Download m yx r 05.0 = + = о m yr 04.0 == о

21.32 La carga puntual q1=-5.0 nC está en el origen y la carga puntual q2=3 nC
está sobre el eje de las x en x = 3 cm. El punto P está en y=4 cm. a) Calcule los
campos eléctricos debidos a las dos cargas en P. b) Obtenga el campo eléctrico
resultante en P, expresado en forma de vectores unitarios.
r
r2 = x 2 + y 2 = 0.05 m
r
r1 = y = 0.04 m
P
E1
r
r2
r
r1
q1
r
E1 =
r̂1
r̂2 +
r
r1 0.04 ˆj ˆ
rˆ1 = r =
= j
r1
0.04
r
r2 − 0.03iˆ + 0.04 ˆj
rˆ2 = r =
= −0.6iˆ + 0.8 ˆj
r2
0.05
q2
−9
−
C) ˆ
q1
(
5
10
4 ˆ
9
2
2
ˆ
=
=
−
j
j
r
m
C
2
.
81
10
(
8
.
9
10
/
)
2
2 1
C
(0.04 m)
4πε 0 r1
1
E2
Ep
r
r1
E1
q1
r
E2 =
r̂1
r
r2
r̂2 +
q2
−9
q2
C)
(
3
10
9
2
2
ˆ
=
r
m
C
(
8
.
9
10
/
)
(−0.6iˆ + 0.8 ˆj ) =
2 2
2
4πε 0 r2
(0.05 m)
1
ˆ
)i + (8.64 103 ) ˆj
C
C
r r
3 ˆ
3 3 ˆ
E1 + E2 = (−6.48 10
)i + (−2.8110
+ 8.64 10
)j
C
C
C
= (−6.48 103
Ex
Ey
EP = E x2 + E y2
tan(ϕ ) =
Ey
Ex
CAMPO DE UNA LINEA CON CARGA UNIFORME
Una carga eléctrica Q está distribuida
uniformemente a lo largo de una línea de
longitud 2a, que yace sobre el eje “y”
entre y=a y y=-a. Halle el campo eléctrico
en el punto P situado sobre el eje “x” a una
distancia x del origen.
a
dQ
dy
r
y
α
P
Se divide la carga lineal en
segmentos infinitesimales, cada uno
de los cuales actúa como carga
puntual. Consideremos el elemento
dQ, de longitud dy.
x
-a
La densidad lineal de carga λ es:
λ=
Q
2a
La carga dQ en un segmento de longitud dy es:
dQ = λ dy =
Qdy
2a
r = x2 + y2
y
sin(α ) = =
r
x
cos(α ) = =
r
y
x2 + y2
x
x2 + y2
a
r = x2 + y2
dQ
dy
La magnitud del campo dE en P debido
al segmento dQ es:
dQ
r
y
α
P
x
-a
1
dE
dEy
y
sin(α ) = =
r
dEx
y
x2 + y 2
dQ
1 Qdy 1
=
=
dE =
2
2
4πε 0 r
4πε 0 2a r
1 Qdy
1
=
4πε 0 2a ( x 2 + y 2 )
r2
x
x
=
r
x2 + y2
Representemos este campo en términos de sus componentes dEx y dEy:
cos(α ) =
dE x = dE cos(α ) =
dE y = dE sin(α ) =
Q
dy
4πε 0 2a ( x 2 + y 2 )
Q
dy
4πε 0 2a ( x 2 + y 2 )
x
x2 + y2
y
x2 + y2
=
=
Q
xdy
4πε 0 2a( x 2 + y 2 ) 3 / 2
Q
ydy
4πε 0 2a ( x 2 + y 2 ) 3 / 2
a
Para hallar las componentes Ex y Ey
del campo total, se integran estas
expresiones de y=-a hasta y=a.
dQ
dy
r
y
α
P
dEx
x
a
1 Qx
dy
Ex =
4πε 0 2a −∫a ( x 2 + y 2 ) 3 / 2
dE
dEy
Se integra en y, la
x
se
considera
como una constante
-a
a
a
dy
1
∫−a ( x 2 + y 2 )3/ 2 = x 2
y
x2 + y 2
−a
1
= 2
x
−a
a
1
− 2
2
2
x
x +a
a
1 Qx
dy
1 Qx 2
=
Ex =
2
2 3/ 2
∫
4πε 0 2a −a ( x + y )
4πε 0 2a x 2
2
= 2
2
2
x
x +a
a
x +a
2
2
=
Q
a
x2 + a2
1
4πε 0 x x 2 + a 2
a
Si consideramos el segmento dQ’
en la parte negativa se ve que la
componente dEy es igual y opuesta,
así que todas las componentes en y
de todos los elementos se
cancelan.
dQ
dy
r
y
α
P
dEx
x
dE
dEy
dQ’
-a
Ya sabemos que Ey = 0, efectivamente:
1
a
Q
ydy
Ey =
4πε 0 2a −∫a ( x 2 + y 2 )3 / 2
a
ydy
∫−a ( x 2 + y 2 )3/ 2 =
−1
x2 + y2
a
=
−a
−1
x2 + a2
−
r
r
E y = 0 ⇒ E p = Ex
hacia la derecha
−1
x2 + a2
=0
En el límite x >> a la expresión del campo eléctrico se reduce a la expresión
del campo eléctrico de una carga puntual:
1
1
Ex =
≈
2
2
4πε 0 x ( x + a ) 4πε 0 x 2
Q
Q
x >> a
LINEAS DE CAMPO ELECTRICO
El campo eléctrico no se puede ver directamente. Las líneas de campo
eléctrico pueden ser de gran ayuda para visualizar los campos eléctricos.
Una línea de campo eléctrico es una curva imaginaria trazada a través de
una región del espacio, de modo tal que su tangente en cualquier punto
tenga la dirección del vector campo eléctrico en ese punto.
Carga puntual
Cargas opuestas
Cargas iguales
Ejemplo de distribución de las líneas de campo eléctrico:
ElectricField 2.01
http://www.physics-software.com/software.html
DIPOLO ELECTRICO
+
p
q
Un dipolo eléctrico es un par de cargas
puntuales de igual magnitud y signos opuestos
separados por una distancia d.
d
-q
Se define “momento dipolar eléctrico p” el vector
con la dirección de la línea que une las dos cargas,
sentido hacia la carga positiva y magnitud el
producto qd. Las unidades son Cm.
r
p = qd
La molécula del agua es un dipolo
eléctrico, con p=6.13 10-13 Cm.
FUERZA Y MOMENTO DE TORSION EN UN DIPOLO ELECTRICO
+
p
F-=-qE
-
d
φ
q
F+=qE
Coloquemos un dipolo eléctrico en un
campo eléctrico externo uniforme E.
Las fuerzas F+ y F- sobre las dos cargas
tienen la misma magnitud y dirección
opuesta y suman 0. La fuerza eléctrica
neta sobre un dipolo eléctrico en un
campo eléctrico externo uniforme es 0.
dsinφ
-q
Las dos fuerzas no actúan a lo largo de la
misma recta, sus momentos de torsión no
suman 0.
E
Con respecto al centro del dipolo, las magnitudes de los momentos de
torsión son:
d
d
τ + = F+ sin(φ ) = (qE ) sin(φ )
2
2
d
d
τ − = F− sin(φ ) = (qE ) sin(φ )
2
2
Ambos tienden a hacer girar el dipolo
en el sentido del reloj y tienen la
misma magnitud. La magnitude del
momento neto es la suma:
τ = τ + + τ − = (qE )d sin(φ ) = pE sin(φ )
En forma vectorial:
r r
τ = p× E
r
τ = pE sin(φ )
r
(producto vectorial)
El momento de torsión es máximo cuando p y E son perpendiculares, y
es cero cuando son paralelos o antiparalelos. El momento de torsión
siempre tiende a hacer girar p a modo de alinearlo con E.
p
p
-
+
E
Equilibrio estable
+
-
Equilibrio inestable
E
La posición φ=0 es una posición de equilibrio estable, y la posición φ=π es una
posición de equilibrio inestable.
ENERGIA POTENCIAL DE UN DIPOLO EN CAMPO ELECTRICO
Cuando un dipolo cambia dirección en un campo eléctrico, el momento de
torsión del campo eléctrico realiza trabajo (dW) sobre él, con un cambio
correspondiente de energía potencial.
dW = τ dφ = − pE sin(φ )dφ
El momento de torsión es en la
dirección en que φ disminuye, se pone el
signo negativo
En un desplazamiento finito de φ1 a φ2, el trabajo realizado sobre el dipolo es:
φ2
W = ∫ (− pE ) sin(φ )dφ = pE cos(φ2 ) − pE cos(φ1 ) = −(U 2 − U1 )
φ1
El trabajo es el negativo del cambio de energía potencial U, la energía
potencial U del sistema se define como:
r r
U (φ ) = − pE cos(φ ) = − p ⋅ E
(producto escalar)
El valor mínimo de U corresponde a la posición de equilibrio estable (p y E paralelos)
El valor máximo de U corresponde a la posición de equilibrio inestable (p y E antiparalelos)