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Tema 13 Modelos de crecimiento exógeno básicos 13.1 Resolución del modelo con la función genérica de producción. 13.2 Los modelos de Harrod-Domar y de Kaldor. 13.3 El modelo de Solow. Bibliografía: Sala i Martin 1 y 2 Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz 13.1 Resolución del modelo con la función genérica de producción Supuestos Economía sin sector público y sin sector exterior. Población y trabajo coinciden: L Tasa de crecimiento de la población: n (constante). Ahorro e Inversión Renta disponible Yt = Ct + S t [1] Yt = Ct + I t [2] S t = st Yt [3] I t = K& t + δK t [4] Equilibrio mercado de bienes Ahorro Inversión [1] a [4]: Ley de acumulación del capital K& t = st Yt − δK t = st F ( K t , Lt , At ) − δK t Ley de acumulación del capital per capita k&t = st yt − (δ + n)kt = st f (kt , At ) − (δ + n)kt [5] [6] Tasa de crecimiento del capital per capita k&t y f (kt , At ) = st t − (δ + n) = st − (δ + n) = st PMekt − (δ + n) kt kt kt [7] El resultado depende: • Del comportamiento de la productividad media del trabajo y, por tanto, de la especificación de la función de producción. • Del comportamiento de la tasa de ahorro. Tema 13, pág-1 Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz 13.2 Los modelos de Harrod-Domar y de Kaldor El modelo de Harrod-Domar Base Keynesiana: multiplicador y acelerador. Objetivo: efectos del crecimiento económico sobre el empleo. Supuestos Consumo y ahorro: fracción constante de la renta. Economía sin sector público y sin sector exterior. Población y trabajo coinciden: L Tasa de crecimiento de la población: n (constante). Ahorro e Inversión Renta disponible Yt = Ct + S t [8] Yt = Ct + I t [9] Equilibrio mercado de bienes Ahorro S t = sYt [10] I t = K& t + δK t [11] Inversión [8] a [11]: Ley de acumulación del capital K& t = sYt − δK t [12] Ley de acumulación del capital en términos per capita k&t = syt − (δ + n)kt [13] Función de producción Función de coeficientes fijos de Leontief Yt = min( AK t , BLt ) [14] Función de coeficientes fijos de Leontief en términos per capita yt = min( Akt , B) Tema 13, pág-2 [15] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz o ⎧ Ak yt = ⎨ t ⎩ B ~ ∀ k < k = B/ A ~ ∀ k ≥ k = B/ A [16] Gráficamente: y y=B B y=A k k B/A Tasa de crecimiento económico Tasa de crecimiento del capital per capita ~ k&t ⎧ sA − (δ + n) ∀ k < k = B/ A =⎨ ~ kt ⎩sB / kt − (δ + n) ∀ k ≥ k = B / A Caso 1: s A < n + δ n+δ sA k0 B/A k No estado estacionario. Capital y producción convergen a cero Caso 2: s A > n + δ sA n+δ k0 B/A k* k Máquinas sin utilizar en estado estacionario. Exceso de capacidad Tema 13, pág-3 [17] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz Caso 3: s A = n + δ sA=n+δ k01 B / A = k* Si k01 < B/A : desempleo k02 k Si k02 > B/A : única situación eficiente El modelo de Kaldor (1946) Distribución de la renta Yt = MSt + Pt = wt Lt + rt K t [18] Ahorro S t = s w MSt + s p Pt [19] 0 ≤ sw ≤ s p ≤ 1 siendo: operando: ⎡ ⎡ rK ⎤ P⎤ S t = ⎢ s w + ( s p − s w ) t ⎥Yt = ⎢ sw + ( s p − sw ) t t ⎥Yt Yt ⎦ Yt ⎦ ⎣ ⎣ ⎡ rt ⎤ = ⎢sw + (s p − sw ) ⎥Y = st Yt PMek t ⎦ ⎣ [20] La propensión marginal al ahorro ya no tiene porqué ser constante excepto que el peso de los beneficios empresariales en la función de producción se mantenga constante, o de otra manera, que el tipo de interés varíe en la misma proporción que la productividad media del capital Tasa de crecimiento del capital per capita y k&t = st t − (δ + n) kt kt ⎡ rt ⎤ = ⎢sw + (s p − sw ) ⎥ PMekt − (δ + n) PMek t ⎦ ⎣ = sw PMekt + ( s p − s w )rt − (δ + n) [ ] Tema 13, pág-4 [21] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz Suponiendo que r = PMgk k&t = s w PMekt + ( s p − s w ) Pmgkt − (δ + n) kt [ ] [22] A medida que crece el capital, disminuye su productividad media y más aún la marginal, reduciéndose la tasa de ahorro de la economía, acelerándose la convergencia hacia el estado estacionario. Tema 13, pág-5 Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz 13.3 El modelo de Solow y Swan (1956) El modelo Supuestos Consumo y ahorro: fracción constante de la renta. Economía sin sector público y sin sector exterior. Población y trabajo coinciden: L Tasa de crecimiento de la población: n (constante). Tasa de depreciación: δ (constante). Ahorro e Inversión Renta disponible Yt = Ct + S t [23] Yt = Ct + I t [24] S t = sYt [25] I t = K& t + δK t [26] Equilibrio mercado de bienes Ahorro Inversión [18] a [21]: Ley de acumulación del capital K& t = sYt − δK t [27] Ley de acumulación del capital en términos per capita k&t = syt − (δ + n)kt [28] Función de producción neoclásica Factores productivos Capital y trabajo (bienes rivales) Tecnología (bien no rival) Yt = F ( K t , Lt , At ) Propiedades Tema 13, pág-6 [29] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz Rendimientos constantes a escala. Homogeneidad grado uno. Principio de réplica Productividad marginal de todos los factores productivos: positiva, pero decreciente. Condiciones de Inada Función Cobb-Douglass Origen: la distribución de la renta nacional entre trabajadores y capitalistas permanecía más o menos constante a lo largo del tiempo (70%-30%) Yt = At K tα L1t−α [30] Función Cobb-Douglass per capita yt = At ktα [31] Gráficamente: y k Ley de acumulación del capital en términos per capita (ecuación fundamental de Solow y Swan) k&t = sAt ktα − (δ + n)kt [32] El estado estacionario Existencia Para valores de k cercanos a cero, la curva de ahorro (CA) está por encima de la curva de depreciación (CD). Como la pendiente de CD es constante, y la de CA es decreciente, existe un único valor de k donde ambas se cruzan. Ese valor k* es el estado estacionario. Tema 13, pág-7 Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz Funciones de k f(k) (n+δ)k CD sf(k) CA c k* k0 k Ajuste hacia el estado estacionario Si k0 < k* → s f(k) > (n + δ)k → ∆k hasta que k = k* Si k1 > k* → s f(k) < (n + δ)k → ∇k hasta que k = k* Cuando k = k* , la economía se quedará en ese punto para siempre. Obtención Ley de acumulación de capital: k&t = sAt ktα − (δ + n)kt Como en estado estacionario: k&t = 0 Despejando se obtiene: ⎛ sA ⎞ k =⎜ ⎟ ⎝n+δ ⎠ 1 /(1−α ) * Si el capital per capita es constante, también lo será la renta per capita. La regla de oro de la acumulación del capital Definición Estado estacionario que conlleva el mayor nivel de consumo per capita Obtención Hay que maximizar el consumo respecto de k* en estado estacionario Si la función es Cobb-Douglass: 1 /(1−α ) k oro ⎛ αA ⎞ =⎜ ⎟ ⎝n +δ ⎠ Tema 13, pág-8 Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz Interpretación gráfica El punto en donde la distancia entre la función de producción y la CA es máxima es aquel en el que las pendientes de la función de producción y la CD coinciden. Funciones de k f(k) (n+δ)k CD coro soro f(k) CA koro k Alcance de la Regla de Oro No existe ningún mecanismo por el que el modelo tienda a ir hacia la Regla de Oro. Para alcanzar ese punto hay que escoger la tasa de ahorro soro que haga que el estado estacionario sea precisamente koro. Si s < soro → k < koro Si s > soro → k > koro y la economía es ineficiente En ambos casos, el consumo per capita no es el máximo que se podría tener. La tasa de crecimiento a lo largo del tiempo La tasa de crecimiento del capital per capita es la clave Determina la tasa de crecimiento de la renta y el consumo per capita γ c = γ y = αγ k [33] Obtención a partir de la ecuación fundamental de Solow y Swan γk = k&t = sAt ktα −1 − (δ + n) kt Estado Estacionario 1 /(1−α ) ⎛ sA ⎞ k =⎜ ⎟ ⎝n+δ ⎠ * Tema 13, pág-9 [34] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz Gráficamente Funciones de k γk (n+δ) CD s f(k)/k CA ko k k* Ajuste hacia el estado estacionario: la evolución de la tasa de crecimiento a lo largo del tiempo Cuando k0 < k* → γk >0, y será tanto menor cuanto más cerca esté del estado estacionario, situación en la que no existe crecimiento económico. Explicación: existen rendimientos decrecientes del capital. Error en la predicción del modelo A largo plazo, las economías no crecerán. Progreso tecnológico exógeno Supuesto adicional La tecnología crece a una tasa constante: m Tipos de progreso tecnológico y función de producción Ahorrador de capital. Ahorrador de trabajo. Neutral. En sentido Hicks La relación entre PMg de los factores se mantiene constante para una determinada relación K/L Yt = At K tα L1t−α En sentido Harrod Tema 13, pág-10 [35] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz Las participaciones relativas del capital y del trabajo en la renta nacional permanecen inalteradas para una determinada relación K/L Yt = K tα ( At Lt )1−α [36] Ley de acumulación del capital por “trabajo efectivo” con progreso técnico neutral en sentido Harrod ~ K kt = t At Lt [37] ~& ~ ~ kt = sktα − (δ + n + m)kt [38] ~ ~ 0 = skt*α − (δ + n + m)kt* [39] Estado estacionario Capital por trabajo efectivo Funciones de k f(k) (n+δ+m)k sf(k) CA k* k 1 /(1−α ) ~ ⎛ s ⎞ k* =⎜ ⎟ ⎝n +δ + m⎠ [40] Capital per capita 1 /(1−α ) s ⎛ ⎞ kt = At ⎜ ⎟ ⎝n +δ + m⎠ * Tema 13, pág-11 [41]
