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Intercambio (a)
Ferromagnetismo
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Spin-statistics theorem
Fierz
Pauli
Schwinger
Feynman
Wolfgang Pauli
1900-1958
El estado de un sistema de partículas idénticas
de espín entero no cambia cuando dos
partículas son intercambiadas: tienen estados
p
simétricos. Las partículas con estados
simétricos se llaman bosones.
El estado de un sistema de partículas idénticas
de espín semientero cambia de signo cuando
dos partículas son intercambiadas: tienen
partículas con
estados antisimétricos. Las p
estados antisimétricos se llaman fermiones.
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Estado de dos
fermiones
ϕij(r1,r2)
χij(s1,s2)
espacial
spin
Electrones:
Ψij(1,2)
(1 2) = ϕij(r1,rr2) χij(s1,ss2)
antisimétrica
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
electrones → Ψij(1,2) antisimétrica
Ψij(1,2)
(1 2) = ϕij(r1,rr2) χij(s1,ss2)
ϕij(r1,rr2)
simétrica
χij(s1,s2)
antisimétrica
ϕij(r1,rr2)
antisimétrica
χij(s1,s2)
simétrica
Sup
ϕi(r1) χi(s1)
ϕj(r2) χj(s2)
Átomos hidrogenoides
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Factor de espín
{
}
1
χ =
↑↓ − ↓↑
2
⎧ ↑↑
⎫
⎪
⎪
⎪ 1
⎪
χ ijt = ⎨
↑↓ + ↓↑ ⎬
⎪ 2
⎪
⎪ ↓↓
⎪
⎩
⎭
s
ij
[
]
S = 0; S z = 0
Singlete
(antisimétrico)
S = 1; S z = 1
S = 1; S z = 0
S = 1; S z = −1
Triplete
( i ét i )
(simétrico)
Factor espacial
s
s
s
s
1
{
ϕ =
ϕi (r1 )ϕ j (r2 ) + ϕi (r2 )ϕ j (r1 )}
2
1
{ϕi (rs1 )ϕ j (rs2 ) − ϕi (rs2 )ϕ j (rs1 )}
ϕ ijt =
2
s
ij
(simétrico)
(antisimétrico)
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
s
s
s
s
1
{ϕi (r1 )ϕ j (r2 ) − ϕi (r2 )ϕ j (r1 )}
ϕ =
2
t
ij
s
s
s
s
1
{ϕi (r1 )ϕ j (r2 ) + ϕi (r2 )ϕ j (r1 )}
ϕ =
2
s
ij
ϕijt
i
j
ϕijs
i
j
|ϕijs|2
|ϕijt|2
i
j
i
j
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Evaluación de la
energía potencial
⎛1 1 1 1
⎞
1
1
+ ⎟
U = α⎜ − − − −
⎜r r r
⎟
r
r
r
ij
i
1
i
2
j
1
j
2
12
⎝
⎠
Valor esperado de U
ES = U
S
= ϕij U ϕij
r r
r r
= ∫ ϕ (r1 , r2 )Uϕij (r1 , r2 )dV1dV2
*
ij
todo el
espacio
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
(llamamos ϕi (rr1 ) = ϕi1 )
en el estado singlete:
Es = U
s
r r
s r r
= ∫ ϕ (r1 , r2 )Uϕij (r1 , r2 )dV1dV2
s*
ij
todo el
espacio
(
)(
)
1
Es = ∫ ϕi*1ϕ *j 2 + ϕ i*2ϕ *j1 U ϕ i1ϕ j 2 + ϕi 2ϕ j1 dV1dV2
2
(
Es = ∫ ϕi*1ϕ *j 2Uϕ i1ϕ j 2 dV1dV2 + ∫ ϕi*1ϕ *j 2Uϕ i 2ϕ j1dV1dV2
K ij
J ij
ES = K ij + J ij
)
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
en el estado triplete:
Et = U
t
r r
t r r
= ∫ ϕ (r1 , r2 )Uϕij (r1 , r2 )dV1dV2
t*
ij
todo el
espacio
(
)(
)
1
Et = ∫ ϕi*1ϕ *j 2 − ϕi*2ϕ *j1 U ϕi1ϕ j 2 − ϕi 2ϕ j1 dV1dV2
2
(
Et = ∫ ϕ i*1ϕ *j 2Uϕi1ϕ j 2 dV1dV2 − ∫ ϕ i*1ϕ *j 2Uϕi 2ϕ j1dV1dV2
K ij
J ij
Et = K ij − J ij
)
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
diferencia de energía entre ambos estados:
J>0
E
S=0
Es − Et = E ( s = 0) − E ( s = 1) = 2 J ij
2J
S 1
S=1
Sistema de dos estados
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Construcción del operador Hamiltoniano de espín
r
si , espín
í del
d l electrón
l tó i
r
s j , espín del electrón j
r r r
S = si + s j , espín suma
r r 2
r r
2
2
S = (si + s j ) = si + 2 si ⋅ s j + s 2j
[
r r 1 r r 2
si ⋅ s j = (si + s j ) − si2 − s 2j
2
]
J>0
E
S=0
2J
S 1
S=1
Sistema de dos estados
r r S2
si ⋅ s j =
− s2
2
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Operador Hamiltoniano de espíin
r r
S ( S + 1)
si ⋅ s j =
− s ( s + 1)
2
S =0
r r
si ⋅ s j
diferencia de
s
S =1
3
=−
4
r r
si ⋅ s j
r r
si ⋅ s j
t
E
1
=+
4
entre ambos estados:
r r
si ⋅ s j
S =0
s
r r
− si ⋅ s j
S =1
J>0
t
= −1
S=0
2J
S=1
Sistema de dos estados
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Operador Hamiltoniano de espín
definiendo:
definiendo
E
r r
= Cte si ⋅ s j
H spin
S=0
y requiriendo:
H spin
s
− H spin
2J
t
= 2 J ij
Obtenemos el
Hamiltoniano
de Heisemberg
r r
= −2 J ij si ⋅ s j
S=1
Sistema de dos estados
Cte = − J i j
H spin
J>0
que reproduce
Valor típico de J en materiales
con elementos 3d (Cr, Mn, Fe, Co
Ni))
J ij ≈ 10 −21 Joules
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Alcance espacial de la interacción de intercambio
Función de onda electrónica
Rn ,l (r ) = r l Ln ,l e − rnla0
J ( r ) ≈ e −αr
Polinomio de Laguerre (át. H)
Interacción de corto alcance
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Operador Hamiltoniano de espín
Hamiltoniano de Heisemberg
g
HH
r r
= −2 J ij si ⋅ s j
Werner Heisenberg (1901 - 1976)
Paul Dirac (1902 - 1984)
Hamiltoniano de Ising
H
H I = −2 J ij siz s jz
Wilhelm Lenz
(1888 - 1957)
Ernst Ising
(1900 - 1998)
Empleo muy difundido en física y otras
áreas del conocimiento
z
Ferromagnetismo
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para
electrones localizados en un sólido elemental.
Consideramos dos contribuciones a la energía
intercambio
H, z
Zeeman
r r
r r
E = −∑ J ij si ⋅ s j − ∑ μ 0 gμ B si ⋅ H
ij
i
Jij > 0 ⇒ ferromagnetismo
j
i
Ni fcc
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para
electrones localizados en un sólido elemental.
(1) Aproximamos los espines vecinos sj a cada spin de la red si por su valor
esperado <sj> y definimos el campo “molecular” de Weiss Hw
r r
r r
r ri
Ei = −2∑ J ij si ⋅ < s j > − μ 0 gμ B si ⋅ H = − μ 0 gμ B si ⋅ H ef
j
ri
H ef =
2
μ 0 gμ B
r ri r
r
∑ J ij < s j > + H = H w + H
j
campo “molecular” de Weiss Hw
r i 2 pJ s z r
Hw =
uz
μ 0 gμ B
Pierre Weiss (1865-1940)
≈ 6.4 ×108 A / m
≈ 800 Tesla
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones
localizados en un sólido elemental.
r ri
r ri
Ei = − μ 0 gμ B si ⋅ H ef = − μ 0 mi ⋅ H ef
(
r r
r r
H = − m ⋅ B = − μ 0 m ⋅ H = − μ 0 mz H
(2) segunda aproximación:
r
si ≈ siz = s jz = s z
mz
m
=
sz
s
= Bs (x)
idéntica a la expresión tratada
para el paramagnetismo de
momentos
t llocalizados
li d
x=
μ 0 gμ B sH ef
kT
2s + 1
⎛ 2s + 1 ⎞ 1
⎛ x ⎞
Bs ( x) =
coth⎜
x ⎟ − coth⎜ ⎟
2s
⎝ 2s ⎠ 2s
⎝ 2s ⎠
s momento angular total
)
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones
localizados en un sólido elemental.
2s + 1
⎛ 2s + 1 ⎞ 1
⎛ x ⎞
Bs ( x) =
x ⎟ − coth⎜ ⎟
coth⎜
2s
⎝ 2s ⎠ 2s
⎝ 2s ⎠
Teniendo en cuenta que
x=
μ 0 gμ B sH ef
kT
r
H ef =
2
μ0 gμ B
r
r
∑ J ij < sz > + H
j
Obtenemos:
⎛ μ 0 gμ B sH ef
s z = sBs ⎜⎜
kT
⎝
Solución formal
⎛ s
⎞
⎟⎟ = sBs ⎜
⎜ kT
⎠
⎝
⎡
⎢ μ 0 gμ B H + 2 s z
⎣
⎤⎞
∑j J ij ⎥ ⎟⎟
⎦⎠
Ecuación
Ecuac
ón trascendente.
La incógnita <Sz> no puede
resolverse analíticamente.
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones
localizados en un sólido elemental.
⎛ μ 0 gμ B sH ef
s z = sBs ⎜⎜
kkT
⎝
⎛ s
⎞
⎟⎟ = sBs ⎜
⎜ kkT
⎠
⎝
⎡
⎢ μ 0 gμ B H + 2 s z
⎣
(3) tercera aproximación:
J ij = J ≠ 0
Sólo para los p primeros
vecinos j
⎛ s
⎞
s z = sBs ⎜ [μ 0 gμ B H + 2 pJ s z ]⎟
⎝ kT
⎠
Solución formal
⎤⎞
∑j J ij ⎥ ⎟⎟
⎦⎠
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones
localizados en un sólido elemental.
⎛ s
⎞
s z = sBs ⎜ [μ 0 gμ B H + 2 pJ s z ]⎟
⎝ kT
⎠
Simplificando la notación
ζ = Bs ( x + αζ ) ζ
=
Ecuación trascendente
sz
s
x=
μ 0 gμ B sH
kT
2 s 2 pJ
α=
kT
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones
localizados en un sólido elemental.
Caso H = 0 ⇒ x = 0
Solución gráfica
{
y = Bs (αζ )
Condición crítica
Pendiente
Brillouin
s +1
= 1/ α
3s
3s
Pendiente
recta
08
0,8
y = ζ, BS(αζ)
ζ = Bs (αζ )
y =ζ
1,0
0,6
α = αCr
4
3
T > TCCr
para
2
2s 2 pJ
α=
kT
1
T < TCr
0,4
(α > αCr)
0,2
,
0,0
0
ferro
1
2
u = αζ
3
4
5
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones
localizados en un sólido elemental.
para
1,0
de la condición crítica
α Cr =
TC =
2
2 s pJ
kTC
2 pJs( s + 1)
3k
y = ζ, BS(αζ)
0,8
0,6
α = αCr
4
2s 2 pJ
α=
kT
3
T > TCrr
Caso H = 0 ⇒ x = 0
2
1
T < TCr
0,4
(α > αCr)
0,2
0,0
0
1
ferro
Solución
paramagnética:
BS = 0 ⇒ <sz> = 0
Corresponde
C
d a un máximo
á i
de energía para T<TC y a
un mínimo para T>TC
2
u = αζ
3
4
5
Solución
ferromagnética:
BS ≠ 0 ⇒ <sz> ≠ 0
(para T<TC)
Corresponde a un mínimo
de energía (T<TC)
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones
localizados en un sólido elemental.
TC =
2p
pJs( s + 1)
3k
ζ =
1
sz
s
t=
0
0
1
T
TC
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones
localizados en un sólido elemental.
2 pJs( s + 1)
TC =
3k
Temperaturas de Curie
Material
Curie
temperature
(K)
Fe
1043
Co
1388
Ni
627
Gd
293
Dy
85
CrBr3
37
Au2MnAl
200
Cu2MnAl
630
Cu2MnIn
500
EuO
77
EuS
16 5
16.5
MnAs
318
MnBi
670
GdCl3
22
2.2
Fe2B
1015
MnB
578
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones
localizados en un sólido elemental.
Ejemplo: estimación del spin s y la integral de
intercambio J para el Fe bcc (α)
2 pJs( s + 1)
TC =
3k
3kTC
J=
2 ps ( s + 1)
(1) sFe?
(1a) MS vs T
s
s
s
sFe = ½ ó sFe = 1
T/Tc
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones
localizados en un sólido elemental.
Ejemplo: estimación del spin s y la integral de
intercambio J para el Fe bcc (α)
bcc Fe
bcc-Fe
sFe?
(1b) valor de MS a 0 K
MS =
M S = 2.198 Tesla
m mat
=
⇒ mat = M SVat
V Vat
a = 2.865 Å
a3
2.198 ⎛ A ⎞ (2.865) 3
Vcel
x10 −30 m 3 = 2.065 x10 − 23 Am 2 = 2.23μ B
mat = M S
= MS × =
⎟×
−7 ⎜
2 4π × 10 ⎝ m ⎠
2
2
mat = gs Fe μ B = 2 sFe μ B
sFe ≈ 1.115
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados
en un sólido elemental.
Ejemplo: estimación de la integral
de intercambio para el Fe bcc (α)
3kTC
3kT
J=
2 ps ( s + 1)
J α − Fe
bcc-Fe
1043K
p=8
1.115
3 x1.38 x10 −23 ( Joule / K )x1043K
≈
= 1.21x10 − 21 Joule
2 x8 x1.115 x 2.115
J α − Fe ≈ 1.21x10 −21 Joule
s
s
s
Fe ⇒ TC = 1043 K