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Lección 2.4
MAGNITUDES INCONMENSURABLES
(NÚMEROS IRRACIONALES)
Objetivos
1.-Demostrar que raíz cuadrada de 2 es un número irracional.
2.- Definir a los números irracionales como decimales no periódicos
Existen decimales no periódicos y estos no provienen de los racionales
.
Escuela Pitagórica
Al principio la gente sencillamente no pensó en esta cuestión. Si al
dividir o medir un intervalo se llegaba a partes muy pequeñas , estas se
desechaban sin más; en la práctica no tenía sentido hablar de una precisión
infinita en el proceso de medida. Pero existen distancias inconmensurables.
Por ejemplo la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado; en
otras palabras, el cociente de los dos no puede expresarse como el cociente
de dos números enteros.
Este descubrimiento produjo gran impresión a los científicos griegos.
En la existencia de intervalos inconmensurables los griegos descubrieron una
profunda paradoja inherente al concepto de continuidad. Pero esta cuestión
NO se abordara en este curso, por lo que recomendamos al lector interesado
en el tema consultar libros avanzados de Análisis Matemático.
Ejemplos de decimales no periódicos
π ≈ 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511…
e ≈ 2.7182818284590452353602874713526624977572470937…
2 ≈ 1.41421356237309504880168872420969807856967187
ü Demostración de que
2 no es un numero racional, consecuentemente
es un decimal NO periódico.Considere el triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud igual a
uno. Colocado sobre la recta en la forma indicada por la figura 2.3
Figura 2.3
Por el teorema de Pitágoras sabemos que la hipotenusa tiene por longitud
unidades, pero
2
2 ! no es decimal periódico !, y si no es decimal periódico
entonces no es número racional; ya que sí así fuera, entonces sabríamos, que
existen números p y q tales que:
2=
p
q
donde p y q no son múltiplos uno del otro.
Así,
2=
p
q
q 2= p
p 2 = 2q 2
(1)
Lo cual implica que p 2 es un entero par y, por lo tanto, p es par. Así entonces,
p = 2s
(2)
sustituyendo (2) en (1) tenemos:
4s2 = 2q
2
lo que implica que también q es par, lo cual contradice el hecho de que p y q
no eran múltiplos uno del otro.
Los griegos denominaban racionales a los números que podían expresarse
como una razón de enteros ( esto es, p/q); y como hemos visto, esto no es
posible para
2 , por lo que a los números que no pueden expresar como razón
de dos enteros se les llama números irracionales
Los números irracionales son expresiones decimales no periódicas