Download PROBLEMA 1 – XIII

Secretaría Regional de OMA
Provincia de Formosa
PRIMER NIVEL
REGIONAL
XII CERTAMEN 1995
1. Verónica y su amigo Julio entraron a una librería de Bahía Blanca y compraron por valores enteros diferentes,
superiores a $10. Cada uno quiso pagar con un billete de $20, pero el dueño no tenía cambio para cobrarle a
ninguno de los dos. Entonces Julio ofreció pagarle con un billete de $50 y así pudo darle el vuelto. Al ver esto,
Verónica sacó un billete de $50 y el librero pudo cobrarle a ella también. ¿Cuál es el número mínimo de billetes
que podía tener el librero cuando llegaron los amigos?
NOTA: Los billetes en circulación son de $100, $50, $20, $10, $5, $2, $1.
2. Escribir en cada vértice de un cuadrado una potencia de 2 y luego, en cada lado y en cada diagonal escribir el
producto de los números asignados a sus extremos, de modo tal que la suma de los 10 números escritos sea
3505.
ACLARACION: Las potencias de 2 son 20=1, 21=2, 22=4, ...
3. En una circunferencia de centro O y radio 1 se marcan los puntos A, B, C y D siguiendo el sentido horario.
Si AOB=120o, BOC=60o y COD=150o, calcular el área del cuadrilátero ABCD.
XIII CERTAMEN 1996
1. ¿Usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, y sin repetirlos, se forman 3 números de 2 cifras cada uno. Se suman entre sí
los 3 números de 2 cifras que se formaron. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener mediante este
procedimiento?
2. Sea ABCD un paralelogramo tal que el lado BC mide 13, la altura correspondiente a la base AB mide 12 y el
ángulo ABC es agudo. Sea E un punto en la prolongación del lado BC tal que el ángulo DEC = 90 grados. Sabiendo
que CE = 5, calcular el área del cuadrilátero ABED.
3. En una fiesta hay 15 mujeres y algunos varones. Primero, cada mujer le regala un alfajor a cada varón
conocido, que se lo come de inmediato. Después, cada varón le regala un alfajor a cada mujer desconocida. En
total se regalaron 240 alfajores.
Decidir si con esta información es posible determinar el número de varones asistentes a la fiesta.
Si la respuesta es si, hallar el número.
Si la respuesta es no, explicar por que.
ACLARACIÓN: Si A es conocido de B, entonces B es conocido de A.
XIV CERTAMEN 1997
1. Daniela, Iván, Laura y Matías escriben números naturales de cinco dígitos distintos formados por los dígitos 1,
2, 3, 4, y 5.
Daniela
hace
la
lista
de
todos
los
que
tienen
la
primera
cifra
igual
a
1.
Iván hace la lista de todos los que tienen las dos primeras cifras formadas por los dígitos 1 y 2 en cualquier
orden.
Laura hace la lista de todos los que tienen las tres primeras cifras formadas por los dígitos 1, 2 y 3, en cualquier
orden.
Matías hace la lista de todos los que tienen las cuatro primeras cifras formadas por los dígitos 1, 2, 3 y 4, en
cualquier orden.
Hay números naturales de cinco cifras distintas, formados por los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, que no figuran en ninguna
de las cuatro listas. ¿Cuántos son los números que no figuran en ninguna lista?
2. Sean ABC un triángulo (A>90o) y M el punto medio del lado BC. Si <BAM=90o, AB=35 y AC=77, calcular BC.
3. Decidir si es posible que un conjunto de cinco números naturales distintos tenga la siguiente propiedad:
"Para cada par de números del conjunto, al multiplicar los dos números se obtiene un múltiplo de la suma de los
dos números".
Si la respuesta es sí, indicar un conjunto con la propiedad.
Si la respuesta es no, explicar el porqué.
XV CERTAMEN 1998
1. Diremos que un número natural es optimista si sus cifras están ordenadas en forma creciente y diremos que
un número natural es pesimista si sus cifras están ordenadas en forma decreciente. Por ejemplo, son optimistas
1358, 24, 89, son pesimistas 41, 820, 762, y no son ni optimistas ni pesimistas 7, 1134, 253, 9773, 8592.
Hallar el primer número natural a, mayor que 150 y tal que desde 1 hasta a (inclusive) haya la misma cantidad
de números pesimistas que de números optimistas.
2. En el trapecio ABCD, de bases AB y CD, y lados BC y AD, AD=39, CD=14, ángulo ABC=69° y ángulo CDA=138°.
Hallar la medida de AB.
Profesor Carlos Dellagnolo y Profesor Rey Zarza
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PRIMER NIVEL
REGIONAL
3. En cada vértice de un cuadrado hay una semilla. Una hormiga sale de un vértice y camina por los lados del
cuadrado arrastrando una enorme bolsa de semillas y sólo se detiene en los vértices. Cuando llega a un vértice, si
viajaba en el sentido de las agujas del reloj, agrega tantas semillas como las que hay en el vértice del que venía, y
si viajaba en sentido contrario a las agujas del reloj, quita semillas, agrega semillas, o no hace nada, de modo que
quede
la
misma
cantidad
que
en
el
vértice
del
cual
venía.
¿Puede la hormiga organizar su viaje para tener exactamente 98 semillas en cada vértice?
Si la respuesta es no, explicar por qué. Si la respuesta es sí, indicar el camino de la hormiga.
XVI CERTAMEN 1999
1. En el tablero de la figura quedan seis casillas vacías. Escribir en cada una de esas seis casillas un número
distinto de cero de modo que, una vez completo, el tablero sea un cuadrado mágico multiplicativo, es decir: al
multiplicar los tres números de cada línea (horizontal, vertical o diagonal) se obtiene siempre el mismo número.
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5
1
2. Consideramos los números naturales N menores que 10000 que tienen el dígito 2 en el lugar de las decenas.
¿Cuántos de estos números N tienen resto 5 en la división por 12?
3. Se tiene un papel rojo con forma de hexágono regular de lado 2 y un papel azul con forma de cuadrado de
diagonal igual a 4. Se coloca el cuadrado encima del hexágono de modo que dos vértices opuestos del cuadrado
coincidan con dos vértices opuestos del hexágono. Hallar el área de la región del hexágono que no queda cubierta
por el cuadrado, es decir de la región roja visible.
XVII CERTAMEN 2000
1.
A B C D E F G H I
Lucas debe reemplazar cada letra por un número natural de 1 a 9 inclusive, sin repeticiones, de modo que los
ocho números
A / B,
(A + B) / C,
(A + B + C) / D,
(A + B + C + D) / E,
(A + B + C + D + E) / F,
(A + B + C + D + E + F) / G,
(A + B + C + D + E + F + G) / H,
(A + B + C + D + E + F + G + H) / I,
sean todos enteros. Determinar todos los números naturales por los que puede reemplazar a la letra I.
2. Determinar la cantidad de pares de números naturales (a, b) que verifican simultáneamente las siguientes dos
condiciones: el máximo común divisor entre a y b es igual al producto de los 5 primeros números naturales; el
mínimo común múltiplo entre a y b es igual al producto de los 15 primeros números naturales. Es decir,
mcd (a, b) = 1.2.3.4.5 y mcm (a, b) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.
3. En una hoja de papel rectangular de 12 cm de largo y 9 cm de ancho se ha trazado un segmento con sus
extremos en dos lados opuestos del rectángulo, de manera tal que al doblar el papel a lo largo del segmento, dos
vértices opuestos del rectángulo quedan superpuestos. Calcular la longitud del segmento trazado. NO VALE
MEDIR.
XVIII CERTAMEN 2001
1. Cintia eligió tres dígitos distintos y distintos de 0, y formó con ellos los seis números de tres cifras distintas. El
promedio de estos seis números es un número natural terminado en 5. Hallar los tres dígitos que eligió Cintia.
Dar todas las posibilidades.
2. En la Isla Arco Iris, cada habitante tiene uno, dos o tres amigos, y se viste de un color de acuerdo con la
cantidad de amigos que tiene: rojo si tiene exactamente un amigo, amarillo si tiene exactamente dos amigos y
verde si tiene exactamente tres amigos. Si dos personas son amigas, sus colores son diferentes, y no hay personas
vestidas de verde que sean amigas de personas vestidas de amarillo.
Un día, 500 personas cambian su ropa verde por ropa roja, 35 personas cambian su ropa amarilla por ropa roja y
al mismo tiempo, 300 personas cambian su ropa roja por ropa verde. Como resultado, en la isla cada persona
queda vestida del mismo color que sus amigos. Determinar el número de habitantes que tiene la isla.
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3. El cuadrilátero ABCD de lados AB, BC, CD y DA tiene AB = CD, <AEC = 100° y <BCD = 115°. La mediatriz del
lado AD intersecta a la mediatriz del lado BC en el punto M. Calcular la medida del ángulo BMC.
ACLARACIÓN: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento, trazada por su punto medio.
XIX CERTAMEN 2002
1. Un barril contiene una mezcla de jugo de naranja y jugo de uva. Se le agrega al barril un litro de jugo de
naranja, y así la proporción de jugo de naranja sobre el total de jugo del barril es igual a 6/7 . Luego se le agrega
al barril un litro de jugo de uva, y ahora la proporción de jugo de naranja sobre el total de jugo del barril es igual
a 5/6 . Determinar cuál era la proporción de jugo de naranja sobre el total de jugo del barril antes de realizar las
dos operaciones.
2. En un triángulo ABC sea AD la altura trazada desde A. Consideramos el punto E del segmento AD tal
que AE=DE, el punto F del segmento BE tal que BF=EF y el punto G del segmento CF tal que CG=FG. Si el área del
triángulo ABC es igual a 36, calcular el área del triángulo EFG.
3. En un grupo de chicos, cada uno tiene exactamente un peso en monedas, pero todos tienen distintas
cantidades de monedas. Determinar el máximo número de chicos que puede haber en el grupo.
ACLARACIÓN: Hay seis clases de monedas:
de 1 centavo, de 5 centavos, de 10 centavos, de 25 centavos, de 50 centavos y de 1 peso.
XX CERTAMEN 2003
1. Julián y Luciano tienen casillas postales en el mismo correo. En ese correo hay 100 casillas en cada fila, y las
casillas están numeradas en forma consecutiva, en la primera fila de 1 a 100, en la segunda fila de 101 a 200, en
la tercera fila de 201 a 300, etc.
El número de la fila de la casilla de Julián es igual al número de la casilla de Luciano. Además, la suma de los
números de las casillas de Julián y Luciano es 3000. Hallar el número de la casilla de Julián.
2. Leandro hizo la lista de todos los números enteros positivos menores que 20022003 que utilizan
exclusivamente los dígitos 0, 1, 2 y 3. Calcular cuántos números tiene la lista de Leandro.
ACLARACIÓN: La lista de Leandro tiene también los números que usan algunos pero no todos los dígitos 0, 1, 2 y
3.
3. Sea ABCD un cuadrilátero convexo de área 21, y O el punto de intersección de sus diagonales, tal que
área(ABO)=7. La paralela a BD trazada por A corta a la paralela a AC trazada por B en M. Calcular área(CDM).
ACLARACIÓN: Un cuadrilátero es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180°.
XXI CERTAMEN 2004
1. La ley pirata establece que para repartir las monedas de un tesoro el capitán debe elegir un grupo de piratas y
repartir equitativamente las monedas entre los piratas elegidos hasta que no haya suficientes para darle una más
a cada uno. Las monedas sobrantes son la parte del capitán. Morgan debe repartir un tesoro con menos de 1000
monedas de oro. El sabe que si elige 99 piratas se quedará con 51 monedas y si elige 77 piratas le
corresponderán sólo 29 monedas.
Determinar cuántos piratas debe elegir Morgan para quedarse con la mayor cantidad de monedas respetando la
ley pirata, y para esa cantidad de piratas, cuántas monedas le corresponden a Morgan.
ACLARACIÓN: Los piratas elegidos deben recibir por lo menos una moneda cada uno.
2. Nico debe elegir tres números enteros distintos entre 1 y 20 inclusive de modo que al multiplicar los tres
números se obtenga un múltuplo de 4.
Calcular cuántas maneras tiene Nico de elegir sus tres números.
ACLARACIÓN: Dos elecciones que tienen los mismos tres números no importa en qué orden, son iguales.
3. En un trapecio ABCD de base mayor AB, base menor DC y lados no paralelos BC y DA, sea K el punto del lado
BC tal que BK = 1/3 BC. Se traza por K la recta paralela a DA que corta a AB en L.
Si BL = CD y el área del trapecio ABCD es 20, calcular el área del triángulo ADL.
XXII CERTAMEN 2005
1. Fede hace la lista de todos los enteros positivos de 6 dígitos que tienen la suma de los dígitos igual a 9 y cuatro
de sus dígitos son 1, 0, 0, 4. Calcular cuántos números tiene la lista de Fede.
2. Un número natural se dice amigo del 7 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 7. Por ejemplo, 9156 es
amigo del 7 porque 9+1+5+6=21 que es un múltiplo de 7, 223 es amigo del 7 porque 2+2+3=7 que es un múltiplo
de 7, y 706 no es amigo del 7 pues 7+0+6=13, que no es múltiplo de 7.
Hallar el menor número n que es amigo del 7 y tal que el siguiente amigo del 7 sea n+13, es decir, que n y n+13
son amigos del 7 pero ninguno de los 12 números n+1, n+2, ..., n+12 es amigo del 7.
3. Sea ABCD un rectángulo de lados AB, BC, CD y DA, y sean K y L los puntos medios de los lados BC y DA,
respectivamente. La perpendicular a AK trazada desde B corta a CL en M.
Calcular
.
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XXIII CERTAMEN 2006
1. En el pizarrón están escritos los enteros positivos de 1 a 999, ordenados de izquierda a derecha en forma
creciente. Se borran números mediante el siguiente procedimiento: En la primera etapa, comenzando de la
izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de la lista (se borran el 2, el 4, el 6, etc.). En la
segunda etapa, comenzando de la derecha, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el principio de la lista.
En la tercera etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de la
lista. Y así siguiendo, en cada etapa se invierte el orden de la etapa anterior, y comenzando desde el extremo que
corresponda se deja un número y se borra el siguiente una y otra vez hasta recorrer todos los números aun no
borrados. El proceso se detiene cuando queda un solo número en el pizarrón. Determinar cuál es ese número.
2. En un programa de televisión compiten dos equipos A y B, realizando distintas pruebas. En cada prueba el
ganador recibe siempre la misma cantidad de puntos, y el perdedor recibe una cantidad de puntos menor que el
ganador, pero también es siempre la misma cantidad. Al cabo de varias pruebas, el equipo A tiene 231 puntos, y
el equipo B, que ganó exactamente 3 pruebas tiene 176 puntos. Determinar cuántos puntos reciben el ganador y
el perdedor de cada prueba.
ACLARACIÓN: La cantidad de puntos que recibe cada equipo en cada prueba es un entero positivo.
3. Dos hormigas caminan por los lados de un cuadrado de 35 cm de lado. Comienzan a moverse
simultáneamente, desde el mismo vértice y en sentidos opuestos. Una hormiga va a 1 cm/seg y la otra a 2
cm/seg. Calcular la distancia (en línea recta) que separa a las hormigas cuando han transcurrido exactamente
817 segundos desde que salieron.
XXIV CERTAMEN 2007
1. Sobre una mesa hay cuatro cajas, numeradas de 1 a 4, y cada una de ellas contiene bolitas rojas y bolitas
azules.
Se sabe que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 1 es mayor que la proporción entre bolitas
rojas y bolitas azules en la caja 3, y que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 2 es mayor
que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 4.
Se pasan todas las bolitas de la caja 2 a la caja 1 y todas las bolitas de la caja 4 a la caja 3 (las cajas 2 y 4 quedan
vacías).
Determinar si, en la nueva situación, es posible que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 1
sea menor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 3.
ACLARACIÓN: Si una caja tiene r bolitas rojas y a bolitas azules, la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules
en esa caja es el número r
a.
2. Franco hizo la lista de todos los enteros positivos N de cinco dígitos que son múltiplos de 5 y que tienen,
simultáneamente las siguientes dos propiedades:
* Todos los dígitos de N son impares;
* N también tiene cinco dígitos, y todos los dígitos de N son impares.
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Determinar cuántos números tiene la lista de Franco.
3. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC y . = 30°. Sea D el punto medio de la base BC. Se consideran un
punto P en el segmento AD y un punto Q en el lado AB tales que PB = PQ.
^
Calcular la medida del ángulo PQC.
XXV CERTAMEN 2008
1. Franco tiene un tablero de 115 x 7, o sea, de 115 filas con 7 casillas cada una. Él debe colocar fichas en las
casillas del tablero siguiendo las siguientes reglas:
En cada casilla puede colocar una sola ficha.
No pueden quedar dos filas idénticas, es decir, no puede haber dos filas que tengan las mismas casillas ocupadas
y las mismas casillas vacías.
Calcular la máxima cantidad de fichas que puede colocar Franco en su tablero.
2.Al reemplazar n por cada uno de los números naturales desde 1 hasta 2008 en la fórmula 3n – n2y efectuar las
operaciones indicadas se obtienen 2008 números. Los cuatro primeros son 2, 5, 18 y 65 pues 31 – 12 = 2,
32 -22 = 5, 33 – 32 = 18 y 34 – 42 = 65. Calcular cuántos de los 2008 números obtenidos son múltiplos de 5.
3. Sea ABC un triángulo rectángulo con el ángulo ABC = 90°. Se considera el punto D del lado AC tal que CD = AB y
el punto E del lado BC tal que DB = DE . Si se sabe que el ángulo CAB = 2ABD, calcular la medida del ángulo EDC.
XXVI CERTAMEN 2009
1. Una empresa maderera obtuvo un contrato para cortar árboles de un bosque, y los ecologistas iniciaron una
protesta en su contra. Para evitar las protestas, el gerente de la empresa agregó la siguiente cláusula al contrato:
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“En el bosque, el 99% del total de árboles son pinos, y la empresa sólo cortará pinos. Cuando se termine el
contrato, el 97% del total de árboles del bosque serán pinos.”
Determinar qué porcentaje del bosque será cortado por la empresa al cumplirse esta cláusula del contrato.
2. En una larga tira de papel se escriben los múltiplos de 21, comenzando con 21, sin espacios intermedios.
Queda así una secuencia de dígitos que empieza así:
21426384105126147…
Hallar la cifra que ocupa la posición 5000 de la secuencia de dígitos y determinar a qué múltiplo de 21
pertenece. (Por ejemplo, la cifra de la posición 15 es 1 y pertenece al 147.)
3. Sea ABC un triángulo acutángulo. Se considera el punto D del lado AB tal que CD es perpendicular a AB, y el
punto E del lado AB tal que CE es la bisectriz del ángulo ACD. Sea F el punto del lado BC tal que el ángulo
BAF = ACE, y G el punto de intersección de AF y CE. Si se sabe que el triángulo CFG es equilátero, calcular los
ángulos del triángulo ABC.
XXVII CERTAMEN 2010
1. Distribuir en las casillas del tablero de 4 x 4 los números
enteros del 1 al 16, sin repetir, de manera
que en todos los cuadrados de 2 x 2 (formados con 4
casillas del tablero que tienen un vértice común)
la suma de los 4 números sea la misma.
2. Pablo escribió la lista de todos los números naturales capicúas de 5 dígitos que son múltiplos de 11. Calcular
cuántos números tiene la lista de Pablo.
3. Sea ABC un triángulo con C = 90° de perímetro igual a 30. Sean P en el lado AB tal que CP es perpendicular
a AB; Q en el segmento AP tal que CQ es bisectriz del ángulo ACP y R en el segmento BP tal que CR es bisectriz del
ángulo BCP. Si QR = 4, calcular la longitud del lado AB.
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