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CARTILLA DE EJERCICIOS DE MATEMATICA
INGRESANTES 2012
INGENIERIA AGRONOMICA
Facultad de Agronomía de la U.N.L.Pam.
Prof. Adjunto: Lic. Andrea PIA SALVADORI
Jefes de Trabajos Prácticos: Prof. Rosana BOTTA GIODA
Lic. Daniela SCARIMBOLO
Ayudantes de Primera: Prof. FOLGUERAS Ana
Prof. DÍAZ Cristina
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Los contenidos mínimos correspondientes a la asignatura Matemática son los
siguientes:
Lógica matemática y conjuntos numéricos. Análisis combinatorio. Álgebra,
matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Geometría Analítica. Funciones.
Límite y continuidad. Cálculo infinitesimal (derivadas e integrales). Nociones de
ecuaciones diferenciales.
Algunos de estos temas ya fueron abordados en el nivel medio, por lo que se
recomienda su revisión para favorecer una mejor comprensión de las actividades
que se desarrollarán en la asignatura.
Para esto, presentamos un material de consulta que contiene actividades de
repaso para realizar.
Los invitamos a realizarlas y cualquier duda que les pueda surgir pueden
escribirnos ingresando a la página de la cátedra www.agro.unlpam.edu.ar/moodle/
y luego al foro de consultas que los docentes responderán oportunamente a ellas.
Ante cualquier inconveniente pueden escribir al docente responsable de la cátedra
Lic. Andrea Pía Salvadori [email protected]
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NÚMERO REAL
Diferentes clases de números reales.
En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4)
como a los números irracionales aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen
infinitas cifras decimales no periodicas, tales como:
. Números reales son aquellos que poseen
una expresión decimal.
Pueden ser descritos de varias formas, aparentemente simples, pero estas carecen del rigor necesario
para los propósitos formales de matemáticas.

Tipos de números reales
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son
aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2,
mientras que los irracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse
como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales
tienen una expansión decimal aperiódica:
Ejemplos
1/4 = 0,250000... ES un número racional puesto que es periódico a partir del tercer numero
decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... ES racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).
es irracional y su expansión decimal es aperiódica
Operaciones con números reales
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones
importantes:
1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en
números reales, razón por la que existe el conjunto de los números complejos donde estas
operaciones sí están definidas.
2. No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir,
no existe la operación de dividir entre nada.
Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas:
existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de
la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de
la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de
construcción de gráficas en geometría analítica.
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Notación
Los números reales miden cantidades continuas que se expresan con fracciones decimales que tienen
una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232.
Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo
que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.
Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más
conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos
como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el
concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal
de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la
continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las
matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.
Construcciones de los números reales
Construcción axiomática
El conjunto de números reales, denotado por
una de las siguientes proposiciones:
1. Si
2. Si
, entonces
, entonces
3. Si
4. Existe
5. Para cada
(Cerradura en la suma)
(Conmutatividad en la suma)
, entonces
de manera que
existe un elemento
6. Si
7. Si
, entonces
, entonces
8. Si
9. Existe
, entonces
de manera que
10. Para cada
multiplicativo)
11. Si
suma)
12. Si
es aquel conjunto en el que cada elemento cumple cada
para todo
tal que
(Asociatividad en la suma)
(Neutro aditivo)
(Inverso aditivo)
(Cerradura en la multiplicación)
(Conmutatividad en la multiplicación)
(Asociatividad en la multiplicación)
para cualquier
(Neutro multiplicativo)
existe un elemento
tal que
, entonces
(Inverso
(Distributividad de la multiplicación en la
, entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
o
o
o
13. Si
14. Si
15. Si
16. Si
,
y
entonces
(Transitividad)
y
, entonces
(Monotonía en la suma)
,
y
, entonces
(Monotonía en la multiplicación)
es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces
tiene supremo en
(Axioma del supremo)
Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma
es el que distingue de otros cuerpos ordenados como
.
4
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Construcción por números decimales
Consideramos
los
números
decimales
como los conocemos intuitivamente. Sabemos que
, es decir, el número π se expresa como el número entero 3
y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.
Un número decimal se expresa entonces como
donde x es un número entero y cada di
es un elemento del conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Además, consideramos que no existen las colas de 9.
Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero positivo se le denota por
y
se le llama el conjunto de los números reales positivos.
Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero negativo se le denota por
y
se le llama el conjunto de los números reales negativos.
Al número decimal
se le llama cero.
Al conjunto
se le denota por
y se le llama conjunto de números reales.
Se define la relación de orden total de los números decimales como
1.
para todo
2.
3.
siempre que
para todo
y
4. Dados dos números reales cualesquiera
en cualquiera de los casos siguientes:
o
o
y además existe
y
tal que
para todo
,
y
ÁLGEBRA ELEMENTAL
La álgebra elemental es una fundamental y relativamente básica forma de álgebra enseñada a los
estudiantes que se presumen tienen poco o nada de conocimiento formal de las matemáticas más allá de
la aritmética. Mientras que en aritmética solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas
elementales (como +, -, ×, ÷), en álgebra también se utilizan símbolos para denotar números (como x, y, a
y b). Éstos son llamados variables. Esto es útil porque:
 Permite la generalización de ecuaciones aritméticas (y de inecuaciones) para ser indicadas como
leyes (por ejemplo
para toda y ), y es así el primer paso al estudio
sistemático de las propiedades del sistema de los números reales.
 Permite la referencia a números que no se conocen. En el contexto de un problema, una variable
puede representar cierto valor que todavía no se conoce, pero que puede ser encontrado con la
formulación y la manipulación de las ecuaciones.
 Permite la exploración de relaciones matemáticas entre las cantidades (por ejemplo, “si usted
vende x boletos, entonces, su beneficio será 3x - 10 dólares”).
Estas tres son los hilos principales del álgebra elemental, que deben ser distinguidos del álgebra
abstracta, un tema más avanzado enseñado generalmente a los estudiantes universitarios.
En álgebra elemental, una expresión puede contener números, variables y operaciones aritméticas. Por
convención, éstos generalmente se escriben con los términos con exponente más altos a la izquierda (ver
polinomio); algunos ejemplos son:
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En un álgebra más avanzada, una expresión también puede incluir funciones elementales.
Una ecuación es la aseveración de que dos expresiones son iguales. Algunas ecuaciones son verdades
para todos los valores de las variables implicadas (por ejemplo
); tales ecuaciones son
llamadas identidades. Las ecuaciones condicionales son verdades para solamente algunos valores de las
variables implicadas:
. Los valores de las variables que hacen la ecuación verdadera se
llaman las soluciones de la ecuación.
Signos de operación
Al igual que en la aritmética, en el álgebra se usan las operaciones de suma, resta, multiplicación, y
división. Adicionalmente están las operaciones de potenciación y radicación.
Los signos de operación son:
 Suma: +
 Resta:  Multiplicación: × o ·, o es implícito entre las variables
 División: /, : o
 Potenciación: Es un pequeño número o letra arriba y a la derecha de una cantidad

Radicación:
Signos de relación
Indican la relación que hay entre dos expresiones. Los signos de relación son:
 Menor que: <
 Mayor que: >
 Igual a: =
Signos de agrupación
Los signos de agrupación se usan para cambiar el orden de las operaciones. Las operaciones indicadas
dentro de ellos deben realizarse primero.
Los signos de agrupación son:
 El paréntesis: ()
 El corchete: []
 La llave: {}
Expresiones algebraicas
Término
Término es una expresión algebráica elemental donde se encuentran solo operaciones de multiplicación y
división de números y letras. El número se llama coeficiente y las letras conforman la parte literal. Tanto
el número como cada letra pueden estar elevados a una potencia. En una expresión algebraica con
varios términos, éstos están separados con signos de suma y resta.
Término independiente
El término independiente es el que consta de solo un número y no tiene parte literal.
Términos semejantes
Los términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal (con las mismas letras
elevadas a los mismos exponentes), y varían solo en el coeficiente. Solo se pueden sumar y restar
términos semejantes. No se pueden sumar y restar términos que no sean semejantes, sin embargo, se
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puede multiplicar y dividir todo tipo de término. Si en una expresión algebraica hay varios términos
semejantes, éstos se pueden simplificar sumándolos o restándolos.
Grado de un término
El grado de un término puede ser de dos tipos, grado absoluto y grado relativo.
 Grado absoluto. Es la suma de los exponentes de cada letra de la parte literal.
 Grado relativo. Se toma en cuenta con respecto a una letra, y es el exponente de esta letra.
Polinomio
Es una expresión algebraica que contiene uno o más términos. Cuando el polinomio consta de
uno, dos y tres términos se llama monomio, binomio y trinomio respectivamente.
 Monomio: Es una expresión algebraica que contiene un solo término
 Binomio : Es una expresión algebraica que contiene dos términos
 Trinomio : Es una expresión algebraica que contiene tres términos
Valor numérico de un polinomio
Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos y luego realizar las operaciones del
polinomio.
Leyes del álgebra elemental1
Propiedades de las operaciones
 La operación de adición (+)
o se escribe
o es comutativa:
o
es asociativa:
o
tiene una operación inversa llamada sustracción:
, que es igual a
sumar un número negativo,
tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma:
La operación de multiplicación (×)
o


o
se escribe
o
es comutativa:
o
o
es asociativa:
es abreviada por yuxtaposición:
o
tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división:
o
que es igual a multiplicar por el recíproco,
tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación:
o
=
o es distributiva respecto la adición:
La operación de potenciación
o se escribe
o es una multiplicación repetida:
(n veces)
o
no es ni comutativa ni asociativa: en general
o
tiene una operación inversa, llamada logaritmo:
7
y
,
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o
puede ser escrita en términos de raíz n-ésima:
y por lo tanto las raíces
pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema
de números complejos)
o
es distributiva con respecto a la multiplicación:
tiene la propiedad:
o
o
o
tiene la propiedad:
Orden de las operaciones
Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular,
conocido como el orden de las operaciones. Primero se calcula los valores de las expresiones encerradas
en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), seguidas por multiplicaciones y divisiones, y
seguidas finalmente por las sumas y las restas.
Propiedades de la igualdad
La relación de igualdad (=) es:
 reflexiva:
 simétrica: si
entonces
 transitiva: si
y
entonces
Leyes de la igualdad
La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:
 si
y
entonces
y
 si
entonces
 si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro.
 regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si
entonces
.
 regularidad condicional de la multiplicación: si
y no es cero, entonces
.
Leyes de la desigualdad
La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:
 de transitividad: si
y
entonces
 si
y
entonces
 si
y
entonces
 si
y
entonces
Regla de los signos
En el producto (cociente) de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:
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RECTA REAL
La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el
cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y
los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada
punto de la recta y un número real.
Esta recta numérica real o recta de coordenadas, se construye como sigue: se elige de manera arbitraria
un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia
adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta
numérica.
Intervalo
En análisis, se denomina intervalo a todo subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las
únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad:
si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I.
Contenido
[ocultar]
 1 Notación
 2 Clasificación
 3 Generalización
 4 Véase también
 5 Referencias
Notación
Para representar intervalos, usan habitualmente dos notaciones, por ejemplo, para representar el
conjunto de los x tal que a ≤ x < b se puede representar [a; b) o bien [a; b] . La primera es la vigente en el
mundo anglosajón, la segunda en Francia y en la francofonía. La regla del corchete invertido resulta más
intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro,
respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b
no.
Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se
encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro
en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un
intervalo:[-2,2]entre este espacio se encuentran los números (-2-1,0,1,2) aquí se encuentra un
intervalo.....ya que el espacio abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí.
También existe una regla memotécnica para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos
intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis
donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos)
cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y [1, 2) el número
no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no
pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio.
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Clasificación
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y
semi abiertos) o según sus características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).
Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:
Longitud
Notación
Intervalo
Descripción
(l)
Intervalo cerrado de longitud finita.
Intervalo cerrado en a, abierto en b
(semicerrado, semiabierto).
intervalo abierto en a, cerrado en b.
intervalo abierto.
Intervalo (semi) abierto.
Intervalo (semi) cerrado.
Intervalo (semi) cerrado.
Intervalo (semi) abierto.
Intervalo a la vez abierto y cerrado.
intervalo cerrado de longitud nula. Es un
conjunto unitario.
x no existe
Sin
longitud
conjunto vacío.
Valor absoluto
En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin su respectivo
signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otras palabras, su distancia en la recta numérica hasta el
valor cero. Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.
El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en
diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede
generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados,
cuerpos o espacios vectoriales.
Gráfica de la función valor absoluto
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Contenido






1 Valor absoluto de un número real
o 1.1 Propiedades fundamentales
o 1.2 Otras propiedades
2 Valor absoluto de un número complejo
o 2.1 Propiedades
3 Programación del valor absoluto
4 Notas
5 Referencias
6 Enlaces externos
Valor absoluto de un número real
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real
está definido por:2
Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real corresponde a la distancia a lo
largo de la recta numérica real desde hasta el número cero. En general, el valor absoluto de la
diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o
métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.
Propiedades fundamentales
No negatividad
Definición positiva
Propiedad multiplicativa
Propiedad aditiva
Otras propiedades
Simetría
Identidad de indiscernibles
Desigualdad triangular
(equivalente a la propiedad aditiva)
Preservación de la división (equivalente a la propiedad
multiplicativa)
Otras dos útiles inecuaciones son:


Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:
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ACTIVIDAD 1: NÚMEROS REALES
Luego del estudio del apunte teórico, resolver la siguiente guía de ejercicios utilizando los conceptos
teóricos antes vistos.
1) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justificar las respuestas:
a)
b)
c)
d)
e)
2/3 es un elemento de Z.
-1/3 es un elemento de Q.
2,9 es un número racional.
a/b para cualquier a y b enteros es un número racional.
-6 es un elemento de Z, pero no un elemento de N.
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
es un elemento de R, pero no es un elemento de Q.
Todo número irracional es un número real.
Todo número entero es un número racional.
Existen números decimales que no son reales.
Hay números reales que son racionales e irracionales
Todo porcentaje puede expresarse como decimal.
Todo porcentaje es un número real.

2) Escriba la expresión sin utilizar los símbolos del valor absoluto
b) x  2 si x  2
a) u si u es no negativo.
c) 3a  b si 3ab
d) 11  y si y  11
3) Simplifique y elimine cualquier exponente negativo:
3abc 3
2a
1 1
b c

2
4) Responder Verdadero o Falso y justificar todas las respuestas:
a)
b)
2 x  y  2 x  y para x,y  0
 a
2
 a para cualquier número real a.
n
c) Si n es par
x
es definida para cualquier número real x.
5) Simplifique y elimine cualquier exponente negativo
1

 2x 2
a)  1 2
z 6y 3






6
b)
t
a b
/t
 .t
a a
ba
/t

b a b
3
1
1 
  2
10 
c)  x 5 . y  / x 5 . y 2 



1
3 

1
 2.a 2 / a 2 .1 / 6a  2


Resuelva las siguientes operaciones:
a) 2 4  2 3  2 4
b)

2  1
.
2  1
2
c)
3
1
7  1
3
 1    3 
8  2
4
12
10
d)
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d) 

3
8 . 23 

6
1  9 . 9  1
18
e)
3
f)
5
1
2
4  3   3 .  1   7 


8
16  4  2  8 
2
6) Dada la siguiente expresión indique la opción verdadera:


yz  yz . yz  yz
a) y+z
d) 2z
b) 2y
e)
c)
f)

y-z
Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
7) Si a  2  4 12 y b  1  2 3 entonces a + b = ?
Marque la opción verdadera:
b)
a)
2
d) 3
c)
e)
3
6
6
Ninguna de las opciones anteriores es
correcta.
8) a) Dada la expresión
I)
3 2.n 3  3 2 n 1
III) 3 2n 4
II
)
2 2n2
marque la opción verdadera:
63
3 2n 2
IV)
V) Ninguna de las opciones anteriores
es correcta.
6 n2
b) ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a un número racional?


2
5 7
I)
II)
a) Sólo I
b) Sólo III
d) Sólo II Y III
e)
 8  2
2
III)
 5  7 . 5  7 
Sólo I Y II
Ninguna de las opciones anteriores es
correcta.
c)
f)
9) Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas, justificando sus respuestas por
medio de un desarrollo algebraico:


a) 2 2n . 2.2 n1  2 n 2  32
c)
 
a 
a4 . a2
9 2
6

a 4 .a12
a18
b)
b m .b 2n

bn
 b m .b 2
  
3
3
d) 10.2n 1 : 2n 1  1000
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FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una
matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números
debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el
número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a +
b).
Factorizar un polinomio, antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar
utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de
factorización, para algunos casos especiales.
CASO I - FACTOR COMÚN
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor
exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos
si y solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga
menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con
dos.
un ejemplo:
Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El
otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
Se puede utilizar como:
Entonces la respuesta es:
CASO II - FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos
características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se
agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
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Un ejemplo numérico puede ser:
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
Aplicamos el primer caso (Factor común)
CASO III - TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante
equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos
reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego
extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos
por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al
cuadrado.
y
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Organizando los términos tenemos
Ejemplo 5:
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por
el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo termino es -20xy determinamos que es
correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
15
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CASO IV - DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por
medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.)
O en una forma mas general para exponentes pares:
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos
da r+1 factores.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada
término y representar estas como el producto de binomios conjugados.
CASO V - TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que
completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el
mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
CASO VI - TRINOMIO DE LA FORMA X 2 + BX + C
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el
término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz
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cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término
independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
CASO VII - SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS A LA N
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un
número impar):
Quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Que dando de la
siguiente manera:
Ejemplo:
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.
CASO VIII - TRINOMIO DE LA FORMA AX 2 + BX + C
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del
segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término
independiente, o sea sin una parte literal, así:
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del
término x2
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre si den como resultado el término
independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en
paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente.
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x 2
Queda así terminada la factorización
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CASO IX - CUBO PERFECTO DE TETRANOMIOS
Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
POLINOMIO
En matemáticas, se denomina polinomio a una expresión algebraica constituida por un número finito de
variables y constantes, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y
potenciación con exponentes naturales. Por ejemplo:
es un polinomio, pero:
no, porque incorpora la división y un exponente fraccionario.
El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio , el de
cuatro cuatrinomio o polinomio de "N" términos dependiendo de cuantos haya.
La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:
por ejemplo:
Se denomina grado de un polinomio a la mayor potencia de los monomios que lo componen.
Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios
semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un monomio por el término del otro
monomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente.
Factorización: Para factorizar un polinomio de segundo grado completo (con todos los términos) se
divide por el inverso de una de sus raíces sumado con la incógnita, siendo los factores el número por el
que dividimos y el resultado; ya que no hay resto, cumpliéndose así que dividendo = divisor Χ cociente +
resto. En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor
común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.
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Ejemplos: Las funciones polinómicas de una variable (x), se corresponden con diversas curvas planas,
que se pueden representar en un sistema de coordenadas cartesianas XY.
Polinomio de grado 2:
f(x) = x2 - x - 2
= (x+1)(x-2)
Polinomio de grado 3:
f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2
= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomio de grado 4:
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5
Polinomio de grado 5:
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2
La función
coeficiente principal 13 y una constante de 3.
es un ejemplo de función polinómica con
Operaciones con polinomios
Valor numérico de un polinomio
Partiendo de un polinomio P(x), el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor
concreto de x, x= b, se obtiene sustituyendo la variable x del polinomio por el valor b y se realizan las
operaciones. El resultado de P(b) es valor numérico del polinomio para x= b.
En el caso general:
tomara un valor para x = b, de:
19
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Ejemplo: Dado el polinomio:
su valor, tenemos:
cual es su valor para x= 2, sustituyendo x por
Con el resultado de:
Adición de polinomios: La suma de polinomios es una operación, en la que partiendo de dos
polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por
coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo
grado.
Dados los dos polinomios P(x) y Q(x):
y
el polinomio suma R(x), será:
que es lo mismo que:
sacando factor común a las potencias de x en cada monomio:

Ejemplo:
Escribiendo los polinomios de modo que los monomios de igual grado estén alineados verticalmente, la
suma de los polinomios es el polinomio resultante de sumar las coeficientes de los monomios del mismo
grado, como se ve en el ejemplo.
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Multiplicación de un polinomio por un escalar: Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este
polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del
polinomio se ha multiplicado por k.
Si el polinomio es:
Y lo multiplicamos por k:
Dando lugar a:
20
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
Ejemplo:
Partiendo del polinomio:
Lo multiplicamos por 3,
Operando con los coeficientes:
Y tenemos como resultado:
esta operación también puede expresarse del siguiente modo:
Que es la forma aritmética para hacer la operación.
Multiplicación de un polinomio por un monomio: Partiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x),
el producto P(x)*M(x) es un polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes del polinomio por el del
monomio, y sumar a los grados del polinomio el del monomio, veamos: Si el polinomio es:
y el monomio es:
el producto del polinomio por el monomio es:
Agrupando términos:
El producto de exponentes de la misma base, es la base elevada a la suma de los exponentes:
Que es el resultado del producto.

Ejemplo:
21
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Partiendo del polinomio:
y del monomio:
La multiplicación es:
aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:
realizando las operaciones:
esta misma operación, se puede representar de esta forma:
donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x)
MULTIPLICACIÓN DE DOS POLINOMIOS
Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos polinomios P(x) * Q(x)
que será un polinomio de grado n + m, así si:
entonces:
aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:
agrupando términos:
operando potencias de la misma base:
Ejemplo: vamos a multiplicar los polinomios:
22
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el producto de los polinomios P(x) * Q(x):
lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando
después el resultado, así en primer lugar haremos la multiplicación:
que resulta:
ahora multiplicamos P(x) por el segundo monomio de Q(x), x:
al realizar la operación se colocan los resultados alinados verticalmente según las potencias de x, del
siguiente modo:
hacemos lo mismo con el tercer monomio de (x):
lo que resulta:
23
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hechas ya las multiplicaciones de P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), hacemos la suma de los
productos parciales, según las distintas potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:
este polinomio de 5º grado es el producto de P(x) de 3º grado y Q(x) de 2º grado.
División de polinomios: La división de polinomios tiene la mismas partes que la división aritmética, así
hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado
de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y
R(x) (resto) que podemos representar:
tal que:
dividendo = divisor × cociente + resto
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado
de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).

ejemplo:
que para la realización de la división representamos:
como resultado de la división finalizada:
24
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Teorema Del Resto: El resto R de la división de un polinomio P(x) por un binomio de forma (x + a) es el
valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo "x" por el opuesto de "a" (es decir, por − a).
Formalmente puede expresarse como:
Por ejemplo, si
para
se obtiene el resto:
Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la
división es exacta.
ACTIVIDAD 2: Factorización de expresiones algebraicas. Expresiones Racionales.
1) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas utilizando el procedimiento indicado en cada caso:

Factor común
a) 7x5  5x4  x 3
b) 2 x 4  6 x 3  4 x 2
d) 8x 2  4x3  16x4  12x5




e)
c)  4x7  8x3  4x 2  16x
2
4 2 2 3
h
h 
h
5
25
15
4 2 8 3 16 7 2 5
m  m 
m  m
3
9
15
3
f)
Factor común por grupos
a. 4 x 3  2 x 2  6x  3
b. x 6  2x 5  x 4  2 x 3  2x  4
c.
d. 3x 8  x 7  2x 5  3x 3  x 2  2
e. 3x 6  12x 5  9x 4  3x 2  12x  9
f.
Diferencia de cuadrados
a. 16  x 2
b.
d. 4 x 2  25
e.
1
 x2
36
x 4  9x 2
2x 5  x 4  6 x 3  3x 2  8
x 6  x 5  2x 4  x 2  x  2
1 4
x
4
x 4  36
c. 81
f.
Trinomio cuadrado perfecto
a. x 2  8x  16
b. 4 x 2  4x  1
c.
d. x 6  4x 3  4
e. 16x 2  128x  256
f.
9
4
2
x  x  0,25
x 2  3x 
Cuatrinomio cubo perfecto
a. x 3  15x 2  75x  125
b. x 3  12x 2  48x  64
c.
1 3 3 2 3
x  x  x 1
8
4
2
2) Factorizar las siguientes expresiones combinado los casos anteriores:
a. x 3  7 x 2  16x  12
1 4
x  3x 3  6 x 2  4 x
d.
2
b. 5x 3  x 5
e. 20x 3  60x 2  45x
25
c. x 5  4 x 3  8x 2  32
f. 6x 2  18x  12
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g. 6x 4  3x 3  24x 2  12x
3) ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas racionales son irreducibles?
a.
2x  3
x4
b.
x 2  16
x4
c.
x 3
2
x  6x  9
d.
4) Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:
a.
d.
ay3
b.
a2 y 3
x3  x2  x
5x 2  5x  5
e.
15x 3 y 4
c.
10x 2 y 3
8x 2 y 3  10x 3 y
2x 2 y
f.
x3 1
x2  x 1
x 3 x  2 
x 2  2x
2
4 x 2  12x  9
9
x2 
4
5) Indicar cuales de las siguientes expresiones son equivalente:
a.
x4 y
5
x y
2
b.
x 2  2x  1
x2 1
c.
x 2  3x  2
x2  x  2
d.
xy ( x  1)
x y 2  x 2y 2
3
6) Calcular y simplificar:
a.
5x
15
 2
2
x 9 x 9
b.
2( x  3)
x 3
 2
2
x  2x  3 x  4x  3
c.
x
x2
 2
x 1 x 1
d.
x 5
2x  6
 2
x  4 x  3 x  3x
2
7) Operar y simplificar:
a.
x
x3 1

x 2 - 4 2x 2
b.
x3  x
x2  4

x 2  5x  6 x 2 - x
c.
1
1
 2
x  2 3x  12
d.
x3  x
4x 2  4

x2 - x  1 x2  x - 2
8) Resolver:
a. 3  x 
d.
x2
x 3
1
1
1
 2
 2
x  6x  9 x  9 x  6x  9
2
 1
2x

b. 
2
1  x 1  x
 2x
x2   x3 


 2
c. 
 

 x 1 x 1 1  x 
 
1
  1  
 
x

x   x
1 
 1
e. 




 x  1 x 1  x  1 x  1
1

y 2  x3  y 3

f.  x  y 
x  y 
x2

9) Dadas las siguientes funciones cuadráticas en forma polinómica f ( x )  ax 2  bx  c , escribirlas
en forma canónica f ( x )  a( x  xv ) 2  y v , completando cuadrados.
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1
c. m( x )  x 2  2 x  1
3
a. f ( x )  x 2  4x  3 b. g ( x )  2x 2  12x  20
p ( x )  3x 2  9 x 
d.
29
4
POLINOMIOS
1. Dadas las siguientes expresiones algebraicas, identificar aquellas que sean polinomios. En
caso que no sean, indicar por qué.
a) 7x4  5x  2
e) 3x 2 y  x 3 y 2  x 4 y 3  6
f)
2
c) x  1x  3  4
5 5
x  x 2
4
b)
3 x 3  3x x  3x  7
g) 2x 5  3x 4  x 3 
d) 5x 3  2x 3  3
2
x
2. Para cada uno de los polinomios del ejercicio anterior indicar:
a) grado
b) coeficiente principal y término independiente
c) variables
3. Escribir un polinomio en la indeterminada x, con coeficientes racionales, completo, de grado
seis y cuyo coeficiente principal sea 
3
.
2
4. Dados los polinomios: P(x) = x2 – 3x + 9 ; Q(x) = 2x3 + 7x – 1 ; R(x) = x +5;
T(x) = 4x2 + x y S(x) = 0,1 x.
Hallar:
b) R 3
d) (R – S)2
f) (Q . R)  T
a) P + Q + T
c) P. (T + S)
e) Q  R
5. Dados: A y   3 y 3 
1
; B y   y 4  y 3  3 y  5
2
determinar: a) 3 A – B
b) A2 – 1
c) El cociente y el resto de dividir B por A.
6. En cada apartado calcular el cociente y el resto de dividir P por Q. En caso de ser
posible, aplicar la Regla de Ruffini:
a) P(x) = x4 + 5 x3 – 2 x2 – x
b) P(y) = y5 + 2y2 – 3y4 – y + 2
c) P(x) = x4 – x + 1
Q(x) = x –2
Q(y) = y +1
Q(x) = 2x2 +2
7. Determinar P(a) en cada caso:
a) P(x) = x4 + 5 x3 – 2 x2 – x
a = -1
1
b) P(x) =
x – 2 x2 + x3
2
a = 0,5
c) P(x) = x6 – 2 x4 + x2 + x – 1
a=
2
27
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8. Determinar las raíces de P(x) = x 3  5x 2 .
9. Indicar si el número 2 es raíz del polinomio y 4  5 y 3  8 y 2  4 y . En caso afirmativo, indicar su
orden de multiplicidad y, si es posible, las restantes raíces.
10. Determinar un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean –1, 2 y 3.
FUNCIÓN MATEMÁTICA
Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de
unicidad que sólo sale una.
En matemáticas, una función f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de
elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único
elemento del codominio f(x). Se denota por:
Definición
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia
matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento
con un (y sólo un)
denota
se
, en lugar de
Notación y nomenclatura
Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por
A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
o
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por
o codomf. Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede
hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término
codominio.
28
.
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Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se
le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores
o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por
Una preimagen de un
es algún
tal que
o
o
.
.
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del
dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.
Ejemplos

La función definida por
, tiene como dominio, codominio e imagen a todos los
números reales
Función con Dominio X y Rango Y

Para la función
tal que
, en cambio, si bien su dominio y codominio son
iguales a , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el
cuadrado de un número real.

En la figura se puede apreciar una función
, con
Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a
de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,
Esta función representada como relación, queda:
Representación de funciones: Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la
forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la
definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos
que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto
a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el {\rm
dominio naturl],} de la función.
29
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Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.
Ejemplo:
X| -2 -1 0 1 2 3
Y| 0 1 2 3 4 5

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las
funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.
FUNCIÓN LINEAL
Se denomina función lineal de una variable real a una función matemática de la forma:
donde m y b con constantes. La denominación correcta de este tipo de funciones es función afín.
La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función afín f(x) = mx + b
tiene una función lineal asociada f(x) = mx. De hecho, una ecuación de la forma y = mx + b se denomina
ecuación lineal. Toda función afín tiene orden de crecimiento lineal, y se comporta asintóticamente como
su función lineal asociada. Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la
forma siguiente


que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.
m es denominada la pendiente de la recta.
b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).
Ejemplo en el plano xy
30
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En la figura se ven tres rectas, que corresponden a las ecuaciones afines siguientes:
en la primer recta el parámetro m = ½, esto es, el crecimiento de la recta es ½, cuando aumentamos x en
una unidad, y aumenta en ½ unidad, el valor de b es 1, luego la recta corta el eje y en el punto y = 1.
La ecuación:
tiene el valor de la pendiente m = ½, igual que en el caso anterior, por eso estas dos rectas son paralelas,
como el valor de b = -1, esta recta corta el eje de las y en el punto y = -1.
La tercera ecuación, es:
la pendiente de la recta, el parámetro m = 2, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el
valor de y la hace en dos unidades, el corte con el eje y, lo tiene en y = 1, dado que el valor de b = 1.
En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las
x a través de la expresión:
Función cuadrática
Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define
mediante un polinomio de segundo grado como:
31
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Gráficas de funciones cuadráticas
donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano XY haciendo:
esto es:
signo de a.
es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el
Corte con el eje y
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):
lo que resulta:
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la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.
Corte con el eje x
La función corta al eje x cuando y vale 0:
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se
obtienen como es sabido por la expresión:
se le llama discriminante, Δ:
donde:
según el signo del discriminante podemos distinguir:

Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: x1 y
x2.

Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en x1, la parábola solo tiene un punto en común con el
eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.

Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.
FORMA FACTORIZADA
Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:
se puede factorizar como:
siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no
escribirse, el coeficiente de x2 sería siempre 1. x1 y x2 representan las raíces de f(x). En el caso de que el
Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que podríamos escribir:
En este caso a x1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.
FORMA CANÓNICA
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente
manera:
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A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado
(h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma
polinómica y se realiza el siguiente procedimiento: Dado:

Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.

Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.

Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.

sustituyendo:

la expresión queda:
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Funciones exponenciales
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Gráfica de Funciones exponenciales
Definición
Tipo
Función real
Dominio
Codominio
Imagen
Propiedades
Biyectiva
Convexa
Estrictamente creciente
La función exponencial es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la
misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números
reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota
equivalentemente como f(x)=ex ó exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales.
En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma
siendo
creciente.
números reales,
. Se observa en los gráficos que si a > 1 la curva será
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Crecimiento de la función exponencial.
Se llama (función) exponencial de base e la función definida sobre los reales por x →ex.

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés
en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando
la variable vale 0.

Relación adición-multiplicación:




Inversa del logaritmo:
La tangente en x = 1, T1, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T0, pasa por el punto (-1, 0).
Logaritmo
Representación gráfica de logaritmos en varias bases:
el rojo representa el logaritmo en base e,
el verde corresponde a la base 10,
36
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y el púrpura al de la base 1,7.
.
En matemática, el logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que
elevar la base para obtener el número. Es la función matemática inversa de la función exponencial.
Por ejemplo, el logaritmo con base b de un número N es el exponente x al que hay que elevar esa misma
base para que nos dé dicho número N.
La base b tiene que ser positiva y distinta de 1
.
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un
número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la
exponencial x = bn. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n. Así, en la
expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log 10 100 = 2.
Por ejemplo:
Se denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base e de un número o
resultado dado por el exponente.
Definición analítica
En la imagen se puede ver la representación gráfica del logaritmo neperiano, como también la
representación de las rectas tangentes a la función en x = e (Te) y en x = 1 (T1).
Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva
de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas
observaciones:
Identidades logarítmicas
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Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del
denominador.

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la
potencia.

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del
radicando.
Logaritmo en base b (cambio de base)
Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2
(logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número
como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a
otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b
(suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):
en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:
En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como
, en ciencias que hacen uso
de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en
magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto
(escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las
propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.
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ACTIVIDAD 3: FUNCIONES
1.- Indique para cada uno de los siguientes gráficos, si pertenecen a funciones reales o no.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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2.- Relacionar cada fórmula con la tabla y el gráfico que corresponda:
f1) y=x+2
f2) y=x2+2
f3) y=x3+2
f4) y=2
t1)
t2)
t3)
t4)
2
1
2
y 2 3 1 4 0
2
y 2 3 1 10
6
x 0 1
x 0 1
1
2
2
1
2
y 2 2 2 2 2
x 0 1
g1)
g2)
g3)
g4)
3.- Dadas las funciones:
a)
b)
c)
 
f ( x)  3.x 2  2.x; halle f (1); f (2); f 1 .
2
1
f ( x)  ; halle f  1 ; f x  1.
3
x
 
 
f ( x)  x 2 ; halle f x 2 ; f x  5.a .
4.- Halle el dominio de f(x) siendo:
a)
f x   x 4  3.x 2  5
b)
f x  
c)
f x   x  8
d)
f x   x 2  4
3 x
x4
40
2
1
2
y 2 3 3 6 6
x 0 1
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e)
f x  
1
f x   3 2.x 2  6
f)
3.x  9
2
5.- Considere las rectas I) y  1 2 .x  5 ; II) y = -3/4.x – 1.
a) ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen al gráfico de la recta?
(5; 0)
(-2; 4)
(-10; 0)
b) Realice su gráfico.
c) Encuentre los puntos de intersección con los ejes coordenados.
(-4; 2)
6.- En cada caso, escribir la ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente m;
luego trazar la gráfica.
a.- P = (3,1) ; m = 1/2 , -2
b.- P = (-2,4) ; m = 1, -3, -1/2
7.- En cada caso, obtener la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas:
a.- pasa por el punto A = (5,-2) y es paralela al eje y
b.- pasa por el punto A = (-4,2) y es perpendicular al eje x
c.- pasa por el punto A = (5,-3) y tiene pendiente –4
d.- pasa por el punto A = (0,-2) y tiene pendiente 5
e.- pasa por el punto A = (2,-4) y es paralela a la recta 5x-2y = 4
f.- pasa por el punto A = (4,5) y es perpendicular a la recta 3x+2y = 7
g.- la abscisa al origen es –5 y la ordenada al origen es -1
h.- pasa por los puntos A = (5,2) y B = (-1,4)
a)
b)
c)
d)
8.- Una agencia de renta de automóviles, los alquila a razón de $10 el día más $0,20 por kilómetro
recorrido. Si y es el costo en pesos de alquilar el automóvil por día, y x indica el número de
kilómetros recorridos en un día:
Determinar la función y=f(x) que expresa el costo diario de renta de un automóvil.
¿Cuál es f(250)? ¿Qué representa?
Si se dispone de $210, ¿cuántos kilómetros recorre en un día?
Comentar el dominio restringido de esta función.
9.- Dadas las siguientes funciones cuadráticas:
a) pase a la forma polinómica:
3
2
i) y  ( x  5)( x  )
1
3
ii) y  ( x  1) 2  3
b) escriba en forma factorizada:
i) y  x 2  x  6
ii) y   x 2  5x  6
c) exprese en forma canónica:
i) y  ( x  1)( x  2)
ii) y  x 2  3x  5
1
2
10.- Considere la parábola y  .x 2  3x  5 y analice si los siguientes puntos pertenecen o no a la
misma.
(0;5)
(-1;17/2)
(-2; 11)
(1;-17/2)
41
(-2;13)
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11.- Complete la siguiente tabla y grafique en forma aproximada.
Ecuación
Eje de
Coordenadas
Raíces
simetría
del vértice
reales
y  ( x  2) 2
y  ( x  2) 2  3
y  x 2  4x  7
y  ( x  2)( x  2)
y  2( x  1) 2
12.- Resuelva analítica y gráficamente cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
y  3x  1


y

x 2  2x  7

 y  4 x  x 2  8

 y  x 2  2 x
 y  2  x 2

 y  3x  2
 y  x 2  2 x  1

 y  2 x  2
13.- Una persona decide construir un corral rectangular que pueda contener la mayor cantidad de
animales. Se sabe que cada animal necesita 2m 2 para vivir, que el cerco será de 7 hilos de
alambre y que se dispone de un total de 1400 m. ¿Cuál será la longitud de cada uno de los lados
del corral?
14.- Haga la gráfica aproximada de las siguientes funciones polinómicas, escritas en forma
factorizada.
a) y = -(x - 3) (x + 3) (x - 1) x
b) y = (x - 1)2 (x + 3)2 x2
c) y = 3.(x +5)2 (x -2)3 (x+1)
15.- Obtenga la fórmula de cada una de las siguientes funciones polinómicas:
a) Función de grado 3. Puntos de intersección de la gráfica con el eje x: (-2 ; 0) , (-1 ; 0) , (1/2 ; 0);
f (-3) = -14
b) Función de grado 4. an= 2/3 ; f (2) = 0 ; x1= -1/3 es una raíz doble ; x2 = 3 es una raíz simple.
16.- Halle dominio y codominio de las siguientes funciones:
a) y  2 x2
b) y  3 x  2
c) y  log3 2 x  4
d) y  log5 5  3x  1
17.- Resuelva las siguientes ecuaciones:
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a) log x 0.01  2
d) log 2 x  1  log 2 3x  5  log 2 5x  3  2
b) log x
c) log 3 x  6  log 3 x  2  2
1
2

4
3
e) 32 x  9 x  162
f) e 3x  21
18.- La población de cierta ciudad crece a una tasa del 2% anual. Cuando se efectuó el último
censo eran 134.536 personas. Encuentre una función que le permita estimar la población que
tendrá la ciudad en el futuro, si se mantiene el crecimiento actual. A los 3 años y a los 10 años del
mismo ¿de cuánto será la población?
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