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Ejemplos 2.
Cinemática de los Cuerpos Rígidos
2.1.
Rotación alrededor de un eje fijo
2.1A.** El bloque rectangular rota alrededor de la recta definida por los puntos O y A con
una velocidad angular de 6,76rad/s. Si la rotación, vista desde A es antihorario, hallar
la velocidad de B en el instante mostrado (Ver Animación 9).
y
240mm
A
100mm
312mm
B
312mm
O
z
( )
x
()
( )
r
Respuesta: v B = 0,75 − î + 0,24 ĵ + 0,312 − k̂
•
•
•
•
•
•
Se
la ecuación para cuerpos rígidos en rotación con respecto a un eje:
r aplica
r r
v B = ω × ρB / O
r
Se tiene que determinar la dirección de ω , ya que se sabe su magnitud.
r
El vector de la velocidad angular ω tiene la misma dirección que el vector posición
entre los puntos O y A.
Determine el vector entre los puntos O y A para que apunte en el sentido de la
velocidad angular.
r
Aplica A = AÂ para encontrar la parte relacionada con su dirección.
r
Determine la velocidad angular como vector: ω = ω .
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2.2.
Movimiento Plano
2.2A.** La velocidad angular de BA es constante e igual a 3 rad/s en sentido horario.
Encuentre: a) la velocidad y aceleración del punto C en la configuración dada, b) la
aceleración del punto C cuando vc = 0 (Ver Animación 10).
C
30cm
B
26cm
12
5
A
( )
r
Respuesta: a) a C = 39,3 − î ;
•
( )
r
b) a C = 438,3 − î
Considere la barra AB, el punto B con respecto a A se mueve con movimiento
circular (ver Figura 2.i) (rotación con respecto a un eje fijo)
r
vB
B
r
aB
26cm
67°
A
Figura 2.i
•
Conociendo la velocidad de B se aplica la ecuación para movimiento plano a la
barra BC y determinar la velocidad de C.
•
Con coordenadas intrínsecas (como es movimiento circular) o cuerpos rígidos se
encuentra la aceleración de B como el extremo de la barra AB.
•
Con cuerpos rígidos en movimiento plano aplicado a la barra BC se determine la
aceleración de C.
•
Para la parte b) se tiene que determinar la posición en la cual el punto C tiene
velocidad cero. Por observación, ésta es la posición en la cual el sistema no
puede moverse más hacia la derecha.
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Ejemplos 2. Cinemática de los Cuerpos Rígidos
2.2B.*** Las barras OP y O’B están articuladas en O y O’. La barra O’B está, también
articulada al cuerpo ranurado en B. El extremo superior de OP está articulado en P a
un rodillo que se mueve libremente en la ranura. Las velocidades angulares de las
barras son ωOP = 0,2 rad/s y ωO’B = 0,4 rad/s, las dos en el sentido horario y
constantes.
Determinar la velocidad de P relativa al cuerpo ranurado y la velocidad angular del
cuerpo ranurado en el instante dado.
P
8
15
B
0,5m
0,2m
3
24
4
7
O
O’
( )
r
Respuesta: r&P = −0,0336m / s ω CR = 1,224 − k̂ rad / s
•
El movimiento de P con respecto a 0 es una rotación simple y, por lo tanto, la
velocidad de P se puede expresar así:
r
r
r
v P = ωOP × ρP / O
•
Para determinar el movimiento de P con respecto al brazo ranurado se tiene que
armar otra ecuación para la velocidad de P. Se ubica un sistema móvil en el punto
r
r
B que rota con ωO 'B y, así usando coordenadas polares para ρ& analizar el
movimiento de P. El sistema fijo se ubica en O’.
•
Se igualan las dos ecuaciones para la velocidad de P para encontrar r&p y θ& BP .
•
Ojo: θ& BP no es la velocidad angular total del brazo ranurado.
2.2C.*** El centro C del pequeño cilindro con radio 2m tiene una rapidez de 0,1t2m/s, al
moverse en sentido horario sobre una superficie circular con radio 15m. La barra B
está articulada al cilindro en C y resbala sobre la superficie. En la posición mostrada, t
= 10s, encuentre la aceleración del punto B de la barra que está en contacto con la
superficie (Ver Animación 11).
C
2m
B
15m
( )
( )
r
Respuesta: a B = 0,904 − î + 5,43 − ĵ
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•
La barra forma el tangente de la superficie circular, por lo tanto, la velocidad de B
queda tangente a esta superficie. Así se puede formular una ecuación para la
velocidad de B en términos de su dirección y dejando como incógnita la magnitud
de la velocidad.
•
Por otro lado, se puede considerar el movimiento plano de la barra y sabiendo la
velocidad de C, formular otra ecuación para la velocidad de B con la velocidad
angular de la barra como incógnita.
•
Se igualan las dos ecuaciones para encontrar los dos incógnitas.
•
Se hace lo mismo para la aceleración de B, ahora definiéndola en términos de
coordenadas intrínsecas y luego con cuerpos rígidos.
2.2D.** Una rueda tiene rodamiento a lo largo de una superficie circular. En la posición
mostrada su velocidad angular ω = 3rad/s y su aceleración angular α = 5rad/s2, ambas
en sentido horario. Determine la aceleración angular de la barra AB.
B
0,5m
3
0,8m
4
A
C
0,2m
r
Respuesta: α AB = 14,67(− k ) rad/s
•
Se quiere aplicar la ecuación para movimiento plano de los cuerpos rígidos a la
barra AB. Por lo tanto, se necesita determinar la aceleración de A.
•
Se considera la aceleración de A como un punto en el cuerpo rígido de la rueda en
movimiento plano. Por lo tanto, se tiene que determinar la aceleración de C.
•
Ojo la aceleración de C no es αr î .
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Ejemplos 2. Cinemática de los Cuerpos Rígidos
2.3.
Movimiento tridimensional
2.3A.** La figura representa la vista frontal de un mecancismo con las dimensiones
respectivas. En el instante dado, cuando tgθ = ¾, la barra AB de 1,5m gira alrededor
& 2 = −3rad / s 2 . Simultaneamente, la plataforma a la
de un eje A con ω 2 = 2 rad / s y ω
& 1 = 1 rad / s 2 ,
cual está adherido este eje, gira alrededor de AC con ω1 = 3 rad / s y ω
mientras la barra ACD que sostiene la plataforma está girando alrededor del eje fijo
& 3 = −2 rad / s 2 . Determinar la velocidad y la aceleración del
DC con ω 3 = −4 rad / s y ω
extremo B de la barra AB.
B
1,5m
θ
A
0,6m
C
D
0,9m
( )
( )
( )
r
r
Respuesta: v B = −1,8 î + 2,4 ĵ − 9,6k̂ m/s , a B = 12,9 − î + 60,0 − ĵ + 12,6 − k̂ m / s 2
•
Para encontrar la velocidad y aceleración del punto B se tiene que determinar la
velocidad y aceleración angular absoluta de la barra AB. La Figura 2.ii muestra las
direcciones de las velocidades angulares según los ejes mostrados.
y
r
ω1
B
A
C
x
r
ω2
D
z
r
ω3
Figura 2.ii
•
La velocidad angular absoluta es la sumatoria de las velocidades angulares que
afecta el movimiento de la barra.
•
La aceleración absoluta es la sumatoria de las aceleraciones angulares asociadas
& ) y las aceleraciones
con el cambio en la magnitud de la velocidad angular ( ω
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Ejemplos 2. Cinemática de los Cuerpos Rígidos
•
angulares asociadas con los cambios en las direcciones de las velocidades
angulares. Por esta última parte se aplica la ecuación:
r& r r
A = ω× A
(ver Ecn 1.11, Sección 1.3.3 de los Apuntes)
r
r
Una vez que se determinen ω AB y α AB se aplican las ecuaciones de cuerpos
rígidos para encontrar la velocidad y aceleración del punto B.
2.3B*** El sector de 45° de una placa circular de 250mm de radio está unido a una rótula
en 0. Cuando el borde 0A se mueve sobre la superficie horizontal el borde 0B
desciende por la superficie vertical. Sabiendo que el punto A se mueve con una
rapidez constante de 1,5m/s, hallar en la posición mostrada: a) la velocidad angular
de la placa y b) la velocidad de B.
y
B
0
45°
60°
z
x
A
( ) ( )
( )
r
r
Respuesta: a) ω = 8,49 − î + 6 − ĵ + 4,9 − k̂ rad/s b) v B = 0,716 î − ĵ m/s
•
De la Figura 2.iii se ve que el movimiento de los puntos A y B se restringe mover
por un círculo en el plano horizontal xz en el caso de A y en el plano vertical xy en
el caso de B con el centro en 0.
y
B
0
z
α
60°
x
A
30°
Figura 2.iii
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Ejemplos 2. Cinemática de los Cuerpos Rígidos
•
Se puede expresar la velocidad de A en términos de su dirección, que se sabe
queda perpendicular a OA y la magnitud.
•
Se puede formular otra ecuación para la velocidad de A en términos de cuerpos
rígidos con respecto a O. Las incógnitas son las tres componentes rectangulares
de la velocidad angular de la placa.
•
Igualando las dos ecuaciones se encuentra una componente de la velocidad
angular y se puede relacionar las otras dos.
•
Se realiza el mismo análisis con el punto B. En este caso no se conoce el ángulo
α (ver Figura 2.iii).
•
Pista: Considere el producto punto entre dos vectores:
r
r
rB / O ⋅ rA / O = rB / O rA / o cos 45
2.3C.*** La placa tiene el siguiente movimiento:
a. La esquina A se mueve sobre el eje x.
b. La esquina B se mueve sobre el eje y con velocidad constante de 6 ĵ m/s.
c. Algún punto del borde superior de la placa (Q) está siempre en contacto con el
eje z.
Encuentre la velocidad angular de la placa cuando xA = 3m.
z
Q
2,6m
x
B
5m
A
( )
y
( )
r
Respuesta: ω = 1,67 − î + 2,22 ĵ + 2 − k̂ rad / s
•
Con los datos dados se puede formular una ecuación para la velocidad de A en
términos de cuerpos rígidos con respecto a B.
•
Así se encuentra una componente de la velocidad angular y se puede relacionar
las otras dos.
•
Se aplica el mismo análisis al punto Q.
•
Verifique que la componente en y de la posición de Q es 1m.
•
Desde la Figura 2.iv se ve que la velocidad de Q tiene dos elementos.
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Ejemplos 2. Cinemática de los Cuerpos Rígidos
z
z&
Q
v xy
37°
0
(
y
( )
r
rB / A = 5 sen37 − î + cos 37 ĵ
A
x
B
)
Figura 2.iv
2.3D.*** Los engranajes A y B giran libremente sobre un eje doblado D, mientras que el
engranaje C está fijo. El eje D gira alrededor del eje y con una velocidad angular
constante ωo. Para la posición que se muestra, calcule: a) la velocidad angular del
engranaje A, b) la velocidad angular del engranaje B, c) la aceleración angular del
engranaje A (Ver Animación 7).
( )
r
r
Respuesta: ωB = 4,15ω o ĵ , α A = 0,94ω o2 − î
z
Ι
R
R
20º
D
r
ω2
O
R
K
r
ωo
20º
y
O’
Figura 2.v
•
Determine la velocidad del centro del engranaje A (punto O, ver Figura 2.v),
dado que este punto esta girando con la velocidad angular ωo.
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Ejemplos 2. Cinemática de los Cuerpos Rígidos
r
r
r
v o = ωo × ρ o / D
•
•
Aplica la ecuación de cuerpos rígidos para formular una expresión para la
velocidad del punto del engranaje en contacto con el engranaje fijo C (punto Ι
ver Figura 2.v). Este punto tiene velocidad cero.
r
r
r
r
v Ι = 0 = v o + ωA × ρΙ / o
r
r
r
La velocidad angular del engranaje A, ω A es la suma de ω o y ω 2 (ver Figura
2.v).
•
Ahora aplica la ecuación de cuerpos rígidos para formular una expresión para
la velocidad del punto de contacto entre el engranaje A y B (punto K, ver Figura
2.v).
r
r
r
r
v K = v o + ωA × ρK / o
•
Considerando el engranaje B, se formula la siguiente expresión para la
velocidad de K:
r
r
r
v K = ωB × ρ K / o '
•
La aceleración angular se obtiene con la Ecn 1.11 de los Apuntes.
2.3E.*** Un cono A rueda sin patinar dentro de un cono estacionario B, con una velocidad
angular constante ω1= 3,6rad/s. Calcule la velocidad y aceleración angular del cono A
(Ver Animación 6).
r
r
Respuesta: ω cono = 1,8 ĵ + 1,8k̂ , α cono = 2,38 î
•
Determine una expresión para la velocidad del punto C, considerando el
r
movimiento como una rotación simple con velocidad angular ω z (incógnita)
con respecto a O (ver Figura 2.vi).
•
Determine una ecuación para la velocidad de Ι, ahora considerando el cuerpo
rígido del cono chico. La velocidad angular del cono es la suma de las dos
velocidades angulares mostradas (ver Figura 2.vi).
•
La aceleración angular se obtiene con la Ecn 1.11 de los Apuntes.
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Ejemplos 2. Cinemática de los Cuerpos Rígidos
z
r
ω1
r
ωz
C
Ι
L
45º
O
15º
y
Figura 2.vi
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