Download REPARTIDO DE MATEMÁTICA – 3º1 y 3º3 – LICEO Nº

REPARTIDO
DE
MATEMÁTICA
–
3º
NOCTURNO
-
LICEO
Nº
39
–
JUNIO
2012
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Solemos creer que las cosas que sucedieron o se descubrieron hace muchísimos años
5 metros  ángulo recto
ya no nos afectan en nada... Sin embargo, hasta el día de hoy los albañiles utilizan un
método diseñado por los antiguos egipcios para construir ángulos rectos, y que dio pie
al Teorema de Pitágoras. Esto es, un triángulo cuyos lados son 3, 4 y 5 forman un
perfecto ángulo recto entre sus lados de 3 y de 4. Nuestros albañiles utilizan esta
“técnica” para que las paredes de nuestras casas, edificios, liceos, etc., formen ángulo
recto.
4 metros
I)
3 metros
En los siguientes triángulos rectángulos, hallar todos los lados:
20
24
39
13
4
5
x
1000
12
10x
17
2
15
10
9
15
3x
8x
13
x
17
2
II)
4
9
5
x
ii)
iii)
x
NOTA: En
todos los
ejercicios,
las figuras
solamente
son a
modo de
guía; no
guardan
necesaria
mente las
proporcion
es
indicadas.
x
3
i)
ii)
iii)
Diagonal de un cuadrado de lado 3
Altura de un triángulo equilátero de lado 5
Distancia del centro de un hexágono regular de lado 9 a un lado
III)
Hallar el lado de las siguientes figuras geométricas:
i)
IV)
x
Hallar “x”:
i)
i)
ii)
iii)
2x+1
2x-1
5
ii)
iii)
6
4
6
Cuadrado cuya diagonal es 5
Triángulo equilátero cuya altura es 6
Triángulo isósceles de base 6 y altura 4
2 es un número irracional; esto es, no se lo puede escribir completamente como un número decimal (la
calculadora nos da esta aproximación:
construir un segmento de longitud
2
 1,4142135623730950488016887242097). Sin embargo,
2 es sencillo: basta construir un triángulo rectángulo con dos catetos
iguales a 1, y su hipotenusa medirá exactamente 2 (comprobar esta afirmación utilizando el Teorema de
Pitágoras). Podemos imaginar el siguiente proceso para construir segmentos cuya longitud sea la raíz
cuadrada
1 de cualquier número natural:
1
1
2
3
1
4 2
El desafío es construir segmentos cuyas longitudes sean
26 y 85 . Claro está que la intención no es construir este
“caracol” hasta estos números, sino buscar un camino más directo.
1
1
13 ,
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V)
Un albañil coloca una escalera de 3 metros de largo contra una pared,
con su pie a un metro de ésta. ¿A qué distancia del suelo queda la
parte superior de la escalera?
VI)
VII)
Si un televisor es de 14” (14 pulgadas), significa que la diagonal de su pantalla mide
14” (1”=2,54 cm.). Además la relación entre el largo y el ancho es 4:3 si es un
televisor “de tubo” y 16:9 si es un LCD. Calcular las dimensiones (en cm.) de la
pantalla de un televisor de 32” de tubo y de un LCD.
Clasificar los siguientes triángulos según sus ángulos (a saber: acutángulo -los 3 ángulos agudos-,
rectángulo -un ángulo recto- y obtusángulo -un ángulo obtuso, esto es, mayor de 90º-). La idea en ningún
caso es medir, sino aplicar el Teorema de Pitágoras suponiendo que el lado mayor es la hipotenusa; si se
cumple la relación de Pitágoras el triángulo será rectángulo, y si no… ¡piensa!
18
8
7
6
VIII)
24
8
21
16
30
9
25
8
17
Hallar la diagonal mayor de un salón de clases, cuyas
dimensiones son:
largo: 6 metros
ancho: 5 metros
alto: 4 metros
65
27
73
112
d
IX) El dilema del limpiador
El limpiador desea guardar una escoba en este armario, pero no puede
acomodarla. Decide entonces desarmarla, guardando el palo aparte de
la escoba misma. La cuestión es: ¿Es posible guardar el palo la escoba,
de 1,60 metros de largo, en el armario?
Dimensiones: Largo: 1,20 metros; Ancho: 1,20 metros; Alto: 1,00 metro.-
X)
Un tornado quebró un poste de electricidad de 6 metros de largo. Si desde su pie (ver dibujo) al extremo
que toca el suelo hay 1,3 metros, ¿a qué altura se produjo el quiebre?
1,3 m
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XI) LAS MEDIDAS DE LAS HOJAS FORMATO A4 (¡COMO ESTA MISMA!)
El formato de papel DIN A4 es en el actualidad el estándar más utilizado
en todos los ámbitos, siendo sus medidas 210 mm x 297 mm.
La referencia "A" se corresponde con A0 (Área 0) y comprende una
superficie de un metro cuadrado, mostrándose así una relación ideal, de
tal manera que, al cortar por la mitad una hoja A0 por su lado más
largo, el lado más corto de la A0 pasa a convertirse en el lado más largo
de la nueva hoja A1, y así sucesivamente. Así, si cortamos cualquier
hoja de la serie por la mitad de su lado más largo, obtenemos un par de
hojas del tamaño siguiente, que siguen manteniendo la proporción ideal
entre el largo y el ancho.
¿Cuál es esta “relación ideal” entre el largo y el ancho de cada hoja? Es
decir, si suponemos que el lado más corto mide 1, ¿cuánto mide el lado
más largo? ¿Y la diagonal?
(Si el triángulo de los egipcios, aquel de lados 3, 4 y 5, es sorprendente, éste que se
forma con los lados de una hoja A4 y su diagonal no lo es menos…)
200 m
130 m
XII)
¿Cuál es el área de un terreno triangular como el
de la figura?
210 m
XIII) El teorema “original” de Pitágoras dice así:
“Si se construyen los cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo,
entonces la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos
es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.”
¿Qué ocurre si construimos otras figuras sobre los lados del triángulo rectángulo?
¿Será cierto, por ejemplo, que la suma de las áreas de triángulos equiláteros construidos
sobre los catetos es igual al área del triángulo equilátero construido sobre la hipotenusa?
¿Y si son semicircunferencias? ¿Y si fueses cubos en vez de cuadrados? Prueba con algún
caso particular, y luego intenta demostrar algún caso general.
XIV) ¿Griego, dijo?
Las coordenadas geográficas de Montevideo son 34º 53’ Sur y 56º 11’ Oeste; las de
Atenas son 37º 58’ Norte y 23º 46’ Este. La distancia entre ambas ciudades es
aproximadamente de 11.533 kilómetros. Sin embargo, si nos movemos paralelamente al
ecuador hasta las coordenadas 34º 53’ Sur y 23º 46’ Este, recorreremos 7.064 kilómetros; si
luego nos movemos formando un ángulo recto desde este punto (que por cierto, está
cerquita de Sudáfrica) hasta Atenas, recorreremos 8.095 kilómetros.
En definitiva, hemos construido un gran triángulo rectángulo, cuyos catetos son de 7.064 kilómetros y de
8.095 kilómetros, y cuya hipotenusa mide nada menos que 11.533 kilómetros. Pero ocurre que en este enorme
triángulo rectángulo ¡¡¡ no se cumple el teorema de Pitágoras !!! ¿Podrías descifrar por qué? La respuesta es
sorprendentemente sencilla…
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