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COMPLEJOS
Hoja de trabajo 1
Apellidos y Nombre:____________________________________________
Para estudiar este tema de Complejos debes leer detenidamente esta hoja
de trabajo y realizar por escrito todas las actividades que en ella te
indicamos. Además, puedes completar tu estudio haciendo las actividades y
ejercicios que se indican en la pantalla del ordenador.
Introducción y conceptos básicos
Leer: ¿Por qué debo ampliar el conjunto de los números reales?
Observa que en el conjunto de los números reales no tiene sentido hablar
de la solución de la ecuación x2  1  0 , ya que no se puede definir la raíz
cuadrada de un número negativo.
Ecuaciones de segundo grado: Si haces clic en este enlace puedes dar otros
valores a los coeficientes a, b y c, con la ayuda del applet e ir resolviendo la
ecuación ax2  bx  c  0 en todos los casos posibles.
1. ¿De qué depende que la ecuación ax2  bx  c  0 tenga una, dos o
ninguna solución real? Pon un ejemplo de cada caso:
a) la ecuación tiene dos soluciones reales distintas:
b) la ecuación tiene una solución real:
c) la ecuación no tiene solución real:
Leer: Introducción a los números complejos
Es necesario ampliar el conjunto de los números reales. Definimos el
conjunto de los números complejos
como el conjunto de todos los pares
ordenados de números reales (x, y), donde cualquier número real x puede
identificarse con el punto (x, 0) del plano.
El número complejo i = (0, 1) se denomina unidad imaginaria y cumple
que su cuadrado es el número real –1, es decir i2 = -1. De aquí se deduce
que en el conjunto
hay al menos una solución para la ecuación
2
x  1  0 , se trata del número complejo i = (0, 1).
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Hoja de trabajo 1
Leer: Otra forma de representar los números complejos
El par ordenado z = (a, b) se puede escribir z = a + b.i , que es la forma
binómica de dicho complejo, la cual resultará más cómoda para operar
con estos números.
Parte real y parte imaginaria
Leer: Definición de número complejo. Representación gráfica
Fijado en el plano 2 un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales,
cada número complejo z = (x, y) puede representarse gráficamente
mediante el punto P de coordenadas (x, y), que recibe el nombre de afijo
del complejo z, o bien por el vector OP de origen O(0, 0) y extremo
P(x,y).
Dado un complejo z = a + b.i se denomina:
parte real de z al valor a = Re (z)
parte imaginaria de z al valor b = Im (z)
Si la parte real de un número complejo es cero se denomina imaginario
puro y si es cero la parte imaginaria se trata de un número real.
2. Representa gráficamente la región del plano donde se encuentran los
afijos de los siguientes conjuntos de números complejos:
a)
z 
/ Im(z)  0 
b)
z 
/ 0  Re(z)  1 
c)
z 
/ 0  Im(z)  Re(z) 
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Hoja de trabajo 1
Conjugado y opuesto
Leer: Opuesto y conjugado de un número complejo
Dado el número complejo z  x  y  i su conjugado es el número complejo
z  x  y  i y su opuesto es el número complejo  z  x  y  i .
3. Plantéate ejemplos moviendo el afijo de z para ver cómo se representan
el opuesto y el conjugado de z, según cómo hayas elegido el afijo, bien
en uno de los cuatro cuadrantes del plano o bien sobre los ejes
coordenados. Escribe aquí dos ejemplos que hayas observado:
z1 
z1 
 z1 
z2 
z2 
 z2 
Suma de números complejos
Leer: Aritmética de números complejos
La suma de dos números complejos z1  x1  y1  i y z2  x2  y2  i es otro
número complejo cuyas primera y segunda componentes son,
respectivamente, la suma de las primeras y segundas componentes de los
números dados:
z1  z2   x1  y1  i   x2  y2  i   x1  x2    y1  y2   i
4. Toma dos números complejos
z1 y z2
y calcula la suma
z1  z2 .
Representa gráficamente los afijos de z1, z2 y z1  z2 . Si piensas en los
números complejos como extremos de un vector con origen en el punto
O, ¿qué interpretación geométrica puedes hacer para la suma de dos
números complejos?
5. En el gráfico de la derecha de la página “Suma como traslación” está
representado el triángulo de vértices O, P1 y P2 en azul y en verde el
triángulo de vértices w, P1+w y P2+w.
Recuerda que los afijos de w, P1 y P2 pueden moverse pulsando sobre
ellos. Indica qué ocurre cuando actuamos de las formas siguientes:
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Hoja de trabajo 1
a) aumentas o disminuyes sólamente la parte imaginaria de w  a  b  i
b) aumentas o disminuyes sólamente la parte real de w  a  b  i
c) aumentas o disminuyes tanto la parte real como la parte imaginaria de
w  abi
Puedes ver la solución pulsando sobre el icono
Producto de números complejos
Leer: Multiplicación de números complejos
La multiplicación de dos números complejos expresados en forma binómica
se hace igual que con números reales teniendo en cuenta que i2 = -1.
a  b  i  c  d  i  ac  ad  i  bc  i  bd  i2  ac  bd  ad  bc   i
6. Calcular el producto
2  3  i   3  6  i 
7. ¿Qué interpretación geométrica tiene el producto de un número
complejo por un número real?
8. Calcula las siguientes potencias de i y representa gráficamente aquí los
resultados (escribe aquí los cálculos realizados):
i 189 
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Hoja de trabajo 1
i 275 
Puedes comprobar estos resultados con ayuda del applet que explica las
potencias de la unidad imaginaria.
División de números complejos
Leer: División de números complejos
En forma binómica, el cociente de dos números complejos se realiza
multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador
a  b  i  a  b  i  c  d  i  ac  bd   ad  bc   i
c  d  i c  d  i  c  d  i c2  d2
c2  d2
9. Realiza la división de los siguientes números complejos ayudándote, si lo
deseas, del applet. Debes pulsar sobre el botón pasos para que te vaya
indicando “paso a paso” la forma de realizar la operación:
a)
3  2i

1  2 i
b)
1
1


1  4i 4 i
Módulo
Leer: Módulo de un número complejo
El
módulo
de
un
número
complejo
z  x  y i
se
z  x2  y2 .
10. Calcula el módulo de los siguientes números complejos:
z 1i , w  3 i
5
define
como
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Hoja de trabajo 1
Leer: Interpretación del módulo como distancia.
* z  z0  r representa el conjunto de puntos z que están a una distancia r
del número complejo z0.
* z  z0  r
representa el conjunto de puntos z que están a una distancia
menor que r del número complejo z0.
* z  z0  r
representa el conjunto de puntos z que están a una distancia
mayor que r del número complejo z0.
11. La siguiente condición determina una región en el plano,
z  i  1.
¿Cuál de las siguientes zonas punteadas representa a dicha región?
Justifica la respuesta
12. La condición
z  1  1 corresponde a una región del plano complejo.
¿A qué gráfico corresponderá?
Describe el conjunto de números complejos correspondientes a las cuatro
regiones del plano complejo representadas anteriormente utilizando para
ello el módulo:
a)
b)
c)
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d)
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Hoja de trabajo 1
13.Dibuja la región del plano ocupada por los afijos de los números
complejos que verifican las siguientes relaciones:
a) z 
1
z
b)
z a  z b
c)
z 1i  1
a,b 
fijos
Argumento de un número complejo. Forma polar.
Leer: Argumento de un número complejo. Formas polar y trigonométrica
Se denomina argumento del número complejo z  x  y  i al ángulo ,
medido en radianes, que forma el vector OP con la dirección positiva del
eje OX, así
y
  arg (z)  arc tg  
x
El argumento de un número complejo está definido salvo en un múltiplo
de 2, ya que la posición de su afijo P no se altera si damos a  un
incremento de 2k  (k  ) . Por tanto
arg (z)   2k (k  )
Llamaremos valor principal del argumento al que cumple la condición
  arg (z)  
Dos números complejos son iguales si coinciden sus módulos y sus
argumentos.
Si dos complejos son conjugados entre sí, sus módulos son iguales y sus
argumentos opuestos.
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Hoja de trabajo 1
Si dos complejos son opuestos entre sí, sus módulos son iguales y sus
argumentos difieren en  radianes.
Si el número complejo z tiene módulo r y argumento , su representación
polar es así
z  r
Las representaciones polares de los complejos conjugado y opuesto son,
respectivamente
z  r y  z  r 
Formas trigonométrica y exponencial de un número complejo
Si el número complejo z tiene módulo r y argumento , este número
también podrá escribirse
z  r   cos   i  sen  
que es la llamada forma trigonométrica de dicho complejo.
Utilizando la fórmula de Euler
manera de definir un complejo
ei   cos   i  sen  , obtenemos una última
z  r  ei 
que se denomina forma exponencial.
Producto y cociente en forma polar
Leer: Multiplicación y división en forma polar
Dados dos números complejos expresados en forma polar
z1   r1   y
1
z2   r2   . El producto de dichos números es otro número complejo cuyo
2
módulo es el producto de los módulos y cuyo argumento es la suma de los
argumentos, excepto en un número múltiplo de 2:
z1  z2   r1  r2  
1
2

 z1  z2  r1  r2
 

 arg  z1  z2   1  2  2k  ,
k  
El cociente de dichos números complejos es otro número complejo cuyo
módulo es el cociente de los módulos y cuyo argumento es la diferencia de
los argumentos, excepto en un múltiplo de 2:
 z1
r
 1

r2
z1  r1 
 z2
 
 
z2  r2   
 z1 

1
2
 arg  z   1  2  2k  ,  k  
 2

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Hoja de trabajo 1
14. Hallar el complejo resultante expresado en forma polar:
 8i  2 /12 
3
 6  / 4    4 / 3 
2

15. Expresar en forma trigonométrica y en forma exponencial el complejo
resultante del ejercicio anterior.
 8i  2 /12 
3
 6  / 4    4 / 3 
2

Potencia entera de un número complejo
Leer: Potencias naturales. Fórmula de Moivre
Recordando la forma exponencial de un complejo no nulo, z  r  ei  , resulta
claro en virtud de la definición del producto que la potencia entera del
complejo z viene dada por
z n r n ein (n  0,  1,  2,...)
o bien por
z n  r   cos   i  sen   n r n  cos n  i  sen n 
expresión conocida con el nombre de fórmula de Moivre.
Leer: Ejemplo (es aplicación de la fórmula de Moivre)
16. Probar la identidad 4  sen3   3  sen   sen 3 , aplicando la fórmula
de Moivre. Nota: después de tomar en la fórmula de Moivre n = 3,
igualaremos las partes real e imaginaria de los complejos resultantes.
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Raíz n-ésima de un número complejo
Leer: Potencias de exponente fraccionario
Se llama raíz n-ésima de un número complejo z  r  ei  a otro complejo
z  r1  ei  cuya potencia n-ésima coincide con el número z dado. Es decir,
wn  z 
r
1
 ei 

n
 r  ei  
r1n  ein  r  ei 
igualdad que solo se verifica, según las propiedades de los números
complejos, si
r1n  r ; n    2k 
lo que conduce a la expresión
n
z 
 r e
n
i
  2k
n
,
k  0,1, 2,...,n  1
donde k = 0, 1, 2, ..., n-1; ya que si seguimos dando valores a k resultan
los mismos argumentos aumentados en 2. Por tanto, todo número
complejo no nulo tiene n raíces n-ésimas distintas.
Geométricamente, estas raíces tienen por afijos los vértices de un polígono
de n lados, inscrito en la circunferencia de radio n r con centro en el origen.
17. Hallar las raíces siguientes expresándolas en forma exponencial y
representarlas gráficamente:
a)
6
1 
b)
3
8 
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Hoja de trabajo 1
Ejercicios del tema
18. Si z1 y z2 son números complejos, ¿ cuál es el lugar geométrico del afijo
z  z2
del número complejo 1
?
2
Indicación: piensa en la interpretación geométrica de la suma de números
complejos.
19. Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado calculando la
parte real y la parte imaginaria:
a) 1  i  2  3i  3  i =
6i  2  i  1  2 i
2
b)
3i
=
20. Dados los números complejos z  1  i y w  3  i , expresar en forma
z
z
binómica los complejos: z + w, z – w, z  w ,
. Obtener z  w y
w
w
también en forma exponencial.
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Hoja de trabajo 1
21. Dibujar la región del plano ocupada por los afijos de los números
complejos que verifican las siguientes relaciones:
a)
z 1i  2
b)
z  2  2i  3
c) 3  z  1,

3
 arg z 
4
4
Nota: En los ejercicios 22, 23 y 24 conviene utilizar la notación exponencial
de los números complejos.
22. Resolver expresando la solución en forma binómica
z = (1 + i)4 =
23. Obtener el número complejo que cumpla que su quinta potencia sea
igual a su conjugado.

24. Hallar el valor de la expresión 1  3  i
simplificada posible, sabiendo que n 
 1 
n

n
3  i , en la forma más
.
25. Hallar las raíces siguientes y representarlas gráficamente:
a)
4
3
b)
6
 64 (en este caso expresar el resultado también en forma binómica)
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