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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Trabajo Práctico Nº 5
Recta y Plano
Cursada 2014
Desarrollo Temático de la Unidad
a) La recta en el plano: su determinación. Distintas formas de la ecuación de la recta
a partir de la forma vectorial: conocidos un punto y un vector director; conocidos un
punto y un vector normal. Ecuaciones paramétricas, cartesianas simétrica, explícita,
implícita, segmentaria, normal. Distancia de punto a recta. Intersección entre rectas.
Ángulo entre rectas. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Recta que pasa
por un punto y es paralela o perpendicular a una recta dada.
b) El plano: su determinación. Distintas formas de la ecuación del plano a partir de la
ecuación vectorial: forma general o implícita, forma segmentaria, forma normal.
Distancia de un punto a un plano. Plano que pasa por tres puntos. Posiciones relativas
de un plano respecto del origen de coordenadas, de los ejes y de los planos
coordenados. Ángulo entre dos planos. Condiciones de paralelismo y de
perpendicularidad entre planos.
c) La recta en el espacio tridimensional: La recta como intersección de planos: su
determinación. la ecuación vectorial; ecuaciones paramétricas; ecuaciones cartesianas
simétricas. Pasaje a la forma cartesiana simétrica de las ecuaciones de la recta dada
como intersección de planos. Recta que pasa por dos puntos; casos particulares. Planos
proyectantes de una recta. Ángulo entre rectas; condiciones de paralelismo y de
perpendicularidad. Ángulo entre recta y plano; condiciones de paralelismo y de
perpendicularidad. Intersección entre recta y plano. Posiciones relativas entre rectas
del espacio. Obtención de la intersección entre rectas. Rectas alabeadas. distancia
entre las mismas. Distancia de punto a recta.
Ejercitación a desarrollar en el aula:
Se deberá desarrollar en el aula los ejercicios 2a, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10a, 11a, 14a, 16a,
17, 18a, 20a, 21, 23, 26a, 27a, 28a, 29b, 30a, 34, 37, 40b. Los demás ejercicios deben
ser realizados por los alumnos.
La recta en el espacio bidimensional
1.- Deducir la ecuación de la recta de pendiente m que corta al eje de las ordenadas en
el punto de coordenadas (0,b).
2.- Hallar las ecuaciones de las rectas:
a) pasa por (-3,1) y tiene pendiente 2.
b) pasa por (0,4) y tiene pendiente -2.
c) pasa por (0,0) y tiene pendiente 0.
3.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1,-2) y (3,2).
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Trabajo Práctico Nº 4 – Recta y Plano
4.- Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada al origen son
respectivamente –2 y 3.
5.- Hallar la pendiente m y la ordenada al origen b de la recta 3y - 2x  4 .
A B
6.- Demostrar que si las rectas Ax  By  C  0 y A' x  B' y  C '  0 son paralelas

A' B'
y que si son perpendiculares AA'BB'  0
7.- Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (3,-3) y son
respectivamente paralela y perpendicular a la recta que definen los puntos (2,1) y
(-1,-2).
8.- Hallar la ecuación vectorial, paramétrica, cartesiana simétrica, general y segmentaria



de la recta que es paralela al vector v  2i  3 j y pasa por el punto P(-1,3).
9.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos de
coordenadas (1,2) y (3,6).
10.- Hallar el valor del parámetro K de manera tal que:
a) 3kx  5y  k 2  0 pase por el punto (-1,4).
b) 4x - ky - 7  0 tenga pendiente 3.
c) kx y  3k - 6 tenga abscisa en el origen igual a 5.
11.- Hallar la distancia d desde.
a) la recta 8x  15y - 24  0 al punto (-2,-3).
b) la recta 6x - 8y  5  0 al punto (-1,7).
12.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a 2x  3y - 6  0 que disten de ella 2
unidades.
13.- Hallar el valor de k en 5x - 12y  3  k  0 de modo que la distancia de esta recta al
punto (-3,2) sea en valor absoluto igual a 4.
14.- a)Hallar la ecuación de la recta que pasan por el punto de intersección de las
rectas 3x - 5y  9  0 y 4x - 7y  28  0 , y pasan por el origen coordenadas.
b) Hallar la ecuación de la recta que pasan por el punto de intersección de las
rectas 5y -10  0 y 9x - 3y  27  0 , y pasan por el punto P(-1,3).
El Plano
16.- Hallar la ecuación del plano:
a) Paralelo a 2 x  3 y  4 z  12  0 y que pasa por el origen de coordenadas.
b) Paralelo al plano xy y que pasa dos unidades por debajo del mismo.
c) Perpendicular al eje z, que pase por el punto (2,3,6).
d) Paralelo al plano yz, que pase dos unidades detrás del mismo.
17.- Hallar la ecuación del plano paralelo al eje z que corta a los ejes x e y en los puntos
(-2,0,0) y (0,3,0) respectivamente.
18.- Hallar la ecuación del plano:
a) Que pasa por el punto (-1,2,4) y es paralelo al plano 2 x  3 y  5z  6  0 .
b) Que es perpendicular en el punto medio al segmento que une los puntos
(-2,2,-3) y (6,4,5).
c) Que pasa por el origen y es paralelo al plano 3x  7 y  6 z  3  0 .
d) Que pasa por los puntos (3,4,1); (-1,-2,5) y (1,7,1).
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Trabajo Práctico Nº 4 – Recta y Plano
19.- Reducir la ecuación del plano 2 x  2 y  z  12  0 a la forma normal, dando los
cosenos directores y la longitud de la normal (distancia del plano al origen de
coordenadas).
20.- Hallar la distancia entre punto y plano de:
a) P(2,-2,3) y el plano 2 x  y  2 z  12  0 .
b) P(7,3,4) y el plano 6 x  3 y  2 z  13  0 .
21.- Hallar el ángulo agudo que forman los planos 2 x  y  z  7 y x  y  2 z  11  0 .
22.- Halar el punto de intersección de los planos 2 x  y  z  1  0 ; 3x  y  z  1  0 y
4x  2 y  z  3  0 .
23.- Hallar la ecuación del plano que pasa por P(1,2,3) y contiene a la recta definida con
intersección de los planos 2 x  3 y  4 z  6  0 y 3x  2 y  z  2  0 .
24.- Demostrar que los planos 3x  y  4 z  7  0 ; x  2 y  z  5  0 ; 6 x  2 y  8z  10  0 y
3x  6 y  3z  7  0 son las caras de un paralelepípedo.
25.- Hallar la distancia entre los planos 2 x  3 y  6 z  14  0 y 2 x  3 y  6 z  7  0 .
La recta en el espacio tridimensional
26.- Hallar las coordenadas del punto de las rectas:
2 x  y  z  5  0
a) 
; para z = 1.
x  2 y  2z  5  0
x  2 y  4 z 1
b)
; para x = 3 .


3
2
2
c) 2 x  3 y  1 ; 3z  4  2 y ; para x = 4.
d) x  4  3t; y  1  4t; z  3  2t para t = 3.
27.- Hallar los puntos de intersección con los planos coordenados de las rectas:
x  2 y  z  0
a) 
3x  y  2 z  7
x 1 y  3 z  6
b)


2
1
1
28.- Escribir las ecuaciones cartesianas simétricas de las rectas que pasan por los
puntos:
a) (1,2,3) y (-1,-2,4).
b) (1,2,3) y (-1,2,-4).
29.- Escribir las ecuaciones paramétricas y cartesianas simétricas de las rectas:
3x  y  z  8  0
a) 
4 x  7 y  3z  1  0
3x  2 y  z  4  0
b) 
2 x  2 y  z  3  0
30.- Hallar el ángulo formado por las rectas:
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x  2 y  z  2  0
x  2 y  z  2  0
a) 
y 
2 y  z  1  0
x  2 y  2z  4  0
x 1 y  2 z  4
x  2 y 3 z  4
b)
y




6
3
6
3
6
2
2 x  2 y  z  4  0 x  2 y  2 z  4
c) 
y


7
6
2
x  3 y  2z  0
31.-
Hallar
el
2x  2 y  z  3  0 .
ángulo
formado
por
la
recta
x  1 y 1 z  3


3
6
6
y
el
plano
32.- Hallar el punto de intersección de la recta y el plano del ejercicio anterior.
33.- Hallar el ángulo que forma la recta que pasa por (3,4,2) y (2,3,-1) con la que une los
puntos (1,-2,3) y (-2,-3,1).
x 1 y  2 z  3
34.- Verificar que la recta
es paralela el plano 6 x  7 y  5z  8  0 .


1
2
4
35.- Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (2,1,-2) y es perpendicular al
plano 3x  5 y  2 z  4  0 .
36.- Hallar la ecuación de la recta:
a) Que pasa por el punto (2,-1,3) y es paralela al eje x.
b) Que pasa por el punto (2,-1,3) y es paralela al eje y.
c) Que pasa por el punto (2,-1,3) y es paralela al eje z.
d) Que pasa por el punto (2,-1,3) y se conocen los cosenos directores: cos   1 2 y
cos   13 .
37.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,4,-2) y es paralela a los
planos 6 x  2 y  2 z  3  0 y 3x  5 y  2 z  1  0 .
38.- En los siguientes pares de rectas, decidir si las mismas son coincidentes o
paralelas:
x 1 y  2 z  2
x 1 y 1 z  2
a)
y




2
3
4
4
6
8
1
x 1 y  2 z  2
x2 y 2 z4




b)
y
2
3
4
4
6
8
 y  2x  5  0
39.- Demostrar que la recta 
esta situada en el plano 9 x  3 y  5z  35  0 .
 z  3x  4  0
40.- En los siguientes pares de rectas, decidir si se cortan en un punto o son alabeadas.
Si se cortan, obtener las coordenadas del punto de intersección; si son alabeadas,
calcular las distancia entre ellas.
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x 1 y  2 z  3
x 1 y 1 z  2
y




2
4
6
2
3
5
x 1 y  2 z  3
y 1 z  2
b)
y x



2
4
6
3
5
a)
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