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Radicales
Radicales cuadráticos (índice par)
- Los números reales positivos tienen dos raíces cuadradas
- El número 0 tiene una raíz cuadrada igual a 0
- Los números reales negativos no tienen raíz cuadrada
 4 2  16
16  4 , ya que 
2
 4   16
La raíz n-ésima de un número real a es otro
número b (si existe) que elevado a la
potencia n-ésima da como resultado a.
0  0  02  0
4  ?  No tiene raíz ,
ya que todo número al cuadrado es positivo
a  b  bn  a
n
Raíces n  ésimas reales
n par
n impar
a0
Definición de raíz n  ésima a
Sea n un entero positivo mayor que 1 y a un número real.
n
n
a ; a
n
a  0 no hay
n
Radicales cúbicos (índice impar)
- Los números reales positivos tienen una única raíz cúbica positiva
- El número 0 tiene una raíz cúbica igual a 0
- Los números reales negativos tienen una única raíz cúbica negativa
a
 a
3
8  2 , ya que 23  8
3
0  0  03  0
3
8  2 , ya que  2   8
n
1) Si a  0, entonces a  0
n
2) Si a  0, entonces a  b , es el número real positivo b tal que b n  a
n
 Si a  0 y n es impar , entonces a es el número real negativo b tal que b n  a
3) 
n
 Si a  0 y n es par , entonces a no es un número real.
n
Se necesitan números complejos para definir a si a  0 y n es entero positivo par.
n
Si n  2, se escribe a en lugar de a y se denomina raíz cuadrada.
2
Propiedades de los radicales:
n
a  an
2)
n
a b  a  a
3)
n
n
 
 n a n  a , si n a es un número real

n n
 a  a , si n es impar
n n
 a  a , si n es par

n
n
4)
5)
a
a
 n ; b0
b
b
 
n
a
n m
m
a 
am 
n
 am
n
nm
n p
a m p , teorema fundamental
RACIONALIZAR: es convertir una fracción en cuyo denominador aparecen
expresiones con radicales en otras equivalentes cuyo denominador sea
racional.
b
2º caso : n
3º caso :
a

a
bm

b

a
n
a
b c
bm

b
b

6
49  72  3 7 ;
n
n


bn m
bn  m
a
b c

a bn m

b
n
b
c
b
c
 


a

b
c

bc


Descomponer radicales dobles, con sumas y restas, en simples:
Algunos radicales de la forma a  b pueden descomponerse así:
observar que a  2 b  x  y
az
az

; donde z  a 2  b ; 
2
2
 siendo a  x  y ; b  xy
43
43


2
2
7
1
14
2
2



donde z  4  7  3
2
2
2
2
Ejemplo :
4 7 
Ejemplo :
7  4 3  7  4 3  2  3  2  3  4 donde z  72  48  1

6
6
8  x  1  2 x  2
3
REDUCIR RADICALES A ÍNDICE COMÚN: es hallar otras expresiones radicales
equivalentes que tengan el mismo índice (radicales homogéneos), esto se
consigue de la siguiente manera:
- Se halla el m.c.m. de todos los índices (este será el nuevo índice)
- Cada radicando se eleva al cociente del m.c.m. entre cada índice antiguo.
Ejemplo :
3
2a 2 ;
6
3a5 ;
;
7a ; 4 10a3
12
32 a10 ;
12
76 a 6 ;
12
103 a9
a b
b

 2 6 2 6 2 2 12 4 3




2 3

2
2
2
2
 2
5 3
5
5
 14
14
7
14 73 2 343
Ejemplos :  5
 5
5


2
21
3
73
 3 49 3 7

52
3 2 5
 52
4 5
54






11
11
32 5 3 2 5
 3  2 5
a b 
9a 2  3a ;
SACAR FACTORES FUERA DE UNA RAÍZ: es posible cuando el radicando es
una potencia de exponente mayor que el índice de la raíz. Para realizar esto,
dividimos el exponente del radicando entre el índice de la raíz, escribiendo
como exponente del factor que sale el cociente de la división, y como
exponente del radicando el resto de la división.
Radicales homogéneos: aquellos que tienen igual índice.
Radicales semejantes: aquellos que tienen igual índice e igual radicando.
Pueden diferir sólo en el coeficiente que los multiplica.
a
4
 m.c.m.  12  12 24 a8
a
1º caso :
SIMPLIFICAR RADICALES: dividimos índice y exponente por un mismo
número, hasta conseguir un radical irreducible (es decir, cuando índice y
exponente son primos entre sí). El valor de una raíz no varía si se multiplican
o se dividen por un mismo número el exponente del radicando y el índice de
la raíz.
Ejemplos :
1
1)
3
 

PASAR FACTORES DENTRO DE UNA RAÍZ: se realiza multiplicando el
exponente del factor por el índice de la raíz y se escribe dentro del signo
radical como producto.
n
mn
mn
a
Ejemplo :
b  ba
2 x 2  4 x3  4 24 x8 x3  4 16 x11
;
2  a  1
a
a
4a  4

a 1
a
MULTIPLICAR O DIVIDIR RADICALES: es necesario que tengan el mismo índice
(radicales homogéneos), por tanto hay que reducirlos a índice común si no lo
tienen. Se multiplican o dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Ejemplo : 4 3  12 10 : 3 5  16 6
Ejemplo :
3
4
2 3 4 
12
26 
12
34 
12
43 
12
3
212  34  2 3
SUMAR O RESTAR RADICALES: es necesario que tengan el mismo índice y el
mismo radicando (radicales semejantes). Es decir, sólo podemos sumar
radicales idénticos. Dos radicales distintos no pueden sumarse salvo
obteniendo sus expresiones decimales aproximadas. Si no tienen el mismo
índice, debemos reducirlos a índice común. Si no tienen el mismo radicando
aplicamos pasar/sacar factores o simplificar, hasta conseguirlo.
Ejemplo :
Ejemplo :
7 3  5 3  10 3   7  5  10  3  2 3
1
1
10
1

 27 
3  3 3    3 3 
3
3
3
3
3

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