Document related concepts
Transcript
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES TRIGONOMETRÍA Estudia las relaciones existentes entre las longitudes de los lados y las amplitudes de los ángulos de un triángulo. TRIÁNGULO Polígono de tres lados. Porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Sexagesimal (DEG en la calculadora) La unidad de medida es el ángulo que resulta de dividir el círculo en 360 partes iguales. La amplitud de este ángulo se llama grado sexagesimal y se escribe 1°. Si dividimos el grado en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto (‘). Cada minuto se divide en 60 segundos (”). Por tanto: 1° = 60’ y 1’ = 60” Los tres segmentos que limitan el triángulo se llaman “lados” (con letras minúsculas), y los extremos de los lados, “vértices” (con letras mayúsculas). El propio triángulo se designa con las tres letras mayúsculas de sus vértices, precedidas del signo ∆. En la figura, los vértices son A, B y C; los lados a, b y c; y el ABC. triángulo propiamente dicho △ ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO - Ángulo interior: el formado por dos lados. - Ángulo exterior: el formado por un lado y la prolongación de otro. En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180°. En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. IGUALDAD DE TRIÁNGULOS (dos triángulos son iguales cuando tienen…) • Iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes. • Iguales dos lados y el ángulo comprendido. • Los tres lados iguales. Centesimal (GRA en la calculadora) La unidad de medida es el ángulo que resulta de dividir el círculo en 400 partes g iguales. La amplitud de este ángulo se llama grado centesimal y se escribe 1 . Si m dividimos el grado en 100 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto ( ). Cada s g m m s minuto se divide en 100 segundos ( ). Por tanto: 1 = 100 y 1 = 100 Circular (RAD en la calculadora) La unidad de medida es el radián, siendo esta la medida de un ángulo que tiene el vértice en el centro de la circunferencia y la longitud el arco que abarca es igual al radio de dicha circunferencia. Como la longitud de la circunferencia es 2πr, un círculo completo tiene una amplitud de 2π radianes. Arco = radio x ángulo (en radianes) RELACIONES ENTRE LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO • En todo triángulo un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. • Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales. • En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS • Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales. • Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales uno a uno (por tanto el 3º también lo es). • Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido. Terminología Definición ángulo ángulo ángulo ángulo ángulo 0º < α < 90º 90º < α < 180º α = 90º α + β = 90º α + β = 180º agudo obtuso recto complementario suplementario 1º ≈ 0, 0175 radianes 1 radián ≈ 57,295º 360º = 2π rad = 400 g = 4 rectos TEOREMA DE THALES Si dos rectas concurrentes son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes interceptados en la otra. AB BC CD = = = ... A ' B ' B 'C ' C ' D ' TIPOS DE TRIÁNGULOS ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO Ortocentro, O ─ alturas Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado Ortocentro. Se llama altura de un triángulo a la recta que pasa por un vértice perpendicularmente al lado opuesto. Incentro, I ─ bisectrices Las bisectrices de los tres ángulos se cortan en un mismo punto, llamado Incentro, y además es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Se llama bisectriz a una recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Circuncentro, C ÁNGULO En geometría, un ángulo se define como el conjunto de puntos determinado por dos semirrectas, l1 y l2, que tienen el mismo punto extremo O. Si A y B son puntos de l1 y l2, nos referimos al ángulo AOB como ∠ AOB En trigonometría, con frecuencia se interpretan los ángulos como rotaciones de líneas. Hacemos girar una semirrecta alrededor de O en un plano hasta una determinada posición. A l1 se le llama lado inicial y a l2 lado terminal. Podemos dar varias (revoluciones) vueltas en cualquier dirección. Dos ángulos cualesquiera de este tipo se llaman coterminales. Si introducimos un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar de un ángulo se obtiene al colocar el vértice en el origen de coordenadas y hacer que el lado inicial l1 coincida con el eje X positivo. El ángulo se considera positivo si gira en dirección contraria a las manecillas del reloj y negativo si gira a favor de ellas. ─ mediatrices Las tres mediatrices de los lados se cortan en un punto llamado Circuncentro. El Circuncentro del triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a éste que pasa por su punto medio. Baricentro, G ─ medianas Las tres medianas se cortan en un punto llamado Baricentro. Este punto es el centro de gravedad del triángulo, y se cumple que la distancia de un vértice al baricentro es doble que la distancia de éste al lado opuesto. Se llama mediana de un triángulo a una recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto.
