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Tema 15 Crecimiento óptimo: modelos de crecimiento endógeno 15.1 El modelo AK de Rebelo (1990). 15.2 El modelo de gasto público de Barro (1990). 15.3 El modelo de capital humano de Lucas (1988). Bibliografía: Sala i Martin 3, 5, 6 y 8 Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz 15.1 El modelo AK de Rebelo (1990) Escenario de familias productoras Supuestos Familias: Determinan óptimamente consumo y ahorro. Se dedican a la producción de bienes. Comportamiento Preferencias ∞ U (0) = ∫ e −( ρ − n ) t 0 ct1−θ − 1 dt 1−θ [1] Restricción presupuestaria k&t = Ak t − c t − (δ + n)k t [2] Hamiltoniano H =e −( ρ −n ) t ct1−θ − 1 + λt ( Ak t − ct − (δ + n)k t ) 1−θ Condiciones de primer orden Hc = 0 ⎯ ⎯→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt H b = −λ&t ⎯ ⎯→ λt ( A − δ − n) = −λ&t [4] [5] Condición de transversalidad lim λt k t = 0 [6] c&t 1 = (A − δ − ρ) ct θ [7] t →∞ [3] Tasa crecimiento del consumo [4] y [5] → γ c ≡ Estado estacionario Se obtiene el mismo resultado que en el escenario de mercado. γ k* = γ c* = γ *y = γ * = Tema 15, pág-1 1 θ (A − δ − ρ) [8] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz El escenario del planificador Mismo resultado que en los casos de familias productoras y mercados, dada la ausencia de externalidades, y dado que los agentes privados disponen de toda la información existente. Dinámica de transición y la hipótesis de convergencia Dinámica de transición De [27] → En estado estacionario, todas las variables per capita crecen a una tasa constante. De [24] → El consumo siempre crece a la misma tasa. Consecuencia: El consumo siempre se encuentra en estado estacionario. El capital y el producto también crecen a la misma tasa. Consecuencia: El modelo no presenta transición alguna hacia el estado estacionario. Todas las variables crecen permanentemente a una tasa constante. Hipótesis de convergencia A diferencia del modelo neoclásico (Solow y Swan, Ramsey Cass y Koopmans), este modelo no predice la convergencia entre economías, ni absoluta ni condicional. La tasa de crecimiento no está relacionada negativamente con la renta. Tema 15, pág-2 Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz 15.2 El modelo de Barro (1990) con gasto público Modelizaciones del gasto público productivo Como bien público (bien no rival y no excluible). Ejemplo: faro en la costa y j = Ak αj G 1−α donde: kj es el capital privado utilizado por la empresa j G es el bien público agregado Como bien público sujeto a congestión (parcialmente excluible). Ejemplo: autopistas 1−α ⎛G⎞ y j = Ak j ⎜ ⎟ ⎝K⎠ donde: G es el bien público agregado K es el capital privado agregado Como bien privado (bien rival y excluible). Ejemplo: servicios públicos suministrados a las empresas individualmente y j = Ak αj g 1j−α donde: gj es el bien público suministrado por el Estado a la empresa j no es capital público (no es acumulable) Este es el enfoque de Barro (1990), que será el elegido en este tema Escenario de familias productoras Familias: Determinan óptimamente consumo y ahorro. Se dedican a la producción de bienes. Pagan impuestos. Sector Público: Equilibrio presupuestario. Recaudan impuestos, proporcionan gasto público productivo. Comportamiento familias Preferencias ∞ U (0) = ∫ e 0 −( ρ − n ) t ct1−θ − 1 dt 1−θ [9] Restricción presupuestaria k&t = (1 − τ t ) Ak tα g t1−α − ct − (δ + n)k t Tema 15, pág-3 [10] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz Hamiltoniano H =e −( ρ − n ) t ct1−θ − 1 + λt ((1 − τ t ) Aktα g t1−α − ct − (δ + n)kt ) 1−θ Condiciones de primer orden Hc = 0 ⎯ ⎯→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt H b = −λ&t ⎯ ⎯→ λt ((1 − τ t )αAktα −1 g t1−α − δ − n) = −λ&t [12] [13] Condición de transversalidad lim λt k t = 0 t →∞ [11] [14] Tasa crecimiento del consumo ⎛g c& 1 γ c ≡ t = ((1 − τ t )αA⎜⎜ t ct θ ⎝ kt 1−α ⎞ ⎟⎟ ⎠ − δ − ρ) [15] Comportamiento sector público τ t yt = g t [16] Conjuntamente: tasa de crecimiento en estado estacionario γc ≡ c& 1 = ((1 − τ )αA1/ ατ (1−α ) / α − δ − ρ ) c θ [17] El tamaño óptimo del estado La ecuación [17] relaciona la tasa de crecimiento de la economía con el tipo impositivo: γ = 1 θ ((1 − τ )αA1/ ατ (1−α ) / α − δ − ρ ) Por otro lado, de [16] se deduce que el tipo impositivo es el peso del sector público en la economía: τt = gt yt Operando en [16] y [17], se obtiene que el Estado puede maximizar el crecimiento de la economía adoptando un tamaño igual a la participación del gasto público en la función de producción: τ * = (1 − α ) Tema 15, pág-4 Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz La solución del planificador El resultado en este caso será diferente del obtenido en el supuesto de familias productoras, debido a que el planificador tomará en consideración los efectos distorsionadores del impuesto sobre la renta. Preferencias El planificador maximiza la función de utilidad del individuo: ∞ U (0) = ∫ e −( ρ − n ) t 0 ct1−θ − 1 dt 1−θ [18] Restricción presupuestaria La cantidad de recursos producida debe ser repartida entre consumo, inversión y gasto público: yt = ct + it + g t es decir: k&t = Ak tα g t1−α − ct − (δ + n)k t − g t [19] Tasa de crecimiento del consumo El planificador elige el tamaño del gobierno óptimo, de forma que la tasa de crecimiento es: γc ≡ c& 1 = (αA1 / α (1 − α ) (1−α ) / α − δ − ρ ) c θ Tema 15, pág-5 [20] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz 16.3 El modelo de Lucas (1988) con capital humano La consideración de un segundo sector productivo Consumo y ahorro: resultado de un comportamiento óptimo. Crecimiento en estado estacionario por la acumulación de capital humano. Dos sectores productivos: - Sector 1: producción de bienes finales, que puede ser consumido o transformado en capital físico. K& = AK Yα H Y1−α − C − δ K K - Sector 2: producción de capital humano H& = BK Hη H H1−η − δ H H Capital humano total: H = HY + HH - Fracción de capital humano utilizado en la producción de bienes finales: u HY = u H HH = (1-u) H Supuestos simplificadores: α > η = 0; δK = δH = δ Entonces: - Sector 1: K& = AK α (uH )1−α − C − δK - [21] Sector 2: H& = B (1 − u ) H − δH [22] El modelo de familias productoras Supuestos Familias: Propietarias de las empresas Perciben toda la renta –producción- Preferencias ∞ U (0) = ∫ e 0 −( ρ − n ) t c1−θ − 1 1−θ dt Acumulación de capital físico y humano per capita Tema 15, pág-6 [23] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz k& = Ak α (uh)1−α − c − (n + δ )k [24] h& = B (1 − u )h − (n + δ ) h [25] Comportamiento familias Maximizar [23] s. a. [24] y [25] Hamiltoniano Η=e −( ρ − n ) t c1−θ − 1 ( + vt Ak α (uh)1−α − c − (n + δ )k 1−θ + λt (B(1 − u )h − (n + δ )h ) ) [26] Condiciones de primer orden Ηc = 0 ⎯ ⎯→ e − ( ρ −n ) t c −θ = v ( [27] ) Ηu = 0 ⎯ ⎯→ v Ak α (1 − α )u −α h1−α = λBh [28] Η k = −v& ⎯ ⎯→ v αAk α −1 (uh)1−α − (n + δ ) = −v& [29] ( ( ) ) Η h = −λ& ⎯ ⎯→ v (1 − α ) Ak α u1−α h −α + λ (B(1 − u ) − (n + δ ) ) = −λ& Condiciones de transversalidad lim vt kt = 0 [31] lim λt ht = 0 [32] t →∞ t →∞ Tasa crecimiento del consumo [27] → [33] y [29] → γc ≡ c&t 1 v& = ( − − ρ − n) ct θ v γc = 1 θ (αAk α −1 (uh)1−α − δ − ρ ) Estado estacionario [30] Todas las variables crecen a un ritmo constante. Tema 15, pág-7 [33] [34] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz La tasa de crecimiento de u debe ser cero. - u es una fracción comprendida entre cero y uno. - En estado estacionario debe ser constante u*. Operando en [34] se obtiene que: γ c*θ + δ + ρ = k α −1h1−α *(1−α ) αAu [35] Tomando logaritmos, derivando respecto al tiempo: γ k* = γ h* [36] Dividiendo en [24] por k: k& c = Ak α −1 (uh)1−α − − (n + δ ) k k [37] Operando se llega a: γ k* = γ h* = γ c* [38] y = Ak α (uh)1−α A partir de la expresión del output final: γ k* = γ h* = γ c* = γ *y [39] Bastará calcular una sola tasa de crecimiento para solucionar el modelo. A partir de [28] se obtiene: v λ = 1 α −α A ⎛ k* ⎞ ⎜⎜ * ⎟⎟ (1 − α )u * B⎝h ⎠ [40] Con lo que: γ λ* = γ v* Dividiendo [30] por λ, sustituyendo v/λ por su valor en [20] se obtiene: − λ& = B − (n + δ ) λ [42] En base a [42], [41], [33], y [39] se obtiene que: γ *y = γ k* = γ h* = γ c* = [41] 1 θ (B − δ − ρ ) A partir de [25] y [43] se obtiene el tiempo dedicado al aprendizaje Tema 15, pág-8 [43] Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz 1− u = * γ* + n +δ [44] B donde: ∂ (1 − u * ) ( ρ − θ n) + δ (1 − θ ) = >0 θB 2 ∂B La solución del planificador La solución obtenida por el planificador es idéntica a la de mercado Dinámica de transición Existe, pero demasiado complicada para analizar. Lucas (1988) la dejó sin investigar. Caballé y Santos (1993): trayectoria estable hacia el punto de silla. Mulligan y Sala-i-Martin (1993): método numérico La dinámica de transición surge cuando: k0 k * ≠ h0 h * Si: k0 k * < →γ >γ* h0 h * k0 k * > →γ <γ* h0 h * Tema 15, pág-9 [45]
