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XII CERTAMEN 1995
1. Hallar todos los números de 3 dígitos tales que al elevarlos al cuadrado tienen las tres últimas cifras iguales y en el
mismo orden que el número original.
2. El triángulo ABC tiene <A=27o y <C=90o grados. Sea m la mediana trazada desde C y sea P el punto en la
prolongación del lado AB tal que CP es perpendicular a m. La bisectriz del ángulo APC interseca a BC en R y a AC en S.
Hallar las medidas de los ángulos CRS y CSR.
3. Se tiene una circunferencia de longitud 210. Se han marcado en la misma 20 puntos, P1,P2,P3,... ,P20, siguiendo el
sentido de giro igual al reloj, de modo que el arco que une el punto P1 con el P2 mide 1; el arco que une el punto P2
con el P3 mide 2; el arco que une el punto P3 con el P4 mide 3; ... ; y así sucesivamente el arco que une el punto P20 con
el P1 mide 20. Hallar todos los pares de puntos marcados tales que el segmento que los une es diámetro de la
circunferencia.
XIII CERTAMEN 1996
1. Empezando con 46, se forma una secuencia de dígitos colocando, en cada paso, a continuación del ultimo número
escrito, el producto de los dos últimos dígitos que se escribieron (los primeros 5 dígitos son: 46248...). Calcular el
dígito que esta en la posición 1996.
2. Sea t una recta y P un punto exterior. Sobre la recta se marcan de izquierda a derecha los puntos A, B, C, D, E de
modo que PA=PB, PB=BC, PC=CD y PD=DE. Se traza por P la paralela a t y se marca en esta paralela el punto Q tal que
PQED es un paralelogramo.
Si los ángulos QED y APB son iguales, ¿cuánto mide el ángulo PAB?
3. El druida Panoramix desea preparar 24 cucharones de una pócima mágica que contenga las sustancias A, B, C por
partes iguales. Dispone de un recipiente donde hay A y C mezclados por partes iguales; otro en el que hay A y B
mezclados en la proporción 2:3 y un tercero en el que hay B y C mezclados en la proporción 1:2. ¿Cuántos cucharones
de cada recipiente debe mezclar para obtener la pócima deseada?
NOTA: las cantidades X e Y están en proporción 2:3 si X/Y=2/3.
XIV CERTAMEN 1997
1. Andrea, Belén y Claudia rindieron exámenes de las mismas materias. En la primera materia sus notas fueron tres
números naturales distintos y Belén fue la que obtuvo la nota más alta; luego en cada una de las demás materias las
chicas se sacaron esas mismas tres notas en algún orden. Si Andrea sumó entre todas las materias 18 puntos, Belén
sumó 12 y Claudia sumó 9, ¿cuántas materias rindieron y qué nota se sacó cada chica en cada examen?
2. En el triángulo isósceles ABC, con AB=AC, P es el punto del lado AB tal que AP=PC. Si la bisectriz del ángulo ABC
corta a PC en O de modo que PO=BO, hallar los ángulos del triángulo ABC.
3. De los 999 números:
mcd(1;1998), mcd(2;1998), mcd(3;1998), mcd(4;1998), ..., mcd(997;1998),mcd(998;1998), mcd(999;1998),¿cuántos
son números mayores que 19?
ACLARACION: mcd denota máximo común divisor. Por ejemplo, mcd(54;36)=18.
XV CERTAMEN 1998
1. Ariel, Beto, Carlos y Dany juegan cuatro partidas de cartas. En cada partida hay un solo perdedor que debe darle a
cada uno de sus tres contrincantes una suma de dinero igual a la que el contrincante tiene en ese momento. En la
primera partida perdió Ariel, en la segunda Beto, en la tercera Carlos y en la cuarta perdió Dany. Al finalizar las cuatro
partidas los cuatro tienen $64 cada uno. ¿Cuánto dinero tenía cada uno al comenzar la primera partida?
2. El trapecio ABCD tiene AB paralelo a CD. Sean M el punto medio de la diagonal AC, N el punto medio de la diagonal
BD y P el punto medio del lado AB. Si AB=15, CD=24 y la altura del trapecio es h=14, hallar el área del triángulo MNP.
3. Dividir el conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} en dos grupos de ocho números cada uno de modo tal
que en los dos grupos la suma de los ocho números sea la misma y en los dos grupos la suma de los cuadrados de los
ocho números sea la misma.
XVI CERTAMEN 1999
1. Hallar los dígitos a, b tales que el número de 7 cifras 6a74b14 es múltiplo de 9 y de 11. Dar todas las posibilidades.
2. El cuadrado de la figura está dividido en cuadraditos
de 2 x 2 y se armó con fósforos de 2 cm.
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Hallar el tamaño del mayor cuadrado dividido en cuadraditos
de 2 x 2 que se puede armar si se tienen 1999 fósforos.
¿Cuántos fósforos sobran?
3. Sea ABCD un rectángulo y AC una diagonal. Se trazan desde B y desde D perpendiculares a la diagonal AC, que la
intersectan en P y Q, respectivamente. Se sabe que los puntos P y Q dividen a AC en tres segmentos iguales, de
longitud 1. Hallar el área del rectángulo ABCD.
XVII CERTAMEN 2000
1. Sean ABCD un rectángulo de lados AB = CD = 37 y BC = DA = 10, y P el punto del lado AB tal que AP = 13. La paralela
a PC trazada por A intersecta al lado CD en R. Sean Q en PC y S en AR tales que el cuadrilátero PQRS es un rectángulo.
Hallar el área de PQRS.
2. Dos ciclistas recorren a velocidades constantes el camino entre A y B. Los dos salen al mismo tiempo. Uno sale de A,
llega a B y de inmediato regresa a A. El otro, sale de B, llega a A y de inmediato regresa a B. Durante el viaje, se cruzan
dos veces: la primera a 9km de A, y una hora más tarde se cruzan por segunda vez a 7km de B. Determinar las
velocidades de cada uno de los ciclistas.
3. Utilizando sólo los dígitos 0 y 1, Iván escribe una lista de 101 dígitos, de acuerdo con las siguientes reglas: elige los
seis primeros con la única condición de que no sean todos iguales a 0. A partir de ahí, para agregar cada dígito nuevo,
calcula la suma de los últimos seis dígitos escritos. Si esta suma es múltiplo de 3, escribe 0, y si la suma no es múltiplo
de 3, escribe 1. Determinar cuál es el menor valor posible de la suma de los 101 dígitos que escribe Iván.
XVIII CERTAMEN 2001
1. Con tres dígitos distintos se forman los seis números de tres cifras distintas. Si se suman estos seis númeors el
resultado es 4218. La suma de los tres números más grandes menos la suma de los tres más chicos es igual a 792.
Hallar los tres dígitos.
2. En un hexágono regular de lados AB = BC = CD = DE = EF = FA = 4, sea M el punto medio del lado BC. Si MF corta a la
diagonal AD en K y ME corta a la diagonal AD en L, calcular
área(AMK) .
área (KLEF)
ACLARACIÓN: No vale medir.
3. Del conjunto de los números naturales se suprimieron los cuadrados perfectos y los cubos perfectos. De los
números que quedaron (sin suprimir) consideramos los 2001 números más chicos. Hallar el mayor de estos 2001
números.
ACLARACIÓN: Los cuadrados perfectos son los números que se obtienen al elevar al cuadrado los números naturales y
los cubos perfectos son los números que se obtienen al elevar al cubo los números naturales.
XIX CERTAMEN 2002
1. Un número natural mayor que 10 se dice bueno si los dígitos del número se pueden dividir en dos grupos tales que
la suma de los dígitos de uno de los grupos es igual a la suma de los dígitos del otro grupo. Por ejemplo, 22 es bueno,
pues 2=2; 3454 es bueno pues 3+5=4+4; 29403 es bueno, pues 9 + 0 = 2 + 3 + 4.
Hallar el menor número natural n tal que n es bueno y n + 1 también es bueno.
2. El barril A contiene una mezcla homogénea de jugo de uva y jugo de manzana en la proporción de 2 litros de uva
por cada 5 litros de manzana. El barril B contiene una mezcla homogénea de jugo de uva y jugo de manzana en la
proporción de 3 litros de uva por cada 5 litros de manzana. Se vierte el contenido de los dos barriles en uno más
grande y se obtiene un total de 154 litros de jugo, en la proporción de 5 litros de uva por cada 9 litros de manzana.
Determinar cuántos litros de jugo contenía el barril A.
3. Sea ABC un triángulo obtusángulo con B > 90°. Se consideran los puntos P y Q en el lado AC tales que AP = PQ =
QC. La paralela a BQ trazada por P corta al lado AB en R.
Si el área del triángulo ABC es igual a 267, calcular el área del triángulo ARQ.
XX CERTAMEN 2003
1. Con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6 se forman todos los posibles números de cinco cifras distintas. Hallar cuántos de ellos
son múltiplos de 11.
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2. Del hexágono ABCDEF se conocen las longitudes de cuatro de sus lados: AB = 6, BC = 4, CD = 8 y DE = 9. Además
cada uno de sus seis ángulos interiores mide 120º.
Hallar las longitudes de los lados EF y FA.
3. Verónica compró varios litros de gaseosa.
Si cada litro costase 20 centavos menos, con exactamente el mismo dinero podría haber comprado 5 litros más de los
que compró. En cambio, si cada litro costase 20 centavos más, con exactamente el mismo dinero podría haber
comprado 3 litros menos de los que compró.
Calcular cuántos litros compró.
XXI CERTAMEN 2004
1. Se hace una lista de 2004 dígitos de acuerdo con la siguiente regla: los primeros dígitos son 8 y 6, y a partir del
tercer dígito, cada nuevo dígito que se escribe es el dígito de las unidades de la suma de los dos últimos dígitos
escritos. La lista comienza con 86404..., porque 8 + 6 = 14, 6 + 4 = 10, 4 + 0 = 4.
Hallar los últimos tres dígitos de la lista.
2. Una Asociación de Beneficencia recibe donaciones de cinco empresas, A, B, C, D y E.
La donación de A equivale a la mitad de lo que dieron, en conjunto, las otras cuatro empresas. La donación de B
equivale a la tercera parte de lo que dieron, en conjunto las otras cuatro empresas. La donación de C equivale a la
cuarta parte de lo que dieron, en conjunto, las otras cuatro empresas. La donación de D equivale a la quinta parte de
lo que dieron, en conjunto las otras cuatro empresas.
Hallar a qué parte de lo que dieron en conjunto las restantes cuatro empresas equivale la donación realizada por la
empresa E.
3. Se tiene un rectángulo de papel. El lado menor del rectángulo mide 6 y la diagonal mide 12. Se dobla el papel a lo
largo de una diagonal, y de este modo se obtiene un triángulo en el que se superponen las dos partes y dos triángulos
sin superposiciones.
Calcular el área del triángulo de la superposición.
XXII CERTAMEN 2005
1. Una hoja rectangular de 120  144 cuadriculada en cuadritos de 1  1 se corta en dos triángulos mediante un corte
rectilíneo a lo largo de una diagonal. Determinar el número de cuadritos de 1  1 que quedaron divididos por este
corte.
ACLARACIÓN: Un cuadrito de 1  1 queda dividido por el corte si tiene una parte en cada uno de los dos triángulos en
que se dividió la hoja.
2. La figura muestra 5 balanzas con objetos y los pesos totales en cada balanza:
110 g
80 g
140 g
130 g
100 g
Una de las balanzas funciona mal y las otras 4 indican el peso correcto. Determinar cuál es la balanza que funciona mal
y hallar los pesos de cada objeto ,  y .
ACLARACIÓN: Todos los  son de igual peso, y lo mismo ocurre con todos los  y todos los .
3. En un cuadrado ABCD de lados AB=BC=CD=DA=14 se considera un punto E en el lado AD. La perpendicular a CE
trazada por C corta a la prolongación del lado AB en F. Si se sabe que el área del triángulo CEF es 116, calcular el área
del triángulo AEF.
XXIII CERTAMEN 2006
1. Hallar los seis números que se deben escribir en cada una de las seis casillas vacías para obtener un cuadrado
mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales tienen la misma suma.
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2. Ana, Beto, Ceci, Dany y Eva tienen entre los cinco 80 monedas de un peso. La cantidad de monedas que tienen en
conjunto Beto y Dany es igual a la quinta parte de las que tienen, en conjunto, Ana y Ceci. La cantidad de monedas
que tienen en conjunto Ceci y Dany es igual a 6 veces las que tienen, en conjunto, Ana y Beto. Determinar cuántas
monedas tiene cada uno si se sabe que Beto tiene 2 monedas más que Ana.
3. Sean P y Q puntos del plano tales que PQ = 65. La circunferencia de centro Q y radio 25 corta al segmento PQ en A.
La recta perpendicular a PQ trazada por A corta a la circunferencia de centro P y radio 41 enlos puntos B y C.
Calcular la medida del segmento BC.
XXIV CERTAMEN 2007
1. Se tienen dos recipientes, cada uno de ellos con 100 litros de capacidad. Inicialmente contienen entre los dos 100
litros de jugo. Se agrega jugo al primer recipiente hasta completar su capacidad. Luego se vierte jugo del primer
recipiente al segundo hasta completar la capacidad del segundo. Finalmente, se vierten 12 litros del segundo
recipiente en el primero. Así resulta que en el segundo recipiente hay 10 litros más de jugo que en el primero.
Determinar cuánto jugo tenía inicialmente cada recipiente.
2. Se tienen 20 tarjetas, cada una con un número entero distinto desde el 1 hasta el 20. Hay que formar 9 grupos de
tarjetas de modo que en cada grupo la multiplicación de los números de las tarjetas sea un cuadrado perfecto. Cada
tarjeta se usa como mucho una vez y puede haber tarjetas que no se usan. Los grupos pueden tener una o más
tarjetas cada uno, y si un grupo tiene una sola tarjeta el número de esa tarjeta tiene que ser un cuadrado perfecto.
3. Sea ABCD un cuadrado de papel de lados AB = BC = CD = DA =10. El cuadrado se dobla a lo largo de una línea recta,
haciendo coincidir el vértice A con el punto medio del lado BC . Esta línea recta corta al lado AB en E y al lado CD en F .
Calcular la medida de EF .
XXV CERTAMEN 2008
1. Sea ABCD un rectángulo de lados AB = 10 y BC = 7. Sea K el punto medio de AB y L el punto medio AD . Si la paralela
a BC trazada por K corta a BL en M , calcular CM .
2. Un biólogo que estudia una colonia de aves migratorias hizo las siguientes observaciones a lo largo de un día: A
mediodía se fueron 30 machos que ya no regresaron, y quedaron en la colonia 2 hembras por cada macho. A la tarde
se fueron 90 hembras, que ya no regresaron, y quedaron en la colonia 3 machos por cada hembra. Determinar
cuántas aves tenía la colonia antes del mediodía.
2 4 6 8
16 14 12 10
18 20 22 24
32 30 28 26
34 36 38 40
48 46 44 42
3. Los números enteros positivos pares se escriben en una tabla de cinco columnas, siguiendo el esquema de la figura.
Determinar en qué fila, contando de arriba hacia abajo, y en qué columna, contando de izquierda a derecha, estará
escrito el 2008.
ACLARACIÓN: La figura muestra las primeras 6 filas de la tabla, y el número 28, por ejemplo, está en la cuarta fila y en
la tercera columna.
XXVI CERTAMEN 2009
1. En una reunión de 152 científicos, algunos son matemáticos y los demás son físicos. El promedio de las edades de
todos los científicos es de 41 años. El promedio de las edades de los matemáticos es 35 años, y el promedio de las
edades de los físicos es 51 años. Determinar cuántos científicos de esta reunión son matemáticos.
2. En la expresión
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Profesor Carlos Dellagnolo y Profesor Rey Zarza
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* 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10
Nico reemplazó cada * por un signo + o un signo – de modo que quedaron 5 signos de cada clase, y realizó la
expresión indicada. El resultado es un número positivo de dos dígitos que es múltiplo de 7. Determinar qué número
obtuvo Nico e indicar una posible asignación de los signos + y – con la que se obtiene ese número.
3. Sea ABCD un cuadrado de lado AB = BC = CD = DA = 6. Sean P en el lado BC y Q en el lado CD tales que las rectas AP
y AQ dividen al cuadrado en tres figuras de áreas iguales.
Calcular el área del triángulo APQ.
XXVII CERTAMEN 2010
1. En la primera casilla del tablero está escrito 201 y en la novena, 2550.
201
2550
Completar con números las casillas vacías del tablero de modo que en cada casilla, a partir de la tercera, cada número
sea igual a la suma de los números de las dos casillas anteriores.
2. En una olimpíada de matemática para alumnos de primero y de segundo nivel se puede participar individualmente o
en equipos de 2, pero los equipos se deben formas con un participante de cada nivel.
Se sabe que ¾ de los inscriptos de primer nivel y 2/5 de los inscriptos de segundo nivel participan en equipos de 2, y los
restantes participan en forma individual.
Calcular que proporción del total de participantes (de primero y segundo nivel en conjunto) participan en forma
individual.
3. Sea ABC un triángulo rectángulo en C, con AC>BC, y P, Q, R puntos en los lados AB, AC, BC, respectivamente,
tales que PCQR es un cuadrado. La circunferencia de centro P y radio PQ corta a la hipotenusa AB en los puntos D y E,
con D entre A y P, y E entre B y P. Si PQ=4 y BE=1, calcular la longitud del segmento AD.
Profesor Carlos Dellagnolo y Profesor Rey Zarza
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