Download Se tiene un tablero de 21´21 y una abundante cantidad de fichas

XXVIII OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA
PRUEBA DE SELECCIÓN
PRIMER DÍA (08/08/13)
EN TODOS LOS PROBLEMAS,
LA RESPUESTA TIENE QUE ESTAR DEBIDAMENTE JUSTIFICADA.
1. Un triángulo equilátero de lado 12 está dividido, mediante paralelas a sus lados, en
144 triangulitos de lado 1. Llamamos casillas a los triangulitos de lado 1. Algunas
casillas están infectadas. Una casilla no infectada se contagia si al menos dos de sus
vecinas (con las que comparte un lado) están infectadas. Determinar el número mínimo
inicial de casillas que deben estar infectadas para que, en algún momento, todas las
casillas del triángulo de lado 12 estén infectadas.
2. Hallar todos los pares de números enteros a y b tales que
a2  1
a 1
.

2
2b  3 2b  1
3. Sea ABC un triángulo isósceles de base AB. Se eligen los puntos P en el lado AC y Q
en el lado BC tales que AP  BQ  PQ . La recta paralela a BC que pasa por el punto
medio del segmento PQ corta al segmento AB en N. La circunferencia que pasa por los
vértices del triángulo PNQ corta a la recta AC en los puntos P y K, y a la recta BC en los
puntos Q y L. Si R es el punto de intersección de las rectas PL y QK, demostrar que la
recta PQ es perpendicular a la recta CR.
XXVIII OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA
PRUEBA DE SELECCIÓN
SEGUNDO DÍA (09/08/13)
EN TODOS LOS PROBLEMAS,
LA RESPUESTA TIENE QUE ESTAR DEBIDAMENTE JUSTIFICADA.
4. Dado un triángulo ABC con AC 
AB  BC
, sea BL la bisectriz del ángulo ABC ; sean
2
K y M los puntos medios de AB y BC respectivamente. Calcular el valor del ángulo
K LM si se sabe que ABC   .
5. Hallar todos los números naturales n para los cuales es posible partir el conjunto
1,2,...,3n de los primeros 3n números naturales en conjuntos de tres elementos a, b, c
tales que b  a y c  b son dos elementos distintos del conjunto n  1, n, n  1 .
6. Se tiene un cubo de 10 10 10 dividido en 1000 cubitos unitarios mediante planos
paralelos a sus caras. Inicialmente todos los cubitos son blancos. Alejo y Beto juegan al
siguiente juego. Alejo elije una o varias tiras de 1110 en cualquiera de las tres
direcciones posibles del cubo, tales que no haya dos de estas tiras que tengan puntos en
común, y colorea de negro todos sus cubitos unitarios. A continuación, Beto, que no ve
el cubo, selecciona algunos cubitos unitarios y le pregunta a Alejo que color tienen.
Determinar el menor número de cubitos unitarios que debe elegir Beto para determinar
con certeza todos los cubito negros a partir de la respuesta de Alejo.