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MATEMÁTICA -
4to. “D”
-
Prof. Sandra Corti
El conjunto de los números reales (R) está formado por el conjunto de los números racionales
(Q) y los números irracionales (I).
DEFINICIÓN RAÍZ ENÉSIMA DE UN NÚMERO
Llamamos raíz enésima de un nro. real a, y lo
simbolizamos √ , a un número b definido de la
siguiente forma:
Si n es par y a>0, √ = b ⇔ bn = a
Ejemplos: √4 = ± 2 (aunque nosotros usaremos solo el resultado positivo) ;√ 4∉ R
Si n es impar, √ = b ⇔bn = a
Ejemplos: √ 8 = +2 ; √ 8 = -2
n ∈ N se llama índice y a se llama radicando.
√ se llama signo radical y los números que lo poseen se llaman radicales.
Propiedades de la radicación:
Propiedad distributiva:
a) La radicación no es distributiva con respecto a la adición y sustracción
≠√ + √
| √
≠√ - √
√
b) La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y división:
| √ : = √ : √
√ . = √ . √
También se puede aplicar la propiedad recíproca de la distributiva:
| √ : √ = √ :
√ . √ = √ .
Ejemplo: √2 . √4 = ………………………………
Raíz de raíz:
√ =
.
√
Ejemplos: 1) √16= ………………..
Potencia de una raíz:
2)
√64= ………………
( √ )m= √
Ejemplos: 1) (√4)3= ……………………
2) (√2. )3 = ………………………
Multiplicación por un mismo número al índice y al exponente del radicando:
Ejemplo: √
.
= √
.
√
=
.
√
.
=√
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES:
Los radicales se simplifican para obtener uno equivalente al dado, solo que más sencillo. Para hacerlo
se divide índice y exponente por un mismo número.
Ejemplos: √ = x3
√ =√
Actividades:
1) Halla las siguientes raíces:
a) √16= …………
b)
√ 1 = …………..
c) √
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= …………..
d) √ = ………….
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2) Simplifica estas expresiones:
a) √25 !" = …………………
d) √5%#
&=
b) √64
e) '
………………….
#
( )
$"
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c) √2 = ……………….
= …………………..
f) √256 = ……………...
+
= ………………………...
&#*
EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DE LOS RADICALES (OTRA FORMA DE SIMPLIFICAR)
Cuando el exponente del radicando es mayor o igual que el índice, se puede simplificar el radical
extrayendo factores.
Como no se puede simplificar dividiendo exponente e índice por un mismo número, se descompone el radicando en un producto de potencias de igual base de modo que el exponente de una de ellas
sea múltiplo del índice y el otro exponente menor.
Ejemplo: √ , =√ . = √ . √ = a2 .√
Actividades:
3) Extrae factores fuera del radical:
a)
,-
d) √320 =
g)
48
&
b) ' ,
=
e) √
-
"
-,
−
=
c)
−8
"-,
( 01
f) '&#)
=
h) √64. x . a& . m" =
1
=
=
i) 800. x . y & =
RADICALES SEMEJANTES
Radicales semejantes son aquellos que después de simplificarlos tienen el mismo índice y radicando. Es decir que solo pueden diferir en los factores que figuran fuera de ellos (coeficientes).
Ejemplo: √75 y √27 son semejantes ya que sacando factores fuera de ambos radicales tenemos:
√75 = √5 . 3 = 5. √3 (al nro. 5 se lo denomina coeficiente)
√27 = √3 . 3 = 3. √3
SUMA Y RESTA DE RADICALES SEMEJANTES
Para sumar o restar radicales semejantes, se simplifican y se extraen factores fuera de los radicales
respectivos. A continuación se suman o restan los coeficientes respectivos y se multiplica el resultado
por el radical común, o sea que se saca factor común.
Ejemplos: √40 - √320 = √2 . 5 - √4 . 5 = 2. √5 – 4. √5 = (2-4). √5 = -2 √5
2x √16
– 9.x2 '
7
2#
+ x2√4
= 2x √2
– 9.x2 '
+ x2√2
=
2.x.2.x. √2 – 9. x √2 + x2 √2 = (4x2 – 3x2 + x2) √2 = 2x2 √2
Actividades:
4) Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones:
a) √20 + √80 + √180 =
c) 8 √3 - 2√3 =
e) 72- + 32- - 128- =
b) 1/3√ - 2√ + √ =
d) 0,75 . 8. - – 1/2 . 8. - =
f) 2y 75- – 5y 108- =
5) Hallar el perímetro de cada y una de las siguientes figuras:
a)
b)
3√5
√2
√3
√5
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d)
b
ac = 4cm
bd = 6cm
a
c
1,5√7
3√7
2√7
d
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES:
Con mismo índice
Para multiplicar o dividir radicales con el mismo índice se debe aplicar la propiedad recíproca de la
distributiva, o sea colocarlos bajo la misma raíz y operar; si es posible se debe extraer factores fuera
del radical
Ejemplos: √ .√ = √ . √2 .√6 = √2.6 = √12 = √2 . 3 = 2√3
Actividad:
6) Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones con el mismo índice:
a) √8 . √16 , =
b) √3 , . √27 =
c) √32 , : √2 =
d) √128
7
: √32
=
Reducción de radicales a índice común
1) Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2) Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica
por sus exponentes correspondientes.
Ejemplo: √2. √2 . 3 . √2 . 3
0
m.c.m. (2,3,4) = 12
0
√2" .
0
2 .3 .
0
√2" . √2& . 3& . √2" . 3
0
0
2 .3
Multiplicación de radicales con distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
m.c.m. (2,3,4) = 12
√3 . √9 . √27 =
0
0
0
0
0
0
√3" . :3 ; . :3 ; = √3" . 3& . 3 = √3 = 3. √3##
Actividad:
7) Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones con distinto índice:
a) √9 . √27 =
b) √ . √ =
c) √4 . √100 . √50 =
d)√4 . √4
. √16
g) 72. - :
36. - =
=
e) √9
:√
9
- : √3
h)
,
f) √24. .
=
=
i)
√<
√(
.
√(
=
√ <
: √16.
. =
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE RADICALES:
Se deben aplicar las propiedades de la potenciación vistas en la página 1 de este apunte.
Actividades:
8) Resuelve las siguientes operaciones:
a) ( √27)4 =
d) ? √8.
@3 =
b) = 16
e)
√
- >2 =
. . √
c)
.
=
f)
√128.
√4 . = √2
=
,
> =
9) Resuelve aplicando la propiedad distributiva, cuadrado de una suma o resta según corresponda:
a) √6 . (√3 - √2 )=
b) (√2 -2) . (1+√2) =
c) √5. (√3 - √5 ) + √3.(√5 +√3 )=
2
2
e) (√5 - √3 ) =
f) (√6 - 2) . (√6 + 3)=
d) (√3 + √2 ) =
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RACIONALIZACIÓN:
Racionalizar un denominador significa transformar una expresión con denominador irracional en
otra equivalente con denominador racional:
Caso 1: El denominador es una raíz.
.√
Ej. 1)
Ej. 2)
.√
=
√
#
=
√
.
√
#
√
.
√
√
√
√
=
.√"
=
√
=
=√ >
=
.√"
√
Caso 2: El denominador es un binomio:
Actividades:
10) Racionaliza:
a)
C
√
=
b)
√7
=
e)
d)
√
g)
#$ D
√ B D
0
j)
F
7F G
=
h)
=
m)
√ E.√ E
o)
#
√7
√&E
k)
=
Ej.:
=
#$√
.
#B√
#B√
=
:#B√ ;
√ $
=
c)
D C
√DC
=
f)
√ B√,
√ $√,
D
,DB√D
.√
EG
p)
&EG
=
i)
=
l)
=
ñ)
=
r)
√
:#B√ ;
=
# $√
#
n)
=
#$√
$
=
√
# E
# EB√E
=
$
$ B√
=
G
GB√
,$√
,B√
#
√,B√
=
=
=
POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO: Toda potencia de exponente fraccionario se
transforma en una raíz cuya base es el radicando, el numerador del exponente es exponente del radicando y el denominador del exponente es índice de la raíz. Ej.: 41/2 = √4
;
43/2 = √4
Escribe como radical:
271/3= ………….
23/2 = ……….…...
(1/8)-2/3= …………….
32-1/5 = ……………..
√2 = …………..
√
√64 = ……………...
Escribe como potencia:
√5 = ………
= ……………..
Actividades:
11) Expresa las siguientes potencias como raíces y resuelve:
a) 641/3 =
b) (25/16)-1/2 =
c) (2/4)3/2 =
d) (4/3)-2/3 =
12) Transforma los radicales en potencias. Resuelve aplicando las propiedades de la potenciación y
expresa el resultado nuevamente como radical, si es necesario extrae factores fuera del radical.
a) √2. √2 . √2 =
b) √3$ . √3 =
c) 3. √27. √243 =
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