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UNIDAD 2.
El surgimiento y Desarrollo
del Algebra.
M. en C. Juan Adolfo Álvarez Martínez
http://www.uaeh.edu.mx/virtual
El surgimiento y Desarrollo del Algebra.
El Álgebra es una rama de las matemáticas en la que se estudia las relaciones
entre cantidades que son conocidas y otras que suelen definirse sus valores a
partir de las que se sabe su valor numérico. La representación de las cantidades
que no se conocen en una situación o problema que se plantea en el algebra es
por medio de letras, símbolos o notaciones, expresiones, ecuaciones que con la
practica se va adquiriendo su comprensión y aplicación en la medida en que se
trabaja con ellas.
La aparición del algebra y su utilidad ha sido mostrada desde épocas ancestrales,
dada la gran cantidad de aplicaciones y problemas que se pueden resolver.
La historia oficial del álgebra como la de otras ramas de la ciencia toma la forma
de un relato lento pero inexorable, en el descubrimiento de técnicas y fórmulas
para la resolución de ecuaciones y en el descubrimiento de un lenguaje en el que
esas técnicas y esas fórmulas aparecen. Los períodos de este progreso suelen
dividirse en:
- “álgebra retórica”: no existen abreviaturas, ni símbolos especiales. Se usa el
mismo lenguaje escrito. Época paleobabilónica entre 2000 y 1600 a. c.
La principal fuente de información sobre la civilización y la matemática babilónica
procede de textos grabados con inscripciones cuneiformes en tablillas de arcilla.
Los textos se escribían sobre las tablillas cuando la arcilla estaba aún fresca.
Después podían borrarse y usarse otra vez o también cocerse en hornos o
simplemente se endurecían al sol. Las tablillas más antiguas que se conservan
son del 2000 a.c.
Estas tablillas han proporcionado abundante información sobre el sistema
numérico y los métodos de cálculo que usaban. También las hay con textos que
contienen problemas algebraicos y geométricos. Los babilonios disponían de
fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas. No conocían los números
negativos por lo que no se tenían en cuenta las raíces negativas de las
ecuaciones.
- posteriormente en la matemática griega suelen distinguirse se pudieron
identificar algunos periodos sobresalientes:
I. jónico: finales del siglo VII a.C. hasta mitad del siglo V a.C. Formación de la
matemática como ciencia independiente.
II. ateniense: entre el 450 y el 300 a.C. Período del álgebra geométrica. El centro
de la actividad matemática se hallaba en Atenas.
III.helenístico: desde mediados del siglo IV hasta mediados del siglo II. Período de
mayor esplendor.
IV.alejandrino: también se menciona, a veces, este período en la época en que
Alejandría era el foco principal.
La época del álgebra geométrica. Trata los problemas algebraicos con la ayuda de
construcciones geométricas. El núcleo los constituye el método de anexión de
áreas cuya finalidad básica era resolver ecuaciones. Este método se puede usar
para resolver ecuaciones lineales y no lineales.
En los Elementos de Euclides se tratan diversas ecuaciones cuadráticas según los
métodos del álgebra geométrica.
Entre algunas aportaciones al algebra muy importantes están las de Diofanto, el
cual escribe el libro llamado aritmética el cual es uno de los mas representativos.
Este personaje estudió las ecuaciones indeterminadas, con más variables que
ecuaciones.
Uno de estos libros es donde se encuentra el problema de encontrar las ternas
pitagóricas que cumplen con lo que se denomina el último teorema de Fermat y
que permitió el desarrollo de importantes áreas de la matemática desconocidas
hasta esa fecha.
En cuanto a la cultura árabe, se tienen también sobresalientes nombres entre los
que mencionamos a Al – Jwarizmi, Su obra más importante es su tratado de
Álgebra, Hisab al-jabr w'al-muqabala, del cual se conservan un ejemplar en árabe
y una traducción latina, Liber Algebrae et almuchabala. La introducción de este
libro nos acerca a la importancia de esta algebra.
Omar Khayyam escribe un tratado de álgebra donde clasificó las ecuaciones de
tercer grado para lo que aplicaba intersecciones de cónicas. Hizo conjeturas sobre
ecuaciones que suponía que no podían resolverse con regla y compás que no se
demostraron hasta 1837 y además fue un adelantado a su época al afirmar que
estas ecuaciones podían tener más de una solución, encontrando hasta dos.
Entre otros personajes se han ido haciendo aportaciones relevantes que han
incrementado el cumulo de conocimientos, podemos citar hasta lo que es el:
-
“álgebra simbólica”: Es ya un álgebra mucho más parecida a la que usamos
hoy.
Con símbolos especiales, incógnitas, etc, la cual aparece entre los Siglos XVI y
XVII.
Entre los nombres a destacar en esta época se encuentra François Viète. En
1591 hizo imprimir su obra más importante: In artem analyticam isagoge
(introducción al método analítico).
Su aportación supuso un cambio en la forma de trabajar de los algebristas al pasar
de resolver casos particulares a razonar un método de trabajo para resolver casos
generales.
Girolano Cardano En 1539 publicó su libro de aritmética Practica arithmetica et
mensurandi singulares. Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto
grado en su Ars magna.
Niccolò Fontana Tartaglia desarrolla la fórmula general para resolver las
ecuaciones de tercer grado que publicó Cardano. Publicó las primeras
traducciones al italiano de las obras de Arquímedes y Euclides.
A la fecha existe una gran cantidad de nombres que podríamos seguir citando, así
como también áreas dentro de la misma algebra que para este curso no vamos a
tratar, ya que la parte en que se enfoca el curso son los principios y elementos
básicos del algebra que permitirán un estudio suficiente para abordar temas mas
avanzadas en otras asignaturas como lo es la geometría analítica o el calculo.
Elementos Básicos de algebra.
Al empezar con el estudio del Álgebra como hoy se realiza aparecen expresiones,
que contienen elementos conocidos como constantes y también variables o
incógnitas, a las que llamamos expresiones algebraicas, estas expresiones
algebraicas permiten transformar la información dada en algún enunciado o
problema en datos e información relevante que permite contestar y dar respuesta
a lo que se pregunta.
Generalmente es conveniente identificar de manera precisa lo que se da en
información textual para poder interpretarla en expresiones matemáticas.
De este modo, al conjunto de números y letras que representan operaciones entre
cantidades se llama expresión algebraica.
Dichas cantidades que son conocidas, se les denomina comúnmente constantes y
están definidas por una cantidad numérica y las que no están definidas o es lo
que se va a determinar su valor se les denomina incógnitas o variables.
A continuación se muestran algunos ejemplos de estas definiciones.
3x + 4 contiene una parte algebraica que es “3x”, y una parte constante que es
“4”, la cual se identifica porque no contiene una variable o literal sino es
simplemente un valor numérico.
2x3 es una expresión que contiene solo una parte algebraica que es “2x3”
3x + 2y – 1 es una expresión que contiene dos términos algebraicos y un
numérico.
-4 es una cantidad constante o numérica porque no contiene parte literal.
Una expresión algebraica se puede convertir en una cantidad definida cuando a la
parte literal se le asigna algún valor numérico por ejemplo:
Si la expresión 5y – 2, a la variable o literal “y” se le asigna el valor de y= 3,
entonces en la expresión se sustituye dicho valor y se obtiene una cantidad
numérica quedando entonces:
5 (3) – 2 = 15 – 2 = 13 que es ya una cantidad perfectamente determinada.
Recuerda que el paréntesis indica multiplicación.
Algunos ejemplos sobre determinación de valores numéricos de expresiones
algebraicas se muestran a continuación:
1).
Si se tiene la expresión algebraica x + y, asignando el valor de “x”= 5, “y”=
2, entonces tenemos: 5 + 2 = 7
2). Si se tiene la expresión x2 + 1, y se asigna el valor de “x” = 4,
Entonces tenemos: (4)2 +1 que resulta 16 + 1 = 17, recordando que elevar al
cuadrado un numero es multiplicarlo por si mismo. Es decir (4) 2 +1 = (4)(4) + 1 =
17 que ya se ha mencionado.
3). Si se tiene la expresión algebraica 2a - b, y se asigna el valor de “a”= 6 y de
“b”= 5, entonces tendremos: (2)(6) -5 = 12-5 = 7
Podemos observar entonces de los ejemplos dados anteriormente que una
expresión algebraica, la cual contiene partes literales no está definida, sin
embargo se puede determinar su valor numérico siempre que se conozcan o se
asignen valores a dichas literales, convirtiéndose entonces en una cantidad
determinada o constante.
Expresiones algebraicas.
El lenguaje algebraico es la forma en la cual como se ha mencionado
anteriormente, se transforma, escribe y comunica información textual de algún
enunciado o problema en forma matemática para realizar las operaciones, aplicar
procedimientos y dar solución a la situación que se plantea, para ello es
sumamente importante poder comprender y expresar en términos algebraicos esta
información y datos.
En primer lugar hemos de definir inicialmente algunos términos básicos que serán
la base que permitirá entender los conceptos que se han de utilizar en esta y las
siguientes unidades del curso.
Las expresiones algebraicas son aquellos términos que contienen componentes
numéricos y literales (letras o símbolos) para representar información, es
sumamente importante saber que en todas las expresiones algebraicas siempre
se han de encontrar los siguientes componentes:

Coeficiente. Es la parte que esta indica con valor numérico, y puede ser
positiva, negativa o incluso una fracción.

Variable o literal. Las incógnitas o variables o literales es la parte (con
letra) que acompaña al coeficiente.

Exponente. El exponente representa la potencia de esa incógnita y a partir
de éstos exponentes se obtiene el grado de un término. Este se escribe más pequeño y
en la parte superior derecha de la incógnita.
El siguiente ejemplo muestra un término algebraico.
Ejercicios de repaso.
A continuación se muestran mas ejemplos de términos algebraicos, se hace
énfasis en que también existen en algunos casos o situaciones en expresiones
que contienen términos con coeficientes y exponentes negativos. De acuerdo con
los ejemplos mostrados, indica para cada uno de estos, su coeficiente, su variable
y su exponente.
Respuestas:
término
-4y3
6x3
-2x4
2/5 a - 4
-1/2 m -3
coeficiente
-4
6
-2
2/5
-1/2
Variable (o literal)
y
x
x
a
m
Exponente
3
3
4
-4
-3
Como podrás notar, en los términos algebraicos también pueden existir
expresiones que contienen exponentes negativos, incluso puede haber
exponentes fraccionarios como por ejemplo 2 x 1/3, - 4x ½ etc…
Lenguaje algebraico.
Se ha dicho en párrafos anteriores que la base del algebra es la operación y
tratamiento de información que comúnmente se encuentra relacionada tanto en
cantidades conocidas como desconocidas, para ello, los términos algebraicos
vienen de información textual que se encuentra en algún enunciado o problema.
Para poder lograr darle el tratamiento y transformación que requiere la
matemática, procederemos a explicar la forma de expresar en términos del
algebra dicha información.
Es importante señalar algunos aspectos que del lenguaje común son de uso
frecuente que debes comprender y tener en cuenta para que los apliques en los
casos que se requiere, para ello mencionamos su significado matemático en la
parte derecha de la tabla.
Cuando el enunciado indica:
El significado matemático es:
diferencia
Incremento
El cuadrado
El doble
cociente
producto
Una operación de resta
Aplicar la operación de Sumar
Es la multiplicación de una cantidad por sí mismo
multiplicar por 2
Aplicar la operación de dividir
una multiplicación
El cubo
El cuádruplo
Elevar una cantidad a la tercera potencia
Multiplicar por 4
Una vez clarificados estos términos, procedemos a describir en la siguiente tabla
algunos ejemplos escritos en forma textual en la parte izquierda y su interpretación
al lenguaje algebraico en la parte derecha.
Es importante mencionar que cuando se dice “un numero” sin especificar el valor,
entonces ello significa que se puede representar esto con cualquier literal o letra
como se muestra en la tabla.
Por ejemplo en el primer caso pudo haberse escrito en lugar de “x”, la letra “y” o
bien cualquier otra. En el segundo caso para representar el doble de un número
pudo haberse escrito otra letra en lugar de la “y” como por ejemplo 2a, 2x, 2m, etc.
En la siguiente sección se muestran algunos ejemplos más sobre la
transformación de enunciados a expresiones algebraicas.
Actividad de repaso.
Ahora es momento de practicar la transformación de expresiones algebraicas a
enunciados, lo cual permitirá ir mejorando el manejo y utilización del lenguaje
algebraico.
Completa la siguiente tabla, escribiendo en la parte derecha el enunciado que
corresponde a la expresión algebraica de la primera columna.
Caso
1
Expresión algebraica
2a - 1
2
3
4
5
3x2
b3
Y+5
A+B
4
m2 +2
X2 – y2
6
7
Enunciado o interpretación
8
9
10
X2 – 2x
2x - 3
½ ( m-n)
Respuestas de ejemplos impares.
1 El doble de un numero disminuido en una unidad
3 El cubo de un numero
5 La cuarta parte de la suma de dos números.
7 La diferencia de los cuadrados de dos números.
9 el doble de un número disminuido en tres unidades.
Cabe recordar que el cuadrado de un número es la multiplicación de un número o
expresión por si mismo, por ejemplo: x 2 = (x)(x), 32 = (3)(3) = 9 52= (5)(5)=25
De la misma forma el cubo de un numero es la multiplicación del numero por si
mismo tres veces, por ejemplo: y3= (y)(y)(y), 23 = (2)(2)(2) = 8,
En general el exponente, al cual también se le denomina potencia, indica el
número de veces que se ha de multiplicar por sí mismo la cantidad que se tiene.
La siguiente tabla algunos ejemplos de potencias.
Ejemplo de cantidad Número de veces
o expresión
que se multiplica
3
5
3
24
4
62
2
43
3
operaciones
resultado
(5)(5)(5)
(2)(2)(2)(2)
(6)(6)
(4)(4)(4)
125
16
36
64
EJEMPLOS PRACTICOS DONDE SE EMPLEA EL LENGUAJE ALGEBRAICO.
El lenguaje algebraico y las expresiones algebraicas como se he mencionado se
emplea en todas las situaciones en las que se requiere el transformar información
de algún problema, caso o situación a resolver y que primeramente se ha de
traducir al lenguaje propio del algebra. A continuación se muestran algunos
ejemplos donde se observa la manera en la cual se emplean estos conceptos.
1.- un terreno de forma rectangular mide en el lado mas largo 5 metros más de
longitud que de ancho. Cual es la expresión algebraica que permite determinar su
largo y su ancho?.
Respuesta.
Largo = x+5, ancho = x,
Por ejemplo Si el ancho “x” mide por ejemplo 30 metros entonces el largo es:
30 +5 =35
2.- una caja de cartón mide de largo el doble que de ancho y de altura mide la
mitad que de ancho. Cual es la expresión para indicar sus medidas en términos
algebraicos?
Ancho= x, largo = 2x, la altura es ½ x.
3.- una persona tiene ahorrados en el banco una cantidad “m” de dinero, al cual
agrega una cantidad de la cuarta parte de lo que tiene. Cual es la expresión que
indica el total de ahorro en el banco?
Cantidad ahorrada: m
Cantidad que se agrega: 1/4 m
Total de dinero: m + 1/4 m
Si por ejemplo la cantidad “m” que hay ahorrada es 2000 pesos, entonces el total
es:
2000+ 2000/4 = 2000 + 500 = 2500
4.- en un mes de 28 días, han transcurrido “y” cantidad de días, y para efectos de
calcular el tiempo que falta para terminar el mes, cual sería la expresión para
indicarlo?
Tiempo para terminar el mes= 28 – y
5.- si una persona en una papelería adquiere 3 libretas que cuestan “x” pesos y 2
lápices que cuestan “y” pesos, cual es el costo total que debe pagar:
Costo total= 3x + 2y
Si por ejemplo las libretas “x” cuestan $12.00 y los lápices “y” cuestan $ 4.00
entonces el total es: 3(12) + 2(4) = 36 + 8 = $44
6.- Un hotel tiene tres pisos, en el tercero hay “n” cantidad de habitaciones, en el
segundo piso hay el doble que en el tercero y en el primero el triple que en el
tercero, cuantas habitaciones hay en total?
Habitaciones en tercer piso : n
Habitaciones en el segundo piso : 2n
Habitaciones en primer piso : 3n
Total de habitaciones: 6n
7.- si el presupuesto para gastos de una semana en una empresa ascienden a “r”
cantidad de dinero y solo se utiliza “n” cantidad de dinero, cuanto es lo que queda:
Cantidad de dinero que queda= r-n
Si por ejemplo el presupuesto “r” es $ 23,500 y se usa solamente “n” = $12,800 la
cantidad que restaría es: $10,700
8.- Si Pablo en su empleo recibe “a” cantidad de dinero en salario diariamente y
trabaja 5 días a la semana, luego adicionalmente recibe una compensación “b” de
dinero entonces lo que recibe es:
Dinero recibido= salario diario “a” por 5 + b = 5a + b
9.- una empresa va a diseñar una alberca de material plástico en forma de prisma
la cual de largo debe medir 2 metros más que de ancho y de profundidad debe
medir 1 metro menos que de ancho. Cual es la expresión algebraica para indicar
sus medidas?.
Ancho= a,
largo= a+2, profundidad= a-1
Por ejemplo si la medida del ancho es “a” = 3 metros entonces
El largo es: a+2= 3+2= 5 metros y la profundidad es: a-1= 3-1 = 2
10.- un traje tiene un precio de “m” pesos, y se le debe agregar a esta cantidad 13
pesos por concepto de impuesto de cada traje. Si un comprador adquiere 4 trajes.
Cual es la expresión que representa lo que debe pagar en total?
Pago total= 4(m+13)
que también se puede escribir como: 4m + 52
REFERENCIAS.

Anfossi A. et All. Algebra. Editorial Progreso. México D.F. 2006

Baldor A. Algebra. Publicaciones Cultural. México D.F. 2002.

García M. A. Algebra para bachillerato. Editorial Esfinge. México D.F. 2010.