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LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia - 2004
2
Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax  bx  c  0 se analizó el signo del
2
discriminante b  4ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la
ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar
los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y
una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del
conjunto de los números complejos.
Sección 1
Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.
Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra Z al conjunto de
 a, b en el cual definimos las siguientes operaciones:
los pares de números reales
 a, b   c, d    a  c, b  d 
 a, b  c, d    ac  bd , ad  bc 
Multiplicación.
Suma.
 a, b llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Note que la suma
En el número complejo
y producto de pares no está definida en Z2.
Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:
Igualdad.
 a, b   c, d   a  c
 bd
Multiplicación por un escalar. (a, b)  ( a,  b) donde α ε Z
 2,1 y  0, 3 , hallar:
Ejemplo. Dados
 2,1   0, 3   2  0,1  (3)    2,  2
a)
 2, 1 0,  3   2(0) 1(3), 2(3) 1(0)   3,  6
b)
 2,10, 3  2  1,1  3,  6    2,  2  5,  8
c)
Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los
mismos mediante el plano Z2 (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las x y
eje imaginario (Im) al eje de las y .
1
Gráfica 1: Representación del número complejo (a, b) .
Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el
 a,0 coincide con el número real a . De este modo tenemos a  (a,0)
plano Z2 el número complejo
cuando α ε Z. Los números complejos de la forma (0, b) son llamados imaginarios puros.
Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar α ε Z:
  a, b     a,  b 
 , 0  y aplicamos la definición de multiplicación:
Para eso escribimos el número real  en la forma
  a, b    ,0 a, b     a  0b ,  b  0a    a,  b 
Denotaremos el número complejo
2
demostrar que i  1 .
.
(0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil
i 2  (0,1)2  (0,1)(0,1)   0(0) 1(1),0(1)  1(0)   (1,0)  1
2
Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación x  1  0 .
x 2  1  0  x 2  1  x 2  i 2  x   i
Forma binómica de un número complejo
z  (a , b) un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:
Sea
z  (a , b)  (a,0)  (0, b)  a (1,0)  b (0,1)
(1, 0)  1 (0,1)  i
(a, b)  a  bi . En este caso a  bi se llama forma binómica o
Pero como
y
, entonces
binomia del número complejo.
Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica
 a  bi    c  di    a  c   b  d  i , puesto que a, b, c, d son todos números reales.
 a  bi  c  di   ac  adi  bci  bdi 2   ac  bd    ad  bc  i porque i2  1 .
2
Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio;
por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede
realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se
trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.
Ejemplo. Si z1  (3, 2) y z2  (4, 1) , halle z1  z2 y z1 z2 .
z1  z2  (3, 2)  (4, 1)  3  2i    4  i   7  i
z1 z2  (3, 2) (4, 1)  (3  2i)(4  i)  12  3i  8i  2i 2  (12  2)  (3  8)i  14  5i
Conjugado de un número complejo
Si z  x  yi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número z  x  yi , es
decir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto.
Ejemplo. Si z  3  2i , entonces z  3  2i y si z  3  2i , entonces z  3  2i .
Módulo y argumento de un número complejo
z  (a , b)  a  bi un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo z , al
Sea
a2  b2 y lo denotaremos por z . El módulo se interpreta como la distancia al
número real dado por
origen del número z (Gráfica 2).
Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z  a  bi , al ángulo comprendido entre el
z
eje x y el radio vector que determina a
. El argumento de z se denota por arg( z) y se calcula
mediante la expresión:
b
arg( z )  arctan  
a.
Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo.
2
zz  z
Propiedad:
Demostración:
z z  (a  bi )(a  bi )  a 2  abi  abi  y 2i 2 
  a 2  b 2    ab  ab  i  a 2  b 2  0i  a 2  b 2  z
2
División de números complejos
La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del
denominador:
3
z1 a  bi a  bi c  di ac  bd  (ad  bc)i ac  bd  (ad  bc)i





2
z2 c  di c  di c  di
c2  d 2
z2
z1
z
z

2

3
i
z


1

2
i
z
Ejemplo. Dados 1
y 2
, halle: (a) 2 y (b) 2 .
(a) Como z2  1  2i entonces z2  1  2i
z1
z
(b) Para hallar 2 multiplicamos y dividimos por el conjugado z 2 .
z1
2  3i
2  3i 1  2i (2  3i)( 1  2i)




z2 1  2i 1  2i 1  2i (1  2i )(1  2i )
2  4i  3i  6i 2 8  i
8 1

  i
5
5 5
(1) 2  (2) 2
Raíces complejas de la ecuación de segundo grado
2
2
Si el discriminante de la ecuación ax  bx  c  0 es negativo, debe sustituirse el signo negativo por i y
de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.

2
Ejemplo. Resolver la ecuación x  2x  6  0 .
Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:
x
(2)  (2) 2  4(1)(6) 2  4  24 2  20


2(1)
2
2
20 i 2
Se puede ver que el discriminante es 20 lo cual puede escribirse como
. Por lo tanto:
x
2  20 2  20i 2 2  2 5 i


 1 5 i
2
2
2
Así, las raíces complejas de la ecuación son: x1 1  5 i y x2  1  5 i .
4
Ejercicios de la Sección 1.
Dados los números complejos z  (3, 2) y w  (1, 4) , halle:
(a) z  w , (b) z w , (c) 3z  4w , (d) (1, 0)w , (e) (0, 2)z .
Muestre que (0, 0) es el elemento neutro para la suma de números complejos.
Muestre que (1,0) es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.
Calcule:
1
1
2
3
4
5
(a) i , (b) i , (c) i , (d) i , (e) i .
Calcule:
4n
4 n 1
4n 2
4n 3
(a) i , (b) i , (c) i
, (d) i
.
(
x
,
y
)
(
u
Dado el número complejo
halle el par , v) tal que ( x, y) (u, v)  (1,0) . Al par se le llama inverso
multiplicativo de ( x, y) . Concluya que el par (u, v) es único y que el (0, 0) no tiene inverso
multiplicativo.
Verifique que z  z .
Verifique que uv y uv son conjugados.
Calcule:
1  3i
3  3i

2

4
i
(a)
, (b) 2  2i .
Resuelva la ecuación (2  i) z  3  i .
Halle z tal que (2  i)(1  i)  2  z i .
Calcule y represente en el plano complejo los números z  x  yi , tales que:
z 5
z 5
(a)
, (b)
.
Calcule y represente en el plano complejo los números z  x  yi tales que:
z2 5
z i  z i
zz  z
, (c)
.
2
x

3
x

3

0
Resuelva la ecuación cuadrática
.
2
2
x

4
x

5

0
Resuelva la ecuación cuadrática
.
(a)
, (b)
2
2
Resuelva la ecuación cuadrática x  3x  8  0 .
4
2
Resuelva la ecuación x  13x  36  0 .
Sección 2
Forma trigonométrica o polar de un número complejo
La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo de la
Figura 3:
5
Gráfica 3: Forma trigonométrica de un número complejo.
En este caso se tiene que
Luego:

 sin  

cos  

r  z  ( x, y)
 y
  arg( z )  tan 1  
 x .
y que
y
 y  r sin 
r
x
 x  r cos 
r
Por lo tanto:
z  ( x, y)  x  yi  r cos   i r sin   r (cos   i sin )
Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar del número complejo, la cual está en términos del módulo
y el argumento. Se denota comúnmente por z  r cis  .
Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de z  1  i .
Hallemos
r  (1) 2  (1) 2  2

 1 
  tan 1    
4.
 1 
y
Note que  está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:


 
  

  
 
z  1  i  2  cos     i sin      2  cos    i sin     2 cis  
 4
 4 
4
 4 
4.


Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica
u v   rs  cis    
Sean u  r cis  y v  s cis  , entonces
. En otros términos:
uv   rs  cos(  )  i sin(  ) 
Demostración:
u v  r cis   s cis 
  rs  cis  cis  
  rs  cos   i sin   cos   i sin  
  rs   cos  cos   i cos  sin   i sin  cos   i 2 sin  sin  
  rs  cos  cos   sin  sin   i(cos  sin   i sin  cos ) 
  rs  cos(  )  i sin(  ) 
 (rs ) cis(  )
Por lo tanto, la multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado
un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la
suma de los argumentos.


  
 
 
u  2cis   v  3  cos    i sen     3 cis   
4
4




 4 .
4


  y
Ejemplo. Sea
Entonces
u v  6cis(0)  6  cos(0)  i sin(0)   6
6
Fórmula de Moivre
Empleando el resultado del Ejercicio 3b de esta sección,
 cos   i sin  
n
 cos( n)  i sin(n)
z n  r n cis(n)
, y tomando r  1 , tenemos:
.
Esta expresión es la llamada fórmula de Moivre.
Forma exponencial de un número complejo
Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los números reales, los conceptos de función,
derivadas, series, etc. Vamos a demostrar la fórmula de Euler:
ei  cos   i sin 
.

Empleemos el desarrollo en serie de potencias de la función
cuando la variable x es un número complejo z .
xn
n  0 n ! , suponiendo que sea válido para
ex  

zn
z z 2 z3
zn
 1     .....   ...
1! 2! 3!
n!
n0 n!
ez  
Si tomamos z  i  , nos queda:
(i) n
(i) (i) 2 (i)3
(i) n
 1


 ..... 
 ...
1!
2!
3!
n!
n0 n!

ei  
 2 2 3 3 4 4 5 5
i
i
i
i
 ...
1!
2!
3!
4!
5!
 2
3 4
5
 1  i   i   i  ....
1! 2!
3! 4!
5!
 1 i
Agrupando tendremos:
 2 4
   3 5

ei  1    ....   i     .... 
2! 4!

  1! 3! 5!

ei  cos   i sin 
Estos son los desarrollos de cos  y sin  respectivamente. Así que
.
z  r (cos   i sin )
Sea
un número complejo donde r es su módulo y  su argumento. Entonces
mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:
z  r (cos   i sin )  r ei
.
Esta expresión es la llamada forma exponencial del número complejo. Note que la forma exponencial es
equivalente a la trigonométrica pues dependen de los mismos elementos: módulo y argumento del número
complejo z . Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multiplicación, división y potenciación
empleando las leyes del álgebra.
Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial
7
i
i
Sean u  re y v  se . Entonces:
u v  rei sei   rs  ei ()
u rei  r  i ( )

 e
v sei  s 
i
Ejemplo: Sea u  6 e

4
u


i
i
 2ei (0)  2
4
2
v

3
e
u
v

18
e

6
i
v
y
. Entonces
y
.
Ejercicios de la Sección 2.
Represente:
(a) en la forma trigonométrica el número complejo 3  3i .
2  cos   i sin 
(b) en la forma binómica el número complejo
.
Represente:
(a) en la forma trigonométrica el número complejo 2  2i .


  
2  cos    i sin   
3
 3  .
(b) en la forma binómica el número complejo 
Multiplicando el mismo número complejo n veces, efectúe y emplee identidades trigonométricas para
comprobar que si
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) ,
z2  r2 (cos 2  i sin 2 )
, …,
zn  rn (cos n  i sin n )
entonces
(a)
(b)
(c)
z12  r12  cos(21 )  i sin(21 ) 
z1n  r1n  cos(n1 )  i sin(n1 ) 
z1 z2 ... zn   r1r2 ...rn  cis  1  2  ... n 
.
Extienda el resultado a las potencias enteras negativas.
Calcule:
 1  i 3  ,
(a)
9
1
 2  2i 
7
(b)
Dados u  2  i 2 y v  2  i 2 , emplee la forma exponencial para hallar:
u v.
(a) uv , (b)
Dados u  2  i 2 y v  2  i 3 , emplee la forma exponencial para hallar:
u v.
(a) uv , (b)

Halle
3i

4
 1  i 3 
6
.
1  i 
9
 1  i 
84
Halle
8
Sección 3
Raíces n-ésimas de un número complejo
En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma
trigonométrica o exponencial un mismo número complejo tiene infinitas representaciones diferentes,
z  r ei (  2 k  )
con k  . Para cada valor de k habrá una representación diferente del número complejo
z.
Definamos la radicación como la operación inversa de la potenciación, esto es:
z  n w  zn  w .
i
i
Supóngase que w  re es un número complejo de módulo r y argumento  y que z  se un número
n
complejo de módulo s y argumento  . Entonces z  w equivale a:
z n  s n ei n  rei  r ei (  2 k  )  w
.
De esta manera:
n
(1) s  r
(2) n    2k 
i
Por lo tanto, z  se donde s  r y
n

  2k 
n
, con k  1, 2,
,n.
Estas son las fórmulas para hallar las n raíces n-ésimas de cualquier número complejo. Compruebe que
para todo otro valor de k , con k  , se obtienen las mismas n raíces que para k  0,1, , n 1 .
Ejemplo. Hallar
i
1 i .
  2k 
 4
2  2 y
2
, con k  0,1 . Entonces:

4
1  i  2 e . Por lo tanto s 
4
i

4
8
Para k  0 , tenemos z1  2 e .
i
4
Para k  1 , tenemos z2  2 e
9
8
.
El logaritmo de un número complejo
Al igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un número complejo como la operación
inversa de la exponencial, esto es:
z  log w  e z  w
.
w

rei es un número complejo de módulo r y argumento  , entonces:
Supóngase que
e z  r ei (  2 k )  w  z  ln r  i (  2k )
Ejemplo. Sea
1  1 ei (0)
.
. Por tanto log (1)  ln(1)  i (2k )  2k  i , con k 
9
.
Ejercicios de la Sección 3
Halle las raíces cuadradas de 1 y verifique que son i y i .
Halle las raíces cúbicas de 1.
Halle las raíces cúbicas de 1 .
Halle las raíces cuadradas del número 1  3 i y expréselas en la forma binómica.
Halle las raíces cúbicas del número 1  i 3 y expréselas en la forma binómica.
Halle las raíces cuadradas de 2  2i y represéntelas en el plano complejo.
Muestre que log(1)  i .
Halle:
(a) log(e) , (b) log(i ) , (c) log(ei) .
1

log(1  i)  ln 2  i
2
4 .
Muestre que
Respuestas
Sección 1
1) a) (2, 2) , b) (5, 14) , c) (13, 22) , d) (1, 4) , e) (4, 6)

x
y 
, 2
2
2 
x y x y 
 u, v   
6)
2
 3  9i
9) a) 10
11) 3  i
13) a)
 x  2
2
 y 2  25
, círculo de radio 5 centrado en (2, 0) y su interior.
1
1  i
2
15)
17) 2i ,  3i
Sección 2
 3 
3 2 cis  
 4
1 a)
5) a) 2, b) i
1 103 i
e
7) 4
Sección 3
1
3

i
3) 2 2
4
i 
i
9
5) 2e , 2e
8) a)
10

9
1  2k  i
i
, 2e
16

9

1 i
2
, c)
10