Download matemáticas 3º eso - Mauricio Contreras

2.
Medidas
Matemáticas 3º ESO
36
1.
Medida de magnitudes
2.
Teorema de Pitágoras
3.
Números irracionales
Medidas
1. Medida de magnitudes

UNIDADES DE LONGITUD
La unidad fundamental de longitud es el metro. En la siguiente tabla se representan las principales
unidades de longitud.
NOMBRE
SÍMBOLO
EQUIVALENCIA
kilómetro
km
10 3 m
hectómetro
hm
10 2 m
decámetro
dam
10 m
metro
m
1
decímetro
dm
10 1 m
centímetro
cm
10 2 m
milímetro
mm
10 3 m
m
Existen, además, múltiplos y divisores, con los siguientes prefijos, símbolos y significados:
PREFIJO
SÍMBOLO
FACTOR
PREFIJO
SÍMBOLO
FACTOR
exa
E
1018
deci
d
10 1
peta
P
1015
centi
c
10 2
tera
T
1012
mili
m
10 3
giga
G
10 9
micro

10 6
mega
M
10 6
nano
n
10 9
kilo
k
10 3
pico
p
10 12
hecto
h
10 2
femto
f
10 15
deca
da
101
atto
a
10 18
Expresa las siguientes medidas en las unidades que se indican:
 Diámetro de la Tierra = 12756’776 km, en dam.
 Estatura de una persona = 1750 mm, en m.
 Longitud de un DIN A4 = 0’297 m, en cm.
 Un año luz = 9460528400000 km, en Tm.
 Altura de la torre Eiffel = 320755 mm, en hm.
 Longitud de una bacteria = 0’000005 m, en m.
 Distancia del Sol al centro de la Galaxia = 30000 años luz, en Em.
37
Matemáticas 3º ESO

UNIDADES DE MASA
La unidad fundamental de masa es el kilogramo. En la siguiente tabla están las unidades más
importantes:
NOMBRE
SÍMBOLO
EQUIVALENCIA
kilogramo
kg
10 3 g
hectogramo
hg
10 2 g
decagramo
dag
10 g
gramo
g
1 g
decigramo
dg
10 1 g
centigramo
cg
10 2 g
miligramo
mg
10 3 g
Otra unidad de masa muy frecuente es la tonelada (t) que equivale a 1000 kg.
Expresa las siguientes medidas de masa en las unidades que se indican:
 Un vagón de mercancías = 25 toneladas, en g.
 Un tomate = 150000000000 ng, en kg.
 Masa de la Tierra = 5974200000 Eg, en toneladas.
 Masa de un gato = 2500000000000000 pg, en kg.

UNIDADES DE SUPERFICIE
La unidad de superficie es el metro cuadrado que es la superficie de un cuadrado de un metro de
lado. Las unidades de superficie más utilizadas son las siguientes:
NOMBRE
SÍMBOLO
kilómetro cuadrado
km
hectómetro cuadrado
hm
decámetro cuadrado
dam
metro cuadrado
m
decímetro cuadrado
dm
centímetro cuadrado
cm
milímetro cuadrado
mm
EQUIVALENCIA
2
10 6 m
2
2
10 4 m
2
10 2 m
2
2
2
1 m
2
2
10 2 m
2
2
10 4 m
2
2
10 6 m
2
Las unidades para medir superficies de terrenos se llaman unidades agrarias y son las siguientes:
1 hectárea (ha) = 1 hm
38
2
1 área (a) = 1dam
2
1 centiárea (ca) = 1 m
2
Medidas
Expresa las siguientes medidas de superficie en las unidades que se indican:
2
2
 Superficie de una habitación = 0’0012 hm , en m .
2
 Superficie de la provincia de Soria = 1028700 ha, en km .
2
2
 Superficie de un DIN A4 = 62370 mm , en dm .
2
2
 Superficie de una mesa de despacho = 0’0000015 km , en m .
2
2
 Superficie de la cara de una moneda de 2 euros = 471000000 m , en cm .

ZONA VERDE
Las siguientes figuras representan terrenos factibles de ser destinados a zona verde por un
determinado municipio. Por condiciones presupuestarias, sólo uno ellos será acondicionado para este
fin. Averigua la superficie de cada terreno en hectáreas. Si se pretende elegir la máxima superficie de
zona verde, ¿cuál será el terreno elegido?.
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Matemáticas 3º ESO

UNIDADES DE VOLUMEN Y DE CAPACIDAD
La unidad de volumen es el metro cúbico que es el volumen de un cubo de un metro de lado. Las
unidades de volumen más utilizadas son las siguientes:
NOMBRE
SÍMBOLO
EQUIVALENCIA
3
10 9 m
3
3
10 6 m
3
10 3 m
3
kilómetro cúbico
km
hectómetro cúbico
hm
decámetro cúbico
dam
metro cúbico
m
decímetro cúbico
dm
centímetro cúbico
cm
milímetro cúbico
mm
3
3
1 m
3
3
10 3 m
3
3
10 6 m
3
3
10 9 m
3
Al volumen ocupado por un líquido se le llama capacidad. En realidad las magnitudes capacidad y
volumen son idénticas. La unidad principal de capacidad es el litro, que representa un volumen
equivalente al de un decímetro cúbico. Las unidades que se pueden formar a partir del litro son las
siguientes:
NOMBRE
SÍMBOLO
EQUIVALENCIA
kilolitro
kl
10 3 l = 1 m
hectolitro
hl
10 2 l
decalitro
dal
10 l
litro
l
1 l = 1 dm
decilitro
dl
10 1 l
cienlitro
cl
10 2 l
mililitro
ml
10 3 l = 1 cm
3
3
3
Expresa las siguientes medidas en las unidades que se indican:
3
3
 Volumen de sangre de un hombre = 5000 cm y de una mujer = 4500 cm , en l.
3
 Volumen del depósito de gasolina de un coche = 0’5 hl, en dm .
3
3
 Volumen terrestre = 1083’26 Em , en m .
3
 Volumen de la Luna = 0’020254 volúmenes terrestres, en hm .
3
 Volumen del Sol = 1301200 volúmenes terrestres, en km .
3
 Volumen de aire en los pulmones = 4760000 mm , en l.
3
3
 Volumen de un barril de petróleo = 0’000163654 dam , en dm .
3
3
 Volumen de agua salada en la Tierra = 1’2856 Mm , en m .
3
3
 Volumen de la pirámide de Keops = 0’0025 Km , en m .
40
Medidas

SISTEMA ANGLOSAJÓN
Por razones de tradición es corriente utilizar en tecnología el sistema inglés de pesas y medidas,
cuyas unidades y equivalencia con el sistema internacional se muestran en la siguiente tabla:
UNIDADES DE LONGITUD
1 pulgada (in) = 2’54 centímetros
1 pie (ft) = 12 pulgadas = 30’48 centímetros
1 yarda (yd) = 3 pies = 36 pulgadas = 91’44 centímetros
1 milla (mi) = 1760 yardas = 528 pies = 1’61 kilómetros
UNIDADES DE MASA
1 onza (oz) = 28’35 gramos
1 libra (lb) = 16 onzas = 453’6 gramos
1 quintal (cwt) = 100 libras = 45’36 kilogramos
1 tonelada (T) = 2000 libras = 907’2 kilogramos
UNIDADES DE CAPACIDAD (para líquidos)
1 onza fluida (fl oz) = 29’56 centímetros cúbicos
1 pinta (pt) = 16 onzas fluidas = 0’473 litros
1 cuarto (qt) = 2 pintas = 0’946 litros
1 galón (gal) = 4 cuartos = 3’78 litros
1 barril = 31’5 galones = 119’2 litros
1) En el manual técnico de un coche de importación se indica que el consumo del motor es
1
3 galones cada 100 millas. Expresa dicho consumo en litros cada 100 km.
2
2) La densidad de la piedra caliza es 168 libras por pie cúbico. Expresa dicha densidad en gramos
por centímetro cúbico. Ten en cuenta que DENSIDAD = MASA / VOLUMEN.
3) El manómetro indica la presión de 20 libras por pulgada cuadrada. Traduce esa expresión a
kilogramos por centímetro cuadrado. Tradúcela también a milímetros de mercurio y atmósferas.
2
(760 mm de mercurio = 1 atmósfera = 1033’23 g/cm ).
41
Matemáticas 3º ESO

MANEJO DE DISTINTOS SISTEMAS DE UNIDADES
1) La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. ¿Cuál es la velocidad del sonido en km/h ?.
2) El sonido recorre 340 metros por segundo. Durante una tormenta se ha visto un rayo y 13
segundos después se escucha el trueno. ¿A cuántas millas cayó el rayo?. (1 milla = 1’61 km).
2. Teorema de Pitágoras

TRIÁNGULOS
1) Indica si es posible que los ángulos de un triángulo midan: a) 35º, 83º y 54º;
c) 32º, 77º y 71º.
b) 30º, 80º y 75º;
2) Indica si es posible que los lados de un triángulo midan: a) 4 cm, 7 cm y 5 cm; b) 2 cm, 5 cm y 8
cm; c) 5 cm, 5 cm y 1 cm; d) 1 cm, 1cm y 5 cm.
3) Determina la medida del ángulo x en los triángulos de la siguiente figura:
Recuerda:
1) La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180º
2) Un lado de un triángulo debe ser menor que la suma de los
otros dos y mayor que su diferencia.
42
Medidas

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1) Halla los ángulos desconocidos de los triángulos rectángulos de la siguiente figura:
2) Con ayuda de material apropiado (regla, compás, escuadra, cartabón), dibuja los siguientes
triángulos y, midiendo con una regla graduada, halla los lados desconocidos:
3) Dibuja los siguientes triángulos con regla y compás. ¿Cuáles de ellos son triángulos rectángulos?.
a) a = 5, b = 4, c = 6
b) a = 0’5, b = 1’2, c = 1’3
c) a = 1, b = 2, c = 3.
Un triángulo rectángulo es aquél que tiene un ángulo recto (es decir, de 90º).
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, es decir, su suma
vale 90º.
Los lados menores de un triángulo rectángulo son perpendiculares entre sí y se llaman
catetos. El lado mayor de un triángulo rectángulo, que se opone al ángulo recto, se llama
hipotenusa.

SEMICIRCUNFERENCIA
En la semicircunferencia de la siguiente figura, se han dibujado varios triángulos inscritos. Comprueba
con el transportador de ángulos que todos ellos son rectángulos, teniendo por hipotenusa el diámetro
de la semicircunferencia.
43
Matemáticas 3º ESO

CIRCUNCENTRO
Llamamos circunferencia circunscrita a un triángulo a aquella que pasa por los tres vértices del
triángulo. ¿Cómo puedes dibujar la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo?.
La mediatriz de un segmento es la perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. En
un triángulo cualquiera se puede demostrar que las mediatrices de los tres lados se cortan en un
punto, llamado circuncentro. ¿Qué puedes decir del circuncentro de un triángulo rectángulo?.

UN EXTRAÑO RELOJ DE ARENA
Observa la siguiente figura construida con piezas de acetato transparente:
1) Coloca este instrumento de forma que se rellene de arena la caja grande, A, y queden vacías las
cajas B y C. A continuación, da la vuelta al aparato, de forma que se vacie el contenido de A
sobre las cajas B y C. ¿Se completan dichas cajas con el contenido de la caja A?. ¿Qué
conclusión obtienes?.
44
Medidas
2) Con corcho de un grosor considerable, construye las tres piezas anteriores, de forma sólida.
Sitúalas en una balanza, tal como muestra la siguiente figura. ¿Se equilibra la balanza?. ¿Qué
puedes deducir de esta experiencia?.

TRAMAS DE PUNTOS
En cada una de las figuras que siguen haya el área de los cuadrados construidos sobre los lados del
triángulo. Compara dichas áreas. ¿Observas algo interesante?.
El triángulo ABC es rectángulo y en él se cumple que:
45
Matemáticas 3º ESO
Es decir: La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados menores es
igual al área del cuadrado construido sobre el lado mayor.
Esto no ocurre en los triángulos que no son rectángulos.
Este otro triángulo es obtusángulo.
La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados pequeños es menor que
el área del cuadrado construido sobre el lado mayor.
Este triángulo es acutángulo.
La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados pequeños es mayor que
el área del cuadrado construido sobre el lado mayor.
1) Para averiguar si el triángulo de lados 7 cm, 8 cm y 10 cm es rectángulo, acutángulo u
obtusángulo sin necesidad de construirlo, procede del siguiente modo:

7 2  8 2  49  64  113
 Compara y decide. Después, constrúyelo y comprueba.
2

10  100

2) Averigua si el triángulo de lados 5, 12 y 13 es rectángulo, acutángulo u obtusángulo.
3) Haz lo mismo con el triángulo de lados 6, 8 y 11.
46
Medidas

PUZZLES SOBRE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, los lados menores son los que forman el ángulo recto. Se llaman
catetos. El lado mayor se llama hipotenusa y se opone al ángulo recto.
En la figura, b y c son los catetos, a es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras dice:
2
2
a =b +c
2
Es decir:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los
cuadrados construidos sobre los catetos. Y esto es verdad solamente si el triángulo es
rectángulo.
Para ver que es cierto que ocurre esto siempre que el triángulo sea rectángulo, observa el
siguiente puzzle:
Observa que los dos cuadrados grandes son iguales. Si a cada uno de ellos le suprimimos
cuatro triángulos iguales, de lados a, b y c, queda: a 2 en el primero y b 2  c 2 en el
segundo. Por lo tanto, debe cumplirse que: a 2  b 2  c 2 .
En la siguiente figura se encierra, a modo de tangram, una demostración del teorema de Pitágoras.
Copia la figura y con la ayuda de unas tijeras, recórtala por los trazos discontinuos. Superpón
convenientemente las piezas obtenidas sobre el cuadrado mayor de forma que puedas comprobar el
teorema de Pitágoras.
47
Matemáticas 3º ESO

DEMOSTRACIÓN ALGEBRAICA POR DESCOMPOSICIÓN
Dado un triángulo rectángulo, la clave de la presente demostración está en construir un
rectángulo de lados paralelos a los catetos de la manera que ilustra la siguiente figura:
y en trocear después este rectángulo de modo que todos sus trozos sean cuadrados,
rectángulos y triángulos de áreas conocidas, excepto la del cuadrado de área S que es la
que queremos calcular:
a) ¿Cuál es el área total del rectángulo MNPQ, teniendo en cuenta que sus lados son 2a+b y 2b+a?
b) ¿Cuál es el área pormenorizada del rectángulo MNPQ, considerándolo como suma de áreas de
los distintos fragmentos en que se descompone?.
c) Si igualas los resultados obtenidos en los apartados anteriores y utilizas herramientas
algebraicas, obtendrás una demostración del teorema de Pitágoras. Hazlo.
48
Medidas
La demostración que has obtenido es independiente de la posición y del tamaño.
Es independiente de la posición, porque cualquier movimiento que altere la posición del
triángulo altera de la misma manera la posición del rectángulo que lo recubre:
Es independiente del tamaño, porque el rectángulo recubridor se obtiene mediante
paralelas a los catetos y en cualquier caso el rectángulo puede seccionarse en triángulos
y cuadriláteros del mismo tipo.

EXTENSIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Averigua si se cumple el teorema de Pitágoras en las siguientes figuras. Es decir, investiga si el área
de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras construidas
sobre los catetos.

ITERACIÓN Y ARTE GEOMÉTRICO
Podemos repetir el teorema de Pitágoras hasta el infinito, como se muestra en el siguiente proceso
iterativo:
49
Matemáticas 3º ESO
a)
Si el lado del cuadrado mayor es de 1 dm, ¿sabrías calcular la medida de las cuatro primeras
hipotenusas?
b)
A tenor de los resultados anteriores, ¿puedes predecir sin hacer cálculos, la longitud de la
hipotenusa del séptimo triángulo rectángulo?
c)
¿Cuál sería la fórmula para la hipotenusa de uno cualquiera de los triángulos rectángulos?
d)
¿Cuál es la expresión que nos da la longitud del lado de uno cualquiera de los cuadrados?

DISTINTAS FORMAS DE ITERAR
Observa los siguientes procedimientos iterativos basados en el teorema de Pitágoras. Describe con
todo detalle el proceso que hay que seguir para obtener estas construcciones, dando una lista de
instrucciones o algoritmo que permita su ejecución. Procura que las instrucciones sean lo más claras
y precisas posible.
1) Sobre un triángulo rectángulo isósceles:
2) Sobre un triángulo rectángulo isósceles, tomando siempre la misma orientación:
50
Medidas
3) Sobre un triángulo rectángulo no isósceles, tomando orientaciones alternativas:

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
1) De un triángulo sabemos que es rectángulo y conocemos los dos catetos. Entonces
podemos calcular la hipotenusa:
a 2  b 2  c 2 Conociendo a 2 , se puede calcular a, a que a = b 2  c 2
2) De un triángulo sabemos que es rectángulo y
conocemos la hipotenusa y un cateto. Entonces,
podemos calcular el otro cateto:
a 2  b2  c2  c2  a 2  c2
Conociendo c 2 se puede hallar c, ya que c = a 2  b 2
3) Si de un triángulo conocemos los lados, pero ignoramos si es o no rectángulo,
podemos averiguarlo. Para ello, comprobaremos si el cuadrado del lado mayor es o no
igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.
a) Para sostener un poste de 2 m de alto lo sujetamos con una cuerda situada a 3’5 m de la base
del poste. ¿Cuál es la longitud, l, de la cuerda?.
b) La cuerda de una cometa mide 85 m. Ésta se encuentra volando sobre una caseta que está a 63
m de Lucía. ¿A qué altura sobre el suelo se encuentra la cometa?.
c) ¿Son rectángulos los triángulos de lados: a) 17, 11, 20; b) 10, 24, 26?.
51
Matemáticas 3º ESO

COMPLETA TABLAS
a) Completa la siguiente tabla:
HIPOTENUSA a 13
CATETO b
20
12
CATETO c
12
2
9
12
1
2
1
1
3
b) Completa la siguiente tabla:
a
b
c
8
6
4
13

¿Es rectángulo?
5
Sí
24
7
No
3
1
2
26
24
10
TERNAS PITAGÓRICAS
En una cuerda, mediante nudos, se señalan 12 tramos iguales. Con unas estacas se tensa la
cuerda, de modo que se forme un triángulo de lados 3, 4 y 5. Entonces el triángulo así
obtenido es rectángulo. El trío de números 3, 4 y 5, representado por (3, 4, 5) se llama terna
pitagórica, por cumplir la relación 52  32  4 2 .
El trío de números naturales (b, c, a) con b<c<a, se llama terna pitagórica si cumple la
relación a 2  b 2  c 2 . En tal caso, dichos números son los lados de un triángulo rectángulo.
La terna pitagórica (3, 4, 5) es la más sencilla. A partir de ella se obtienen (6, 8, 10), (30,
40, 50), (15, 20, 25). Otras ternas pitagóricas son:
(5, 12, 13)  25+144=169
(8, 15, 17)  64+225=289
1) Comprueba que 52  12 2  132 . Construye un triángulo de lados 5 cm, 12 cm, 13 cm y comprueba que es
rectángulo.
2) Los números 10, 24, 26 forman una terna pitagórica emparentada con (5, 12, 13) (son el doble). Inventa otra.
3) Comprueba que 8 2  152  17 2 . Construye un triángulo de lados 8 cm, 15 cm y 17 cm y comprueba que es
rectángulo.
4) Construye dos ternas pitagóricas emparentadas con (8, 15, 17).

SEGMENTOS EN UNA TRAMA
Halla la longitud de cada uno de los segmentos dibujados en esta trama cuadrada de puntos:
52
Medidas

PERÍMETROS
Calcula el perímetro de los polígonos dibujados en la siguiente trama cuadrada de puntos:

ORTOEDRO
Esta caja es un ortoedro. Halla su diagonal, BD. Para ello:
a) Dibuja el triángulo rectángulo ABC y halla su hipotenusa AB.
b) Dibuja el triángulo rectángulo ABD y halla su hipotenusa BD.

PASEO DE UNA HORMIGA
Calcula la longitud del recorrido ABCDEF realizado por la hormiga.
53
Matemáticas 3º ESO

TETRAEDRO Y OCTAEDRO
a)
Calcula la altura de un tetraedro de 10 cm de arista.
b)
Calcula la distancia entre los vértices A y B del octaedro de la figura adjunta. Calcula también la
distancia entre los vértices M y N.

CALCULA X
Calcula el valor de x en cada uno de los siguientes polígonos:

UN GLOBO
Un globo cautivo está sujeto al suelo con una cuerda. Ayer, que no había viento, el globo estaba a 50
m de altura. Hoy hace viento, y la vertical del globo se ha alejado 30 m del punto de amarre. ¿A qué
altura está hoy el globo?.

DOS BARCOS
Dos barcos se cruzan en el mar. Uno va hacia el Norte a la velocidad de 45 km/h, y el otro va hacia el
Este a la velocidad de 55 km/h. ¿A qué distancia estará uno del otro, 2 horas y 10 minutos después
de encontrarse?.
54
Medidas

ESCALERA
Una escalera de 3 metros de longitud se apoya sobre una pared, estando su pie a una distancia de 1
metro de la pared. ¿A qué altura de la pared llega?.

CIRCUNFERENCIAS Y CUERDAS
1) Una circunferencia de 5 cm de radio es cortada por una recta, s, que determina una cuerda de 6
cm (AB=6 cm). ¿Cuál es la distancia del centro de la circunferencia a la recta?.
2) Una recta pasa a 5 cm del centro de una circunferencia de 13 cm de radio. ¿Cuál es la longitud
de la cuerda que determina en ella?.

APOTEMA
En un hexágono regular el lado es igual al radio de la circunferencia circunscrita. Calcula la longitud
aproximada de la apotema de un hexágono regular de lado 4 cm.
55
Matemáticas 3º ESO

ROMBO
Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales menor y mayor miden, respectivamente, 10
centímetros y 24 centímetros.

COMETA
Para fabricarte una cometa de las dimensiones indicadas en la siguiente figura, ¿qué medidas le
darías al soporte exterior?. ¿Tendrás suficiente con un listón de 2 metros para construir toda la
estructura?.

CUADRADO INSCRITO
En una circunferencia de radio 50 cm se inscribe un cuadrado ABCD. ¿Cuál es la longitud de AB?. Da
el valor exacto y otro aproximado hasta las décimas.
56
Medidas
3. Números irracionales

NÚMEROS IRRACIONALES
Una fracción se puede expresar siempre como un número decimal. Algunos de estos números
obtenidos a partir de una fracción tienen infinitas cifras decimales que se repiten
periódicamente.
Existen otros números que no proceden de una fracción: por ejemplo, el número , del
que se han dado diferentes aproximaciones en forma de fracción:
Arquímedes (siglo III a. C.):
22
7
Ptolomeo (siglo II d. C.):
Liu-Hui (siglo III d. C.):
Otro número de este mismo tipo es
su lado.
Asimismo, aparece
377
120
355
113
2 , que surge al comparar la diagonal de un cuadrado con
5 , al comparar la diagonal de un pentágono regular con el lado. Más
1 5
.
2
concretamente aparece el número de oro:
Todos los números que no tienen una fracción que los represente de forma exacta son los
llamados números irracionales, en oposición a los otros números decimales que pueden
expresarse en forma de fracción, a los que también se les llama números racionales. La
expresión decimal de un número racional es un decimal exacto o periódico, mientras que la
representación decimal de un número irracional tiene infinitas cifras decimales que no se
repiten formando período.
La mayoría de números irracionales aparece en problemas geométricos, pero para trabajar con
ellos sólo tomaremos algunas cifras, según las necesidades.
Ejemplo.- Vamos a buscar valores cada vez más aproximados del número
hallar un número que al elevarlo al cuadrado nos dé 2.
2 . Se trata de
2
2
Para empezar, sabemos que 1< 2  2 . Probamos con la calculadora cuánto vale 1’1 , 1’2 ,
2
2
2
2
2
1’3 , 1’4 , 1’5 y comprobamos que: 1’4 = 1’96 < 2 y que 1’5 = 2’25 > 2. Por tanto, la 2
está comprendida entre los valores 1’4 y 1’5. Si queremos conseguir otra cifra decimal, ahora
probamos con la calculadora los valores 1’41, 1’42, 1’43, etc.
2
2
Como 1’41 = 1’9881 < 2 y 1’42 =2’0164 > 2, sabemos ya que 2 está comprendido entre
1’41 y 1’42 y no hay que seguir probando con otras centésimas. Para conseguir más cifras
decimales, ahora habría que probar con 1’411, 1’412, etc. Y así sucesivamente.
A los números 1, 1’4, 1’41, etc, se les llama aproximaciones por defecto de
números 2, 1’5, 1’42, etc, aproximaciones por exceso de
2 , y a los
2.
a) Utiliza la calculadora y procede de forma análoga para calcular aproximaciones de 3 y 5 por
defecto y por exceso hasta las milésimas. A partir del valor aproximado obtenido para
1 5
5 aproxima hasta las milésimas el valor del número de oro
.
2
b) Calcula y compara los resultados de las siguientes sumas:
Prueba con otros números y trata de sacar conclusiones.
2 3 y
5;
3 4 y
7.
57
Matemáticas 3º ESO

APROXIMACIONES DE PI
22
355
(Arquímedes) y
(Liu – Hui).
7
113
Compara estos valores con el valor verdadero de  y di cuál es el orden del error cometido.
El número  se ha expresado clásicamente por las fracciones

RAIZ DE QUINCE
Expresa
15 por una sucesión de números decimales:
a) Por defecto. ¿Qué error máximo se comete en cada término?.
b) Por exceso. ¿Qué error máximo se comete en cada término?.

ECUADOR TERRESTRE
Si para calcular el perímetro de una circunferencia del tamaño del ecuador terrestre se utiliza el valor
de  aproximado como 3’14, estima el error que se cometería al no tomar el valor exacto. (El radio de
la Tierra es 6378 km. La longitud de la circunferencia es L=2  r. La diferencia entre  y 3’14 es menor
que 0’005).
58
Medidas

ESFERA DE ORO
Sabiendo que el precio del oro son 1500 ptas/gramo, y la densidad son 19’3. ¿cuál será el diámetro
de una esfera de oro que cueste un millón y medio de pesetas. (El volumen de una esfera viene dado
4
por la fórmula V =   r 3 ). Averigua distintas aproximaciones del diámetro, utilizando como
3
aproximaciones de  los números: 3’14, 3’142 y 2’1416. Da los resultados en cada caso con
aproximaciones hasta las centésimas, las milésimas y las diezmilésimas.
3 V
. Después, para cada
4
valor de , tendrás que hallar aproximaciones del radio r utilizando el método de ensayo y
error.
Para hallar el valor del radio r, primero tendrás que despejar: r 3 
3
Por ejemplo, si queremos calcular x, sabiendo que x =20, procedemos así:
3
3
2 =222=8, 3 =333=27. Luego 2 < x < 3.
3
Probamos x = 2’5  2’5 =15’625. Luego 2’5 < x < 3.
3
Probamos x = 2’7  2’7 =19’683. Luego 2’7 < x < 3.
3
Probamos x = 2’8  2’8 =21’952. Luego 2’7 < x < 2’8
Ahora se puede probar x = 2’75, etc.

RAÍCES CUADRADAS
En tu calculadora dispones de la tecla
con la que puedes hallar la raíz cuadrada de algunos
números. Utilizando dicha función, averigua si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
1)
15 es un número A, tal que A 2  15 .
V
F
2)
15  3'87 .
V
F
3)
15  3'8729833
V
F
4)
 4  2 .
V
F
59
Matemáticas 3º ESO
5)
 4  2 .
V
F
6)
121  11 .
V
F
7) La raíz cuadrada de un número siempre es positiva.
V
F
8) La raíz cuadrada de un número negativo no existe.
V
F
9) Siempre hay dos raíces cuadradas de un número positivo.
V
F
10)
16  25  16  25 .
V
F
11)
25
25
.

16
16
V
F
12)
16  9  16  9
V
F
13)
25  9  25  9 .
V
F
V
F
14)
60
 15
2
 15