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Tema 2
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Lección 2: Resistencia eléctrica
2.1.- Resistencia. Definición, representación y modelo matemático
2.2.- Fuentes de corriente continua: tensión e intensidad.
2.3.- Fuentes reales
2.4.- Conversión de fuentes.
2.5.- Asociación de resistencias: divisor de intensidad y de tensión.
Lección 3: Análisis de circuitos de corriente continua
3.1.- Análisis por nudos.
3.2.- Análisis por mallas
Lección 4: Teoremas generales
4.1.- Linealidad
4.2.- Superposición
4.3.- Ecuación del dipolo
4.4.- Teoremas de Thevenin y Norton
4.5.- Transformaciones estrella/ triangulo y viceversa.
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Lección 2:
Resistencia eléctrica
2.1.- Resistencia. Definición, representación y modelo matemático
RESISTENCIA: La resistencia es una medida de la oposición que un material presenta ante el paso de corriente eléctrica.
Cuanto mayor es la resistencia más difícil es el paso de corriente.
Todos los materiales tienen una cierta resistencia. Esto significa que en cualquier circuito eléctrico habrá resistencias
presentes. La unidad de resistencia es el Ohmio y se representa por Ω.
Se define Conductancia con la magnitud inversa a la resistencia, se representa por la letra
y se mide en mho (o en siemens)
G =1/R
LA LEY DE OHM.
Es la Ley básica de la corriente de flujo. Con la ley de Ohm se calcula corrientes a partir de voltajes y resistencias o
viceversa. La ley de Ohm establece la relación existente entre la diferencia de potencial en los extremos de un elemento
que presenta una resistencia R , y la corriente que lo atraviesa
La intensidad de corriente que atraviesa una resistencia de valor R desde el punto A al punto B es igual a la diferencia de
potencial entre el punto A y B, (VAB = VA – VB) dividida por el valor de la resistencia: Obsérvese que si la diferencia de
potencial VA – VB es positiva, también lo es la corriente I A→B cumpliéndose el convenio explicado anteriormenteLa
cantidad de corriente que fluye por un circuito formado por resistencias puras es directamente proporcional a la fuerza
electromotriz aplicada al circuito, e inversamente proporcional a la resistencia total del circuito.
Esta ley se expresar por la fórmula I = U/R, donde I = intensidad de corriente en amperios; U la fuerza electromotriz en
voltios y R la resistencia en ohmios.
I
B
A
V AB
Es de aplicación a todos los circuitos eléctricos, tanto a los de corriente continua (CC) como de alterna (CA), aunque para
el análisis de circuitos complejos y circuitos de CA deben emplearse principios adicionales de los que forman parte la
inductancia y la capacitancia.
Los materiales que cumplen con la relación lineal de Ohm reciben el nombre de materiales ohmicos, mientras que a los
materiales que no cumplen con la ley de Ohm se les llama materiales no ohmicos
La unidad de resistencia eléctrica es el OHMIO, simbolizado por la letra griega (Ω)
V
R=AB
I
Valores e identificación de las resistencias
Uno de los sistemas de codificación de las resistencias es por medio de bandas con código de colores, a continuación se
indica este código
Código de
colores
Colores
1ª Cifra
2ª Cifra
0
0
Marrón
Rojo
Naranja
1
2
3
1
2
3
x 10
2
x 10
3
x 10
Amarillo
4
4
x 10
4
Verde
5
5
x 10
5
Azul
6
6
x 10
6
Violeta
7
7
x 10
7
Gris
8
8
x 10
8
Blanco
9
9
x 10
9
Negro
Multiplicador
5%
10%
Plata
x 10
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0.5%
-2
x 10
Ejemplo:
1%
2%
-1
Oro
Sin color
Tolerancia
20%
Si los colores son:
( Marrón -Negro -Rojo- Oro )
su valor en ohmios es
10 x 100 , 5 % = 1000
= 1K
Tolerancia de 5 %
5 bandas de colores
También hay resistencias con 5 bandas de
colores, la única diferencia respecto a la tabla
anterior, es qué la tercera banda es la 3ª Cifra, el
resto sigue igual
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2.2.- Fuentes de corriente continua: tensión e intensidad.
Fuentes independientes de intensidad
Esquemáticamente se representa por:
i(t)
A
B
La flecha interior es la que representa la referencia del sentido de la corriente cuando i>0. La ecuación característica de la
fuente es i(t), que es independiente de la tensión entre sus terminales, aunque esta tensión si dependerá del circuito
exterior.
A
4A
A
U1
B
A
4Ω
B
U2
8Ω
B
En los ejemplos de la figura, la tensión en los extremos de la fuente de intensidad coincide con el valor de la tensión en la
resistencia:
U1 = 4 x 4 = 14 V,
U2 = 4 x 8 = 32 V
Particularidad: Una fuente cuya intensidad es constantemente nula, es un circuito abierto.
Fuente independiente de tensión
La figura representa el esquema de una fuente ideal de tensión.
El signo + es la referencia de polaridad mediante el que convenimos, que es
VA > VB
cuando e(t) > O. Es, pues, UAB = e(t) con independencia de toda otra
conexión que pudiera haber entre A y B.
La ley de variación de la tensión e(t) es la característica de la fuente e independiente de la corriente que suministra,
dependiendo ésta del resto del circuito.
De tomar una referencia de tensiones entre A y B (Fig. 2.6), se verifica que:
u = e(t)
Ejemplo. Determinar las intensidades il e i2 que suministra la fuente de tensión de 20 V, en los circuitos que se representan
en las figuras
En ambas figuras, la tensión en la resistencia coincide con la característica de la fuente, es decir, u = 20 V.
Así, pues:
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figura a):
i1 = 20/4 = 5 A
figura b):
i2 = 20/10 = 2 A
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Una fuente de tensión, cuya diferencia de potencial entre terminales es constantemente nula, es un cortocircuito
Fuentes Dependientes
Son fuentes de tensión o intensidad que dependen de otra variable (tensión o intensidad) que pertenece al circuito general.
2.3.- Fuentes reales
Fuente real de tensión
Se observa en una pila, dinamo o alternador que manteniendo los restantes
parámetros, la tensión en bornas disminuye con la intensidad pedida. El
comportamiento de una pila real, por ejemplo, es equivalente al de un
circuito constituido por una fuente ideal de tensión de valor igual a la f.e.m.
de la pila (tensión a circuito abierto) en serie con la resistencia interna:
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito de la figura , en el que se ha conectado la fuente real de tensión, una
resistencia R que recibe el nombre de resistencia de carga:
u = eg – Rg x i
Aquí se ve que al aumentar i disminuye u, de acuerdo con la realidad. También por la ley de Ohm, para las referencias de
tensión e intensidad tomadas:
u=Rxi
siendo R la resistencia del elemento conectado a la fuente real
Representando estas ecuaciones se tiene la gráfica de la figura , donde se
observa que:
1. La i está limitada como máximo a un valor:
imax = eg /Rg
lo que se cumple para R = O, es decir, a corto circuito.
2. Si Rg se hace cada vez menor, la pendiente de la recta irá disminuyendo
y cuando Rg = O, la recta será paralela al eje de abscisas.
u = eg, para cualquier i, luego estamos en el caso de fuente ideal de
tensión.
3. De las ecuaciones anteriores se deduce que:
donde se ve que si R » Rg, u aproximadamente es igual a eg,
Fuente real de intensidad
En este caso se representa por una fuente ideal de intensidad en paralelo con
una resistencia o, en general, con un conjunto de elementos pasivos.
Supongamos el tipo representado en la figura, donde la fuente real de
intensidad aparece como una fuente ideal de valor ig en paralelo con una
resistencia de valor Rg o en unidades de conductancia Gg.
(Recordar G = 1/Rg ).
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Aplicando la primera ley de Kirchhoff al circuito de la figura, en el que se ha conectado a los terminales de la fuente real
una resistencia G (resistencia de carga), se tiene:
i = ig+ i'
siendo i' = - Gg u para las referencias de la figura y, por tanto:
i = ig - Gg u
Representando estas ecuaciones, se tiene la gráfica de la figura , donde se observa que:
1.
u está limitada a un valor máximo tal que:
Gg Umax= ig
lo que se cumple para G = O, R = ∞, es decir, a circuito abierto.
2. Si Gg se hace cada vez menor, la pendiente de la recta irá
disminuyendo y cuando Gg = O,
o sea, cuando Rg = ∞, la recta será paralela al eje de abscisas
i = ig
para cualquier u, luego estamos en el caso de fuente ideal de intensidad.
2.4.- Conversión de fuentes.
Se puede decir que 2 fuentes son equivalentes cuando las salidas de tensión e intensidad son las mismas, se puede decir que
son equivalentes a efectos externos.
Rg
i
i
A
A
+
Rg
u
eg
u
ig
B
B
De la f. de tensión:
i = eg x (1/(Rg +Rc))
De la f. de intensidad:
i = ig x ( Rg/(Rg+ Rc))
Con lo cual :
eg = ig . Rg
Esta será la condición de equivalencia.
2.5.- Asociación de resistencias:
Divisor de intensidad y de tensión.
Sean 2 resistencias como las de la figura:
R2
R1
b
a
a’
b’
Asociación Serie
Dos elementos, resistencias en este caso, están conectados en serie cuando la intensidad que atraviesa cada una de ellos es
la misma. Dos resistencias en serie pueden sustituirse por una sola resistencia equivalente cuyo valor es la suma de ambas.
R1
I
R2
I
a’
b’
a
Vaa’
Va’ b’
a
b’
Vab= Vaa’ +Va’ b’
R equi = Vab' / I = (Vaa' +Va'b')/I = R1 + R2
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Completar con Divisor de tensión
V1 = V . ( R1 / (R1+R2) )
Asociación Paralelo
Dos elementos, resistencias en este caso, están conectados en paralelo cuando la tensión entre sus terminales es la misma. Dos
resistencias en paralelo pueden sustituirse por una sola resistencia equivalente cuyo valor es el producto dividido por la suma de ambas.
I=I1+ I2
R1
a
b
a
I
b
I1
I2
Vab= Va’b’
a’
R2
b’
1
Requi
=
I
V
ab
=
+ I2
I1
V
=
ab
1
R1
+
1
R2
Completar con divisor de intensidad:
NOTA:
Dos terminales A y B se consideran ABIERTOS cuando se interrumpe la conexión y por lo tanto el paso de corriente entre ellos.
Equivale a una resistencia de valor infinito entre A y B. Existe diferencia de potencial (VA-VB) que viene marcada por el resto del
circuito.
Dos terminales A y B se consideran CORTOCIRCUITADOS cuando se conectan ambos mediante una resistencia R=0. La diferencia de
potencial en ese caso es (VA-VB)=0 y la corriente que atraviesa esa rama debe ser calculada de acuerdo al resto del circuito.
2.6.- Asociación de Fuentes:
Dos fuentes de tensión conectadas en serie equivalen a una sola cuya tensión es la suma de ambas.
Dos fuentes de tensión no pueden conectarse en paralelo.
Dos fuentes de intensidad conectadas paralelo equivalen a una cuya intensidad es la suma de ambas.
Dos fuentes de intensidad no pueden conectarse en serie.
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Lección 3: Análisis de circuitos de corriente continua
Definiciones
Análisis de Circuitos: Especificado el circuito y conocido el valor de las fuentes (Entrada), calcular el valor de las tensiones de nodo o
intensidades de ramas solicitadas (salida).
Síntesis o diseño de circuitos: Para una relación entre la salida y la entrada, (por ejemplo amplificación), disponer los dispositivos y
componentes necesarios y calcular sus valores para las especificaciones deseadas.
Nodo (Node) Cualquier punto de unión de un circuito donde están conectados dos o más terminales, o cualquier terminal aislado de un
elemento que no esté conectado.
Rama (Branch) Recorrido entre dos nodos que no atraviesa ningún otro = Trayectoria en una red compuesta por un elemento simple y
los nodos situados en sus extremos.
Lazo (Loop) Recorrido cerrado que empezando en cualquier nodo atraviesa elementos de dos terminales y termina en el mismo nodo (sin
atravesar un mismo nodo dos veces).
Malla (Mesh) Lazo interior
Para especificar un circuito se deben especificar los elementos (su modelo circuital) que lo componen y sus conexiones así como las
variables de control para los elementos dependientes
2
+
v
1
-
2v
+
3
5
-
Nodos 1, 2, 3, 4, 5
Ramas 1-2, 1-4, 2-3, 5-4, 3-4, 5-3, 5-2, 5-1
Lazos 1-5-4-1, 4-5-3-4, 3-2-5-3, 2-5-1-2
1-2-5-4-1, 1-2-3-5-4-1, 1-2-3-4-1,
+
v
4v
+
4
3.1.- Análisis por nudos.
Por aplicación del primer axioma de Kirchoff (Ley de Corrientes KCL):
La suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es cero (Ley de conservación de la carga)
La sistematiza a emplear es:
•
Se marcan (se numeran) los nodos esenciales de un circuito y se elige uno como referencia 0
•
Se asignan intensidades a cada rama (El sentido se elige arbitrariamente)
•
En cada nodo se aplica KCL a todos los nodos excepto al de referencia (Suma corrientes que entran a ese nudo = Suma
corrientes que salen de ese nudo)
R3
I3
R2
Va
1
I1
R1
1
I =I +I
I4
2
R4
I2
I5
0 = I1 + I 2 + I 3
R5
3
I0
2 2 5 4
I +I +I =0
3 3 4 0
3 ecuaciones 5 incógnitas (Las intensidades de rama)
Obsérvese que la intensidad en la rama 30 es conocida I0
Y por lo tanto existe una variable menos que ramas
0
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3.2.- Análisis por mallas
Leyes de Kirchoff:.
Por aplicación del segundo axioma de Kirchoff (Ley de Voltajes KVL):
La suma algebraica de los voltajes en cualquier recorrido cerrado es cero
(Ley de conservación de la energía)
La sistematiza a emplear es:
•
Se identifican las mallas de un circuito
•
Se asignan un recorrido a cada malla (El sentido se elige arbitrariamente, generalmente destrogiro)
•
Se aplica KVL a todas las mallas (los voltajes en cada elemento se considerarán positivos si en el recorrido asignado se los
recorre de + a -. En una resistencia por lo tanto es + si el recorrido lleva el mismo sentido que la intensidad)
R3
I3
R2
Va
1
I5
R1
I 3 R3 − I 4 R4 − Va − I 2 R2 = 0
0120
− I1R1 + I 2 R2 + Va + I 5 R5 = 0
I4
2
3
R4
I2
I1
1321
I0
R5
+ 2 ecuaciones => 5 ecuaciones y 5 incognitas
Obsérvese que no hemos escrito ninguna ecuación
para la malla 023 . NO es necesaria y además no
conocemos la tensión V30
0
La resolución del sistema de ecuaciones nos permite conocer todas las intensidades de rama.
Para determinar las tensiones en los nodos debe recorrerse el camino (el más corto) hasta la referencia.
V1 = I 1 R1
V 2 = I 5 R5
V 3 = − I 3 R 3 + I 1 R1
Nota:
En general si una fuente está situada entre dos nodos esenciales, el sistema se reduce en una ecuación ya que una de las posibles
incógnitas es un dato
Ejemplo:
•
•
•
•
Se determinan las mallas del circuito.
Se asignan intensidades de mallas a cada una de ellas.
(I1, I2, son las variables)
Se aplican KVL a cada una de las mallas (Tantas ecuaciones como intensidades)
R
I1 I1R3 + ( I1 − I 3 ) R4 − Va + ( I1 − I 2 ) R2 = 0
I2 I 2 R1 + ( I 2 − I1 ) R2 + Va + ( I 2 − I 3 ) R5 = 0
I3 ( I 3 − I 2 ) R5 + ( I 3 − I1 ) R4 + I 3 R6 = 0
I1
V
R2
R1
R5
I2
R
I3
R6
0
Si existe un generador de corriente una de las ecuaciones de malla desaparece ya que una de las variable en realidad es un dato
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R3
I1
I
I
I
Va
R2
R1
R4
R5
I2
I3
I1R3 + ( I1 − I 3 ) R4 − Va + ( I1 − I 2 ) R2 = 0
I 2 R1 + ( I 2 − I1 ) R2 + Va + ( I 2 − I 3 ) R5 = 0
I3 = − I0
I0
0
Notas Importantes:
•
Si existe un generador de corriente una de las ecuaciones de malla desaparece ya que una de las variables en realidad es un
dato.
•
La intensidad en cada rama es la suma algebraica de las intensidades de malla que la comparten. (Ejemplo: la intensidad real
que atraviesa R5 es (dirigida hacia el nodo 0) I2-I3 ).
Lección 4: Teoremas generales
4.1.- Linealidad
Se traduce en dos condiciones, que son propias de los circuitos lineales:
1.- La respuesta de un circuito lineal a varias fuentes de excitación que actúan simultáneamente es igual a la suma de las respuestas que
tendrían cuando actuasen cada una de ellas por separado (T. De superposición)
2.- Si las excitaciones de un circuito se multiplican por una constante, las respuestas quedaran multiplicadas por esa constante.
4.2.- Superposición
En cualquier red lineal que contenga varias fuentes, el voltaje entre terminales o la corriente a través de cualquier elemento se puede
calcular sumando algebraicamente todos los voltajes o corrientes individuales causados por las fuentes independientes actuando
individualmente. (Todas las fuentes menos una, desactivadas)
Debe emplearse este método siempre que existan fuentes trabajando a distinta frecuencia. (por ejemplo fuentes de continua y
alterna)
R
1
I
I
R
I
I1 = I1a + I1b
I
2
I
R
I
R
R
V2 = V2 a + V2 b
=
+
L
V
0
R
1
I
I1
R
I4
2
I2
R
R
I3
R
0
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R
I5
1
+
I1
R
I5
I4
2
I2
R
R
I3
R
0
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+
V
Se “apagan” todas las fuentes independientes menos una, y se resuelve el circuito: se calculan intensidades en las ramas y tensiones en
los nudos. Así con cada una de las fuentes, el resultado final es la suma algebraica de las intensidades y tensiones calculadas.
NOTA: Para “apagar” o desactivar una fuente de tensión se cortocircuitan sus terminales, de manera que la tensión entre esos dos puntos
es cero. Si es una fuente de intensidad, se abren los dos terminales de manera que la intensidad que circula en esa rama es cero.
4.3.- Ecuación del dipolo
Se puede identificar en algunos textos como “regla de sustitución”. Consiste en sustituir el elemento por su ecuación característica
(ecuación del dipolo)
En el caso de una resistencia:
u=Rxi
4.4.- Teoremas de Thevenin y Norton
Permiten reemplazar una parte de un circuito complejo visto entre dos terminales por un subcircuito muy simple
Thevenin
Se abre el circuito en dos terminales
Norton
Se cortocircuitan los dos terminales
Circuito
Subcircuito
lineal C1
A
B
A
B
Circuito
Se calcula Vth y
Vth +
Rth
A
Subcircuito
C2
Sustituyendo C1 por su Equivalente Thevenin las
corrientes y tensiones en el subcircuito C2 no varían
IN
Rth
A
B
Rth
B
A
B
Subcircuito
C2
A
Subcircuito
C2
IN
Rth
B
Vth corresponde a la tensión VAB calculada en el
Subcircuito
C2
IN corresponde a la intensidad de A->B calculada
subcircuito C1 con A y B abiertos
Rth corresponde a la resistencia vista desde AB en
el subcircuito C1 con las fuentes independientes de
C1 desactivadas
en el subcircuito C1 con A y B cortocircuitados
Rth misma que en el equivalente Thevenin
Dada la equivalencia de ambos circuitos se puede pasar de uno a otro teniendo en cuenta:
Rth=Vth / IN
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C2
Sustituyendo C1 por su Equivalente Norton las
corrientes y tensiones en el subcircuito C2 no varían
A
Vth +
Subcircuito
Se calcula INh y
A
B
B
A
A
IN B
B
Subcircuito
lineal C1
Subcircuito
C2
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4.5.- Transformaciones estrella/ triangulo y viceversa.
Se trata de un montajes específicos utilizados en montajes especiales y en corriente polifásica; en general puede ser
interesante la transformación de un tipo de montaje en el otro al objeto de facilitar el análisis.
Esta trasformación puede resumirse en el siguiente esquema:
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