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UNIDAD 2. El surgimiento y Desarrollo del Algebra. M. en C. Juan Adolfo Álvarez Martínez http://www.uaeh.edu.mx/virtual El surgimiento y Desarrollo del Algebra. El Álgebra es una rama de las matemáticas en la que se estudia las relaciones entre cantidades que son conocidas y otras que suelen definirse sus valores a partir de las que se sabe su valor numérico. La representación de las cantidades que no se conocen en una situación o problema que se plantea en el algebra es por medio de letras, símbolos o notaciones, expresiones, ecuaciones que con la practica se va adquiriendo su comprensión y aplicación en la medida en que se trabaja con ellas. La aparición del algebra y su utilidad ha sido mostrada desde épocas ancestrales, dada la gran cantidad de aplicaciones y problemas que se pueden resolver. La historia oficial del álgebra como la de otras ramas de la ciencia toma la forma de un relato lento pero inexorable, en el descubrimiento de técnicas y fórmulas para la resolución de ecuaciones y en el descubrimiento de un lenguaje en el que esas técnicas y esas fórmulas aparecen. Los períodos de este progreso suelen dividirse en: - “álgebra retórica”: no existen abreviaturas, ni símbolos especiales. Se usa el mismo lenguaje escrito. Época paleobabilónica entre 2000 y 1600 a. c. La principal fuente de información sobre la civilización y la matemática babilónica procede de textos grabados con inscripciones cuneiformes en tablillas de arcilla. Los textos se escribían sobre las tablillas cuando la arcilla estaba aún fresca. Después podían borrarse y usarse otra vez o también cocerse en hornos o simplemente se endurecían al sol. Las tablillas más antiguas que se conservan son del 2000 a.c. Estas tablillas han proporcionado abundante información sobre el sistema numérico y los métodos de cálculo que usaban. También las hay con textos que contienen problemas algebraicos y geométricos. Los babilonios disponían de fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas. No conocían los números negativos por lo que no se tenían en cuenta las raíces negativas de las ecuaciones. - posteriormente en la matemática griega suelen distinguirse se pudieron identificar algunos periodos sobresalientes: I. jónico: finales del siglo VII a.C. hasta mitad del siglo V a.C. Formación de la matemática como ciencia independiente. II. ateniense: entre el 450 y el 300 a.C. Período del álgebra geométrica. El centro de la actividad matemática se hallaba en Atenas. III.helenístico: desde mediados del siglo IV hasta mediados del siglo II. Período de mayor esplendor. IV.alejandrino: también se menciona, a veces, este período en la época en que Alejandría era el foco principal. La época del álgebra geométrica. Trata los problemas algebraicos con la ayuda de construcciones geométricas. El núcleo los constituye el método de anexión de áreas cuya finalidad básica era resolver ecuaciones. Este método se puede usar para resolver ecuaciones lineales y no lineales. En los Elementos de Euclides se tratan diversas ecuaciones cuadráticas según los métodos del álgebra geométrica. Entre algunas aportaciones al algebra muy importantes están las de Diofanto, el cual escribe el libro llamado aritmética el cual es uno de los mas representativos. Este personaje estudió las ecuaciones indeterminadas, con más variables que ecuaciones. Uno de estos libros es donde se encuentra el problema de encontrar las ternas pitagóricas que cumplen con lo que se denomina el último teorema de Fermat y que permitió el desarrollo de importantes áreas de la matemática desconocidas hasta esa fecha. En cuanto a la cultura árabe, se tienen también sobresalientes nombres entre los que mencionamos a Al – Jwarizmi, Su obra más importante es su tratado de Álgebra, Hisab al-jabr w'al-muqabala, del cual se conservan un ejemplar en árabe y una traducción latina, Liber Algebrae et almuchabala. La introducción de este libro nos acerca a la importancia de esta algebra. Omar Khayyam escribe un tratado de álgebra donde clasificó las ecuaciones de tercer grado para lo que aplicaba intersecciones de cónicas. Hizo conjeturas sobre ecuaciones que suponía que no podían resolverse con regla y compás que no se demostraron hasta 1837 y además fue un adelantado a su época al afirmar que estas ecuaciones podían tener más de una solución, encontrando hasta dos. Entre otros personajes se han ido haciendo aportaciones relevantes que han incrementado el cumulo de conocimientos, podemos citar hasta lo que es el: - “álgebra simbólica”: Es ya un álgebra mucho más parecida a la que usamos hoy. Con símbolos especiales, incógnitas, etc, la cual aparece entre los Siglos XVI y XVII. Entre los nombres a destacar en esta época se encuentra François Viète. En 1591 hizo imprimir su obra más importante: In artem analyticam isagoge (introducción al método analítico). Su aportación supuso un cambio en la forma de trabajar de los algebristas al pasar de resolver casos particulares a razonar un método de trabajo para resolver casos generales. Girolano Cardano En 1539 publicó su libro de aritmética Practica arithmetica et mensurandi singulares. Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su Ars magna. Niccolò Fontana Tartaglia desarrolla la fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado que publicó Cardano. Publicó las primeras traducciones al italiano de las obras de Arquímedes y Euclides. A la fecha existe una gran cantidad de nombres que podríamos seguir citando, así como también áreas dentro de la misma algebra que para este curso no vamos a tratar, ya que la parte en que se enfoca el curso son los principios y elementos básicos del algebra que permitirán un estudio suficiente para abordar temas mas avanzadas en otras asignaturas como lo es la geometría analítica o el calculo. Elementos Básicos de algebra. Al empezar con el estudio del Álgebra como hoy se realiza aparecen expresiones, que contienen elementos conocidos como constantes y también variables o incógnitas, a las que llamamos expresiones algebraicas, estas expresiones algebraicas permiten transformar la información dada en algún enunciado o problema en datos e información relevante que permite contestar y dar respuesta a lo que se pregunta. Generalmente es conveniente identificar de manera precisa lo que se da en información textual para poder interpretarla en expresiones matemáticas. De este modo, al conjunto de números y letras que representan operaciones entre cantidades se llama expresión algebraica. Dichas cantidades que son conocidas, se les denomina comúnmente constantes y están definidas por una cantidad numérica y las que no están definidas o es lo que se va a determinar su valor se les denomina incógnitas o variables. A continuación se muestran algunos ejemplos de estas definiciones. 3x + 4 contiene una parte algebraica que es “3x”, y una parte constante que es “4”, la cual se identifica porque no contiene una variable o literal sino es simplemente un valor numérico. 2x3 es una expresión que contiene solo una parte algebraica que es “2x3” 3x + 2y – 1 es una expresión que contiene dos términos algebraicos y un numérico. -4 es una cantidad constante o numérica porque no contiene parte literal. Una expresión algebraica se puede convertir en una cantidad definida cuando a la parte literal se le asigna algún valor numérico por ejemplo: Si la expresión 5y – 2, a la variable o literal “y” se le asigna el valor de y= 3, entonces en la expresión se sustituye dicho valor y se obtiene una cantidad numérica quedando entonces: 5 (3) – 2 = 15 – 2 = 13 que es ya una cantidad perfectamente determinada. Recuerda que el paréntesis indica multiplicación. Algunos ejemplos sobre determinación de valores numéricos de expresiones algebraicas se muestran a continuación: 1). Si se tiene la expresión algebraica x + y, asignando el valor de “x”= 5, “y”= 2, entonces tenemos: 5 + 2 = 7 2). Si se tiene la expresión x2 + 1, y se asigna el valor de “x” = 4, Entonces tenemos: (4)2 +1 que resulta 16 + 1 = 17, recordando que elevar al cuadrado un numero es multiplicarlo por si mismo. Es decir (4) 2 +1 = (4)(4) + 1 = 17 que ya se ha mencionado. 3). Si se tiene la expresión algebraica 2a - b, y se asigna el valor de “a”= 6 y de “b”= 5, entonces tendremos: (2)(6) -5 = 12-5 = 7 Podemos observar entonces de los ejemplos dados anteriormente que una expresión algebraica, la cual contiene partes literales no está definida, sin embargo se puede determinar su valor numérico siempre que se conozcan o se asignen valores a dichas literales, convirtiéndose entonces en una cantidad determinada o constante. Expresiones algebraicas. El lenguaje algebraico es la forma en la cual como se ha mencionado anteriormente, se transforma, escribe y comunica información textual de algún enunciado o problema en forma matemática para realizar las operaciones, aplicar procedimientos y dar solución a la situación que se plantea, para ello es sumamente importante poder comprender y expresar en términos algebraicos esta información y datos. En primer lugar hemos de definir inicialmente algunos términos básicos que serán la base que permitirá entender los conceptos que se han de utilizar en esta y las siguientes unidades del curso. Las expresiones algebraicas son aquellos términos que contienen componentes numéricos y literales (letras o símbolos) para representar información, es sumamente importante saber que en todas las expresiones algebraicas siempre se han de encontrar los siguientes componentes: Coeficiente. Es la parte que esta indica con valor numérico, y puede ser positiva, negativa o incluso una fracción. Variable o literal. Las incógnitas o variables o literales es la parte (con letra) que acompaña al coeficiente. Exponente. El exponente representa la potencia de esa incógnita y a partir de éstos exponentes se obtiene el grado de un término. Este se escribe más pequeño y en la parte superior derecha de la incógnita. El siguiente ejemplo muestra un término algebraico. Ejercicios de repaso. A continuación se muestran mas ejemplos de términos algebraicos, se hace énfasis en que también existen en algunos casos o situaciones en expresiones que contienen términos con coeficientes y exponentes negativos. De acuerdo con los ejemplos mostrados, indica para cada uno de estos, su coeficiente, su variable y su exponente. Respuestas: término -4y3 6x3 -2x4 2/5 a - 4 -1/2 m -3 coeficiente -4 6 -2 2/5 -1/2 Variable (o literal) y x x a m Exponente 3 3 4 -4 -3 Como podrás notar, en los términos algebraicos también pueden existir expresiones que contienen exponentes negativos, incluso puede haber exponentes fraccionarios como por ejemplo 2 x 1/3, - 4x ½ etc… Lenguaje algebraico. Se ha dicho en párrafos anteriores que la base del algebra es la operación y tratamiento de información que comúnmente se encuentra relacionada tanto en cantidades conocidas como desconocidas, para ello, los términos algebraicos vienen de información textual que se encuentra en algún enunciado o problema. Para poder lograr darle el tratamiento y transformación que requiere la matemática, procederemos a explicar la forma de expresar en términos del algebra dicha información. Es importante señalar algunos aspectos que del lenguaje común son de uso frecuente que debes comprender y tener en cuenta para que los apliques en los casos que se requiere, para ello mencionamos su significado matemático en la parte derecha de la tabla. Cuando el enunciado indica: El significado matemático es: diferencia Incremento El cuadrado El doble cociente producto Una operación de resta Aplicar la operación de Sumar Es la multiplicación de una cantidad por sí mismo multiplicar por 2 Aplicar la operación de dividir una multiplicación El cubo El cuádruplo Elevar una cantidad a la tercera potencia Multiplicar por 4 Una vez clarificados estos términos, procedemos a describir en la siguiente tabla algunos ejemplos escritos en forma textual en la parte izquierda y su interpretación al lenguaje algebraico en la parte derecha. Es importante mencionar que cuando se dice “un numero” sin especificar el valor, entonces ello significa que se puede representar esto con cualquier literal o letra como se muestra en la tabla. Por ejemplo en el primer caso pudo haberse escrito en lugar de “x”, la letra “y” o bien cualquier otra. En el segundo caso para representar el doble de un número pudo haberse escrito otra letra en lugar de la “y” como por ejemplo 2a, 2x, 2m, etc. En la siguiente sección se muestran algunos ejemplos más sobre la transformación de enunciados a expresiones algebraicas. Actividad de repaso. Ahora es momento de practicar la transformación de expresiones algebraicas a enunciados, lo cual permitirá ir mejorando el manejo y utilización del lenguaje algebraico. Completa la siguiente tabla, escribiendo en la parte derecha el enunciado que corresponde a la expresión algebraica de la primera columna. Caso 1 Expresión algebraica 2a - 1 2 3 4 5 3x2 b3 Y+5 A+B 4 m2 +2 X2 – y2 6 7 Enunciado o interpretación 8 9 10 X2 – 2x 2x - 3 ½ ( m-n) Respuestas de ejemplos impares. 1 El doble de un numero disminuido en una unidad 3 El cubo de un numero 5 La cuarta parte de la suma de dos números. 7 La diferencia de los cuadrados de dos números. 9 el doble de un número disminuido en tres unidades. Cabe recordar que el cuadrado de un número es la multiplicación de un número o expresión por si mismo, por ejemplo: x 2 = (x)(x), 32 = (3)(3) = 9 52= (5)(5)=25 De la misma forma el cubo de un numero es la multiplicación del numero por si mismo tres veces, por ejemplo: y3= (y)(y)(y), 23 = (2)(2)(2) = 8, En general el exponente, al cual también se le denomina potencia, indica el número de veces que se ha de multiplicar por sí mismo la cantidad que se tiene. La siguiente tabla algunos ejemplos de potencias. Ejemplo de cantidad Número de veces o expresión que se multiplica 3 5 3 24 4 62 2 43 3 operaciones resultado (5)(5)(5) (2)(2)(2)(2) (6)(6) (4)(4)(4) 125 16 36 64 EJEMPLOS PRACTICOS DONDE SE EMPLEA EL LENGUAJE ALGEBRAICO. El lenguaje algebraico y las expresiones algebraicas como se he mencionado se emplea en todas las situaciones en las que se requiere el transformar información de algún problema, caso o situación a resolver y que primeramente se ha de traducir al lenguaje propio del algebra. A continuación se muestran algunos ejemplos donde se observa la manera en la cual se emplean estos conceptos. 1.- un terreno de forma rectangular mide en el lado mas largo 5 metros más de longitud que de ancho. Cual es la expresión algebraica que permite determinar su largo y su ancho?. Respuesta. Largo = x+5, ancho = x, Por ejemplo Si el ancho “x” mide por ejemplo 30 metros entonces el largo es: 30 +5 =35 2.- una caja de cartón mide de largo el doble que de ancho y de altura mide la mitad que de ancho. Cual es la expresión para indicar sus medidas en términos algebraicos? Ancho= x, largo = 2x, la altura es ½ x. 3.- una persona tiene ahorrados en el banco una cantidad “m” de dinero, al cual agrega una cantidad de la cuarta parte de lo que tiene. Cual es la expresión que indica el total de ahorro en el banco? Cantidad ahorrada: m Cantidad que se agrega: 1/4 m Total de dinero: m + 1/4 m Si por ejemplo la cantidad “m” que hay ahorrada es 2000 pesos, entonces el total es: 2000+ 2000/4 = 2000 + 500 = 2500 4.- en un mes de 28 días, han transcurrido “y” cantidad de días, y para efectos de calcular el tiempo que falta para terminar el mes, cual sería la expresión para indicarlo? Tiempo para terminar el mes= 28 – y 5.- si una persona en una papelería adquiere 3 libretas que cuestan “x” pesos y 2 lápices que cuestan “y” pesos, cual es el costo total que debe pagar: Costo total= 3x + 2y Si por ejemplo las libretas “x” cuestan $12.00 y los lápices “y” cuestan $ 4.00 entonces el total es: 3(12) + 2(4) = 36 + 8 = $44 6.- Un hotel tiene tres pisos, en el tercero hay “n” cantidad de habitaciones, en el segundo piso hay el doble que en el tercero y en el primero el triple que en el tercero, cuantas habitaciones hay en total? Habitaciones en tercer piso : n Habitaciones en el segundo piso : 2n Habitaciones en primer piso : 3n Total de habitaciones: 6n 7.- si el presupuesto para gastos de una semana en una empresa ascienden a “r” cantidad de dinero y solo se utiliza “n” cantidad de dinero, cuanto es lo que queda: Cantidad de dinero que queda= r-n Si por ejemplo el presupuesto “r” es $ 23,500 y se usa solamente “n” = $12,800 la cantidad que restaría es: $10,700 8.- Si Pablo en su empleo recibe “a” cantidad de dinero en salario diariamente y trabaja 5 días a la semana, luego adicionalmente recibe una compensación “b” de dinero entonces lo que recibe es: Dinero recibido= salario diario “a” por 5 + b = 5a + b 9.- una empresa va a diseñar una alberca de material plástico en forma de prisma la cual de largo debe medir 2 metros más que de ancho y de profundidad debe medir 1 metro menos que de ancho. Cual es la expresión algebraica para indicar sus medidas?. Ancho= a, largo= a+2, profundidad= a-1 Por ejemplo si la medida del ancho es “a” = 3 metros entonces El largo es: a+2= 3+2= 5 metros y la profundidad es: a-1= 3-1 = 2 10.- un traje tiene un precio de “m” pesos, y se le debe agregar a esta cantidad 13 pesos por concepto de impuesto de cada traje. Si un comprador adquiere 4 trajes. Cual es la expresión que representa lo que debe pagar en total? Pago total= 4(m+13) que también se puede escribir como: 4m + 52 REFERENCIAS. Anfossi A. et All. Algebra. Editorial Progreso. México D.F. 2006 Baldor A. Algebra. Publicaciones Cultural. México D.F. 2002. García M. A. Algebra para bachillerato. Editorial Esfinge. México D.F. 2010.