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Secuencias didácticas Bloque 2 QUINTO GRADO Educación Básica Primaria Etapa de prueba 2008 • 2009 Secuencias didácticas Bloque 2 QUINTO GRADO Educación Básica Primaria Etapa de prueba 2008 • 2009 Matemáticas 5. Secuencias didácticas. Bloque 2. Quinto grado. Educación Básica. Primaria. Etapa de prueba 2008-2009 fue elaborado por personal académico de la Dirección General de Desarrollo Curricular que pertenece a la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública. La SEP agradece a los Equipos Técnicos Estatales de primaria y secundaria del área de matemáticas por su participación en este proceso. Coordinación editorial: Esteban Manteca Aguirre Servicios Editoriales: Ícarus Ediciones Diseño: acHe Be Diseño/Ícarus Ediciones Ilustración: Olivia Ignacio, Sergio Salto. Fotografía: Jorge González Primera edición, 2008. D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2008. Argentina 28, Centro, C.P. 06020 México, D.F. ISBN: 000-000-000-000-0 Impreso en México MATERIAL GRATUITO. PROHIBIDA SU VENTA 2 Matemáticas5oº Presentación Los maestros son actores fundamentales del proceso educativo. La sociedad deposita en ellos la confianza y les asigna la responsabilidad de favorecer los aprendizajes y de promover el logro de los rasgos deseables del perfil de egreso en los alumnos al término de un ciclo o de un nivel educativo. Los maestros son conscientes de que no basta con poner en juego los conocimientos logrados en su formación inicial para realizar este encargo social sino que requieren, además de aplicar toda la experiencia adquirida durante su desempeño profesional, mantenerse en permanente actualización tanto para conocer con mayor profundidad las características de los niños con los que trabajan, como los resultados de investigación en las didácticas específicas de las asignaturas. A partir del ciclo escolar 2008-2009 se inicia en 5 000 escuelas primarias del país la fase experimental de los nuevos programas de estudio de la Educación primaria en los grados de primero, segundo, quinto y sexto. Para apoyar el trabajo de los maestros de estas 5 000 escuelas, la Secretaría de Educación Pública propone este material de apoyo para el trabajo cotidiano, que consiste en planes de clase para cada uno de los aspectos a estudiar contenidos en el programa de matemáticas. Esta planificación del trabajo diario está repartida en 5 cuadernos, uno para cada bloque. Además de los planes de clase, cada cuaderno contiene una tabla con los aprendizajes esperados y todos los aspectos que se estudian en ese bloque, incluyendo el eje temático, tema y subtema correspondientes. El presente cuaderno contiene los planes para trabajar los conocimientos y habilidades del segundo bloque del curso. Además de los datos generales como el número de plan, nombres del eje temático, tema y subtema, la fecha y el número de apartado; cada plan contiene 5 elementos muy importantes que se describen a continuación: a) El enunciado de los Conocimientos y habilidades que los estudiantes deben adquirir en este apartado, éste se toma textualmente del programa de estudio de matemáticas. b) Intenciones didácticas. Responden a una pregunta general: ¿para qué se plantea el problema que hay en la consigna?, misma que se puede desglosar en varios aspectos como los siguientes: • ¿Qué tipo de recursos matemáticos se pretende que utilicen los alumnos? • ¿Qué tipo de reflexiones se pretende que hagan? • ¿Qué conocimiento previo se pretende que rechacen, amplíen o reestructuren? • ¿Qué tipo de procedimiento se pretende que utilicen? De manera general, según la teoría didáctica, el problema que se plantea debe poner en juego justamente el conocimiento que se quiere estudiar, mismo que los alumnos aún no tienen, pero cuentan con elementos para “entrar en él” y construirlo. c) Consigna. Contiene tres elementos fundamentales, uno es el problema que se va a plantear y la manera de hacer el planteamiento. Otro es la forma de organizar el grupo de alumnos y uno más se podría considerar como las reglas del juego, qué se vale hacer o usar y qué no. Etapa de prueba 2008-2009 3 d) Consideraciones previas. Se registra lo que se puede prever, por ejemplo, algunas dificultades que podrían tener los alumnos y qué hacer ante ellas, preguntas que pueden ayudar a que los alumnos profundicen sus reflexiones, maneras de complejizar o simplificar la situación que se plantea, dificultades conceptuales del aspecto que se va a estudiar y/o su relación con otros aspectos. e) Observaciones posteriores. Espacio en el que se registra, después de la sesión, lo que se considere relevante para mejorar la consigna, la actuación del profesor o decir algo muy importante que no se previó; todo esto con miras a una aplicación posterior del mismo plan. El hecho de que los profesores cuenten con las secuencias didácticas para desarrollar los programas de matemáticas, no garantiza, por si mismo, una buena práctica, es necesario que analicen cada uno de los planes de clase, que se apropien de ellos y sobre todo, que ayuden a sus alumnos en el análisis de los resultados y procedimientos que se producen. Algunas sugerencias para un uso eficiente de los planes de clase son las siguientes: • Análisis de los Conocimientos y habilidades y de las Intenciones didácticas. Una vez que los profesores deciden utilizar los planes de clase es muy importante analizar su contenido. En primer lugar hay que identificar y analizar el enunciado denominado Conocimientos y habilidades, lo cual permite comprender las expectativas de aprendizaje del apartado. De la misma forma es necesario tener claridad de las intenciones didácticas del plan, es decir, el propósito de plantear el problema de la consigna. • Resolución del problema de la Consigna. Es recomendable que el profesor antes de proponer un problema a sus alumnos lo resuelva primero él, lo anterior permitirá saber si es adecuado para que los alumnos construyan los conocimientos esperados y por otro lado identificar los posibles procedimientos que utilizarán los alumnos y las probables dificultades que tendrán. • Análisis y enriquecimiento de las Consideraciones previas. Después de que el profesor resolvió el problema, seguramente tendrá más elementos para analizar con detenimiento las consideraciones previas y enriquecerlas, de tal manera que pueda estar mejor preparado para responder ante posibles situaciones en el desarrollo de la clase. La Secretaría de Educación Pública confia en que estos materiales serán recursos importantes para mejorar los procesos de estudio, enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Asimismo, agradece a los maestros y directivos las sugerencias que permitan mejorarlos. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA 4 Matemáticas 5oº 4.Resuelvanproblemasqueimpliquenestablecerlasrelacionesentredividendo,divisor,cocienteyresiduo. 5.Representen,construyanyanalicencuerposgeométricos. 6.Resuelvanproblemasqueimpliquenleereinterpretarmapas. 7.Resuelvanproblemasqueimpliquenconversionesentremúltiplosysubmúltiplosdelmetro,litroykilogramo. Manejodela información Forma,espacioy medida Representación Unidades Relacionesde proporcionalidad Diagramasytablas Medida Análisisdela información Representaciónde lainformación Cuerpos Figuras Ubicaciónespacial Números fraccionarios Multiplicacióny división Problemas multiplicativos Númerosdecimales Estimacióny cálculomental Significadoyuso delasoperaciones Significadoyuso delosnúmeros Números fraccionarios 3 2.10Aplicareidentificar(encasossencillos)unfactorconstantede proporcionalidad 2.12Buscaryorganizarinformaciónsobremagnitudescontinuas. 2 3 3 2.9Realizarconversionesentrelosmúltiplosysubmúltiplosdelmetro, dellitroydelkilogramo. 2.11Compararrazonesencasossimples 1 1 2.7L eermapasdezonasurbanasorurales,conocidasodesconocidas. 2.8Interpretarmapasderutas. 3 2 2 3 3 3 NÚM. DE PLANES 2.6Construir,armaryrepresentarcuerposparaanalizarsus propiedades:númerodecaras,númerodevértices,númerode aristas. D=cxd+ryr<dyutilizarlaspararesolverproblemas. 2.5Elaboraciónderecursosdecálculomentalenrelacióncon fracciones. 2.3Resolverproblemasqueimpliquenelusodemúltiplosdenúmeros naturales. 2.4Encontrarlasrelaciones: 2.2Utilizarfraccionesdecimales(denominador10,100,1000)para expresarmedidas.Identificarequivalenciasentrefracciones decimales.Utilizarescriturasconpuntodecimalhastacentésimosen contextosdedineroymedición. 2.1Ubicarfraccionesenlarectanumérica CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES 3.Resuelvanproblemasqueimpliquenlaidentificación,encasossencillos,deunfactorconstantedeproporcionalidad. SUBTEMA 2.Utilicenintervalosparaorganizarinformaciónsobremagnitudescontinuas. TEMA 1.Resuelvanproblemasqueimpliquenelusodemúltiplosdenúmerosnaturales. Sentidonumérico ypensamiento algebraico EJE QUINTO GRADO Comoresultadodelestudiodeestebloquetemáticoseesperaquelosalumnos: BLOQUE 2 Índice Apartado 2.1, Plan de clase (1/3) Apartado 2.1, Plan de clase (2/3) Apartado 2.1, Plan de clase (3/3) Apartado 2.2, Plan de clase (1/3) Apartado 2.2, Plan de clase (2/3) Apartado 2.2, Plan de clase (3/3) Apartado 2.3, Plan de clase (1/3) Apartado 2.3, Plan de clase (2/3) Apartado 2.3, Plan de clase (3/3) Apartado 2.4, Plan de clase (1/2) Apartado 2.4, Plan de clase (2/2) Apartado 2.5, Plan de clase (1/2) Apartado 2.5, Plan de clase (2/2) Apartado 2.6, Plan de clase (1/3) Apartado 2.6, Plan de clase (2/3) Apartado 2.6, Plan de clase (3/3) Apartado 2.7, Plan de clase (1/1) Apartado 2.8, Plan de clase (1/1) Apartado 2.9, Plan de clase (1/3) Apartado 2.9, Plan de clase (2/3) Apartado 2.9, Plan de clase (3/3) Apartado 2.10, Plan de clase (1/3) Apartado 2.10, Plan de clase (2/3) Apartado 2.10, Plan de clase (3/3) Apartado 2.11, Plan de clase (1/3) Apartado 2.11, Plan de clase (2/3) Apartado 2.11, Plan de clase (3/3) Apartado 2.12, Plan de clase (1/2) Apartado 2.12, Plan de clase (2/2) Recortables 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 69 Significadoyuso delosnúmeros Plandeclase(1/3) Eje temático: SN y PA Númerosfraccionarios Apartado 2.1 Conocimientos y habilidades: Ubicarfraccionesenlarectanumérica. Observaciones posteriores: Intenciones didácticas: Que los alumnos adviertan cuántos enteros contieneunafracciónimpropiaylaubiquen enlarectanuméricagraduandoúnicamente elúltimosegmentounitario. Consideraciones previas: Esprobablequealgunosalumnosgradúenla recta numérica en función del denominador decadafracción.Porejemplo,paraubicar 7 3 7 tal vez dividirán en tercios todos los seg3 mentosunitariosdesde0hasta3,luegoubicarán 7 comosemuestraenseguida. 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 3 Otrostalvezreconozcanque 7 esigual2+ 3 1 ,porlotantononecesitaránrealizartodas 3 las particiones en los tres segmentos unitarios,esdecir,desde0hasta3,sinosolamente delsegmentounitario[2,3]. 0 1 2 7 3 3 4 5 6 7 8 9 Esimportantequelosalumnoscompartany justifiquensusprocedimientos,conlaideade quesepercatendesuprecisiónyeconomía. 8 Matemáticas5oº Fecha: Consigna Eje temático: SN y PA Apartado 2.1 Plan 1/3 ¡A graduar se ha dic ho! Organizados en equi pos ubiquen numérica. 1 2 3 , 5 2 4 , 6 5 , 5 12 3 y 6 20 6 en la siguiente recta 7 8 9 Cortesía de la escuela General Andrés Figueroa . 0 7 3 6 Etapadeprueba2008-2009 9 Plandeclase(2/3) Eje temático: SN y PA Significadoyuso delosnúmeros Númerosfraccionarios Apartado 2.1 Conocimientos y habilidades: Ubicarfraccionesenlarectanumérica. Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen la escala utilizadaenunarectanuméricaylautilicenpara ubicarotrasfracciones.Elpuntodeorigen(0) apareceindicado. Consideraciones previas: Enelcasodelincisoa,esmuyprobableque losalumnosubiquenprimerolossegmentos 5 unitarios,paraluegoubicar 3 dividiendoen tresparteigualeselsegmento[1,2].Paraubi6 car 4 ,esprobablequelamayoríadividalos segmentosunitariosencuartos;otrostalvez 6 3 reconozcanque 4 esequivalentea 2 ,porlo quenoseránecesariohacerelprocesoanterior.Siestoocurreenlosdistintosequipos,es importantequelosalumnoscompartanestos distintosprocedimientos. Enelcasodelincisob,esmuyprobableque algunos alumnos se equivoquen al pensar quedespuésdelpunto 2 siga 3 ,siestoocu3 3 rre, hay que dejarlos que se den cuenta de sus errores en el momento de la puesta en común. Lo importante de esta actividad es que los alumnos se den cuenta que cada división marcada en la recta equivale a 2 , por lo 3 quelasiguientemarcarepresenta 4 o1 1 .Es 3 3 convenientedecirlesquehaganlasdivisiones queseannecesariasentrelossegmentosmarcados.Porejemplo,esprobablequealgunos alumnos primero determinen los segmentos unitarioscomosemuestraenseguida: 1 3 0 10 3 3 2 3 1 5 3 4 3 Matemáticas5oº 6 3 2 7 3 Luego,dividanlosterciosalamitadparaobtenerlossextosyasípoderubicar 5 . 6 1 3 0 3 3 1 2 3 5 3 4 3 6 3 2 7 3 5 6 25 Paraubicar 12 ,talvezalgunosalumnosdividan los sextos a la mitad para obtener doceavos; 25 otrostalvezreconozcanque 12 esequivalente 1 a 2 + 12 y solamente dividirán en doceavos el segmentounitario[2,3]. Esmuyimportantedejarquelosalumnosexplorendiversoscaminosparaubicarlosnúmerosy analicenengruposupertinenciaylainterpretaciónquehicierondelaescala. Observaciones posteriores: Fecha: Consigna ta La escala en una rec jas realicen lo que se Organizados en pare a) A partir de los puntos Plan 2/3 Apartado 2.1 Eje temático: SN y PA pide en cada inciso. que se indican en la 5 érica, ubiquen siguiente recta num 3 y 6 4 Ubiquen los puntos numérica. 6 y 25 12 os dados en la siguiente considerando los punt recta 2 3 . 0 5 General Andrés Figueroa b) 1 2 Cortesía de la escuela 0 7 Etapadeprueba2008-2009 11 Significadoyuso delosnúmeros Plandeclase(3/3) Eje temático: SN y PA Númerosfraccionarios Apartado 2.1 Conocimientos y habilidades: Ubicarfraccionesenlarectanumérica. Observaciones posteriores: Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen la escala utilizadaenunarectanuméricaylautilicenpara ubicarotrasfracciones.Elpuntodeorigen(0) noapareceindicado. Consideraciones previas: Esmuyprobablequealgunosalumnossepreguntendóndeestáelceroodiganquehace falta.Selespediráqueloubiquenytalvezlo haganalaizquierdadeluno,perosinrespetar la escala. Si esto sucede, vale la pena dejarlos que cometan ese error, en el momento de compartir sus resultados será importante reflexionarsobrelaposicióndelceroylaescala. Otros alumnos probablemente reconocerán quelaescalayaestádefinidaconlospuntos 1y1 1 yqueladistanciaquelosseparaco2 rrespondea 1 .Apartirdeestainformación 2 sepuedenubicarotrosnúmeros,comoseve acontinuación: 0 1 2 1 1 12 2 1 22 3 Finalmentepodránubicarlafracción 2 divi3 diendoelsegmentounitario[0,1]entrespartesiguales;mientrasqueparaubicar2 1 ,bas4 tará con dividir el segmento [2, 2 1 ] en dos 2 partesiguales. Nohayqueperderdevistaloimportantede esta actividad: que los alumnos reflexionen sobrelaimportanciadelaescalaylaubicacióndelcero. 12 Matemáticas5oº Fecha: Consigna Eje temático: SN y PA Apartado 2.1 Plan 3/3 ¿Y el cero? Organizados en pare jas, utilicen los puntos dados en la siguiente 2 ubicar las fraccione recta numérica para 1 s y2 3 4 . 1 21 Cortesía de la escuela General Andrés Figueroa . 1 8 Etapadeprueba2008-2009 13 Plandeclase(1/3) Eje temático: SN y PA Significadoyuso delosnúmeros Númerosdecimales Apartado 2.2 Conocimientos y habilidades: Utilizar fracciones decimales (denominador 10,100,1000)paraexpresarmedidas.Identificarequivalenciasentrefraccionesdecimales.Utilizarescriturasconpuntodecimalhasta centésimos en contextos de dinero y medición. Otroaspectoqueesimportanteempezaradiscutireslanotacióndecimal(escrituraconpun1 to)delasfraccionesdecimales: 10 =0.1, Intenciones didácticas: Quelosalumnosapartirdeladivisiónsucesivaen10partesdeunaunidad,determinen fraccionesdecimalesyestablezcancomparacionesentreellas. Consideraciones previas: 0.01y 1 =0.001 1000 Al término de la clase es necesario pedir a los alumnos que guarden el material utilizado, el cualseránecesarioenlaspróximassesiones. Esnecesariopreverquelosalumnoscuenten conlosmaterialesnecesariospararealizarlas actividadesprogramadas:cartoncillode4diferentescolores,reglagraduadaytijeras. Esimportantealentaralosalumnosparaque, enlamedidadeloposible,realicentodoslos cortesdelastirasdecartoncillo,segúnlasindicacionesdadas,auncuandoseenfrentena la dificultad de realizarlos en el caso de los milésimos,yaqueestotienecomopropósito que los alumnos, al establecer las comparacionesdescritas,puedanvisualizarladiferencia que existe entre las diferentes unidades estudiadas. Al realizar las comparaciones es importante subrayarlarelaciónde1a10entrelaunidad ylosdécimos,entrelosdécimosyloscentésimosyentreloscentésimosylosmilésimos; deahíqueunmilésimosealadécimaparte deuncentésimo,uncentésimosealadécima partedeundécimoyqueundécimoseala décimapartedelaunidad. Enconsecuencia: 1 = 10 10 1 10 = y 100 100 1000 Silosalumnosnoloadviertenloanterior,se sugierequeelprofesorseñalelarelaciónentre las unidades de longitud estudiadas: los décimosdelmetroyeldecímetro,loscentésimos del metro y el centímetro y entre los milésimosdelmetroyelmilímetro. 14 Matemáticas5oº 1 = 100 Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Apartado 2.2 Eje temático: SN y PA s y milésimos Décimos, centésimo jas realicen la siguiente Organizados en pare Plan 1/3 actividad y respondan lo que se pide. de ancho con las recorten tiras de 3 cm s de diferente color Utilizando 4 cartoncillo s: anla características siguiente o de largo y reconózc tira que mida 1 metr ncillo, recorten una a) En el primer carto ad. unid o com b) anla en diez 1 metro de largo y divíd rten una tira que mida una de estas partes En otro cartoncillo, reco o las divisiones. A cada rtand reco y ando 1 o bien 0.1 partes iguales, marc la unidad o también llámenla 1 décimo de 10 c) un décimo de la r, recorten una tira de ando y ncillo de diferente colo En el siguiente carto diez partes iguales, marc riores y divídanla en ante ésimo de la las a jante unidad, seme s partes, llámenla 1 cent esta de una cada ones. A recortando esas divisi 1 , que es lo mismo que 0.01 unidad o 100 un centésimo de recorten una tira de ente a los anteriores, les, marcando y Utilizando un color difer anla en diez partes igua divíd y s riore ante a las o 1 milésimo de la la unidad, semejante se le conocerá com . A cada una de ellas ones divisi las o recortand e expresar como 0.001 1 , que también se pued unidad o 1000 . Eje temático: SN y PA General Andrés Figueroa Apartado 2.2 Utilicen el material reco 1. 9 Plan 1/3 rtado para contesta r las siguientes pregunta s: ¿Cuántos décimos cabe n en una unidad?, ¿cuá ntos centésimos caben en un décimo? y ¿cuántos milésimos caben en un centésim o? 2. ¿Qué es más grande, 3. ¿Cuántos milésimos 4. ¿Cuántos milésimos 5. En dos décimos, ¿cuá . un décimo o un cent ésimo? . caben en un décimo? . caben en una unidad? . ntos centésimos hay? 6. ¿Cuántos décimos hay 7. ¿Cuántos décimos hay 8. ¿Cuántos milésimos . en media unidad? en 1 unidad + 5 10 ? . . General Andrés Figueroa . tiene 1.5 unidades? . Cortesía de la escuela Cortesía de la escuela d) 10 Etapadeprueba2008-2009 15 Plandeclase(2/3) Eje temático: SN y PA Apartado 2.2 Significadoyuso delosnúmeros Númerosdecimales Conocimientos y habilidades: Utilizar fracciones decimales (denominador 10,100,1000)paraexpresarmedidas.Identificarequivalenciasentrefraccionesdecimales.Utilizarescriturasconpuntodecimalhasta centésimos en contextos de dinero y medición. zarequivalenciasdefraccionesdecimalesyexpresionesaditivas,porejemplo: 5 18 3 + + 10 1000 100 Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen fracciones decimalesysuescrituraconpuntodecimalparaexpresarmedidasdeobjetosdesuentorno. Consideraciones previas: Es posible que algunos alumnos intenten o pregunten si es posible medir algún objeto utilizandoúnicamenteunaunidaddemedida, porejemplo,elanchodelapuertausandosolamentedécimosocentésimos.Enelprimer casoesimportantedestacarqueeslaprecisióndelamediciónloquehacenecesarioutilizarotrasunidadesmáspequeñas,yaquesi seutilizandécimosesmuyprobablequesobrealgunapartepormediryparaelsegundo caso,loqueobligautilizardiferentesmagnitudeseslaeconomía,hacerloúnicamentecon centésimosesmástardadoquehacerlocon décimos,centésimosymilésimos. Silosestudiantestienendificultadesparaescribir las medidas expresadas con punto de24 8 3 cimal,porejemplo 10 + 100 + ,pueden 1000 plantearselaspreguntassiguientes:¿cuántos milésimos hay en 24 centésimos? y ¿cuántos milésimos hay en 3 décimos?Conestaspreguntas los alumnos podrán calcular que en 24 3 hay240milésimosyen 10 hay300mi100 300 240 lésimos;porlotanto,alsumar con 1000 1000 8 548 y resulta en total , que es igual a 1000 1000 0.548 Esprobablequeseregistrenmedidasequivalentesquesepuedenaprovecharparaanali- 16 Matemáticas5oº Dado que 18 1 = 100 10 siónequivalentees 8 , entonces la expre100 4 8 5 + + . 10 100 1000 + Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: SN y PA Apartado 2.2 Plan 2/3 Expresiones equival entes Organizados en pare jas, utilizando el mate rial de la sesión ante indican y escriban en rior, midan los objetos la tabla las medidas que se con fracciones deci punto decimal. males y con expresion es con Objeto Largo de un lapicero Unidades 0 Décimos 1 10 = 0.1 Centésimos 8 100 = 0.08 Milésimos 7 = 0.007 1000 Medida expresada con fracciones decimales 1 10 + 8 100 + Medida expresada con punto decimal 7 1000 0.187 Largo del pizarrón Ancho del pizarrón Eje temático: SN y PA Objeto Altura de la puerta Unidades Décimos Apartado 2.2 Centésimos Milésimos Plan 2/3 Medida expresada con fracciones decimales Medida expresada con punto decimal Ancho de la puerta Largo de un lápiz 11 Grueso de un lápiz Punta de un lápiz (largo) 12 Etapadeprueba2008-2009 17 Plandeclase(3/3) Eje temático: SN y PA Significadoyuso delasnúmeros Númerosdecimales Apartado 2.2 Conocimientos y habilidades: Utilizar fracciones decimales (denominador 10,100,1000)paraexpresarmedidas.Identificarequivalenciasentrefraccionesdecimales.Utilizarescriturasconpuntodecimalhasta centésimos en contextos de dinero y medición. Intenciones didácticas: Quelosalumnosrealicencomparacionesentredoscantidadesqueinvolucranfracciones decimales,númerosdecimalesounafracción decimalyunnúmerodecimal. Consideraciones previas: Esfrecuentequelosalumnosintentencomparar números decimales como si se tratará de números naturales, es decir, tomando comocriterioelnúmerodecifras.Esprobable que señalen que $5.25 es mayor que $5.3, perosiestosucede,sepuedencompararlas partesdecimalesexpresadascomofracciones decimales( 25 y 3 ). 100 10 Sibienseprofundizahastasextogradolaconversión de fracciones a decimales, la expresióndeundecimalcomofracciónessencilla y representa un recurso útil para comparar una fracción decimal y un número decimal. 4 Porejemplo,paracomparar 100 con0.4,puederepresentarse0.4como 4 ycomparar 4 100 10 con 4 10 Si aún existieran problemas para comparar dosfraccionesdecimalessepuederecurrira materialconcreto,comolastirasdecartoncillo construidas por los alumnos en sesiones pasadas. 18 Matemáticas5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna añan Las apariencias eng 4 10 m 4.07 dm $ 5.25 7 10 m 4.7 dm or. idades y tachen la may entes pares de cant jas analicen los sigui Organizados en pare $ 5.3 Plan 3/3 Apartado 2.2 Eje temático: SN y PA 3+ 1 10 cm 3.1 cm $ 1.70 $ 1.65 0.75 cm 0.8 cm 2+ $ 65.00 $ 70 5+ 3 10 4 100 m 2+ cm 30 100 m 5.4 cm 1 Etapadeprueba2008-2009 19 Plandeclase(1/3) Eje temático: SN y PA Apartado 2.3 Significadoyuso delasoperaciones Problemasmultiplicativos Conocimientos y habilidades: Resolverproblemasqueimpliquenelusode múltiplosdenúmerosnaturales. Intenciones didácticas: Quelosalumnoscompletenseriesdefiguras, advirtiendo la existencia de una constante aditiva. Consideraciones previas: Laideadeesteplanesquelosalumnosanalicenlasseriesyreconozcancómovancambiandolasfigurasrespectoalaanterior.Enlos doscasosqueseproponenseaumentauna constante,2y3elementosrespectivamente. Demaneraimplícita,losalumnosestántrabajandolanocióndemúltiplo. Paracontestarlapreguntadelaprimeraserie es probable que los alumnos intenten dibujar cada una de las figuras, sin embrago, la intención es que relacionen cada figura con elnúmerodesolesquecontieneybusquen otras estrategias, como escribir los primeros 26términosdelaserie(2,4,6,8,10,...).Tambiénpuedenrelacionarelnúmerodelafigura conelnúmerodesolesquecontiene,elcual seobtienemultiplicandopor2elnúmerode lafigura. Enlasegundaserie,adiferenciadelaprimera, elnúmerodeelementos(cuadrados)decada figura no es múltiplo de la constante aditiva (3), por lo tanto es muy probable que para contestar las preguntas sea necesario determinar la serie con la cantidad de cuadrados decadafigura(5,8,11,14,…). 20 Matemáticas5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: SN y PA Apartado 2.3 Plan 1/3 Series de figuras contesten lo Cortesía de la escuela General Andrés Figueroa . En equipo, analicen las siguientes series y dibujen las figuras que que se pide. faltan. Después Serie 1 Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig.6 Fig.7 ¿Cuántos soles tend rá la figura 26? Fig. 1 Fig. 2 ¿Qué número de figura ¿Alguna figura tend Fig. 3 Fig. 4 se representaría con rá 30 cuadrados? ¿Por Fig. 5 Fig.6 41 cuadrados? qué? 14 Etapadeprueba2008-2009 21 Plandeclase(2/3) Eje temático: SN y PA Apartado 2.3 Significadoyuso delasoperaciones Problemasmultiplicativos Conocimientos y habilidades: Resolverproblemasqueimpliquenelusode múltiplosdenúmerosnaturales. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen series numéricas y adviertan que sus términos se obtienen al multiplicarunnúmeroporlaseriedelosnúmerosnaturales. Consideraciones previas: Paraencontrarlasrespuestasesmuyprobablequelosalumnosescribantodoslosnúmerosdecadaserie,segúnlascondicionesplanteadas,hastallegaralnúmeroporelcualse pregunta.Paraelprimercaso1,6,11,16,…; paraelsegundo0,3,6,9,…;paraeltercero 4,10,16,22,…Siestoocurreseránecesario elegirnúmerosmásgrandesparapropiciarla búsquedadeestrategiasdiferentes. En el segundo caso la intención es que infieranquecadatérminoeselproductodela seriedelosnúmerosnaturalespor3. Enelprimercasoesnecesariorestara46el númerodesdeelcualseparte(1)paraobtenerunmúltiplode5,esdecir,el45. En el último caso, aún restando el número desdeelcualseparte,elresultadonoesmúltiplode4,yaquenoexisteunnúmeronatural quemultiplicadopor6seobtenga83(87-4). 22 Matemáticas5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Apartado 2.3 Eje temático: SN y PA Series de números Plan 2/3 entes sucesiones: jas determinen las sigui Organizados en pare 1. Si en la serie numérica se parte del número 1 y se va de 5 en 5, ¿se dirá el número 46? . va de 3 en 3, ¿se dirá el número 42? va de 6 en 6, ¿se dirá el número 87? Si se parte del 4 y se 4. Escriban dos números mayores de 100 que . sí se dirían. . . 3. . General Andrés Figueroa Si se parte del 0 y se Cortesía de la escuela 2. 15 Etapadeprueba2008-2009 23 Plandeclase(3/3) Eje temático: SN y PA Apartado 2.3 Significadoyuso delasoperaciones Problemasmultiplicativos Conocimientos y habilidades: Resolverproblemasqueimpliquenelusode múltiplosdenúmerosnaturales. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquenobtenermúltiplosdenúmerosnaturales,multiplicandoelnúmeroporlaserie delosnúmerosnaturales. Consideraciones previas: Esprobablequealgunosalumnosproduzcan la serie de los múltiplos de 6 para obtener elnúmerodevueltasoloskilómetrosrecorridos.Otrospuedenreconocerlarelaciónentre ladistanciarecorrida,elnúmerodevueltasy los kilómetros adicionales: esto es, número devueltaspor6,másloskilómetrosadicionalesesigualaladistanciarecorrida. Es importante considerar que los kilómetros adicionales no pueden ser 6 o más, ya que 6 kilómetros representan una vuelta más al circuito.Enlasegundatabla,conJuanyMaría, puedesucederloanterior,yaquealduplicar 5 y 3, resultan 10 y 6 kilómetros respectivamente. Sieldesarrollodelaactividadlorequiere,indicarquelaexpresiónkm/hseutilizaparaindicarloskilómetrosrecorridosporcadahora (velocidad). 24 Matemáticas5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: SN y PA Apartado 2.3 Plan 3/3 Competencia de cicl ismo Organizados en equi pos resuelvan el sigui ente problema: En una competencia de ciclismo debe reco rrerse un circuito que tabla contiene las cuat mide 6 km. La siguiente ro primeras posicione s después de una hora Anoten los datos que de iniciada la carre faltan. ra. Competidor Velocidad Martín km h Juan 25 Pedro km h km h María 21 km h Veces que completó el circuito 4 vueltas vueltas 3 vueltas 3 vueltas Kilómetros adicionale s, después de completar las vueltas 2 km km 5 km km Eje temático: SN y PA Apartado 2.3 Plan 3/3 Suponiendo que los participantes mantiene n la misma velocida habrán recorrido al d, ¿cuántos kilómetros término de la segunda hora? Llenen la sigui ente tabla. Competidor 16 Velocidad Kilómetros recorridos Veces que completó el circuito Kilómetros adicionales, después de completar las vueltas Martín Juan Pedro María 17 Etapadeprueba2008-2009 25 Plan de clase (1/2) Eje temático: SN y PA Apartado 2.4 Significado y uso de las operaciones Multiplicación y división Conocimientos y habilidades: Encontrar las relaciones: D=cxd+r y r<d y utilizarlas para resolver problemas. Intenciones didácticas: Que los alumnos, a partir de la resolución de problemas, adviertan que el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el residuo y que el residuo debe ser menor que el divisor. Consideraciones previas: Situaciones como las anteriores permiten que los alumnos empiecen a determinar que existe una relación entre los elementos de la división. No se trata de que los alumnos escriban la expresión D=cxd+r, ni tampoco que el docente enseñe esta relación, sino de que los alumnos empiecen a comprender que los elementos se encuentran relacionados entre ellos. En el contexto anterior, dado que las bolsitas siempre tienen 6 chocolates, el divisor no varía, pero puede permitir descubrir que el resto no puede ser igual ni mayor a 6. Además, al multiplicar el cociente (dado en términos de bolsitas) por 6 y sumar los chocolates que sobran, se puede obtener el número de chocolates elaborados. Al completar la tabla del primer caso se espera que los alumnos puedan establecer que, a partir de una de las relaciones establecidas, con 30 chocolates se llenan 5 bolsitas. Por medio de este cálculo se puede determinar que con 31, 32, 33, 34 y 35 chocolates, se puede armar el mismo número de bolsitas (5), aunque varíe el número de chocolates sobrantes. Este conocimiento es importante resaltarlo en el momento de la socialización de los procedimientos seguidos, ya que permite analizar la variación de uno o más elementos de la división en función de los demás. 26 Matemáticas 5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Apartado 2.4 Eje temático: SN y PA s Bolsitas de chocolate Plan 1/2 entes problemas: jas resuelvan los sigui Organizados en pare a, de nuez. Para su vent chocolates rellenos a repostería se fabrican una. La empleada anot 1. En una tienda de 6 chocolates cada de tas tos bolsi cuán y en ca ron la empleada los colo cuántas bolsitas se arma chocolates se hicieron, tos cuán días los s todo chocolates sobraron. a: aciones de la emplead Completen las anot s que Cantidad de bolsitas s Cantidad de chocolate elaborados Cantidad de chocolate sobraron 25 18 28 30 31 32 34 Eje temático: SN y PA 35 En los siguientes días n 20 y 27. las cant s elaborados fuero idades de chocolate Apartado 2.4 Plan 1/2 a) ¿Es posible usar los datos de la tabla para encontrar la cant cantidad de chocolate idad de bolsitas y la s que sobraron sin nece sidad de realizar nuev cálculos? amente los . ¿Cómo? . . b) ¿Cuál es el máx imo ¿Por qué? de chocolates que puede sobrar? . . . 18 . 2. La siguiente tabla está incompleta, aver igüen lo que falta y completen los lugares vacíos. Cantidad de chocolate s elaborados Cantidad de bolsitas 6 4 42 Cantidad de chocolate s que sobraron 2 3 0 8 46 5 7 Problema tomado y ajustado de Enseñar aritmética a los más Saiz. Homo Sapiens chicos, autores: Ceci Ediciones. lia Parra e Irma 19 ProblematomadoyajustadodeEnseñar aritmética a los más chicos,autores:CeciliaParraeIrmaSaiz.Homo SapiensEdiciones. Etapadeprueba2008-2009 27 Plan de clase (2/2) Eje temático: SN y PA Apartado 2.4 Significado y uso de las operaciones Multiplicación y división Conocimientos y habilidades: Encontrar las relaciones: D=cxd+r y r<d y utilizarlas para resolver problemas. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen la relación “dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el residuo, siendo éste menor que el divisor, en la resolución de problemas. Consideraciones previas: Es muy probable que en el primer inciso los alumnos resuelvan el problema haciendo uso del algoritmo de la división y determinen un cociente de 12 y un residuo de 2, sin embargo, el cociente que se obtiene no es la respuesta de la pregunta, ya que es necesario considerar una mesa más para poder ubicar a todos los invitados. Probablemente algunos alumnos utilicen otros recursos de cálculo, por ejemplo: pensar 146 como 60 + 60 + 24 + 2, suponiendo que reconocen que 60 y 24 son divisibles por 12. Dado que para cada 60 personas se necesitan 5 mesas, serán necesarias 10 para 120 personas y 2 para los otros 24, obteniendo finalmente 13 como el número necesario de mesas para poder ubicar a todas las personas. El caso anterior se puede aprovechar para analizar por qué una descomposición como 100 + 40 + 6 no es adecuada a la situación planteada, ya que ni 100 ni 40 pueden ser obtenidos como productos de 12 por algún número natural. Los alumnos tienen que seleccionar la descomposición más adecuada según la situación planteada. En el caso del inciso b, donde hay que calcular cuántos lugares hay disponibles, es importante hacer notar que no son necesarias 12 mesas llenas y una con sólo 2 invitados, aunque esta distribución es cómoda para obtener la respuesta. En el caso del inciso c, es probable que surjan 2 tipos de respuestas: en una podrían ser que 28 Matemáticas 5oº establecer que sobran 10 lugares y, por tanto, no es posible distribuir 2 o 1 en cada una de las 13 mesas preparadas; otra podría implicar a 10 personas por mesa y dejar 2 lugares vacíos, resultando un total de 130 personas y no los 146 invitados. Si esto ocurre, en el momento de la socialización, será importante generar una discusión sobre la validez de las respuestas. En el caso del inciso d) es probable que los alumno imaginen la situación de una familia de 4 personas ubicadas en una mesa, mientras 12 mesas más son ocupadas po los 142 invitados restantes. Otra posiblilidad es pensar que en la mesa 13 (agregada) solamente se ocupaban 2 lugares, por lo tanto, se puede imaginar que los 4 integrantes de la familia que ya estaban ubicados pasan a esa mesa. De esta manera quedarían 4 lugares vacíos en las otras mesas, donde se podrán ubicar los 2 que se habían colocado en la mesa número 13. Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: SN y PA Apartado 2.4 Plan 2/2 Salón de fiestas Organizados en pare En un salón de fiesta a) jas resuelvan los sigui s se preparan mesa Si van a concurrir 146 entes problemas: s para 12 comensales en cada una. invitados, ¿cuántas mesas deberán prep ararse? . b) ¿Cuántos invitados más podrán llegar como máximo si se requiere de lugares en las mesa que todos dispongan s preparadas? . c) ¿Los invitados podrían organizarse en las mesa s de tal manera que vacíos en cada una? haya 2 lugares ¿Y podrían organizar se para que quede un lugar vacío? . d) Una familia de 4 perso nas quiere sentarse sola en una mesa, ¿alc las otras mesas para anzarán los lugares los demás invitados? en . Problema tomado y ajustado de Enseñar aritmética a los más Saiz. Homo Sapiens chicos, autores: Ceci Ediciones. lia Parra e Irma 20 ProblematomadoyajustadodeEnseñar aritmética a los más chicos,autores:CeciliaParraeIrmaSaiz.Homo SapiensEdiciones. Etapadeprueba2008-2009 29 Plandeclase(1/2) Eje temático: SN y PA Apartado 2.5 Estimaciónycálculo mental Númerosfraccionarios Conocimientos y habilidades: Elaboraciónderecursosdecálculomentalen relaciónconfracciones. Intenciones didácticas: Quelosalumnoscalculenmentalmentefraccionesdeunnúmeroentero. Consideraciones previas: Parrealizareljuegodeesteplanesnecesario dividiralgrupoendosequiposconelmismo número de integrantes. El profesor necesita recortarlastarjetasconnúmerosdelmaterial recortableNo.1,delapágina71yformarcon ellasdosmazos,unoconlasdecolorrojoy otroconlasazules.Tambiénesnecesarioun tercermazoconlastarjetasdelmaterialrecortableNo.2,delapágina69,lascualescontienenlasinstruccionesdecálculo. Desarrollo: •Se ubican los tres mazos de tarjetas boca abajo, por separado, sobre alguna mesa o elescritorio. •Los2gruposparticipanporturnoatravésde unodesusintegrantes. •El participante en turno saca una carta del mazoconlasinstruccionesyotradelmazo conlosnúmeros,segúnelcolorquecorresponda.Muestraambascartasatodalaclase,porejemplo,“calcular 3 de160”.Debe 4 obtenermentalmenteelresultadosolicitado en ellas, decirlo en un lapso no mayor a 2 minutosyanotarloenelpizarrón.Eltiempo puedevariarsegúnlarapidezconquerealicenlosprimeroscálculos. •Sesugierequeparticipenaproximadamente 5 integrantes de cada equipo. El grupo ganadorseráquienobtengamásresultados correctos sin rebasar el tiempo estipulado. La validez de cada resultado surgirá de la discusióngrupalquesellevarádespuésde que participen los integrantes de ambos equipos. 30 Matemáticas5oº Alsocializarsuresultadocadaparticipantedebe argumentarloycontestarposiblesdudasdelrestodelaclase.Superadoloanteriorseleotorga elpuntocorrespondiente. Tambiénesconvenientereflexionarsobrelacomplejidad de los cálculos y preguntar si todas las tarjetas les ofrecieron igual dificultad. Pueden hacer una lista de los procedimientos que se utilizaronenloscálculosfácilesylosdifíciles,así analizaránladiferenciaentreunosyotroscasos. 1 Porejemplo,para“Calcular de248”,esproba8 blequelosalumnoselaborenrecursosmentales comolamitaddelamitaddelamitad,esdecir, 1 1 248,124,62,31;obien, de240más de 8 8 8,esdecir,30+1=31. Los siguientes problemas pueden plantearse conlaideadepracticarelcálculoestudiado: 1 • ¿A qué corresponde 6 de 60 ladrillos? • ¿Cuánto corresponde a la mitad de la mitad de un depósito que contiene 680 litros de agua? 1 • ¿Cuánto cuesta 8 de pizza si su costo total es de $ 192.00? • Si en total hay 200 lápices verdes, 200 lápices rojos y los 200 lápices azules, ¿qué fracción le corresponde a los lápices azules? •Enunacarrerade1200metrosningunodelos tresparticipantesllegóalameta.Lucascorrió 400,Prisciliano600ySaúl,quiénrecorriómás, únicamente1000metros.¿Quéfraccióndeltotaldelrecorridocubriócadaparticipante? Fecha: Consigna Eje temático: SN y PA Apartado 2.5 Plan 1/2 ero Fracciones de un ent n lo o y luego de otro, segú tas, primero de un grup otra del pos. Tomen dos tarje las instrucciones y la Organicen dos equi debe ser del mazo de po tas tiem un tarje en las de ués, Una Desp indique el profesor. r de la primera tarjeta. dos tarjetas y números, según el colo que se indica en las mazo de tarjetas con talmente el cálculo ban su men escri sor arán realiz profe el tos, le máximo de 2 minu compañeros que seña rá. rón. Cuando todos los a más aciertos gana lo anotarán en el pizar s y el equipo que teng revisarán los resultado respuesta, en grupo Cortesía de la escuela General Andrés Figueroa . Anexo 1 49 21 47 Observaciones posteriores: Etapadeprueba2008-2009 31 Plandeclase(2/2) Eje temático: SN y PA Apartado 2.5 Estimaciónycálculo mental Númerosfraccionarios Conocimientos y habilidades: Elaboraciónderecursosdecálculomentalen relaciónconfracciones. Intenciones didácticas: Quelosalumnosreconstruyanmentalmente unafracciónounenteroutilizandofracciones sencillas(medios,tercios,cuartos,sextos,octavosynovenos). Consideraciones previas: Pararealizareljuegodeesteplanserequiere dividir al grupo en equipos de 4 integrantes cadauno.Cadaequipodebetenerunmazo de64cartasdelmaterialrecortableNo.1. Unavezquelosalumnosestenorganizados, elprofesordebecomentaratodoslosequiposeldesarrolloylasreglasdeljuego: •Sereparten3cartasacadajugadorysecolocan otras 4 en el centro de la mesa, de tal manera que se observen las fracciones representadas. •Cadajugadortratadeformarmentalmente unenteroconunadesuscartasyconunao variascartasdelasqueestánenelcentrode lamesa.Siloforma,laslevantaylascoloca asulado.Sinolopuedeformar,tiraunade suscartasylacolocajuntoalasdelcentro delamesa. •Después de una ronda, cuando ya participaronlos4jugadores,serepartendelmazo 3 cartas más a cada uno. Sólo se agregan cartasalcentrodelamesacuandoseagotentodas. •Se repiten tantas rondas y repartos como sean necesarías, hasta que se terminen las cartasdelmazoylosjugadoressequeden sincartasenlasmanos. •Elganadorseráquienformelamayorcantidaddeenterosyencasodeempategana eljugadorquelohayahechoconelmenor númerodecartas. Unavezrealizadoeljuego,conlaintenciónde que los alumnos analicen las estrategias de 32 Matemáticas5oº cálculoquepudieronhaberelaborado,sepuede proponerunaseriedejugadassimuladascomo lasiguiente: Claudia dice que tiene entre sus cartas una de 1 , y en la mesa hay dos cartas de 1 , una 6 6 de 1 , y dos de 1 . ¿De cuántas maneras puede 3 4 formar un entero? ¿Cuántas cartas como máximo o como mínimo puede levantar para formar un entero? ¿Cuáles son? Parapermitirquelosalumnossiganrealizando cálculosmentalmente,propongalasiguienteactividad: de las siguientes sumas, ¿en cuáles se obtiene un entero? En los casos que no suceda, ¿cuánto sobra o cuánto falta? a) 14 + 12 + 18 + 14 + 12 = b) 19 + 13 + 16 + 19 + 19 + 16 + 13 + 16 = c) 16 + 12 + 13 + 14 + 13 + 16 = d) 19 + 16 + 19 + 13 + 16 = Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: SN y PA Apartado 2.5 Plan 2/2 Formando unos Cortesía de la escuela General Andrés Figueroa . Organizados en equi pos de cuatro integ rantes, formen un maz recortable de las pág o con las cartas del inas 49 y 51. La finalid material ad es jugar a formar cartas y con alguna un entero con una de o varias de las carta sus s que están en el cent instrucciones y regla ro de la mesa. Sigan s que su maestro les las indique. 22 Etapadeprueba2008-2009 33 Plandeclase(1/3) Figuras Eje temático: FEM Apartado 2.6 Cuerpos Conocimientos y habilidades: Construir, armar y representar cuerpos para analizar sus propiedades: número de caras, númerodevértices,númerodearistas. Intenciones didácticas: Quelosalumnosdistingancuáleslaforma y tamaño de la figuras que permiten cubrir cadaunadelascarasdeunprisma(triangular, cuadrangular, rectangular) y de un cilindro y que identifiquen el número de caras, vérticesyaristas. Consideraciones previas: Para realizar la actividad de este plan se sugiereformarparejasyacadaunaproporcionar un envase de cartón o de plástico, cuya forma sea de prisma triangular, prisma cuadrangular,prismasrectangularocilindro.Los envasespuedenserdeproductoscomomedicamentos,golosinas,alimentos,objetosde perfumería,etcétera. Tambiénesnecesariodotaracadaparejade variashojasdediferentecolorysolicitarcon tiempoquelleventijeras,pegamentoeinstrumentosdedibujo. Es probable que los alumnos tiendan a resolver la situación propuesta superponiendo las caras del cuerpo con el papel, es decir, tomandounmoldedecadacara.Siestosucede,puedenteneralgunasdificultadesalrecortarlafigura,superponerlsafigurasobrela caradelcuerpo,lesfaltaráolessobraráalgo depapel.Esconvenientedejaralosalumnos queexplorenytomensuspropiasdecisiones pararesolverlaactividadplanteada. También es posible que algunas parejas mirenelenvaseyrecortenelpapelenfunción de la forma de la cara, sin tener en cuenta susmedidas.Después,alcompararloconlas carasdelenvasedado,puedenrecortarelpapel restante, e incluso reiniciar sus acciones porquelascarasnohanquedadototalmente 34 Matemáticas5oº cubiertas.Eldesafíoqueenfrentanlosalumnos con esta actividad apunta a dos cuestiones diferentes:porunlado,sabercuáleslaformade cadaunadelascarasdelcuerpoy,porotro,su tamaño. Un segundo aspecto relevante de la actividad esanalizarlaspropiedadesdeloscuerpos:número de caras, número de vértices y número de aristas. Por ello, es importante que cuando presentensusestrategiasparaforrarlosenvases cometenlosresultadosdelatablaquellenaron, señalandoyenumerandocadaunodeloselementos.Tambiénesinteresantequeobservenla semejanzadelenvasequelestocóconeldelos demás, así identificarán que cuando tienen la misma forma, pero diferente tamaño, los cuerpostienenelmismonúmerodecaras,vérticesy aristas.Enelcasodelcilindrohayquesubrayar quetienecarasplanasycurvasysusaristasson curvas. Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: FEM Apartado 2.6 Plan 1/3 Forrando cajas con orcionará su profesor del envase que les prop ni falte jas, forren cada cara , es decir, que no sobre ente Organizados en pare ctam perfe irse envase debe cubr un color diferente. El ente: , llenen la tabla sigui papel. Posteriormente Nombre del cuerpo Número. de caras Número. de vértices Número. de aristas 2 Etapadeprueba2008-2009 35 Plandeclase(2/3) Figuras Eje temático: FEM Apartado 2.6 Cuerpos Conocimientos y habilidades: Construir, armar y representar cuerpos para analizar sus propiedades: número de caras, númerodevértices,númerodearistas. Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan un cubo y un prisma cuadrangular a partir del reconocimientodesuspropiedades(númerodecaras, semejanzadelascaras,númerodevérticesy númerodearistas). Consideraciones previas: Para realizar la actividad de la consigna es necesariopresentaralosalumnosdoscuerposgeométricosconstruidosconcartulina,un cubode6cmdearistayunprismadebase cuadradade6x6x9cm.Loscuerpossepuedencolocarsobreelescritorio. En el caso del prisma cuadrangular podrían surgirdistintosdesarrollosplanos,comolossiguientes: La intención de colocar los cuerpos en un lugar alejado de los alumnos es para evitar querecurranalcalcadodelascaras.Sibiense sugierepromoverelusodelosinstrumentos demedida,seanconvencionalesono,esimportantedejarquelosalumnosseanquienes pruebenydescubranquéesnecesariomedir yconquéinstrumento. Esmuyprobablequelosalumnosrecortenlas cuatrocarasunidasylasdosbasesporseparado.Siestoocurre,hayqueintervenirenlos equiposparainvitarlosabuscarotrasformas, detalmaneraquehayamenosladosporpegar,hastaquesurjanlosdesarrollosplanos. Se sugiere que al compartir los cuerpos los equipos los desarmen para que analicen las semejanzas y diferencias de los desarrollos planosutilizados.Porejemplo,enelcasodel cubo, podrían surgir los siguientes desarrollos,loscualesestánformadospor6cuadradosiguales,4formanunatiraylosotrosdos estánunidosdeformadistinta. 36 Matemáticas5oº Terminado el análisis, se pueden pegar en dos cartulinas los distintos desarrollos planos utilizados.Ponganeltítulosiguientealascartulinas: “Desarrollos planos del cubo” y “Desarrollos planos de un prisma cuadrangular”. Fecha: Consigna Eje temático: FEM Apartado 2.6 Plan 2/3 Construyendo cuerpo s Organizados en equi pos construyan los dos cuerpos geométricos sobre el escritorio. Elijan que su profesor pong a un compañero para a que se encargue de de los cuerpos y busq acercarse a cada uno ue la información nece saria para realizar las cartulina y cinta adhe construcciones. Utilic siva. Posteriormente en , llenen la siguiente tabla . Número. de caras Número. de vértices Número. de aristas Cortesía de la escuela General Andrés Figueroa . Nombre del cuerpo 24 Observaciones posteriores: Etapadeprueba2008-2009 37 Plandeclase(3/3) Figuras Eje temático: FEM Apartado 2.6 Cuerpos Conocimientos y habilidades: Construir, armar y representar cuerpos para analizar sus propiedades: número de caras, númerodevértices,númerodearistas. Intenciones didácticas: Que los alumnos completen desarrollos planosdeunprismarectangularconbaseenla identificación y análisis de sus propiedades (número y semejanza de sus caras, número y medidas de sus aristas y número de vértices). Consideraciones previas: Unavezquelasparejasterminendedibujar sudesarrolloplano,sesugierequelorecorten ylopeguenenlopizarrónparaanalizarlos. Lossiguientessonalgunosejemplosdedesarrollosplanosquepuedensurgirenlosequipos, no con todos se puede formar el prisma: 38 Matemáticas5oº Posteriormente se puede preguntar al grupo, ¿es posible armar el prisma con todos los desarrollos planos presentados? Después de realizar un debate con las posibles respuestas, se puedenverificararmandoelprismayrealizando lasmedicionesnecesarias.Esevidenteque,ademásdelanálisisdelaspropiedadesdelcuerpo geométrico,paradibujarlosdesarrollosplanosy paravalidarlosqueestánbienhechos,sepone en juego la imaginación espacial de los alumnos.Unaactividadmásquepermiteutilizaresta habilidad puede generarse con la pregunta siguiente: ¿Con cuáles de estos desarrollos planos se puede armar un dado, de tal manera que los puntos de caras opuestas sumen 7? Dibújenles los puntos faltantes. Fecha: Consigna Eje temático: FEM Apartado 2.6 Plan 3/3 mpleto Desarrollo plano inco 9 cm, aristas deben medir o completo prisma rectangular. Sus erno el desarrollo plan Se desea construir un jas y dibujen en su cuad pare n nice s laterales del cuerpo Orga cm. 7.5 cm y 4.5 representa dos cara jo dibu ente sigui El el prisma. que permita formar deseado. 25 Observaciones posteriores: Etapadeprueba2008-2009 39 Plandeclase(1/1) Ubicaciónespacial Eje temático: FEM Apartado 2.7 Representación Conocimientos y habilidades: Leermapasdezonasurbanasorurales,conocidasodesconocidas. Intenciones didácticas: QuelosalumnosidentifiquenloscódigosutilizadosenelmapadelareddelSistemade TransporteColectivo“Metro”delaCiudadde México y describan e interpreten rutas para trasladarsedeunlugaraotro. Consideraciones previas: En la primera consigna se pretende que los alumnos describan la ruta más conveniente parallegardelaestación“ElRosario”alaestación“Taxqueña”delSistemadeTransporte Colectivo“Metro”delaCiudaddeMéxico.Al socializar la ruta es importante que se analicen y se comparen las opciones y se argumentecuálseconsideralamásconveniente. Algunoscriteriosparaelanálisispuedenserel númerodeestacionesporrecorrer,elnúmerodetransbordosrealizadosolaslongitudes entrelasestaciones.Siesnecesario,hayque incorporar algunas convenciones del mapa enlasdescripcionesdelosalumnos,comoel color,losnúmerosoletrasdelaslíneasyel señalamiento de las estaciones de transbordo,queesdiferentealdelasquenoloson. También se sugiere incluir los puntos cardinales como referencias en las descripciones, como por ejemplo, “Transbordar en la estación Chabacano y avanzar con dirección al sur hasta la estación X”. Paraelcasodelasegundaconsigna,unavez quelosestudiantesescribieronsuruta,sesugiere que algunos de ellos la mencionen al restodelgrupoparaqueintentenidentificar elpuntofinaldelrecorrido.Puedenauxilirse delmapadelareddel“Metro”paradescribir laruta,perosinohaycoincidenciaentrelos alumnos, averiguar si la falla está en la descripción de la ruta o en la interpretación. Es importante promover el uso de los puntos 40 Matemáticas5oº cardinalescomoreferencia,asícomodeloscódigosutilizadosenelmapa. Conlafinalidaddeseguirpracticandolalectura demapas,puedeproponerlassiguientesactividadesrelacionadasconeldelSistemadeTransporteColectivo“Metro”. a)Si una persona viaja de norte a sur por la línea azul y desea bajarse en la penúltima estación, ¿cuál es el nombre de ésta? b)Una persona se sube en la estación Zapata rumbo al norte, transborda en la línea 1 con dirección al oriente y se baja en la onceava estación a partir de donde transbordó. ¿A qué lugar llega? c)¿Cúal es el recorrido más rápido que puede realizar una persona que viaja de la estación Coyuya a la estación Autobuses del Norte? Otrapropuestaparaindagarelespaciogeográficoestrabajarconimágenessatelitalesqueofrecenfotosdelespacioquehabitamos.Paraesto sepuedeconsultarelsitioWebllamadoGoogle Earth,quepermitevisualizarimágenesdelcualquierpuntodelplaneta.Paraello,serecomienda poner el nombre de “Google Earth” en un buscadorybajarelprogramaenformagratuita desdealgunasdelaspáginasqueahíaparecen. Suusopuedeenriquecerlalecturademapas,ya quelosalumnospuedenidentificarlosespacios queconocen,tomarreferenciasparaubicarnuevoslugaresydescribirrutasparallegaraellos. Fecha: Consigna Eje temático: FEM Apartado 2.7 Plan 1/1 Ahora, individualmen te, describe la ruta para trasladarse de la esta que tú elijas y que esté ción “La Paz” a un luga comprendido en el r mapa de la red del lugar de llegada, tus “Metro”. No comente compañeros intentarán s el localizarlo después. Eje temático: FEM Apartado 2.7 Plan 1/1 Viajando en metro La familia Velázquez desea asistir a un parti do de futbol en el esta le sugirieron trasladars dio Azteca. Para llega e a la estación del metr r o Taxqueña y ahí abor microbús con dirección dar el Tren Ligero o un al sur de la ciudad de México. Si la casa de está muy cerca de la la familia Velázquez estación “El Rosario” y deciden trasladars de Transporte Colectivo e inicialmente en el “Metro”, ¿Cuál ruta Sistema les conviene más para Taxqueña? Para realiz llegar a la estación ar la actividad utilic en el mapa de la red anexo 1 de la página del Metro contenido 47. en el Anexo 1 27 26 Observaciones posteriores: 47 Etapadeprueba2008-2009 41 Plandeclase(1/1) Ubicaciónespacial Eje temático: FEM Apartado 2.8 Representación Conocimientos y habilidades: Interpretarmapasderutas. Intenciones didácticas: Quelosalumnosidentifiquenloscódigosutilizadosenunmapavialylosutilicenparadescribirrutasycalculardistanciasrecorridas. Consideraciones previas: Con este plan se pretende que los alumnos identifiquenlasdiferentesrutasparaelrecorridodeLermaaGuadalajara.Laintenciónes que adviertan que la ruta más corta es utilizandolaautopistaocarreteradecuota(señaladacondoblelíneaverde). Otroscódigosutilizadosenestemapayque son necesarios reconocer son los símbolos para representar las capitales, poblaciones y cabeceras municipales, como es el caso de Lerma.Tambiénesimportantequelosalumnos identifiquen los kilómetros que separan a las localidades y los puntos donde se ubican las casetas de cobro. Se sugiere incluir los puntos cardinales como referencias en lasdescripciones,porejemplo:“Tomarlacarretera Toluca-México hacia el poniente y en Tolucadarvueltahaciaelnorteparatomarla autopistaquevaaGuadalajara” 42 Matemáticas5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: FEM Apartado 2.8 Plan 1/1 ¿Por la autopista? a, quiere visitar la a de la ciudad de Toluc 2 de la en Lerma, muy cerc el mapa del anexo La familia Silva que vive os en equipos consulten nizad Orga jara. dala ciudad de Gua : ente estar lo sigui página 45 para cont de la familia Silva? corta para el recorrido ¿cuál sería la ruta más a) Según el mapa, Descríbanla. . o pasarían? ¿Cuál es tas o plazas de cobr b) case autopista, ¿cuántas Si deciden utilizar la da del recorrido? la distancia aproxima Anexo 2 . 28 45 Etapadeprueba2008-2009 43 Plandeclase(1/3) Medida Eje temático: FEM Apartado 2.9 Unidades Conocimientos y habilidades: Realizar conversiones entre los múltiplos y submúltiplosdelmetro,dellitroydelkilogramo. Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan relaciones de equivalenciaentrelasdiferentesunidadesde medidadelongitudyrealicenconversiones. Consideraciones previas: En la consigna 1 es probable que los alumnosnousenlastablasparacontestarlaspreguntas.Porejemplo,parareponderacuántos centímetrosequivaleunmetro,seguramente muchos alumnos dirán que la respuesta es 100sinverlastablas,peronosedescartaque algunosalumnosveanenlatablaqueunmetroequivalea10decímetrosyundecímetro a 10 centímetros, de manera que el cálculo puedeser10x10=100. En la consigna 2 es probable que los alumnosnotenganningunadificultadenllenarla tabla,peroesprobablequetenganmayordificultadconlaspreguntas.Laintenciónesque los alumnos confirmen que cada unidad es 10vecesmayoromenorqueladeallado. En relación a la tercera consigna, es importante ayudar a los alumnos a entender los problemasqueseplantean.Esmuyprobable quelosalumnoscometanerrores,yaqueel significadodelosdecimalesesalgocomplejo. Porejemplo,sepuedeplantearunapreguntacomolasiguiente:¿Qué significa 4.35 hm? Puede invitar a los alumnos a que lean esta cantidad de distintas maneras y ponerlas a consideracióndelosdemásparaversiestán de acuerdo. Algunas respuestas pueden ser: 4 hectómetros más 35 centésimas de hectómetro; 4 hectómetros más 3 décimas de hectómetro más 5 centésimas de hectómetro; 4 hectómetros más 35 metros, etcétera. Es necesario insistir en que la parte decimal se lea en décimos, centésimos o milésimos detalocualunidad,porqueestoesloqueda 44 Matemáticas5oº laposibilidaddeencontrarelsignificadocorrectoalapartedecimal. Elretodeestaactividadconsiste,primero,eninterpretarlacantidad4.35hmparasaberquese tratade4hectómetrosyunafraccióndehectómetro:luego,endeterminarqueesladistancia delaescuelaalapapelería. Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: FEM Apartado 2.9 Plan 1/3 El metro y sus derivad os En el grupo de Valeria y Rodrigo conocen las siguientes relacione longitud. s entre las unidades de UNIDADES DE LONGITUD Múltiplos 10 metros Milímetro (mm) 10 decámetros Equivale a 1 10 1 Centímetro (cm) 10 o 10 mm = 1 cm del decímetro (dm) o 10 cm = 1 dm 1 Decímetro (dm) 10 utilicen estas equivale tiene un kilómetro? del centímetro (cm) del metro (m) o 10 dm ncias y respondan las a) ¿Cuántos dm . b) ¿A cuántos centímet equivalen a 10 ómetro? cm cm? . b) ¿A cuántos dam . c) ¿Cuántos decámetr os equivalen a un hect m . =1m siguientes preguntas: ros equivale un metr o? dam km equivalen 20 km? . 1 c) ¿A cuántos mm cm? es igual 10 de d) ¿A cuántos cm m? es igual 10 de e) ¿A cuántos cm m? es igual 100 de . . 1 . Apartado 2.9 Plan 1/3 Cortesía de la escuela km hm Largo de la tarima dam 29 Perímetro del salón Distancia de la escu ela a la papelería 43 Altura del bote de basu m dm cm mm 435 43 5 s Figueroa. Eje temático: FEM Los niños del grupo regis traron las medidas de distintas cosas e hicie que se muestra a cont ron una tabla como inuación. Analícenla la y respondan lo que se pregunta. la General André General Andrés Figueroa . 1 Cortesía de la escue 10 hectómetros Reunidos en equipos a) ¿Cuántos metros unidad equivalen a la unidades iguales pero les cuenta que 10 mayor a menor, pañeros se dieron las unidades de gunta. ron pre Valeria y sus com ena se ord s que lo an mayor. Los niño la, luego respond inmediatamente completar la tab s. Ayúdenles a faltaron alguna 5 ra Distancia de la escu ela al zoológico a) De las cosas que 435 43 midieron, ¿cuál mide b) En el perímetro del 5 4.35 hm? 0 . salón, ¿cuántos decá c) En el largo de la tarim metros completos cabe n? a, ¿cuántos metros completos caben? . . Kilómetro (km) Unidad Plan 1/3 General Andrés Figueroa Hectómetro (hm) Equivale a: Apartado 2.9 Cortesía de la escuela Unidad Decámetro (dam) Eje temático: FEM Submúltiplos 1 Etapadeprueba2008-2009 45 Plandeclase(2/3) Medida Eje temático: FEM Apartado 2.9 Unidades Conocimientos y habilidades: Realizar conversiones entre los múltiplos y submúltiplosdelmetro,dellitroydelkilogramo. Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan relaciones de equivalenciaentrelasdiferentesunidadesde medida de capacidad y realicen conversiones. Consideraciones previas: Establecer equivalencia entre unidades de medidaesunadelasmayoresdificultadesde los alumnos, por lo que es necesario insistir en el significado de cada una. Por ejemplo, para responder el inciso b, se sugiere, independientemente del procedimiento empleado,advertirque10litrosequivalenaun decalitro, que 10 decalitros equivalen a un hectolitroyque10hectolitrosequivalenaun kilolitro,demaneraqueelcálculopuedeser: 10x10x10=1000. Esimportantequelosalumnoscompartanlos procedimientosqueevidencienlasconversionesentrediferentesunidades.Elproblema3 delasegundaconsignaesunbuenejemplo, ya que se puede determinar que tres vasos derefrescode250mlson750mlyquesi10 mililitros equivalen a un centilitro, se puede dividir750entre10,obteniendoasíelresultadocorrecto,75centilitros. 46 Matemáticas5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: FEM Apartado 2.9 Plan 2/3 El litro y sus derivad os Reunidos en equipos analicen las siguiente s relaciones entre unid Después, respondan ades de capacidad. lo que se pide. UNIDADES DE CAPACIDA D Múltiplos Unidad Decalitro (dal) Hectolitro (hl) Kilolitro (kl) Submúltiplos Equivale a: Unidad 10 Litros Mililitro (ml) 10 Decalitros Centilitro (cl) Decilitro (dl) 10 Hectolitros Equivale a 1 10 1 10 del centilitro (cl) o 10 ml = 1 cl del decilitro (dl) o 10 cl = 1 dl 1 10 del litro (l) o 10 dl = 1 l a) Ordenen de mayor a menor la unidades de capacidad cont ¿Cuál es la mayor y enidas en las tablas. cuál la menor? b) ¿Cuántos litros tiene 1 kilolitro? c) ¿Cuántos centilitros d) ¿Cuántos decalitros e) ¿A cuántos mililitros f) ¿A cuántos mililitros g) ¿A cuántos mililitros equivale h) ¿A cuántos mililitros equivale tiene 1 litro? . tiene 1 hectolitro? . equivale 1 litro? . equivalen 7 decilitros ? 1 10 1 100 de litro? de litro? . . . Eje temático: FEM Apartado 2.9 . General Andrés Figueroa Reunidos en equipos, 2. s problemas: Con un refresco de 600 ml se pueden llena r 3 vasos. Diego va a sus amigos y piensa tener una reunión con que si cada uno se toma 4 vasos de refresco, litros le alcanzaría exac con 6 refrescos de 2 tamente. Si esto es ciert o, ¿cuántas personas reunión? podrían estar en la . Si Diego compra sólo refrescos de 600 ml, ¿cuántos tendría que alcance? comprar para que le . ¿Cuántos refrescos de 2 litros . Con tres vasos de refre . sco de 250 ml, ¿cuá ntos centilitros se tend rían? . General Andrés Figueroa 3. se necesitan para tene r un decalitro de refre sco? Cortesía de la escuela 2 Cortesía de la escuela 1. Plan 2/3 resuelvan los siguiente Etapadeprueba2008-2009 47 Plandeclase(3/3) Medida Eje temático: FEM Unidades Apartado 2.9 Conocimientos y habilidades: Realizar conversiones entre los múltiplos y submúltiplosdelmetro,dellitroydelkilogramo. Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan relaciones de equivalenciaentrelasdiferentesunidadesde medidadepesoyrealicenconversiones. Consideraciones previas: En la primera consigna se espera que los alumnospuedanhacerunaanalogíaentrelas diferentes unidades de medida de peso con las unidades de medida de longitud y capacidad. Por ejemplo, cuando una unidad se nombraconlosprefijosdeca,hectookiloes 10,100o1000vecesmásgrandelaunidad fundamental;cuandosenombranlosprefijos deci,centiomilisehacereferenciaaunidadesdemedida10,100o1000vecesmáspequeñasquelaunidadfundamental. Es importante comentar colectivamente las reglas de agrupamiento con las que se van conformandolosmúltiplosdelgramo.Destacarquépartedelgramorepresentaundeci1 gramo( 1 degramo),uncentigramo( de 10 100 1 gramo)yunmiligramo( degramo). 1000 Para completar las tablas, es probable que tengandificultadesparaubicarelpuntodecimal.Porejemplo,altratardeexpresarenkilogramos1decagramo,talvezanoten10,.10 o1.0.Sisurgenestoserrores,esconveniente plantearpreguntasquellevenalosalumnosa darsecuentaque1decagramoequivalea10 gramosyque10gramoseslacentésimapartedeunkilogramo.Otraformamásgeneral esemplearladivisiónentrepotenciasde10, enestecasoentre100. Puede sugerirse a los alumnos que cuando serealiceunaconversión,analicenotrasposiblesexpresionesequivalentes,porejemplo cuando convierten 34 de kilogramos en 750 gramos, preguntar: ¿de qué otra manera se 48 Matemáticas5oº puede expresar esta misma cantidad? Probablemente observen que en 750 gramos hay 7 hectogramosy5decagramosyloexpresende otramanera.Algunasequivalenciasson: 3 kg= 4 750g, 3 kg=7.5hg, 3 kg=75dag. 4 4 Con respecto a la consigna 2, en el caso de la primerapregunta,sepretendequelosalumnos encuentrenlarelaciónentre 1 kgy50dag. 2 Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: FEM Apartado 2.9 Plan 3/3 El kilogramo y sus derivados Consideren la siguiente información y en equi po realicen lo que • Diez unidades de med ida de peso iguales • Las unidades de med ida Kilogramo (kg) Hectogramo (hg) Con base en esta infor 1 kilogramo 1 decagramo 1 gramo de peso se ordenan Decagramo (dag) mación, completen _______ gramos _______ centigramos Gramo (g) Decigramo (dg) los datos que faltan 1 hectogramo 1 decigramo 1 centigramo Equivale a: 1 kilogramo 1 2 kilogramo _______ decigramos _______ gramos 1 4 3 4 te. inmediatamente may or. de mayor a menor de Equivale a: _______ kilogramos se pide posteriormen equivalen a la unidad la siguiente manera: Centigramo (cg) Miligramo (mg) en las siguientes tabla s: Equivale a: _______ gramos _______ miligramos _______ gramos Equivale a: kilogramo kilogramo _______ gramos _______ gramos Eje temático: FEM Para festejar el día del padre, la familia Sánc hez preparó chiles en tabla muestra la cant nogada. La siguiente idad de ingredientes que utilizaron. Con el luego respondan lo mismo equipo analícen que se pregunta. la y Ingredientes Chiles poblanos Carne molida de res o Carne molida de puerc Pasas kg hg dag dg g mg cg 50 3 500 20 150 1/2 Duraznos 150 75 450 Nueces Crema 4 Plan 3/3 Apartado 2.9 Manzanas 1750 56 10 500 Almendras Ajo picado a) más de en nogada, ¿se utilizó Para hacer los chiles 1 duraznos? de ramo kilog de 2 . ¿Cuántos hectogramos de pasas se utilizaron? 1 2 kilogramo o menos a? ¿Cuál es la diferenci . a. la cantidad de crem de manera diferente unidades para expresar c) Utilicen otra u otras . de tos de carne molida necesitaron? ¿Y cuán s de carne de res se d) ¿Cuántos kilogramo puerco? b) . 5 Etapadeprueba2008-2009 49 Plandeclase(1/3) Análisisdela información Apartado 2.10 Relacionesde proporcionalidad Eje temático: MI Conocimientos y habilidades: Aplicar e identificar (en casos sencillos) un factorconstantedeproporcionalidad. Intenciones didácticas: Dada una relación de proporcionalidad con magnitudesdelamismanaturalezayelfactor constante de proporcionalidad entero y pequeño,quelosalumnosapliquenelfactor paraobtenervaloresfaltantes. Consideraciones previas: Enlaactividaddeestaconsignasepresentan relaciones de proporcionalidad entre magnitudesdelamismanaturaleza.Enlatablaque sepresentason“pesos”yelfactorconstante se presenta en el planteamiento del problema del modo siguiente: “el padre donará el doble de la cantidad que ahorre el hijo”. La intenciónesquelosalumnosapliqueneste factorparaencontrarlosvaloressolicitadosy, enlosplanessiguientes,ademásdeaplicarlo, primero lo identifiquen. En todo el apartado losfactorestendránqueserenterosypequeños. Es posible que para obtener los valores de lasegundacolumna,losestudiantesrealicen sumasenlugardemultiplicar,porejmplo,11 +11,18+18,9+9.Siestoocurre,hayque plantearlapreguntasiguiente: ¿cuál es el número, siempre el mismo, por el que hay que multiplicar los valores de la primera columna para obtener los valores de la segunda columna? Otrapreguntaquepermiteverlaeconomíade aplicarunfactorenlugardehacersumasreiteradases: ¿qué operación harían para llenar la tabla si el papá de Diego le diera el triple o el cuádruple de la cantidad que ahorrara? 50 Matemáticas5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: MI Apartado 2.10 Plan 1/3 El ahorro . el siguiente problema ahorro, para ello le Diego el hábito del re fomentar en su hijo quie o de dinero que pudiera entin Laur r El seño el doble de la cantidad las ría dona le él na s por Diego, calculen propuso que cada sema s cantidades ahorrada tabla aparecen varia ente sigui la En dar. guar nla. pléte com y á donaciones de su pap En equipos resuelvan Donaciones semanales de su papá ($) Ahorros semanales de Diego ($) 11 18 9 24 20 26 ¿Qué relación hay entre hijo? el dinero que aporta aron para encontrar ¿Qué operación realiz el señor Laurentino y el dinero que ahorra su . nda columna los valores de la segu . 6 Etapadeprueba2008-2009 51 Plandeclase(2/3) Análisisdela información Apartado 2.10 Relacionesde proporcionalidad Eje temático: MI Conocimientos y habilidades: Aplicar e identificar (en casos sencillos) un factorconstantedeproporcionalidad. Intenciones didácticas: Dada una relación de proporcionalidad con magnitudesdelamismanaturaleza,quelos alumnos identifiquen y apliquen el factor constante de proporcionalidad (entero y pequeño)paraobtenervaloresfaltantes. Consideraciones previas: A diferencia de la actividad del plan anterior, en ésta no se da el factor constante de proporcionalidad,losestudiantestienenque identificarloydespuésaplicarloparaobtener losvaloressolicitados. Se espera que los alumnos infieran que: “la medida de un lado de la copia = medida del lado correspondiente de la figura originalmultiplicadapor4”.Porlotanto,elfactor constante de proporcionalidad, que se multiplica con cada medida de la figura original paraencontrarlasmedidasdelosladosdela copia,es4. Laherramientaquepermiteordenarlosdatos y averiguar mejor la relación entre las cantidadescorrespondientesesunatabla,lacual puedesugerirsealosestudiantes. Medidasdelos ladosdelafigura original(mm) 9 11 Medidasdelos ladosdelacopia (mm) 44 14 26 32 35 Es probable que los alumnos encuentren la diferencia entre 44 mm y 11 mm, únicas 52 Matemáticas5oº medidas conocidas de lados correspondientes, y que sumen este valor (33 mm) a los demás ladosdelafiguraoriginalparaobtenerlasmedidassolicitadas.Siestosucede,eldocentepuede pedirquetracenlacopiayqueobservencómo sedeformalafiguraoriginal. Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: MI Apartado 2.10 Plan 2/3 Factor constante En equipos resuelvan el problema siguiente y respondan las preg untas que se presentan . Se quiere reproducir a escala el siguiente dibujo, de tal manera mm en el dibujo origin que el lado que mide al, mida 44 mm en la 11 copia. Encuentren las lados de la copia. medidas de los dem ás 26 mm 14 mm 35 mm 32 mm 11 mm ¿Qué relación existe entre las medidas de la copia y las de la fi gura original? . ¿Qué operación realiz aron para encontrar las medidas de los lado s de la copia? . 7 Etapadeprueba2008-2009 53 Plandeclase(3/3) Análisisdela información Apartado 2.10 Relacionesde proporcionalidad Eje temático: MI Conocimientos y habilidades: Aplicar e identificar (en casos sencillos) un factorconstantedeproporcionalidad. Intenciones didácticas: Dadosenunatabladosconjuntosdevalores que representan una relación de proporcionalidad,quelosalumnosidentifiquenelfactor constante de proporcionalidad (entero y pequeño). Consideraciones previas: La actividad propone que los alumnos analicen la relación entre cada par de valores y aprecien que es la misma. Se pretende que averigüencuáleselfactorconstantequepermiteobtenerlosvaloresdelacolumnadela derechaapartirdelosvalorescolumnadela izquierda.Elfactorbuscadoenlaprimeratablaes5,enlatabla2esel8yenlatercera el12. Unavezidentificadoelfactorconstanteydespuésdehabercomprobadosuvalidez,puede concluirsequeestaesunapropiedaddeuna relacióndeproporcionalidaddirecta.También se puede afirmar que cada tabla representa una relación de proporcionalidad entre dos conjuntosdevaloresyalnúmeroencontrado se le llama factor constante de proporcionalidad. 54 Matemáticas5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: MI Plan 3/3 Apartado 2.10 nalidad Tablas de proporcio cada las dos columnas en entre los valores de te la relación que hay s multiplicar por los Analiza individualmen o número que debe la columna de caso cuál es el mism de res cada en valo a los rmin ner tabla. Dete ese modo, obte de la izquierda y, de valores de la columna . abajo de cada tabla la derecha. Escríbelo 3 2 1 6 30 9 45 10 10 50 12 60 136 15 120 5 40 12 9 96 72 7 84 15 180 8 96 3 36 11 132 Cortesía de la escuela General Andrés Figueroa . 2 17 8 Etapadeprueba2008-2009 55 Plandeclase(1/3) Análisisdela información Apartado 2.11 Relacionesde proporcionalidad Eje temático: MI Conocimientos y habilidades: Compararrazonesencasossimples. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen determinar si una razón del tipo (porcadan,m)esmayoromenorqueotra sinnecesidadderealizarcálculosnuméricos. Consideraciones previas: Esprobablequelosestudiantesrealicenoperacionesparadarrespuestaalosproblemas, sin embargo, la intención es resolverlos sin hacer cálculos numéricos, ya que no son indispensables. En el primer problema se espera que los alumnosdeterminenfácilmentecuálpaquete depanesmásbarato,pueselquetienemás panescuestamenos. El segundo problema es muy semejante al anterior.Enélserequiereadvertirqueenun lugar la caja contiene más colores y es más barata. Paraelterceroseríainteresantequelosalumnoslograranidentificarquelascantidadesde galletas no son proporcionales a los costos, yaquesiasífueraelpaqueteBdeberíatener 9galletas,perocomotienemenos,entonces convienecomprarelpaqueteA. Elcuartoproblemaesdeunamayorcomplejidadquelosanteriores.Enelplanteamiento de este problema aparece un distractor, representadoporelnúmerodenaranjas,queno tienen influencia en el resultado del mismo, yaqueelcostodelproductoesporkiloyno por cantidad de naranjas. En conclusión, la cantidaddenaranjasdependedeltamaño. 56 Matemáticas5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: MI Apartado 2.11 Plan 1/3 ¿Cuál es el mejor pre cio? Organizados en equi pos resuelvan los sigui entes problemas sin Argumenten sus respu realizar operaciones. estas. 1. El paquete A tiene 5 panes y cuesta $15.0 0, el paquete B tiene ¿En qué paquete es 6 panes y cuesta $12.0 más barato el pan? 0. . 2. 3. 4. En la papelería una caja con 15 colores cuesta $30.00 y en la una caja con 12 colo cooperativa de la escu res de la misma calid ela ad cuesta $36.00. ¿En comprar los colores? qué lugar es preferible . El paquete de galle tas A cuesta $6.00 y contiene 18 piezas. B contiene 6 galletas El paquete y cuesta $3.00. ¿Qué paquete conviene com prar? . En el mercado el kilog ramo de naranjas, que son nueve en total, huerta de Don José cuesta $10.00. En la 8 naranjas llega a pesa r un kilogramo y cues conviene comprar las tan $8.00. ¿En dónd naranjas? e . 9 Etapadeprueba2008-2009 57 Plandeclase(2/3) Análisisdela información Apartado 2.11 Relacionesde proporcionalidad Eje temático: MI Conocimientos y habilidades: Compararrazonesencasossimples. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas de comparación de razones igualando un términoenlasdos,duplicandootriplicandolos términosdeunadeellas. Consideraciones previas: Ambos problemas se pueden resolver transformandounarazónenotraequivalente,pero ésta que tener un término igual que la otra razón. Enelproblemaseesperaquelosestudiantes sedencuentaqueaunanaranjadaAcon6 vasos de agua le corresponden 4 vasos de jugo.Además,sialanaranjadaBleagregan lamismacantidaddeagualecorresponderán 3 vasos de jugo, por lo tabto la naranjada A contieneysabemásanaranja. Enelsegundoproblemahaydosposibilidades para obtener la solución. La primera implica duplicarlascantidadesdepinturadelarecámarayentoncescalcularquea4litrosdepinturablancalecorresponden6deazul.Lasegundaestrategiaesquecalculenlamitadde las cantidades de pintura de la fachada, con estopodránadvertirquea2litrosdepintura blancalecorresponden4deazul.Enambos casosresultaquelapinturadelafachadaes detonomásazul. 58 Matemáticas5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: MI Apartado 2.11 Plan 2/3 centrado? ¿Dónde está más con entes problemas. do. 2 de jugo concentra s de agua por cada vaso 3 ¿Cuál njada A con por cada 3 de jugo. Se preparó una nara a B con 6 vasos de agua njad nara una aró Además, se prep sabe más a naranja? . pos resuelvan los sigui Organizados en equi 1. 2. pintura blanca y 8 litros se mezclan 4 litros de de la casa de Juan blanca y 3 litros de Para pintar la fachada lan 2 litros de pintura mezc se mara recá r una r azul? de color azul. Para pinta fuerte el tono de colo dos mezclas es más las de cuál ¿En pintura azul. . 40 Etapadeprueba2008-2009 59 Plandeclase(3/3) Análisisdela información Apartado 2.11 Relacionesde proporcionalidad Eje temático: MI Conocimientos y habilidades: Compararrazonesencasossimples. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas de comparaciónderazonesapartirdeobtenerel valorunitarioenambas. Consideraciones previas: Ahorasetratadeobtenerlosvaloresunitarios parapoderdeterminarquérazónesmayor. Enelproblema1seesperaquelosalumnos determinenqueenelprimerpuestoofrecen1 regaloporcada5puntos,mientrasqueenel segundoofrecen1regaloporcada4puntos, porlotanto,convieneparticipardondesolamente es necesario acumular cuatro puntos porcadaregalo. Enelproblema2semencionan2juegosen los que regalan 1 boleto por cada 3 que se compren.Lapromociónessemejanteenambosjuegos. 60 Matemáticas5oº Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: MI Apartado 2.11 Plan 3/3 Promociones Organizados en equi 1. 2. pos resuelvan los sigui entes problemas. En la ciudad donde vive Carlos se instaló una feria con muchos de ellos está la prom puestos, en uno oción de ganar 2 rega los acumulando 10 punt 3 regalos por cada 12 os. En otro dan puntos. ¿En cuál de los dos puestos la prom oción es mejor? . En la feria se anunciaro n más promociones. En los caballitos, por comprados se regalan cada 6 boletos 2 más. En las sillas vola doras, por cada 9 bole regalan 3. ¿En qué jueg tos comprados se o se puede subir grati s más veces? . 41 Etapadeprueba2008-2009 61 Plandeclase(1/2) Eje temático: MI Apartado 2.12 Representacióndela información Diagramasytablas Conocimientos y habilidades: Buscaryorganizarinformaciónsobremagnitudescontinuas. Intenciones didácticas: Que los alumnos organicen información de magnitudes continuas en una tabla de frecuencias,utilizandointervalos,yrespondana preguntasrelacionadasconsucontenido. Consideraciones previas: Es importante asegurar que todos los alumnos comprendan la información, por ejemplo, el significado de la frase siguiente: “Se hadescubiertoquesicarganmásdel10%de supesocorporalpuedentenerproblemasde salud”Hayqueadvertirque10%significala décima parte de una cantidad, en este caso delpesocorporal,porlotanto,paraobtenerlo sepuededividirentre10.Enelcontextodel problema,significaquesicarganmásdeuna décimapartedelpesodesucuerpopueden tenerproblemasdesalud. Si fuera necesario, muestre algún ejemplo comoelsiguiente: Si un niño pesa 64 kg, el 10% de su peso es 64kg . 10 Esnecesariointerpretarcadadatodelatabla, porejmplo,losporcentajesquerepresentael pesodelamochilaconrespectoalpesocorporaldecadaalumno.Elnúmero11.3representael11.3%. Una manera de organizar la información y contestar más fácil las preguntas que se hacen,esorganizarlosdatosdemenoramayor, luegoelaborarunatabladefrecuenciascomo semuestraenseguida: 62 Matemáticas5oº Intervalos(%) Frecuencia 5a6 6a7 7a8 8a9 9a10 10a11 11a12 12a13 13a14 4 3 8 2 4 3 2 2 2 30 Total Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Plan 1/2 Apartado 2.12 Eje temático: MI ar la mochila Lo que puede ocasion riormente contesten ente información. Poste pos analicen la sigui Organizados en equi se pide. lo que niños peso que cargan los nte es el efecto del oral pueden ha estudiado últimame 10% de su peso corp del Un problema que se más an carg si descubierto que en sus mochilas. Se ha la columna. salud, por ejemplo de tener problemas de cargan más del 10% r cuántos niños del salón igua aver y pesó to grado, para . Cada alumno se pesó En un grupo de quin a una báscula a la clase llevó stro mae el la mochila respecto de senta el peso de su peso corporal, repre (%) je enta ntró qué porc s: su mochila; luego enco nidos son los siguiente obte s tado resul Los su peso corporal. 9.1, 5.6 7.5 9.3 7.8 7.4 11.3 13.2 8.8 10.2 8.1 5.2 6.3 5.8 7.9 7.3 6.8 10.8 9.2 13.4 12.5 12.6 5.7 9.8 10.5 6.4 an entre 6% y 7% de a) ¿Cuántos alumnos carg b) ¿Cuál es el porcenta c) ¿Entre qué porcenta d) De los 30 alumnos, ¿cuá je más bajo? ¿Y cuál su peso corporal? . es el más alto? . jes está la mayoría de los alumnos? . . ntos ponen en riesgo su salud? . Cortesía de la escuela General Andrés Figueroa 7.3 7.9 7.5 11.3 42 Etapadeprueba2008-2009 63 Plandeclase(2/2) Eje temático: MI Representacióndela información Diagramasytablas Apartado 2.12 Conocimientos y habilidades: Buscaryorganizarinformaciónsobremagnitudescontinuas. Intenciones didácticas: Que los alumnos investiguen información sobre magnitudes continuas, la organicen y respondan preguntas relacionadas con su contenido. Consideraciones previas: Parallevaracaboestainvestigaciónesnecesarioqueenelgruposediscutalaestrategia pararecabarlainformaciónylaformadeorganizarla. Para recabar la información, es posible que losalumnosdecidanquecadaunorealicede tarea las mediciones personales y después concentrar las de todo el grupo. Otra forma esquelasmedicionesserealicenenelsalón y los resultados registren en el pizarrón. En casodequeoptenporlasegundaopción,es necesariotenerunabascula. Unatablacomolasiguientepuedeservirpara registrarlosresultados: Pesodel alumno(a) Peso dela mochila 64kg 7.4kg 58kg 4.8kg Casosquecargan másdel10%de supesocorporal x Una vez registrados todos los resultados de lasmedicionescorporalesydelasmochilas, se sugiere que los equipos realicen las operacionesnecesariasparaidentificarloscasos enqueelpesodelamochilasuperael10%. Después,enplenaria,convienerevisarsilos resultadoscoincidenysiesnecesarioverificar posibleserrores. 64 Matemáticas5oº Resuelto el problema de la consigna, pueden plantarseotraspreguntas,comolasdelplananterior,conlafinalidaddequelosalumnosregistrenenunatabladefrecuenciaslosresultados, utilizandointervalos. Observaciones posteriores: Fecha: Consigna Eje temático: MI Apartado 2.12 Plan 2/2 ¿Cuántos están en riesgo? Cortesía de la escuela General Andrés Figueroa . Organicen equipos para la siguiente activ idad. Realicen una inves para saber cuántos tigación en su grupo compañeros ponen en riesgo su salud por superior al 10% de su cargar mochilas con cuerpo. un peso 4 Etapadeprueba2008-2009 65 Notas 66 Matemáticas 5o Matemáticas 5. Secuencias didácticas. Bloque 2. Quinto grado. Educación básica. Primaria. Etapa de prueba 2008-2009. Se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de los Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de con domicilio en el mes de ??????? de 2008. El tiraje fue de 28 000 ejemplares. 69 71