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PRIMER NIVEL
XXIX OLIMPÍADA MATEMÁTICA ARGENTINA
CERTAMEN REGIONAL
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ESCRIBIR EN LA HOJA DE SOLUCIONES LOS CÁLCULOS Y RAZONAMIENTOS QUE
JUSTIFICAN LAS RESPUESTAS.
1. Hay 21 lámparas dispuestas en forma de triángulo equilátero de lado 6,
como se muestra en la figura.
Al comienzo están todas apagadas. La operación permitida es cambiar el
estado de tres lámparas que sean vecinas dos a dos, esto es, de las tres
lámparas, las que están encendidas se apagan y las que están apagadas se
encienden. Dar una secuencia de pasos con la que se logre que las 15
lámparas queden encendidas.
ACLARACIÓN: A, B, C son vecinas dos a dos si A y B son vecinas, B y C son vecinas y C y A
son vecinas.
2. El pirata Morgan tiene 14 monedas de plata, 15 de oro y 16 de bronce, y su amigo Bill tiene 16
monedas de plata, 15 de oro y 14 de bronce. Cada día ellos intercambian monedas de acuerdo con la
siguiente regla: uno de los piratas le entrega al otro 2 monedas del mismo metal y recibe del otro 2
monedas, una de cada uno de los otros dos metales. Cierto día, Bill se queda sin monedas de oro.
Hallar la cantidad de monedas de bronce que puede tener Bill en ese momento. Dar todas las
posibilidades.
3. Se tiene un polígono regular P de n lados. Sean A, B, C, D y E cinco vértices consecutivos de P.
  150o . Calcular la cantidad n de lados del
Las rectas AB y DE se cortan en K, de modo que BKD
polígono P.
SEGUNDO NIVEL
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CERTAMEN REGIONAL
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ESCRIBIR EN LA HOJA DE SOLUCIONES LOS CÁLCULOS Y RAZONAMIENTOS QUE
JUSTIFICAN LAS RESPUESTAS.
1. Se define una sucesión de números de acuerdo con las siguientes reglas:
Los tres primeros números son 0, 1 y 2. A partir de allí, si los últimos tres números son a, b, c, el
siguiente número es igual a c menos el menor de los dos números a y b. El comienzo de la sucesión
es 0, 1, 2, 2, 1,  1,  2,  1, 1, 3, … . Por ejemplo, el noveno número es 1  ( 2)  1 y el décimo
es 1  ( 2)  3 .
Calcular el número ubicado en la posición número 100 de esta sucesión.
2. Hay 12 personas que son, en realidad, 6 pares de mellizos. Con estas personas hay que formar 3
equipos de 4 integrantes cada uno, de modo que ningún equipo contenga a dos hermanos mellizos.
Calcular de cuántas maneras se pueden formar los equipos con estas condiciones.
3. Sea ABCD un trapecio de bases BC y AD tal que AB  BC  CD  5 y AD  10 . Denotamos O al
punto de intersección de las diagonales AC y BD. La recta perpendicular a AC trazada por O corta a
la prolongación del lado AB en E y a la base AD en F. Calcular el área del cuadrilátero AECF.
TERCER NIVEL
XXIX OLIMPÍADA MATEMÁTICA ARGENTINA
CERTAMEN REGIONAL
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ESCRIBIR EN LA HOJA DE SOLUCIONES LOS CÁLCULOS Y RAZONAMIENTOS QUE
JUSTIFICAN LAS RESPUESTAS.
1. Los términos a1 , a2 , a3 , a4 , a5 de una progresión geométrica son números enteros positivos, todos
menores que 2012. Se sabe que a2 es múltiplo de 5, que a3 es múltiplo de 4 y que a4 es múltiplo de
3. Además, a1 NO es múltiplo de 6, y ningún número primo divide simultáneamente a los cinco
números a1 , a2 , a3 , a4 , a5 . Determinar la progresión.
ACLARACIÓN: 1) Una progresión geométrica es una secuencia de números tales que cada uno se
obtiene del anterior multiplicando por un cierto número fijo r, llamado razón de la progresión.
2) En este problema, la razón es un número racional, no necesariamente entero.
2. Un año es bisiesto si es divisible por 4 o por 400 en caso de que termine en dos o más ceros
(1900 no es bisiesto y 2000, sí). Un año es apocalíptico si es bisiesto y su desarrollo en base 3
contiene el mismo conjunto de dígitos que su desarrollo en base 10 (en cualquier orden). Por
ejemplo, 2012 es apocalíptico porque 2012 es múltiplo de 4 y 201210  22021123 . En cambio, 1012
no lo es, pues 101210  11011113 . Hallar todos los años apocalípticos entre 1 y 2012.
A  90o y el lado AB es menor que el lado AC. Sean M el punto medio de
3. En el triángulo ABC, 
BC, K el pie de la altura trazada desde A y N el simétrico de A respecto de BC. La recta
perpendicular a MN que pasa por N corta a la recta BC en L. Si BC  5 y MK  0, 7 , calcular
área ( ABC )
.
área ( LMN )
12/07/13
OMA - Olimpíada Matemática Argentina
28º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional
16 de septiembre de 2011
PRIMER NIVEL
1. Un número claro es un entero positivo de 10 dígitos o menos en el que el primer dígito de la izquierda cuenta
cuantos ceros tiene el número, el segundo dígito cuenta cuantos unos tiene el número, el tercero cuenta cuantos
dos tiene el número, y así siguiendo. Por ejemplo 42101000 es claro.
Hallar los tres números claros más pequeños y justificar que son los más pequeños.
2. Un polígono regular de 2000 lados tiene sus vértices numerados del 1 al 2000 en el sentido de las agujas del
reloj. Un grillo realiza sucesivos saltos entre vértices: Si el número del que sale no es una potencia de 3, salta en
el sentido de las agujas del reloj por encima de 4 vértices consecutivos y cae en el quinto (por ejemplo, si está
en el vértice 53 salta hasta el vértice 58), y si el número del vértice del que sale es una potencia de 3, salta en
contra del sentido del reloj dos vértices y cae en el tercero (por ejemplo, si está en el vértice
hasta el vértice 24).
, retrocede
Si el grillo inicia su viaje en el vértice con el número 4, decidir si puede, mediante saltos sucesivos, llegar al
vértice
a)
b)
.
Si la respuesta es si, hallar la cantidad de saltos que debe dar el grillo para llegar por primera vez al vértice v y si
la respuesta es no, explicar porqué.
NOTA: Las potencias de 3 son
,
,
,
3. Sea ABC un triángulo equilátero y P un punto interior tal que
medida de los ángulos
y
, etc.
y
. Calcular la
.
SEGUNDO NIVEL
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12/07/13
OMA - Olimpíada Matemática Argentina
1. Un conjunto no vacío de números naturales se denomina pequeño si la cantidad de elementos es menor que el
menor elemento del conjunto.
Consideramos los siguientes conjuntos M: El menor elemento de M es un número entero positivo m menor o
igual que 100; el mayor elemento de M es cualquier múltiplo positivo de m menor o igual que 100, digamos km.
Los elementos de M son todos los múltiplos positivos de m, desde m hasta km. Es decir,
, con
.
Calcular cuántos de los conjuntos M son pequeños.
2. Un tren marcha a velocidad constante. Si se aumentara su velocidad en 10 kilómetros por hora, el tren llegaría
a destino 45 minutos antes. Si se disminuyera su velocidad en 10 kilómetros por hora, el tren llegaría 1 hora más
tarde. Hallar la cantidad de kilómetros que tiene el recorrido del tren.
3. Sea ABCD un rectángulo de lados AB, BC, CD y DA, con AB mayor que BC; sea E el punto medio de AB y
F el punto de la diagonal AC tal que BF es perpendicular a AC. Si además FE es perpendicular a BD, calcular
.
TERCER NIVEL
1. Sea M el entero con 2011 cifras iguales a 8 y N el entero con 2011 cifras iguales a 5. Calcular la suma de las
cifras del número
(multiplicación de 9 por M por N).
2. En una bolsa hay 100 gatos, algunos blancos, otros negros y los restantes, grises. Se sabe que los negros son
más que el doble de los blancos; que tres veces los blancos son más que 4 veces los grises y que 3 veces los
grises son más que los negros. Calcular cuántos gatos de cada clase hay en la bolsa.
3. Sea ABC un triángulo con
y
medio de AC. Calcular el ángulo entre AM y BN.
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. Denotamos M al punto medio de BC y N al punto
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12/07/13
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27º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional
23 de septiembre de 2010
PRIMER NIVEL
1. Distribuir en las casillas del tablero de 4 x 4 los números enteros del 1 al 16, sin repetir, de manera
que en todos los cuadrados de 2 x 2 (formados con 4 casillas del tablero que tienen un vértice común)
la suma de los 4 números sea la misma.
2. Pablo escribió la lista de todos los números naturales capicúas de 5 dígitos que son múltiplos de 11. Calcular cuántos números
tiene la lista de Pablo.
3. Sea ABC un triángulo con
de perímetro igual a 30. Sean P en el lado AB tal que CP es perpendicular a AB; Q en el
segmento AP tal que CQ es bisectriz del ángulo
calcular la longitud del lado AB.
y R en el segmento BP tal que CR es bisectriz del ángulo
Si QR = 4,
SEGUNDO NIVEL
1. Ariel viaja de A a B y Melanie viaja de B a A. Los dos van por el mismo camino y a velocidades constantes. Los dos salen al
mismo tiempo. Cuando se cruzan, Ariel ha viajado 16 km más que Melanie. Después del encuentro, Ariel tarda
B y Melanie tarda
horas en llegar a
horas en llegar a A. Calcular la distancia entre A y B.
2. En la lotería de Karagistán cada boleta se forma con tres números distintos entre 1 y 100. Aparecen todas las combinaciones
posibles de tres números distintos y hay exactamente una boleta con cada combinación. Esta semana recibirán premio todas las
boletas tales que la multiplicación de sus tres números sea múltiplo de 6. ¿Cuántas son las boletas premiadas?
3. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, con AB < CD, tal que
Si AD = 10, calcular la medida del segmento DM.
y
. Sea M el punto medio de BC.
TERCER NIVEL
1. Hay que distribuir en los círculos de la figura los números enteros de 1 al 10, sin repetir, de modo que si dos círculos están unidos
por una flecha, la flecha apunta al círculo que tiene el menor de los dos números. Determinar de cuántas maneras se pueden distribuir
los 10 números.
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12/07/13
OMA - Olimpíada Matemática Argentina
2. Hallar todos los números enteros a, b que satisfacen la ecuación
3. En un triángulo ABC sea D el punto medio del lado AB y G el punto de intersección de las medianas del triángulo. Si AD = 3, DG
= 5 y AG = 4, calcular las medidas de los lados del triángulo.
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26º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional
24 de septiembre de 2009
PRIMER NIVEL
1. Una empresa maderera obtuvo un contrato para cortar árboles de un bosque, y los ecologistas iniciaron una
protesta en su contra. Para evitar las protestas, el gerente de la empresa agregó la siguiente cláusula al contrato:
“En el bosque, el 99% del total de árboles son pinos, y la empresa sólo cortará pinos. Cuando se termine el
contrato, el 97% del total de árboles del bosque serán pinos.”
Determinar qué porcentaje del bosque será cortado por la empresa al cumplirse esta cláusula del contrato.
2. En una larga tira de papel se escriben los múltiplos de 21, comenzando con 21, sin espacios intermedios.
Queda así una secuencia de dígitos que empieza así:
21426384105126147…
Hallar la cifra que ocupa la posición 5000 de la secuencia de dígitos y determinar a qué múltiplo de 21
pertenece. (Por ejemplo, la cifra de la posición 15 es 1 y pertenece al 147.)
3. Sea ABC un triángulo acutángulo. Se considera el punto D del lado AB tal que CD es perpendicular a AB, y
el punto E del lado AB tal que CE es la bisectriz del ángulo
. Sea F el punto del lado BC tal que
, y G el punto de intersección de AF y CE. Si se sabe que el triángulo CFG es equilátero, calcular
los ángulos del triángulo ABC.
SEGUNDO NIVEL
1. En las casillas de un tablero de 7 filas y 287 columnas hay que escribir los números enteros positivos desde 1
hasta 2009, sin repetir, siguiendo la siguiente regla:
En cada fila, los números están ordenados de menor a mayor, de izquierda a derecha, pero no son
necesariamente números consecutivos.
El objetivo es que la suma de los 7 números de la columna 284, contando de izquierda a derecha, sea lo mayor
posible.
Determinar el máximo valor que puede tener la suma de la columna 284 e indicar una distribución posible de los
2009 números que permita lograr esa suma.
2. Miguel hizo la lista de todos los números naturales tales que la multiplicación de sus dígitos es igual a 1920 y
ningún dígito es igual a 1. Calcular cuántos números tiene la lista de Miguel.
3. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 29 y BC = 40. Sea P en BC con BP menor que PC. Sea D
en BC tal que AD es perpendicular a BC. La recta perpendicular a AP trazada por B corta a la recta AD en L, y
la recta perpendicular a AP trazada por C corta a la recta AD en K. Si KL = 16, calcular BP.
TERCER NIVEL
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OMA - Olimpíada Matemática Argentina
1. Iván hizo la lista de todas las progresiones aritméticas de números enteros positivos tales que la diferencia es
igual a 3 y la suma de sus términos es igual a 2010. Calcular cuántas progresiones tiene la lista de Iván.
ACLARACIÓN: Una progresión aritmética de diferencia 3 es una sucesión de números tal que cada término se
obtiene sumándole 3 al anterior.
2. Hallar todos los pares de enteros x, y para los cuales se satisface la siguiente igualdad
.
3. Consideramos un polígono regular de 9 lados. Si cada lado del polígono mide 5, calcular la diferencia (resta)
entre las medidas de una diagonal de longitud máxima y una diagonal de longitud mínima.
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25º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional
18 de septiembre de 2008
PRIMER NIVEL
1. Franco tiene un tablero de 115 x 7, o sea, de 115 filas con 7 casillas cada una. Él debe colocar fichas en las
casillas del tablero siguiendo las siguientes reglas:
En cada casilla puede colocar una sola ficha.
No pueden quedar dos filas idénticas, es decir, no puede haber dos filas que tengan las mismas casillas
ocupadas y las mismas casillas vacías.
Calcular la máxima cantidad de fichas que puede colocar Franco en su tablero.
2.Al reemplazar n por cada uno de los números naturales desde 1 hasta 2008 en la fórmula
las operaciones indicadas se obtienen 2008 números. Los cuatro primeros son 2, 5, 18 y 65 pues
,
y
.
Calcular cuántos de los 2008 números obtenidos son múltiplos de 5.
y efectuar
,
3. Sea ABC un triángulo rectángulo con
. Se considera el punto D del lado AC tal que CD = AB y el
punto E del lado BC tal que DB = DE . Si se sabe que
, calcular la medida del ángulo
.
SEGUNDO NIVEL
1. En cada casilla de un tablero de 3 ´ 4 se escribe uno de los números 1, 2, 3, 4 de modo que en cada fila los
cuatro números de esa fila sean distintos, y en cada columna los tres números de esa columna sean distintos.
Calcular cuántos tableros diferentes se pueden obtener.
2. Inicialmente hay un número entero positivo escrito en el pizarrón. Alex debe escribir una sucesión de enteros
positivos usando en cada paso una de las siguientes operaciones, a su elección:
Si el último número escrito es n , Alex puede escribir el número 3 n + 13.
Si el último número escrito es n , y n es un cuadrado perfecto, Alex puede escribir el número
.
a) Si el número inicial es 81, decidir si Alex puede elegir las sucesivas operaciones para obtener en algún
momento el número 55.
b) Si el número inicial es 55, decidir si Alex puede elegir las sucesivas operaciones para obtener en algún
momento el número 81.
ACLARACIÓN: Se llama cuadrado perfecto al cuadrado de un número entero.
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OMA - Olimpíada Matemática Argentina
3. Sea ABC un triángulo rectángulo en A . Sea D en BC tal que AD es perpendicular a BC . La bisectriz del
ángulo
corta al lado AB en M y la bisectriz del ángulo
calcular el perímetro del cuadrilátero AMND .
corta a BC en N . Si AC = 10 y BC = 30,
TERCER NIVEL
1. Sean a y b enteros positivos tales que
.
Determinar el mayor valor posible de .
2. Dado un entero positivo n llamaremos cadena de divisores de n a una sucesión de números naturales
distintos que empieza en 1, termina en n y donde cada número de la cadena, a partir del segundo, es un múltiplo
de su antecesor. Por ejemplo, si n = 20 dos cadenas de divisores de n son 1, 5, 10, 20 y 1, 4, 20.
Calcular la cantidad de cadenas de divisores de n = 2310.
3. Sea ABC un triángulo rectángulo con
BC en M y N respectivamente, de modo que
y
. Se traza la paralela al lado AC que corta a AB y
. Sea O el punto de intersección de los segmentos CM
y AN . Calcular la medida del ángulo
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24º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional
PRIMER NIVEL
1. Sobre una mesa hay cuatro cajas, numeradas de 1 a 4, y cada una de ellas contiene bolitas rojas y bolitas
azules.
Se sabe que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 1 es mayor que la proporción entre
bolitas rojas y bolitas azules en la caja 3, y que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 2 es
mayor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 4.
Se pasan todas las bolitas de la caja 2 a la caja 1 y todas las bolitas de la caja 4 a la caja 3 (las cajas 2 y 4
quedan vacías).
Determinar si, en la nueva situación, es posible que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 1
sea menor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 3.
ACLARACIÓN: Si una caja tiene r bolitas rojas y a bolitas azules, la proporción entre bolitas rojas y bolitas
azules en esa caja es el número
.
2. Franco hizo la lista de todos los enteros positivos N de cinco dígitos que son múltiplos de 5 y que tienen,
simultáneamente las siguientes dos propiedades:
· Todos los dígitos de N son impares;
·
también tiene cinco dígitos, y todos los dígitos de
son impares.
Determinar cuántos números tiene la lista de Franco.
3. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC y . = 30°. Sea D el punto medio de la base BC. Se
consideran un punto P en el segmento AD y un punto Q en el lado AB tales que PB = PQ.
Calcular la medida del ángulo
.
SEGUNDO NIVEL
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12/07/13
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1. En una circunferencia se marcaron 108 puntos que dividen a la circunferencia en 108 arcos iguales.
Comenzando en uno de estos puntos, y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, Nico escribió un número al
lado de cada punto marcado. De este modo quedaron escritos 108 números alrededor de la circunferencia
(puede haber números repetidos). La suma de 20 números ubicados en puntos consecutivos de la circunferencia
es siempre igual a 1000. El primer número que escribió Nico es el 1. En el lugar 19 escribió el número 19 y en el
lugar 50 escribió el número 50. Determinar el número que Nico escribió en el lugar 100.
2. En una olimpíada de matemática los participantes tenían que escribir un número entero positivo en cada casilla
de un tablero de 3 ´ 3 de modo que en cada fila y en cada columna, la multiplicación de los tres números sea
igual a 120. Estaba permitido repetir números. Resultó que todos los participantes resolvieron correctamente el
problema, pero todos obtuvieron una respuesta diferente.
Determinar cuál es el máximo número de participantes que pudo haber en esa olimpíada.
3. Se tiene un rectángulo ABCD de lados AB = CD = 65 y BC = AD = 156. Se traza la circunferencia de centro
A que pasa por C. La recta BD corta a la circunferencia en E y F.
Calcular la longitud del segmento EF.
TERCER NIVEL
1. Sea S el resultado de sumar los números enteros con todos los dígitos iguales a 6 desde el de un dígito hasta
el de 2007 dígitos:
.
Determinar los dígitos de S.
2. Sea ABC un triángulo tal que
Calcular la medida del ángulo
y
.. Sea D el punto medio del lado BC.
.
3. Un extraño país tiene exclusivamente monedas de 10, de 11 y de 12 centavos. Un entero N se dice
aceptable si es posible pagar exactamente N centavos (sin necesidad de vuelto) con al menos tres cantidades
diferentes de monedas. Por ejemplo, 120 es aceptable porque se puede pagar con 10, 11 y 12 monedas (10
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12/07/13
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monedas de 12 centavos; 12 monedas de 10 centavos; 8 monedas de 11 centavos más una de 12 centavos más
2 de 10 centavos). En cambio, 14 no es aceptable, porque no hay ninguna cantidad de monedas con la que se
pueda pagar 14; 24 no es aceptable, porque solo hay una cantidad con la que se puede pagar 24: 2 monedas
(de 12 centavos cada una); 60 tampoco es aceptable, porque solo hay dos cantidades de monedas con las que
se puede pagar 60: 5 monedas y 6 monedas (5 de 12 centavos o 6 de 10 centavos).
Determinar el mayor número que no es aceptable.
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23º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional
PRIMER NIVEL
1. En el pizarrón están escritos los enteros positivos de 1 a 999, ordenados de izquierda a derecha en forma
creciente. Se borran números mediante el siguiente procedimiento: En la primera etapa, comenzando de la
izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de la lista (se borran el 2, el 4, el 6, etc.). En la
segunda etapa, comenzando de la derecha, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el principio de la
lista. En la tercera etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de
la lista. Y así siguiendo, en cada etapa se invierte el orden de la etapa anterior, y comenzando desde el extremo
que corresponda se deja un número y se borra el siguiente una y otra vez hasta recorrer todos los números aun
no borrados. El proceso se detiene cuando queda un solo número en el pizarrón. Determinar cuál es ese
número.
2. En un programa de televisión compiten dos equipos A y B, realizando distintas pruebas. En cada prueba el
ganador recibe siempre la misma cantidad de puntos, y el perdedor recibe una cantidad de puntos menor que el
ganador, pero también es siempre la misma cantidad. Al cabo de varias pruebas, el equipo A tiene 231 puntos,
y el equipo B, que ganó exactamente 3 pruebas tiene 176 puntos. Determinar cuántos puntos reciben el ganador
y el perdedor de cada prueba.
ACLARACIÓN: La cantidad de puntos que recibe cada equipo en cada prueba es un entero positivo.
3. Dos hormigas caminan por los lados de un cuadrado de 35 cm de lado. Comienzan a moverse
simultáneamente, desde el mismo vértice y en sentidos opuestos. Una hormiga va a 1 cm/seg y la otra a 2
cm/seg. Calcular la distancia (en línea recta) que separa a las hormigas cuando han transcurrido exactamente
817 segundos desde que salieron.
SEGUNDO NIVEL
1. En un colegio, el 81% de los alumnos estudia inglés y el 80% de los alumnos estudia computación. La
proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que estudian computación es igual al doble de la
proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que no estudian computación. Hallar el porcentaje de
alumnos de la escuela que no estudia ni inglés ni computación.
2. La profesora escribe en el pizarrón una fila de dígitos 8 y le pide a un alumno que intercale algunos signos +
para que la suma que quede indicada tenga resultado 1000. Dar todas las posibilidades para la cantidad de
dígitos 8 que debe escribir la profesora para que la tarea del alumno tenga solución.
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12/07/13
OMA - Olimpíada Matemática Argentina
3. En el triángulo ABC, sea P un punto interior. La recta AP corta al lado BC en D, la recta BP corta al lado
AC en E y la recta CP corta al lado AB en F. Se sabe que área (APF) =168; área(BPD)=80; área (CPD) = 60
y área (CPE) = 70.
Calcular el área del triángulo APE y el área del triángulo BPF.
TERCER NIVEL
1. Hallar todos los pares de números enteros M y N que verifican simultáneamente las siguientes condiciones:
· M y N son números de cuatro dígitos.
· M y N son cuadrados perfectos.
· Si se resta ordenadamente a cada dígito de M el correspondiente dígito de N (el primero menos el primero, el
segundo menos el segundo, etc.) entre los cuatro resultados obtenidos, exactamente dos son ceros y los otros
dos son 1 ó –1 (pueden ser los dos 1, los dos –1 o un 1 y un –1).
2. Hallar el máximo número natural de 100 dígitos tal que al multiplicarlo por 7 se obtiene un número de 100
dígitos.
3. Sea AB una cuerda de longitud 6 de una circunferencia de centro O y radio 5. El cuadrado PQRS está
inscripto en el sector OAB de modo tal que P está en el radio OA, Q está en el radio OB y R y S pertenecen al
arco de circunferencia
. Hallar el área del cuadrado PQRS.
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12/07/13
OMA - Olimpíada Matemática Argentina
22º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional
PRIMER NIVEL
1. Fede hace la lista de todos los enteros positivos de 6 dígitos que tienen la suma de los dígitos igual a 9 y
cuatro de sus dígitos son 1, 0, 0, 4. Calcular cuántos números tiene la lista de Fede.
2. Un número natural se dice amigo del 7 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 7. Por ejemplo, 9156 es
amigo del 7 porque 9+1+5+6=21 que es un múltiplo de 7, 223 es amigo del 7 porque 2+2+3=7 que es un
múltiplo de 7, y 706 no es amigo del 7 pues 7+0+6=13, que no es múltiplo de 7.
Hallar el menor número n que es amigo del 7 y tal que el siguiente amigo del 7 sea n+13, es decir, que n y n+13
son amigos del 7 pero ninguno de los 12 números n+1, n+2, ..., n+12 es amigo del 7.
3. Sea ABCD un rectángulo de lados AB, BC, CD y DA, y sean K y L los puntos medios de los lados BC y
DA, respectivamente. La perpendicular a AK trazada desde B corta a CL en M.
Calcular
.
SEGUNDO NIVEL
1. Pablo sumó todos los números enteros positivos de 4 dígitos, pero se salteó uno. La suma de Pablo es igual a
8499 veces el número que se salteó Pablo. Hallar el número que se salteó Pablo.
2. Nacho hizo la lista de todos los múltiplos de 15 que tienen 15 dígitos, que utilizan exclusivamente los dígitos 1
y 5 y que no tienen dos 5 consecutivos. Calcular cuántos números tiene la lista de Nacho.
3. Sea ABC un triángulo con AB=100 y AC=156. Sea M el punto medio del lado AB. Se traza por M la
perpendicular al lado AC, que corta al lado AC en K. Si AK=14, calcular el lado BC.
TERCER NIVEL
1. Si a, b son números reales que satisfacen
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.
Calcular
. Dar todas las posibilidades.
2. Una progresión aritmética infinita de números enteros (positivos o negativos) es actual si entre sus primeros
diez términos hay uno igual a 1 y otro igual a 2005. Calcular cuántas son las progresiones aritméticas actuales.
ACLARACIÓN: Una progresión aritmética infinita es una sucesión tal que cada término se obtiene sumándole al
anterior un número fijo que se llama diferencia de la progresión. Por ejemplo,
2, 102, 202, 302, 402, ... es una progresión aritmética infinita de diferencia 100
7, 4, 1, -2, -5, -8, ... es una progresión aritmética infinita de diferencia –3.
3. Sean ABCD un cuadrado de lados AB=BC=CD=DA=5 y M el punto de AB tal que 2AM=BM. Sea F el
punto de intersección de las rectas DM y BC, y sea E el punto medio de DF. Calcular AE.
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21º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional
9 de septiembre de 2004
Primer nivel
1
La ley pirata establece que para repartir las monedas de un tesoro el capitán debe elegir un grupo de piratas y
repartir equitativamente las monedas entre los piratas elegidos hasta que no haya suficientes para darle una más a
cada uno. Las monedas sobrantes son la parte del capitán. Morgan debe repartir un tesoro con menos de 1000
monedas de oro. El sabe que si elige 99 piratas se quedará con 51 monedas y si elige 77 piratas le
corresponderán sólo 29 monedas.
Determinar cuántos piratas debe elegir Morgan para quedarse con la mayor cantidad de monedas respetando la
ley pirata, y para esa cantidad de piratas, cuántas monedas le corresponden a Morgan.
ACLARACIÓN: Los piratas elegidos deben recibir por lo menos una moneda cada uno.
2
Nico debe elegir tres números enteros distintos entre 1 y 20 inclusive de modo que al multiplicar los tres
números se obtenga un múltuplo de 4.
Calcular cuántas maneras tiene Nico de elegir sus tres números.
ACLARACIÓN: Dos elecciones que tienen los mismos tres números no importa en qué orden, son iguales.
3
En un trapecio ABCD de base mayor AB, base menor DC y lados no paralelos BC y DA, sea K el punto del
lado BC tal que BK = 1/3 BC. Se traza por K la recta paralela a DA que corta a AB en L.
Si BL = CD y el área del trapecio ABCD es 20, calcular el área del triángulo ADL.
Segundo Nivel
1
En un tablero cuadriculado de m x n se ubica una ficha en el centro de cada casilla y una ficha en cada vértice de
la cuadrícula hasta que no quede lugar para más fichas (en la figura se muestra el tablero de 2 x 3 con sus 18
fichas).
Hallar las dimensiones m y n del tablero de m x n si se utilizan exactamente 500 fichas. Dar todas las
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posibilidades.
2
Fabio debe escribir una sucesión de números naturales.
El primer número lo elige Fabio entre 1 y 2004 inclusive, y a partir de alli, cada nuevo número se obtiene del
anterior de acuerdo con la siguiente regla: si el anterior es impar, le suma 1, si el anterior es par, lo divide por 2.
El proceso se detiene cuando se obtiene por primera vez el 1. Por ejemplo, si Fabio elige el primer número igual
a 10, la sucesión será: 10, 5, 6, 3, 4, 2, 1, que tiene 7 números.
El objetivo de Fabio es lograr que su sucesión tenga la mayor cantidad posible de números. Determinar cuál es
la máxima cantidad de números que puede tener la sucesión de Fabio y hallar un número inicial que le permita
lograr una sucesión con esa cantidad máxima de números.
3
En el cuadrado ABCD de lado 6, sea M el punto medio del lado AD y N el punto medio del lado AB. La
diagonal BD corta a CN en K y a CM en L.
Calcular el área del cuadrilátero KLMN.
Tercer Nivel
1
Un programa de computadora genera una sucesión de 2004 números, de acuerdo con la siguiente regla: el
primer número es 1, y a partir de allí, luego de generar el número x, el siguiente número que genera es igual a x +
1/[x].
Los primeros números de la sucesión son 1; 2; 5/2; 3; ... ; pues ...
Determinar cuál es el último número que genera el programa.
ACLARACIÓN: Los corchetes indican la parte entera del número.
2
Se suman las 102 potencias de 7 desde 70 = 1 hasta 7101:
70 + 71 + ... + 7100 + 7101.
Calcular el resto de dividir al resultado de esta suma por 400.
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3
Dado un triángulo ABC rectángulo en C, con AC/BC = 3, sea O el punto medio de la hipotenusa AB.
Se traza por O la perpendicular a AB que corta al cateto AC en P; se traza por P la paralela a AB que corta al
cateto BC en Q y se traza por Q la perpendicular a AB que corta a AB en R.
Calcular PQ/RQ
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