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21.32 La carga puntual q1=-5.0 nC está en el origen y la carga puntual q2=3 nC está sobre el eje de las x en x = 3 cm. El punto P está en y=4 cm. a) Calcule los campos eléctricos debidos a las dos cargas en P. b) Obtenga el campo eléctrico resultante en P, expresado en forma de vectores unitarios. r r2 = x 2 + y 2 = 0.05 m r r1 = y = 0.04 m P E1 r r2 r r1 q1 r E1 = r̂1 r̂2 + r r1 0.04 ˆj ˆ rˆ1 = r = = j r1 0.04 r r2 − 0.03iˆ + 0.04 ˆj rˆ2 = r = = −0.6iˆ + 0.8 ˆj r2 0.05 q2 −9 − C) ˆ q1 ( 5 10 4 ˆ 9 2 2 ˆ = = − j j r m C 2 . 81 10 ( 8 . 9 10 / ) 2 2 1 C (0.04 m) 4πε 0 r1 1 E2 Ep r r1 E1 q1 r E2 = r̂1 r r2 r̂2 + q2 −9 q2 C) ( 3 10 9 2 2 ˆ = r m C ( 8 . 9 10 / ) (−0.6iˆ + 0.8 ˆj ) = 2 2 2 4πε 0 r2 (0.05 m) 1 ˆ )i + (8.64 103 ) ˆj C C r r 3 ˆ 3 3 ˆ E1 + E2 = (−6.48 10 )i + (−2.8110 + 8.64 10 )j C C C = (−6.48 103 Ex Ey EP = E x2 + E y2 tan(ϕ ) = Ey Ex CAMPO DE UNA LINEA CON CARGA UNIFORME Una carga eléctrica Q está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de longitud 2a, que yace sobre el eje “y” entre y=a y y=-a. Halle el campo eléctrico en el punto P situado sobre el eje “x” a una distancia x del origen. a dQ dy r y α P Se divide la carga lineal en segmentos infinitesimales, cada uno de los cuales actúa como carga puntual. Consideremos el elemento dQ, de longitud dy. x -a La densidad lineal de carga λ es: λ= Q 2a La carga dQ en un segmento de longitud dy es: dQ = λ dy = Qdy 2a r = x2 + y2 y sin(α ) = = r x cos(α ) = = r y x2 + y2 x x2 + y2 a r = x2 + y2 dQ dy La magnitud del campo dE en P debido al segmento dQ es: dQ r y α P x -a 1 dE dEy y sin(α ) = = r dEx y x2 + y 2 dQ 1 Qdy 1 = = dE = 2 2 4πε 0 r 4πε 0 2a r 1 Qdy 1 = 4πε 0 2a ( x 2 + y 2 ) r2 x x = r x2 + y2 Representemos este campo en términos de sus componentes dEx y dEy: cos(α ) = dE x = dE cos(α ) = dE y = dE sin(α ) = Q dy 4πε 0 2a ( x 2 + y 2 ) Q dy 4πε 0 2a ( x 2 + y 2 ) x x2 + y2 y x2 + y2 = = Q xdy 4πε 0 2a( x 2 + y 2 ) 3 / 2 Q ydy 4πε 0 2a ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 a Para hallar las componentes Ex y Ey del campo total, se integran estas expresiones de y=-a hasta y=a. dQ dy r y α P dEx x a 1 Qx dy Ex = 4πε 0 2a −∫a ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 dE dEy Se integra en y, la x se considera como una constante -a a a dy 1 ∫−a ( x 2 + y 2 )3/ 2 = x 2 y x2 + y 2 −a 1 = 2 x −a a 1 − 2 2 2 x x +a a 1 Qx dy 1 Qx 2 = Ex = 2 2 3/ 2 ∫ 4πε 0 2a −a ( x + y ) 4πε 0 2a x 2 2 = 2 2 2 x x +a a x +a 2 2 = Q a x2 + a2 1 4πε 0 x x 2 + a 2 a Si consideramos el segmento dQ’ en la parte negativa se ve que la componente dEy es igual y opuesta, así que todas las componentes en y de todos los elementos se cancelan. dQ dy r y α P dEx x dE dEy dQ’ -a Ya sabemos que Ey = 0, efectivamente: 1 a Q ydy Ey = 4πε 0 2a −∫a ( x 2 + y 2 )3 / 2 a ydy ∫−a ( x 2 + y 2 )3/ 2 = −1 x2 + y2 a = −a −1 x2 + a2 − r r E y = 0 ⇒ E p = Ex hacia la derecha −1 x2 + a2 =0 En el límite x >> a la expresión del campo eléctrico se reduce a la expresión del campo eléctrico de una carga puntual: 1 1 Ex = ≈ 2 2 4πε 0 x ( x + a ) 4πε 0 x 2 Q Q x >> a LINEAS DE CAMPO ELECTRICO El campo eléctrico no se puede ver directamente. Las líneas de campo eléctrico pueden ser de gran ayuda para visualizar los campos eléctricos. Una línea de campo eléctrico es una curva imaginaria trazada a través de una región del espacio, de modo tal que su tangente en cualquier punto tenga la dirección del vector campo eléctrico en ese punto. Carga puntual Cargas opuestas Cargas iguales Ejemplo de distribución de las líneas de campo eléctrico: ElectricField 2.01 http://www.physics-software.com/software.html DIPOLO ELECTRICO + p q Un dipolo eléctrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud y signos opuestos separados por una distancia d. d -q Se define “momento dipolar eléctrico p” el vector con la dirección de la línea que une las dos cargas, sentido hacia la carga positiva y magnitud el producto qd. Las unidades son Cm. r p = qd La molécula del agua es un dipolo eléctrico, con p=6.13 10-13 Cm. FUERZA Y MOMENTO DE TORSION EN UN DIPOLO ELECTRICO + p F-=-qE - d φ q F+=qE Coloquemos un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme E. Las fuerzas F+ y F- sobre las dos cargas tienen la misma magnitud y dirección opuesta y suman 0. La fuerza eléctrica neta sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme es 0. dsinφ -q Las dos fuerzas no actúan a lo largo de la misma recta, sus momentos de torsión no suman 0. E Con respecto al centro del dipolo, las magnitudes de los momentos de torsión son: d d τ + = F+ sin(φ ) = (qE ) sin(φ ) 2 2 d d τ − = F− sin(φ ) = (qE ) sin(φ ) 2 2 Ambos tienden a hacer girar el dipolo en el sentido del reloj y tienen la misma magnitud. La magnitude del momento neto es la suma: τ = τ + + τ − = (qE )d sin(φ ) = pE sin(φ ) En forma vectorial: r r τ = p× E r τ = pE sin(φ ) r (producto vectorial) El momento de torsión es máximo cuando p y E son perpendiculares, y es cero cuando son paralelos o antiparalelos. El momento de torsión siempre tiende a hacer girar p a modo de alinearlo con E. p p - + E Equilibrio estable + - Equilibrio inestable E La posición φ=0 es una posición de equilibrio estable, y la posición φ=π es una posición de equilibrio inestable. ENERGIA POTENCIAL DE UN DIPOLO EN CAMPO ELECTRICO Cuando un dipolo cambia dirección en un campo eléctrico, el momento de torsión del campo eléctrico realiza trabajo (dW) sobre él, con un cambio correspondiente de energía potencial. dW = τ dφ = − pE sin(φ )dφ El momento de torsión es en la dirección en que φ disminuye, se pone el signo negativo En un desplazamiento finito de φ1 a φ2, el trabajo realizado sobre el dipolo es: φ2 W = ∫ (− pE ) sin(φ )dφ = pE cos(φ2 ) − pE cos(φ1 ) = −(U 2 − U1 ) φ1 El trabajo es el negativo del cambio de energía potencial U, la energía potencial U del sistema se define como: r r U (φ ) = − pE cos(φ ) = − p ⋅ E (producto escalar) El valor mínimo de U corresponde a la posición de equilibrio estable (p y E paralelos) El valor máximo de U corresponde a la posición de equilibrio inestable (p y E antiparalelos)