Download Diapositiva 1 - Colegio ValdeSerra

Olimpiada Thales
Problema 1: LOS CARROS DEL SUPERMERCADO
Problema 2: CUBOS
(Cubos Geogebra)
Problema 3: SUPERVENTAS
Problema 4: TRIÁNGULOS FRACTALES
Problema 5: OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS
Problema 6: ¿DÓNDE SE ENCUENTRA EL 2011?
XXVII Olimpiada
Thales
XXVII Olimpiada
Thales
Los carros del supermercado:
Alex, María y Elena están en el supermercado con sus padres
respectivos. Mientras esperan en la cola de la caja deciden
jugar a ver quién adivina cuánto dinero hay juntando las tres
monedas que han metido sus padres en los carros.
Tienen genes matemáticos, por eso no responden al tun tun,
sino que hacen cálculos sabiendo que los carros aceptan
monedas de 50 céntimos, 1 euro y 2 euros.
• ¿Por qué nadie dice 5’5 euros?
• ¿Qué cantidad deberían decir para tener más
posibilidad de acertar?
Para seguir divirtiéndose, también deciden jugar si la cantidad
es exacta o decimal.
• En este segundo juego, ¿quién tendría más posibilidad
de acertar?
• ¿En cuál de los dos juegos es más fácil ganar?
Razona las respuestas.
Solución
Menú
Solución:
• ¿Por qué nadie dice 5,5 euros?
Los números con los que podemos jugar son 2, 1 y 0'50.
Si ordenamos de mayor a menor las cantidades, la mayor será:
Enunciado
Menú
Solución:
•¿Por qué nadie dice 5,5 euros?
Y la siguiente:
Por lo tanto, no puede estar la cantidad de 5,5 euros
Enunciado
Menú
Solución:
•¿Qué cantidad deberían decir para tener más
posibilidad de acertar?
Lo mejor es formar una tabla con todos los posibles resultados
Alex
María
Elena
Cantidad
Total
Alex
María
Elena
Cantidad
Total
0'50
0'50
0'50
1'50
1
0'50
0'50
2
0'50
0'50
1
2
1
0'50
1
2'50
0'50
0'50
2
3
1
0'50
2
3'50
0'50
1
0'50
2
1
1
0'50
2'50
0'50
1
1
2'50
1
1
1
3
0'50
1
2
3'50
1
1
2
4
0'50
2
0'50
3
1
2
0'50
3'50
0'50
2
1
3'50
1
2
1
4
0'50
2
2
4'50
1
2
2
5
Enunciado
Menú
Solución:
•¿Qué cantidad deberían decir para tener más
posibilidad de acertar?
Lo mejor es formar una tabla con todos los posibles resultados
Enunciado
Alex
María
Elena
Cantidad
Total
2
0'50
0'50
3
2
0'50
1
3'50
2
0'50
2
4'50
2
1
0'50
3'50
2
1
1
4
2
1
2
5
2
2
0'50
4'50
2
2
1
5
2
2
2
6
Menú
Solución:
•¿Qué cantidad deberían decir para tener más
posibilidad de acertar?
Ahora hacemos una tabla con las cantidades y las veces que han
salido (frecuencia)
Cantidad Total
Frecuencia
Enunciado
1'50
1
2
3
2'50
3
3
4
3'50
6
4
3
4'50
3
5
3
5'50
0
6
1
Menú
Solución:
•¿Qué cantidad deberían decir para tener más
posibilidad de acertar?
Está claro que la cantidad que van a decir es 3'50 euros, porque tienen genes
matemáticos y saben de probabilidad.
Enunciado
Menú
Solución:
Para seguir divirtiéndose, también deciden jugar si la
cantidad es exacta o decimal.
• En este segundo juego, ¿quién tendría más
posibilidad de acertar?
• ¿En cuál de los dos juegos es más fácil ganar?
Habría que elegir exacta, pues al realizar el recuento hay 13 cantidades cuya
expresión es decimal y las 14 restantes son exactas.
Y puestos a apostar gominolas, apostaremos a decimal o
exacto, puesto que la probabilidad de acertar es
aproximadamente del 51% (14 casos de 27 = 0’5185),
mientras que la de acertar la cantidad 3'50 es aproximadamente
del 22 % (6 casos de 27 = 0’222)
Enunciado
Menú
XXVII Olimpiada
Thales
CUBOS:
El profesor D. Anacleto Enseñalotodo va paseando con sus alumnos y
alumnas por un museo y al encontrarse con los siguientes cubos de 1 metro
de arista apilados sobre el suelo les plantea las siguientes cuestiones:
· ¿Cuál es el volumen de la figura formada por los cubos?
· Si pintáramos de rojo las caras que se pueden ver. ¿Cuántos cubos
tienen exactamente una, dos, tres, cuatro y cinco caras coloreadas?
Razona las respuestas.
Solución
Menú
Solución:
Caras Coloreadas
Es bastante sencillo observar que el volumen de la
figura es 14 m3.
1
Cubo 1
Cubo 2
Cubo 3
Cubo 4
Cubo 5
Cubo 6
Cubo 7
Vamos a comenzar descomponiendo la estructura
en los diferentes cubos que la forman.
Cubo 8
Cubo 9
Cubo 10
A continuación trasladamos los datos
a la siguiente tabla:
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
Cubo 14
2
3
4
5
Solución:
Comenzamos quitando el cubo 1
Caras Coloreadas
CUBO 1
1
Cubo 1
Cubo 2
Cubo 3
Cubo 4
Cubo 5
Cubo 6
Cubo 7
Comprobamos que tiene
4 caras de color rojo
Cubo 8
Cubo 9
Repetimos el mismo procedimiento con el
resto de los cubos y, completamos la tabla
Cubo 10
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
Cubo 14
2
3
4
X
5
Solución:
CUBO 2
Caras Coloreadas
1
2
3
X
Cubo 1
Cubo 2
Cubo 3
Cubo 4
Cubo 5
Cubo 6
Cubo 7
Cubo 8
Cubo 9
Comprobamos que tiene 3 caras de color rojo
Cubo 10
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
Cubo 14
4
X
5
Solución:
CUBO 3
Caras Coloreadas
1
2
3
X
Cubo 1
Cubo 2
Cubo 3
Cubo 4
Cubo 5
Cubo 6
Cubo 7
Cubo 8
Cubo 9
Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo
Cubo 10
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
Cubo 14
4
X
X
5
Solución:
Caras Coloreadas
CUBO 4
1
2
3
X
Cubo 1
Cubo 2
X
X
Cubo 3
Cubo 4
Cubo 5
Cubo 6
Cubo 7
Cubo 8
Cubo 9
Cubo 10
Comprobamos que tiene 3 caras de color rojo
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Cubo 14
Enunciado
Menú
4
X
5
Solución:
Caras Coloreadas
CUBO 5
1
2
3
X
Cubo 1
Cubo 2
X
X
Cubo 3
Cubo 4
Cubo 5
Cubo 6
Cubo 7
Cubo 8
Cubo 9
Cubo 10
Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
Cubo 14
4
X
X
5
Solución:
CUBO 6
Caras Coloreadas
1
2
3
X
Cubo 1
X
Cubo 2
X
Cubo 3
X
Cubo 4
X
Cubo 5
Cubo 6
Cubo 7
Cubo 8
Cubo 9
Cubo 10
Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Cubo 14
Enunciado
Menú
4
X
5
Solución:
Caras Coloreadas
CUBO 7
1
2
3
X
Cubo 1
X
Cubo 2
X
Cubo 3
X
Cubo 4
X
Cubo 5
Cubo 6
X
Cubo 7
X
Cubo 8
Cubo 9
Cubo 10
Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
Cubo 14
4
5
Solución:
Caras Coloreadas
CUBO 8
1
2
3
X
Cubo 1
X
Cubo 2
X
Cubo 3
X
Cubo 4
X
Cubo 5
X
X
Cubo 6
Cubo 7
Cubo 8
Cubo 9
Cubo 10
Comprobamos que tiene 1 cara de color rojo
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
Cubo 14
4
X
5
Solución:
Caras Coloreadas
CUBO 9
1
2
3
X
Cubo 2
X
Cubo 3
X
Cubo 4
X
Cubo 5
X
X
Cubo 6
Cubo 7
Cubo 9
Cubo 10
Comprobamos que tiene 5 caras de color rojo
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Cubo 14
Enunciado
Menú
5
X
Cubo 1
Cubo 8
4
X
X
Solución:
Caras Coloreadas
CUBO 10
1
2
3
X
Cubo 2
X
Cubo 3
X
Cubo 4
X
Cubo 5
X
X
Cubo 6
Cubo 7
X
X
Cubo 9
Cubo 10
Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Cubo 14
Enunciado
Menú
5
X
Cubo 1
Cubo 8
4
X
Solución:
CUBO 11
Caras Coloreadas
1
2
3
X
Cubo 2
X
Cubo 3
X
Cubo 4
X
Cubo 5
X
X
Cubo 6
Cubo 7
X
X
Cubo 9
Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
X
Cubo 10
Cubo 11
Cubo 14
5
X
Cubo 1
Cubo 8
4
X
Solución:
Caras Coloreadas
CUBO 12
1
2
3
X
Cubo 2
X
Cubo 3
X
Cubo 4
X
Cubo 5
X
X
Cubo 6
Cubo 7
X
X
Cubo 9
X
Cubo 10
Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
Cubo 14
5
X
Cubo 1
Cubo 8
4
X
X
Solución:
Caras Coloreadas
CUBO 13
1
2
3
X
Cubo 2
X
Cubo 3
X
Cubo 4
X
Cubo 5
X
X
Cubo 6
Cubo 7
X
X
Cubo 9
X
Cubo 10
Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
Cubo 14
5
X
Cubo 1
Cubo 8
4
X
X
X
Solución:
Caras Coloreadas
CUBO 14
1
2
3
X
Cubo 2
X
Cubo 3
X
Cubo 4
X
Cubo 5
X
X
Cubo 6
Cubo 7
X
X
Cubo 9
X
Cubo 10
Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
Cubo 14
5
X
Cubo 1
Cubo 8
4
X
X
X
X
Solución:
Cubos con 1 cara coloreada :
Cubos con 2 caras coloreadas :
Caras Coloreadas
1
1
5
2
3
2
X
Cubo 2
X
X
Cubo 4
X
Cubo 5
Cubos con 4 caras coloreadas :
Cubos con 5 caras coloreadas :
5
1
X
X
Cubo 6
Cubo 7
Cubo 8
X
X
Cubo 9
X
Cubo 10
Cubo 11
Cubo 12
Cubo 13
Enunciado
Menú
Cubo 14
5
X
Cubo 1
Cubo 3
Cubos con 3 caras coloreadas :
4
X
X
X
X
XXVII Olimpiada
Thales
Superventas:
Últimamente todos los habitantes de Todolandia ocupan todos sus ratos libres
en la lectura de todos los libros que tienen relación con las matemáticas.
D. Perfecto Leeselotodo está muy preocupado porque por haber estado de viaje
fuera del país no ha podido seguir las novedades en la lista de superventas de
las últimas semanas.
Observa la relación de superventas de esta semana y ayuda al Sr. Leesolotodo
diciéndole qué libro o libros son nuevos en ella. Indica también, de forma
razonada, qué posición ocupaba la semana pasada cada uno de los libros de la
relación, si sabemos que en ningún caso la subida o bajada en la lista ha sido
superior a tres puestos con respecto a la semana anterior.
1.
 El hombre que calculaba
6.
 El curioso incidente del perro a medianoche
2.
=
7.
 ¡Malditas matemáticas!
3.
 ¿Matemágicas o matetrágicas?
8.
 El asesinato del profesor de matemáticas
4.
 El diablo de los números
9.
= El país de las Matemáticas
5.
=
10.  Las matemáticas en la vida
Cuentos con cuentas
El teorema del loro
Nota: Los signos = ,  y  nos indican respectivamente si el libro continúa en
el mismo puesto o ha ascendido o descendido en la lista
Solución
Menú
Solución:
• Hay algunos superventas que ya sabemos en qué lugares estaban la
semana pasada, ¿no crees?
Bien, pues comencemos por
ellos…
Clasificación de superventas de la semana
pasada
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Enunciado
Menú
Solución:
• Comencemos ahora por arriba…
¿Qué libro fue 1º la semana pasada?
Clasificación de superventas de la semana
pasada
1.
Matemágicas o Matetrágicas
2. Cuentos con cuentas
3.
4.
5.
El teorema del loro
6.
7.
8.
9. El país de las matemáticas
10.
Enunciado
Menú
Solución:
• ¿Qué libros pudieron ocupar los lugares 3º y 4º?
• El hombre que calculaba y ¡Malditas matemáticas!, evidentemente.
Clasificación de superventas de la semana
pasada
• Pues situémoslos…
1. ¿Matemágicas o matetrágicas?
2. Cuentos con cuentas
3. El hombre que calculaba
4. Malditas matemáticas
5. El teorema del loro
6.
7.
8.
9. El país de las matemáticas
10.
• Y ahora ya está claro el superventas que ocupó el 6º puesto…
Enunciado
Menú
Solución:
• Y solo hay ahora un libro que pudo ocupar el 7º puesto…
Clasificación de superventas de la semana
pasada
1. ¿Matemágicas o matetrágicas?
2. Cuentos con cuentas
3. El hombre que calculaba
4. ¡Malditas matemáticas!
5. El teorema del loro
6. El diablo de los números
7. El curioso incidente del perro a medianoche
8.
9. El país de las matemáticas
10.
Enunciado
Menú
Solución:
• ¿Pero podemos saber quiénes ocuparon los lugares 8º y 10º?
Clasificación de superventas de la semana
pasada
1. ¿Matemágicas o matetrágicas?
2. Cuentos con cuentas
3. El hombre que calculaba
4. ¡Malditas matemáticas!
5. El teorema del loro
6. El diablo de los números
7. El curioso incidente del perro a medianoche
8.
9. El país de las matemáticas
10.
Enunciado
Menú
Solución:
• No podemos saber con seguridad los lugares que ocuparon dos de los
superventas, aunque podemos afirmar que “El asesinato del profe de mates”
ocupó el 10º o el 11º puesto, y “Las matemáticas para la vida” el 11º, 12º o
13º.
Clasificación de superventas de la semana
pasada
1. ¿Matemágicas o matetrágicas?
2. Cuentos con cuentas
3. El hombre que calculaba
4. ¡Malditas matemáticas!
5. El teorema del loro
6. El diablo de los números
7. El curioso incidente del perro a medianoche
8. Un libro que ya no está entre los 10
superventas
9. El país de las matemáticas
Enunciado
10. El asesinato del profesor de matemáticas o
un libro de los que ya no son superventas
Menú
XXVII Olimpiada
Thales
TRIÁNGULOS FRACTALES
(in memoriam Benoit Mandelbrot “Padre de los fractales”)
Todos los estudiantes de Todolandia andan como locos intentando calcular
las superficies de todos los triángulos equiláteros coloreados que se van
obteniendo al ir uniendo los puntos medios de los lados de los triángulos no
coloreados como se observa en las figuras.
Sabiendo que el triángulo equilátero del que se parte tiene como superficie la
unidad, ayúdales calculando la superficie que está coloreada después de
haber realizado 2 transformaciones.
¿Cuál es la superficie que se obtiene después de 4 transformaciones?
¿Cómo calcularías la superficie coloreada tras realizar “n” transformaciones?
Triángulo inicial
Solución 1
Transformación 1ª
Solución 2
Transformación 2ª
Menú
Solución 1 :
Superficie del triángulo inicial: 1
Transformación 1ª
Superficie coloreada:
Enunciado
Menú
Solución 1:
Transformación 2ª
Superficie coloreada:
Enunciado
Menú
Solución 1:
Transformación 3ª
Superficie coloreada:
Enunciado
Menú
Solución 1:
Transformación 4ª
Superficie coloreada:
Enunciado
Menú
Solución 1:
Superficie coloreada para “n” transformaciones
Por tanto, la superficie coloreada para “n” transformaciones sería:
Enunciado
Menú
Solución 2:
También podríamos calcular la superficie coloreada para “n”
transformaciones restando al triángulo unidad la parte no coloreada:
Transformación 1ª
Transformación 2ª
Transformación 3ª
Transformación 4ª
Por tanto, la superficie coloreada para “n” transformaciones sería:
Enunciado
Menú
XXVII Olimpiada
Thales
OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS
Cada año se presentan muchos chicos y chicas a nuestras Olimpiadas
Matemáticas Thales. Deduce de forma razonada cuántos olímpicos y olímpicas
se presentaron en cada una de las provincias de Andalucía Occidental
sabiendo que:
• El número total de participantes en estas cuatro provincias coincide con
el que se obtiene al sumar los números de la fecha de hoy (día + mes +
año).
•El total de chicas presentadas en Andalucía Occidental fue la mitad que el
de chicos y esta proporción se mantuvo también en la provincia de Sevilla.
Córdoba fue la única provincia igualitaria en chicos y chicas.
En Sevilla se presentaron tantos participantes como en Huelva y Cádiz juntos
y en Córdoba la mitad que en Sevilla.
En Cádiz se presentaron tres veces más chicos que chicas y ellas representan
el 20 % del total de las chicas participantes en la Olimpiada en las cuatro
provincias.
Solución
Menú
Solución:
Primero vamos a calcular el número de participantes.
Hoy es 26 de marzo de 2011, entonces el total es:
26+3+2011=2040
Bien, ya tenemos el total, vamos a continuar leyendo….
Enunciado
Menú
Solución:
El total de chicas presentadas en Andalucía Occidental fue la mitad
que el de chicos.
Esto nos indica que debemos de dividir entre 3 el total de
participantes, y el número obtenido será el de chicas y el resto,
que es el doble, el de chicos.
2040:3=680
680 x 2=1360
Enunciado
Menú
Solución:
En Sevilla se presentaron tantos participantes como en Huelva y Cádiz
juntos y en Córdoba la mitad que en Sevilla.
Esto nos hace deducir que debemos de dividir el total de
participantes entre 2’5, que sería uno de Sevilla otro entre Cádiz y
Huelva y la mitad para Córdoba.
2040:2’5=816
Enunciado
Menú
Solución:
Vamos entonces a repartir a los participantes por provincias
SEVILLA: 816 Participantes
Para dividirlos entre chicos y chicas debemos recordar que en
el enunciado nos decían que en Sevilla se mantenía la
proporción de doble número de chicos que de chicas.
816:3=272
272x2=544
Enunciado
Menú
Solución:
CÓRDOBA: 408 Participantes
Para dividirlos entre chicos y chicas debemos recordar que en el
enunciado nos decían que Córdoba fue la única provincia
igualitaria en chicos y chicas.
408:2=204
204
204
Enunciado
Menú
Solución:
CÁDIZ
En Cádiz se presentaron tres veces más chicos que chicas y ellas
representan el 20 % del total de las chicas participantes en la Olimpiada
en las cuatro provincias
Podemos calcular el total de chicas, pues es el 20 % del total que
recordemos era de 680.
20% de 680=136
136 x 3 = 408
Enunciado
Menú
Solución:
HUELVA
En el enunciado de Huelva no nos dicen nada, pero como son los
únicos valores que nos faltan los podemos calcular restando del
total los obtenidos.
1360-544-204-408=204
680-272-204-136 = 68
Enunciado
Menú
Solución:
Cádiz
Totales
Enunciado
Córdoba Huelva
Sevilla
Totales
408
204
204
544
1360
136
204
68
272
680
544
408
272
816
2040
Menú
XXVII Olimpiada
Thales
¿Dónde se encuentra el 2011?
Thalevago ha contado a su compañera Calculina que su
profesora de mates, Eulerina, ha propuesto hoy en clase la
siguiente serie de números:
A
B
1
13
C
D
4
10
16
28
7
19
25
31
E
22
…
Y les ha pedido que averigüen en qué columna y en qué fila
aparecerá en dicha serie el número que corresponde al año actual.
Para que practiquen les ha dicho que investiguen buscando primero
la posición del número 73.
Ambos se encuentran un poco despistados, ayúdales a encontrar
de forma razonada las respuestas.
Solución 1
Solución 2
Menú
Solución 1:
Vamos a calcular el término general de la serie:
Ordenamos en sentido creciente los números:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, …
an = a1 + (n-1)d
d = +3
an = 1 + (n-1) (+3)= 1 + 3n – 3 = 3n - 2
an = 3n - 2
Enunciado
Menú
Solución 1:
Para averiguar la columna situamos los números en la tabla siguiente :
A
Vemos que la diferencia
entre dos términos de
una misma columna es 15
Comenzamos con el número 73
B
C
1
D
E
4
13
15
10
15
7
15
16
15
19
15
28
15
25
22
31
73 : 15 = 4
Resto = 13
Por tanto se encontrará en la columna A
Enunciado
Menú
Solución 1:
A continuación necesitamos conocer la fila en que se encuentra
el número 73
Recurrimos al término general cuyo valor en este caso es 73
an = 3n - 2
73 = 3n - 2
75 = 3n
n = 75 : 3
n= 25
El número 73 ocupa el término de lugar 25
Podemos hacer grupos de 5 (A, B, C, D y E)
25 : 5 = 5
5 grupos de 5, a cada grupo de 5 le corresponden 2 filas,
por tanto 5 X 2 = 10
El término 25 ( número 73) se encuentra en la fila 10
Enunciado
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Solución 1:
Vamos a probar con el número 103
Fila:
103 = 3n - 2
35 : 5 = 7
105 = 3n
n = 105 : 3
n= 35
por tanto 7 X 2 = 14
El número 103 se encuentra en la fila 14
Columna:
103 : 15 = 6
Resto = 13
Por tanto se encontrará en la columna A
Enunciado
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Solución 1:
Vamos por fin con el número 2011
Fila:
2011 = 3n - 2
2013 = 3n
n = 2013 : 3
n= 671
671 : 5 = 134’2
134 grupos completos + 1 grupo incompleto
Por tanto 134 ‘2X 2 = 268’4
268 + 1 = 269
El número 2011 se encuentra en la fila 269
Columna:
2011: 15 = 134
Resto = 1
Por tanto se encontrará en la columna B
Enunciado
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Solución 2:
Si completásemos la tabla podríamos ver que hay una
regularidad en la distribución de los términos de la serie
A
B
C
1
E
4
13
15
10
15
7
15
16
15
19
15
28
15
25
31
43
58
22
34
40
46
Enunciado
D
37
49
55
52
Menú
Solución 2:
Número 73
73: 15 = 4
Resto = 13
Cociente = 4
Resto = 13
Implica que se encontrará en la columna A
Resto = 13
Nos indica 5 grupos de 2 filas
(aunque la última fila se encontraría incompleta – columna A)
por tanto 5 X 2 = 10
El número 73 se encuentra en la fila 10
Enunciado
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Solución 2:
Número 2011
2011: 15 = 134
Resto = 1
Resto = 1
Implica que se encontrará en la columna B
Cociente = 134
Resto = 1
Nos indica 134 grupos completos y 1 fila incompleta
por tanto 134 X 2 = 268
268 + 1 = 269
El número 2011 se encuentra en la fila 269
Enunciado
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