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CINEMÁTICA. 4ºESO.
1. El movimiento de un coche puede representarse mediante la siguiente gráfica.
a) Razonar el tipo de movimiento en cada tramo.
b) Deducir las ecuaciones del movimiento el móvil para cada uno de los tramos.
c) Calcular el espacio recorrido por el móvil en cada uno de los tramos y explica el trayecto
seguido por el coche.
a) Podemos responder a la primera pregunta de dos maneras: (1) Por la simple observación de la
gráfica, o bien, (2) Obteniendo las ecuaciones correspondientes a cada tramo y comparándolas
con las que ya conocemos, que es lo que haremos en el apartado b).
• En el primer tramo (t=0 a t=4s) podemos ver como a medida que aumenta el tiempo va
aumentando linealmente el espacio recorrido, es decir que recorre espacios iguales en
tiempos iguales ⇒ la velocidad es constante ⇒ el tramo corresponde a un movimiento
uniforme. Además podemos ver como en el momento t=0, s=0, es decir que inicialmente
está en el origen y que al final del tramo t=4 ha recorrido 12 m.
• En el segundo tramo (t=4s a t=8s) podemos ver que el móvil siempre está en la
misma posición (a 12m) por tanto se encuentra en reposo.
• En el tercer tramo (t=8s a t=10s) vemos como inicialmente está en la posición s=12m y que
a medida que pasa el tiempo la distancia al origen se hace cada vez más pequeña hacerse
nula ⇒ la velocidad es constante, pero ahora se mueve en dirección opuesta ⇒ el tramo
corresponde a un movimiento uniforme.
b) La ecuación general de una recta es y = mx + n, donde n representa la ordenada en el origen
(punto de corte con el eje Y). La m representa la pendiente de la recta (tangente del ángulo que
forma con el eje X ). En este caso las rectas tienen de ecuación v =
mt + n
La recta corta al eje de ordenadas en el punto 0 ⇒ n=0
La pendiente se obtiene a partir de un triángulo rectángulo
cualquiera, por ejemplo el que está en naranja, dividiendo el cateto
opuesto al ángulo entre el cateto contiguo: m= 12/4 =3
La ecuación de la recta es: s = 3·t
Comparando la ecuación obtenida con la ecuación general del espacio de un movimiento uniforme:
s = so +v·t podemos concluir que en este tramo so =0 y que v = 3 m/s.
Con esto, las ecuaciones durante el primer tramo son:
a=0
v=3
s = 3·t
En el segundo tramo la recta es una paralela al eje, que lo
corta en s = 12, que por tanto es su ecuación. Puesto que la
posición durante este tramo no depende del tiempo ⇒ el
móvil está en reposo.
En el tercer tramo la recta corta al eje de ordenadas en el
punto 12, por tanto n=12.
La pendiente de la recta es m = 12/(−2) = −6
La ecuación de la recta es: s = 12 – 6·t
Comparando la ecuación obtenida con la ecuación general del
espacio de un movimiento uniforme: s = so +v·t podemos concluir
que en este tramo so =12m y que v = −6 m/s.
Con esto las ecuaciones durante el tercer tramo son:
a=0
v=−6
s = 12 – 6·t
c) El espacio recorrido en cada uno de los tramos puede leerse directamente en el eje de ordenadas
de la gráfica, que corresponde al espacio o puede calcularse con las ecuaciones:
Tramo 1
s = 3·t
s t =4 = 3 ⋅4 = 12 m
Tramo 2
reposo
Tramo 3
s = −6 t (*)
s t =2 = −6 ⋅2 = −12 m
(*) Para calcular el espacio recorrido en un tramo concreto se suprime el espacio inicial,
porque de lo contrario obtendríamos la posición respecto al comienzo del movimiento. El
signo menos que se obtiene indica que ha recorrido 12 metros hacia la izquierda.
El espacio total recorrido es la suma de los valores absolutos: sTotal = 12 + 0 + |−12| = 24 m
Sumando con los signos obtendríamos la posición final.
Explicación del trayecto seguido:
• El móvil inicialmente se mueve hacia la derecha con velocidad constante de 3 m/s y
recorre 12m.
• A continuación está parado durante 4 segundos
• Por último se mueve en sentido contrario con velocidad de 6 m/s y recorre otros 12 metros en
sentido opuesto, por lo que finalmente el móvil termina en el punto de partida.
2. Para estudiar el movimiento de un móvil se ha medido el tiempo que, partiendo del reposo, tarda en
recorrer diferentes espacios, recogiéndose los resultados en la siguiente tabla:
espacio
0m
1m
2m
3m
4m
5m
tiempo
0,00 s
1,15 s
1,63 s
2,00 s
2,31 s
2,58 s
a) Representar gráficamente el espacio en función del tiempo y “a partir de la gráfica”
obtenida razonar el tipo de movimiento que tiene el móvil.
b) A partir de los datos obtenidos escribe las ecuaciones del movimiento del móvil.
c) Calcula la velocidad que tendría después de 5 segundos.
d) Calcula el espacio que recorrería en 5 segundos.
a) La curva obtenida corresponde a una parábola, lo
que quiere decir que el espacio es una función del
tiempo al cuadrado ⇒ el movimiento es acelerado
A la misma conclusión llegamos observado los
datos, donde podemos ver que cada vez tarda
menos tiempo en recorrer el siguiente metro ⇒ la
velocidad es cada vez mayor ⇒ el movimiento es
acelerado.
b) Al tratarse de un movimiento acelerado podemos escribir las siguientes ecuaciones generales:
a = cte
v = vo + a·t
s = so + vot + ½ a·t2
Teniendo en cuenta que nuestro móvil parte del reposo (porque nos lo dice el enunciado) y que
el espacio inicial es cero (porque en los datos para t=0, s=0), podemos escribir que:
a = cte
v = a·t
s = ½ a·t2
Únicamente nos falta calcular el valor de la aceleración para particularizar las ecuaciones al
caso de nuestro móvil. Para eso no tenemos más que fijarnos en un punto cualquiera de la
gráfica, preferiblemente que tenga valores conocidos en los ejes, como es el caso del punto
en rojo, para el que s=3m tiene t=2s. Sustituyendo en la ecuación del espacio: s = ½ a·t2
⇒ 3 = ½ a·22 ⇒ a = 6/4 = 1,5 m/s2.. Por tanto las ecuaciones concretas del móvil son:
a = 1,5
v = 1,5·t
s = 0,75·t2
c) La velocidad para t=5s es: v = 1,5*5 = 7,5 m/s
d) El espacio para t=5s es:
s = 0,75*52 = 18,75 m
3. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s.
a) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 3 s?.
b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s?.
c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?.
d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?.
e) ¿Con qué velocidad lo hará?.
Siempre que en un movimiento exista aceleración constante se trata de movimiento
uniformemente acelerado (MUA). No importa si se mueve sobre una trayectoria recta o una
trayectoria circular o de cualquier otra forma.
En este caso, se trata de un movimiento rectilíneo (porque cae en línea recta y su trayectoria es
rectilínea) y uniformemente acelerado porque la aceleración es constante. La de la gravedad,
que vale 10 m/s2. Siempre las fórmulas son las mismas y solo hay tres, únicamente 3, que son:
a = cte # 0
v = vo + a.t
1
s = so + vo t + a ⋅ t 2
2
Con esas ecuaciones se pueden resolver todos los ejercicios que se pueden presentar, por
muy difíciles que sean. Sin embargo, dependiendo de los datos, algunas veces es más
sencillo utilizar otra ecuación, que no es una ecuación nueva, sino que es una combinación
lineal de estas que se obtiene eliminando el tiempo entre ellas.:
v = v o2 + 2 ⋅ a ⋅ s
Esta ecuación, como ya hemos dicho, no es necesaria pero a veces ayuda a que las
operaciones sean más sencillas.
El siguiente paso, muy importante, elegir un sistema de referencia (el que quieras). Lo más
sencillo siempre es tomar el centro del sistema de referencia en el lugar donde comienza el
movimiento y con uno de los ejes en la dirección del movimiento. En ese caso el centro del
sistema de referencia será arriba de esa torre o de ese acantilado desde donde se tiró la piedra:
Fíjate en dos cosas muy importantes, y en las que a menudo nunca reparas:
• Hemos creado un sistema de referencia centrado en el lugar del disparo porque de
esa forma el espacio inicial es cero.
• Hemos asignado sentido positivo al sentido en que se va a mover la piedra. (podría
haberse elegido de otra forma y eso no cambia las soluciones del problema.)
En ese sistema de referencia lo que va hacia abajo lo tomaremos como positivo y lo que va
hacia arriba negativo, así que la velocidad inicial será +7 m/s y la aceleración +10 m/s2.
Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son:
v = vo + a.t
v = 7 + 10*t
v = 7 +10*t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
1
s = 7 ⋅ t + 10 ⋅ t 2
2
s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2
Estas son las ecuaciones
de todos los movimientos
uniformemente acelerados
Estas son las ecuaciones
de “este movimiento” en
concreto.
Si le damos un valor al
tiempo obtienes lo que
vale la velocidad y el
espacio en ese instante.
Y al contrario, si le damos
un valor a la velocidad o al
espacio podremos despejar
el tiempo que necesita para
tener esa velocidad o
recorrer ese espacio.
• Vuelve a fíjate que tanto la ecuación de la velocidad como la del espacio nos dicen
lo que valen en cada momento. No hay más que darle un valor a t para saber su
velocidad en ese momento y el espacio recorrido en ese tiempo.
• Y al contrario, si le damos un valor a la velocidad o al espacio podremos deducir el
tiempo que tarda en alcanzar esa velocidad o el que tarda en estar en esa posición.
a) Si se lanza una piedra con una velocidad inicial de 7 m/s, ¿Cuál será su velocidad
después de haber descendido 3 s?. Como ya hemos dicho, una vez que sabemos la ecuación
de la velocidad basta con dar un valor al tiempo para conocer la velocidad en ese instante:
v = 7 +10*t
→
v = 7 +10*3 = 37 m/s
b) Y lo mismo para conocer el espacio recorrido en un tiempo dado:
→
s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2
s = 7 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 2 = 66 m
Vamos a resolver el mismo ejercicio pero desde otro sistema de referencia y verás como
los resultados son los mismos. Ahora vamos a elegir un SR centrado en el lugar del
disparo (que es lo normal) pero el valor positivo va a ser hacia arriba, como es normal en
los ejes cartesianos:
de acuerdo a ese SR la velocidad inicial será –7 m/s y la aceleración –10 m/s2.
Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son:
v = vo + a.t
v = –7 – 10*t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
s = −7 ⋅ t +
v = –7 –10*t
1
( −10) ⋅ t 2
2
s = −7 ⋅ t − 5 ⋅ t 2
y la velocidad y el espacio a los 3 segundos sería:
v = –7 –10*t
→
v = –7 –10*3 = –37 m/s
s = −7 ⋅ t − 5 ⋅ t 2
→
s = −7 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 2 = –66 m
Quiere decir que la velocidad vale 37 m/s y el signo menos nos indica que de acuerdo al
SR elegido va hacia abajo. Que el espacio resulta –66m quiere decir que transcurridos 3
segundos el móvil ha recorrido 66m, y está en la posición (0,–66) del SR
c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?. Es casi igual. Simplemente
ahora primero calculamos el tiempo que tarda en recorrer 14m y luego, igual que antes,
calculamos el valor de la velocidad en ese instante:
s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2
→
14 = 7 ⋅ t + 5 ⋅ t 2
t = 1,114 seg
→
El otro valor del tiempo no vale porque es negativo. Ahora que sabes lo que tarda en
recorrer esos 3 metros, podemos calcular la velocidad que tendrá sustituyendo en la primera
ecuación:
v = 7 + 10*t
→
v = 7 + 10*1,114 = 18,14 m/s
Fíjate como hemos resuelto el apartado con las dos única fórmulas de siempre, pero para
eso ha sido necesario resolver un sistema de ecuaciones. Cuando te ocurra eso, si no
quieres hacerlo acuérdate entonces de esa tercera fórmula que te dije, que auque como ves
no es imprescindible, pero sí que te ayuda a hacerlo más fácil. Verás:
v = v o2 + 2 ⋅ a ⋅ s = 7 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 14 = 18,14 m/s
d) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s desde
una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?. Pues exactamente igual, porque
se trata de saber qué tiempo tarda en recorrer 200m:
s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2
→
200 = 7 ⋅ t + 5 ⋅ t 2
→
t = 5,663 seg
e) Con que velocidad llega al suelo?. Es como decir que velocidad tiene después de
recorrer 200m , que ya sabemos que para ello tarda 5,663 seg, así que de la primera
ecuación:
v = 7 + 10.t
→
v = 7 + 10.5,663 = 63,63 m/s
También podía haberlo hecho con esa tercera fórmula:
v = v o2 + 2 ⋅ a ⋅ s = 7 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 200 = 63,63 m/s
y ahora que sabes la velocidad con que llega al suelo podrías calcular el tiempo que tarda
en caer aplicando la primera ecuación:
v = 7 + 10.t
→
63,63 = 7 + 10.t
→
t=
63,63 − 7
= 5,663 seg
10
4. Se lanza una pelota desde lo alto de una torre de 20 m de altura con una velocidad hacia
arriba de 15 m/s. Calcular:
a) ¿Qué velocidad tendrá al cabo de 1 seg? ¿Y al cabo de 3 seg?
b) ¿Qué espacio habrá recorrido al cabo de 1 seg? ¿Y al cabo de 3 seg?
c) La altura máxima que alcanza y el instante en que ocurre
d) El tiempo que tarda en llegar al suelo
e) La velocidad con que llega al suelo.
Ya sabes que lo primero es elegir el sistema de referencia y que puedes elegir el que
quieras, pero siempre el más sencillo es uno que tenga el centro en el lugar del disparo y
que tenga uno de los ejes en la dirección del movimiento, por ejemplo como el siguiente:
en ese sistema de referencia lo que va hacia arriba lo tomaremos como positivo y lo que va
hacia abajo negativo, así que la velocidad inicial será vo= +15m/s y la aceleración a=–10m/s2.
Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son:
v = vo + a.t
v = 15 – 10*t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
s = 15 * t +
Ecuaciones del MUA
1
* (-10) * t 2
2
v = 15 − 10 ⋅ t
s = 15 ⋅ t − 5 ⋅ t 2
Ecuaciones de este
movimiento concreto
a) Para calcular el valor de la velocidad en un momento determinado no hay más que
sustituir t por su valor en la ecuación de la velocidad:
v t =1 = 15 − 10 ⋅ 1 = 5 m/s
v t =3 = 15 − 10 ⋅ 3 = −15 m/s
• Observa que para t=1s la velocidad es +5m/s, eso quiere decir que en ese momento
vale 5m/s y que va hacia arriba. En el momento t=3s la velocidad vale −15m/s y ese
signo menos de acuerdo a nuestro RS quiere decir va hacia abajo.
• Fíjate bien en la ecuación de la velocidad de “este movimiento concreto”
v = 15 − 10*t
• Como puedes ver, si le damos valores pequeñitos al tiempo, la velocidad resulta
positiva. Eso quiere decir que está subiendo (recuerda que en el sistema de
referencia es positivo lo que va hacia arriba). Es lo que hace la piedra al principio:
subir.
• Hay un valor del tiempo, para el que la velocidad se hace cero. Ese valor
corresponde al momento en que ha alcanzado la altura máxima y ahí está parado.
• Si le damos un valor al tiempo mayor, entonces la velocidad se hace negativa y el
signo menos indica que ahora está bajando
b) Para calcular el valor del espacio recorrido en un momento determinado no hay más que
sustituir t por su valor en la ecuación del espacio:
s t =1 = 15 ⋅ 1 − 5 ⋅ 12 = 10 m
s t =3 = 15 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 2 = 0 m
Observa que el espacio coincide con la coordenada Y del SR, es decir que nos da su
posición en ese momento. En el momento t=1 a 10m y en el momento t=2 está otra vez en
la posición de partida.
c) La altura máxima que alcanza y el instante en que ocurre. Para calcularla recuerda que la
velocidad v = 15−10*t se va haciendo cada vez menor hasta llegar a cero y luego comienza
a tomar valores negativos indicando que va hacia abajo. Obviamente la altura máxima la
alcanzará justo en el momento en que v=0, por tanto:
v = 15 − 10 ⋅ t = 0
→
t = 1,5 seg
para ese valor del tiempo, el espacio recorrido, que será la altura máxima respecto de
nuestro SR, será:
s t =1,5 = 15 ⋅ 1,5 − 5 ⋅ 1,5 2 = 11,25 m
d) El tiempo que tarda en llegar al suelo es el tiempo necesario para que el espacio sea
s=−20m, ya que si observas el dibujo en nuestro SR el suelo tiene coordenada Y=−20.
s = 15 ⋅ t − 5 ⋅ t 2 = −20
→ t = 4 seg
e) La velocidad con que llega al suelo es la velocidad que tendrá para t=4s
v t = 4 = 15 − 10 ⋅ 4 = −25 m/s
El signo menos indica que en el momento de llegar al suelo se movía hacia abajo. Obvio.
5. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 40m/seg.
a) Hallar qué velocidad lleva a los tres segundos.
b) ¿Cuánto tardaría la piedra en llegar al punto más alto y cuanto vale la altura máxima que
alcanza?
a) Ya sabes que lo primero es elegir el sistema de referencia y que puedes elegir el que
quieras, pero siempre el más sencillo es uno que tenga el centro en el lugar del disparo y
que tenga uno de los ejes en la dirección del movimiento, por ejemplo como el siguiente:
en ese sistema de referencia lo que va hacia arriba lo tomaremos como positivo y lo que va
hacia abajo negativo, así que la velocidad inicial será +40m/s y la aceleración –9,8m/s2.
Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son:
v = vo + a.t
v = 40 – 9,8*t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
s = 40 * t +
1
* (-9,8)* t 2
2
v = 40 – 9,8*t
s = 40 * t − 4,9 * t 2
* A los tres segundos, es decir en el momento t=3seg, pues no tienes mas que sustituir ese
valor del tiempo en las ecuaciones y obtendrás el valor de la velocidad y el espacio que
habrá recorrido en ese tiempo:
v = 40 – 9,8*t
v = 40 – 9,8*3 = 10,6 m/s
s = 40 * t − 4,9 * t 2
s = 40 * 3 − 4,9 * 3 2 = 75,9 m
b) ¿Cuánto tardaría la piedra en llegar al punto más alto y cuanto vale la altura máxima que
alcanza? Pues como hemos quedado, en el punto más alto la velocidad vale cero, así que:
40
t=
= 4,08 seg
v = 40 – 9,8*t
→
0 = 40 – 9,8*t →
9,8
y ahora sustituyendo ese valor de tiempo en la ecuación del espacio obtendremos el espacio
que ha recorrido que no es más que la altura subida
s = 40 * t − 4,9 * t 2
→
s = 40 * 4,08 − 4,9 * 4,08 2 = 81,63m
6. Desde un acantilado de 100m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto
con una velocidad de 40m/seg. Hallar cuánto tarda en llegar al suelo desde el momento del
lanzamiento.
Tomamos un sistema de referencia centrado en el lugar desde donde se dispara, como el de
la figura:
Fíjate que en ese sistema de referencia el punto del suelo tiene coordenada Y = –100 m, así
que solamente tienes que escribir las ecuaciones del movimiento para esa piedra y ¿te
acuerdas? si le damos un valor al tiempo nos dan la velocidad y el espacio para ese tiempo.
Y lo mismo, si le damos una valor la velocidad o al espacio, nos dan el tiempo que tarda en
adquirir esa velocidad o recorrer ese espacio.
v = vo + a.t
v = 40 – 9,8*t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
s = 40 * t +
v = 40 – 9,8*t
1
* (-9,8) * t 2
2
s = 40 * t − 4,9 * t 2
Ahora se trata de calcular el tiempo necesario para que el espacio sea s = –100 m. ( el signo
menos es consecuencia del sistema de referencia, de que está por debajo del punto del
disparo.) Así que:
s = 40 * t − 4,9 * t 2
→
− 100 = 40 * t − 4,9 * t 2
y de ahí se despeja el valor del tiempo, que resulta t = 10,17 seg. (hay otro valor t= –2 seg
que no vale y correspondería al caso de que en lugar de lanzar la piedra hacia arriba la
hubiésemos tirado hacia abajo)
7. Lanzamos hacia arriba un objeto con una velocidad de 20 m/s.
a) Calcular el tiempo que tarda en encontrarse a 5 metros sobre la posición inicial.
b) Interpreta el resultado obtenido.
Datos: g= 10 m/s2
a) Elegimos un SR centrado en el lugar del disparo. En
ese SR las ecuaciones del objeto, que tiene un
movimiento uniformemente acelerado por estar
sometido a la aceleración de la gravedad, son:
v = vo + a.t
v = 20 – 10*t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
s = 20 * t +
1
* (-10) * t 2
2
v = 20 – 20*t
s = 20 * t − 5 * t 2
Sustituyendo en la ecuación del espacio s=5 podemos obtener el tiempo que tarda en
alcanzar esa posición:
s = 20·t – 5·t2 →
5 = 20·t – 5·t2
Resolviendo esa ecuación de segundo grado 5t2 – 20t + 5 = 0 con la fórmula:
2
2
− b ± b 2 − 4 a c 20 ± (−20) − 4 ⋅ 5 ⋅ 5 20 ± (−20) − 4 ⋅ 5 ⋅ 5 20 ± 17,32
=
=
=
2a
2⋅5
2⋅5
10
Obtenemos dos valores para el tiempo: t=0,27s y t=3,73s
t=
b) Interpretación: Los dos valores obtenidos para el tiempo son correctos y ambos
corresponden al tiempo necesario para que el objeto esté a 5m de altura sobre el lugar del
disparo: El valor más pequeño es el tiempo que tarda en llegar y el mayor corresponde al
tiempo que tarda en volver a estar en la misma posición, después de que haya alcanzado la
altura máxima.
8. Un coche lleva una velocidad de 20 m/s. De repente frena con una aceleración de 4 m/s2, calcular:
a) El tiempo que tarda en pararse.
b) El espacio que el coche recorre antes de detenerse.
Elegimos un SR centrado en el lugar donde comienza a frenar, como el de la figura, donde
hemos dibujado la aceleración en sentido contrario a la velocidad por tratarse de un
movimiento de frenado.
En ese sistema de referencia el punto en que se detiene el coche corresponde con el espacio
que ha recorrido durante el frenado, es decir que en el momento en que v=0 el espacio
recorrido para ese tiempo es igual al espacio de frenado.
Las ecuaciones del movimiento del coche son:
v = vo + a.t
v = 20 – 4*t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
s = 20 * t +
v = 20 – 4*t
1
* (-4) * t 2
2
s = 20 * t − 2 * t 2
1. Ahora se trata de calcular el tiempo necesario para que el que la velocidad se hace cero:
v = 20 – 4*t
→
0 = 20 – 4*t
→
t=5s
2. Ahora no hay más que sustituir ese tiempo en la ecuación del espacio para saber el
espacio que recorre hasta pararse:
s = 20 * t − 2 * t 2
→
s t =5,56 = 20 * 5 − 2 * 5 2 = 50 m
Observa el espacio tan grande que necesita un coche para detenerse, por lo que es muy
importante mantener la distancia de seguridad que aconseja la DGT. En realidad la
distancia de frenado es aún mayor, ya que en este caso no hemos tenido en cuenta el tiempo
de reacción del conductor que suele estar entre 0,5 y 1 segundo. (En 1 segundo un coche a
20 m/s, obviamente, recorre 20 m que habría que sumar a los 50m calculados.)
9. Un coche lleva una velocidad de 20 m/s (72km/h) cuando frena bruscamente. Si después
de frenar recorre 50 antes de pararse, calcular:
a) El tiempo de frenado.
b) La aceleración con que ha frenado.
Obviamente se trata del mismo ejercicio que hemos resuelto anteriormente, solo que en este caso
conocemos el espacio que recorre hasta pararse y desconocemos el valor de la aceleración.
Elegimos el mismo SR y aunque hemos dibujado la aceleración en sentido contrario a la
velocidad, por tratarse de un frenado, más adelante confirmaremos esa suposición al
obtener para la aceleración un valor negativo.
Las ecuaciones del movimiento del coche son:
v = vo + a.t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
v = 20 + a*t
1
s = 20 * t + * a * t 2
2
En este caso, por lo pronto, no podemos terminar de concretar las ecuaciones del movimiento,
sin embargo conocer la velocidad y el espacio en un momento concreto nos va a permitir
calcular el valor de la aceleración y poder escribir las ecuaciones del movimiento: Teniendo
en cuenta que en el momento en que v=0 el espacio recorrido es s=50m, podemos poner:
0 = 20 + a t
1 2
at
2
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuyas soluciones son a=−4m/s2 y t=5s
50 = 20 t +
Para resolver el sistema de ecuaciones despejamos la aceleración de la primera ecuación
(a=−20/t) y ahora sustituimos en la segunda ecuación:
50 = 20 t +
1 20 2
(- ) t
2 t
simplificando 50 = 20 t − 10 t → 50 = 10 t → t=5 seg
Sustituyendo el valor del tiempo en la expresión de la aceleración: a = −
20
20
=−
= −4 m/s2
t
5
10. Se lanza verticalmente y hacia arriba un
objeto con una velocidad de 50m/seg. Hallar el
tiempo que transcurre desde el lanzamiento
hasta caer sobre un edificio de 30m de altura.
Haremos como siempre. Después de elegir un
sistema de referencia centrado en el lugar del
disparo escribimos las ecuaciones de ese
movimiento:
v = vo + a.t
v = 50 – 9,8*t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
s = 50 * t +
v = 50 – 9,8*t
1
* (-9,8) * t 2
2
s = 50* t − 4,9* t 2
Ahora fíjate que cuando caiga sobre el edificio el espacio, en este sistema de referencia,
vale s = +30 m. Así que no hay más que igualar la ecuación del espacio a 30 y calcular el
valor de tiempo . (Por cierto que ahora obtendremos dos valores buenos para el tiempo
¿sabes el significado de cada uno? Piensa que por ese punto pasa dos veces.)
s = 50 * t − 4,9 * t 2
→
30 = 50 * t − 4,9 * t 2
y de ahí se despeja el valor del tiempo, que resulta t = 9,56s y t = 0,63s El primer valor
corresponde al tiempo que la piedra tarda en subir y estar a una altura de 30m y el segundo
valor (que es mayor) es el tiempo que tarda en estar de nuevo en la misma posición, pero
después de haber subido hasta lo más alto y vuelto.
Fíjate bien en las palabras: Si te preguntasen ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar una altura
de 30m? la respuesta sería 0,63seg. Pero lo que te preguntan es cuanto tiempo tarda en
“caer sobre el edificio”, así que se entiende que primero sube y luego cae a la vuelta y por
tanto la solución que debes dar es: t=9,56 seg.
11. Un tractor se mueve con velocidad constante y las ruedas traseras, que tienen 1 m de
diámetro, dan 191 vueltas cada minuto.
a) Calcular la velocidad angular de las ruedas traseras en unidades internacionales.
b) Calcular la velocidad lineal del tractor.
c) Imagina que en una rueda trasera se ha incrustado una piedra y el conductor escucha el
ruido que hace al golpear el suelo cada vez que la rueda da una vuelta. ¿Cuántos golpes
escucharía en 10 segundos?
d) Cuál será la velocidad lineal y la velocidad angular de las ruedas delanteras, sabiendo
que tienen 60 cm de diámetro.
vueltas
2π rad
= 191
= 20 rad / seg
min .
60 seg
b) v = ω·R ⇒ v = 20*0,5 = 10 m/s
a) ω = 191
c) La frecuencia es el número de vueltas que da en 1 segundo. Por tanto los golpes (vueltas)
que dará en 10 segundos será igual a 10 veces la frecuencia.
2π
= 2π ⋅ f ⇒ 20 = 2*π*f ⇒ f = 3,18 Hz
ω=
T
Las vueltas que la rueda dará en 10 seg (golpes que escuchará en 10 seg) = 31,8 golpes
d) La rueda delantera y la rueda trasera tienen la misma velocidad lineal, ya que ambas recorren el
mismo espacio en el mismo tiempo (a menos que se desarme el tractor), por tanto:
vr.trasera = vr.delantera = 10 m/s
Sin embargo, la rueda delantera al tener distinto radio tendrá distinta velocidad angular:
v = ω·R ⇒ 10 = ωr.delantera*0,3 ⇒ ωr.delantera = 33,3 rad/s
AMPLIACIÓN
12. Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta
velocidad y al cabo de 10 s lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en módulo pero
de distinto sentido.
a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del móvil?.
b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?.
a) Tomamos el SR centrado en el lugar del
disparo. Es como si el observador estuviese en el
suelo y “lanzara el cuerpo hacia arriba con una
velocidad inicial de vo y después “t” segundos
ha subido 40 m y tiene una velocidad +vB .
Después de llegar al punto más alto vuelve a
bajar y 10 segundos más tarde pasa por el mismo
punto con una velocidad –vB (menos porque
ahora va para abajo).
Aplicando las ecuaciones del movimiento
cuando está a 40 metros de altura tendremos:
Para t=t está subiendo
Para t=t+10 está bajando
v B = v o − 10 t
1
40 = v o t − 10 t 2
2
− v B = v o − 10 ( t + 10)
t=0,7446s; vo=57,44m/s; vB=50m/s
b) La altura máxima es el espacio recorrido en el momento en que v=0, por tanto:
0 = 57,44 − 10 t h .máx → th.máx=5,744s → sh.máx=57,44*5,774−5(5,744)2=165m
Otra forma alternativa de razonarlo:
Igual que antes, tomamos el SR centrado en el
lugar del disparo. También, igual que antes,
llamaremos a la velocidad vo=vA” , a la
velocidad que tiene después de subir 40 m la
llamaremos vB
Puesto que no hemos cambiado de SR las
ecuaciones del movimiento son mismas:
v = vo –10*t
s = vo t − 5 ⋅ t 2
a) Cuando la piedra pasa delante del observador lleva una velocidad + vB. Como tarda 10seg
en volver a pasar delante de él quiere decir, si no hay rozamiento, que ha tardado 5 segundos en
llegar al punto más alto y otros 5 en volver.
Podemos calcular la velocidad del cuerpo al pasar por el observador (punto B) teniendo en
cuenta que sería exactamente igual que si se lanzara una piedra desde el punto B con una cierta
velocidad inicial vB y estuviese subiendo 5 seg hasta pararse, por tanto:
v = vo – 10.t
→
0 = vB – 10*5
→
vB = 10*5 = 50 m/s
b) El espacio que ha recorrido en esos 5 segundos, que es la altura medida desde el punto B es:
s = v o t − 5t 2
→
s = 50 ⋅ 5 − 5 ⋅ 5 2 = 125m
Si miras en la figura verás que en nuestro SR la altura alcanzada por la piedra sería:
h = 125m + 40m = 165 metros
Pero aun no hemos terminado, porque en el apartado a) lo que preguntan no es con qué
velocidad ve pasar el observador la piedra (esa sería 50 m/s) sino lo que preguntan es con qué
velocidad inicial se lanzó la piedra.
La piedra se lanzó desde el suelo (punto A). Sabemos que cuando va por el punto B (es decir
después de subir 40m) tiene una velocidad vB= 50 m/s, así es que aplicando la ecuación de la
velocidad entre el punto A y el B (recuerda que la velocidad en el punto A es la velocidad
inicial vo y la del punto B es 50 m/s) tendremos que:
v = vo –10.t
50 = vo – 10*tAB
s = vo t − 5 ⋅ t 2
40 = 10 ⋅ t AB − 5 ⋅ t 2AB
despejando el tiempo de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera puede calcularse la
velocidad inicial con que se tiró la piedra (la que tenía en el punto A).
Pero si te acuerdas, para evitar resolver el sistema de ecuaciones podemos utilizar esa tercera
ecuación, así que sería más fácil:
v = v o2 + 2 ⋅ a ⋅ s
→
50 = v o2 + 2 ⋅ (−10) ⋅ 40
→
v o = 3300 = 57,44m / s
esa es la velocidad inicial con que debe lanzarse la piedra para que después de subir 40m
pase delante del observador con una velocidad de 50 m/s y todavía continúe subiendo
durante 5 segundos más hasta pararse y vuelva para abajo.
13. Para averiguar la profundidad de un pozo, dejamos caer una piedra y oímos el ruido del
impacto contra el agua 2,06 segundos después. ¿Qué profundidad tiene el pozo, si se
supone para el sonido una velocidad de propagación de 330 m/s? g = 10 m.s–2
El tiempo que tardaremos en oír el ruido será el que la
piedra tarda en caer por efecto de la gravedad (t1)
(movimiento uniformemente acelerado) más el que el
sonido tarde en subir (t2) (movimiento uniforme):
1 2
gt 1
2
↓
s=
↑
s = vs t 2
2s
g
s
t2 =
vs
t1 =
teniendo en cuenta que el tiempo desde que dejamos
caer la piedra hasta que escuchamos el sonido es 2,06
seg:
t 1 + t 2 = 2,06
sustituyendo:
2s
s
+
= 2,06
10 330
de donde resulta que s=20 metros
14. Dos cuerpos A y B separados una distancia de 2Km, salen simultáneamente y se mueven
en la misma dirección, ambos con movimiento rectilíneo uniformemente variado, siendo la
aceleración de B (el más lento) de 0,32 m/s2.El encuentro se realiza a 3´025 Km del punto de
partida de B. Se pide:
a) tiempo invertido por ambos móviles
b) aceleración de A
c) la velocidad de ambos en el momento del encuentro.
a) En el SR de la figura ambos coches parten del reposo y deben recorrer con MRUA
exactamente el mismo espacio (2000+3025m) en el mismo tiempo hasta encontrarse, lo que
pasa es que el coche B en el momento inicial ya tiene recorrido un espacio inicial s0B=2000m
Ecuaciones del coche A
Ecuaciones del coche B
vA = a A t
1
sA = a A t 2
2
vB = a Bt
1
s B = 2000 + a B t 2
2
a) En el momento en que se encuentren sA=sB=5025 m. Sustituyendo en la ecuación del
espacio de cualquiera de los coches podemos obtener el tiempo. Lo haremos al coche B
porque de él sabemos la aceleración:
1
s B = 2000 + a B t 2 →
2
1
5025 = 2000 + 0,32 t 2
2
→ t = 137,5 seg
b) Ahora que sabemos el tiempo en encontrarse, sustituimos en la ecuación del espacio del
coche A:
1
1
→ aA = 0,53 m/s2
s A = a A t 2 → 5025 = a A (137,5) 2
2
2
c)
vA = aA.t = 0’53·137’5 = 73’09 m/s
vB = aB.t = 0’32·137’5 = 44 m/s
15. Desde lo alto de una torre se dejan caer libremente dos pequeñas piedras con un intervalo
de 3s. ¿Se mantendrá constante la distancia entre ellas durante la caída?
Llamamos A a la piedra que lanzamos primero y B a la que lanzamos 3seg después.
sA será el espacio que recorre la piedra A durante el tiempo que este cayendo: tA=t+3.
sB es el espacio que recorre la piedra B durante el tiempo que esté cayendo: tB = t
1
g ( t + 3) 2
2
1 2
sB = g t
2
sA =
d = sA – sB =
1
1
g ( t + 3) 2 − g t 2 = g (3 t + 4’5)
2
2
No se mantiene la distancia, puesto que depende del tiempo: d = f (t). Además, como puedes
ver, la distancia que separa las piedras se hace cada vez mayor.
16. Un cuerpo que se mueve en caída libre recorre en el último segundo de su caída la mitad
del camino total. Calcula: a) la duración total de la caída. b) la altura h desde la que cayó
Vamos a dividir la caída en dos tramos iguales.
Como en recorrer la segunda mitad tarda 1
seg., en la primera mitad tardará el tiempo
total menos 1 seg, es decir que t1=t−1
Por otro lado, fíjate que la velocidad inicial
del primer tramo es cero, mientras que la
velocidad inicial del segundo tramo es igual a
la final del primer tramo, es decir
v o 2 = gt 1 = g ( t − 1)
s1 =
1
g ( t − 1) 2
2
1
1
1
1
s2 = v o 2 t 2 + g t 22 = g ( t − 1) ⋅ 1 + g ⋅ 12 = g t − g + g = (gt − g ) m
2
2
2
2
como s1 y s2 son iguales:
1
1
g ( t − 1) 2 = g.t − g
2
2
→
5.t2 – 10 t + 5 = 10 t – 5
de donde tenemos que 5 t2 – 20 t + 10 = 0 y la solución es t = 3’41 seg (0’586 s no vale)
b) Para calcular la altura no hay más que tener en cuenta que en recorrer h tarda 3,41 seg:
h=
1 2
1
gt =
9’8 m/s2.3’412 s2 = 58’1 m
2
2
aunque también se podría sustituir en el espacio de cualquiera de los tramos en los que
habíamos dividido el movimiento:
h
1
= 2. g ( t − 1) 2 = g ( t 2 + 1 − 2 t ) = 58,1m
2
2
1
h = 2 ( gt – g) = 2 g t – g = 2. 9,8.3,41 – 9,8 = 58,1 m
2
h=2
17. En una bicicleta, que tiene unas ruedas de 30 cm de radio, la cadena está en el plato de
10 cm y en el piñón de 4 cm de radio.
El ciclista pedalea dando 0,8 vueltas de pedal cada segundo. Calcular:
a) La velocidad angular del plato en unidades internacionales.
b) La velocidad lineal de los dientes del plato.
c) La velocidad angular de los dientes del piñón.
d) La velocidad de la bicicleta.
Observaciones:
En la bicicleta los pedales son solidarios al plato y,
por tanto, ambos giran con la misma velocidad
angular.
La cadena arrastra simultáneamente al plato y al
piñón, haciendo que los dientes de ambos recorran
el mismo espacio en el mismo tiempo, por tanto,
los dientes de ambos discos tienen la misma
velocidad lineal.
El piñón es solidario con la rueda trasera y, por
tanto, ambos giran con la misma velocidad
angular.
a) ω Plato = ω Pedales = 0,8
b) vPlato = ωPlato·RPlato
vueltas
2π rad
= 0,8
= 5 rad / seg
seg
seg
⇒ vPlato = 5*0,10 = 0,5 m/s
c) Como los dientes del plato y del piñón tienen la misma velocidad lineal.
vPiñón = vPlato = 0,5 m/s
vPiñón = ωPiñón·RPiñón
⇒ 0,5 = ωPiñón*0,04
⇒ ωPiñón = 0,5/0,04 = 12,5 rad/s
d) Como la rueda es solidaria al piñón, ambos tienen la misma velocidad angular:
ωRueda = ωPiñón = 12,5 rad/s
vRueda = ωRueda·RRueda ⇒ vRueda = 12,5*0,30 = 3,75 m/s
(13,5 Km/h)
Un tren que va a 50 Km/h debe reducir su velocidad a 25 Km/h antes de pasar por un
puente. Si realiza la operación en 4 segundos, ¿Qué espacio ha recorrido en ese tiempo?
¿Cuánto tardará en cruzar el puente, que tiene una longitud de 100m?
Primero “siempre” hay que poner todas las unidades en el sistema internacional, es decir, las
velocidades hay que expresarlas en m/s: vo = 50 Km/h = 13,89 m/s; vf = 25 Km/h = 6,96 m/s
Segundo hay que leer bien el enunciado y luego se vuelve a leer y así hasta comprenderlo. Te
darás cuenta de que el tren frena durante 4 segundos para aminorar su velocidad (quiere decir
que durante 4 segundos tiene un MRUA). Luego continúa con la velocidad de 25 Km/h (es
decir, que después de esos 4s tiene un MRU) y con esa velocidad es con la que cruza el
puente.
Ahora hay que elegir un sistema de referencia, asignar los signos y anotar en él las magnitudes que
intervienen. Observa que la aceleración la hemos dibujado en sentido contrario a la velocidad,
como corresponde a un frenado (Quiere decir que cuando obtengamos su valor debería salirnos
negativo.)
a) Durante el primer tramo, al tratarse de un MRUA, utilizamos las ecuaciones:
v = vo + a·t
→ 6,94 = 13,89 + a*4
→ a = −1,74 m/s2
2
s = vot + ½ a·t
→ s = 13,89*4 + ½ (−1,74)*42 = 41,67 m
b) El puente lo cruza con velocidad constante. Utilizaremos las ecuaciones del MRU:
s = v.t
→ 100 = 6,94*t → t = 14,4 s
CINEMÁTICA. REPASO. Ejercicios similares semiresueltos o con soluciones.
Un coche tiene una velocidad de 90 km/h, cuando ve a lo lejos a un tractor que marcha a 36
km/h y al que no puede adelantar.
a) Calcular el tiempo que debe accionar el freno para circular a la misma velocidad que el
tractor, sabiendo que la aceleración de frenado es de 3 m/s2.
b) Calcular el espacio que necesita para realizar esa frenada (sería la distancia mínima a la
que debería accionar el freno para no chocar con el tractor).
vo = 90 Km/h = 25 m/s; vfinal = 36 Km/h = 10 m/s
⇒ 10 = 25 – 3*t ⇒ t = 5 seg.
a) v = vo + a·t
2
b) s = so + vot + ½ a·t
⇒ s = 25*5 – 3*52 = 50 m
En los accidentes de tráfico la guardia civil determina la velocidad que llevaba el coche en
el momento del accidente a partir de las huellas de frenado y teniendo en cuenta la
aceleración de frenado que se estima, con la ayuda de unas tablas, a partir del estado del
asfalto y de los neumáticos.
a) Calcular la velocidad que tenía un coche en el momento de frenar sabiendo que las huellas que
dejó en el asfalto tienen 50 metros y que la aceleración de frenado estimada es de 6,25 m/s2.
b) Calcular el tiempo que ha tardado en frenar.
v = vo + a·t
0 = vo – 6,25*t
s = so + vot + ½ a·t2
50 = vo*t – 3,125*t2
Resolviendo el sistema de ecuaciones (*) obtenemos las soluciones vo = 25 m/s y t = 4 seg.
(*)Despejamos vo de la primera ecuación: vo = 6,25*t
Sustituimos vo en la segunda ecuación:
50 = (6,25*t )*t – 3,125*t2
2
2
operando: 50 = 6,25*t – 3,125*t ⇒ 50 = 3,125*t2 ⇒ t2 = 4 ⇒ t = 4 seg.
Un hombre conduce a una velocidad de 36 km/h. De pronto acelera con una aceleración de
6 m/s2 durante 57 metros.
a) Calcular el tiempo que tardará en recorrer esos 57 m.
a) Calcular la velocidad máxima que alcanzará.
vo = 36 Km/h = 10 m/s
a) s = so + vot + ½ a·t2
b) v = vo + a·t
⇒
⇒
57 = 10*t + 3*t2
⇒ t = 3 seg.
v = 10 + 6*3 = 28 m/s (100,8 Km/h)
Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad de 50m/seg. Hallar el
espacio recorrido a los 2 segundos.
Sol: Debes obtener que para t=2seg, el espacio recorrido es s=80,4m y la velocidad que
tiene en ese instante es v=30,4 m/s
Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad de 60m/seg. Hallar que
velocidad lleva a los 10seg.
Sol: (La velocidad a los 10 segundos es 38 m/s y el signo menos indica que va hacia abajo
Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg; hallar la
distancia recorrida a los 10seg.
Sol: Debes obtener que para t=10seg, el espacio recorrido es s=310m y la velocidad que
tiene en ese instante es v= –18 m/s
Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad de 70m/seg; hallar a qué
altura se encuentra del suelo a los 12seg.
Sol: Debes obtener que para t=12seg, el espacio recorrido es s=134,4m y la velocidad que
tiene en ese instante es v= –47,6 m/s
Desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg.
Se desea saber qué velocidad lleva cuándo ha recorrido 300m.
Sol: Cuando sube (t=5,836s) → v = 80 – 9,8*t → v = 80 – 9,8*5,836 = 22,80 m/s
Cuando baja (t=10,49s) → v = 80 – 9,8*t → v = 80 – 9,8*10,49 = –22,80 m/s
Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto y a los 2seg va subiendo con una velocidad
de 80m/seg. Hallar: a) la altura máxima alcanzada. b) la velocidad que lleva a los 15seg.
Sol: a) th.máx = 10,16seg; hmáx=506,13m b) vt=15=− 47,4 m/s
Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil que tarda 10 segundos en llegar al punto de
partida. Hallar: a) la altura máxima alcanzada. b) qué velocidad lleva a los 3seg.
Sol: a) hmáx=122,5 m b) v=19,6m/s
Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto, de forma que a los 2 segundos lleva una
velocidad de 60m/seg. Hallar:
a) la velocidad con la cual se disparó el objeto,
b) a qué altura se encuentra a los 2 segundos.
c) cuánto tiempo ha de transcurrir para que llegue a la parte superior de la trayectoria.
Sol: a) vo=79,6m/s b) s=139,6m c) t=8,12seg; hmáx=323,27m
Un coche lleva una velocidad constante de 15 m/s. Sabiendo que los neumáticos tienen un
diámetro de 60 cm, calcular.
a) La velocidad angular con que giran sus ruedas.
b) El ángulo que giran las ruedas en 5 segundos.
c) El tiempo que una rueda tarda en dar una vuelta.
a) v = ω·R ⇒ 15 = ω·0,3 ⇒ ω = 50 rad/s
b) φ = φo + ω·t ⇒ φ = 50·10 = 500 rad
ϕ 2π
2π
c) ω = =
⇒ 50 =
⇒ T = 2π/50 = 0,126 seg.
T
t
T
Para los siguientes móviles dibuja: (a) El vector de posición. (b) El vector velocidad. (c) La
aceleración tangencial. (d) la aceleración normal.
•
•
•
•
r
El vector de posición ( r ) tiene su origen en el SR y el extremo en el móvil
El vector velocidad es tangente a la trayectoria
r
El vector aceleración tangencial ( a t ) tiene la misma dirección de la velocidad y el mismo sentido si
acelera o el contario si frena. Mide los cambios de la velocidad en módulo.
r
El vector aceleración normal ( a n ) es normal (perpendicular) a la velocidad. Mide los cambios de la
velocidad en dirección.