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Sistemas descritos por
ecuaciones diferenciales
Objetivo: Interpretar sistemas en el tiempo, de
dimensión finita, en términos de ecuaciones
diferenciales de entrada/salida.
Prof. Ing. Olga González
Ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes


La respuesta de muchos sistemas físicos se puede
describir mediante ecuaciones diferenciales. Como
ejemplos de estos sistemas tenemos las redes eléctricas
con resistencias, condensadores y bobinas ideales, y los
sistemas mecánicos con pequeños resortes y
amortiguadores.
Consideremos un sistema en tiempo continuo descrito
por la siguiente ecuaciones diferencial de entrada/salida
d N y(t )
dt N

N 1
i 0
d i y(t )
ai
dt i
M
i
d i x(t )
b
0 i
dt i
Donde los coeficientes ai , i 1,2,, N 1 y b j , j 1,2,, M
son constantes reales y N M .
Ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes
Dado que las hipótesis acerca de un sistema físico implican
tasas o razón de cambio de las variables, el enunciado
matemático de todas esas hipótesis son ecuaciones donde
intervienen derivadas. El modelo matemático puede ser una
ecuación diferencial o ecuación en diferencia.
 Ejemplo:
1.
Ley de Newton del enfriamiento o calentamiento. Según
esta ley la razón con que cambia la temperatura de un
objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura
y la del medio que le rodea, que es la temperatura
ambiente. Si T(t) representa la temperatura del objeto al
tiempo t, Tm es la temperatura constante del medio que lo
rodea y dT/dt es la razón con que la temperatura del
cuerpo cambia. Esta ley se traduce en el enunciado
matemático
dT (t )
k (T Tm )
dt
donde k es una constante de proporcionalidad

Modelado de circuitos eléctricos a
través de ecuaciones diferenciales

En un circuito eléctrico tenemos las variables voltaje,
corriente y carga, principalmente, las cuales se representan
con v(t), i(t) y q(t), cuando el tiempo es t. Las letras L, C y R
son generalmente constantes, y se denominan inductancia,
capacitancia y resistencia, respectivamente. Según la segunda
ley de Kirchhoff, el voltaje E(t) a través de un circuito
cerrado debe ser igual a las caídas de voltaje en el circuito.
Modelado de circuitos eléctricos a
través de ecuaciones diferenciales

En el circuito en serie simple que contiene un inductor, un resistor
y un capacitor, tenemos que aplicando la segunda ley de Kirchhoff, y
como la corriente i(t) se relaciona con la carga q(t) en el capacitor
mediante i=dq/dt, sumamos las caídas de voltaje
di
dq
L
dt
dt
inductor
L

dq
dt
resistor
iR
R
1
q
C
capacitor
E igualamos la suma al voltaje total para llegar a la ecuación
diferencial de segundo orden
d 2q
L 2
dt
dq
R
dt
1
q
C
E (t )
Otro modelo
Modelado de sistemas mecánicos
Ecuaciones en diferencias

Ya sabemos que es posible caracterizar a un sistema en
tiempo continuo, utilizando la ecuación diferencial que
relaciona la salida del sistema y sus derivadas con la
entrada del sistema y sus derivadas. El equivalente en
tiempo discreto de esta caracterización es la ecuación
en diferencias que para sistemas lineales e invariantes en
el tiempo tiene la forma
N
k

a y (n k )
0 k
M
k 0
bk x(n k ),
Siendo a k y bk constantes conocidas.
n 0
Ecuaciones en diferencias

Ejemplo: Consideremos la ecuación en diferencias
3
1
y ( n)
y (n 1)
y (n 2)
4
8



n
1
,
2
n 0
Con y( 1) 1 y y( 2) 0 . Estas son las condiciones
iniciales de la ecuación y son conocidas.
n
Entonces
3
1
1
y ( n)
4
De forma que
y (0)
y (1)
etc.
y(2)
y (n 1)
8
y (n 2)
2
3
1
7
y ( 1)
y( 2) 1
4
8
4
3
1
1 27
y (0)
y( 1)
4
8
2 16
3
1
1 83
y(1)
y(0)
4
8
4 64