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C u r s o : Matemática
Material N° 15
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12
UNIDAD: GEOMETRÍA
POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS
POLÍGONOS
DEFINICIÓN: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que
se intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).
POLIGONO CONVEXO: Es un polígono donde cada ángulo interior mide menos de 180º
NOMBRE DE POLÍGONOS
TRIÁNGULO
CUADRILÁTERO
PENTÁGONO
HEXÁGONO
HEPTÁGONO
OCTÓGONO
ENEÀGONO
DECÁGONO
ENDECÁGONO
DODECÁGONO
3 LADOS
4 LADOS
5 LADOS
6 LADOS
7 LADOS
8 LADOS
9 LADOS
10 LADOS
11 LADOS
12 LADOS
PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS:
Suma de los ángulos interiores = 180º · (n – 2)
Suma de los ángulos exteriores = 360º
Diagonales desde un vértice = n – 3
n(n  3)
Total de diagonales =
2
EJEMPLOS
1.
¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un heptágono?
A) 1.080º
B)
900º
C)
720º
D)
540º
E)
360º
2.
El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un pentágono es
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
5
6
3.
El número total de diagonales de un hexágono es
A)
6
B)
7
C)
9
D) 18
E) 27
4.
La suma de los ángulos exteriores de un octágono es
A) 1.440º
B) 1.080º
C)
900º
D)
540º
E)
360º
5.
¿En cuál de los siguientes polígonos, la suma de los ángulos interiores es igual a la suma de
los ángulos exteriores?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
¿Qué polígono es tal que el número total de sus diagonales es igual al número de sus lados?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Triángulo
Ninguno de los anteriores
Octógono
Hexágono
Pentágono
Cuadrado
No existe tal polígono
¿Cuál es el número de lados de un polígono, si de cada uno de sus vértices se pueden trazar
12 diagonales?
A)
B)
C)
D)
E)
9
10
12
14
15
2
POLÍGONO REGULAR
DEFINICIÓN: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. En caso
contrario se dice que es irregular.

a
=
a
180º (n  2)
n


a
a

 ’
a
Pentágono regular
a
a
a
a
a
360°
 =
n
a
a
a
a
a
a
a
Hexágono regular
EJEMPLOS
1.
¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo interior de un hexágono regular?
A)
60º
B) 120º
C) 140º
D) 160º
E) 180º
2.
¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones, es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Si en un polígono sus ángulos exteriores suman 360º, entonces se sabe que el
polígono es un cuadrilátero.
Si un polígono tiene todos sus lados iguales, entonces dicho polígono es regular.
Si en un polígono regular se trazan todas las diagonales posibles desde un
vértice, los ángulos formados en dicho vértice son iguales entre sí.
I
II
III
I y III
II y III
¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores miden 150º?
A)
6
B)
8
C) 10
D) 12
E) 14
3
4.
Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 1.800º, ¿cuántas diagonales se
pueden trazar en dicho polígono?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
9
18
35
54
65
El hexágono de la figura 1, es regular. ¿Cuánto mide el ángulo x?
A) 22,5º
B) 45º
C) 67,5º
D) 90º
E) 112,5º
6.
fig. 1
La razón entre las medidas de los ángulos interiores y exteriores de un cierto polígono es
3 : 2. ¿Cuántas diagonales tiene dicho polígono?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
x
2
3
4
5
6
En el pentágono regular de la figura 2, ¿cuál es la medida del ángulo ?
A)
B)
C)
D)
E)
36º
54º
60º
72º
75º

fig. 2
4
CUADRILÁTERO
DEFINICIÓN
Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados.
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
Los cuadriláteros convexos se clasifican en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES.
PROPIEDADES

La suma de los ángulos interiores es 360º.

La suma de los ángulos exteriores es 360º.
EJEMPLOS
1.
En el cuadrilátero ABCD de la figura 1, CM y AM son bisectrices de ∡DCB
respectivamente. Entonces, el ángulo x mide
D
A) 220º
B) 140º
C) 110º
D) 80º
E)
20º
y
∡DAB,
C
120º
fig. 1
x
M
80º
B
A
2.
En el cuadrilátero PQRS de la figura 2, ∡ = 60º y ∡ = 100º. Entonces, la medida de
1
(x + y) es
2
S

R
y
A) 200º
fig. 2
B) 160º
C) 100º
D) 90º

x
E)
80º
P
Q
5
3.
Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí como 4:9:11:12. Entonces el mayor
de ellos mide
A) 10º
B) 60º
C)
90º
D) 110º
E) 120º
4.
En la figura 3, el ABD es isósceles de base AB . Si ABCD es un rombo y DE  CE
(A, D y E son colineales), entonces  mide
E
A)
B)
C)
D)
E)
30º
45º
60º
75º
80º

D
C
fig. 3
A
5.
B
Si en el cuadrilátero de la figura 4,  +  = , entonces ∡ es igual a
A) 80º
B) 85º
C) 90º
D) 95º
E) 105º


fig. 4
170º

6.
Si en la figura 5, L1, L2, L3 y L4 son rectas, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 30º
B) 40º
C) 50º
D) 80º
E) 100º
L1
x
100º
60º
70º
L2
6
L4
L3
fig. 5
PARALELÓGRAMO
DEFINICIÓN:
Paralelógramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de
paralelos.
lados opuestos
CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES
CUADRADO
NOMBRE
45º
45º
45º
RECTÁNGULO
a
45º
Lados opuestos
congruentes
Ángulos opuestos
congruentes
Las diagonales
se dimidian
Ángulos contiguos
suplementarios
Diagonales
perpendiculares
Diagonales
bisectrices
Diagonales
congruentes





a


a


b
b


a























b
b

a

45º
a
a


a
45º
45º
ROMBOIDE
a

a
45º
a
PROPIEDADES
ROMBO
a

OBSERVACION: Si un cuadrilátero cumple con alguna de las siguientes propiedades entonces es un
paralelogramo.
-
Ángulos opuestos congruentes
Diagonales se dimidian
Sus lados opuestos congruentes
Ángulos contiguos suplementarios
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelógramo?
A)
B)
50º
C)
130º
50º
D)
50º
50º
130º
130º
130º
130º
7
E)
130º
130º
130º
50º
50º
50º
2.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Todo paralelógramo tiene sus lados opuestos congruentes.
Todo paralelógramo tiene sus ángulos opuestos congruentes.
Dos ángulos contiguos de un paralelógramo son complementarios.
I
II
III
I y II
I y III
En la figura 1, L1 // L2. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
ACDF es un paralelógramo
Si  = 90º entonces BCDE es un rectángulo
Si AB = BE y   = 90º, entonces ABEF es un cuadrado.
Sólo I
Sólo III
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III

F

D
L1
B
C
L2
Para que un cuadrilátero convexo sea un paralelógramo, se debe cumplir necesariamente
que
A)
B)
C)
D)
E)
5.

fig. 1
A
4.
E
sus diagonales sean congruentes.
sus ángulos opuestos sean suplementarios.
sus diagonales se dimidien.
sus diagonales sean perpendiculares.
tengan un par de lados paralelos.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
paralelógramo ABCD de diagonales AC y BD ?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
necesariamente verdadera(s) en un
Si AC  BD y AC  BD , entonces ABCD es un rombo.
II)
Si AC  BD y AB = BC , entonces ABCD es un cuadrado.
III)
Si AC  BD y AB  BC , entonces ABCD es un romboide.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
8
TRAPECIO
DEFINICIÓN:
D

Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamados
bases.
D
C

C



A
B
 +  = 180º
 +  = 180º
C


A


B
AB // CD
Trapecio Escaleno
D

A
B
AB // C D
AB // C D
Trapecio Isósceles
Trapecio Rectángulo
 +  = 180º
 +  = 180º
- Ángulos basales congruentes
- Diagonales congruentes
- Ángulos opuestos
suplementarios
Mediana: Es el segmento que une los
puntos medios de los lados no paralelos
PROPIEDADES:
En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( AB y CD ) son
suplementarios.
EJEMPLOS
1.
En el trapecio de la figura 1, AB // CD y BC = CD . Si el ∡BDC = 35º, entonces el ∡ABC
mide
D
A)
B)
C)
D)
E)
2.
180º
140º
110º
100º
70º
C
fig. 1
A
B
Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 2, AB // CD y ∡ADC = 40º, entonces el ángulo
ABC mide
D
A)
B)
C)
D)
E)
C
210º
140º
110º
70º
ninguna de las anteriores.
fig. 2
A
9
B
3.
Si en la figura 3, ABCD es un cuadrado y EG // AB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
D
BFC isósceles.
FG es altura del BFC.
Los trapecios ABFE y DCFE son congruentes.
C
F
E
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
G
fig. 3
A
B
La mediana de un trapecio mide 60 cm. Si una de las bases es el doble de la otra, entonces
la base mayor mide
A) 30 cm
B) 40 cm
C) 60 cm
D) 80 cm
E) 100 cm
5.
En el trapecio de la figura 4, AD  DC  BC
que
A)
B)
C)
AB // DC . Entonces, siempre se cumple
D
AC  BD
C
AD  AB
AC  AB
fig. 4
D) ∡A  ∡C
B
A
E) ∡D  ∡B
6.
y
En la figura 5, DC // AB . Si AD  BC  DC , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
BDC es isósceles.
D
AC es bisectriz ∡DAB.
CAD  DBC
C
fig. 5
E
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
A
10
B
TRAPEZOIDE
DEFINICIÓN:
Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene pares de lados paralelos.
CLASIFICACIÓN:
Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos.
C
D
C
A
TRAPEZOIDE
ASIMÉTRICO
B
D
AB  AD y CD  CB
B
( AD  DC )
A
TRAPEZOIDE
SIMÉTRICO (DELTOIDE)
PROPIEDADES DEL DELTOIDE

Diagonales perpendiculares.

Una diagonal es bisectriz.

La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral
de la otra diagonal.
a
a
ab
b
b
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, DEFG es un deltoide con GD  DE . Si ∡DGF = 109º y ∡FDE = 14º,
entonces el ángulo GFE mide
F
A) 33º
B) 57º
C) 76º
D) 109º
E) 114º
G
E
fig. 1
D
2.
En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC . Si ∡ABC = 135º y ∡DCB = 70º,
entonces ∡CDB + ∡CAD =
C
fig. 2
A) 45º
B) 55º
C) 65º
D) 90º
E) 125º
D
B
A
11
3.
En el deltoide ABCD de la figura 3, AB = AD . Si ∡BAD = 50º y ∡ADC = 150º,
entonces la medida del ángulo x es
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
95º
85º
75º
65º
55º
fig. 3
x
A
4.
Al unir los puntos medios de los lados de un trapezoide en forma consecutiva se obtiene
siempre
A)
B)
C)
D)
E)
5.
B
un
un
un
un
un
trapezoide.
trapecio.
paralelogramo.
cuadrado.
rombo.
En el trapezoide ABCD de la figura 4, ∡DCB = 120º, ∡DAB = 60º y ∡CDB = 40º, entonces
la medida del ∡DBA es
C
A) 20º
B) 40º
C) 60º
D) 80º
E) 120º

D
B
3
fig. 4
A
6.
Si en la figura 5, ABCD es un deltoide, AD = CD , AF : FD = 1 : 2 y DF = 8. Entonces, AC
mide
D
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 5
8
7
6
5
2 5
A
F
B
12
C
EJERCICIOS
1.
Si en un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es igual a 1.440º, entonces el
polígono es un
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Si la diferencia entre el número total de diagonales y el número de lados de un polígono es
tres, entonces el polígono tiene
A)
B)
C)
D)
E)
3.
hexágono
octógono
decágono
dodecágono
eneágono
9
8
7
6
5
lados
lados
lados
lados
lados
¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
En un pentágono regular, el suplemento de un ángulo interior mide 72º.
El total de diagonales que se pueden trazar en un octógono son 24.
La suma de los ángulos interiores de un heptágono es 720º.
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
I, II y III
¿En cuál de los siguientes polígonos regulares, el ángulo interior mide el triple del ángulo
exterior correspondiente?
A)
B)
C)
D)
E)
Triángulo
Pentágono
Hexágono
Decágono
Octógono
13
5.
En el rectángulo ABCD de la figura 1, AC diagonal y PQ  AC . Si ∡DPQ = 113º. ¿Cuánto
mide  ?
A
A) 23º
B) 43º
C) 67º
D) 76º
E) 113º
P
D
113º

fig. 1
Q
B
6.
C
En el pentágono regular de la figura 2, los puntos A, B y F son colineales. Entonces, ∡
mide
C
D
A) 60º
B) 72º
C) 80º
D) 90º
E) 108º
F

B
fig. 2
E
A
7.
Si en la figura 3, ABCD es un rectángulo y L es una recta, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
L
I) sº + uº = tº + vº
D
C
II) sº + vº = uº + tº
sº tº
III) sº = vº y uº = tº
fig. 3
A) Sólo I
B) Sólo II
uº vº
C) Sólo I y III
A
B
D) Sólo II y III
E) I, II y III
8.
La diagonal del cuadrado ABCD de la figura 4, se prolonga de modo que CE = AB , entonces
la medida del ∡x es
E
x
A) 18º
B) 22,5º
C) 24º
D) 45º
E) 135º
B
C
fig. 4
D
14
A
9.
Si en el polígono de la figura 5, BE  CD , AB  CF y AE  DF  DE , ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
ABE  FCD
FED isósceles
E
A
∡CFB = 45º
F
fig. 5
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
I, II y III
60º
B
30º
C
D
10. Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 6, AB // CD y el ∡y = 60º, ¿cuál es la medida
del ∡x?
D
A)
B)
C)
D)
E)
160º
140º
120º
60º
Ninguna de las anteriores
C
y
fig. 6
x
B
A
11. En la figura 7, ABCDE es un pentágono regular y los lados de la estrella son las
prolongaciones del pentágono, entonces el ángulo x mide
A)
B)
C)
D)
E)
72º
54º
36º
30º
18º
A
E
D
B
C
fig. 7
x
12. En el rectángulo ABCD de la figura 8, ∡ = 67º, ¿cuánto mide el ángulo x?
D
A) 23º
B) 67º
C) 117º
D) 127º
E) 157º
C

fig. 8
x
A
15
B
13. Si se trazan las diagonales de un paralelógramo, formando 4 triángulos. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
14.
Se obtienen cuatro triángulos congruentes.
Se obtienen cuatro triángulos semejantes.
Se obtienen sólo triángulos rectángulos.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
Ninguna de ellas
En el trapecio ABCD de la figura 9, AB // CD , BF  EC , FB // DA , BF y EC son bisectrices.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
FC  BC
∡ BCE = 30º
FE  EB
F
D
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
C
60°
fig. 9
E
B
A
15. En la figura 10, ABCD es un trapecio isósceles, AB // CD , AE = EB . Si AB : BC = 2 : 1 y
EC // AD , ¿cuál es la medida del ∡BAD?
D
A)
B)
C)
D)
E)
70º
60º
55º
30º
20º
C
fig. 10
A
16. Si en la figura 11, MNP  QOR, ∡NMP = 50º y
∡OQP es
E
B
∡NPM = 70º, entonces la medida del
P
fig. 11
70º
A) 130º
B) 120º
C) 110º
D) 70º
E)
50º
M
Q
50º
N
16
R
O
17. En la figura 12, ABCD es romboide. Si H es punto medio de DF y AD  GD  GF  EF ,
entonces se cumple que
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
AEFD es un rombo
D
∡DGH  ∡HGF
HG  DF
H
F
C
fig. 12
I
II
III
I y II
II y III
A
G E
B
18. En la figura 13, ABCDEF es un hexágono regular, EA , EB y EC son diagonales. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
II)
AEF  CED
ABE  CBE
III)
∡ABE  ∡BED
F
E
fig. 13
A
D
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
B
C
19. En el polígono de la figura 14, AB // PC , AP // BC , AP y CP son bisectrices de los ángulos
interiores respectivos, entonces la medida del ángulo  es
A
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 14
160º
140º
120º
100º
60º
B
E 
P
60º
C
80º
D
20. En el cuadrado ABCD de la figura 15, se ha trazado la diagonal AC y el ∡ABE mide la tercera
parte del ∡ABC. ¿Cuál de las siguientes opciones no es correcta?
D

A) ∡ACB = 45º
C

B) ∡EFA = 60º
C) ∡AEB = 60º
fig. 15
E
D) ∡EFC = 105°
F
E) ∡DEB = 120º
17
A

B

21. Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 27 diagonales. ¿Cuánto mide cada
ángulo exterior de este polígono?
A) 12º
B) 15º
C) 24º
D) 30º
E) 168º
22. En la figura 16, ABCD es un paralelógramo, ∡DCA = 40º y ∡ABD = 50º. ¿Qué tipo de
paralelógramo es?
C
D
A)
B)
C)
D)
E)
Rectángulo
Trapecio
Rombo
Romboide
Cuadrado
fig. 16
100º
B
A
23. Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero se forman dos triángulos isósceles cuyas
bases son la diagonal, y los ángulos basales de un triángulo miden el doble de los ángulos
basales del otro. Entonces dicho cuadrilátero es un
A)
B)
C)
D)
E)
Cuadrado
Trapecio
Romboide
Rombo
Deltoide
24. En un trapecio isósceles los ángulos opuestos están en la razón 2:7. ¿Cuánto es la semidiferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor, respectivamente?
A)
50º
B)
60º
C) 100º
D) 120º
E) 140º
25. En la figura 17, ABCD es un trapecio rectángulo en A y D, ∡ABD = 40º, y BDC es isósceles
de base BC . ¿Cuál es la medida del ∡?
D
A) 70º
B) 30º
C) 90º
D) 45º
E) 120º
C

A
18
B
fig. 17
26. Se puede determinar la longitud de los lados de un polígono regular si:
(1) Se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.
(2) Sus ángulos exteriores suman 360º.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
27. En la figura 18, ABCD es rectángulo. Se puede afirmar que ADE  BCE si:
(1) ∡BAE = 45º
(2) E es punto medio.
A)
B)
C)
D)
E)
D
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
E
C
fig. 18
A
B
28. Se puede determinar la medida del ∡BCD del cuadrilátero de la figura 19, si:
(1) ABCD es un paralelógramo y triángulo ABD es equilátero.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 19
A
29. Se puede determinar el número de lados de un polígono convexo, si:
(1) Se conoce la suma de los ángulos interiores.
(2) Se conoce el número total de diagonales.
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
(2) El ángulo DAB mide 60º.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
19
B
30. En la figura 20, se puede determinar la medida del ángulo  si :
C

(1)  +  +  = 300º
fig. 20
(2) ABCD es un romboide y  +  = 180º.
A)
B)
C)
D)
E)
D 
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional

B

A
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
7
1y2
B
A
C
E
A
C
E
3y4
A
C
D
D
D
D
A
5y6
E
E
E
A
D
A
7y8
A
D
D
C
D
9 y 10
E
B
B
D
A
E
11 y 12
E
C
B
C
C
A
Págs.
EJERCICIOS PÁG. 13
1. C
11. C
21. A
2. D
12. E
22. C
3. A
13. E
23. E
4. E
14. E
24. A
5. C
15. B
25. A
6. B
16. A
26. E
7. C
17. E
27. B
8. B
18. E
28. A
9. E
19. D
29. D
10. C
20. B
30. A
DMDMA15
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