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Matemáticas 0. Álgebra elemental
FRACCIONES ALGEBRAICAS: DEFINICIONES Y SIMPLIFICACIÓN
P( x)
, donde P(x) y Q(x) son polinomios, aunque el
Q( x)
numerador puede ser una constante. También pueden considerarse fracciones algebraicas con más
de una variable.
Las fracciones algebraicas son de la forma
Ejemplos:
a) Son fracciones algebraicas:
x2
5
o 2
.
x +1 x −1
b) Si el denominador es un número pueden tratarse como un polinomio de coeficientes racionales.
x2 − 2 x 1 2 2
Así:
=
x − x.
3
3
3
Equivalencia y simplificación
A( x) C ( x)
=
⇔ A( x)·D( x) = B( x)·C ( x)
B( x) D( x)
Para obtener fracciones equivalentes se multiplica o divide el numerador y el denominador por una
misma expresión algebraica no nula. Esta propiedad permite simplificar fracciones algebraicas.
Ejemplos:
x( x + 2)
x2 + 2 x
x
a) Las fracciones algebraicas
y
son equivalentes. En la segunda se
=
( x − 3)( x + 2) x 2 − x − 6
x−3
han multiplicado el numerador y el denominador por la expresión x + 2 .
b) La fracción algebraica
x 2 + 3x x( x + 3)
x+3
→ Se ha simplificado el factor x.
=
= 2
3
2
x −x
x x −1 x −1
c) La fracción algebraica
6 x 2 − 9 x 3x 2 x 2 − 3 2 x 2 − 3
→ Se ha dividido por 3x.
=
=
3 x·x
x
3x 2
(
)
(
)
• La simplificación de fracciones algebraicas, conveniente en muchas ocasiones, sigue las mismas
pautas que la simplificación de las fracciones ordinarias: se simplifican dividiendo numerador y
denominador por factores comunes.
Observación:
El proceso de simplificación acarrea algunos errores; el más frecuente es “quitar” sumandos
comunes en numerador y denominador: recuérdese: se simplifican factores, no sumandos; por eso
hay que sacar factor común, cuando se pueda, y factorizar si es necesario tanto el numerador como
el denominador. Este es el motivo por el que no conviene hacer las multiplicaciones en los términos
de las fracciones algebraicas, pues al hacerlo se transforman productos en sumandos.
Ejemplos:
a) La fracción
(
)
x3 + x2
x x2 + x
x2 + x
.
=
=
x3 + x 2 − 2x x x 2 + x − 2
x2 + x − 2
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(
)
José María Martínez Mediano
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Matemáticas 0. Álgebra elemental
Siguiendo con la última fracción, un ERROR importante sería continuar y escribir:
x2 + x
1
, quitando “fatalmente” de ambos término los sumandos x 2 + x .
=
2
x + x−2 −2
x3 − x2 + x −1
b) La fracción
puede simplificarse o no. Para ello hay que buscar factores comunes
x2 −1
a ambos términos. En este caso, los factores del denominador son fáciles de identificar, pues
x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1) . ¿Tendrá el numerador alguno de esos factores? Si se prueba x = 1 se ve que
es raíz del numerador ⇒ x – 1 es uno de sus factores. Por tanto, dividiendo se obtiene que
x 3 − x 2 + x − 1 = ( x − 1)·(x 2 + 1) .
En consecuencia:
c)
x 3 − x 2 + x − 1 ( x − 1)( x 2 + 1) x 2 + 1
=
=
.
( x − 1)( x + 1)
x +1
x2 −1
2( x − 1) x 2
2x 2
2x − 2 x 2
(2 x − 2) x 2
·
=
=
=
x 2 + 1 x − 1 ( x 2 + 1)( x − 1) ( x 2 + 1)( x − 1) x 2 + 1
Observaciones:
Puede ser útil comprobar detenidamente los siguientes ejemplos.
2x5 − x3 2x5 − 1
2x5 − x3 2x − 1 2x − 1
a) ERROR: 4
;
sigue
mal:
= 4
=
=
1+1
2
x4 + x3
x +1
x + x3
5
3
3
2
2
x (2 x − 1) 2 x − 1
2x − x
Lo correcto es: 4
= 3
=
3
x +1
x +x
x ( x + 1)
b) ERROR:
( x − 2 )2
(2 x + 2)( x − 2) 2 − ( x 2 + 2 x)·2( x − 2) (2 x + 2) − ( x 2 + 2 x)·2( x + 2)
→ se ha suprimido
=
( x − 2) 4
( x − 2) 2
del primer término del numerador y el mismo ( x − 2 ) en el denominador.
2
(2 x + 2)( x − 2) 2 − ( x 2 + 2 x)·2( x − 2) (2 x + 2)( x − 2) − ( x 2 + 2 x)·2
→ se ha
=
( x − 2) 4
( x − 2) 3
suprimido ( x − 2 ) de ambos términos del numerador (factor común) y el mismo ( x − 2 ) en el
denominador.
(2 x + 2)( x − 2) − ( x 2 + 2 x)·2 2 x 2 − 2 x − 4 − 2 x 2 − 4 x − 6 x − 4
Si se continúa:
=
=
( x − 2) 3
( x − 2) 2
( x − 2) 2
Lo correcto es:
Pequeños retos
Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:
4x 2 − x
x 2 − 6x + 9
− 2 x 3 + 3x
4 x3 − 2
a)
b)
c)
d)
2x
x 2 + 3x
x2 − 9
x2
3( x + 1) 2 − 2 x( x + 1)
(3 x 2 + 2)( x + 1) 2 − ( x3 + 2 x)·2( x + 1)
e)
f)
x 2 − 3x + 2
( x + 1) 4
Soluciones:
− 2x 2 + 3
2 x3 − 1
4x − 1
x−3
x+3
x3 + 3x 2 − 2 x + 2
. b)
. c)
. d)
. e)
. f)
.
a)
3
x
x
x+3
x+3
( x + 1) 2
( x + 1)
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José María Martínez Mediano