Download PROBLEMA 1 – XIII

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SEGUNDO NIVEL
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XII CERTAMEN 1995
1. Escribir en cada casilla de la pirámide un número natural mayor que 1 de modo que:
La casilla superior tenga escrito el 560105280.
El número escrito en cada casilla sea igual al
producto de los números escritos en las dos
casillas sobre las que está apoyada.
2. Cuatro autos A, B, C y D salen simultáneamente de un mismo punto de una pista circular. A y B van en una
dirección, C y D en la dirección contraria. Todos tienen distintas velocidades, pero constantes. A los 5 minutos de
la partida, A cruza por primera vez a C y en el mismo instante, B cruza por primera vez a D. A los 83 minutos de la
partida, A y B se encuentran por primera vez. ¿Cuánto tiempo transcurre desde la partida hasta que C y D se
encuentran por primera vez?
3. Dada una circunferencia C de centro O y una circunferencia C' que pasa por O y corta a C en A y B,
sea C (distinto de O) un punto de C' que está en el interior de la circunferencia C. La recta AC corta nuevamente a
la circunferencia C en D. Demostrar que CB=CD.
XIII CERTAMEN 1996
1. Hallar el mayor número natural de 6 cifras, todas distintas de cero, que es múltiplo del número que resulta al
borrarle la primera cifra de la izquierda.
2. En el trapecio ABCD, de lados no paralelos AB y CD, sea M el punto medio de CD. Se traza por M la
perpendicular a la recta AB, que intersecta a dicha recta en R. Sabiendo que el segmento AB mide 21 y el
segmento MR mide 37, hallar el área del trapecio ABCD.
3. Un blanco para practicar tiro esta formado por 30 círculos C 1, C2, C3, ... , C30, todos con el mismo centro, y de
radios 1, 2, 3, ... , 30, respectivamente. Cada impacto en el blanco asigna tantos puntos como círculos estén
perforados por dicho impacto. Por ejemplo, un impacto dentro de C 1asigna 30 puntos, y un impacto dentro de
C27 pero fuera de C26 asigna 4 puntos.
Se efectúan 30 disparos que dan en el blanco de modo tal que no haya tres círculos con igual cantidad de
impactos, y luego se suman los 30 puntajes obtenidos. Determinar todos los posibles valores de esta suma.
XIV CERTAMEN 1997
1. Hallar todos los números naturales x, y, z tales que
2. Sean ABC un triángulo, E el punto medio AC y O el punto medio de BE. La recta AO intersecta al lado BC en D.
Si AO=12, calcular OD.
3. Diremos que un número natural es travieso si su desarrollo binario tiene un cantidad impar de dígitos 1; 6 no
es travieso porque su desarrollo binario es 110 que tiene un cantidad par de dígitos 1.
Determinar la cantidad de números traviesos que son menores o iguales que 1997.
XV CERTAMEN 1998
1. Hallar el menor cuadrado perfecto que termina en 9009 (es decir, tiene 9 en las unidades y en las unidades de
mil, y tiene 0 en las decenas y en las centenas).
2. El paralelogramo ABCD tiene el ángulo BAD agudo y el lado AD menor que el lado AB. La bisectriz del ángulo
BAD corta al lado CD en E.
Se traza por D una perpendicular a AE que corta a AE en P, y se traza por E una perpendicular a AE que corta al
lado BC en Q.
Sabiendo que PQ es paralelo a AB y que AB=20, calcular la medida del lado AD.
3. Utilizando exclusivamente las letras A y B se escriben palabras de 15 letras tales que en cada palabra figuren
exactamente cinco veces el grupo AA, y exactamente tres veces cada uno de los grupos AB, BA y BB. Por ejemplo,
una de estas palabras es AAAABABBAAABBBA. ¿Cuántas palabras distintas se pueden escribir?
Profesor Carlos Dellagnolo y Profesor Rey Zarza
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XVI CERTAMEN 1999
1. La ruta que une A con B tiene 999 km. Cada 1 km. hay una señal con dos números: el primero es la distancia
recorrida desde A y el segundo es la distancia que falta para llegar a B. Por ejemplo, la señal en Aes 0 999 y la
señal a 45 km. de A es 45 954 . En total hay 1000 señales, contando la de A y la de B.
En un viaje de A a B, Pablito se entretiene contando las señales que usan exactamente dos dígitos. Por ejemplo,
cuenta la señal 0 999 porque usa exactamente dos dígitos (0 y 9), pero no cuenta la señal 45 954 , porque utiliza
tres dígitos (4, 5 y 9).
¿Cuántas señales cuenta Pablito en el viaje desde A hasta B?
2. Una hora después de la partida el tren se detuvo por un desperfecto mecánico. Los técnicos lo repararon en ½
hora, pero de ahí en más, el tren continuó su viaje a la mitad de la velocidad normal y llegó a destino con 2 horas
de demora. Si el desperfecto hubiese ocurrido 100 km. más adelante, la demora hubiera sido de sólo de 1 hora.
Determinar la distancia del recorrido total del tren.
ACLARACIÓN: Se entiende que 100 km. más adelante, la reparación tardaría también ½ hora y que el resto del
viaje se haría a la mitad de la velocidad normal.
3. Sea P un punto en el interior del triángulo ABC. Se trazan por P las paralelas a los lados del triángulo, que
queda dividido en tres triángulos y tres paralelogramos. Si las áreas de los tres triángulos de la subdivisión son,
en algún orden, 9, 16 y 25, hallar el área del triángulo ABC.
XVII CERTAMEN 2000
1. Dado un número natural, la operación legal es la siguiente secuencia de cuatro pasos: suprimir el último dígito
de la derecha; escribir el dígito suprimido como primer dígito de la izquierda; multiplicar por 9; dividir por 2.
Por ejemplo, el resultado de aplicar la operación legal a 425 es 9 . 542 / 2 = 2439.
Diremos que un número natural n es especial si el resultado de aplicarle a n la operación legal es el mismo
número natural n.
Una computadora hizo la lista de todos los números especiales de hasta 2000 cifras, ordenados de menor a
mayor. Hallar los 10 primeros números de esa lista.
2. Un número natural es balanceado si tiene la misma cantidad de cifras que de divisores primos distintos. Por
ejemplo, 20 es balanceado, pues tiene dos cifras y dos divisores primos distintos (2 y 5); 81 no es balanceado,
pues tiene dos cifras y sólo un divisor primo (el 3); tampoco es balanceado el 60, pues tiene dos cifras y tres
divisores primos distintos (2, 3 y 5).
Hallar un número balanceado de 6 cifras y determinar cuál es la máxima cantidad de cifras que puede tener un
número balanceado.
3. Sea ABCD un cuadrilátero con <ABC = <ADC = 90°, <BAD = 60°, AB = 7 y AD = 8. Calcular las medidas de BC y CD.
(Nota: <ABC indica el ángulo ABC)
XVIII CERTAMEN 2001
1. Se escribe la lista de todos los números naturales de cuatro dígitos, con todos los dígitos distintos de 0, tales
que en cada número la diferencia entre el mayor de sus dígitos y el menor de sus dígitos es menor o igual que 2.
Determinar la cantidad de números de cuatro dígitos que tiene la lista.
2. Sea ABCD un rombo de lados AB, BC, CD y DA, tal que <AEC > 90°. La perpendicular a DA trazada desde B corta
al lado DA en E y la perpendicular a CD trazada desde B corta al lado CD en F. Se sabe que BE = BF = 6 y EF = 7,2.
Calcular el área del rombo ABCD.
3. Las tres atletas Lucía, María y Nadia corrieron 20 carreras y anotaron cada vez cuál llegó primera, cuál
segunda y cuál tercera. Nunca hubo puestos empatados. La cantidad de veces que Lucía llegó antes que María es
12. La cantidad de veces que María llegó antes que Nadia es 11. La cantidad de veces que Nadia llegó antes que
Lucía es 14. Se sabe además que ocurrieron todos los ordenamientos posibles de las tres atletas. Determinar
cuántas carreras ganó cada una de las atletas.
XIX CERTAMEN 2002
1. Un tren que marcha a 72 km/h atravesará el puente que une A con B (primero pasa por A). Un rato antes de
pasar por A hace sonar su bocina. En el puente hay un pájaro que cuando suena la bocina se encuentra en un
punto C tal que AC = 5/16AB . Si vuela hacia B llegará a B exactamente en el mismo instante que el tren, y si vuela
hacia A, llegará a A en el mismo instante que el tren. Determinar a qué velocidad vuela el pájaro.
2. Pedro tiene 252 pesos en billetes de 2, de 5, de 10, de 50 y de 100 pesos, y tiene por lo menos un billete de
cada clase. Se sabe que existen 252 maneras distintas de distribuir el total de los billetes entre el bolsillo derecho
y el bolsillo izquierdo (incluyendo las dos posibilidades de que uno de los bolsillos esté vacío). Determinar
cuántos billetes de cada clase tiene Pedro.
ACLARACIÓN: Considerar que los billetes de una misma clase no se pueden distinguir entre sí.
3. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tal que la diagonal AC es igual al lado BC y la diagonal BD es igual a la
base AB. Si se sabe que ACB = 90° , calcular la medida del ángulo CBD .
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XX CERTAMEN 2003
1. En el pizarrón hay escritos cuatro enteros positivos. Si se seleccionan tres de ellos, se calcula el promedio y se
le suma el cuarto número se obtienen los números 89; 95; 101 y 117. Hallar los cuatro números del pizarrón.
2. Se escribe una sucesión de números naturales con la siguiente regla: se eligen los dos primeros números y a
partir de entonces, para escribir un nuevo número, se calcula la suma de los últimos dos números escritos, se
halla el mayor divisor impar de esta suma y la suma de este mayor divisor impar más 1 es el siguiente número
escrito.
Los primeros dos números son 25 y 126 (en ese orden), y la sucesión tiene 2003 números. Hallar el último
número escrito.
3. Sea ABC un triángulo con AB=17, BC=24 y AC=26. Consideramos L en el lado BC tal que AL es la bisectriz del
ángulo , y P en el segmento AL tal que BP es perpendicular a AL. Se traza por P la paralela al lado AC, que corta al
lado AB en D y al lado BC en E. Calcular BD.
XXI CERTAMEN 2004
1. En un tablero cuadriculado de m x n se ubica una ficha en el centro
de cada casilla y una ficha en cada vértice de la cuadrícula hasta que
no quede lugar para más fichas (en la figura se muestra el
tablero de 2 x 3 con sus 18 fichas).
Hallar las dimensiones m y n del tablero de m x n
si se utilizan exactamente 500 fichas. Dar todas las posibilidades.
2. Fabio debe escribir una sucesión de números naturales.
El primer número lo elige Fabio entre 1 y 2004 inclusive, y a partir de alli, cada nuevo número se obtiene del
anterior de acuerdo con la siguiente regla: si el anterior es impar, le suma 1, si el anterior es par, lo divide por 2.
El proceso se detiene cuando se obtiene por primera vez el 1. Por ejemplo, si Fabio elige el primer número igual a
10, la sucesión será: 10, 5, 6, 3, 4, 2, 1, que tiene 7 números.
El objetivo de Fabio es lograr que su sucesión tenga la mayor cantidad posible de números. Determinar cuál es la
máxima cantidad de números que puede tener la sucesión de Fabio y hallar un número inicial que le permita
lograr una sucesión con esa cantidad máxima de números.
3. En el cuadrado ABCD de lado 6, sea M el punto medio del lado AD y N el punto medio del lado AB. La diagonal
BD corta a CN en K y a CM en L.
Calcular el área del cuadrilátero KLMN.
XXII CERTAMEN 2005
1. Pablo sumó todos los números enteros positivos de 4 dígitos, pero se salteó uno. La suma de Pablo es igual a
8499 veces el número que se salteó Pablo. Hallar el número que se salteó Pablo.
2. Nacho hizo la lista de todos los múltiplos de 15 que tienen 15 dígitos, que utilizan exclusivamente los dígitos 1
y 5 y que no tienen dos 5 consecutivos. Calcular cuántos números tiene la lista de Nacho.
3. Sea ABC un triángulo con AB=100 y AC=156. Sea M el punto medio del lado AB. Se traza por M la perpendicular
al lado AC, que corta al lado AC en K. Si AK=14, calcular el lado BC.
XXIII CERTAMEN 2006
1. En un colegio, el 81% de los alumnos estudia inglés y el 80% de los alumnos estudia computación. La
proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que estudian computación es igual al doble de la
proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que no estudian computación. Hallar el porcentaje de
alumnos de la escuela que no estudia ni inglés ni computación.
2. La profesora escribe en el pizarrón una fila de dígitos 8 y le pide a un alumno que intercale algunos signos +
para que la suma que quede indicada tenga resultado 1000. Dar todas las posibilidades para la cantidad de
dígitos 8 que debe escribir la profesora para que la tarea del alumno tenga solución.
3. En el triángulo ABC, sea P un punto interior. La recta AP corta al lado BC en D, la recta BP corta al
lado AC en E y la recta CP corta al lado AB en F. Se sabe que área (APF) =168; área(BPD)=80; área (CPD) = 60 y
área (CPE) = 70.
Calcular el área del triángulo APE y el área del triángulo BPF.
XXIV CERTAMEN 2007
1. En una circunferencia se marcaron 108 puntos que dividen a la circunferencia en 108 arcos iguales. Comenzando en
uno de estos puntos, y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, Nico escribió un número al lado de cada punto
marcado. De este modo quedaron escritos 108 números alrededor de la circunferencia (puede haber números repetidos).
La suma de 20 números ubicados en puntos consecutivos de la circunferencia es siempre igual a 1000. El primer
número que escribió Nico es el 1. En el lugar 19 escribió el número 19 y en el lugar 50 escribió el número 50.
Determinar el número que Nico escribió en el lugar 100.
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2. En una olimpíada de matemática los participantes tenían que escribir un número entero positivo en cada casilla de un
tablero de 3  3 de modo que en cada fila y en cada columna, la multiplicación de los tres números sea igual a 120.
Estaba permitido repetir números. Resultó que todos los participantes resolvieron correctamente el problema, pero todos
obtuvieron una respuesta diferente.
Determinar cuál es el máximo número de participantes que pudo haber en esa olimpíada.
3. Se tiene un rectángulo ABCD de lados AB = CD = 65 y BC = AD = 156. Se traza la circunferencia de centro A que
pasa por C. La recta BD corta a la circunferencia en E y F.
Calcular la longitud del segmento EF.
XXV CERTAMEN 2008
1. En cada casilla de un tablero de 3 ´ 4 se escribe uno de los números 1, 2, 3, 4 de modo que en cada fila los
cuatro números de esa fila sean distintos, y en cada columna los tres números de esa columna sean distintos.
Calcular cuántos tableros diferentes se pueden obtener.
2. Inicialmente hay un número entero positivo escrito en el pizarrón. Alex debe escribir una sucesión de enteros
positivos usando en cada paso una de las siguientes operaciones, a su elección:
Si el último número escrito es n , Alex puede escribir el número 3 n + 13.
Si el último número escrito es n , y n es un cuadrado perfecto, Alex puede escribir el número √n.
a) Si el número inicial es 81, decidir si Alex puede elegir las sucesivas operaciones para obtener en algún
momento el número 55.
b) Si el número inicial es 55, decidir si Alex puede elegir las sucesivas operaciones para obtener en algún
momento el número 81.
ACLARACIÓN: Se llama cuadrado perfecto al cuadrado de un número entero.
3. Sea ABC un triángulo rectángulo en A . Sea D en BC tal que AD es perpendicular a BC . La bisectriz del
ángulo ACB corta al lado AB en M y la bisectriz del ángulo BADcorta a BC en N . Si AC = 10 yBC = 30, calcular el
perímetro del cuadrilátero AMND .
XXVI CERTAMEN 2009
1. En las casillas de un tablero de 7 filas y 287 columnas hay que escribir los números enteros positivos desde 1 hasta
2009, sin repetir, siguiendo la siguiente regla:
En cada fila, los números están ordenados de menor a mayor, de izquierda a derecha, pero no son necesariamente
números
consecutivos.
El objetivo es que la suma de los 7 números de la columna 284, contando de izquierda a derecha, sea lo mayor posible.
Determinar el máximo valor que puede tener la suma de la columna 284 e indicar una distribución posible de los 2009
números que permita lograr esa suma.
2. Miguel hizo la lista de todos los números naturales tales que la multiplicación de sus dígitos es igual a 1920 y ningún
dígito es igual a 1. Calcular cuántos números tiene la lista de Miguel.
3. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 29 y BC = 40. Sea P en BC con BP menor que PC. Sea D en BC tal
que AD es perpendicular a BC. La recta perpendicular a AP trazada por B corta a la recta AD en L, y la recta
perpendicular a AP trazada por C corta a la recta AD en K. Si KL = 16, calcular BP.
XXVII CERTAMEN 2010
1. Ariel viaja de A a B y Melanie viaja de B a A. Los dos van por el mismo camino y a velocidades constantes. Los
dos salen al mismo tiempo. Cuando se cruzan, Ariel ha viajado 16 km más que Melanie. Después del encuentro,
Ariel tarda 48/7 horas en llegar a B y Melanie tarda 28/3 horas en llegar a A. Calcular la distancia entre A y B.
2. En la lotería de Karagistán cada boleta se forma con tres números distintos entre 1 y 100. Aparecen todas las
combinaciones posibles de tres números distintos y hay exactamente una boleta con cada combinación. Esta
semana recibirán premio todas las boletas tales que la multiplicación de sus tres números sea múltiplo de 6.
¿Cuántas son las boletas premiadas?
3. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, con AB < CD, tal que el ángulo BAC = 60° y AB + CD = 2AD. Sea M el
punto medio de BC. Si AD = 10, calcular la medida del segmento DM.
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