que se tuvo, entre otros conceptos, de las propiedades métricas y la
noción de curvatura 105 en el espacio. Riemann (1854) esbozaba la idea de una magnitud
extendida, de su dimensión como una de sus propiedades fundamentales, y culminaba sus
reflexiones con una profunda y sofisticada aplicabilidad sobre las relaciones métricas que
describiesen el espacio físico, siendo este último un caso particular de una magnitud extendida
tridimensional.
El Profesor Bonola (1912) considera que la posibilidad de interpretar la geometría de una
variedad 106 bidimensional a través de superficies euclídeas fue planteada por primera vez en la
exposición de Riemann (1854), sobre lo cual menciona el Matemático Italiano: “(…) los
desarrollos de la geometría no euclidiana en la dirección de la geometría diferencial se deducen
105
El concepto de curvatura es fundamental en Geometría Diferencial. La descripción matemática de
no
es nada sencilla, y por ende no vamos a dar aquí una definición rigurosa de la misma. Lo que pretendemos es
aproximar al Lector no especializado en el tema presentando algunas ideas y resultados que ilustren su relevancia en
el desarrollo de este Capítulo IV. Leonhard Euler, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Karl Gauss, fueron, entre
algunos grandes matemáticos y físicos, quienes hicieron estudios sobre curvas y superficies utilizando diversos
métodos (sobre estos procedimientos no vamos a entrar en detalles).
La curvatura de una curva o superficie puede ser constante o variar en cada punto de las mismas. En los ejemplos
que presentamos a continuación es constante en cada punto y puede ser de valor numérico positivo, negativo o igual
a cero.
En general, existen dos tipos principales de curvatura en Geometría Diferencial: la extrínseca (curvatura media) y
la intrínseca (curvatura de Gauss). Si bien, éstas son importantes, por el momento, sólo nos interesa presentar
algunos resultados referentes a la curvatura de Gauss. Si consideramos una línea recta y una circunferencia de radio
finito, como ejemplo de curvas planas (diferenciables), podemos entonces calcular sus respectivas curvaturas de
Gauss que designamos por la letra griega (kappa). En el caso de una circunferencia de radio
, la curvatura es
. En el límite, cuando
, se tiene entonces que
que corresponde al valor de
el cociente
curvatura de una línea recta. La curvatura de Gauss como la curvatura media, desempeñan un papel fundamental,
tanto en Física como en otras ciencias experimentales. Por ejemplo, la magnitud de la fuerza para mover un objeto a
velocidad constante es, de acuerdo con las leyes de Newton, un múltiplo constante de la curvatura de Gauss de la
trayectoria; o el movimiento de un cuerpo en el campo gravitacional está determinado, según las ecuaciones
relativistas de Einstein, por la curvatura del espacio – tiempo.
106
Mannigfaltigkeit, en la transcripción alemana de la disertación de Riemann por D.R. Wilkins y en las citas de la
obra de Riemann por Laugwitz (2008). Manifold en la traducción al inglés en Bonola (1912), Laugwitz (2008) y
variedad en la versión al castellano de Gray (1992), en Ferreirós (1992) y en la transcripción de la obra de Riemann
por C. Rodrigo a partir del original de D. R. Wilkins.
153
directamente de esta Memoria” (Bonola, 1912, p. 138). Por ello, conviene introducir algunas
nociones preliminares sobre geometría diferencial.
Las propiedades (de curvas y superficies: rectas normales, tangentes, puntos de inflexión,
curvaturas, etc.) que dependen únicamente de los puntos cercanos a un punto determinado de una
región de superficie se denominan propiedades intrínsecas. Las propiedades que se extienden a la
totalidad de la superficie se denominan propiedades extrínsecas (por ejemplo, las del espacio
euclídeo).
Por otro lado, existe un número de curvas que se pueden analizar por medio de construcciones
geométricas sencillas: el círculo, la elipse, cicloide, etc. Partiendo de las curvas, un paso a seguir
es considerar las superficies. Teniendo como referencia la geometría en el plano, según lo
expone Riemann (1854), es posible establecer una geometría (bajo ciertas restricciones) en una
superficie dada (en los casos que se van a considerar, de curvatura de Gauss constante).
Por ejemplo, en el caso del plano euclídeo una línea recta se puede considerar como la curva
más corta entre dos puntos (previa introducción de una métrica, de los números reales positivos y
de longitud de una curva, entre algunas propiedades, para todos los ejemplos citados aquí). En la
esfera la curva más corta entre dos puntos es un arco de círculo máximo comprendido entre
ellos. En una superficie más general se puede buscar una curva de longitud mínima que permita
unir dos puntos: en la mayoría de los casos, es un problema que requiere utilizar técnicas de
cálculo infinitesimal que, como es sabido, selecciona máximos y mínimos locales entre valores
próximos.
En este Capítulo IV, a diferencia de las fuentes Bibliográficas principales, entre otras, de
Bonola (1912), Gray (1992), Greenberg (1994) y Coxeter (1998), en las que presentan de manera
sucinta y suponen al Lector familiarizado con el término de variedad en la Habilitationsvortrag
de Riemann (1854) me he propuesto abordar y desarrollar dicho concepto haciendo un
tratamiento del mismo con algunas de las técnicas y herramientas de la Topología, Algebra
Lineal, Geometría Diferencial y la Física, entre otras, con el propósito de aproximar al Lector
sobre la relevancia y el profundo significado que tuvo, no sólo en la interpretación, desarrollo y
consolidación de las geometrías no euclidianas en los siglos XIX y XX, sino también en la
posibilidad de esbozar otras geometrías, entre ellas, la geometría Riemanniana.
154
Si bien al principio los conceptos y contenidos a tratar en este Capítulo IV resulten algo
complejos y, aparentemente, desvinculados del planteamiento del problema de las paralelas, el
Lector estará en capacidad de relacionarlos, e incluso de investigarlos, contrastarlos y
profundizar más sobre los mismos, con la emergencia de las geometrías no euclidianas y no
simplemente se limite a decir que Riemann (1854) pudo esbozar una geometría no euclídea
compatible con la HAO como frecuentemente se suele afirmar porque como Gauss expresa:
“The dissertation submitted by Herr Riemann offers convincing evidence … of creative, active,
truly mathematical mind, and of a gloriously fertile imagination”.
Sobre la obra de Riemann (1854), la Habilitationsvortrag se publicó como memoria póstuma
en el año 1868. En este Trabajo de Grado se cita su obra con respecto al año en que Riemann
(1854) la presentó a la comunidad científica de Göttingen.
§4.1 Análisis de algunos términos tratados en Über die Hypothesen welche der Geometrie zu
Grunde Liegen (1854) de George Friedrich Bernhard Riemann
Para alguna terminología específica que aparecerá entre comillas traducida al castellano de la
obra Riemann (1854), ubicaremos entre corchetes la expresión que corresponde a la misma pero
en alemán tomada de la transcripción por el Profesor D. R. Wilkins del año 1998 y corregida en
el año 2000, de la obra del Profesor Laugwitz (2008) y del Profesor Ferreirós (1992).
La Habilitationsvortrag de Riemann (1854) que abordamos aquí está dividida de la siguiente
manera:
Plan de estudio [Plan der Untersuchung] donde Riemann (1854) hace una breve exposición
sobre los axiomas o hipótesis en que se fundamenta la geometría hasta la época 107, introduce en
su Lectura de Habilitación el concepto general de magnitud de n – dimensiones como objeto de
estudio para establecer, a partir de éste y como un caso particular, las posibles relaciones
métricas que describan al Wilkins espacio físico.
107
No se puede afirmar de manera tajante que Riemann no estuviese enterado de la teoría de las paralelas antes de
presentar su Disertación (Gauss fue uno de sus Tutores). En esta parte introductoria de su exposición cita a
Legendre (Élémens de géométrie) como uno de los más grandes reformadores de la geometría desde tiempos de
Euclides.
155
A continuación, en (1) Concepto de magnitud extendida de n – dimensiones [I. Begriff einer
n fach ausgedehnten Grösse] centra sus reflexiones en los diferentes modos que permiten
construir y/o determinar lo que se entiende por una variedad de n- dimensiones continua y
discreta partiendo del concepto general de magnitud.
En (2) Relaciones métricas de la que es susceptible una variedad de n – dimensión, en la
hipótesis que las líneas posean una longitud independiente de su posición, y siendo toda línea
medible por cualquier otra línea [II. Massverhältnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von n
Dimensionen fähig ist, unter der Voraussetzung, dass die Linien unabhängig von der Large
eine Länge besitzen, also jede Linie durch jede messbar its] está dedicado al estudio de las
relaciones métricas de una variedad n – dimensional y a las condiciones suficientes que permitan
determinarlas (apoyándose en algunos resultados analíticos sobre superficies de la obra de Gauss
Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828) y del análisis matemático hasta la
época).
Por último, en (3) Aplicación al espacio [III. Anwendung auf den Raum] Riemann (1854)
pasa a extender sus reflexiones, de los apartados anteriores, al estudio de las relaciones métricas
que determinan el espacio. La idea de métrica le permite a Riemann (1854) distinguir entre el
espacio y las posibles construcciones geométricas que se puedan realizar en éste (dependiendo
estas construcciones de la métrica definida en el espacio).
Vamos a seguir en lo posible este enfoque en nuestro análisis.
Riemann (1854) empieza refiriéndose a ciertos conceptos indefinidos en la naturaleza del
espacio:
“Se sabe que la geometría admite como algo dado no sólo el concepto de espacio 108, sino
también las primeras ideas fundamentales de las construcciones en él. Puesto que no da
108
Es claro que la noción de espacio físico como algo real e intuitivo ya existía en el mundo conceptual pre
científico (este presupone el término de objeto material, del movimiento de los cuerpos sólidos). Sin embargo,
Einstein (1983) afirma que: “(…) la matemática de Euclides no tenía conocimiento de este concepto como tal y se
limitaba a los conceptos de objeto y de las relaciones espaciales entre objetos. El punto, el plano, la recta, el
segmento son objetos idealizados. Todas las relaciones espaciales se originan a partir del concepto de contacto (la
intersección de rectas y planos, los puntos que están sobre una recta, etc.)” (Einstein, 1983, p. 87). En este sentido,
para el Físico Alemán, el espacio como un continuo no aparece en ningún momento dentro del sistema conceptual
euclídeo, y considera que el concepto de espacio fue introducido propiamente por Descartes al describir un punto en
el espacio mediante sus coordenadas y sobre lo cual menciona que: “Las figuras geométricas aparecen, en cierto
156
de estos conceptos sino definiciones nominales 109, las determinaciones esenciales se
introducen bajo formas de axiomas. Las relaciones mutuas de estos datos primitivos
permanecen envueltas en la oscuridad; no se percibe si están estrechamente vinculadas
entre sí, ni que tanto lo están, ni siquiera a priori si deben estarlo (…)” (Riemann,
1854, Plan de estudio).
“Bekanntlich setzt die Geometrie sowohl den Begriff des Raumes, als die ersten
Grundbegriffe für die Constructionen in Raume als etwas Gebenes voraus. Sie giebt von
ihner nur Nominaldefinitionen, während die wesentlichen Bestimmungen in Form von
Axiomen auftreten. Das Verhältniss dieser Voraussetzungen bleibt dabei in Dunkeln;
man sieht weder ein, ob und in wie weit ihre Verbindung nothwending, noch a priori, ob
sie möglich ist (…)” (Riemann, 1854, Plan der Untersuchung).
Por ejemplo, en el Libro I de los Elementos se definen, entre otros entes: un punto como
aquello que “no tiene partes” y una línea recta como “aquella que yace por igual respecto de los
puntos que están en ella” (Euclides, 1991, p.189 – 190). Los términos de punto y línea recta se
relacionan entre sí en un axioma o postulado: “(…) dados dos puntos, existe una única recta que
los une” (postulado I, 2 de los Elementos). Las propiedades que se pueden establecer entre estas
definiciones nominales o “datos primitivos” y los axiomas o postulados de construcción en el
plano o el espacio, es lo que afirma Riemann (1854), permanecieron envueltas en la oscuridad:
modo, como partes de un espacio [euclídeo] infinito, que es concebido como un continuo de tres dimensiones”
(Einstein, 1983). Uno de los objeto de estudio de la geometría es el estudio del espacio. Una aproximación a la
caracterización de espacio geométrico a partir de la teoría de conjuntos es considerarlo como un conjunto compuesto
de elementos a los que denominamos puntos, rectas y planos.
109
Para Aristóteles la razón por la cual se formula la definición es la de “hacer conocido el término afirmado, y
hacemos conocidas las cosas no tomando términos cualesquiera al azar, sino aquellos que son anteriores y más
inteligibles, como se hace en las demostraciones (…)” (Aristóteles, 1977, p. 141a. 9 – 21). Y afirma que quien no
formula su definición en términos de esta clase, “no ha definido en absoluto”. Las definiciones aristotélicas se
pueden caracterizar, atendiendo a la naturaleza de lo que expresan, en dos clases: esencialistas que permiten
identificar el objeto a través de sus atributos o propiedades “íntimas” de lo definido. Por ejemplo, un número “par”
es “un número que puede ser dividido en dos mitades” (Aristóteles, 1977, pp. 142b – 143a). Cuando decimos que
“cuatro” es un número “par”, sólo estamos expresando una propiedad de dicho número. Por otro lado, están las
definiciones
en las cuales lo que se pretende es darle un nombre a un proceso o concepto de manera no
arbitraria (que tenga relación con las propiedades del objeto que queremos definir). Verbi gracia, la definición de
triángulo isósceles como el triángulo con dos lados iguales.
157
“(…) no se percibe bien si están necesariamente relacionadas entre sí, ni hasta que punto lo
están, ni siquiera a priori si pueden estarlo” (Riemann, 1854, Plan de estudio).
Para Riemann (1854), desde Euclides hasta Legendre, ni entre Filósofos ni Matemáticos, se
hubo avanzado sobre estas relaciones y la razón, según Él expone, es porque “el concepto
general de magnitud de extensión múltiple” [das der allgemeine Begriff einer mehrfach
ausgedehnter Grössen] que comprende como un caso particular las “magnitudes extensas”
[Raumgrössen] no han sido objeto de un estudio amplio y riguroso hasta la época.
En su investigación sobre una teoría del espacio físico [Lehre vom Raume], Riemann (1854)
específica los contenidos a tratar en su exposición: “Me he planteado, primero, el problema de
cómo construir a partir del concepto general de magnitud, el concepto de magnitud de extensión
múltiple (…)” (Riemann, 1854, Plan de estudio) y mostrar que una magnitud de extensión
múltiple es susceptible de “diferentes relaciones métricas” [verschiedener Massverhältnisse];
previas propiedades y otras reflexiones que hace en forma de introducción sobre: magnitudes,
“variedades continuas y discretas” [Stetige und discrete Mannigfaltigkeiten], cantidades
diferenciales, curvaturas en superficies, etc., para finalmente extender su análisis al espacio
[Raum], sobre lo cual sugiere, no es más que un caso particular de una “magnitud de tres
dimensiones” [dreifach ausgedehnten Grösse].
Riemann (1854) ilustra, entre otras cosas, que las proposiciones de la geometría no pueden
derivarse a priori del concepto abstracto y general de magnitud, sino que las propiedades por las
cuales el espacio se diferencia de cualquier otra magnitud extensa de tres dimensiones, no deben
ser deducidas más que por los fenómenos físicos y los datos cuantitativos de los mismos; en esto
último, hace un claro distanciamiento con la postura kantiana del espacio.
Uno de sus planteamientos es desarrollar las posibles propiedades o hechos más simples a
partir de los cuales se puedan establecer las relaciones métricas del espacio; estas últimas, y es la
hipótesis que asume Riemann (1854), no están completamente determinadas porque para Él:
“(…) se pueden indicar varios sistemas de propiedades simples y suficientes para la
determinación de las relaciones métricas del espacio” (Riemann, 1854, Plan de estudio).
Y en su análisis conviene que las propiedades postuladas y/o asumidas implícitamente por
Euclides en los Elementos sobre el espacio son importantes en el sentido que se pueden
considerar como “posibles descripciones” [Thatsachen] del mismo, pero éstas no tienen por qué
158
ser dadas como algo a priori, es decir, ser proposiciones de carácter apodíctico que no plantean
la necesidad de ser validadas; de hecho, para el Matemático y Físico Alemán, estos axiomas o
postulados sobre el espacio físico 110 constituyen lo que denominamos las “hipótesis”
[Hyphotesen] y por la naturaleza de lo que postulan hay que otorgarles una “certeza empírica”
[empirischer Gewissheit].
Riemann (1854) sugiere que se puede verificar si estas propiedades son ciertas o no, partiendo
de las observaciones experimentales y mediciones cuantitativas, para después pasar a contemplar
la posibilidad de extenderlas más allá de sus restricciones: en lo “inconmensurablemente grande”
[Unmessbargrossen] al igual que en lo “inconmensurablemente pequeño” [Unmessbarkleinen].
De esta forma, el magno Matemático y Físico alemán plantea algunas de las pautas a seguir en su
Lectura de Habilitación.
§4.1.1 El significado de Mannigfaltigkeit [variedad] acuñado por Riemann (1854) en su
Habilitationsvortrag
Al introducir el concepto de magnitud (es) extendida (s) [Begriffs mehrfach ausgedehnter
Grössen] en su exposición, Riemann (1854) alude a dificultades de índole filosófica, y que Él no
110
Tanto Dedekind (1872) como Cantor (1872) concibieron que el continuo geométrico (la recta) sólo puede ser
objeto de postulación y no es matemáticamente construible a diferencia del continuo aritmético que ambos
presentaron al definir los números reales de forma diferente e independiente. En particular, Dedekind (1872) señala
que la continuidad de la recta no es más que un axioma que nadie está en condiciones de discutir o poder demostrar.
Y al extender sus reflexiones al espacio, afirma: “(…) Si el espacio tiene una existencia real, no debe
necesariamente ser continuo; innumerables de sus propiedades permanecerían inalterables aunque fuera discontinuo.
Y aunque supiéramos con certeza que el espacio es discontinuo, nada nos impediría, en el caso de que quisiéramos,
hacerlo continuo en el pensamiento rellenando sus vacios (…)” (Dedekind, 1872, p. 6). Sin embargo, el quinto
postulado de Euclides es una propiedad que caracteriza, entre otras cosas: la naturaleza de ciertas medidas (la
curvatura de Gauss en el plano, las longitudes, ángulos, distancias, curvaturas,…) y algunas construcciones
geométricas (existencia de rectas paralelas, semejanza entre triángulos rectilíneos, paralelogramos, etc.) que
hacemos en el plano o espacio geométrico euclídeo cuando asumimos la veracidad de dicha postulación (partiendo,
por supuesto, que el sistema euclídeo está libre de contradicciones y el postulado de las paralelas es independiente
de los restantes). Pero esta propiedad no tiene o debe necesariamente corresponder a la naturaleza del espacio físico
(la emergencia de las geometrías no euclídeas, como hemos visto en los trabajos de Gauss, Schweikart (1818),
Lobachevsky (1840), J. Bolyai (1831), entre otros, no sólo plantearon reflexiones de índole matemático sobre si es
posible la existencia y consistencia de dichos sistemas geométricos, sino que también surgieron cuestiones desde el
punto de vista filosófico y epistemológico al contemplar la posibilidad de describir un espacio físico no euclídeo a
partir de la existencia de una(s) geometría(s) no euclídea(s)) y esto es lo que Riemann (1854) mostraría en su
Lectura de Habilitación como un caso particular de sus reflexiones.
159
describe, en relación a los trabajos que se han hecho, creo yo, sobre la naturaleza ontológica del
término. Sin embargo, estos obstáculos no los encuentra en la forma en que pueden ser
construidas, y según plantea, sólo en algunos trabajos que hizo Gauss “en la segunda memoria
sobre Restos Bicuadráticos en los Gttingen Gelehrter Anzeigen” [zweiten Abhandlung ber die
Biquadratischen Reste, in den Gttingenschen Gelehrte Anzeigen] y en las investigaciones del
Filósofo Alemán Herbart 111 se pudo apoyar. A continuación, Riemann (1854) plantea:
“(…) Las nociones de magnitud [quantity] sólo son posibles de introducir bajo la
hipótesis que exista un concepto general que admite diferentes modos para determinarlas.
Si es posible pasar de uno de estos modos de determinación a otro de manera continua,
forman una variedad continua o discreta; cada uno en particular de estos modos de
determinación se llaman, en el primer caso, un punto, y en el segundo, un elemento de la
variedad (…)” (Riemann, 1854, 1. Concepto de magnitud de extensión n – upla).
“(…) Grössenbegriffe sind nur da möglich, wo sich ein allgemeiner Begriff vorfindet,
der
verschiedene
Bestimmungsweisen
zulässt.
Je
nachdem
unter
diesen
Bestimmungsweisen von einer zu [einer] andern ein stetiger Uebergang stattfindet oder
nicht, bilden sie eine stetige oder discrete Mannigfaltigkeit; die einzelnen
Bestimmungsweisen heissen im ersten Falle Punkte, im letztern Elemente dieser
Mannigfaltigkeit (…)” (Riemann, 1854, I. Begriff einer n fach ausgedehnten Grösse).
El concepto de Mannigfaltigkeit fue empleado por Riemann (1854) en su Tesis Doctoral del
año 1851 titulada, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen
complexen Grösse [Foundations of a general theory of functions of a single variable complex
quantity] para el estudio de funciones de variable compleja y extender la noción de superficie a
objetos de mayores dimensiones. De manera informal, se puede decir que el término de variedad
en Riemann (1854) generaliza de manera intuitiva los conceptos de curva y superficie en
111
Johann Friedrich Herbart (1776 – 1841). Fue un destacado profesor de Filosofía, Pedagogía y Psicología. Enseñó
en las universidades de Königsberg (1809) y Göttingen (1833). Es considerado uno de los fundadores de la
Psicología moderna. Sobre las posibles influencias de carácter Filosófico, Matemático y Físico que tuvo en el
trabajo de Riemann puede verse, entre otros autores, Laugwitz (2008).
160
cualquier número de dimensiones (incluso, infinitas) y en distintos dominios 112 (no sólo sobre el
cuerpo de los números reales sino también en el de los números complejos).
Sin embargo, cabe aclarar que para la época de Riemann (1854) el término matemático de
Mannigfaltigkeit no tuvo el significado técnico y formal que adquirió en los inicios y durante el
siglo XX y que actualmente ha tomado en los diferentes campos de investigación, por ejemplo,
en la Geometría, Topología, el Álgebra, la Física, etc. De hecho las variedades forman una clase
importante de espacios; en particular, son objetos de estudio en Geometría Diferencial y
Topología Algebraica. Sobre ello volveremos más adelante.
Riemann (1854) distingue dos tipos de variedades: las variedades continuas 113 [Stetige
Mannigfaltigkeit] y variedades discretas [Discrete Mannigfaltigkeit]. En el primer caso,
Riemann (1854) las designa como “puntos” [Punkte] de la variedad continua y en el otro, como
“elementos” [Elemente] de la variedad discreta. Los ejemplos en los que pueden emerger estos
conceptos, afirma Riemann (1854), pueden ser tomados desde la misma matemática como de la
física y al respecto presenta algunos.
112
El Profesor Ferreirós (1992), en el análisis que hace sobre el enfoque conjuntista en matemáticas en la segunda
mitad del siglo XIX como un elemento unificador y sistematizador de la matematica moderna, ubica los orígenes de
esta orientación en el período 1854 – 1872 en Alemania. Si bien, la obra de Cantor (1872) es considerada desde el
punto de vista histórico como la génesis de la teoría de conjuntos en cuanto a rama independiente y autónoma de la
matematica hacia finales del siglo XIX, la hipótesis que plantea el Profesor Ferreirós (1992) es que: “varias
propuestas [en dicho sentido] tuvieron lugar antes de que Cantor comenzara sus trabajos pioneros” (Ferreirós, 1992,
p. 1). Y cita entre las principales contribuciones las obras de Riemann, Dedekind y, por supuesto, las de Cantor.
El Profesor Ferreirós (1992) ubica entre las primeras contribuciones del enfoque conjuntista la Habilitationsschrift
de Riemann del año 1854. Como ya se dijo en la introducción de este Capítulo IV, Riemann no sólo se limita en su
Disertación al tratamiento de geometría y a plantear una teoría del espacio físico diferente del espacio euclídeo sino
que sugiere, sostiene Ferreirós (1992), un contexto mucho más amplio y abstracto para la matemática del siglo XIX
desde donde los conceptos matemáticos pueden emerger.
Sobre esta interesante Tesis (1991) del autor y posteriormente libro (1992) y publicado como artículo, véase la
Bibliografía.
113
Poincaré (1964) considera que todos tenemos la “intuición” del continuo de un número cualquiera de
dimensiones porque tenemos la facultad de construir un mundo físico y matemático, al respecto afirma Poincaré
(1964): “(…) dicha facultad existe en nosotros a toda experiencia, pues sin ella, lo propiamente empírico sería
imposible y se reduciría a sensaciones caóticas, incapaces de cualquier organización” (Poincaré, 1964, El espacio y
el tiempo, p. 52).
161
Todos los objetos tienen la propiedad de absorber y reflejar determinadas radiaciones
electromagnéticas 114. En particular, los distintos colores en que se divide la luz blanca tienen en
común el ser radiaciones electromagnéticas visibles que se desplazan con la misma velocidad
pero tienen diferente longitud de onda. Si se toma el concepto de color en la Naturaleza
considerando las diferentes longitudes de onda en que se divide la luz blanca (dispersión a través
de un prisma de vidrio o por fenómenos meteorológicos en el caso del arco iris) se obtiene un
ejemplo de una variedad en el espacio: el espectro continuo de los colores 115. Este ejemplo, al
igual que el cambio continuo de la posición de un objeto en el plano o espacio con respecto a un
sistema de referencia, fue sugerido por Riemann (1854) en relación a variedades continuas. Por
otro lado, en cuanto a las variedades discretas, relacionadas con los números naturales, Él
expone que éstas se dan con mayor frecuencia en los conceptos que emergen de la experiencia.
Las variedades continuas y discretas, pueden estudiarse desde el punto de vista de la
“cantidad” [Quantität] a través de las magnitudes continuas (medida) y de las magnitudes
discretas (que involucran los números naturales). Sin embargo, las variedades continuas, afirma
Riemann (1854), también pueden estudiarse independientemente de las relaciones métricas, es
decir, desde el punto de vista del analisys situs 116 (topológico).
114
Según las leyes Físicas, en particular de la Termodinámica, todo cuerpo emite, siempre y espontáneamente,
radiaciones electromagnéticas. Sólo un cuerpo que se encontrara a la mínima temperatura teórica y prácticamente
inalcanzable, el cero absoluto, no emitiría radiación electromagnética.
115
En este caso, la longitud de onda determina el color. De hecho, las ondas electromagnéticas irradiadas por un
cuerpo no tienen que tener la misma longitud de onda: se trata más bien de una mezcla de varias longitudes de ondas
que proviene de la absorción parcial de la luz blanca y es lo que forma el llamado espectro de emisión de un cuerpo.
Por otro lado, el ojo humano no pude considerarse como un instrumento de análisis espectral puesto que en éste
puede producirse la misma sensación de color con fenómenos físicos diferentes: por ejemplo, una mezcla de luz roja
y verde con intensidades apropiadas podemos percibirla indistintamente como una “luz amarilla” espectral, aunque
su longitud de onda no sea la que determina el color amarillo.
116
Término empleado por Riemann en su obra Theorie der Abel’ schen Functionen (1857) según Laugwitz (2008, p.
231). Formalmente se puede decir que este término alude al estudio de propiedades topológicas. Poincaré (1964) la
considera como una geometría de la situación en la que interviene verdaderamente la intuición geométrica y la
cantidad tiene un papel nulo; es puramente cualitativa. En esta geometría, menciona Poincaré (1964), dos figuras
geométricas son equivalentes siempre que pueda pasarse de una figura a otra mediante una “deformación continua”,
cualquiera que sea. Por ejemplo, cita Poincaré (1964), “un círculo es equivalente a una elipse y a cualquier curva
cerrada, pero no puede serlo a un segmento de recta porque éste no es cerrado, también, una esfera es equivalente a
una superficie convexa cualquiera pero no a un arco porque no es cerrado” (Poincaré, 1964, El espacio y el tiempo,
p. 15). Poincaré (1964) considera que el analisys situs es una ciencia muy importante para la geometría, la cual da
lugar a una serie de teoremas bien entrelazados como los de Euclides y, además, afirma el Matemático y Físico
162
Riemann (1854), partiendo de una “teoría de magnitudes extensas” [Lehre von den ausgedehnten
Grössen], presentaba en forma intuitiva la primera noción relacionada con una variedad
continua: su dimensión.
Su método de construcción es el siguiente: si consideremos una “variedad unidimensional”
[einfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit] cuya característica esencial en esta variedad es que
partiendo de un punto fijo no se puede ir de manera continua más que en un sólo sentido
(izquierda o derecha), por ejemplo, una recta, e imaginamos que podemos “transportarla 117” por
algún medio a otra variedad diferente, un plano o cualquier superficie, entonces se ha construido
una “variedad bidimensional” [zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit]; de forma análoga y
sucesiva se puede continuar con esta construcción para obtener una “variedad tridimensional”
Francés, sobre ellos construyó Riemann una de las teorías más notables del análisis puro: “Sin embargo, las mismas
cuestiones que se planteaban acerca de las verdades de la geometría euclídea son planteadas acerca de los teoremas
del analisys situs: ¿Pueden ser deducidos por un razonamiento deductivo?, ¿Son convenciones disfrazadas?, ¿Son
verdades experimentales?, ¿Son los caracteres de una forma impuesta a nuestra sensibilidad o a nuestro
entendimiento?” (Poincaré, 1964, El valor de la Ciencia, p. 49).
Pero la proposición o propiedad fundamental del analisys situs es la consideración de que el espacio amorfo es un
continuo de tres dimensiones, al respecto menciona Poincaré (1964): “El espacio, considerado independientemente
de nuestros instrumentos de medida, carece de propiedades métricas y proyectivas; tiene sólo propiedades
topológicas (son las que estudia el analisys situs)” (Poincaré, 1964, El espacio y el tiempo, p. 19). En un espacio
topológico X, cualquier propiedad en términos de los conjuntos abiertos de X se denomina propiedad topológica
de X. Por ejemplo, la definición de conexión para un espacio topológico X es una propiedad topológica ya que se
fórmula completamente en términos de la colección de los conjuntos abiertos de X. También el concepto de
compacidad en un espacio topológico es una propiedad topológica. Ahora, si X es un espacio topológico, se dice
que X es metrizable si existe una distancia d en el conjunto X que induce la topología de X. Entonces, un espacio
métrico es un espacio metrizable X junto a una distancia específica d que da la topología de X. Uno de los objetos
de estudio fundamental en Topología, como en el Análisis, es encontrar condiciones que garanticen que un espacio
topológico es metrizable.
Por otro lado, para Einstein (1983) en la geometría de los antiguos griegos, el espacio físico sólo asume un papel
cualitativo porque si bien se considera como dada la posición de los cuerpos en relación con el espacio, no se la
describe mediante números, para Él, “Descartes fue el primero que introdujo ese método” (Einstein, 1983, p. 106).
117
En la idea de cuerpo rígido podemos considerar que los únicos cambios a los que están sometidas las figuras
rígidas son los de posición en el espacio y el tiempo con respecto a un sistema de referencia. Surge entonces la idea
de movimiento de una figura geométrica o de un sólido. Los movimientos (traslación o rotación) se pueden
considerar como transformaciones (funciones que cumplen algunas características, verbi gracia, las de ser
biyectivas) con ciertas propiedades o axiomas. Por ejemplo, ningún movimiento (transformación) puede transformar
un segmento o ángulo en una parte del mismo, lo cual significa, que todo segmento, semiplano, o ángulo convexo
durante el movimiento se transformen en otro segmento, semiplano o ángulo convexo, respectivamente. También, a
cada punto considerado de la primera posición (plano, superficie,…) corresponde uno y sólo uno de la segunda
posición (plano, superficie,…). Sin embargo, los cuerpos sólidos en la naturaleza no son rígidos puesto que
dependen de otras variables, como por ejemplo, la temperatura, las fuerzas moleculares, fuerzas externas, etc., lo
cual constituye una diferenciación y separación entre la geometría y la realidad física de los objetos.
163
[dreifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit] y si consideramos la variedad como un objeto variable
se obtiene “una variabilidad de (n+1) – dimensiones” [einer Veränderlichkeit von n + 1
Dimensionen] partiendo de una variedad de 1 – dimensión o n – dimensión.
En el significado técnico y moderno de variedad, esta descripción que presenta Riemann
(1854) resulta válida localmente, es decir, en un entorno abierto para un punto de la variedad.
Por ejemplo, si consideramos la superficie de la Tierra como la de una esfera euclídea entonces
la suma de los ángulos en un triángulo en ella es mayor que dos ángulos rectos (180°) dado que
la esfera no es un espacio euclídeo. Sin embargo, la geometría euclídea se considera una buena
descripción y aproximación (a través de mapas bidimensionales) para distancias menores al radio
terrestre.
Por otro lado, dada una variedad continua de n – dimensiones, Riemann (1854) pasaba a
considerar variedades con un número menor de dimensiones ((n – 1) – dimensiones) a partir de
la variedad asumiendo que existe una función continua definida en ella, que no es constante en
una región determinada y que la genera 118. Él sugiere, como ejemplo, una función de posición
definida en una variedad de n – dimensiones. Entonces puede pensarse que la determinación de
posición de cualquier punto de la variedad se puede reducir a n determinaciones de magnitudes
independientes entre sí. De igual forma, Riemann (1854) esbozaba variedades de dimensión
infinita y citaba las posibles deformaciones continuas de una figura en el espacio consideradas
como funciones en un dominio de magnitudes continuas.
Riemann (1854) supone, en general, que una variedad tiene n dimensiones cuando se necesitan
n magnitudes variables para determinar la posición de un punto cualquiera de la variedad.
Posteriormente, Cantor en sus trabajos entre los años 1872 a 1878 en la búsqueda de una
caracterización del continuo aritmético y fundamentación de las matemáticas demostraría qué,
bajo la definición que Riemann (1854) esbozaba de dimensión en una variedad sólo era
suficiente una variable. Con Cantor (1872) se planteó entonces la cuestión de caracterizar
apropiadamente la idea de dimensión de una variedad, distinta a la que generalmente se tuvo
118
Poincaré (1964) afirma que es posible deformar el plano de tal modo que se obtenga una recta siempre y cuando
esta “deformación sea continua” (Poincaré, 1964, El espacio y el tiempo, p. 21). De no ser así, afirma Él, sería
imposible. Es así, como el problema de número de dimensiones, afirma el gran Matemático y Físico Francés, está
íntimamente relacionado a la noción de continuidad.
164
como el número de coordenadas independientes de un punto de la variedad. Dedekind, al
considerar al número de dimensiones como uno de las más importantes invariantes de una
variedad continua conjeturó enseguida el teorema de invariancia 119 de la dimensión bajo
aplicaciones bicontinuas 120.
119
El teorema de invariancia del dominio es considerado uno de los teoremas fundamentales en Topología porque
expresa una propiedad intrínseca del espacio euclídeo. Para entender dicho teorema debemos definir antes lo que es
un espacio n – euclídeo. Si es el conjunto de los números reales y n es un entero positivo, se tiene entonces que
representa el conjunto de todas las n – uplas de números reales; éste es denominado frecuentemente el espacio n
– euclídeo. Ahora podemos decir lo que afirma el teorema de invariancia. Dicha proposición establece que para
cualquier conjunto abierto U de
y cualquier aplicación continua e inyectiva
, el conjunto imagen
es abierto en
y la función inversa
es continua. Este teorema fue demostrado por L. E. J. Brouwer
en el año 1912. De hecho, el teorema de la función inversa en análisis (matemático) implica este resultado con la
hipótesis adicional que la aplicación f sea diferenciable continuamente con matriz jacobiana no singular.
120
Presentamos a continuación ciertos resultados que ilustran algunos de estos conceptos en particular y en los que
suponemos al lector familiarizado con el Algebra Lineal.
En Algebra lineal se define un Espacio vectorial real V como un conjunto de objetos abstractos, a los que
llamamos “vectores” (como un término general y no particular) junto con dos operaciones llamadas suma de
vectores y multiplicación por un escalar que satisfacen ciertas propiedades, entre ellas: la cerradura bajo la suma, la
existencia de un elemento neutro aditivo (vector cero), existencia del inverso aditivo para cada vector x de V, la
conmutatividad para la suma de vectores, y si α es un escalar y x∈V entonces (αx)∈V (cerradura bajo el producto
por un escalar), son entre algunas las más importantes. Damos algunos ejemplos de espacios bajo esta definición:
Ejemplo 1. Espacio
.
Sea
.
Cada vector de
es un matriz n × 1. Si x e y son vectores de V entonces x + y es una matriz n × 1. Por otro lado,
, al vector – x como
, y αx
definimos al vector cero de la siguiente forma
como
, todos ellos son elementos de V. En forma análoga definimos un espacio tomando
los números complejos:
Ejemplo 2. Espacio
.
Y para finalizar tenemos:
Ejemplo 3. Espacio
Sea
.
el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n. Si
entonces
Donde cada es un número real. Si p y q pertenecen a , la suma
es un elemento de , es decir, la
suma de dos polinomios de grado menor o igual a n es otro polinomio de grado menor o igual a n. Definimos los
polinomios,
y
, son elementos de
.
165
Antes de pasar al estudio de las variedades continuas con respecto a sus relaciones métricas, el
segundo tema de su lectura y sobre las cuales Riemann (1854) mostrará el carácter esencial de
una variedad de n – dimensiones, debemos hacer unas reflexiones sobre lo presentado hasta
ahora.
§4.1.1.1 Variedades topológicas
En la actualidad, si n es un entero positivo, topológicamente se define una variedad topológica
de la siguiente manera 121:
Por otro lado, el concepto de Base en un espacio vectorial V es fundamental para definir la dimensión de V. Un
conjunto finito de vectores
es una base para un Espacio Vectorial V si:
(i)
es linealmente independiente.
(ii)
genera a V.
Para algunos de los ejemplos anteriores se tiene que:
(a) En el Espacio
se define:
. El conjunto
para
es una base (base canónica)
.
(b) En el Espacio
grado n.
se define el conjunto
es una base (base canónica) para los polinomios de
(c) Consideremos el Espacio
que es el espacio de las matrices 2×2 (con el producto y suma de matrices y con
componentes reales). Entonces el conjunto:
, es una base (base canónica) para las matrices
.
Si un Espacio vectorial V tiene una base finita, entonces se define la dimensión de V como el número de vectores
es n, la dimensión de
es n+1, la dimensión de las matrices
en todas las bases. Por ejemplo, la dimensión de
es el producto mn. Por otro lado, si consideramos el Espacio vectorial como el conjunto de todos los
con coeficientes reales y Espacio vectorial de todas las funciones continuas f definidas en el
polinomios
intervalo cerrado C[a, b] entonces ningún conjunto finito genera a
que la dimensión de los Espacios vectoriales es infinita.
121
como tampoco a f. En ambos casos decimos
Un espacio topológico X se denomina de Hausdorff si para cada par u y v de puntos distintos de X, existen
entornos (abiertos para todas las definiciones que presentamos en adelante) U y V de u y v, respectivamente, que
son disjuntos entre sí (U∩V = ∅).
Por otro lado, un espacio Y se dice que tiene una base numerable en el punto y si existe una colección numerable
de entornos de y tales que cualquier entorno U de y contiene al menos uno de los conjuntos .
Por último, si X e Y son espacios topológicos, sea
una biyección. Si la función f y la función inversa
166
Una n – variedad es un espacio de Hausdorff X con una base numerable tal que cada
punto x de X tiene un entorno abierto que es homeomorfo con un subconjunto abierto
(bola abierta) en
Por ejemplo, si
.
cada punto de un subconjunto abierto U de X tiene un entorno abierto
que es homeomorfo a una bola abierta en
La esfera
es una variedad topológica de dimensión n, donde:
En efecto, demostraremos que para
a
y el conjunto U es una n – variedad topológica.
. Sean
la n – esfera agujereada
y
es homeomorfa
el “polo norte” y el “polo sur” de
,
respectivamente. Sin pérdida de generalidad, definamos la función:
, dada por
Su inversa por la izquierda y la derecha es la función:
, tal que si
Y en consecuencia,
se tiene
es homeomorfo a
. La aplicación f se denomina proyección
estereográfica. También se pude demostrar que existe un homeomorfismo entre la esfera
bola unidad
en
y la
, donde:
Es importante conocer que las nociones de compacidad y conexión son fundamentales en
Topología y Geometría Diferencial ya que permiten definir cierta clase de variedades, en este
caso, con el uso de los números reales. Estas propiedades son independientes de cualquier
sistema de coordenadas y resulta pertinente en este análisis traerlas aquí.
son ambas continuas, entonces f se dice que es un homeomorfismo. Otro modo de definir un homeomorfismo es
decir que es una correspondencia biyectiva
tal que f (U) es un conjunto abierto (o cerrado, o compacto) de
Y si, y sólo si, U es un conjunto abierto de X (o cerrado, o compacto, respectivamente).
167
Se dice que un espacio topológico X es compacto si de cada cubrimiento abierto A de X
podemos extraer un subcolección finita que también cubre a X y un espacio topológico Y es
conexo si no existen conjuntos abiertos U y V (no triviales) en Y tales que: (i) U∩V = ∅ y (ii)
U∪V = Y.
La conexión y la compacidad son propiedades topológicas, ya que se formulan completamente
en términos de la colección de los conjuntos abiertos de un espacio topológico dado. Entonces
una n – variedad topológica compacta es tal que existe un número finito de conjuntos abiertos
, en el espacio topológico X, para algún entero positivo r, que son homeomorfos a
un número finito de bolas abiertas de
Para un espacio topológico arbitrario X también se define una dimensión topológica por
medio de cubrimientos (dimensión recubridora) abiertos de X. Por ejemplo, la dimensión
topológica de cada subconjunto compacto de
es como máximo, m. de igual forma, la
dimensión topológica de cualquier m – variedad compacta no es superior a m. Demostrar que es
exactamente m no es nada sencillo ya que requiere las técnicas y herramientas de la Topología
Algebraica y por ello omitimos su demostración. Sin embargo, damos algunos ejemplos:
Cualquier subespacio compacto X de
tiene dimensión topológica 1. De hecho el intervalo X =
[0, 1] tiene dimensión topológica 1.
En general, una 1 – variedad se denomina curva y una 2 – variedad se denomina superficie.
De hecho, una superficie euclídea (el plano, la esfera, el cilindro, etc.) es una variedad
bidimensional, de hecho, es una 2 – variedad topológica conexa.
§4.1.1.2 Variedades discretas
Finalizo esta primera parte de nuestro análisis dando algunas nociones donde surgen ejemplos
de variedades discretas y para ello haremos uso de un campo relativamente nuevo de
investigación matemática llamada Teoría de Gráficas.
Las graficas son útiles en el estudio de la forma como se relacionan las componentes de las
redes que surgen en el comercio, la medicina, en los aeropuertos para determinar y regular el
tráfico de aviones (rutas, pistas de aterrizaje, vuelos comerciales que comunican a un número
dado de ciudades importantes), en el comportamiento de una enfermedad contagiosa en una
168
población, etc. En matemáticas y física, los grafos lineales son utilizados como modelos de
fenómenos reales; en particular, se considera que estos espacios generalizan, en cierta forma, las
curvas simples cerradas 122. La teoría de gráficas abarca diversos temas. En nuestro caso, sólo
daremos algunas definiciones topológicas preliminares.
Un arco es un espacio homeomorfo al intervalo cerrado unidad. Un grafo lineal (finito) es un
espacio de Hausdorff que se describe como la unión finita de arcos, tales que dos arcos distintos
tienen como máximo un punto en común. Los arcos de la colección de denominan aristas y los
extremos de los arcos se llaman nodos o vértices.
Los gráficos dirigidos se usan frecuentemente, como ya dijimos, para describir situaciones
físicas. Una de estos casos, hace referencia a circuitos eléctricos que son representados a través
de gráficos en los cuales los conductores por donde fluye la corriente eléctrica son descritos
como las aristas del gráfico 123. Este tipo de diagramas también suelen llamarse digráficas.
A cualquier digráfica se le asocia una matriz llamada matriz de incidencia nodo – arista. Se
define como sigue:
Veamos dos ejemplos de representación matricial de dos gráficas dirigidas.
Ejemplo 1. Consideremos la gráfica dirigida siguiente con 3 nodos o vértices e igual número de
aristas [ver Figura 4.1].
122
Una curva simple cerrada es un espacio homeomorfo al círculo unidad
123
.
El estudio cuantitativo de los circuitos eléctricos de corriente continua se efectúa como una aplicación de dos
principios básicos:
El principio de conservación de la energía referido a la unidad de carga eléctrica, según el cual todo circuito, o en
cualquier tramo de él, la energía que pierde la corriente eléctrica es igual a la energía cedida por el circuito al
exterior. Es, en esencia, la ley de Ohm generalizada e interpretada como balance de energías.
El principio de no acumulación de cargas, que indica que las cargas no pueden acumularse. Eso significa que si no
hay bifurcaciones, la intensidad de corriente es la misma en todo el circuito, y si las hay, la intensidad de corriente
que entra en un nudo o punto de bifurcación ha de ser igual a la suma de las que salen de él.
Tales principios se conocen también como las Leyes de Kirchhoff. Al aplicar estas leyes para determinar la corriente
que pasa por cada arista en un circuito eléctrico, se pueden examinar las bajas de voltaje.
169
Entonces la representación matricial de la gráfica dirigida
(a la derecha), de acuerdo a la definición de la matriz de
incidencia es una matriz de tamaño 3x3:
Figura 4.1
Ejemplo 2. Esta vez consideremos la gráfica dirigida con 4 nodos o vértices y 4 aristas (arcos)
[ver Figura 4.2].
En este caso corresponde a una
gráfica en forma de elipse.
La representación matricial de la
gráfica dirigida para este caso es
una matriz de tamaño 4x4 y es la
siguiente:
Figura 4.2
No tiene ningún sentido definir una variedad discreta sin previamente haber definido un
Espacio Discreto en el que existe un cálculo vectorial sobre variedades discretas que satisfacen
propiedades análogas a las verificadas por sus equivalentes en el continuo. Esto, por supuesto, no
es nada sencillo de definir y demostrar y el Lector interesado pude consultar la Bibliografía. De
igual forma, al introducir el concepto de variedad diferenciable en Riemann (1854), objeto de
nuestro estudio, es importante definir el espacio tangente en un punto de la variedad el cual
resulta fundamental para desarrollar el cálculo sobre las mismas. Esta estructura permite, entre
170
otras propiedades, considerar campos vectoriales, productos internos, medir ángulos, longitudes,
y establecer tensores métricos generales. También es posible establecer un espacio tangente en
variedades discretas.
Una vez dicho lo anterior, se puede definir una variedad discreta como un grafo Γ= (V, E)
localmente finito donde los elementos de V se denominan nodos o vértices, en tanto que los
elementos de E se denominan aristas de la variedad Γ. En este sentido, se considera que dos
nodos diferentes x, y son adyacentes si el par {x, y} pertenece a E y la arista e = {x, y} se
representa indistintatemente por como
o
en cuyo caso la arista y los nodos x e y se
denominan incidentes. Por otro lado, para cada nodo x∈V,
denota el conjunto de aristas
incidentes con x y su cardinal se denomina grado de x, el cual se representa por k(x). Al decir que
un variedad discreta sea un grafo localmente finito significa que k(x) < ∞ para cada x∈V. Cuando
el conjunto de nodos sea finito la variedad discreta se denomina finita.
Sobre la variedad discreta Γ= (V, E) se puede definir una aplicación:
Ω: E → V, de tal forma que si x = Ω(e) entonces x y e son incidentes. Para cada arista e∈E, el
vértice Ω(e) se denomina final de la arista, mientras que el vértice ϑ(e) tal que e = {Ω(e), ϑ(e)}
se denomina origen de e. El par (Ω, ϑ) se denomina una variedad discreta orientada. Se puede
decir entonces, que cualquier grafo está determinado completamente (salvo un homeomorfismo)
por sus vértices, junto con las parejas de éstos que tienen una arista en común.
Por último, y como se ha ilustrado, se puede decir que la noción primigenia de variedad
[Mannigfaltigkeit], desde el punto de vista del analisys situs, le permite a Riemann (1854)
esbozar el marco conceptual de una geometría generalizada, contemplando la posibilidad de ir
más allá de una estructura geométrica euclídea o no euclídea, sin hacer alusión, en esta primera
sección de su Lectura de Habilitación [I. Begriff einer n fach ausgedehnten Grösse] a líneas,
rectas paralelas, longitudes, áreas, ángulos, etc., pero de la que sistemáticamente, y como se
demostrará en este Trabajo de Grado, emergen espacios abstractos que pueden estudiarse por sus
propiedades, entre otras, topológicas (espacios topológicos) y métricas (espacios métricos), los
cuales fueron un punto de partida que se convirtieron en amplios y fructíferos objetos de estudio
171
de la matematica. En particular, referente al estudio de curvas y superficies en
, afirma el
Profesor Ferreirós (1992):
“En este caso, Riemann pasaba a esbozar [avanzadas] teorías de geometría diferencial
gracias a los cuales analizaba la noción de espacio geométrico y espacio físico con una
sofisticación sin precedentes” (Ferreirós, 1992, p. 3).
¿Pero cómo llegó Riemann al concepto de Mannigfaltigkeit? Una posible respuesta se sugiere
en la lectura del Profesor Ferreirós (1992):
“De acuerdo con algunos manuscritos que han sido publicados por [el Profesor
Erhard] Scholz, parece ser que fue antes de haber aceptado la posibilidad de imponer
distintas métricas a una misma variedad continua (con sus consecuencias para la
geometría diferencial). Riemann había esbozado una nueva aproximación a la teoría de
funciones en su Tesis Doctoral del año 1851, donde desarrollaba de forma muy original
la idea de plano complejo, introduciendo la noción de superficie de Riemann” (Ferreirós,
1992, p. 3).
Una superficie de Riemann es una variedad compleja conexa (analítica) de dimensión
compleja 1 (y, en consecuencia, de dimensión real 2). En general, una variedad compleja V de
dimensión compleja n en
(considerada como variedad diferencial (concepto que aun no
hemos esbozado por el momento) de dimensión real 2n) es tal que si z∈V, identificamos cada
punto de la variedad de la forma:
con el punto
.
Por otro lado, Riemann (1854) no sólo planteaba en su Disertación variedades continuas de n
– dimensiones 124 sino también variedades de dimensión infinita.
124
Para definir el continuo de n – dimensiones contamos con la definición analítica: “Un continuo de n –
dimensiones es un conjunto de n coordenadas, es decir, un conjunto de n cantidades susceptibles de variar
independientemente una de la otra y de tomar todos los valores reales que satisfacen ciertas desigualdades”
(Poincaré, 1964, El espacio y el tiempo, p. 22). Sólo posteriormente a los trabajos de Cantor y Dedekind se pude
hablar rigurosamente de un continuo de tres dimensiones. En este aspecto, Poincaré menciona algunos de los
principios que desarrollaron los discípulos de Cantor: “Es posible hacer que se corresponda uno a uno los puntos de
una recta con los de un plano, o de un modo más general, los de un continuo de N – dimensiones con los de uno de P
– dimensiones, con la condición de que a dos puntos infinitamente próximos de la recta correspondan dos puntos
172
El Profesor Ferreirós (1992) aclara que si bien Riemann (1854) consideró que las variedades
continuas son en general diferenciables, y aduce que en las lecciones que el mismo Riemann
impartió dio ejemplos de funciones continuas no diferenciables, estos razonamientos de carácter
expositivo eran habituales en dicha época en la medida que les permitían avanzar en su análisis,
claro está, bajo ciertas restricciones y limitantes técnicas que inevitablemente existieron. En
efecto, en la traducción de C. Rodrigo (2003) de la obra de Riemann (1854) específica que en la
Habilitationsvortrag se aclara la forma de exposición en la que las investigaciones analíticas
sólo podían dejarse indicadas y que algunas precisiones como observaciones de las mismas
pueden consultarse en la respuesta de la entrega de Premios de París que Riemann obtuvo y al
cual me referiré más adelante.
§4.2 El planteamiento de las posibles relaciones métricas en una variedad n – dimensional
[Mannigfaltigkeit von n Dimensionen] en la Habilitationsvortrag de Riemann (1854)
Una vez introducido el concepto de variedad continua de n – dimensiones y de algunas de sus
propiedades como su dimensión, a continuación Riemann (1854) pasa a estudiarlas desde el
punto de vista métrico, es decir, de las posibles “relaciones métricas” [Massverhältnisse] y de las
condiciones suficientes para determinar dichas relaciones en una variedad n – dimensional. En el
inicio de esta sección afirma:
“(…) Después de haber construido el concepto de variedad de n dimensiones (…),
llegamos al segundo de los problemas propuestos en esta investigación, y es el estudio de
las posibles relaciones métricas para una variedad dada y de las condiciones suficientes
para la determinación de estas relaciones métricas (….)” (Riemann, 1854, 2. Relaciones
métricas de la que es susceptible una variedad de n – dimensión (…)).
“(…) Es folgt nun, nachdem der Begriff einer n fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit
construirt und als wesentliches Kennzeichen derselben gefunden worden ist (…), als
zweite der oben gestellen Aufgaben eine Untersuchung über die Massverhältnisse, deren
ein solche Mannigfaltigkeit fähig ist, und über die Bedingungen, welche zur Bestimmung
infinitamente próximos del plano; esta es propiamente la noción de continuidad” (Poincaré, El espacio y el tiempo,
1964, p.21).
173
dieser Massverhältnisse hinreichen (…)” (Riemann, 1854, II. Massverhältnisse, deren
eine Mannigfaltigkeit von n Dimensionen fähig ist (…)).
En esta parte de su investigación, además de abordar las variedades desde el punto de vista
métrico, hace uso de algunos resultados de las célebres investigaciones realizadas por Gauss
sobre curvas y superficies en
, en particular, a Disquisitiones generales circa de superficies
curvas (1828) y del análisis infinitesimal desarrollado hasta la época. El concepto de curvatura
en superficies y el considerar formas cuadráticas diferenciales para medir longitudes de líneas
sobre una variedad diferenciable son de suma importancia en esta parte de su Lectura de
Habilitación. Y emerge entonces el concepto de variedad diferenciable.
La definición técnica de variedad diferencial se obtiene particularizando la definición de
variedad topológica pero introduciendo nuevos conceptos. Por ejemplo, en un espacio
topológico arbitrario X tiene sentido hablar de funciones continuas en términos de conjuntos
abiertos o cerrados del espacio X, mientras que las funciones diferenciables reales en análisis 125
se definen específicamente sobre conjuntos abiertos de
y este espacio sólo es un caso
particular de un espacio topológico. Lo que se busca es definir matemáticamente una variedad
diferencial sin hacer alusión en la misma, de manera implícita o explícita, a un espacio
específico de
que las contenga. Debe también abarcar el espacio complejo
. Es decir, no se
puede delimitar una variedad diferenciable como un espacio topológico X en el que para cada
x∈X existe un entorno U de x que es difeomorfo a un abierto de
. De hecho, las superficies
como el plano, la esfera, el cilindro, etc., son consideradas como subvariedades diferenciables
reales de
.
No resulta indispensable dar una definición de variedad diferencial y no lo vamos hacer
puesto que ello implicaría, por un lado, perder la estructura temática de la Lectura de
125
Si f es tal que
transformación lineal
Tal que para
una función. Entonces f es diferenciable en el punto c∈Interior de S si existe un
con
, se cumple
Con
174
Habilitación de Riemann (1854) y la forma de exposición de la misma presentada ante una
audiencia compuesta no sólo por Matemáticos sino también por Filósofos donde los detalles
matemáticos no eran del todo explícitos. Por otro lado, si bien Riemann (1854) presenta y esboza
resultados analíticos sofisticados sobre Geometría Diferencial, por ejemplo, el Tensor de
Curvatura, estos pueden estudiarse y ser definidos técnicamente como algunos de los alcances
que tuviera la Habilitationsvortrag en los año posteriores a su publicación 126.
Nos conformaremos con saber que Riemann (1854) esboza el concepto de variedad
diferenciable como un conjunto n – dimensional sobre el que se pueden operar los métodos del
análisis infinitesimal clásico. Tres aspectos resultan importantes abordar en relación a lo anterior
y es menester darles un tratamiento que permita darnos ideas básicas antes de introducirnos en
algunos de los apartes que hace Riemann (1854) sobre el cálculo de longitudes de líneas. Y son
los siguientes:
§4.2.1 Esbozo de una determinación de posición de un punto en una variedad n –
dimensional
La idea fundamental es que una variedad (curva, superficie) es de n – dimensión si sus puntos
están completamente determinados por n – coordenadas independientes. Por ejemplo, si
consideramos el círculo unitario
(curva cerrada) podemos pensar que cada uno de sus puntos
está determinado por una de sus coordenadas. Al decir “casi” es porque a lo sumo puede haber
más de un punto con una misma coordenada pero máximo hay dos. En otros términos, una sola
126
Recordemos que la Habilitationsvortrag fue presentada el 10 de Junio del año 1854 en la Facultad de Filosofía
de Göttingen y posteriormente publicada en Abhandlugen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu
Göttingen 13, 133 (1868). Algunos Historiadores matemáticos le asignan generalmente este último año a la obra de
Riemann en razón, aducen ellos, a la “tardía influencia que tuviera el trabajo” del gran matemático y físico Alemán
sobre el desarrollo de la geometría en la segunda mitad del siglo XIX. Válidas o no, estas posturas son discutibles e
interesantes de abordar pero no serán tratadas en este Trabajo de Grado y conservamos, como otros Historiadores
matemáticos, el año 1854 en que fue presentada por Riemann. El Lector recordará los resultados dados a conocer en
Cartas por Gauss a sus colegas y amigos sobre las geometrías no euclídeas, en contraste a los trabajos publicados,
entre otros, por Taurinus (1826), Schweikart (1818), Lobachevsky (1840) y J. Bolyai (1831). Sin embargo, Bonola
(1912) considera que Gauss fue el primer gran geómetra en tener claro una posible geometría no euclídea (HAA) y
cronológicamente así se presenta, como lo hemos hecho en este Trabajo de Grado, en la emergencia de las
geometrías no euclídeas.
175
coordenada es suficiente para describir un arco de circunferencia de
. Lo cual significa que
localmente, la circunferencia se comporta como una línea 127 (1 – variedad).
El concepto de coordenadas independientes se caracteriza algebraicamente. Por ejemplo, para
demostrar que todo grafo puede ser embebido en
se utiliza la noción de posición general. Un
conjunto de puntos de se dice que están en posición general si tres puntos de S no son nunca
colineales y cuatro puntos no son coplanarios. Consideremos los puntos de la curva S que están
en posición general
En efecto, si cuatro de tales puntos perteneciesen a un mismo plano
,
entonces la ecuación polinómica
Tendría cuatro raíces distintas, lo cual es imposible. Por otro lado, si tres puntos de
estuviesen sobre una misma recta, se podría tomar un punto de S de tal forma que tendríamos
cuatro puntos sobre un mismo plano 128. Estas cuestiones son objetos de estudio, en particular, de
la Geometría Algebraica. Para el ejemplo anterior, se tiene que si
Es decir, existe un homeomorfismo entre un arco del círculo unitario
y el intervalo abierto (–1, 1). Esto nos da
pie para presentar un concepto fundamental en Topología y Geometría Diferencial en el estudio de curvas y
superficies. Supongamos que X e Y son dos espacios topológicos y sea
f: X → Y una aplicación continua inyectiva. Definimos Z como el conjunto imagen f (Y) considerado como un
subespacio topológico de Y. Entonces la función
g: X → Z
obtenida al restringir el rango de f, es biyectiva.
Si f es un homeomorfismo de X con Z decimos que la aplicación
f: X → Y es un embebimiento topológico, o simplemente un embebimiento, de X en Y.
127
128
En forma general, un conjunto
satisfacen las ecuaciones
de puntos de
se dice que es geométricamente independiente si
De las observaciones anteriores, y como un caso particular, se sigue que el conjunto de puntos
176
,
y
entonces
si
,
y
donde t es un parámetro.
En Geometría Diferencial existe un término que resulta fundamental en el estudio de curvas y
y es el concepto de carta.
superficies en
Una carta de dimensión n en un espacio topológico X es un par (U, x) donde U es un abierto
es un homeomorfismo de
de X y la aplicación,
en un abierto
de
.
Si V es una variedad diferenciable y p∈V, diremos que (U, x) es una carta alrededor de p si es
una carta de V y p∈U. Entonces para cada q∈U, decimos que
coordenadas de q respecto a la carta dada. Las funciones
proyecciones de
en
es el vector de
que resultan de componer x con las
se llaman funciones coordenadas 129de la carta dada, es decir, si
tomamos las proyecciones canónicas
a la composición
se le llama la i – ésima coordenada de la carta.
Por ello, a las cartas se las llama también sistemas de coordenadas y los dominios de las
mismas se les llama abiertos coordenados.
Son geométricamente independientes en
. Así mismo, se deduce que en
no existe ningún conjunto de puntos
geométricamente independientes con más de n  1 elementos que lo conformen.
129
Sean X e Y espacios topológicos. Consideremos las aplicaciones
definida por
y
definida por
. Las aplicaciones
y
se denominan proyecciones de X×Y sobre su
primer y segundo factor, respectivamente. Por otro lado, sea
dada por la ecuación
Entonces f es continua si las funciones
son continuas. Las aplicaciones
y
se llaman funciones coordenadas de f. Obsérvese que, para cada a∈A,
Si la función f es continua, entonces y son composiciones de funciones continuas, y por tanto son continuas.
Por supuesto, si tomamos
como intervalos abiertos de , donde
para todo
.
Entonces podemos considerar el producto cartesiano finito
Entonces un base para la topología de
consiste en todos los productos de la forma anterior.
177
Las propiedades de un espacio (
,
), como también las relaciones que puedan existir entre
distintos objetos geométricos del mismo, se pueden formular sin el uso de coordenadas, a través
de conjuntos, como hemos visto, abiertos, cerrados, conexos, compactos, etc., desde el punto del
analisys situs como lo hizo Riemann (1854), en particular, para caracterizar las variedades
continuas.
El método de coordenadas hace posible el tratamiento analítico de la geometría. Sin embargo,
las proposiciones geométricas deben ser independientes de la escogencia o cambios de
coordenadas. Dado que dichas propiedades se pueden formular sin el uso de un sistema de
coordenadas y no dependen de las mismas, entonces se puede hacer uso convenientemente de
cualquier sistema de coordenadas puesto que las propiedades y relaciones entre los distintos
objetos geométricos serán las mismas. Un ejemplo valioso y fundamental en el campo científico
lo constituyen Las Leyes Físicas las cuales no dependen de los sistemas de referencia (inerciales
o acelerados, según se desprende de la teoría de la relatividad general de Einstein) desde donde
el físico – matemático las formula y cualquier otro observador, en cualquier lugar del planeta o
espacio astronómico, las puede verificar.
El sistema de coordenadas cartesiano rectangular es el que frecuentemente se usa para
identificar un punto aprovechando la estructura, en particular, del espacio vectorial
. En el
espacio tridimensional partimos de la representación cartesiana del espacio mediante ternas
ordenadas de números reales que representan la distancia de las componentes del punto a los tres
ejes ortogonales, respectivamente, llamados ejes coordenados. De este modo, cada punto del
espacio está unívocamente determinado por sus tres coordenadas (x, y, z) o una 3 – upla. Sin
embargo, la representación cartesiana no es la única forma de identificar los puntos en el espacio
tridimensional como veremos más adelante.
Los sistemas de coordenadas tal y como los conocemos hoy son de suma importancia para
dilucidar algunos apartes en la Habilitationsvortrag de Riemann (1854). Decimos como los
conocemos hoy pues nos resulta natural identificar magnitudes lineales (distancias) con números
reales: al hacerlo desaparece la diferencia ontológica (aristotélica) entre número y magnitud.
Pero históricamente esta analogía se asume de manera rigurosa y formal con las primeras
construcciones técnicas que se presentan de los números reales (continuo aritmético) tomando la
178
recta como prototipo de continuo geométrico y que datan de la segunda mitad del siglo XIX 130.
Sin embargo, afirma el Profesor Ferreirós (1992) que: “(…) hasta el año 1850 era habitual definir
la matemática como ciencia de las magnitudes 131 y decir que las magnitudes pueden ser discretas
o continuas” (Ferreirós, 1992, p. 7). Esto, por supuesto, no constituyó ningún tipo de limitante en
la obra de Riemann (1854).
§4.2.2 Esbozo de una función distancia en un conjunto
Al hablar de las posibles relaciones métricas sobre una variedad, unos de los tópicos de suma
importancia en lo que sigue de la Disertación de Riemann (1854), debemos hacer algunas
reflexiones al respecto.
Uno de los métodos más importantes y frecuentemente usados para dotar de una topología a
un conjunto, y que se sitúan en el centro del análisis moderno, es definir la topología en términos
de una distancia en el conjunto. Consideraremos algunas de las propiedades que satisfacen las
topologías métricas.
Consideremos una función distancia en un conjunto X
d : X × X→ℝ
que satisface las siguientes propiedades:
(1) d (x, y) ≥ 0 para todos x, y ∈ X; la igualdad se da si, y sólo, si, x = y.
(2) d (x, y) = d (y, x) para todos x, y ∈ X.
130
Históricamente se considera que es a partir del año 1872 en que se dieron a conocer las principales definiciones o
construcciones de los números reales entre las que se destacan la de Weierstrass a partir series convergentes de
racionales, Dedekind como cortaduras en
y Cantor a partir de sucesiones de Cauchy. El Lector interesado puede
consultar las Tesis y/o Trabajo de Grado de la Profesora López (2008).
131
Dedekind (1872) antes de explicar algunos resultados de los teoremas fundamentales del análisis infinitesimal de
la época y que él demuestra son igualmente válidos bajo su definición de números reales, cita el siguiente: “(…) Si
una magnitud x [variable] crece constantemente, pero no más allá de todo límite, entonces tiende hacia un valor
límite [tiende hacia una valor límite α si la diferencia x – α en valor absoluto es menor que cualquier valor
positivo]” (Dedekind, 1872, p. 13).
179
(3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) (Desigualdad triangular) para todos x, y ∈ X.
Definida una distancia d en X, el número d (x, y) se llama a menudo distancia entre x e y en la
distancia d. Damos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. Dado un conjunto X, definimos
d (x, y) = 1, si x ≠ y
d (x, y) = 0, si x = y
Es fácil comprobar que d es una distancia. La topología que induce sobre X se denomina la
topología discreta.
Ejemplo 2. La distancia usual sobre los números reales ℝ está definida por la ecuación
La topología que induce sobre X es la misma que la topología del orden. Si X es un conjunto
simplemente ordenado, existe una topología para X, definida usando una relación del orden.
Entonces, si X es un espacio topológico, se dice que X es metrizable si existe una distancia d
en el conjunto que induce la topología de X. Muchos de los espacios importantes para las
matemáticas son metrizables, pero algunos no lo son. Un objeto de estudio de importancia
fundamental en topología es encontrar condiciones sobre un espacio topológico que garanticen
que es metrizable pero este tema no lo trataremos aquí.
Sabemos que
es metrizable pero no lo demostraremos. Dado
se define la norma de x mediante la ecuación
Y la distancia euclídea d sobre
por la ecuación
Por otro lado, se puede definir la distancia supremo ρ por la ecuación
180
en
,
Sobre la recta real ℝ estas dos distancias coinciden con la distancia usual. En el plano
, los
elementos básicos para la distancia euclídea se pueden dibujar como regiones circulares,
mientras que los elementos básicos para ρ se pueden dibujar como regiones rectangulares.
Con referencia a las variedades topológicas n dimensionales que trataremos son metrizables,
en particular, una 1 – variedad (curvas) y una 2 – variedad (superficies) se puede probar que lo
son. De hecho una superficie es un espacio de Hausdorff con una base numerable tal que cada
punto de ella tiene un entorno abierto que es homeomorfo a un subconjunto abierto de
.
§4.2.3 Algunos resultados notables en geometría diferencial del Disquisitiones
generales circa superficies curvas (1828) de Gauss
Históricamente, los trabajos hechos por Gaspard Monge (1746 – 1818) y Gauss sobre teoría
de curvas y superficies son de suma importancia en la construcción formal de este campo de
investigación durante el siglo XVIII y XIX. Ambos, de manera independiente, introdujeron
métodos y resultados novedosos que impulsaron el desarrollo de la geometría infinitesimal que
también abordaron décadas atrás, entre otros, Newton, Leibniz y Euler con sus respectivos
aportes. Puesto que Riemann menciona algunos resultados sobre superficies, en particular, a los
efectuados por Gauss, resulta pertinente hacer un tratamiento de la obra de este último.
Gauss también abordó el estudio de la teoría de las paralelas pero decidió no publicar sus
investigaciones. Sin embargo, algunos de los resultados de las mismas fueron comunicados en
Cartas a sus colegas y amigos.
Y quizás influenciado por sus reflexiones acerca de la naturaleza del espacio físico y de los
fundamentos empíricos de la geometría, Gauss se interesó en determinar la forma de la Tierra a
partir de datos cuantitativos experimentales, es decir, a través de las llamadas mediciones
geodésicas 132. En 1816, Schumacher en una Carta enviada a Gauss le solicitaba su colaboración
132
Se puede decir que la Geodesia es una ciencia Físico – Matematica que tiene por objeto determinar la forma y
magnitud del globo terrestre o gran parte de él, y construir los mapas bidimensionales correspondientes.
181
para medir el arco de un meridiano terrestre y extender los cálculos a otras regiones; Gauss
aceptó. Aproximadamente, hacia finales del año 1825 interesado por estas investigaciones, el
príncipe de las matemáticas inicia la primera versión del Disquisitiones generales circa
superficies curvas, que conciben los expertos historiadores matemáticos, fue un paso a la
geodesia avanzada 133. Entre algunos de sus resultados notables aparecen, entre otros: Aplicación
de Gauss, Curvatura total, Curvatura de Gauss y el Teorema del defecto 134. Veamos en qué
consisten algunas de las mismas.
(i) Define la aplicación de Gauss
entre una superficie S y la esfera de radio unidad
que asocia a cada punto de la superficie S su vector normal considerando el signo y otras
propiedades 135.
(ii) A partir de la aplicación φ define la curvatura total o integral de una parte de la superficie S
como el área de la imagen esférica de esta porción de superficie P y define la medida de
curvatura como el límite
133
El tema le interesó a Gauss pues afirma:
“He pensado un problema interesante: en el caso general, proyectar (aplicar) una superficie dada sobre otra,
también dada, de manera que la imagen y al original infinitesimalmente similares. Un caso especial se da
cuando la primera superficie es una esfera y la segunda un plano. Entonces las proyecciones estereográficas
y de Mercator son soluciones particulares” [Carta a Schumacher (5 – 07 – 1816)]” (citado en Rev. & Rod.
(2006 – 2007).
Este problema sobre transformaciones conformes entre superficies se publica en el año 1822 y el propio Gauss lo
resuelve el mismo año. La respuesta se dio a conocer en el año 1825 en una revista de divulgación científica editada
por Schumacher. Al parecer esto motiva a Gauss estudiar superficies desde un punto de vista más general y dentro
de los resultados que implicaría estas investigaciones se encuentra, entre otros, lo que el propio Gauss denominaría
Teorema Egregio al cual nos referiremos después.
134
El teorema del defecto es un caso particular del teorema de Gauss – Bonnet.
135
La aplicación de Gauss se puede considerar como la descripción matematica de la imagen esférica de una
superficie y es una medida de la variación de la dirección normal a lo largo de la superficie. Es decir, la imagen
esférica de una superficie arbitraria es una porción de una esfera de radio unidad que es tan grande cuanto más se
curva la superficie: intuitivamente la forma de la superficie viene determinada por la forma como varía el plano
tangente a la superficie en cada punto, o equivalentemente, por la manera como varía su dirección normal. Por
último, el signo de la curvatura proporciona información sobre la posición relativa de la superficie con respecto a su
plano tangente en un punto de la misma.
182
(iii) En general existen dos tipos de curvaturas 136 sobre una superficie: La curvatura media y la
curvatura de Gauss.
136
Podemos considerar una superficie como un objeto geométrico del espacio euclídeo de naturaleza bidimensional.
Por ejemplo, el plano, las superficies esférica, cilíndrica, las de un elipsoide, hiperboloide, etc. En lo que sigue
vamos a considerar sólo superficies suaves o diferenciables.
Dada una superficie S y un punto P que está en ella, podemos considerar un plano tangente a la misma en dicho
punto. Esto permite definir, en cada punto P de una superficie S, dos direcciones: la dirección normal y las
direcciones tangentes a la superficie en el punto P.
La dirección normal en el punto P es la dirección perpendicular al plano tangente a la superficie S. Por otro lado, las
direcciones tangentes a la superficie S en el punto P son aquellas direcciones contenidas en la propia superficie y
que pasan por el punto P (constituyen las direcciones del plano tangente a la superficie en dicho punto).
Euler (Recherches sur la courbuture des surfaces, 1760) redujo el estudio de la curvatura de una superficie S en el
punto P (fijo) al estudio de las curvaturas de sus secciones normales en dicho punto, es decir, a las curvas que se
obtienen al intersecar la superficie S por planos perpendiculares a la misma en el punto P. En esta caracterización, la
familia de planos perpendiculares a la superficie en el punto constituyen un haz de planos que pasan por el
punto y contienen a la dirección normal.
Sea
una dirección tangente a la superficie S en el punto P y consideremos un plano
del haz de planos
definidos en el párrafo anterior que contiene a la dirección . Este plano corta a la superficie S a lo largo de una
curva en la dirección y define lo que es la sección normal de la superficie S determinada por la dirección . Cada
uno de los planos de este haz genera una sección normal diferente.
Se define la curvatura normal de la superficie S en el punto P (fijo) y en la dirección como la curvatura de la
correspondiente sección normal. De entre estas direcciones, existen dos direcciones principales a la superficie S en
el punto P, perpendiculares entre sí, en las que la curvatura normal alcanza sus valores mínimo y máximo.
Estos valores de la curvatura normal, mínimo ( ) y máximo ( ), son las curvaturas principales de la superficie.
Ejemplos:
(i) En el plano euclídeo, las secciones normales, que no dependen de ningún punto P del mismo ni de la dirección
tangente , son líneas rectas las cuales tienen curvatura cero
.
(ii) En una superficie esférica, las secciones normales, de igual forma que en el anterior, no dependen del punto y la
dirección tangente elegidos, son circunferencias de radio
(radio de la esfera) que tienen la misma curvatura
.
(iii) Si la superficie es un cilindro circular de radio
, la dirección correspondiente a la de mínimo valor de
curvatura es la del eje del cilindro, cuya sección normal es una línea recta y, por consiguiente, la curvatura normal es
. Por otro lado, la dirección correspondiente a la de máxima curvatura es la de la circunferencia del cilindro,
.
perpendicular a su eje, con curvatura normal
Cualquier otra sección normal del cilindro es una elipse con curvatura comprendida entre 0 (mínimo) y
(máximo).
183
La curvatura media es una cantidad geométrica extrínseca a la superficie en el sentido que su
valor depende de hacer consideraciones en el espacio que la contiene (en estos casos, euclidiano)
e intuitivamente significa que si existiesen seres bidimensionales que la habitarán no podrían
calcularla.
Mientras que la curvatura de Gauss es una cantidad geométrica intrínseca a la superficie que
no depende de hacer consideraciones en el espacio e intuitivamente significa que los seres
bidimensionales que la habitan pueden calcular su valor. De este resultado que Gauss demuestra,
establece el Teorema Egregio. Al respecto afirma:
Formula itaque art. prae. esponte perducit ad Egregium
THEOREMA. Si superficies curva in quamcunque aliam superficiem explicatur,
mensura curvaturae in singulis punctis invariate manet.
Cuando el valor de curvatura de una superficie no depende de ningún punto P que pertenece a ella, decimos
entonces que la superficie tiene curvatura constante. En lo que sigue, sólo consideramos superficies de esta
característica.
A partir de las curvaturas principales de una superficie, se definen dos nuevas magnitudes:
(a) Su suma:
y
( ) Su producto:
De estas magnitudes se desprenden las siguientes expresiones:
La curvatura media de la superficie:
La curvatura de Gauss de la superficie:
La curvatura media ( ) y la curvatura de Gauss ( ) son dos magnitudes fundamentales en una superficie y son
conceptualmente distintas.
184
En términos modernos significa: Que una superficie se pueda desarrollar (explicatur) sobre
otra significa que existe una isometría entre ellas.
Una función inyectiva
definida en una superficie
es una aplicación isométrica o
una isometría si la longitud de un arco regular
arbitrario de S es igual a longitud de su
imagen en la superficie . Se puede demostrar que si
es una isometría de
función inversa de
isometría de
en
es una isometría de
en
en
entonces la
[véase Lipschutz, 1971, 250]. Si existe una
entonces decimos que las superficie
y
son isométricas. Intuitivamente
podemos observar que si curvamos (doblamos) una hoja de papel o una lámina delgada y
hacemos que adopte distintas formas, sin estirarla ni rasgarla, las superficies que resultan son
isométricas entre sí. Por ejemplo, consideremos la aplicación del plano alrededor de una
superficie cilíndrica. De forma intuitiva podemos observar que la imagen de cada curva en el
plano es una curva de igual longitud en la superficie cilíndrica. No obstante, tal aplicación
(función) no es inyectiva y, en consecuencia, no constituye una isometría (localmente el plano y
el cilindro son isométricos). Ello significa, que por definición, una función de
en
es
localmente isométrica, si tal aplicación conserva la longitud de los arcos pero no es
necesariamente una función biyectiva.
Una vez introducidas la curvatura de Gauss y la curvatura media se presenta de forma natural
la clasificación de superficies donde ambas curvaturas sean constantes. La importancia de ello la
veremos en la siguiente sección 137.
137
Ilustremos con un ejemplo; definamos una función:
En donde
y
es una función de
conjunto de puntos:
variables
y de valor real. Entonces la gráfica de
se puede expresar como el
Entonces el conjunto constituye una variedad de
dimensiones. Puesto que nuestro objeto de estudio,
señalado por Riemann, es el
, sólo vamos a considerar la variedad tridimensional. Si consideramos como
un conjunto de variedad tridimensional, es decir,
185
(iv) El teorema del defecto en su forma primigenia: la curvatura total de un triángulo que es igual
al área de su imagen esférica por la aplicación de Gauss es igual a su defecto.
Finalmente, Gauss publica en Abhanlungen der Knigliche Gesellschaft der Wisennschaften
zu Gttingen dos trabajos. El primero en el año 1844 y el segundo en 1847, titulados
respectivamente, Untersuchungen ber Gegenstände der Hhern Geodaesie, Erste Abhandlung,
Zweite Abhandlung (Investigaciones sobre temas de alta geodesia, primer trabajo y segundo
trabajo). En estas investigaciones Gauss estudia, en el orden cronológico que se dieron, el
Se suele representar una superficie
,
por medio de un conjunto de tres ecuaciones paramétricas:
,
Donde son
parámetros. Un caso sencillo sucede cuando se toma
ecuaciones se convierten en
,
como parámetros, de manera que las tres
,
La expresión de
resulta ser la solución de la ecuación
ecuación de la forma
La gráfica de una función de dos variables,
Definimos el siguiente conjunto:
para
en términos de
es una superficie. Entonces sea
y
Una
una constante.
.
Al conjunto
se le llama
Las curvas de nivel es una familia de curvas que dependen del
parámetro . En este caso, estas son la proyección de la curva de intersección del plano
(constante) con la
superficie
.
Entonces el conjunto
es una variedad bidimensional. Por ejemplo, la superficie de una montaña es una
variedad bidimensional, y las líneas de contorno son curvas, y como tales variedades unidimensionales.
En el caso de la Tierra, la podemos considerar de dos maneras: como una superficie en la que caminamos, y que
se puede describir mediante coordenadas
(por ejemplo latitud y longitud), y como una superficie que
requiere un tercera dimensión: la altura; por ejemplo
La descripción
, en general para
cualquier superficie, es intrínseca, es la única descripción accesible a los seres que se ven sometidos a vivir en la
superficie. La visión de la superficie bidimensional, en este caso
, es una descripción extrínseca,
precisamente porque está por fuera de ella (por encima y por debajo de la superficie). Por tanto, toda superficie se
puede describir en términos intrínsecos y extrínsecos.
186
problema de una transformación conforme entre el elipsoide terrestre y una esfera que lo
aproxima, y en el segundo, trigonometría sobre el elipsoide.
La curvatura de Gauss tiene una relevancia fundamental en la Habilitationsvortrag cuando
Riemann (1854) busca una expresión matemática para medir la longitud de las líneas en una
variedad diferenciable.
§4.3 El estudio de las posibles relaciones métricas en una variedad n – dimensional en la
Habilitationsvortrag de Riemann (1854)
Riemann (1854) se plantea el problema de establecer una expresión matemática que le
permita obtener la longitud de una línea en forma general en una variedad n – dimensional. Y
para ello establece ciertas restricciones:
“(…) Las determinaciones métricas exigen la independencia entre las magnitudes y la
posición, lo cual se puede realizar de varias maneras. La hipótesis que se ofrece a
continuación, y que desarrollaré, es aquella en la cual la longitud de las líneas es
independiente de su posición [en la variedad], siendo en consecuencia cada línea medible
por cualquier otra. La determinación de la posición se reduce a determinaciones de
magnitudes, y la posición en un punto de la variedad dada, siendo de n dimensiones, por
tanto expresable por medio de n magnitudes variables
, y así hasta
La
determinación de una línea se obtendrá estableciendo que las cantidades x son dadas
como funciones de una variable (…)”. (Riemann, 1854, 2. Relaciones métricas de la que
es susceptible una variedad de n – dimensión (…)).
“(…) Massbestimmungen erfordern eine Unabhängigkeit der Grössen vom Ort, die in
mehr als einer Weise stattfinden kann; die zunächst sich darbietende Annahme, welche
ich hier verfolgen will, ist wohl die, dass die Länge der Linien unabhängig von der Lage
sei, also Jede Linie durch jede messbar sei. Wird die Ortsbestimmung auf
Grössenbestimmungen zurückgeführt, also die Lage eines Punktes in der gegebenen n
fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit durch n veränderliche Grössen
bis
, und so fort
ausgedrückt, so wird die Bestimmung einer Linie darauf hinauskommen, dass die
187
Grössen x als Functionen Einer Veränderlichen gegeben werden (…)” Riemann, 1854, II.
Mässverhältnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von n Dimensionen (…)).
Consideradas estas hipótesis, Riemann (1854) se plantea la tarea de construir para cada punto
de la variedad una expresión matemática del elemento de línea y para ello pasa a considerar
cantidades infinitesimales de magnitudes 138. Al respecto afirma:
“(…) El problema consiste entonces en establecer una expresión matemática para la
longitud de las líneas, para lo cual las magnitudes x deben ser consideradas como
expresables en cantidades [infinitesimales]. No trataré esta tarea más que bajo ciertas
restricciones, y me limitaré primero a las líneas en las cuales las relaciones entre los
incrementos dx de las variables x correspondientes varían de manera continua. Puede
entonces imaginarse las líneas descompuestas en elementos en el sentido en que las
razones de las cantidades dx puedan considerarse como constantes, y el problema se
transforma en construir para cada punto una expresión general del elemento de línea ds,
partiendo del mismo punto, expresión que contendrá entonces a las magnitudes x y dx.
Admito, en segundo lugar, que la longitud del elemento de línea, abstracción hecha de las
cantidades de segundo orden, permanece invariable cuando todos los puntos del mismo
sufren un mismo desplazamiento infinitesimal en su posición, lo que implica al mismo
tiempo que si todas las cantidades dx decrecen en una misma razón, el elemento de línea
varía igualmente en esa misma razón (…)” (Riemann, 1854, 2. Relaciones métricas de
la que es susceptible una variedad de n – dimensión (…)).
“(…) Die Aufgabe ist dann, für die Länge der Linien einen mathematischen Ausdruck
aufzustellen, zu welchen Zwecke die Grssen x als in Einheiten ausdrckbar betrachtet
werden müssen. Ich werde diese Aufgabe nur unter gewissen Beschränkungen behandeln
138
Uno de los principales objetos de estudio en el siglo XVII era el fenómeno físico del movimiento (partículas,
objetos o cuerpos celestes) en términos de espacio y tiempo. El problema en el fondo consistía en determinar las
variaciones de posición o desplazamiento con respeto al tiempo. Por ejemplo, se puede dar una explicación analítica
del movimiento de una partícula si se conoce por completo su posición en el espacio en todo instante. Cuando la
partícula se mueve de una posición inicial
a una posición final , su desplazamiento está dado por la expresión
donde
indica el “cambio” de una cantidad. En su exposición, Riemann (1854) hace uso de los
progresos, hasta esa época, en el conocimiento de la naturaleza mecánica gracias al análisis infinitesimal y de los
principios de la física, entre estos, los de Galileo y Newton.
188
und beschränke mich erstlich auf solche Linien, in welchen die Verhältnisse zwischen
den Grssen dx – den zusammengehrigen Aenderungen der Grssen x – sich stetig
ändern; man kann dann die Linien in Elemente zerlegt denken, innerhalb deren die
Verhältnisse der Grssen dx als constant betrachtet werden drfen, und die Aufgabe
kommt dann darauf zurck, fr jeden Punkt einen allgemeinen Ausdruck des von ihm
ausgehenden Linienelements ds aufzustellen, welcher also die Grssen x und die Grssen
dx enthalten wird. Ich nehme nun zweitens an, dass die Länge des Linielements, von
Grssen zweiter Ordnung abgsechen, ungeändert bleibt, wenn sämmtliche Punkte
desselben dieselbe unendlich kleine Ortsärderung erleiden, worin zugleich enthalten ist,
dass Linienelement sich ebenfalls in diesem Verhältnisse ändert (…)” (Riemann, 1854.
II. Massverhätnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von n Dimensionen (…)).
Resulta pertinente, a partir de lo anterior, resaltar dos aspectos importantes. Lo primero, es
considerar las curvas en las cuales los incrementos infinitesimales de las variables
varían de una manera continua, respectivamente, tomando, por ejemplo, puntos infinitamente
próximos como
a otro
. Lo segundo, es
que las coordenadas de representación del punto
en una variedad, son los ejes
coordenados y no la localización de ningún punto en particular, es decir, no existe el sistema de
coordenadas en el sentido nuestro donde las curvas geométricas están referidas a él, sino que
existe un sistema de coordenadas intrínseco a cada curva.
El elemento de línea ds en una variedad n – dimensional y que el propio Riemann (1854)
describe es una función homogénea de primer grado de las cantidades dx, que permanece
invariable cuando cambian de signo las cantidades dx, y donde las constantes arbitrarias son
funciones continuas de las magnitudes x:
“(…) Unter diesen Annahmen wird das Linienelement eine beliebige homogene
Function ersten Grades der Grssen dx sein knnen, welche ungeändert bleibt, wenn
sämmtliche Grssen dx ihr Zeichen ändern, und worin die willkrlichen Constanten
189
stetige Functionen der Grssen x sind (…)” (Riemann, 1854. II. Massverhätnisse, deren
eine Mannigfaltigkeit von n Dimensionen (…)).
Riemann (1854) impone, entre otras condiciones, que dicha expresión permanece siempre
positiva y crece en razón cuadrática, si las cantidades dx y ds, varían en una misma razón. La
expresión del elemento de línea que Él describe corresponde a una forma cuadrática diferencial
definida positiva 139:
139
Las ecuaciones y las formas cuadráticas surgen de muchas maneras. Por ejemplo, se pueden usar formas
cuadráticas para obtener información sobre las secciones cónicas (círculos, parábolas, elipses, hipérbolas) y extender
esta teoría para describir ciertas superficies, llamadas superficies cuadráticas en
. Por ejemplo, una forma
cuadrática en dos variables es una expresión de la forma
Donde
. Esto es, al menos uno de los números a, b, y c (supongamos, constantes) es diferente de
cero.
Las formas cuadráticas se pueden definir en términos de cualquier número de variables:
Sea
y sea A una matriz simétrica de n × n. Entonces una forma cuadrática en
es una
expresión de la forma
Por otro lado, se dice que una forma cuadrática
es definida positiva si
para toda
y
si
. También se dice que es definida negativa si
.
La Geometría Analítica nos brinda una herramienta importante para estudiar las superficies determinadas por
ecuaciones algebraicas con respecto a sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Por ejemplo, consideremos
las ecuaciones de la forma:
Las letras A, B, C,…, representan números determinados; se les llama coeficientes de las ecuaciones indicadas. La
ecuación (1) se llama ecuación general de primer grado (los valores numéricos de sus coeficientes pueden ser
cualesquier número real pero no todos iguales a cero). La ecuación (2) se llama ecuación general de segundo grado
y de igual se restringe el caso en el que todos sus coeficientes sean a la vez igual a cero. En forma análoga, se
definen las ecuaciones de tercer grado, cuarto grado, etc.
La superficie que en algún sistema de coordenadas cartesiano rectangulares se determina por una ecuación
algebraica de grado n se llama superficie algebraica de n – enésimo orden.
Las superficies de primer orden, geométricamente, están representadas por planos. En efecto, cada plano se
determina, en coordenadas cartesianas, por una ecuación de primer grado. Tomemos un plano ρ y un punto
que pertenece a él. Elijamos un vector
de
, diferente del vector cero, que sea
perpendicular al plano ρ. Y consideremos un punto arbitrario
del plano dado. Entonces consideremos los
siguientes vectores perpendiculares entre sí
y
entonces se tiene que la ecuación del plano ρ es
190
“(…)Es entonces igual a una constante por
y por ello ds es igual a la raíz cuadrada
de una función homogénea definida positiva, de segundo grado en las magnitudes dx, en
la que los coeficientes son funciones continuas de las magnitudes x (…)” (Riemann,
1854, 2. Relaciones métricas de la que es susceptible una variedad de n – dimensión
(…)).
“(…) er ist also = const.
und folglich ist ds = der Quadratwurzel aus einer immer
positiven ganzen homogenen Function zweiten Grades der Grssen dx, in welcher die
Coefficienten stetige Functionen der Grssen x sind (…)” (Riemann, 1854. II.
Massverhätnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von n Dimensionen (…)).
Escribiendo de manera compacta se puede decir que el elemento de línea ds corresponde a una
expresión de la forma:
donde los coeficientes
son funciones continuas de las variables
.
Las variedades en las cuales el elemento de línea puede, como en el plano y en el espacio,
reducirse a la forma
son un caso particular sobre las relaciones métricas en las
variedades que Riemann (1854) investigó. A estas variedades, en las que el cuadrado del
Las superficies de segundo orden se determinan por ecuaciones de segundo grado. En un sistema de coordenadas
cartesianos viene representadas, por ejemplo (para todos los denominadores a, b y c se excluyen los casos en que
estos son cero) :
, el elipsoide. Un caso particular sucede cuando
que es una esfera.
es el hiperboloide de una hoja. Se llama hiperboloide de dos hojas a la superficie determinada por
la ecuación
. Y así en general para las además superficies cuadráticas, cilindros, paraboloides,
etc.
191
elemento de línea se puede reducir a una suma de cuadrados de diferenciales, Riemann (1854)
las denomina variedades planas:
“(…) Die Mannigfaltigkeit, in welhen sich, wie in der Ebene und im Raume, das
Linienelement auf die Form
bringen lässt, bilden daher nur einen besondern
Fall der hier zu untersuchenden Mannigfaltigkeit; sie verdienen wohl einen besonderen
Namen, und ich will also diese Mannigfaltigkeiten, in welchen sich das Quadrat des
Linienelements auf die Summer Quadrate von selbständigen Differentialien bringen last,
eben nennen (…)” (Riemann, 1854. II. Massverhätnisse, deren eine Mannigfaltigkeit
von n Dimensionen (…)).
Qué es un caso particular, se puede mostrar de la siguiente manera. Consideremos la forma
cuadrática siguiente:
De hecho, en el espacio euclídeo,
para
y
de la matriz identidad 3×3 y además los coeficientes reales
para
, que es la definición
son constantes.
En particular, podemos partir de la forma cuadrática siguiente:
Y para el plano euclídeo se tiene la misma condición,
Entonces para el espacio euclídeo
el elemento de línea es:
.
192
para
y
para
.
Podemos considerar el caso en una variedad tridimensional, a la que según Riemann (1854),
se ajusta el espacio.
Supongamos entonces que las magnitudes son independientes de una situación dada (un
desplazamiento, un giro, etc.) y que un punto en la variedad tiene coordenadas de representación
. Una curva en una variedad tridimensional se puede imaginar como un conjunto de
puntos parametrizados
para algún rango de valores de t de tal forma que un
punto al desplazarse a lo largo de la curva cambia continuamente t en dt, y cada x en dx. Bajo
ciertas hipótesis, de las que Riemann (1854) parte, el cuadrado del elemento de línea es una
función cuadrática en los términos de,
y
.
Una circunstancia especial sucede cuando
, que es una situación
pitagórica infinitesimal, y en general la función es siempre positiva; podemos extraer raíces
cuadradas sin introducir distancias imaginarias. Sobre este resultado notable de Riemann (1854),
afirma el Profesor Gray (1992):
De esta manera, Riemann ha fundamentado el modo como en una magnitud tridimensional
extendida en
se puede determinar la longitud de las curvas.
Por otro lado, Riemann (1854) deja abierta la posibilidad de definir más funciones generales
del elemento de línea
. De hecho, menciona en su exposición variedades en las que el
elemento de línea se puede expresar mediante la raíz cuarta de una expresión diferenciable de
cuarto grado pero no las aborda porque considera no contribuirían a ilustrar una teoría del
espacio y sus resultados no podrían ser representados geométricamente. Por tal razón, restringe
su estudio a las variedades de n – dimensiones en las que el elemento de línea (una forma
cuadrática) se pude expresar como la raíz cuadrada de una suma de diferenciales de segundo
grado.
Una vez logrado establecer el elemento de línea como una forma diferencial cuadrática,
Riemann (1854) se propone determinar las condiciones bajo las cuales el elemento de línea se
puede transformar bajo un cambio de coordenadas, en una forma cuadrática con coeficientes
que son funciones arbitrarias de las variables independientes. El caso en el que una de las formas
193
cuadráticas tiene coeficientes constantes se le puede considerar como una restricción. Para lo que
sigue consideraremos su análisis referente a variedades bidimensionales.
Una superficie 140 es una variedad bidimensional, ya que en cualquier punto
de ella se
pueden especificar dos direcciones básicas, (por ejemplo, la latitud y la longitud en la superficie
terrestre) y cualquier otra dirección es una combinación (proyección) de las anteriores. Estas
direcciones se pueden tomar como ejes de un sistema de coordenadas próximo al punto . Dos
retículos o sistemas de coordenadas usados frecuentemente son el rectangular y el polar.
El sistema de coordenadas polar está compuesto de un punto fijo llamado polo (que define un
eje polar horizontal), por líneas que radian de él (radios dirigidos) que determinan
circunferencias (o arcos) que tienen por centro el polo. Una diferencia con el retículo rectangular
es que el polo es un punto especial. Situemos entonces el punto
en cualquier posición distinta
al polo.
Si a partir del punto
en una superficie se construye un sistema de líneas de longitud mínima
que parten de él entonces cualquier punto de las cercanías queda especificado, por decirlo
radialmente estableciendo su distancia a lo largo de una de dichas líneas.
Entonces lo que sucede con los elementos
(i) En el caso en que el punto
es lo siguiente:
tiene representación en coordenadas cartesianas rectangulares:
140
Partimos de la hipótesis que las superficies son suaves para que en cada una de ellas podamos hablar de un plano
tangente a misma en cualquier punto de ella. Cuando decimos suaves queremos significar que las superficies son
diferenciables (sin picos, ni aristas). De igual forma suponemos que las curvas contenidas en la superficie son
suaves como para que en cada punto de ellas podamos hablar de un recta tangente a la curva (curva diferenciable).
194
Un desplazamiento infinitesimal de
a
, que se compone de un
movimiento
de
a lo largo de
,y
a lo largo
da como resultado un desplazamiento
igual al elemento de línea ds donde,
a lo largo de la hipotenusa del triángulo
rectángulo infinitesimal [ver Figura 4.3].
Figura 4.3
La fórmula de Pitágoras es sencilla puesto que el retículo rectangular está compuesto de
geodésicas que son líneas rectas.
(ii) Por otro lado, si el punto
Un desplazamiento
movimiento
de
tiene representación en coordenadas polares:
radial y luego un
en sentido circular va
a
[ver
Figura 4.4].
El segundo desplazamiento recorre una
distancia de
y la distancia
resulta ser aproximadamente igual a
Figura 4.4
En el caso de coordenadas polares no todas líneas son geodésicas: podemos considerar a las
rectas radiales como tales pero no a los círculos concéntricos.
Pero si consideramos las geodésicas como círculos concéntricos de radios
con respecto a un
sistema de coordenadas significa que resulta natural describir el movimiento de cualquier punto
en el mismo como una trayectoria circular y no a través de rectas: son las líneas de la rejilla las
195
y no la misma superficie 141. Entonces las
que están curvadas y se expresan en términos de
curvas
(constante), de parámetro , las denominamos circunferencias geodésicas y los
correspondientes valores de reciben el nombre de radios de las circunferencias geodésicas 142.
141
Muchos fenómenos de la Naturaleza que estudia la Física están relacionados de una u otra forma con las
posiciones que ocupa un cuerpo en el espacio. Por ejemplo, la descripción analítica del movimiento de un objeto
requiere un método matemático que permita definir la posición de éste en cualquier instante de tiempo. Podemos
considerar a manera de ilustración dos tipos de movimientos bidimensionales: el rectilíneo y el circular. En el
primero, resulta natural usar un sistema de coordenadas cartesiano rectangular para expresar y describir
matemáticamente la trayectoria del objeto. En el segundo, es más conveniente usar un sistema de coordenadas
polares. Verbi gracia, para describir el movimiento de un péndulo. Este caso en particular nos permite entender y
abordar físicamente la razón del elemento de línea
. El péndulo simple es un sistema mecánico
que realiza un movimiento oscilatorio. Se compone de una masa puntual m suspendida por una cuerda ligera de
longitud L, donde el extremo superior de la cuerda está fijo. La trayectoria que describe el péndulo en su
movimiento es un arco de circunferencia que denotamos por S. Imaginemos que S es el único conjunto de caminos
(arcos de circunferencia cuya longitud podemos medir) por el cual podemos desplazarnos de un punto de S a
cualquier otro de S. Entonces no tiene ningún sentido concebir desplazarse por segmentos de rectas. Es decir, si
consideramos las geodésicas curvadas con respecto al sistema de coordenadas significa que desplazarnos en sentido
circular resulta natural y el hacerlo por segmentos no sería concebible. Es lo que podría decirse una manifestación
del sistema de coordenadas (retículos) que hemos usado.
142
Si y
son dos puntos de una superficie , por definición se llama distancia intrínseca entre y , y se
al ínfimo (es decir, la mayor cota inferior) de las longitudes
de todos los posibles arcos
representa por
regulares de , que unan a y .
Es evidente que la distancia intrínseca entre dos puntos de una superficie existe siempre, pues el conjunto de
números reales
no es vacio (por ser conexa y, por tanto, arco conexa) y es acotado inferiormente por la
distancia euclidiana entre y , que denotamos por
. De acuerdo con la definición del ínfimo, si existe un
arco regular que una a los puntos y , arbitrarios, y cuya longitud sea igual a la distancia intrínseca entre y
entonces la geodésica recibe el nombre de arco de longitud mínima entre y .
Si
es un arco de longitud mínima entre
, siendo
y , entonces su longitud
cualquier otro arco que une a
Para un
, arbitrario, existe un arco regular
es la mayor cota inferior).
y
cumple las siguientes propiedades:
(
que une a
es una cota inferior).
y
tal que
(
En el plano euclídeo,
es la distancia euclidiana y existe siempre un arco de longitud mínima, único, y es
el segmento de recta entre
y . Sin embargo, en general, entre dos puntos de una superficie no existe
necesariamente un arco de longitud mínima, o de existir, no es necesariamente único.
Uno de los aspectos importantes de la geometría es el estudio de aquellas propiedades de las superficies que se
conservan invariantes ante una situación o transformación (entendiendo por esta un desplazamiento, un giro, etc. la
cual matemáticamente se expresa por una función que cumple ciertas condiciones). Las propiedades de las
superficies que se mantienen invariantes ante una determinada situación se denominan propiedades intrínsecas de la
superficie. Y al conjunto de todas éstas se le da el nombre general de geometría intrínseca de la superficie. La
196
Por otro lado, sabemos que la curvatura de Gauss es una cantidad geométrica intrínseca, es
decir, depende únicamente de la geometría propia de la superficie. El proceso por el que se llega
a la curvatura de Gauss a través de las secciones normales, curvaturas normales y de las
curvaturas principales, es extrínseca: depende en esencia de que nuestra superficie existe en un
espacio tridimensional desde el cual podemos imaginar cómo se curva. Sin embargo, el
Theorema Egregium de Gauss garantiza que, a pesar de ello, la curvatura gaussiana es
intrínseca.
La importancia de la curvatura de Gauss (en lo que sigue la denotamos por K) en el análisis de
la Disertación Riemann (1854) estriba en lo siguiente. Imaginemos seres bidimensionales 143
viviendo en una superficie en la cual no tienen ninguna noción de una tercera dimensión y que
no les permite concebir, por ejemplo, secciones normales para calcular el valor de K en cualquier
punto de su mundo bidimensional. ¿Cómo podrían entonces estas criaturas calcular K? Gauss
resolvió el problema para determinar esta curvatura intrínseca sin hacer ningún tipo de referencia
a un espacio tridimensional.
y
Consideremos sobre el plano euclídeo una curva suave que pasa por los puntos
. Entonces el elemento de línea viene dado por la expresión:
Imaginemos ahora sobre una superficie suave, una curva que pasa por
y
. En este caso, por lo visto hasta ahora, el elemento de línea está dado por una
forma cuadrática menos sencilla:
distancia intrínseca como los arcos de longitud mínima entre dos puntos, son propiedades que pertenecen a la
geometría intrínseca de la superficie.
143
La obra, Planilandia del Británico Edwin A. Abbot (1838 – 1926) [título original, Flatland. A romance of many
dimensions, London] fue publicada por primera vez en el año 1884 bajo el pseudónimo de A Square y ha ocupado
un lugar único en la literatura científica y fantástica. Abbot, Profesor de matemáticas y un estudioso de Shakespeare,
narra en su obra la historia de seres en un mundo bidimensional y en que los conceptos geométricos y la sátira
mordaz al mundo jerárquico de Inglaterra de aquella época son la fuente principal de inspiración para el autor.
197
donde E, F y G son coeficientes de la métrica intrínseca sobre la superficie que se expresan en
función de las coordenadas arbitrarias
y
. Gauss demostró que la curvatura K está dada en
términos de E, F y G. Es decir, los seres bidimensionales podrían determinar las funciones E, F y
G realizando medidas (longitudes, distancias, áreas, etc.) sobre la superficie que habitan y
podrían calcular el valor de K si llegan, en particular, al método que Gauss empleó 144; aunque
tendrían dificultades al intentar visualizar su significado geométrico.
Esta sorprendente y notabilísima interpretación del Teorema Egregio de Gauss, Riemann la
presenta una vez ha esbozado de manera sucinta, y sin muchos detalles, las posibles aplicaciones
isométricas que pudiese existir entre las superficies cilíndricas o cónicas, el plano y la esfera:
“Según la investigación precedente, las relaciones métricas intrínsecas en una magnitud
extendida bidimensional, cuando el elemento de línea puede formularse como la raíz
cuadrada de una expresión diferencial de segundo grado, están caracterizadas en cada
punto por la medida de la curvatura [de Gauss]” (Riemann, 1854, 2. Relaciones métricas
de la que es susceptible una variedad de n – dimensión (…)).
“Nach dem vorigen Untersuchung werden in jedem Punkte die innern Massverhältnisse
einer zweifach ausgedehnten Grsse, wenn sich das Linienelement durch die
Quadratwurzel aus einem Differentialausdruck zweiten Grades ausdrcken lässt, wie dies
bei den Flächen der Fall ist, charakterisirt durch das Krmungsmass” (Riemann, 1854. II.
Massverhätnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von n Dimensionen (…)).
El hecho que las curvaturas principales, curvatura de Gauss y la curvatura media en una
superficie sean constantes es una condición restrictiva. Por ejemplo, en una variedad plana de n
– dimensiones el que la curvatura de Gauss sea cero en una superficie o plano significa que ella
es constante y que su valor es el mismo sin importar la dirección del punto en que se mida lo cual
significa, entre otras propiedades, que las propiedades métricas son las mismas en cualquier
punto de la superficie.
144
El Lector interesado puede consultar en particular el documento de los Profesores Reventós & Rodríguez (2006 –
2007, p. 19) en la Bibliografía.
198
Estas profundas reflexiones que hemos presentado nos conducen a pensar que la geometría sobre
una superficie de curvatura constante, positiva o negativa, puede considerarse como una
interpretación de las geometrías no euclídeas bidimensionales y efectivamente así lo demostró
Riemann (1854).
§4.3.1 Geometría sobre una superficie esférica: Una interpretación específica de
la Hipótesis del Ángulo Obtuso (HAO)
A partir de las ideas de Riemann (1854), podemos establecer una analogía entre la geometría
en una superficie de curvatura constante, en este caso particular la región de una esfera de radio
real y la de un semiplano euclídeo.
Dados dos puntos
y
en una superficie, existe generalmente una línea que pasa por ellos y
determina la mínima distancia entre ambos. Esta línea que pertenece a la superficie la
denominamos geodésica. En el caso de la esfera, el círculo máximo que pasa por los dos puntos
y
es una geodésica. Es evidente que en el caso del plano euclídeo las geodésicas son rectas.
Traslademos algunos términos y propiedades del plano euclídeo a una región de una superficie
de curvatura constante en general. En particular presentamos las sugeridas por el Profesor
Bonola (1912, p.134).
Superficies de curvatura constante
Plano
Superficie.
Región del plano.
Punto.
Punto.
Geodésica.
Línea recta.
Arco geodésico.
Segmento de recta.
Propiedades lineales de las geodésicas.
Postulados de orden para los puntos de una recta.
Propiedades fundamentales de congruencia de arcos
Postulados de congruencia para segmentos y ángulos.
geodésicos y ángulos.
Si dos triángulos geodésicos tienen dos lados del uno
Si dos triángulos rectilíneos tienen dos lados del uno
iguales a dos lados del otro y tienen los ángulos
iguales a dos lados del otro y tienen los ángulos
comprendidos por los arcos geodésicos iguales,
comprendidos por las rectas iguales, entonces los dos
entonces
triángulos son congruentes, proposición
los
congruentes.
dos
triángulos
geodésicos
son
Elementos).
199
I,
4 de los
El postulado 2 del Libro I de los Elementos afirma que se puede prolongar continuamente una
recta finita en línea recta y por consiguiente las rectas en el plano euclídeo son infinitas en
extensión. Riemann (1854), en el análisis que hace sobre el espacio, el cual abordaremos más
adelante, distingue entre infinito e ilimitado:
“(…) Cuando se extienden las construcciones del espacio a lo inconmensurablemente
grande, es necesario no confundir entre ilimitado e infinito: el primero pertenece a las
relaciones de extensión, el segundo, a las relaciones métricas (…)” (Riemann, 1854. 3.
Aplicación al espacio).
“(…) Bei der Ausdehnung der Raumconstructionen in’s Umessbargrossen ist
Unbegrenztheit
und
Unendlichkeit
zu
scheiden;
jene
gehrt
zu
den
Ausdehnungsverhältnissen, die zu den Massverhältnissen (…)” (Riemann, 1854. III.
Anwendung Auf den Raum).
Para ilustrar dicha diferencia, podemos hacer un símil con la siguiente proposición o teorema
en Topología:
Un subespacio X de
es compacto si, y sólo si, es cerrado y acotado en la distancia, en
particular, euclídea 145.
Para algunos estudiantes de matemáticas y física, existe una confusión que consiste en
establecer que la colección de los conjuntos compactos en un espacio métrico son los conjuntos
cerrados y acotados. Esta interpretación es inapropiada ya que la cuestión de qué conjuntos son
acotados depende única y exclusivamente de la distancia, mientras que el hecho de que un
conjunto sea o no compacto depende de la topología del espacio. Recordemos que para Riemann
(1854), las variedades en general, pueden estudiarse desde el punto de vista métrico pero también
desde el punto de vista del analisys situs. Por ejemplo, la esfera unidad
cerrada unidad
en
son compactos pues son cerrados y acotados pero el conjunto
parejas ordenadas tales que
145
y la bola unidad
Decimos en particular euclídea porque para la distancia supremo
también se verifica.
200
definida por la ecuación
de
es cerrado en
y no es compacto porque no está acotado en dicho espacio topológico.
Por otro lado, el que una superficie tenga, en particular, curvatura de Gauss constante
significa que cualquier figura geométrica situada en dicha superficie se puede trasladar y girar
libremente en cualquier región de la misma sin que varíen sus propiedades métricas (longitudes,
áreas, ángulos, etc.). Podemos caracterizar dichas propiedades como movimientos rígidos que
son aquellas transformaciones biyectivas de una superficie en sí misma que conservan distancias
entre puntos y preservan las medidas de los ángulos.
Entonces las contradicciones que habían llevado a descartar una geometría asumiendo la HAO
se pueden resolver considerando una geometría intrínseca que subyace sobre una superficie en
el espacio euclídeo, en particular, en la esfera. Retomemos algunas de estas contradicciones que
están sustentadas, en particular, en los siguientes postulados del libro I de los Elementos:
1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
5. Y el que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo
lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán
en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos
(Euclides, 1991, p. 197).
Las postulaciones siguientes, sustentadas en las ideas de Riemann (1854), serían: (i) dos
puntos distintos determinan al menos una geodésica (círculos máximos), (ii) las geodésicas son
de longitud finita pero ilimitada, (iii) no existen geodésicas paralelas, es decir, dos círculos
máximos se intersecan en al menos un punto.
Otros resultados de la nueva geometría en el caso particular de una superficie esférica
son:
201
Todas
las
circunferencias
máximas
perpendiculares a una geodésica dada,
se intersecan en un punto. En la
superficie esférica, las geodésicas h, k,
n y m, perpendiculares a una misma
geodésica l se intersecan en el punto
[ver Figura 4.5]. En la geometría
Figura 4.5
euclídea estas rectas serían paralelas
entre sí.
Dos geodésicas determinan una región S
de la superficie esférica: las geodésicas k
y n [ver Figura 4.6].
En la geometría euclídea dos rectas no
encierran entre sí una superficie.
Figura 4.6
En la geometría de Euclides: Si
puntos de una recta y
entonces
,
y
yace entre
también yace entre
y
son
y
[ver
Figura 4.7
Figura 4.7].
En la superficie esférica: dados tres puntos
arbitrarios ,
y
en un círculo máximo, hay
tres casos que se verifican [ver Figura 4.8]:
a)
se encuentra entre los puntos
y ;
b)
se encuentra entre los puntos
y ;
c)
se encuentra entre los puntos
y .
Figura 4.8
En relación a los triángulos en una superficie esférica se obtiene que,
202
En una superficie esférica dos
triángulos esféricos semejantes son
congruentes entre sí. En efecto, un
triángulo esférico es completamente
determinado por la amplitud de sus
ángulos internos, es decir:
Si los tres ángulos internos de un
triángulo
esférico
son
congruentes a los ángulos internos
de otro triángulo esférico
entonces los triángulos esféricos
y
Figura 4.9
son congruentes entre
sí [ver Figura 4.9].
Este resultado también es válido en la HAA.
Si se considera el lugar geométrico de los
puntos equidistantes de una circunferencia
máxima en una superficie esférica, resulta una
circunferencia de radio menor, es decir, el
locus geométrico de Vitale en la superficie
esférica es una circunferencia de radio menor
[ver Figura 4.10].
Por otro lado, resulta interesante comparar
algunas propiedades de forma analítica entre un
semiplano euclídeo y una región de una
Figura 4.10
superficie esférica.
(i) Consideremos una esfera de radio
ángulos centrales opuestos a éstos ,
. Entonces en un triángulo esférico de lados a, b, c y
y , respectivamente, se tiene:
203
Si el ángulo central es
entonces obtenemos una interpretación esférica del teorema de
Pitágoras:
en donde b y c son los catetos, y a es la hipotenusa. Ahora imaginemos una región de superficie
esférica infinitesimal. Esto lo podemos expresar matemáticamente considerando el límite cuando
. Elevemos al cuadrado ambos miembros de la expresión:
Si hacemos el cambio de variable
entonces
si
. Y por tanto, en una esfera cuando
obtenemos el teorema
de Pitágoras:
(ii) La longitud de una circunferencia esférica de radio
está dada por la expresión:
204
medido sobre la superficie de la esfera
Donde la relación entre ,
y
se ilustra en
la [Figura 4.11]. De igual forma que en caso
anterior, consideremos la esfera cuando
. Entonces partiendo de que,
y haciendo el cambio de variable como en el
caso anterior, tenemos que
Figura 4.11
.
(iii) En el espacio euclídeo tridimensional partimos de la representación cartesiana del espacio
mediante ternas ordenadas de números que representan la distancia a los tres ejes llamados ejes
coordenados. Pero también podemos identificar cada punto del espacio por otras tres magnitudes
dos ángulos y una distancia:
Si
es la representación del punto
en coordenadas cartesianas rectangulares,
entonces a partir de la ecuación
podemos establecer
las siguientes relaciones [ver Figura 4.12]:
Figura 4.12
205
donde
es la distancia del punto
),
al origen de coordenadas,
es la colatitud (la latitud sería
(acimut o azimut) es el ángulo que forma la proyección del vector
Los rangos de variación son, respectivamente,
,
con el plano xy.
y
. La terna
se denomina representación en coordenadas esféricas del punto .
Si
es el radio de la esfera y
línea de la esfera de radio
es el arco de circunferencia entonces el elemento de
está dado por:
En una superficie esférica dos círculos máximos distintos se intersecan no una, sino dos veces
en dos puntos que son diametralmente opuestos, lo cual significa, que al menos dos geodésicas
pasan por dos puntos distintos. Sin embargo, se puede delimitar una región de la superficie
esférica de tal forma que dos puntos distintos determinen una geodésica: consiste en considerar
no toda la superficie esférica, sino sólo la mitad como la línea imaginaria del Ecuador que es el
primer paralelo que divide a la superficie terrestre en dos mitades ya que está trazado
imaginariamente a igual distancia de los polos. Esta interpretación fue sugerida por Félix Klein
en el año1871.
También resulta pertinente mencionar que la superficie esférica es una interpretación
particular de una geometría no euclídea (HAO) bidimensional, geometría intrínseca, y no es la
única. En efecto, cualquier superficie de un elipsoide del espacio euclídeo sirve como modelo
para la interpretación de una geometría no euclidiana bidimensional asumiendo la HAO.
§4.3.2 F. Minding (1839). Las Pseudoesferas, superficies de revolución con
curvatura de Gauss constante negativa
Con relación a la Hipótesis del Ángulo Agudo (HAA), retomemos algunos resultados.
Lambert (1766) hubo sugerido que una posible interpretación geométrica en la HAA podría
ocurrir en el caso de una esfera de radio imaginario o complejo. Entonces cuando se habla de
extender la analogía de Lambert (1766) se refiere a la existencia de una superficie donde el
elemento de línea en la Hipótesis del Ángulo Agudo esté dado a partir de la expresión,
206
donde hemos reemplazado el radio
en la esfera real por el radio imaginario
.
Los Profesores Reventós & Rodríguez (2006 – 2007) consideran que F. Minding (1806 –
1885) fue uno de los primeros Matemáticos Rusos en estudiar la obra de Gauss, Disquisitiones
generales circa superficies curvas (1828) y además ser el fundador de la escuela de Geometría
Diferencial en Rusia. Según expresan los autores, Minding introdujo el concepto de curvatura
geodésica de una curva sobre una superficie en el año 1830.
En la obra del matemático Ruso, Wie sich entscheiden lässt, ob zwei gegebene krumme
Flächen aufenaider abwickelbar sind, oder nicht; nebst Bemerkungen über die Flächen von
unveränderlichen Krümmungsmasse 146 publicada en Crelle’s Journal, Bd. XIX, p. 370 – 387 en
el año 1839, F. Minding introdujo la pseudoesfera como superficie de revolución con curvatura
constante negativa. El Profesor Bonola (1912) afirma que el estudio de superficies de curvatura
constante negativa inició con las investigaciones de Minding sobre superficies de revolución y en
las cuales éstas podrían tener aplicabilidad, por ejemplo, en la Física.
La pseudoesfera es una superficie de
revolución, alrededor del eje
, que
engendra una curva llamada tractiz [ver
Figura 4.13], cuya ecuación es:
siendo a una constante y cuya superficie de
curvatura es
.
Figura 4.13
Como podemos observar al variar la constante a obtenemos infinidad de superficies
pseudoesféricas.
146
La traducción que presentan Reventós & Rodríguez de este título es Com decidir si dues superficies són
mútuament desenvolupables; incloent remarques sobre superficies de curvatura constant negativa, en Journal fur
die reine und angewandte Mathematik 19, 370 – 387, año 1839.
207
Las ecuaciones trigonométricas que describen
analíticamente una región limitada de una
superficie pseudoesférica coinciden con las
encontradas por Taurinus (1826) en sus
investigaciones, es decir, con las fórmulas
trigonométricas
de
la
trigonometría
de
Lobachevsky – Bolyai en la HAA.
No obstante, la relación entre una región de la
superficie pseudoesférica y el plano hiperbólico
(HAA) no se hizo sino posteriormente e
históricamente dicha interpretación se debe al
Matemático Beltrami en el año 1868, obra a la
Figura 4.14
cual nos referiremos más adelante.
Lo anterior nos lleva a concluir que las superficies de curvatura constante positiva y negativa
conducen a interpretaciones de geometrías no euclideas bidimensionales, HAO e HAA,
respectivamente. En los casos particulares que hemos presentado, las geodésicas de las
superficies (en la pseudoesfera aún no las hemos caracterizado) se identifican con las rectas de la
geometría del plano euclídeo. Ello, por supuesto, sólo fue posible técnica y matemáticamente
como resultado del estudio de curvas y superficies en el espacio euclídeo que se derivaron de la
geometría diferencial clásica y, sin duda, a la forma en que Riemann abordó en su Lectura de
Habilitación los fundamentos de la geometría.
Sin embargo, quedan dos problemas por abordar: la relación de la geometría con el espacio
físico (espacio) y la consistencia de los emergentes sistemas geométricos en su forma general: la
Geometría Elíptica (HAO) y la Hiperbólica (HAA).
208
§4.4 Esbozo de una [Lehre von Raume] teoría del espacio físico no euclídeo por Riemann
(1854) y algunas implicaciones sobre la misma que se desprenden a partir de la teoría de la
relatividad especial o restringida (1905) y general (1916) de Einstein
En esta sección, la última de la Habilitationsvortrag, se pude decir es en la que Riemann
(1854) aborda la teoría de las paralelas y su relación con el espacio físico.
En el espacio euclídeo (al que denotamos en adelante por
), dadas las reflexiones
precedentes, se tiene que si,
y
son dos puntos infinitesimalmente próximos
entre sí que pertenecen a una curva suave de
, el elemento de línea viene dado por una
expresión de la forma:
Pero este resulta ser un caso particular, como el mismo Riemann (1854) lo planteó en su
análisis, de expresiones más generales del elemento de línea. De hecho, consideremos una vez
más la forma cuadrática:
Entonces recordemos el hipotético caso de seres bidimensionales que habitan una superficie
sobre la que quieren medir la curvatura de Gauss. Aunque esta situación parezca extraña,
Riemann (1854) demostró que en realidad no lo era.
Riemann (1854) pudo haber imaginado que nosotros, seres tridimensionales, estamos en una
situación análoga a las criaturas bidimensionales pero esta vez en el espacio. Él introduce,
partiendo de una forma cuadrática general para el elemento de línea en el espacio, análogo para
calcular la curvatura de Gauss en una superficie, el concepto de curvatura del espacio:
“(…) Por otra parte, las relaciones métricas de la variedad [con curvatura constante y n
– dimensional] están completamente determinadas por la curvatura, por lo que con
209
respecto a un punto y en todas las direcciones [de la variedad] las relaciones métricas son
exactamente las mismas que alrededor de cualquier otro punto y, por consiguiente, se
pueden realizar las mismas construcciones [geométricas] a partir del punto [dado en la
variedad]; en consecuencia, en las variedades de curvatura constante puede darse a las
figuras cualquier posición. Las relaciones métricas de estas variedades dependen sólo del
valor de la curvatura, y en relación a la representación analítica, puede observarse que si
se designa este valor por , puede darse a la expresión del elemento de línea la forma
(…)” (Riemann, 1854. 2. Relaciones métricas de la que es susceptible una variedad de
n dimensiones (…).
“(…) Denn offenbar wrden die Figure in ihnen nicht beliebig verschiebbar und drehbar
sein knnen, wenn nicht in jedem Punkte in allen Richtungen das Krmmungsmass
dasselbe ware. Andererseits aber sind durch das Krmmungsmass die Massverhältnisse
der Mannifaltigkeit vollständing bestimmut; es sind daher um einen Punkt nach allen
Richtungen die Mässverhältnisse genau dieselben, wie um einen andern, und also von
ihm
aus
dieselben
Constructionen
ausfhrbar,
und
folglich
kann
in
den
Mannigfaltigkeiten mit constantem Krmmungsmass den Figuren jede beliebige Lage
gegeben warden. Die Mässverhältnisse dieser Mannigfaltigkeiten hanger nur von dem
Werthe des Krmmungsmasses ab, und in Bezung auf die analytishe Darstellung mag
bemerkt warden, dass, wenn diesen Werth durch
bezeichnet, dem Ausdruck fr das
Linienelement die Form
(…)” (Riemann, 1854. II. Mässverhältnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von n
Dimensionen (…).
210
Esta expresión del elemento de línea es en general para una variedad de n dimensiones con
curvatura constante. Analicemos, el caso de una magnitud tridimensional extendida, a la que
según Riemann (1854), se ajusta el espacio.
Vamos a considerar las ideas sugeridas por el Profesor Bonola (1912) e incluir otras donde
haya necesidad de hacerlo. Supongamos que existe una Geometría del espacio (por decir, una
geometría de los cuerpos sólidos: Geometría Sólida) en la que partimos como fundamento de la
misma que nuestras hipótesis y postulados son proposiciones que describen los fenómenos físicos
en los cuales podemos tomar medidas en una región del espacio. También asumimos que en el
espacio podemos introducir un sistema de coordenadas arbitrario que nos permite determinar la
posición o el movimiento de cualquier objeto.
Entonces, analíticamente una curva, que puede ser la trayectoria de un cuerpo en el espacio,
podría ser determinada por tres ecuaciones y un parámetro t
,
y
Lo siguiente es determinar una función del elemento de línea con la cual se pueda expresar
analíticamente la longitud de una curva. Supongamos que esta puede ser dividida en cantidades
de longitudes infinitesimales de tal forma que la suma de estas longitudes infinitesimales es igual
a la longitud total de la curva que deseamos medir. Entonces, lo que nos dice Riemann (1854) es
que lo básico de la Geometría es la idea de posición, y las relaciones de posición se pueden
expresar a través de dirección y distancia. Suponemos que el espacio es homogéneo en sus tres
direcciones, es decir, en cualquier punto y dirección del mismo podemos verificar nuestras
hipótesis y postulados, además que los objetos se pueden desplazar en cualquier dirección
independientemente de su posición [axioma de libre movilidad].
El elemento de línea podría ser completamente definido cuando conocemos la distancia
entre dos puntos infinitesimalmente próximos entre sí, y cuyas coordenadas son,
y
Según se desprende del análisis de Riemann (1854), se tiene en forma general el elemento de
línea
211
donde los coeficientes
son funciones continuas de
.
Entonces en el espacio, se puede tomar un sistema de coordenadas conveniente de manera que
los coeficientes
permitan expresar el elemento de línea
En esta expresión, la constante
de la forma,
es la que Riemann (1854) denomina curvatura del espacio.
Al igual que con la curvatura de Gauss para superficies euclideas, si
es mayor, igual o
menor que cero, se tiene un espacio de curvatura constante positiva, cero o negativa,
respectivamente. En consecuencia, tenemos tres formas de espacio que definen tres geometrías
espaciales y que son consistentes (¿Por qué?).
En la primera de estas geometrías, que corresponde a la curvatura constante positiva (elíptica),
el espacio podría ser finito pero ilimitado en todas las direcciones. El segundo, el de curvatura
constante cero (parabólico), es el espacio descrito analíticamente por la geometría cartesiana. Y
por último, el de curvatura constante negativa, queda determinado por la geometría de
Lobachevsky – Bolyai (hiperbólico).
Describamos algunas propiedades y consecuencias que se derivan, en particular, de las dos
primeras formas espaciales.
(i) Si se admite como hipótesis que en el espacio las líneas 147 son independientes de su posición
y que el elemento de línea se puede expresar como una suma de diferenciales de segundo grado,
entonces se pueden indicar, afirma Riemann (1854), las posibles propiedades métricas que lo
determinan:
a) La curvatura es nula en cualquier dirección y, por consiguiente, las relaciones métricas del
espacio están determinadas si la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos
ángulos rectos.
147
Hemos asumido el postulado que dos puntos distintos determinan siempre una línea o recta.
212
b) Si se supone, como en los Elementos de Euclides, una existencia de los objetos, no sólo de las
líneas, sino también de los cuerpos que lo conforman, independiente de la posición, se sigue que
la curvatura es constante
en cualquier dirección y la suma de los ángulos internos de
cualquier triángulo está determinada cuando la hemos hallado en un triángulo.
(ii) Para Riemann (1854) la propiedad del espacio de ser finito pero ilimitado
es una
certeza empírica que puede ser determinada por las mediciones astronómicas.
Lo anterior conduce a presentar algunos datos históricos y reflexiones sobre el concepto de
curvatura en el espacio.
Existen datos históricos que confirman que Gauss consultó la obra de Lambert (1766) en la
biblioteca de Göttingen entre los años 1795 y 1797, donde además tuvo acceso a la obra del
Padre Saccheri (1733). También, históricamente queda establecido que, ni I. Lobachevsky ni J.
Bolyai conocieron o tuvieron conocimiento de las Meditaciones de Gauss sobre la teoría de las
paralelas previo a las publicaciones de sus respectivas investigaciones aún cuando el matemático
Alemán, J. M. C. Bartels (1769 – 1836), amigo de Gauss, fue Profesor de Lobachevsky en la
Universidad de Kazán y, como se recordará, Wolfgang Bolyai, padre de J. Bolyai, mantuvo
correspondencia con Gauss concerniente al problema de las paralelas.
Lobachevsky tuvo una rigurosa formación en geometría analítica, mecánica clásica, análisis,
física y astronomía. Por ello, no resulta extraño que los resultados de Lobachevsky con respecto
a la teoría de las paralelas estuviesen estrechamente vinculados con sus reflexiones sobre el
espacio, en especial en su obra, Pangeometría (1855). En efecto, a partir de la fórmula
fundamental de la geometría no euclidiana,
el matemático Ruso asume que para cada unidad de longitud, es decir, para cada valor de la
constante
, en la expresión anterior, se obtiene una geometría distinta. En el caso de la
geometría euclídea,
. Por consiguiente, en términos modernos, si el espacio es
hiperbólico, afirma Lobachevsky, debe corresponder a un valor de . Es así como el matemático
Ruso llevó a cabo cálculos astronómicos para calcular la curvatura del espacio y estimó que era
213
demasiado grande para ser detectada por los instrumentos de medición astronómicos de la época.
Riemann (1854), en su Habilitationsvortrag, también ofreció un argumento breve con respecto a
la estimación de la curvatura del espacio según algunas mediciones astronómicas, al respecto
afirma:
“ (…) Si se supone que los cuerpos existen independientemente de su posición, la
curvatura es constante y se sigue entonces a partir de las mediciones astronómicas que no
puede ser diferente de cero; o en todo caso, su valor recíproco debería ser una superficie
ante la cual el alcance de nuestros telescopios resultaría numéricamente despreciable
(…)” (Riemann, 1854, 3. Aplicación al espacio).
“(…) Setzt man voraus, dass die Körper unabhänging vom Ort existiren, so its dass
Krümmungsmass überall constant, und es folgt dann aus den astronomischen Messungen,
dass es nicht von null verschieden sein kann; jedenfalls müsste sein reciprocer Werth eine
Fläche sein, gegen welche das unsern Teleskopen zugängliche Gebiet verschwinden
müsste (…)” (Riemann, 1854, III. Aunwendung auf den Raum).
En este sentido, la importancia en la compresión de los fenómenos naturales, entre las que se
destacan las contribuciones hechas por Arquímedes, Galileo y Newton en mecánica clásica,
sobre los principios en los cuales se sustentan las Leyes Físicas y que pueden ser expresadas con
mayor precisión gracias a las técnicas implementadas por el análisis infinitesimal, son algunas
herramientas que brindan un puente entre la teoría y el experimento, entre las determinaciones de
validez o no de las hipótesis empíricas de una geometría en relación al espacio, y que a
continuación destaca Riemann (1854):
“(…) La respuesta a estas cuestiones no se puede obtener más que partiendo de los
fenómenos verificados hasta ahora por la experiencia, de la que Newton definió sus
bases, y aportando a esta concepción aquéllos hechos que no pueden ser explicados a
partir de la misma. Estas investigaciones que parten de conceptos generales, como el
estudio que acabamos de hacer, no pueden tener otra finalidad que la de evitar que este
trabajo sea obstaculizado por limitaciones de conceptos y que el progreso en el
conocimiento de la conexión de las cosas no encuentre una limitación en los prejuicios
tradicionales.
214
Esto nos conduce a los dominios de otra ciencia, al terreno de la Física, en donde dada la
naturaleza de la presente ocasión no nos permite profundizar hoy” (Riemann, 1854. 3.
Aplicación al espacio).
“(…) Die Entscheidung dieser Fragen kann nur gefunden werden, indem man von der
bisherigen durch Erfahrung bewährten Auffassung der Erscheinungen, wozu Newton den
Grund gelegt, ausgeht und diese durch Thatsachen, die sich aus ihr nicht erklären lassen,
getrieben allmählich umarbeitet; solche Untersuchungen, welche, wie die hier gefhrte,
von allgemeinen Begriffen ausgehen, knnen nur dazu dienen, dass diese Arbeit nicht
durch die Beschränktheit der Begriffe gehindert und der Fortschritt im Erkennen des
Zusammenhangs der Dinge nicht durch berlieferte Vorurtheile gehemmt wird.
Es fhrt diez hinver in das Gebiet einer andern Wissenschaft, in das Gebiet der Physik,
welches wohl die Nur der heutigen Veranlassung nicht zu betreten erlaubt” (Riemann,
1854. II. Anwendung auf den Raum).
Albert Einstein (1879 – 1955) publicó uno de los trabajos científicos más importantes de
inicios del siglo XX, Zur Elektrodinamik bewegter Körper, Annalen der Physik 17, 891 – 921
(1905), que traduce, Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento. En este trabajo,
Einstein modificó matemática y filosóficamente, entre otras teorías, la mecánica de Newton,
creando y consolidando una nueva rama de la Física que se denomina mecánica relativista o
teoría de la relatividad especial o restringida.
La teoría de la relatividad especial (1905) se concibe, en general, como un conjunto de
postulados cinemáticos y/o geométricos que deben verificar todas las fuerzas de la Naturaleza.
En los años 1905 y 1907 dos fuerzas resultaban fundamentales en la Naturaleza, las fuerzas
electromagnética y gravitacional.
Es así como la teoría de la relatividad restringida de Einstein (1905) puso de manifiesto que
era necesario sustituir las transformaciones de Galileo por las transformaciones de Lorentz y
que, como consecuencia de ello, el tiempo perdía su ontología absoluta y se convertía en algo
215
relativo 148. Entre algunos de los postulados de Einstein (1905) están, el que todo movimiento es
relativo y el movimiento absoluto no se puede determinar, el que la velocidad de la luz en el
vacío es constante [
] e independiente del movimiento de la fuente de luz
y/o del observador y, por último, uno de los principio físicos más sorprendentes, el que un
cuerpo posee mayor masa cuando está en movimiento que cuando está en reposo. Así la teoría
de la relatividad especial señala que al aumentar la velocidad en la dirección del movimiento
aumenta la masa de los cuerpos, disminuye la longitud en la dirección del movimiento y se
acelera el ritmo de los procesos en el cuerpo. Matemáticamente se expresa de la siguiente forma,
donde
es la masa del cuerpo en movimiento,
es la masa del cuerpo en reposo,
velocidad del cuerpo con respecto a un sistema de referencia y
la
es la velocidad de la luz. De
esta forma queda establecido que un cuerpo no puede moverse a una velocidad superior a la
velocidad de la luz puesto que su masa tendería a infinito y en consecuencia se precisaría una
fuerza de magnitud infinita para comunicarle una aceleración. Este resultado difiere de la
mecánica newtoniana donde no existe ningún límite superior para la velocidad de los cuerpos en
movimiento. Pero volvamos a los debates e ideas pre – relativistas a principios del siglo XX.
Para el matemático, Hermann Minkowsky (1864 – 1909) estas nuevas ideas y conceptos en
Física debían ser tratadas empleando nuevos planteamientos matemáticos, con sus profundas
implicaciones filosóficas y epistemológicas, por ejemplo, había que considerar el tiempo como
una cuarta dimensión y desarrollar tal idea en un nuevo lenguaje geométrico. De esta forma, las
148
Con respecto al espacio, afirma Poincaré (1964): “El espacio es relativo. Con esto quiero decir no sólo que
podríamos ser transportados a otra región del espacio sin apercibirnos de ello (lo cual se comprueba con el hecho de
que no nos damos cuenta de la traslación de la Tierra) y que las dimensiones de los objetos podrían agrandarse en la
misma proporción sin que pudiéramos saberlo, con tal que nuestros instrumentos de medida participen de la misma
dilatación. Quiero decir que el espacio podría deformarse según una ley arbitraria y no nos daríamos cuenta de ello,
si nuestros instrumentos participaran de la misma ley” (Poincaré, 1964, El espacio y el tiempo, p.19). Por otro lado,
afirma el Profesor Rañada (2003): “Está plenamente admitido que Poincaré fue el primero en introducir la idea de
un espacio relativista de cuatro dimensiones; pero se limitó a indicar la posibilidad de interpretar el tiempo t como
una cuarta coordenada y a comentar la conveniencia de introducir la unidad imaginaria para reescribir las
expresiones cuadráticas relativistas como suma de cuadrados positivos
” (Rañada, 2003, p. 655). Donde c es la velocidad de la luz en el
vacío.
216
ideas de Einstein (1905) fueron expresadas geométricamente en un espacio de cuatro
dimensiones con una métrica pseudo – euclídea que formalmente se conoce como geometría de
Minkowsky y que su autor, Minkowsky, impartió en tres conferencias, la primera publicada en un
artículo titulado, Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten
Körper, Nach. Ges. Göttingen, 53 – 111 (1908), las otras dos fueron, Das Relatitätsprinzip
(1907) y, posteriormente, Raum und Zeit (1908) [El principio de la relatividad y Espacio y
tiempo, respectivamente] en esta última, a manera de introducción, Minkowsky afirmó:
“Los puntos de vista sobre el espacio y el tiempo que deseo presentar ante ustedes
surgieron del seno de la física experimental y de ahí proviene su solidez. Son puntos de
vista radicales. De aquí en adelante, el espacio por sí mismo y el tiempo por sí mismo
están condenados a desvanecerse, y sólo una especie de unión entre los dos soportará una
realidad independiente” (citado en Rañada (2003), p. 654).
Sobre la concepción filosófica de un espacio físico cuatridimensional, caracterizado en
esencia por la geometría de Minkowsky, advierte el Profesor Rañada (2003):
“Posiblemente la geometría de Minkowsky sea el primer ejemplo de una teoría
matemática abstracta, de ‘una invención del hombre’ ajena a la geometría de Euclides
que resultara apropiada para describir fenómenos físicos
basados en hechos
experimentales. El formalismo de Minkowsky tuvo, visto de una perspectiva actual, un
impacto enorme; pero le ocurrió lo que suele pasar a casi todas las teorías científicas
revolucionarias: que necesitan un cierto tiempo para poder ser asimiladas” (Rañada,
2003, p. 657).
Aunque la Física se fundamenta principalmente en hechos experimentales, a principios del
siglo XX, su aproximación consistió en considerarla como una disciplina matemática, al respecto
afirma el Profesor Rañada (2003): “Sus máximos objetivos fueron: establecer con claridad los
fundamentos de la Física, presentar el formalismo matemático de la Física desde una perspectiva
geométrica y desarrollarlo desde un punto de vista matemático” (Rañada, 2003, p.642).
Einstein, motivado por un espíritu filosófico, físico y matemático, buscaba, entre sus grandes
anhelos, generalizar a sistemas de referencias acelerados con respecto a otros, uno de los
principios fundamentales de la teoría de la relatividad especial (1905) y es que, las leyes de la
217
física no dependen de los sistemas inerciales (sistemas de referencia que se mueven con
velocidad constante con respecto a otros) desde los cuales el observador las formula y verifica, y
en segundo lugar, presentar una teoría científica que permitiera abarcar y dilucidar los
fenómenos físicos que desde la mecánica newtoniana no se habían podido resolver o explicar,
entre ellos, la fuerza gravitacional.
Los primeros científicos, incluido Sir Isaac Newton, se preocuparon por explicar el principio
de una fuerza que actuaba a una distancia finita entre dos cuerpos o masas en el espacio sin estar
en contacto entre sí. Para superar este inconveniente conceptual, Michael Faraday (1791 – 1867)
introdujo en Física clásica el término de campo. El concepto de campo gravitacional nos permite
describir cómo actúa la gravedad sobre los cuerpos alejados pero no explica el origen de la
gravedad.
En el año 1915, Einstein presentó en los artículos, Zur allgemeinen Relativitätstheorie,
Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften (Berlín). Sitzungsberichte, p 778 – 779
(1915), y en, Die Feldgelichungen der Gravitation, Königlich Preussische Akademie der
Wissenschaften (Berlín). Sitzungsberichte, p. 844 – 847 (1915), la formulación final de la teoría
de la relatividad general en las que daba a conocer una teoría de la gravitación que se basaba en
una geometría del espacio – tiempo que no era independiente de la materia sino que describía
matemáticamente el campo gravitacional. Posteriormente, Einstein dio a conocer otro artículo,
Die Grunlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Annalen der Physik (1916) [El Fundamento
de la teoría general de la relatividad] en la que, entre otros fenómenos, predecía
experimentalmente la curvatura de los rayos de luz debido al campo gravitacional.
Einstein (1916) postuló que la gravedad no es una fuerza, sino un efecto del espacio mismo.
De acuerdo con Einstein (1916) una masa modifica el espacio que la rodea: la masa hace que el
espacio se curve, y los otros cuerpos se aceleran porque se mueven en este espacio curvo. Y una
de las predicciones más interesantes es la deflexión de la luz debido a los cuerpos masivos. En el
año 1919, durante un eclipse de Sol, los Astrónomos, entre ellos, el destacado Matemático y
Físico teórico Británico, Sir Arthur Eddington (1882 – 1944), descubrieron que un haz de luz
proveniente de estrellas distantes se desvía al pasar cerca del Sol, de acuerdo con las
predicciones hechas por Einstein (1916). Los astrónomos han comprobado que la luz de una
218
galaxia distante y brillante se curva al pasar muy cerca de una galaxia oscura. El resultado de
este fenómeno es dos o más imágenes de la misma galaxia brillante.
Para llegar a estos notables y sorprendentes resultados acerca de la naturaleza del espacio,
Einstein (1916) necesitó recurrir a una geometría conceptualmente más compleja y general que
la establecida en los Elementos de Euclides.
De hecho, matemáticamente mucho más exigente, y entre los que se destacan, en este sentido,
los aportes hechos por Karl F. Gauss (1777 – 1855), Bernhard Riemann (1824 – 1866), por
Elwin Bruno Christoffel (1829 – 1900) en sus artículos, Über die Transformation der
homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades betreffendes Theorem, J. reine. ang. Math. 70,
46 (1869) y Über ein Transformation der homogener Differentialausdrücke zweiten Grades
betreffendes Theorem, J. reine. ang. Math. 70, 241 (1869), Rudolph Otto Sigismud Lipschitz
(1832 – 1903) con su artículo, Untersuchungen in Betreff der ganzen homogenen Funktionen von
n Differentialen, J. reine angew.Math. 70, 71 (1869), el de los matemáticos Italianos, Gregorio
Ricci – Curbastro (1823 – 1925) y Tullio Levi – Civita (1873 – 1941) quienes publicaron,
Méthodes du calcul différentiel absolu et leurs applications, Mathemastiche Annalen 54, 125 2001 (1901), por Gerhard Hessenberg (1874 – 1925), Vektorielle Begründung der
Differentialgeometrie, Mathemastiche Annalen 78, 187 – 217 (1917), Tullio Levi – Civita,
Nozione di pallelismo in una varietàt qualunque e consequente specificazione geometrica de lla
curvatura Riemannina, Rendiconti di Circolo Matemático di Palermo 42, 173 – 2054 (1917), del
matemático Holandés, Jan Arnouldus Schouten (1883 – 1971), Die direkte Analysis zur neueren
Relativitätstheorie, Verhandelingen Koninklijke Akademie van Wetenchapen te Amsterdam 12,
3 – 98 (1918), Hermann Weyl (1885 – 1955), Raum – Zeit – Materie. Vorlesungen uber
allgemeine Relativitätstheorie, Julius Springer, Berlín (1918), que contienen la mayor parte de
los elementos de la geometría Riemanniana necesarios para la teoría de la relatividad general y
son, entre algunos, los creadores de lo que se vino a denominar a principios del siglo XX, cálculo
diferencial absoluto.
Los descubrimientos de la Física en los inicios del siglo XX con el nacimiento de dos grandes
teorías físicas, la Física Cuántica (1900) y la Mecánica Relativista (1905) evidenciaron que las
geometrías no euclidianas pueden ofrecer una representación más conveniente de ciertas teorías
y estructuras físicas. A continuación se presentan algunas características o propiedades recientes
219
del espacio físico: (i) el espacio es una superficie en promedio plana pero donde existen unas
pequeñas regiones que son como pequeñas colinas, (ii) esta propiedad de ser curvo o
distorsionado se pasa de una región del espacio a otra como cuándo se propaga una onda, (iii) la
variación en la curvatura del espacio se sucede en el movimiento de la materia, y (iv) la
curvatura varía de lugar en lugar y, debido al movimiento de la materia, la curvatura cambia de
tiempo en tiempo, es decir, hay una variación de la curvatura en el espacio – tiempo.
La indisoluble relación entre la materia y el espacio – tiempo conducen a pensar que la
geometría euclidiana no es la geometría práctica del Universo y la respuesta, como afirma
Einstein, sólo puede proporcionárnosla la experiencia. Posteriormente algunos resultados
experimentales durante el siglo XX condujeron a establecer que la cinemática relativista está
íntimamente relacionada con la geometría hiperbólica, es decir, con la geometría de Lobachevsky
– Bolyai.
El 10 de Junio de 1933, en una conferencia en Oxford, Einstein afirmó:
“Si es verdad… que la base axiomática de la física teórica no pude ser extraída de la
experiencia y debe ser inventada con libertad, ¿podemos esperar alguna vez que hallemos
el camino correcto?… Sin ninguna vacilación responderé que, según mi opinión existe un
camino correcto y que somos capaces de hallarlo.
Hasta el momento presente nuestra experiencia nos autoriza a pensar que la naturaleza
es la realización de las ideas matemáticas más simples que se puedan concebir. Estoy
convencido de que, por medio de construcciones matemáticas, podemos descubrir los
conceptos y las leyes que los conectan entre sí, que son los elementos que proporcionan
la clave para la comprensión de los fenómenos naturales. La experiencia puede sugerir
los conceptos matemáticos apropiados, pero éstos, sin duda ninguna, no pueden ser
deducidos de ella. Por supuesto que la experiencia retiene su cualidad de criterio último
de la utilidad física, de una construcción matemática. Pero el principio creativo reside en
la matemática. Por tanto, en cierto sentido, que el pensamiento puro puede captar la
realidad, tal como los antiguos habían soñado” (Fuente, Albert Einstein, On the Method
of Theoretical Physics [Sobre el método de la física teórica] Oxford, 1933; citado por el
Profesor Sánchez, 2004, en Einstein, la relatividad y las matemáticas, p. 183)
220
§4.5 DIFUSIÓN DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS EN LA SEGUNDA MITAD
DEL SIGLO XIX
Los trabajos, entre algunos, de Lobachevsky, J. Bolyai y Riemann (1854) no tuvieron en un
primer momento, el interés de los matemáticos y geómetras de la época, entre los años 1866 y
1871, las geometrías no euclídeas experimentaron una amplia difusión al mismo tiempo que se
proponían diversas interpretaciones y justificaciones de las mismas.
En el año1866, J. Hoüel (1823 – 1866) en Mém. de Bourdeaux, T. IV., presentó en Francia los
trabajos de Lobachevsky y de J. Bolyai [también en Recherches géométriques sur la théorie des
parallèles (París, Hermann 1900).], al igual que tradujo la obra de Riemann en Ann. di. Mat. (2).
T. III., (1870) y en Oeuvres de Riemann (1876); Otros se encargarían de darlos a conocer en
Italia, entre algunos, G. Battaglini, en Giornali di Mat. T. V. p. 273 – 336 (1867), E. Beltrami en,
Giornale di Matematica, publica su obra Saggio di interpretazione della geometría non euclidea
(1868) el cual, considera Bonola (1912), tuvo un alcance importante en la comprensión con
respecto a los principios fundamentales de la geometría y las concepciones de Gauss y
Lobachevsky sobre la misma; en Alemania fueron divulgados por H. Liebmann, Ostwald’s
Klassiker der exakten Wissenschaften,
130 (Leipzig, 1902) y en Inglaterra, G. B. Halsted
(1891 y 1897)
Beltrami, siguiendo el ejemplo de Riemann (1854), presentó en el año 1868 una interpretación
de la geometría hiperbólica en dos dimensiones
sobre una superficie de revolución: la
pseudoesfera. Los desarrollos ulteriores de las geometrías no euclídeas dependieron en gran
parte de los trabajos dedicados a los espacios abstractos más generales. Uno de los problemas
principales consistía en confirmar el valor lógico de estas geometrías. La independencia del
quinto postulado respecto de los demás axiomas se consideraba un hecho negativo que debía ser,
tras largos y tortuosos intentos de demostración, resuelto definitivamente. El argumento
sostenido por Lobachevsky y J. Bolyai que se basaban en la coherencia de la trigonometría
hiperbólica para la interpretación de las geometrías no euclídeas en dos dimensiones era el que
más parecía tener rigor de credibilidad por parte de los matemáticos y geómetras.
Sin embargo, en el año 1872, Félix Klein comprobando que esa representación no se aplica
más que a una parte del plano, aportó una demostración decisiva al mostrar que los tres tipos de
221
geometría HAR, HAA y HAO, pueden concebirse según la imagen de la geometría proyectiva
en base a la definición (dada por A. Cayley (1821 - 1895)) de la métrica asociada a una cónica
fundamental o absoluta; de aquí los calificativos de geometría parabólica (HAR), geometría
hiperbólica (HAA) y geometría elíptica (HAO). Estas justificaciones se extendieron al espacio
de tres dimensiones. Hasta entonces todos los matemáticos admitían que la geometría euclídea
precisaba de caracteres intuitivos del espacio y describía las propiedades del mismo. Sobre estas
reflexiones volveremos más adelante.
§4.6 LA IMPORTANCIA DE LOS TRABAJOS DE BELTRAMI (1868), HELMHOLTZ
(1868), KLEIN (1872), LIE (1893) Y HILBERT (1899) EN LA CONSOLIDACIÓN DE
LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS
El matemático Italiano, Eugenio Beltrami en su obra, Saggio di interpretazioni della
geometría non – euclidean, Giornale di Mathematische 6, 284 – 312 (1868), dio una
interpretación de la geometría no euclídea bidimensional dentro de la geometría euclídea
tridimensional que coincide con los resultados obtenidos por la geometría de Lobachevsky –
Bolyai. La base del modelo es una superficie de revolución que se genera al rotar una tractiz
sobre su asíntota: la pseudoesfera. En este modelo y en una región de la superficie
pseudoesférica se verifican los cuatro primeros postulados del Libro I de los Elementos pero no
el quinto postulado de Euclides. Posteriormente sería complementado por Klein (1872).
Sobre esta superficie pueden definirse los siguientes objetos geométricos:
Punto: un punto de la pseudoesfera
Línea que pasa por dos puntos distintos
pasa por
y
: la curva más corta sobre la pseudoesfera que
y ; la curva geodésica.
Distancia entre dos puntos: longitud de la línea que los une.
Entonces las rectas son las geodésicas de la superficie, es decir, las curvas que por lo menos
para puntos próximos sean de longitud mínima entre todas las que tengan los mismos extremos.
222
Además, en la pseudoesfera se define la distancia intrínseca en términos de longitudes de
geodésicas:
“Un triángulo situado en la pseudoesfera, compuesto de segmentos de geodésicas,
tiene lados y ángulos que podemos medir y comparar, y que satisfacen ciertas fórmulas
trigonométricas. Las fórmulas son las de Taurinus (1826), Lobachevsky – Bolyai, de
manera que la pseudoesfera es realmente un mundo válido en el que la nueva geometría
es válida” (Gray, 1992, p. 207).
Beltrami (1868) demostró que la nueva geometría (HAA) era posible, haciendo ver que era la
geometría intrínseca de una superficie. La interpretación que hace Beltrami (1868) aparece como
un caso particular de la interpretación que hizo Riemann (1854) en una superficie esférica para la
HAO. Se muestra claramente, a partir de las propiedades de las superficies de curvatura
constante, que el conjunto de deducciones que se desprenden de cada una de las tres hipótesis
con respecto a la suma de los ángulos de un triángulo deben conducir a sistemas geométricos
lógicamente consistentes (igual que los Elementos de Euclides).
Esta conclusión, como recordamos, parece contradecir los teoremas del Padre Saccheri (1733),
Lambert (1766) y Legendre (1794) sobre la HAO en la que ellos excluyen la posibilidad de una
geometría generada a partir de esta hipótesis. Riemann (1854) demostró que estas
contradicciones eran sólo aparentes. La relación entre las superficies de curvatura constante
negativa, por ejemplo, la geometría de Lobachevsky – Bolyai, puede ser más comprensible al
comparar las relaciones que existen entre los elementos de los triángulos geodésicos sobre
aquellas superficies y las fórmulas de la trigonometría no euclidiana 149. Tal comparación fue
hecha por Beltrami (1868), al respecto afirma el Profesor Bonola (1912):
“De esta forma, se puede apreciar que la geometría sobre una superficie de curvatura
constante negativa o positiva puede considerarse como una interpretación específica de la
geometría no euclidiana, sobre una región limitada de un plano, partiendo de la Hipótesis
del Ángulo Obtuso o de la Hipótesis del Ángulo Agudo” (Bonola, 1912, p. 138).
149
H. F. Minding (1840) estableció que localmente las ecuaciones de la trigonometría pseudoésferica coinciden con
las encontradas por Taurinus (1826); en otras palabras, “con las fórmulas trigonométricas de Lobachevsky – Bolyai”
(Bonola, 1912, p. 137). Es decir, locamente una superficie pseudoesférica describe propiedades del plano
hiperbólico.
223
Los desarrollos de la geometría no euclidiana, a partir de Riemann (1854), apuntaron en la
dirección de la geometría diferencial. Por otro lado, a Beltrami (1868) se le debe una primera
prueba de la indemostrabilidad del postulado de las paralelas en su interpretación, que terminó
con los trabajos y discusiones de más de dos milenios 150. Ello merece un breve análisis.
En la geometría euclídea como en las no euclídeas, los ángulos tienen una unidad natural de
medida: el ángulo recto. En ambas geometrías, las definiciones de ángulos adyacentes y de
igualdad entre ellos se desprenden de los conceptos de recta, ángulo y congruencia entre figuras.
Sin embargo, en cuanto a la unidad de medida de longitud no sucede lo mismo. Como hemos
visto, entre algunos, en los trabajos de Lambert y Gauss, en la geometría euclídea por existir
figuras semejantes no es posible definir una unidad de longitud absoluta a partir de los
postulados o axiomas de Euclides. En consecuencia, para definir una unidad de medida para las
longitudes, hay que recurrir a la experiencia 151.
Es distinto lo que ocurre en las geometrías no euclidianas. Al no existir figuras semejantes,
es suficiente definir una figura cualquiera por sus propiedades angulares para poder tomar una de
sus magnitudes longitudinales como unidad absoluta de medida. En la geometría elíptica
(HAO), siendo las rectas finitas y de igual longitud, se puede tomar ésta como unidad absoluta
(círculos máximos). En la geometría hiperbólica (HAA) la unidad de longitud puede ser, por
ejemplo:
La distancia correspondiente a un ángulo de paralelismo dado.
El cateto de un triángulo rectángulo isósceles cuyos ángulos tengan un valor dado (por
ejemplo, menor de
).
150
Al Lector interesado en una prueba de la independencia lógica del quinto postulado de Euclides con respecto a
los primeros cuatro postulados del Libro I de los Elementos, puede consultar el libro de Pedro Puig (1956) en el
Apéndice II, p. 303, Curso de geometría métrica, tomo II (1956), o también en la obra de Luis A. Santaló,
Geometrías no euclidianas, p. 54-ss, (1961).
151
Por ejemplo, a partir de 1799 el patrón legal de medida en Francia vino a ser el “metro”, definido como un diez millonésimo
de la distancia del Ecuador al Polo Norte a lo largo de una línea longitudinal que atraviesa París. Muchos otros sistemas se han
desarrollado después. Recientemente, el “metro” fue definido como 1 650 763. 73 longitudes de onda de la luz naranja – roja
emitida por una lámpara de Kriptón 86. Sin embargo, en 1983, el metro se redefinió como la distancia recorrida por la luz en el
vacío durante un tiempo de
metros por segundo, en donde es la velocidad de la luz en el vacío.
224
Para las áreas sucede lo mismo. En la geometría euclídea la unidad es un cuadrado de lado
igual a la unidad de longitud y, por lo tanto, sin conocer previamente ésta, no se puede definir la
unidad de área. En cuanto a la geometría no euclídea el área de cualquier figura, definida a partir
de sus ángulos o de una longitud absoluta como las anteriores, puede servir como unidad
absoluta de área. Por ejemplo, en la geometría elíptica puede ser el área de un triángulo tri –
rectángulo, y en la geometría hiperbólica, puede considerarse, el área de un triángulo equilátero
cuyos ángulos tengan un valor dado (por ejemplo, menor de
).
Sin embargo, la geometría de una superficie de curvatura constante (positiva o negativa) no
representa en general la totalidad de las propiedades de la geometría del plano de Lobachevsky –
Bolyai (HAA) y la esférica de Riemann (HAO). La pregunta que surge, planteada por Bonola
(1912), es: ¿si tal correspondencia no podría hacerse con la ayuda de alguna superficie particular
de esta naturaleza? Las investigaciones posteriores arrojarían la siguiente respuesta:
No existe ninguna superficie regular (sin singularidades) analítica en la cual la geometría de
Lobachevsky – Bolyai sea completamente válida (teorema de Hilbert 152).
Una superficie en la cual la geometría de la HAO del plano sea completamente válida debe
ser una superficie cerrada. La única superficie regular cerrada de curvatura constante positiva es
la esfera 153 (teorema de Liebmann 154).
En una esfera, en regiones normales donde la geometría de la HAO es localmente válida, dos
rectas (círculos máximos) se intersecan en dos puntos diametralmente. Entonces se puede
152
Demostrado, según cita Bonola (1912) en Über Flächen von konstanter Gausscher Krümmung. Trad. Amer. Mat.
Soc. Vol ll, p. 86 – 99 (1901); También se encuentra en Grundlagen der Geometrie, 2. Auf. p. 162 – 175. (Leipzig,
Teubner, 1903).
153
La caracterización de superficie cerrada es de naturaleza topológica. Se puede decir que en su interpretación
primigenia, la Topología es una geometría primitiva en el sentido que desde el punto de vista topológico no existen
distancias entre rectas, ni ángulos, ni áreas, sino sólo formas. Que una superficie sea cerrada quiere decir que es
compacta, es decir, que no se vaya al infinito y no tenga fronteras. Por ejemplo, el plano euclídeo es un ejemplo de
una superficie que no es cerrada, ya que no es compacta sino que es de extensión infinita. Igualmente, un disco
plano de radio
(con su “borde”) es un ejemplo de una superficie compacta que no es cerrada, ya que tiene una
frontera, su “borde”, la circunferencia de radio r.
154
Demostrado en Eine neue Eigenschaft der Kugel, Gött. Nachr. p. 44 – 54 (1899). Esta propiedad también es
demostrada por Hilbert (1899) en su obra, Grundlagen der Geometrie p. 172 – 175.
225
concluir que: “En el espacio geométrico euclídeo no existe ninguna superficie (en toda su
extensión) que satisfagan todas las propiedades de los planos de las geometrías no
euclidianas 155” (Bonola, 1912, p. 146).
Por otro lado, Félix Klein (1849 – 1925) con su célebre “Programa Erlangen”, Vergleichenden
Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen (A. Deichert, 1872) dio otra
interpretación de la geometría de Lobachevsky – Bolyai sobre el plano ampliándola al espacio.
El modelo de Klein (1872) es la representación métrica en que la variedad es un disco abierto
unitario en los que puede establecerse las siguientes definiciones:
Punto: punto del interior del círculo.
Recta: cuerda del círculo excluyendo los puntos extremos que intersecan la circunferencia.
Rectas paralelas: cuerdas del círculo con un punto extremo en común.
Rectas secantes: las que se intersecan entre sí al interior del círculo.
Klein (1872) sistematizó las geometrías no euclidianas desde el punto de vista de la Geometría
Proyectiva 156, construyendo modelos con los cuales se podían obtener todos los teoremas de los
mismos. Daremos una breve exposición sobre algunos términos.
Consideremos el plano euclidiano. En éste, es cierto que dos puntos determinan una recta.
Pero no necesariamente dos rectas determinan un punto, dado que dos rectas paralelas no
determinan un punto (punto de intersección). Para evitar esta falta de simetría, se amplía el
plano euclidiano con nuevos puntos, llamados puntos impropios o puntos del infinito, que serán
determinados por rectas paralelas.
Estos puntos impropios, por definición, forman una recta llamada recta impropia o recta del
infinito del plano. Entonces se puede definir el plano proyectivo:
155
Sin embargo, Santaló (1961) comenta que existe una superficie de curvatura constante negativa de “extensión
infinita”, y cita que Bieberbach (1932) dio un ejemplo en un espacio de infinitas dimensiones (Santaló, 1961, p. 54).
156
La Geometría Proyectiva busca la fiel representación del espacio sobre un plano. En sus orígenes, estuvieron
personalidades como Alberti, Brunelleschi, Piero della Francesca, Leonardo Da Vinci, y Durero. Entre los
matemáticos, Desargues y Pascal.
226
Se llama plano proyectivo al plano euclidiano ampliado con los puntos impropios.
En el plano proyectivo todos los puntos se consideran por igual, de forma indistinta (como
ocurre en las otras geometrías), no existe la noción de paralelismo, y tiene la propiedad que no es
necesario dar una prueba para cada tipo de cónica o afín.
El espacio proyectivo se concibe como un modelo unificador. Así por ejemplo, las cónicas
afines no degeneradas son tres (elipse, parábola, hipérbola), ellas son proyectivamente
equivalentes entre sí, lo que hace que tengan propiedades geométricas (proyectivas) comunes y,
por consiguiente, abarca todas las geometrías conocidas 157: parabólica (euclídea), elíptica e
hiperbólica [ver el Diagrama 4.15 sugerido por Coxeter (1998)].
Diagrama 4.15
Klein (1871) llegó a resultados notables, al respecto menciona el Profesor Santaló (1961):
157
La Geometría Afín se define en un espacio vectorial (que cumple ciertas propiedades). Con la Geometría Afín se
pretende construir una geometría donde todos los elementos desempeñen un papel equivalente y que no haya un
vector especial (por ejemplo, en geometría vectorial, el vector cero es un vector esencialmente distinto de los
demás). De este modo, lo que se quiere es aproximarse a lo que ocurre en el espacio físico donde aparentemente no
existen puntos privilegiados. La Geometría Afín podemos estudiar objetos como rectas y planos y propiedades como
el paralelismo que corresponde a conceptos de la geometría euclidiana. La Geometría Afín fue estudiada por primera
vez por Euler y su importancia radica en que sus proposiciones no solamente son válidas en la geometría euclidiana,
sino también en la Geometría de Minkowsky del espacio – tiempo (contínuo cuatridimensional formado por la unión
del espacio y el tiempo) la cual describe mejor los resultados físicos que se desprenden de la teoría de la
relatividad general.
227
“Fue más lejos que Lobachevsky y Bolyai, demostró que nunca encontraría una
proposición y su negación a la vez, en sus razonamientos, puesto que ello conduciría a
una contradicción en el modelo, el cual estaba construido a partir de la geometría
euclidiana. Es decir, demostraba que si hubiera contradicción en la geometría no
euclidiana, también la habría, por tanto, en la euclidiana” (Santaló, 1961, p. 16).
También a Klein (1872) se le considera el primero en señalar la conexión o relación entre las
propiedades del plano elíptico y los resultados de la geometría no euclídea (HAO). Para
representar la diferencia entre la geometría sobre una superficie esférica y en general, la
geometría elíptica podemos considerar dos clases de superficies que se dan en el espacio
euclídeo: la superficie con dos caras (dos lados) y la superficie con una cara (un lado). Como
ejemplos de la primera clase, tenemos la superficie cilíndrica y la esférica, y en general todas las
superficies cerradas de los sólidos. En cuanto a la segunda clase, tenemos como ejemplo la cinta
de Möbius la cual puede ser analíticamente construida (al Lector interesado véase Bonola, 1912,
p. 148). La característica esencial de esta superficie de un solo lado es que, aun cuando sea
bidimensional, la distinción entre las dos caras es “prácticamente imposible”. Una de las
diferencias (esenciales) entre una superficie esférica y el plano elíptico (planos de Riemann) es
que “el plano esférico tiene la propiedad de ser una superficie de dos lados, en tanto que el plano
elíptico es una superficie de un solo lado” (Bonola, 1912, p. 149). Otra propiedad consiste en
que, a diferencia del plano euclídeo y los distintos modelos de planos no euclidianos, en el plano
elíptico las rectas trazadas en él no lo dividen en dos semiplanos.
Klein, influenciado por los debates pre – relativistas sobre la naturaleza del espacio a finales
del siglo XIX, y por cómo la teoría de la relatividad especial de Einstein (1905) se abría paso en
la comunidad científica predominante, y el que Klein además conociera los trabajos sobre la
teoría de grupos continuos por parte del gran matemático Noruego, Sophus Lie (1842 – 1899),
planteó que la geometría es el estudio de los invariantes de un grupo de transformaciones. Por
consiguiente, existen tantas geometrías como grupos de transformaciones continuas se puedan
establecer entre ellas. Lo anterior requiere alguna claridad para el Lector.
Hermann L. F. Von Helmholtz (1821 – 1894) fue un destacado científico Alemán, cuyas
aportaciones en el campo de la Fisiología, la Óptica, la Acústica y la Electrodinámica impulsaron
el pensamiento científico de finales del siglo XIX. Helmholtz se encontró, al igual que Gauss y
228
Riemann, bajo la influencia de ciertas doctrinas filosóficas imperantes y de las posturas
epistemológicas que tomaba como resultado de sus propias investigaciones sobre la óptica
fisiológica.
Helmholtz, en su artículo, Über die Thatsächlichen Grundlagen der Geometrie, Heidelberg,
Verh. d. naturw – med. Vereins, Bd. IV, p. 197 – 202 (1868), se interesa por la cuestión en los
fundamentos de la geometría y por edificar la geometría del espacio físico con ayuda de cuatro
postulados de origen empírico, relativos a los movimientos considerados como transformaciones
puntuales en una región del espacio. Al asumir a priori, la expresión,
como el
elemento de distancia que Riemann (1854) estableció para un espacio de curvatura constante,
Helmholtz muestra que esta expresión sólo es posible cuando, junto con las hipótesis que expone
Riemann (1854), suponemos en principio que el movimiento de las figuras en el plano o espacio
geométrico se da como el movimiento de los cuerpos rígidos.
Este planteamiento, en los fundamentos de la geometría, y denominado por el Profesor Bonola
(1912) el problema de Riemann – Helmholtz, fue estudiado por Sophus Lie quien llevó la teoría
de grupos del álgebra a la geometría analítica durante la segunda mitad del siglo XIX. Lie
atribuye a Descartes la noción fundamental que el espacio no está constituido por los puntos sino
por los objetos que subyacen en él.
Lie, quien trabajó con Klein entre los años 1869 y 1872 y conoció las investigaciones de
Helmholtz (1868), parte de la idea fundamental siguiente: “Que la congruencia entre dos figuras
geométricas significa que ellas pueden ser transformadas una en la otra por medio de un cierto
punto de transformación en el espacio, y las propiedades, en razón de las cuales la congruencia
toma el carácter lógico de igualdad, dependen del hecho que los desplazamientos son dados por
un grupo de transformaciones” (citado en Bonola, 1912, p. 153). De esta manera, el problema de
Riemann – Helmholtz, afirma el Profesor Bonola (1912), Lie lo reduce, “a determinar todos los
grupos continuos en el espacio, que en una región limitada, tengan la propiedad de
desplazamientos” (citado en Bonola, 1912, p. 154).
La intención de Lie es transportar la geometría desde el espacio original al grupo de sus
transformaciones: en una variedad diferenciable existen infinidad de transformaciones
biyectivas y el conjunto de estas transformaciones es de forma natural un grupo que a su vez
229
contiene infinidad de grupos. En muchos casos, los grupos de transformaciones a considerar son
de nuevos variedades diferenciables, es decir, grupos de Lie. Al respecto, afirma el Profesor
Bonola (1912): “Cuando estas propiedades, las cuales dependen de la libre movilidad [axioma de
libre movilidad] de la línea y de los elementos de una superficie a partir de un punto, son
tomadas de una manera conveniente, definen tres tipos de grupos los cuales caracterizan los tres
tipos de geometrías, la euclidiana [HAR], la geometría Lobachevsky – Bolyai [HAA] y la de
Riemann [HAO]” (Bonola, 1912, p. 154). En términos modernos esto significa que la estructura
del edificio geométrico corresponde a la de los grupos de transformaciones: la geometría
euclídea es el estudio de los invariantes del grupo métrico, la geometría proyectiva, el estudio de
los invariantes del grupo lineal (grupos de colineaciones, etc.), la topología es el estudio de los
invariantes de las transformaciones puntuales continuas, etc.
En el año 1893, Lie, junto con F. Engel, da a conocer su obra, Theorie der
Transformationsgruppen, Bd. III, 437 – 543, Leipzig (1893), de una serie de tres volúmenes que
la componen, así como también publica junto con G. Scheffers, Vorlensugen uber
Differentialgleichungen mit bekannten Infinitesimalen Transformationen. No obstante, resulta
pertinente observar que en los trabajos de S. Lie, E. Vessiot, o F. Klein, no existe una noción
abstracta de grupo, así como en los trabajos de Galois. Estos matemáticos se mantuvieron
conceptualmente alejados de la noción abstracta de grupo de Lie, entre otros motivos, porque
dicho postura distancia la teoría de sus aplicaciones. Es a través de los trabajos posteriores de
otros autores que se desarrolla la teoría abstracta de grupos de Lie. Wilhelm Killing comienza la
teoría abstracta de álgebras de Lie que es desarrollada en la tesis de Élie Cartan en el año 1894 y
a principios del siglo XX, en los trabajos de E. Cartan y Hermann Weyl.
Para finalizar, tanto Beltrami (1868) como Klein (1872) demostraron que la geometría no
euclidiana es consistente 158 si la geometría euclidiana lo es: la primera, con respecto a una
geometría intrínseca de una superficie, y el segundo, situándola en el contexto de la Geometría
158
Son relativamente consistentes. Es decir: o ambas se pueden describir independientemente como sistemas
lógicamente consistentes, o ninguna de las dos, ya que cualquier prueba de inconsistencia de la geometría no
euclidiana concluiría en una contradicción. De manera que “la prueba de inconsistencia de la geometría no
euclidiana demostraría a la vez que la geometría euclidiana no puede existir; las dos geometrías son, por tanto,
relativamente consistentes” (Gray, 1992, p. 208).
230
Proyectiva. Pero la observación, que si la geometría euclidiana no es consistente tampoco lo es la
geometría no euclidiana, no fue formulada hasta mucho tiempo después. Al respecto, afirma el
Profesor Gray (1992):
“Realmente es la clase de observación que sólo puede inclinarse a expresar alguien
influido por el enfoque axiomático. Ahora, creo que el primer planteamiento claro de
consistencia relativa lo hizo el propio Bonola 159 en el Apéndice que añadió a la edición
en inglés de su libro Non – Euclidean Geometry. A critical and Historical Study of its
Developments (1912, reimpresión 1955)” Gray, 1992, p. 209).
De acuerdo a los trabajos, entre algunos matemáticos, de Gauss, Lobachevsky, Bolyai y lo
expuesto por Riemann (1854) en su Disertación, cómo hemos visto en el desarrollo de este
Trabajo de Grado, se puede afirmar que, en efecto, las geometrías no euclídeas no sólo sirvieron
159
El Profesor Roberto Bonola nació el 14 de Noviembre del año 1874 en Bologna (Italia) en medio de una familia
de escasos recursos económicos, un motivo por el cual, desde temprana edad, le condujo a completar sus estudios de
manera Autodidacta. En el año 1894 ingresó a la Universidad de Bologna de la que se graduó en el año 1898 bajo la
dirección del Profesor de Geometría Proyectiva y Descriptiva, Federigo Enriques quien ejerció sobre el Profesor
Bonola, en su época de estudiante, su notable interés por las Matemáticas, en especial, por la Geometría. El Profesor
Bonola impartió clases en varias Escuelas de Educación Media, en Palermo y, posteriormente, en la Universidad de
Pavia en la que enseñó Geometría Proyectiva. Fue seleccionado como Profesor de Matemáticas en la Escuela
Superior del Magisterio de Roma en una competencia entre varios Profesores de Matemáticas postulantes al cargo.
Aquejado por una terrible y penosa enfermedad, regresó a Bologna donde fallece el 16 de Mayo de 1911. La obra
del Profesor Roberto Bonola, La geometria non-euclidea: esposizione storico-critica del suo sviluppo, Bologna:
Zanichelli, 1906, [Non – Euclidean Geometry. A critical and Historical Study of its Developments] fue publicada en
el año 1911 como obra póstuma.
El Profesor Bonola escribió varias obras sobre Matemáticas, en especial, sobre el desarrollo y consolidación de la
geometría no euclidiana, entre las cuales tenemos, aparte de la citada en la Bibliografía, Sulla Teoria delle parallele
e sulle geometrie non euclidee, Bologna, Tip. Zanichelli (1900), Determinazione per via geometrica dei tre tipi de
spazio; iperbolico, parabolico, ellittico, Red. Circ. Mat. Palermo, T. XV, p. 56 – 65 (1901), Bibliografia sui
fondamenti della geometria in relazione alla geometria non-euclidea, Genova, tip. R. Istituto Sordomuti (1900),
Proprietà metriche delle quadriche in geomeria non-euclidea, Milano, Tip. Bernardoni di C. Rebeschini e C.
(1903), Sulle proprietà del quadrilatero trirettangolo nella metrica di Lobacefski-Bolyai, Milano, Tip. Rebeschini di
Turati e C. (1904), I teoremi del padre Gerolamo Saccheri sulla somma degli angoli di un triangolo e le ricerche di
M. Dehn, Milano, Tip. Rebeschini di Turati e C. (1905), Intorno ad una proprietà del parallelogramma, Bologna
(1905), Un teorema di Giordano Vitale da Bitonto sulle rette equidistanti, Bolletino di Bibliografia e Storia delle
Scienze Mat. (1905), Il modello di Beltrami di superficie a curvatura costante negativa, Genova (1906), La
trigonometria assoluta secondo Giovanni Bolyai, Milano, Tip. Rebeschini di Turati e C. (1906), La geometria noneuclidea: esposizione storico-critica del suo sviluppo, Bologna: Zanichelli (1906) (ristampa anastatica in Zanichelli
reprints (1975), Ricerche sui sistemi lineari di omografie nello spazio, Milano, Tip. Rebeschini di Turati e C. (1908),
Osservazioni sopra una nota di G. Battaglini relativa alla composizione di forzeconcorrenti (1909).
231
para demostrar la independencia lógica del quinto postulado de Euclides con respecto a los
demás postulados del Libro I de los Elementos, sino que además permitió una reflexión objetiva
sobre la naturaleza del espacio astronómico, del método axiomático de Euclides, y crear nuevos
campos de estudio que desprendieron de las investigaciones y resultados de las geometrías no
euclídeas.
En cuanto a la pregunta cuál de las geometrías es más conveniente para describir los
fenómenos físicos de la naturaleza, desde el punto de vista empírico, para Riemann (1854) las
propiedades que distinguen el espacio físico de otras variedades de tres dimensiones deben ser
obtenidas a través de la experiencia: los postulados y proposiciones de la geometría euclidiana
pueden corresponder o no con el espacio que nos rodea 160.
Uno de los modelos para la Geometría Elíptica (HAO) lo constituye la geometría clásica
sobre una superficie esférica o el elipsoide. Sin embargo, también es posible dar a esta geometría
un modelo proyectivo. Para la Geometría Hiperbólica (HAA), el modelo planteado
(bidimensional) por Beltrami (1868) es sobre la pseudoesfera, aunque no es el único 161. Trabajar
sobre modelos constituye una herramienta importante para establecer la consistencia de un
conjunto de axiomas o postulados, al respecto afirma el Profesor Gray (1992):
“Hay que insistir en que el método de modelos es más creativo que el método clásico
de la deducción. Un modelo es, a la vez, un conjunto de axiomas (y deducciones) y una
conexión con otro conjunto de axiomas. Como en el ejemplo de la geometría (la
euclidiana y la hiperbólica (Lobachevsky – Bolyai)), los dos diferentes conjuntos de
axiomas pueden, si los tomamos a la vez, contradecirse entre sí. Todo lo que afirma la
consistencia relativa es que, si el primer conjunto considerado en sí mismo llevara a
deducciones
contradictorias,
lo
mismo
sucedería
con
el
segundo
tomado
independientemente. O admitimos el postulado de las paralelas, o lo negamos de una
manera concreta, fijando un valor para la constante de curvatura
. No podemos
160
Posteriormente las investigaciones sobre el espacio astronómico mostrarían que la geometría euclidiana es válida
para distancias pequeñas (comparadas con el radio terrestre). Entre las consecuencias que se desprenden de la teoría
de la relatividad general de Einstein, la geometría Riemanniana es la que más se ajusta a la métrica del Universo: la luz
viaja a través de geodésicas y la curvatura del espacio es una función de la naturaleza de la materia que lo compone.
161
Uno de los modelos propuestos por Poincaré se basa en el método de la Proyección Estereográfica.
232
hacer ambas cosas a la vez y no las hacemos, pero afirmamos que si fijamos un valor
sólo estaremos en dificultades si también lo hubiéramos estado optando por
al principio” (Gray, 1992, p. 210 – 211.
De igual manera, el gran e intrépido paso de estudiar geometría plana a estudiar geometría
sólida, que con tanta frecuencia se deja sin discutir en las escuelas o colegios y en los libros de
texto, afirma el Profesor Gray (1992): “(…) da fin a la búsqueda ambigua de un “plano” no
euclidiano en un espacio tridimensional euclidiano en el casi inevitablemente los conceptos
euclidianos continuarán dominando. Las obras de Lobachevsky y Bolyai adoptan implícitamente
un enfoque intrínseco de los conceptos geométricos” (Gray, 1991, p. 172).
Desde el punto de vista matemático, con la emergencia de las geometrías no euclidianas, se
hizo evidente que si se espera que el rigor matemático garantice certeza, no se puede depender de
las intuiciones geométricas. Por ello, a partir de ese momento (finales del siglo XIX), el énfasis
se apartó de las propiedades geométricas de los objetos matemáticos y se trasladó a su estructura
lógica.
Sólo fue después de muchos años en que la matemática fue puesta a una intensa revisión
crítica en sus fundamentos. Surgió entonces una corriente, principios del siglo XX, liderada por
el matemático alemán David Hilbert (1862 – 1943), cuyo propósito era lograr establecer una
correspondencia entre los enunciados matemáticos considerados verdaderos, y las cadenas que
son derivables dentro de un sistema formal. Y esta correspondencia debería cumplir con ciertas
características fundamentales:
LA CONSISTENCIA: ninguno de los enunciados (axiomas o postulados) debe estar en
contradicción con los demás, o sus resultados.
LA INDEPENDENCIA: ninguno de los enunciados (axiomas o postulados) puede
deducirse como una consecuencia lógica de los otros.
Otra propiedad importante es que debería ser completo, es decir, dado cualquier enunciado
matemático expresable en la terminología del sistema formal, se debe poder en éste, aplicando
233
las leyes que da la lógica y utilizando ciertas reglas definidas, determinar si el enunciado
pertenece a él, o si es su negación la que lo hace 162.
La primera propiedad es esencial para la validez del sistema. Mediante la sustitución o
negación del postulado de Euclides se crearon nuevas geometrías, denominadas geometrías no
euclidianas (HAA e HAO), que son consideradas lógicamente consistentes y, además, el
posterior desarrollo y consolidación de estas geometrías significó el reconocimiento de que el
quinto postulado de Euclides no se puede demostrar 163 a partir del resto de axiomas del mismo
sistema euclídeo, es decir, se probó la independencia del quinto postulado de Euclides respecto a
los otros postulados.
En relación a la geometría, se concibió que ésta pudiera organizarse sobre distintos sistemas
de axiomas, dependiendo del método deductivo que se establezcan entre sus proposiciones, de tal
forma que una misma proposición puede aparecer como axioma en una determinada
sistematización y como teorema en otra.
En este sentido, la obra de David Hilbert, Grundlagen der Geometrie 164 (1899), constituyó una
de las primeras construcciones formales de la geometría de Euclides en la que se llevó a cabo
una axiomatización completa. Para cada axioma se demuestra su independencia y consistencia o
compatibilidad con los demás 165.
162
La corriente formalista buscó evitar el regreso al infinito en las demostraciones estableciendo que cualquiera de
éstas es definitiva una vez que es expresada en términos del sistema formal. Para ello era necesario mostrar que este
sistema formal era capaz de abarcar todos los resultados matemáticos conocidos como verdaderos.
163
La prueba de la indemostrabilidad del postulado de Euclides no fue dada hasta más tarde, por caminos diversos:
Primero por Beltrami (1868) en su interpretación y luego, de forma independiente, por Klein (1872). También existe
una demostración de Poincaré.
164
En la primera edición de su obra, Hilbert incluyó el siguiente axioma para la geometría euclídea:
Dados cuatro puntos de una recta, siempre es posible indicarlos por las letras , , y , de manera que esté
entre y , y además entre y , y que esté entre y y además entre y .
Posteriormente, E. H. Moore en su obra, Sobre los Axiomas Proyectivos de la Geometría [Transactions of the
American Mathematical Society (1902)] demostraría que este enunciado era una consecuencia de los demás
postulados establecidos por Hilbert (1899).
165
Compatibilidad e independencia de los de axiomas de incidencia, orden, congruencia, del axiomas de paralelas o
postulado de Euclides (geometría no euclidiana), del axioma de continuidad (axioma de Arquímedes y de Cantor
(geometría no Arquimediana)). The foundations of geometry; traducción inglesa 1902. La Salle, Illinois.
234
En esta formalización de la geometría euclidiana los axiomas de continuidad en el sistema de
Hilbert son el postulado de Arquímedes y el axioma de Completez que enuncia así:
Axioma de Completez. Los elementos (puntos, rectas, planos) de la geometría forman
un sistema de objetos que, con la condición que se cumplan los grupos de axiomas:
incidencia, orden, congruencia, el axioma de paralelas o postulado de Euclides, el axioma
de Arquímedes y el axioma de Cantor, no admiten extensión alguna, es decir, el sistema
de puntos, rectas y planos es tal que no se puede agregar nuevos puntos, rectas y planos
de forma que en el nuevo sistema extendido se sigan satisfaciendo
los axiomas
anteriores.
Posteriormente se consideraría la “equivalencia lógica clásica” entre el axioma de Cantor y el
axioma de Completez de Hilbert 166. Se demuestra que: del axioma de Cantor junto con los
restantes axiomas de Hilbert se desprende el axioma de Completez; y recíprocamente, que de los
axiomas de Hilbert junto con el axioma de Completez se llega al axioma de Cantor.
Puesto que la geometría en el plano se logra construir con base en los axiomas de Hilbert
(1899), de incidencia, de orden y de congruencia, los cuales constituyen la teoría general de
todas las geometrías, la euclidiana y las no euclidianas, lógicamente consistentes, y que además
se demuestra la independencia del quinto postulado de Euclides 167 en relación con los demás
establecidos en el sistema geométrico euclídeo, y del axioma de continuidad, axioma de
Arquímedes y axioma de Cantor, que permiten establecer la fundamentación de la medición, la
obra de Hilbert (1899) se constituyó como un método o modelo de axiomatización de la
geometría que es consistente.
Sin embargo en el año 1931, el Matemático Austriaco Kurt Gödel demostraría en sus
investigaciones 168 que cualquier sistema matemático formal que contenga un mínimo de
166
Referencia en Geometría superior (1978). Efimov, N. V. Editorial Mir, Rusia.
167
El paralelismo entre rectas (axioma de paralelismo o quinto postulado de Euclides) permite introducir nuevos
conceptos geométricos: semejanza de triángulos y de figuras, la proyección paralela, la proyección ortogonal, los
cuadriláteros especiales como los paralelogramos, etc.
168
Denominados por algunos teoremas de Incompletitud.
235
aritmética, contiene proposiciones no decidibles, lo cual significa, que no pueden ser
demostradas ni refutadas por el sistema 169. Los teoremas de Gödel implican, de manera intuitiva
que, no se puede hacer una lista de axiomas y pretender deducir toda la matematica a partir de
ellos.
En el sistema geométrico definido por Euclides jamás se consideró que los objetos por él
definidos se pudiesen concebir de distinta forma en otro espacio que no fuese euclídeo puesto
jamás se contempló durante muchos siglos semejante posibilidad. La indemostrabilidad del
quinto postulado no es más que un caso particular que ilustra lo que afirman, de forma más
general, los teoremas de Gödel: que la verdad matemática no es pura consistencia formal o
deducibilidad puesto que no existe una lógica subyacente a todas las matemáticas – ni las
intuiciones geométricas de Euclides, ni la consistencia formal de Hilbert nos permiten determinar
un criterio absoluto para dotarla un carácter apodíctico, de absoluta certeza a priori. Al respecto,
menciona el Profesor Coxeter (1971):
“No tiene sentido preguntar cuál de las geometrías es la verdadera y resulta imposible
prácticamente decidir cuál proporciona una base más conveniente para describir el
espacio astronómico. Desde el punto de vista de la matemática pura es más importante la
cuestión de la consistencia lógica de ambos axiomas con respecto al resto de los axiomas
de la geometría absoluta. Y esta pregunta también es difícil de responder, pues según el
lógico matemático Kurt Gödel, no existe una demostración interna de consistencia con
respecto a un sistema que incluya una infinidad de conjuntos. Habremos de conformarnos
con una consistencia relativa: si está libre de contradicción la geometría euclidiana,
también lo está la hiperbólica y la elíptica, y viceversa. La consistencia relativa se obtiene
al encontrar en cada una de las geometrías un modelo de la otra” (Coxeter, 1971, p. 329).
Sobre esto último, presentamos una breve exposición tomadas de Coxeter (1971). Un modelo
euclidiano del plano hiperbólico (que se debe
interviene una circunferencia
a Poincaré) consiste en el siguiente. Aquí
como se ilustra en la [Figura 4.18 (a)]. Cada par de puntos
inversos representa un punto hiperbólico, y cada circunferencia ortogonal a
169
representa una
Gödel (1931) demostró que la proposición que postula la consistencia de la aritmética también es no decidible. De
modo que todo sistema matemático que contenga un mínimo de aritmética (prácticamente cualquier sistema no
trivial) no sólo es incompleto, sino que, además su consistencia es indemostrable.
236
recta hiperbólica. Las dos paralelas a
que pasan por
y “tocan” a
trazadas desde
son simplemente las circunferencias
en sus puntos de intersección con
(estos puntos son los
“extremos” de ). Este modelo se llama conforme porque sus ángulos conservan sus valores
propios, aunque las distancias se distorsionan inevitablemente.
Figura 4.18 (a)
Figura 4.18 (b)
Un modelo euclidiano diferente que sugirió Beltrami (1868), emplea una circunferencia
como se muestra en la [Figura 4.18 (b)]. Todo punto dentro de
hiperbólico. Las dos paralelas a
cuerda
desde
son las rectas que unen
(las cuerdas cuyas rectas se intersecan fuera de
representa un punto
con los extremos de la
representan rectas ultraparalelas.
Este modelo se llama proyectivo porque en él las rectas se conservan como rectas. No se pierde
nada al reemplazar la circunferencia
en el plano euclidiano por una cónica en el plano
proyectivo. Al respecto afirma el Profesor Coxeter (1971):
“De hecho, al proceder así hay una ganancia considerable, pues se puede extender el
plano hiperbólico a un plano proyectivo por medio de entidades que se definen en la
misma geometría hiperbólica. De esta manera, podemos demostrar que la geometría
hiperbólica es única o categórica; difiere por tanto, de la geometría absoluta, que incluye
dos posibilidades que se contradicen. Al emplear modelos, es deseable manejar dos en
lugar de uno, de tal forma que no otorgue a ninguno una prominencia indebida. Nuestro
237
razonamiento geométrico no debe depender sino de los axiomas. Los modelos han
cumplido su finalidad de establecer la consistencia relativa (…) y a partir de aquí no son
más importantes que los diagramas” (Coxeter, 1971).
Por otro lado, Klein (1872) señaló la relación entre los modelos conformes y proyectivos de
la manera que se puede apreciar en la [Figura 4.17].
Figura 4.17
“Una esfera que tiene el mismo radio
tanto de
como de
toca el plano (horizontal) en
que es el centro
. Para el modelo proyectivo nos valemos de la proyección
ortogonal (vertical) para mapear (“enviar”) a
en el “ecuador”
de la esfera y cada
punto interior en dos puntos: uno en el hemisferio Sur y otro (que no se ha dibujado) en el
hemisferio Norte. De toda cuerda de
se obtiene una circunferencia ortogonal
.
Mapeamos ahora la esfera en el plano por medio de una proyección estereográfica de
manera que
se proyecte hacia la circunferencia mayor
concéntrica con respecto a
.
Debido a la naturaleza de la proyección estereográfica, que preserva los ángulos y los
círculos, las circunferencias verticales quedan como circunferencias horizontales,
ortogonales a
, y obtenemos el modelo conforme (Coxeter, 1971, p. 329).
238
Por otro lado, se puede decir que las geometrías no euclidianas del espacio físico
(astronómico) que se desprendieron de la teoría de la relatividad general y en las investigaciones
sobre los fenómenos electromagnéticos (ópticos, propagación de la luz) convalidaron, desde la
Física experimental, la conexión entre el “modelo conceptual” y las “experiencias sensoriales”
que Riemann magistralmente expuso en su Disertación.
Como el Lector recordará, Riemann presentó la Habilitationsvortrag, Über die Hyptothesen
welche der Geometrie zu Grunde Liegen, en el año 1854. No obstante, la Habilitationsvortrag no
fue publicada sino hasta el año 1868, dos años después de la muerte del Autor. De entre la gran
influencia e implicaciones que tuvo el trabajo de Riemann (1854) sobre la geometría en la
segunda mitad del siglo XIX, se desprende uno de los problemas planteados en la
Habilitationsvortrag de Riemann una vez publicada y es determinar las condiciones bajo las
cuales el elemento de línea, una forma cuadrática diferenciable, se puede transformar, bajo un
cambio de coordenadas distinto, en una forma cuadrática con coeficientes constantes. El Lector
recordará que la expresión del elemento de línea, una forma diferencial cuadrática, es uno de los
contenidos temáticos importantes en la Habilitationsvortrag puesto que le permite a Riemann
(1854) plantear y esbozar nuevas geometrías distintas a la euclidiana.
En el año 1869, dos matemáticos Alemanes, quienes tuvieron conocimiento de la obra de
Riemann (1854), publicaron algunos artículos en los cuales abordaban el problema anterior y
ellos son, E. B. Christoffel, Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke
zweiten Grades betreffendes Theorem, J. reine. ang. Math. 70, 46 (1869) y Über ein
Transformation der homogener Differentialausdrücke zweiten Grades betreffendes Theorem, J.
reine. ang. Math. 70, 241 (1869) y R. Lipschitz, Untersuchungen in Betreff der ganzen
homogenen Funktionen von n Differentialen, J. reine angew.Math. 70, 71 (1869). Sin embargo,
Riemann había escrito un trabajo al respecto en el año 1861.
En el año 1855 la Academia de Ciencias de París había llamado a un concurso para resolver
un problema de la conducción del calor en un cuerpo sólido. En el año 1858 la pregunta fue
reformulada y se dio como plazo final el 1 de Junio de 1861. Riemann presentó la solución al
problema en el trabajo, Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab Ill. ma
Academia Parisiense propositae: “Trouver quel doit tre l’tat calorifique d’un corps solide
homogne indfini pour qu’un systme de courbes isothermes,  un instant donn, restent
239
isothermes aprs un temps quelconque, de telle sorte que la temprature d’un point puisse
s’exprimer en fonction du temps et de deux
autres variables indpendantes” (Un tratado
matemático en el cual se hace un intento para responder la pregunta propuesta por la muy
ilustre Academia de París: “Determinar el estado calorífico de un cuerpo sólido, homogéneo e
indefinido, tal que un sistema de curvas que son isotermas en un instante dado, continúen
siendo isotermas después de un tiempo cualquiera, de manera tal que la temperatura en un
punto se pueda expresar como una función del tiempo y de otras dos variables independientes”.
Al igual que la Habilitationsvortrag, este trabajo de Riemann se publicó posteriormente a la
muerte del autor, esta vez en el año 1876 en Gesammelte mathematische Werke (Obras
Matemáticas Completas) editado por H. Weber.
El problema de las formas diferenciales cuadráticas consiste en determinar cuándo dos formas
cuadráticas se pueden transformar una en la otra a través de un cambio de coordenadas. El caso
en que una de las formas diferenciales cuadráticas tenga coeficientes constantes es sólo una
condición que restringe el problema. De esta manera, los Matemáticos y Físicos consideran que
tanto Riemann (1861) como Christoffel (1869) y Lipschitz (1869) abordaron y resolvieron el
problema suponiendo los coeficientes constantes y, además se convierten en los pioneros del
desarrollo del análisis tensorial que en los trabajos de Ricci (1900), Levi – Civita (1900) y
Schouten (1954) alcanzaría su forma final con el cálculo diferencial absoluto. En este sentido,
afirma el Profesor Tapia (2006), ni Riemann, ni Christoffel, ni Lipschitz, desarrollan, en forma
implícita o explícita, lo que posteriormente se conocería como geometría Riemanniana. Al
respecto, sostiene el Profesor Tapia (2006): “En este caso será necesario esperar hasta el
desarrollo de la Relatividad General para que las ideas de Riemann sean formuladas en el
lenguaje del análisis tensorial y de este modo podamos reconocer los primeros desarrollos de la
geometría riemanniana” (Tapia, 2006, p. 108).
Históricamente se concibe que es a partir del año 1900, con la aparición del trabajo de Ricci y
Levi – Civita, Méthodes du calcul différentiel absolu et leurs applications en el cual hacen
referencia a los artículos publicados tanto por Christoffel (1869) como de Lipschitz (1869), que
el análisis tensorial adquiere una gran importancia en el desarrollo posterior de la geometría
diferencial, y sus aplicaciones tanto en Matemáticas y como en Física, en especial, en la teoría
240
de la relatividad general de Einstein (1915). Por ejemplo, en geometría diferencial, el tensor de
curvatura de Riemann es una generalización del concepto de curvatura de Gauss, definido para
superficies, a variedades de dimensiones arbitrarias.
Con respecto al análisis tensorial, afirma el Profesor Tapia (2006): “(…) el análisis tensorial
es un lenguaje que permite desarrollar en forma explícita muchos cálculos que en otros lenguajes
más abstractos son imposibles de realizar o de visualizar de forma correcta. El análisis tensorial
comienza considerando las transformaciones de coordenadas, y los distintos objetos
(geométricos) que puedan aparecer se clasifican de acuerdo con sus reglas de transformación”
(Tapia, 2006, p.109).
Por otro lado, a partir de la publicación de la Habilitationsvortrag de Riemann en el año 1868
y del Programa Erlangen de Klein (1872) surgieron, entre otras, dos grandes líneas de
investigación en la geometría:
(i) El estudio de las propiedades topológicas (analisys situs) y geométricas (métricas) de las
variedades [Mannigfaltigkeit] de Riemann de dimensiones finitas.
(ii) El estudio de las variedades de Riemann con el mayor numero de simetrías posibles.
En relación a la primera línea de investigación, la conjetura o hipótesis de Poincaré se
constituyó en un pilar fundamental en el desarrollo de la Topología a principios del siglo XX.
Fue formulada por el Matemático y Físico Francés, Jules Henri Poincaré (1854 – 1912) en el año
1904 que surgió a partir del problema de clasificar las variedades empleando el concepto de
homeomorfismo y se constituyeron en piezas elementales de la naciente Topología durante
finales del siglo XIX. El matemático Ruso, Grigori Perelmán presentó una demostración de la
conjetura de Poincaré a principios del siglo XXI.
241
CONCLUSIÓN FINAL
De los cinco postulados del Libro I de los Elementos de Euclides, podemos considerar que los
tres primeros traducen propiedades de construcción que resultan geométricamente ser evidentes
y en el cuarto postulado se establece un criterio de congruencia para los ángulos rectos. El
mérito de los Elementos consiste en haber sabido seleccionar, de entre un sinnúmero de
propiedades, un mínimo de cantidad de postulados que fuese suficiente para construir la
geometría.
El quinto postulado de Euclides llamó la atención, incluso desde tiempos de Euclides, de los
matemáticos y geómetras por carecer de esa “evidencia intuitiva” que tuvieron los otros. El
mismo Euclides pareciese haberlo notado pues en toda su obra lo aplica por primera vez para
demostrar la proposición I, 29 de los Elementos. Como hemos visto a lo largo de este arduo y
exigente trabajo, la primera idea que prevaleció por más de veinte siglos fue la de buscar una
demostración del mismo. En un primer período de forma directa y después de forma indirecta,
abandonando su carácter ontológico y sustentándose en la estructura lógico – formal del sistema
euclídeo. La negación lógica del quinto postulado de Euclides y la emergencia de las geometrías
no euclidianas como sistemas geométricos válidos, no fue un proceso sencillo y nada fácil de
resolver, exigió un profundo análisis de interpretación y compresión de las geometrías
emergentes por parte de algunos de los más destacados matemáticos y físicos de los distintos
períodos que hemos abordado aquí. Las reflexiones, desde la misma matemática, al igual que de
las distintas concepciones y creencias (preponderantes) de los filósofos, geómetras y
matemáticos acerca de la naturaleza del espacio físico, conllevaron, como otras tantas
circunstancias, a pensar en la forma de hacer matemáticas, a la fundamentación rigurosa de la
geometría, y a la descripción matemática de los fenómenos físicos durante el siglo XIX.
Como Einstein afirma, es innegable que la matemática y la geometría, en especial, deben su
existencia a la sentida necesidad de conocer la Naturaleza que nos rodea y describir
objetivamente el comportamiento de los objetos o fenómenos físicos. La misma palabra
geometría tiene su significado en la medición de la Tierra. Separada la geometría de la
Naturaleza, podemos considerar, junto con Poincaré, que la geometría euclidiana se distingue por
encima de toda otra geometría axiomática concebible gracias a su “simplicidad”.
242
Los conceptos de la axiomática formal, por ejemplo, de la geometría en su interpretación
moderna tratan y buscan que los objetos denominados por los términos de punto, recta, plano,
etc. (sobre los cuales no se presupone ni conocimiento, ni intuición de los mismos sino que se
privilegia la validez de los axiomas en un sentido puramente formal) estén libres en la medida de
lo posible de cualquier contenido intuitivo o de la “experiencia”. Lo que interesa es que los
conceptos de la axiomática en sí misma no permitan “afirmaciones” algunas en cuanto al
comportamiento de los “objetos reales”, es decir, lo que denominamos en física “cuerpos
rígidos”. De lo contrario, sostiene Einstein, la geometría debe ser desprovista de su carácter
meramente lógico – formal mediante la relación de los objetos o fenómenos físicos con los
esquemas conceptuales (sin contenido) de la geometría axiomática 170. Para una mejor
compresión, ilustremos el razonamiento que el mismo Einstein propone.
Consideremos una geometría (G) que no predica nada acerca del comportamiento de los
objetos o fenómenos físicos de la Naturaleza y sea (F) la totalidad de las leyes físicas. Si nos
permitimos usar los símbolos siguientes, se puede decir con seguridad, que sólo la suma de (G)
(F) está sujeta a verificación experimental. Podemos elegir (G) de manera arbitraria y otro
tanto puede hacerse con partes de (F); todas estas leyes son convenciones. Para evitar
contradicciones, expresa Einstein, lo único que se necesita es elegir el resto de (F), de modo tal
que (G) y todo el conjunto de (F), estén de acuerdo con la “experiencia”. Y al final, concluye
diciendo que enfocadas así, “la geometría axiomática y las leyes naturales convencionales se nos
muestran como epistemológicamente equivalentes” (Einstein, 1983, p. 44). Esta interesante
reflexión nos permite hacer las nuestras.
En primer lugar, cuando decimos que elegimos (G) de manera arbitraria, no resulta del todo
sencillo si consideramos o suponemos que la única geometría que describe la naturaleza del
espacio físico es la euclidiana, como aconteció con célebres geómetras, por ejemplo, el Padre
Saccheri, Lambert y Gauss. Por otro lado, si (G) es la geometría euclídea y (F) el conjunto de
leyes del movimiento de Galileo y Newton entonces (G)
170
(F), según se desprende del
En un primer paso para conseguirlo, Einstein sugiere que sólo debemos agregar la siguiente proposición: “Los
cuerpos rígidos están relacionados, con respecto a su posible localización, tal como lo están los cuerpos de la
geometría euclidiana de tres dimensiones” (Einstein, 1983, p. 43). Y ahora, concluye él, las proposiciones de
Euclides ya contienen afirmaciones en cuanto al comportamiento de los cuerpos prácticamente rígidos. De esta
forma, “las proposiciones de la geometría se sustentan esencialmente en la inducción a partir de la experiencia y no
tan sólo en inferencias lógicas” (Einstein, 1983).
243
razonamiento de Einstein, “está sujeto a verificación experimental”. Y los resultados, según la
teoría de la relatividad, concuerdan dentro del marco de la observación experimental.
Pero implícita en (F) se encuentra la concepción de un “espacio absoluto” y homogéneo,
independiente de la materia, entre algunas otras propiedades, que caracterizan en cierta medida,
si se nos permite el alcance, el “espacio euclídeo” descrito en forma analítica por Descartes. Y
entonces se puede entender, o al menos, aproximar a la idea que la geometría euclídea y las leyes
naturales convencionales de Galileo y Newton las consideremos “epistemológicamente
equivalentes”. Quizás esto pudo haber acontecido con la mayoría de los matemáticos y físicos
(Gauss, Lobachevsky) que buscaron, en un primer acercamiento, demostrar la validez del
postulado euclídeo: probar la existencia de un “plano” de extensión infinita en el cual se
verificaran los cuatro primeros postulados y, junto con las otras proposiciones lógicamente
independientes de éste establecer el quinto, pasar a “caracterizar” el espacio.
Gauss, con todo su genio y talante, se mostró renuente a publicar sus investigaciones sobre el
tema para evitar, como Él mismo lo expresa, el “clamor de los beocios” de la época. Pero su
espíritu científico, al igual que el de muchos otros, prevaleció y sus aportes, tardíos o no en
publicarlos, son el resultado de un arduo proceso de reflexión e investigación sobre el problema.
Una nueva era de la Física, que suele ser conocida como física moderna, se inició hacía el
final del siglo XIX. Se desarrolló gracias principalmente al descubrimiento que muchos
fenómenos físicos (la termodinámica, electricidad y magnetismo) no podían ser explicados por la
física clásica. Los dos desarrollos más importantes en esta era moderna fueron las teorías de la
relatividad y la mecánica cuántica (formulada para brindar descripciones de los fenómenos
físicos a nivel atómico).
La teoría de la relatividad general de Einstein (1916) revolucionó por completo los conceptos
tradicionales de espacio, tiempo y energía. Entre otras cosas, la teoría de Einstein modificó
sustancialmente las leyes de movimiento de Newton para describir el cambio de posición o lugar
de los cuerpos moviéndose a velocidades comparables a la velocidad de la luz. Por otro lado, no
sólo permitió apreciar y comprender en toda su extensión el alcance de las ideas de Riemann
(1854), sino que también es más apropiado hablar de un espacio relativo y no absoluto, para ser
244
más precisos y rigurosos, hablar de un espacio – tiempo el cual ya no es independiente de la
masa de los cuerpos que lo conforman y, por ende, la geometría euclídea debe abandonarse.
Uno de los principios o postulados en que se sustenta la teoría de la relatividad restringida es
que la velocidad de la luz en el “vacío” es constante. Lo cual significa que la luz en el vacío
siempre tiene una determinada velocidad de propagación, independientemente del estado del
movimiento del observador o de la fuente de luz (es el límite superior 171 de la velocidad de un
cuerpo o señal y se la puede considerar una unidad de “magnitud absoluta” para medir distancias
cósmicas). Esto significa que ciertas leyes del movimiento de Galileo y Newton (entre algunas,
la de movimiento relativo) no nos permiten describir fenómenos de tal naturaleza y debemos
reemplazarlos por otros principios.
Riemann (1854) extendió el concepto de curvatura, de curvas y superficies de Gauss, al de
“curvatura del espacio 172” y el que los fenómenos físicos fuesen descritos por leyes o principios
cada vez más elaborados y generales sobre la Naturaleza (a nivel atómico y cosmológico), han
permitido que la forma (G)
(F) se mantenga y se amplíe mucho más, acorde con los resultados
que van arrojando en su desarrollo: procuramos que ambas sigan siendo “epistemológicamente
equivalentes” desde una postura científica y objetiva como afirma Einstein, modificando las
representaciones cosmológicas 173 y nuestra cosmogonía.
171
Cómo el Lector sabe y recordará, la mecánica newtoniana no impone un límite superior en la velocidad de un
cuerpo o partícula (los conceptos de espacio y tiempo son absolutos).
172
Con respecto a la curvatura del espacio si es mayor, igual o menor que cero tenemos, un espacio de curvatura
constante positiva, un espacio de curvatura constante cero, o un
de curvatura constante negativa,
respectivamente. Asumiendo ciertas propiedades, obtenemos tres formas de espacio en las que las tres geometrías
son lógicamente posibles. En la primera de estas geometrías, de curvatura positiva, el espacio es finito pero ilimitado
en todas las direcciones, geometría esférica; la segunda, de curvatura cero, es la geometría euclidiana, y por último,
la de curvatura negativa, es la geometría de Lobachevsky – Bolyai. El Lector interesado sobre este tema puede
consultar Bonola (1912) y Gray (1992) y (2006).
173
Uno de los problemas fundamentales que se desprende de la teoría de la relatividad es la construcción e
investigación de modelos evolutivos los cuales aporten ideas definitivas en la evolución de la métrica global del
Universo, es decir, la descripción del Cosmos a través de modelos Cosmológicos. Por ejemplo, mencionamos dos
modelos Cosmológicos cerrados y abiertos de Friedman. En el modelo cerrado, el Cosmos se concibe como una
esfera euclídea tridimensional de radio , donde el radio depende del tiempo,
. Aquí, es positivo, y
corresponde al instante del Bing – Bang. En el modelo abierto, se describe el Cosmos en forma de cilindro.
Cualquiera de los dos modelos se consideran válidos. Sin embargo, las consecuencias son diferentes de un modelo a
otro.
245
La emergencia de geometrías no euclidianas y su posterior consolidación, no sólo permitió
crear nuevas herramientas en el quehacer de los matemáticos y físicos, abrió nuevos campos de
investigación, por ejemplo, el método de modelos.
Este método nos permite establecer la consistencia de un conjunto de axiomas, es decir, si
estos no son implicados por el conjunto de los enunciados contradictorios o sus negaciones.
Podemos decir, sin ser rigurosos, que se obtiene un modelo de un conjunto de postulados si
asignamos significados a los términos primitivos (puntos, rectas, planos, etc.) que conviertan
dichos postulados en enunciados verdaderos acerca de algún concepto. Pero no siempre es
posible tratar de establecer un modelo de un conjunto de postulados.
En efecto, si un conjunto de postulados contiene un número infinito de elementos primitivos
sería imposible intentar establecer un modelo. Lo que podemos hacer es intentar establecer otro
modelo, asignando a los términos primitivos del sistema de postulados
otro sistema de postulados
, conceptos de algún
, de tal forma que las interpretaciones de los postulados del sistema
sean consecuencias lógicas de los del sistema
relativa, es decir, el conjunto de postulados
reducido la consistencia del sistema
. Es lo que se denomina una consistencia
es consistente si el de postulados
a la de otro sistema
lo es, y hemos
. Fue el descubrimiento de las
geometrías no euclidianas, y la demostración de la consistencia relativa entre ellas, lo que
finalmente estableció la independencia del postulado 174 de las paralelas de Euclides. El
planteamiento histórico que se generó, por casi veinte siglos, en la búsqueda de una
demostración del quinto postulado y que culminó, entre algunos resultados, con la emergencia de
las geometrías no euclidianas y la independencia del mismo, fue uno, entre los más importantes
motivos, que dio inicio al estudio de las propiedades de un conjunto de postulados y, en
consecuencia, a la formación de gran parte del método axiomático moderno.
174
La independencia de un conjunto de postulados no puede considerarse de ninguna manera apodíctica, ni tampoco
que dicho conjunto carece de validez sólo porque no se ha demostrado su independencia. Un conjunto de postulados
que no sea independiente simplemente es redundante en lo que se refiere a que contiene uno o más enunciados que
pueden aparecer como teoremas en lugar de postulados. Hubieron algunos ejemplos de postulados que, cuando se
publicaron por primera vez, contenían, posteriormente se demostraría, no eran independientes. Así, por ejemplo,
aconteció con el conjunto original de Hilbert (1899) de postulados para la geometría euclidiana [ver nota 145, p.
162]. El hallazgo de estos postulados “dependientes” no invalidó de ninguna forma el sistema de Hilbert; estos
postulados se cambiaron a teoremas y se proporcionaron sus demostraciones.
246
Pero la Física tampoco es ajena a este método de modelos desde sus propios fundamentos. En
efecto, la mecánica newtoniana (transformaciones galileanas) son válidas a velocidades que son
pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Cuando la velocidad de una partícula relativa a
cualquier observador se aproxima a la velocidad de la luz, estas ecuaciones de transformación
deben sustituirse por las ecuaciones utilizadas por Einstein en su teoría de la relatividad especial
(o restringida). Sin embargo, las ecuaciones de transformación relativistas (transformaciones de
Lorentz) se reducen a las transformaciones galileanas cuando la velocidad de la partícula es
“mucho menor” en orden de magnitud comparada con la velocidad de la luz.
Esto concuerda con el principio de correspondencia propuesto por primera vez por el Físico y
Matemático Danés Niels Bohr (1885 – 1962) (uno de los creadores de la mecánica cuántica,
quien expuso y desarrolló el principio complementariedad para interpretarla) el cual establece en
efecto que, si una vieja teoría describe con precisión varios fenómenos físicos, entonces
cualquier teoría nueva debe explicar los mismos fenómenos sobre el rango de validez de la vieja
teoría (principio que Bohr considera aplicable a las distintas esferas del conocimiento).
De esta forma y para finalizar, en los tres ejes temáticos que fueron formulados a manera de
preguntas, que una vez más vale la pena citarlos aquí,

¿Es en realidad el quinto postulado de Euclides un teorema más de geometría plana?

¿Qué implicaciones desde el punto vista geométrico y en la concepción del espacio físico
se desprenden de asumir o no el quinto postulado de Euclides?

¿Es matemáticamente posible concebir, fundamentar y/o construir geometrías distintas a
la geometría euclidiana es decir, que no dependan o nieguen lógicamente el quinto
postulado de Euclides?
he querido aproximar al Lector para que no simplemente se límite a dar una respuesta técnica a
estos tres interrogantes sino que también pueda reconocer, a partir de los tres pilares del
conocimiento científico, la Filosofía, la Matemática y la Física, la conexión entre los conceptos
que fueron tratados
por el autor y que, como afirma Riemann, permitan el progreso del
conocimiento.
247
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