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4.3 (parte 2) Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo Máximo común divisor El máximo común divisor o máximo común factor (MCD) de dos naturales a y b, es el número natural mayor que divide ambos números. Ejemplo: El MCD(20, 32) denota el máximo común divisor de 20 y 32. MCD(20, 32) = 4 Método de intersección de conjuntos Para hallar el MCD de 20 y 32, escribimos el conjunto de divisores para cada número. Como el número mayor que pertenece a ambos conjuntos es 4, MCD(20, 32) = 4. Método de la factorización prima Para determinar el MCD de dos o más números naturales, • encontrar los factores primos de los números dados • identificar cada factor primo común • El MCD es el producto de los factores comunes, cada uno elevado a la potencia menor al que aparece en cualquiera de las factorizaciones. Ejemplo Determinar: a. MCD(108, 72) b. MCD(0, 13) Como 13 | 0 y 13 | 13, MCD(0, 13) = 13. Ejemplo Determinar usando la factorización prima: MCD(180, 48) MCM(180, 48) =22 × 31 = 4 × 3 = 12 Ejemplo (continuación) c. MCD(x, y) if x = 23 · 72 · 11 · 13 ; y = 2 · 73 · 13 · 17 MCD(x, y) = 2 · 72 · 13 = 1274 d. MCD(x, y, z) si x = 23 · 72 · 11 · 13, y = 2 · 73 · 13 · 17, y z = 22 · 7 MCD(x, y, z) = 2 · 7 = 14 e. MCD(x, y) if x = 54 · 1310 ; y = 310 · 1120 Como no existen factor primo común, MCD(x, y) = 1. Mínimo Común Múltiplo (MCM) El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números naturales es el número natural más pequeño que es múltiplo de cada uno de ellos a la vez. Método de la recta numérica Determinar MCM(3, 4). Comenzando en el 0, las flechas no coinciden hasta que llegan al 12 en la recta numérica. Por lo tanto, 12 es el MCM(3, 4). MCM por inspección Ejemplo: Determinar MCM(10,12) por inspección. Comparemos una parte de las tablas de multiplicación de los dos números. MCM(10, 12) = 60 Método de la factorización prima Para encontrar el MCM de dos o más números naturales, • Encontrar los factores primos de cada número. • Tomar cada uno de los primos que son factores de cualquiera de los números dados. • El MCM es el producto de estos números primos, cada uno elevado a la potencia mayor al que aparece en cualquiera de las factorizaciones. Ejemplo Determinar MCM(24, 36). MCM(24, 36) = 23 × 32 = 8 × 9 = 72 Ejemplo Determinar MCM(180, 48). MCM(180, 48) = 2? × 3? × 5? = 24 × 32 × 5 = 16 × 9 × 5 = 720 Ejemplo Determinar MCM(2520, 10530) dado que Método division-por-primos Continuamos dividiendo de la siguiente manera: Para encontrar MCM (12, 75, 120), comenzamos dividiendo por el número primo menor que divide al menos uno de los números dados. Método division-por-primos Continuamos dividiendo de la siguiente manera: 2 | 20 2 | 10 2| 5 3| 5 5| 5 | 1 30 15 15 15 5 1 Para encontrar 40 MCM (20, 30, 60), 20 comenzamos 10 dividiendo por el 5 5 número primo menor 1 que divide al menos uno de los números dados. MCM(20, 300, 60) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 1 × 1 × 1